{"id":288054,"date":"2018-08-16T14:21:55","date_gmt":"2018-08-16T10:21:55","guid":{"rendered":"http:\/\/savepearlharbor.com\/?p=288054"},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T21:00:00","slug":"","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/savepearlharbor.com\/?p=288054","title":{"rendered":"\u0427\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0435\u0439 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u043e\u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0430\u043c\u0438 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439"},"content":{"rendered":"\n
\n

\u0412\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435:<\/h3>\n

\u041f\u0440\u0438 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u043c \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438 \u0440\u044f\u0434\u0430 \u0442\u0435\u0445\u043d\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0443\u0441\u0442\u0440\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043d\u0435\u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439. \u0422\u0430\u043a\u0438\u0435 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0432 \u0442\u0435\u0445\u043d\u0438\u043a\u0435, \u043e\u043d\u0438 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u044f\u0442 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u044d\u043a\u043e\u043d\u043e\u043c\u0438\u043a\u0435, \u0445\u0438\u043c\u0438\u0438, \u0431\u0438\u043e\u043b\u043e\u0433\u0438\u0438, \u043c\u0435\u0434\u0438\u0446\u0438\u043d\u0435, \u0443\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0438.<\/p>\n

\u0418\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u043e\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0443\u0441\u0442\u0440\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432 \u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u044e\u0442 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0443\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439. \u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0430\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0438 \u043d\u0435\u0441\u0442\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u0440\u043d\u044b\u043c\u0438, \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u043d\u0435\u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0438\u0445 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435.<\/p>\n

\u0412\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u044b, \u043d\u0430\u0438\u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b\u043c \u0438\u0437 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435 \u2014 \u041a\u0443\u0442\u0442\u044b [1]. \u0427\u0442\u043e \u043a\u0430\u0441\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f Python, \u0442\u043e \u0432 \u043f\u0443\u0431\u043b\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u044f\u0445 \u043f\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430\u043c, \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 [2,3], \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435 \u2014 \u041a\u0443\u0442\u0442\u044b \u043a\u0440\u0430\u0439\u043d\u0435 \u043c\u0430\u043b\u043e, \u0430 \u043f\u043e \u0435\u0433\u043e \u043c\u043e\u0434\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438 \u2014 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0443 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435-\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430-\u0424\u0435\u043b\u044c\u0431\u0435\u0440\u0433\u0430 \u0432\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u043d\u0435\u0442.<\/p>\n

\u0412 \u043d\u0430\u0441\u0442\u043e\u044f\u0449\u0435\u0435 \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f, \u0431\u043b\u0430\u0433\u043e\u0434\u0430\u0440\u044f \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0444\u0435\u0439\u0441\u0443, \u043d\u0430\u0438\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435\u0435 \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 Python \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e odeint \u0438\u0437 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044f scipy.integrate. \u0412\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f ode \u0438\u0437 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044f \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u0435\u0442 \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u043e\u0432, \u0432 \u0442\u043e\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435 \u0438 \u0443\u043f\u043e\u043c\u044f\u043d\u0443\u0442\u044b\u0439 \u043f\u044f\u0442\u0438\u0440\u0430\u043d\u0433\u043e\u0432\u044b\u0439 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435-\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430-\u0424\u0435\u043b\u044c\u0431\u0435\u0440\u0433\u0430, \u043d\u043e, \u0432\u0441\u043b\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435 \u0443\u043d\u0438\u0432\u0435\u0440\u0441\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438, \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u043e\u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435.<\/p>\n

\u0426\u0435\u043b\u044c\u044e \u043d\u0430\u0441\u0442\u043e\u044f\u0449\u0435\u0439 \u043f\u0443\u0431\u043b\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0441 \u043c\u043e\u0434\u0438\u0444\u0438\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u043c \u0430\u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u043f\u043e\u0434 Python \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u043e\u043c \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435-\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430-\u0424\u0435\u043b\u044c\u0431\u0435\u0440\u0433\u0430. \u0412 \u043f\u0443\u0431\u043b\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0442\u0430\u043a \u0436\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u044b \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e \u043a\u0440\u0430\u0435\u0432\u044b\u043c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u043c \u0434\u043b\u044f \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 (\u0421\u0414\u0423).
<\/a> <\/p>\n

\u041a\u0440\u0430\u0442\u043a\u0438\u0435 \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u0438 \u0444\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043f\u043e \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0435\u043c\u044b\u043c \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430\u043c \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u043d\u044b\u043c \u0441\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c \u0434\u043b\u044f \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0421\u0414\u0423<\/h3>\n

\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u041a\u043e\u0448\u0438<\/b><\/p>\n

\u0414\u043b\u044f \u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f n \u2013 \u0433\u043e \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430, \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u041a\u043e\u0448\u0438 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0432 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u0443\u0434\u043e\u0432\u043b\u0435\u0442\u0432\u043e\u0440\u044f\u044e\u0449\u0435\u0439 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u0443:<\/p>\n

<\/p>\n

\u0438 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f\u043c <\/p>\n

<\/p>\n

\u041f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u044d\u0442\u0430 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u0430 \u0431\u044b\u0442\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0430 \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0439 \u0421\u0414\u0423<\/p>\n

(1)<\/p>\n

\u0441 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f\u043c\u0438<\/p>\n

<\/p>\n

\u041c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c scipy.integrate <\/b><\/p>\n

\u041c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0434\u0432\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 ode() \u0438 odeint(), \u043f\u0440\u0435\u0434\u043d\u0430\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c \u043e\u0431\u044b\u043a\u043d\u043e\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 (\u041e\u0414\u0423) \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 \u0441 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f\u043c\u0438 \u0432 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 (\u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u041a\u043e\u0448\u0438). \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f ode() \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0443\u043d\u0438\u0432\u0435\u0440\u0441\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f, \u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f odeint() (ODE integrator) \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0444\u0435\u0439\u0441 \u0438 \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u0440\u0435\u0448\u0430\u0435\u0442 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447.<\/p>\n

\u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f odeint()<\/b><\/p>\n

\u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f odeint() \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0442\u0440\u0438 \u043e\u0431\u044f\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430 \u0438 \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043e\u043f\u0446\u0438\u0439. \u041e\u043d\u0430 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0442 odeint(func, y0, t[,args=(), …]) \u0410\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442 func \u2013 \u044d\u0442\u043e \u0438\u043c\u044f Python \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445, \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0439 \u0438\u0437 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u043f\u0438\u0441\u043e\u043a y=[y1,y2,…,yn], \u0430 \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u2013 \u0438\u043c\u044f \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439. <\/p>\n

