{"id":291023,"date":"2018-10-19T09:15:02","date_gmt":"2018-10-19T05:15:02","guid":{"rendered":"http:\/\/savepearlharbor.com\/?p=291023"},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T21:00:00","slug":"","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/savepearlharbor.com\/?p=291023","title":{"rendered":"\u0414\u043e\u0441\u0442\u0443\u043f\u043d\u043e \u043e \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430\u0445 \u0438 \u0438\u0445 \u043f\u0440\u0435\u0438\u043c\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430\u0445"},"content":{"rendered":"\n<div class=\"post__text post__text-html js-mediator-article\">\n<div style=\"text-align:center;\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/webt\/wx\/yq\/yy\/wxyqyyeuvo5us3kwciwntw5uigq.png\"><\/div>\n<p>  <i>\u041e\u0442 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e\u0434\u0447\u0438\u043a\u0430: \u0440\u043e\u0432\u043d\u043e 175 \u043b\u0435\u0442 \u0438 3 \u0434\u043d\u044f \u043d\u0430\u0437\u0430\u0434 \u0431\u044b\u043b\u0438 \u0438\u0437\u043e\u0431\u0440\u0435\u0442\u0435\u043d\u044b \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b. \u0412 \u0447\u0435\u0441\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0443\u0433\u043b\u043e\u0439 \u0434\u0430\u0442\u044b \u044f \u0440\u0435\u0448\u0438\u043b \u043f\u043