\u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f func \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u0430 \u0432\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0442\u044c \u0441\u043f\u0438\u0441\u043e\u043a \u0438\u0437 n \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u043f\u0440\u0438 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u043c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0433\u043e \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430 t. \u0424\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f func(y,t) \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u0435\u0442 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u044b\u0445 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b (1).<\/p>\n

\u0412\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442 y0 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 odeint() \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043c\u0430\u0441\u0441\u0438\u0432\u043e\u043c (\u0438\u043b\u0438 \u0441\u043f\u0438\u0441\u043a\u043e\u043c) \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043f\u0440\u0438 t=t0. <\/p>\n

\u0422\u0440\u0435\u0442\u0438\u0439 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043c\u0430\u0441\u0441\u0438\u0432\u043e\u043c \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0432\u044b \u0445\u043e\u0442\u0438\u0442\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438. \u041f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043c\u0430\u0441\u0441\u0438\u0432\u0430 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a t0.<\/p>\n

\u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f odeint() \u0432\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442 \u043c\u0430\u0441\u0441\u0438\u0432 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u0430 len(t) x len(y0). \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f odeint() \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043e\u043f\u0446\u0438\u0439, \u0443\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0449\u0438\u0445 \u0435\u0435 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u043e\u0439. \u041e\u043f\u0446\u0438\u0438 rtol (\u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u0433\u0440\u0435\u0448\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c) \u0438 atol (\u0430\u0431\u0441\u043e\u043b\u044e\u0442\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u0433\u0440\u0435\u0448\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c) \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u044e\u0442 \u043f\u043e\u0433\u0440\u0435\u0448\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439 ei \u0434\u043b\u044f \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0433\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f yi \u043f\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435 <\/p>\n

<\/p>\n

\u041e\u043d\u0438 \u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438 \u0438\u043b\u0438 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u0430\u043c\u0438. \u041f\u043e \u0443\u043c\u043e\u043b\u0447\u0430\u043d\u0438\u044e <\/p>\n

<\/p>\n

\u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f ode() <\/b><\/p>\n

\u0412\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044f scipy.integrate, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043f\u0440\u0435\u0434\u043d\u0430\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0438 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c, \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f ode(). \u041e\u043d\u0430 \u0441\u043e\u0437\u0434\u0430\u0435\u0442 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442 \u041e\u0414\u0423 (\u0442\u0438\u043f scipy.integrate._ode.ode). \u0418\u043c\u0435\u044f \u0441\u0441\u044b\u043b\u043a\u0443 \u043d\u0430 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442, \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u0442 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u044b. \u0410\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 odeint(), \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f ode(func) \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u043a \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0432\u0438\u0434\u0430 (1) \u0438 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438 \u0435\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043f\u0440\u0430\u0432\u044b\u0445 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439.<\/p>\n

\u041e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0438\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0432 \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043f\u0440\u0430\u0432\u044b\u0445 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439 func(t,y) \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u043c \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u043c \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u0443\u044e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e, \u0430 \u0432\u0442\u043e\u0440\u044b\u043c \u2013 \u0441\u043f\u0438\u0441\u043e\u043a \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0438\u0441\u043a\u043e\u043c\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439. \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0430\u044f \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0438\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0441\u043e\u0437\u0434\u0430\u0435\u0442 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442 ODE, \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u041a\u043e\u0448\u0438.<\/p>\n

\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435\u2014\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430<\/b><\/p>\n

\u041f\u0440\u0438 \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u043e\u0432 \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442, \u043e\u043d\u043e \u0435\u0434\u0438\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e \u0438 \u043e\u0431\u043b\u0430\u0434\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u044b\u043c\u0438 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c\u0438 \u0433\u043b\u0430\u0434\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438.<\/p>\n

\u041f\u0440\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u041a\u043e\u0448\u0438<\/p>\n

(2)<\/p>\n

(3)<\/p>\n

\u043f\u043e \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044e \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 t =0 \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0438\u0437 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f (3) \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0438 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0445 t. \u041f\u0440\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 (2),(3) \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e\u043c\u0435\u0440\u043d\u0443\u044e, \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0442\u044b, \u0441\u0435\u0442\u043a\u0443 \u043f\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 t \u0441 \u0448\u0430\u0433\u043e\u043c \u0442 > 0.<\/p>\n

\u041f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 (2), (3) \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c . \u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043f\u0440\u0438 . \u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0440-\u0439 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u043a \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438, \u0435\u0441\u043b\u0438 , \u0440 > 0 \u043f\u0440\u0438 . \u041f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439\u0448\u0430\u044f \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u043d\u0430\u044f \u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 (2),(3) \u0435\u0441\u0442\u044c<\/p>\n

(4)<\/p>\n

\u041f\u0440\u0438 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u044f\u0432\u043d\u044b\u0439 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0438 \u0432 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u043d\u0430\u044f \u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 (2) \u0441 \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u043c \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u043e\u043c. \u0421\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u0430\u044f \u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0432 (4) \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u043a \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438. \u042d\u0442\u0430 \u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0443 \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u044b\u0445 \u2014 \u0434\u043b\u044f \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0430 \u043d\u043e\u0432\u043e\u043c \u0441\u043b\u043e\u0435 \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e \u0440\u0435\u0448\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435\u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443. <\/p>\n

\u042f\u0432\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0445\u0435\u043c\u044b \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u0438 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0432\u044b\u0441\u043e\u043a\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u044c, \u043e\u0440\u0438\u0435\u043d\u0442\u0438\u0440\u0443\u044f\u0441\u044c \u043d\u0430 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0438\u043a\u0442\u043e\u0440-\u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440. \u041d\u0430 \u044d\u0442\u0430\u043f\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0438\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 (\u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u0438\u044f) \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u044f\u0432\u043d\u0430\u044f \u0441\u0445\u0435\u043c\u0430<\/p>\n

(5)<\/p>\n

\u0430 \u043d\u0430 \u044d\u0442\u0430\u043f\u0435 \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 (\u0443\u0442\u043e\u0447\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f) \u2014 \u0441\u0445\u0435\u043c\u0430<\/p>\n

<\/p>\n

\u0412 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0448\u0430\u0433\u043e\u0432\u044b\u0445 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430\u0445 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435\u2014\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430 \u0438\u0434\u0435\u0438 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0438\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430-\u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430\u0438\u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e. \u042d\u0442\u043e\u0442 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435:<\/p>\n

(6),<\/p>\n

\u0433\u0434\u0435<\/p>\n

<\/p>\n

\u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 (6) \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430\u043d\u0430 \u043d\u0430 s \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 f \u0438 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f s-\u0441\u0442\u0430\u0434\u0438\u0439\u043d\u043e\u0439. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u0440\u0438 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u044f\u0432\u043d\u044b\u0439 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435\u2014\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u0440\u0438 j>1 \u0438 \u0442\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e \u0438\u0437 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n

(7)<\/p>\n

\u041e \u0442\u0430\u043a\u043e\u043c \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0435 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435\u2014\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430 \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u044f\u0442 \u043a\u0430\u043a \u043e \u0434\u0438\u0430\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e-\u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u043c. \u041f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u044b \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u044e\u0442 \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435\u2014\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430. \u0418\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 (\u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 \u0411\u0443\u0442\u0447\u0435\u0440\u0430)<\/p>\n

<\/p>\n

\u041e\u0434\u043d\u0438\u043c \u0438\u0437 \u043d\u0430\u0438\u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u044f\u0432\u043d\u044b\u0439 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435\u2014\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430 \u0447\u0435\u0442\u0432\u0435\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430<\/p>\n

(8)<\/p>\n

\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435\u2014\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430\u2014 \u0424\u0435\u043b\u044c\u0431\u0435\u0440\u0433\u0430<\/b><\/p>\n

\u041f\u0440\u0438\u0432\u043e\u0436\u0443 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0447\u0451\u0442\u043d\u044b\u0445 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430<\/p>\n

(9)<\/p>\n

\u0421 \u0443\u0447\u0451\u0442\u043e\u043c(9) \u043e\u0431\u0449\u0435\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n

(10)<\/p>\n

\u042d\u0442\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0431\u0435\u0441\u043f\u0435\u0447\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043f\u044f\u0442\u044b\u0439 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u043a \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438, \u043e\u0441\u0442\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f \u0435\u0433\u043e \u0430\u0434\u0430\u043f\u0442\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a Python.<\/p>\n

\u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u044d\u043a\u0441\u043f\u0435\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0442 \u043f\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u0430\u0431\u0441\u043e\u043b\u044e\u0442\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0433\u0440\u0435\u0448\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0435\u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0433\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c \u043e\u0431\u0435\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 def odein(),def oden() \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044f scipy.integrate \u0438 \u0430\u0434\u0430\u043f\u0442\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u043a Python \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u043e\u0432 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435\u2014\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430 \u0438 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435\u2014\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430\u2014 \u0424\u0435\u043b\u044c\u0431\u0435\u0440\u0433\u0430<\/h4>\n
\u041b\u0438\u0441\u0442\u0438\u043d\u0433 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u044b<\/b><\/p>\n
\n
from numpy import* import matplotlib.pyplot as plt from scipy.integrate import * def odein():                   #dy1\/dt=y2          #dy2\/dt=y1**2+1:          def f(y,t):                    return y**2+1          t =arange(0,1,0.01)          y0 =0.0          y=odeint(f, y0,t)          y = array(y).flatten()          return y,t def oden():          f = lambda t, y: y**2+1          ODE=ode(f)          ODE.set_integrator('dopri5')          ODE.set_initial_value(0, 0)          t=arange(0,1,0.01)          z=[]          t=arange(0,1,0.01)          for i in arange(0,1,0.01):                   ODE.integrate(i)                   q=ODE.y                   z.append(q[0])          return z,t          def rungeKutta(f, to, yo, tEnd, tau):          def increment(f, t, y, tau):                   if z==1:                            k0 =tau* f(t,y)                            k1 =tau* f(t+tau\/2.,y+k0\/2.)                            k2 =tau* f(t+tau\/2.,y+k1\/2.)                            k3 =tau* f(t+tau, y + k2)                            return (k0 + 2.*k1 + 2.*k2 + k3) \/ 6.                   elif z==0:                            k1=tau*f(t,y)                            k2=tau*f(t+(1\/4)*tau,y+(1\/4)*k1)                            k3 =tau *f(t+(3\/8)*tau,y+(3\/32)*k1+(9\/32)*k2)                            k4=tau*f(t+(12\/13)*tau,y+(1932\/2197)*k1-(7200\/2197)*k2+(7296\/2197)*k3)                            k5=tau*f(t+tau,y+(439\/216)*k1-8*k2+(3680\/513)*k3 -(845\/4104)*k4)                            k6=tau*f(t+(1\/2)*tau,y-(8\/27)*k1+2*k2-(3544\/2565)*k3 +(1859\/4104)*k4-(11\/40)*k5)                            return (16\/135)*k1+(6656\/12825)*k3+(28561\/56430)*k4-(9\/50)*k5+(2\/55)*k6              t = []          y= []          t.append(to)          y.append(yo)          while to < tEnd:                   tau = min(tau, tEnd - to)                   yo = yo + increment(f, to, yo, tau)                   to = to + tau                   t.append(to)                   y.append(yo)                   return array(t), array(y) def f(t, y):          f = zeros([1])          f[0] = y[0]**2+1              return f to = 0. tEnd = 1 yo = array([0.]) tau = 0.01 z=1 t, yn = rungeKutta(f, to, yo, tEnd, tau) y1n=[i[0] for i in yn] plt.figure() plt.title(\"\u0410\u0431\u0441\u043e\u043b\u044e\u0442\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u0433\u0440\u0435\u0448\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f(\u0442.\u0440.- u(t)=tan(t)) \u0414\u0423\\n\\ du\/dt=u**2+1 c u(0)=0 \u043f\u0440\u0438 t>0\") plt.plot(t,abs(array(y1n)-array(tan(t))),label='\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435\u2014\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430 \\n\\ \u0447\u0435\u0442\u0432\u0435\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 - \u0440\u0430\u0441\u0447\u0451\u0442 \u043f\u043e \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0443') plt.xlabel('\u0412\u0440\u0435\u043c\u044f') plt.ylabel('\u0410\u0431\u0441\u043e\u043b\u044e\u0442\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u0433\u0440\u0435\u0448\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c.') plt.legend(loc='best') plt.grid(True) z=0 t, ym = rungeKutta(f, to, yo, tEnd, tau) y1m=[i[0] for i in ym] plt.figure() plt.title(\"\u0410\u0431\u0441\u043e\u043b\u044e\u0442\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u0433\u0440\u0435\u0448\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f(\u0442.\u0440.- u(t)=tan(t)) \u0414\u0423\\n\\ du\/dt=u**2+1 c u(0)=0 \u043f\u0440\u0438 t>0\") plt.plot(t,abs(array(y1m)-array(tan(t))),label='\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435\u2014\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430\u2014 \u0424\u0435\u043b\u044c\u0431\u0435\u0440\u0433\u0430 \\n\\ \u043f\u044f\u0442\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 - \u0440\u0430\u0441\u0447\u0451\u0442 \u043f\u043e \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0443') plt.xlabel('\u0412\u0440\u0435\u043c\u044f') plt.ylabel('\u0410\u0431\u0441\u043e\u043b\u044e\u0442\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u0433\u0440\u0435\u0448\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c.') plt.legend(loc='best') plt.grid(True) plt.figure() plt.title(\"\u0410\u0431\u0441\u043e\u043b\u044e\u0442\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u0433\u0440\u0435\u0448\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f (\u0442.\u0440.- u(t)=tan(t)) \u0414\u0423\\n\\ du\/dt=u**2+1 c u(0)=0 \u043f\u0440\u0438 t>0\") y,t=odein() plt.plot(t,abs(array(tan(t))-array(y)),label='\u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f odein') plt.xlabel('\u0412\u0440\u0435\u043c\u044f') plt.ylabel('\u0410\u0431\u0441\u043e\u043b\u044e\u0442\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u0433\u0440\u0435\u0448\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c.') plt.legend(loc='best') plt.grid(True) plt.figure() plt.title(\"\u0410\u0431\u0441\u043e\u043b\u044e\u0442\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u0433\u0440\u0435\u0448\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f (\u0442.\u0440.- u(t)=tan(t)) \u0414\u0423\\n\\ du\/dt=u**2+1 c u(0)=0 \u043f\u0440\u0438 t>0\") z,t=oden() plt.plot(t,abs(tan(t)-z),label='\u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f ode \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435\u2014\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430\u2014 \u0424\u0435\u043b\u044c\u0431\u0435\u0440\u0433\u0430 \\n\\ \u043f\u044f\u0442\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430') plt.xlabel('\u0412\u0440\u0435\u043c\u044f') plt.ylabel('\u0410\u0431\u0441\u043e\u043b\u044e\u0442\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u0433\u0440\u0435\u0448\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c.') plt.legend(loc='best') plt.grid(True) plt.show()<\/code><\/pre>\n
  <\/div>\n<\/div>\n
  \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c:<\/p>\n
  <\/p>\n
  <\/p>\n
  <\/p>\n
  <\/p>\n
  \u0412\u044b\u0432\u043e\u0434:<\/b><\/p>\n
  \u0410\u0434\u0430\u043f\u0442\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043a Python \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u044b \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435\u2014\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430 \u0438 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435\u2014\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430\u2014 \u0424\u0435\u043b\u044c\u0431\u0435\u0440\u0433\u0430 \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0443\u044e \u0430\u0431\u0441\u043e\u043b\u044e\u0442\u043d\u0443\u044e, \u0447\u0435\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 odeint, \u043d\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0443\u044e, \u0447\u0435\u043c \u0441 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 edu. \u041d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u043e\u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u044f.<\/p>\n
\u0427\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u044d\u043a\u0441\u043f\u0435\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0442 \u043f\u043e \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044e \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u043e\u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u044f \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0421\u0414\u0423 \u043f\u0440\u0438 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 ode \u0441 \u0430\u0442\u0440\u0438\u0431\u0443\u0442\u043e\u043c dopri5 (\u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435 \u2013 \u041a\u0443\u0442\u0442\u044b 5 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430) \u0438 \u0441 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c \u0430\u0434\u0430\u043f\u0442\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u043a Python \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435\u2014\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430\u2014 \u0424\u0435\u043b\u044c\u0431\u0435\u0440\u0433\u0430<\/h4>\n
  \u0421\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437 \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0434\u0451\u043c \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0435 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438, \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432 [2]. \u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u043d\u0435 \u043f\u043e\u0432\u0442\u043e\u0440\u044f\u0442\u044c \u0438\u0441\u0442\u043e\u0447\u043d\u0438\u043a, \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0443 \u043f\u043e\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0443 \u0438 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0438\u0437 [2].<\/p>\n
  \u0420\u0435\u0448\u0438\u043c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u041a\u043e\u0448\u0438, \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0449\u0443\u044e \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0435\u043b\u0430, \u0431\u0440\u043e\u0448\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0441 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e v0 \u043f\u043e\u0434 \u0443\u0433\u043b\u043e\u043c \u03b1 \u043a \u0433\u043e\u0440\u0438\u0437\u043e\u043d\u0442\u0443 \u0432 \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438, \u0447\u0442\u043e \u0441\u043e\u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u043e\u0437\u0434\u0443\u0445\u0430 \u043f\u0440\u043e\u043f\u043e\u0440\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u0443 \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438. \u0412 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434<\/p>\n
  <\/p>\n
  \u0433\u0434\u0435  \u2013 \u0440\u0430\u0434\u0438\u0443\u0441 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0434\u0432\u0438\u0436\u0443\u0449\u0435\u0433\u043e\u0441\u044f \u0442\u0435\u043b\u0430, \u2013 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0442\u0435\u043b\u0430, \u2013 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442 \u0441\u043e\u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440  \u0441\u0438\u043b\u044b \u0432\u0435\u0441\u0430 \u0442\u0435\u043b\u0430 \u043c\u0430\u0441\u0441\u044b m, g \u2013 \u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0430\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f. <\/p>\n
  <\/p>\n
  \u041e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0432 \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0437\u0430\u043a\u0430\u043d\u0447\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0437\u0430\u0440\u0430\u043d\u0435\u0435 \u043d\u0435\u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0442\u0435\u043b\u043e \u043f\u0430\u0434\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430 \u0437\u0435\u043c\u043b\u044e. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442\u044c , \u0442\u043e \u0432 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0435 \u043c\u044b \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0443 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439: <\/p>\n
  <\/p>\n
  \u041a \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0435 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u0442 \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f:  (h \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0432\u044b\u0441\u043e\u0442\u0430), . \u041f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c . \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0430\u044f \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0430 \u041e\u0414\u0423 1 \u2013 \u0433\u043e \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n
  <\/p>\n
  \u0414\u043b\u044f \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c . \u041e\u043f\u0443\u0441\u043a\u0430\u044f \u0434\u043e\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u0431\u0448\u0438\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u044b, \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0443 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043b\u0438\u0441\u0442\u0438\u043d\u0433 \u0438\u0437 \u043a\u043e\u043c\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0440\u0438\u0435\u0432 \u043a \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c\u0443, \u0434\u0443\u043c\u0430\u044e, \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u044f\u0441\u0435\u043d \u043f\u0440\u0438\u043d\u0446\u0438\u043f \u0435\u0451 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b. \u0412 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0443 \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d \u043e\u0442\u0441\u0447\u0451\u0442 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u0434\u043b\u044f \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430.<\/p>\n
\u041b\u0438\u0441\u0442\u0438\u043d\u0433 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u044b<\/b><\/p>\n
\n
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import time start = time.time() from scipy.integrate import ode ts = [ ] ys = [ ] FlightTime, Distance, Height =0,0,0 y4old=0 def fout(t, y):# \u043e\u0431\u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0447\u0438\u043a \u0448\u0430\u0433\u0430           global FlightTime, Distance, Height,y4old          ts.append(t)          ys.append(list(y.copy()))          y1, y2, y3, y4 = y          if y4*y4old<=0:  # \u0434\u043e\u0441\u0442\u0438\u0433\u043d\u0443\u0442\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u043c\u0430\u043a\u0441\u0438\u043c\u0443\u043c\u0430                   Height=y3          if y4<0 and y3<=0.0: # \u0442\u0435\u043b\u043e \u0434\u043e\u0441\u0442\u0438\u0433\u043b\u043e \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u0445\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438                   FlightTime=t                   Distance=y1                   return -1          y4old=y4 # \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043f\u0440\u0430\u0432\u044b\u0445 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b \u041e\u0414\u0423 def f(t, y, k):  #  \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442 k          g=9.81          y1, y2, y3, y4 = y          return [y2,-k*y2*np.sqrt(y2**2+y4**2), y4,-k*y4*np.sqrt(y2**2+y4**2)-g]  tmax=1.41         # \u043c\u0430\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0434\u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u043c\u044b\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 alph=np.pi\/4           # \u0443\u0433\u043e\u043b \u0431\u0440\u043e\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f \u0442\u0435\u043b\u0430 v0=10.0                # \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c K=[0.1,0.2,0.3,0.5] # \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c\u044b\u0435 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u044b \u0441\u043e\u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f y0,t0=[0, v0*np.cos(alph), 0, v0*np.sin(alph)], 0 # \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f  ODE=ode(f) ODE.set_integrator('dopri5', max_step=0.01) ODE.set_solout(fout) fig, ax = plt.subplots() fig.set_facecolor('white') for k in K:   # \u043f\u0435\u0440\u0435\u0431\u043e\u0440 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u0430 \u0441\u043e\u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f          ts, ys = [ ],[ ]          ODE.set_initial_value(y0, t0) # \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439          ODE.set_f_params(k)  # \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434\u0430\u0447\u0430 \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430 k     # \u0432 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e f(t,y,k) \u043f\u0440\u0430\u0432\u044b\u0445 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b \u041e\u0414\u0423          ODE.integrate(tmax)      # \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u041e\u0414\u0423          print('Flight time = %.4f Distance = %.4f Height =%.4f '% (FlightTime,Distance,Height))          Y=np.array(ys)          plt.plot(Y[:,0],Y[:,2],linewidth=3,label='k=%.1f'% k) stop = time.time() plt.title(\"\u0420\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u044b \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0451\u0445 \u041e\u0414\u0423 \\n \u0441 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438 ode \u0441 \u0430\u0442\u0440\u0438\u0431\u0443\u0442\u043e\u043c  dopri5  \") print (\"\u0412\u0440\u0435\u043c\u044f \u043d\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443: %f\"%(stop-start)) plt.grid(True) plt.xlim(0,8) plt.ylim(-0.1,2) plt.legend(loc='best')     plt.show()<\/code><\/pre>\n
  <\/div>\n<\/div>\n
  \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c:<\/p>\n
  Flight time = 1.2316 Distance = 5.9829 Height =1.8542 
  Flight time = 1.1016 Distance = 4.3830 Height =1.5088 
  Flight time = 1.0197 Distance = 3.5265 Height =1.2912 
  Flight time = 0.9068 Distance = 2.5842 Height =1.0240 
  \u0412\u0440\u0435\u043c\u044f \u043d\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443: 0.454787<\/p>\n
  <\/p>\n
  \u0414\u043b\u044f \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c\u0438 Python \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0421\u0414\u0423 \u0431\u0435\u0437 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0441\u043f\u0435\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0435\u0439, \u043c\u043d\u043e\u044e \u0431\u044b\u043b\u0430 \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0430 \u0438 \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u043d\u0430 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f:<\/p>\n
  def increment(f, t, y, tau
   k1=tau*f(t,y)
   k2=tau*f(t+(1\/4)*tau,y+(1\/4)*k1)
   k3 =tau *f(t+(3\/8)*tau,y+(3\/32)*k1+(9\/32)*k2)
   k4=tau*f(t+(12\/13)*tau,y+(1932\/2197)*k1-(7200\/2197)*k2+(7296\/2197)*k3)
   k5=tau*f(t+tau,y+(439\/216)*k1-8*k2+(3680\/513)*k3 -(845\/4104)*k4)
   k6=tau*f(t+(1\/2)*tau,y-(8\/27)*k1+2*k2-(3544\/2565)*k3 +(1859\/4104)*k4-(11\/40)*k5)
   return (16\/135)*k1+(6656\/12825)*k3+(28561\/56430)*k4-(9\/50)*k5+(2\/55)*k6<\/code><\/p>\n
  \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f increment(f, t, y, tau) \u043e\u0431\u0435\u0441\u043f\u0435\u0447\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043f\u044f\u0442\u044b\u0439 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u043a \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041e\u0441\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0442\u044c \u0432 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u043c \u043b\u0438\u0441\u0442\u0438\u043d\u0433\u0435:<\/p>\n
\u041b\u0438\u0441\u0442\u0438\u043d\u0433 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u044b<\/b><\/p>\n
\n
from numpy import* import matplotlib.pyplot as plt import time start = time.time() def rungeKutta(f, to, yo, tEnd, tau):          def increment(f, t, y, tau):# \u043f\u043e\u0438\u0441\u043a \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0451\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u043e\u043c \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435\u2014\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430\u2014\u0424\u0435\u043b\u044c\u0431\u0435\u0440\u0433\u0430.                   k1=tau*f(t,y)                   k2=tau*f(t+(1\/4)*tau,y+(1\/4)*k1)                   k3 =tau *f(t+(3\/8)*tau,y+(3\/32)*k1+(9\/32)*k2)                   k4=tau*f(t+(12\/13)*tau,y+(1932\/2197)*k1-(7200\/2197)*k2+(7296\/2197)*k3)                   k5=tau*f(t+tau,y+(439\/216)*k1-8*k2+(3680\/513)*k3 -(845\/4104)*k4)                   k6=tau*f(t+(1\/2)*tau,y-(8\/27)*k1+2*k2-(3544\/2565)*k3 +(1859\/4104)*k4-(11\/40)*k5)                   return (16\/135)*k1+(6656\/12825)*k3+(28561\/56430)*k4-(9\/50)*k5+(2\/55)*k6               t = []#\u043f\u043e\u0434\u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u043a\u0430 \u043f\u0443\u0441\u0442\u043e\u0433\u043e \u0441\u043f\u0438\u0441\u043a\u0430 t          y= []#\u043f\u043e\u0434\u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u043a\u0430 \u043f\u0443\u0441\u0442\u043e\u0433\u043e \u0441\u043f\u0438\u0441\u043a\u0430 y          t.append(to)#\u0432\u043d\u0435\u0441\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0441\u043f\u0438\u0441\u043e\u043a t \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f to          y.append(yo)#\u0432\u043d\u0435\u0441\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0441\u043f\u0438\u0441\u043e\u043a y \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f yo          while to < tEnd:#\u0432\u043d\u0435\u0441\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u043e\u0432 \u0440\u0430\u0441\u0447\u0451\u0442\u0430 \u0432 \u043c\u0430\u0441\u0441\u0438\u0432\u044b t,y                   tau = min(tau, tEnd - to)#\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0448\u0430\u0433\u0430 tau                   yo = yo + increment(f, to, yo, tau) # \u0440\u0430\u0441\u0447\u0451\u0442 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 t0,y0 \u0434\u043b\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u041a\u043e\u0448\u0438                   to = to + tau # \u043f\u0440\u0438\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438                   t.append(to) # \u0437\u0430\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u0430\u0441\u0441\u0438\u0432\u0430 t                   y.append(yo) # \u0437\u0430\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u0430\u0441\u0441\u0438\u0432\u0430 y                 return array(t), array(y) def f(t, y): # \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043f\u0440\u0430\u0432\u044b\u0445 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b \u041e\u0414\u0423                 f = zeros([4])          f[0]=y[1]                  f[1]=-k*y[1]*sqrt(y[1]**2+y[3]**2)               f[2]=y[3]          f[3]=-k*y[3]*sqrt(y[1]**2+y[3]**2) -g          if y[3]<0 and y[2]<=0.0: # \u0442\u0435\u043b\u043e \u0434\u043e\u0441\u0442\u0438\u0433\u043b\u043e \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u0445\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438                   return -1          return f to = 0# \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u043e\u0442\u0441\u0447\u0451\u0442\u0430 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 tEnd = 1.41# \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u043e\u0442\u0441\u0447\u0451\u0442\u0430 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 alph=pi\/4# \u0443\u0433\u043e\u043b \u0431\u0440\u043e\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f \u0442\u0435\u043b\u0430 v0=10.0 # \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c K=[0.1,0.2,0.3,0.5]# \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c\u044b\u0435 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u044b \u0441\u043e\u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0440\u0435\u0434\u044b g=9.81  yo = array([0.,v0*cos(alph),0.,v0*sin(alph)]) # \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f   tau =0.01# \u0448\u0430\u0433 for i in K:  # \u043f\u0435\u0440\u0435\u0431\u043e\u0440 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u0430 \u0441\u043e\u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0440\u0435\u0434\u044b          k=i          t, y = rungeKutta(f, to, yo, tEnd, tau)          y1=array([i[0] for i in y]) # \u0438\u0437\u0432\u043b\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0438\u0437 \u043c\u0430\u0441\u0441\u0438\u0432\u0430 y           y3=array([i[2] for i in y])          # \u0432\u0438\u0437\u0443\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f \u0441\u043e\u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0440\u0435\u0434\u044b \"\u043a\" \u0438 \u0440\u0430\u0441\u0447\u0451\u0442 \u0438 \u0432\u0438\u0437\u0443\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f s,h,t           plt.plot(y1,y3,linewidth=2,label='k=%.1f  h=%.3f  s=%.2f  t=%s' % (k,max(y3),max(y1),round(t[list(y1).index(max(y1))],3))) stop = time.time() plt.title(\"\u0420\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u044b \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0451\u0445 \u041e\u0414\u0423 \\n \u0441 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c \u0430\u0434\u0430\u043f\u0442\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0434\u043b\u044f Python\\n \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435\u2014\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430\u2014\u0424\u0435\u043b\u044c\u0431\u0435\u0440\u0433\u0430 \") print (\"\u0412\u0440\u0435\u043c\u044f \u043d\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443: %f\"%(stop-start)) plt.xlabel('\u0412\u044b\u0441\u043e\u0442\u0430 h') plt.ylabel('\u0420\u0430\u0441\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435 s') plt.legend(loc='best')          plt.xlim(0,8) plt.ylim(-0.1,2)          plt.grid(True)   plt.show()<\/code><\/pre>\n
  <\/div>\n<\/div>\n
  \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c:<\/p>\n
  \u0412\u0440\u0435\u043c\u044f \u043d\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443: 0.259927<\/p>\n
  <\/p>\n
  \u0412\u044b\u0432\u043e\u0434<\/b><\/p>\n
  \u041f\u0440\u0435\u0434\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u043d\u0430\u044f \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0431\u0435\u0437 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0441\u043f\u0435\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0435\u0439 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u043f\u043e\u0447\u0442\u0438 \u0432 \u0434\u0432\u043e\u0435 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435\u0435 \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u043e\u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435, \u0447\u0435\u043c \u0441 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0435\u0439 ode, \u043e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u043d\u0435\u043b\u044c\u0437\u044f \u0437\u0430\u0431\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e ode \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0432\u044b\u0441\u043e\u043a\u0443\u044e \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u0430 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n
\u0420\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0430\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0441 \u043f\u043e\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0451\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043a\u0440\u0430\u0435\u0432\u044b\u043c\u0438 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f\u043c\u0438<\/h3>\n
  \u041f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0430\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0441 \u043f\u043e\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043a\u0440\u0430\u0435\u0432\u044b\u043c\u0438 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f\u043c\u0438:<\/p>\n
   (11)<\/p>\n
  \u0414\u043b\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 (11) \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c:<\/p>\n
  1. \u0420\u0435\u0448\u0430\u0435\u043c \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0435 \u0442\u0440\u0438 \u043d\u0435\u043e\u0434\u043d\u043e\u0440\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b (11) \u0441 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f\u043c\u0438
  
  \u0412\u0432\u0435\u0434\u0435\u043c \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u041a\u043e\u0448\u0438: 
  <\/p>\n
  2. \u0420\u0435\u0448\u0430\u0435\u043c \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0435 \u0442\u0440\u0438 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0440\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b (11) \u0441 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f\u043c\u0438
  
  \u0412\u0432\u0435\u0434\u0435\u043c \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u041a\u043e\u0448\u0438: 
  <\/p>\n
  3. \u0420\u0435\u0448\u0430\u0435\u043c \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0435 \u0442\u0440\u0438 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0440\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b (11) \u0441 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f\u043c\u0438<\/p>\n
  <\/p>\n
  \u0412\u0432\u0435\u0434\u0435\u043c \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u041a\u043e\u0448\u0438: <\/p>\n
  <\/p>\n
  4. \u041e\u0431\u0449\u0435\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0430\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 (11) \u043f\u0440\u0438 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u0438 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447 \u041a\u043e\u0448\u0438 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0439 \u043a\u043e\u043c\u0431\u0438\u043d\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0439:
  
  \u0433\u0434\u0435 p2, p3 \u2014 \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043d\u0435\u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u044b. <\/p>\n
  5. \u0414\u043b\u044f \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u043e\u0432 p2, p3, \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u043a\u0440\u0430\u0435\u0432\u044b\u0435 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043d\u0438\u0445 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 (11), \u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f \u043f\u0440\u0438 x = b. \u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044f, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0443 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043d\u0435\u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b\u0445 p2, p3:
   (12)
  \u0420\u0435\u0448\u0430\u044f (12), \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u0441\u043e\u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u043b\u044f p2, p3.<\/p>\n
  \u041f\u043e \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0443 \u0441 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435\u2014\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430\u2014\u0424\u0435\u043b\u044c\u0431\u0435\u0440\u0433\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0443\u044e \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0443: <\/p>\n
\u041b\u0438\u0441\u0442\u0438\u043d\u0433 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u044b<\/b><\/p>\n
\n
 # \u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u043f\u0440\u0438\u0441\u0442\u0440\u0435\u043b\u043a\u0438 from numpy  import* import matplotlib.pyplot as plt import matplotlib.font_manager as fm,os import matplotlib.patches as mpatches import matplotlib.lines as mlines from scipy.integrate import odeint from scipy import linalg import time start = time.time() c1 = 1.0 c2 = 0.8 c3 = 0.5 a =0.0 b = 1.0 nn =100 initial_state_0 =array( [a, c1, 0.0, 0.0]) initial_state_I =array( [a, 0.0, 1.0, 0.0]) initial_state_II =array( [a, 0.0, 0.0, 1.0]) to = a tEnd =b N = int(nn) tau=(b-a)\/N def rungeKutta(f, to, yo, tEnd, tau):          def increment(f, t, y, tau):                   k1=tau*f(t,y)                   k2=tau*f(t+(1\/4)*tau,y+(1\/4)*k1)                   k3 =tau *f(t+(3\/8)*tau,y+(3\/32)*k1+(9\/32)*k2)                   k4=tau*f(t+(12\/13)*tau,y+(1932\/2197)*k1-(7200\/2197)*k2+(7296\/2197)*k3)                   k5=tau*f(t+tau,y+(439\/216)*k1-8*k2+(3680\/513)*k3 -(845\/4104)*k4)                   k6=tau*f(t+(1\/2)*tau,y-(8\/27)*k1+2*k2-(3544\/2565)*k3 +(1859\/4104)*k4-(11\/40)*k5)                   return (16\/135)*k1+(6656\/12825)*k3+(28561\/56430)*k4-(9\/50)*k5+(2\/55)*k6            t = []          y= []          t.append(to)          y.append(yo)          while to < tEnd:                   tau = min(tau, tEnd - to)                   yo = yo + increment(f, to, yo, tau)                   to = to + tau                   t.append(to)                   y.append(yo)                   return array(t), array(y) def f(t, y):          global theta          f = zeros([4])          f[0] = 1          f[1] = -y [1]-y[2] +theta* sin(y[0])          f[2] = -y[2]+y[3]          f[3] = -y[2]          return f # \u0420\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u041d\u0415\u041e\u0414\u041d\u041e\u0420\u041e\u0414\u041d\u041e\u0419 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b -- theta = 1 theta = 1.0 yo =initial_state_0 t, y = rungeKutta(f, to, yo, tEnd, tau) y2=[i[2] for i in y] y3=[i[3] for i in y] # \u0418\u0437\u0432\u043b\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u0435\u043c\u044b\u0445 \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439  # Y20 = Y2(b), Y30 = Y3(b) Y20 = y2[N-1] Y30 = y3[N-1] # \u0420\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u041e\u0414\u041d\u041e\u0420\u041e\u0414\u041d\u041e\u0419 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b -- theta = 0, \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 I theta = 0.0 yo= initial_state_I t, y = rungeKutta(f, to, yo, tEnd, tau) y2=[i[2] for i in y] y3=[i[3] for i in y] # \u0418\u0437\u0432\u043b\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u0435\u043c\u044b\u0445 \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439  # Y21= Y2(b), Y31 = Y3(b) Y21= y2[N-1] Y31 = y3[N-1] # \u0420\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u041e\u0414\u041d\u041e\u0420\u041e\u0414\u041d\u041e\u0419 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b -- theta = 0, \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 II theta = 0.0 yo =initial_state_II t, y = rungeKutta(f, to, yo, tEnd, tau) y2=[i[2] for i in y] y3=[i[3] for i in y] # \u0418\u0437\u0432\u043b\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u0435\u043c\u044b\u0445 \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439  # Y211= Y2(b), Y311 = Y3(b) Y211= y2[N-1] Y311 = y3[N-1] # \u0424\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u0445 # \u0410\u041b\u0413\u0415\u0411\u0420\u0410\u0418\u0427\u0415\u0421\u041a\u0418\u0425 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0434\u043b\u044f \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043d\u0438\u044f p2, p3 b1 = c2 - Y20 b2 = c3 - Y30 A = array([[Y21, Y211], [Y31, Y311]]) bb = array([[b1], [b2]])  # \u0420\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b p2, p3 = linalg.solve(A, bb) # \u041e\u043a\u043e\u043d\u0447\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0430\u0435\u0432\u043e\u0439 # \u041d\u0415\u041e\u0414\u041d\u041e\u0420\u041e\u0414\u041d\u041e\u0419 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438, theta = 1 theta = 1.0 yo = array([a, c1, p2, p3]) t, y = rungeKutta(f, to, yo, tEnd, tau) y0=[i[0] for i in y] y1=[i[1] for i in y] y2=[i[2] for i in y] y3=[i[3] for i in y] # \u041f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u043a\u0430 print('y0[0]=', y0[0]) print('y1[0]=', y1[0]) print('y2[0]=', y2[0]) print('y3[0]=', y3[0]) print('y0[N-1]=', y0[N-1]) print('y1[N-1]=', y1[N-1]) print('y2[N-1]=', y2[N-1]) print('y3[N-1]=', y3[N-1]) j = N xx = y0[:j] yy1 = y1[:j] yy2 = y2[:j] yy3 = y3[:j] stop = time.time() print (\"\u0412\u0440\u0435\u043c\u044f \u043d\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443: %f\"%(stop-start)) plt.subplot(2, 1, 1) plt.plot([a], [c1], 'ro') plt.plot([b], [c2], 'go') plt.plot([b], [c3], 'bo') plt.plot(xx, yy1, color='r') #\u041f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430 plt.plot(xx, yy2, color='g') #\u041f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430 plt.plot(xx, yy3, color='b') #\u041f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430 plt.xlabel(r'$x$') #\u041c\u0435\u0442\u043a\u0430 \u043f\u043e \u043e\u0441\u0438 x \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0442\u0435 TeX plt.ylabel(r'$y_k(x)$') #\u041c\u0435\u0442\u043a\u0430 \u043f\u043e \u043e\u0441\u0438 y \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0442\u0435 TeX plt.title(r'\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u043f\u0440\u0438\u0441\u0442\u0440\u0435\u043b\u043a\u0438 ', color='blue') plt.grid(True) #\u0421\u0435\u0442\u043a\u0430 patch_y1 = mpatches.Patch(color='red',                           label='$y_1$') patch_y2 = mpatches.Patch(color='green',                           label='$y_2$') patch_y3 = mpatches.Patch(color='blue',                            label='$y_3$') plt.legend(handles=[patch_y1, patch_y2, patch_y3]) ymin, ymax = plt.ylim() xmin, xmax = plt.xlim() plt.subplot(2, 1, 2) font = {'family': 'serif',         'color': 'blue',         'weight': 'normal',         'size': 12,         } plt.text(0.2, 0.8, r'$\\frac{dy_1}{dx}= - y_1 - y_2 + \\sin(x),$',          fontdict=font) plt.text(0.2, 0.6,r'$\\frac{dy_2}{dx}= - y_1 + y_3,$',          fontdict=font) plt.text(0.2, 0.4, r'$\\frac{dy_3}{dx}= - y_2 - y_2,$',          fontdict=font) plt.text(0.2, 0.2, r'$y_1(a)=c_1, '          r'\\quad y_2(b)=c_2, \\quad y_3(b)=c_3.$',          fontdict=font) plt.subplots_adjust(left=0.15) plt.show() <\/code><\/pre>\n
  <\/div>\n<\/div>\n
  \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c:<\/p>\n
  y0[0]= 0.0
  y1[0]= 1.0
  y2[0]= 0.7156448588231397
  y3[0]= 1.324566562303714
  y0[N-1]= 0.9900000000000007
  y1[N-1]= 0.1747719838716767
  y2[N-1]= 0.8
  y3[N-1]= 0.5000000000000001
  \u0412\u0440\u0435\u043c\u044f \u043d\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443: 0.070878<\/p>\n
  <\/p>\n
\u0412\u044b\u0432\u043e\u0434<\/h3>\n
  \u0420\u0430\u0437\u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u043d\u043d\u0430\u044f \u043c\u043d\u043e\u044e \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0430 \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0442 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432 [3] \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435\u0439 \u043f\u043e\u0433\u0440\u0435\u0448\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e, \u0447\u0442\u043e \u043f\u043e\u0434\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0432 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0435 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438 \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 odeint \u0441 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u043c \u043d\u0430 Python \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435\u2014\u041a\u0443\u0442\u0442\u0430\u2014\u0424\u0435\u043b\u044c\u0431\u0435\u0440\u0433\u0430.<\/p>\n
  \u0421\u0441\u044b\u043b\u043a\u0438:<\/p>\n
  1. \u0427\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0435\u0439 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u043e\u0432, \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0430\u043c\u0438 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439.<\/a><\/p>\n
  2. \u0412\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u043d\u0430\u0443\u0447\u043d\u044b\u0439 Python.<\/a><\/p>\n
  3. \u041d.\u041c. \u041f\u043e\u043b\u044f\u043a\u043e\u0432\u0430, \u0415.\u0412. \u0428\u0438\u0440\u044f\u0435\u0432\u0430 Python 3. \u0421\u043e\u0437\u0434\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0444\u0435\u0439\u0441\u0430 \u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044f (\u043d\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u043e\u043c \u043f\u0440\u0438\u0441\u0442\u0440\u0435\u043b\u043a\u0438 \u043a\u0440\u0430\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0434\u043b\u044f \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u0445 \u043e\u0431\u044b\u043a\u043d\u043e\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439). \u0420\u043e\u0441\u0442\u043e\u0432-\u043d\u0430-\u0414\u043e\u043d\u0443 2017.<\/p><\/div>\n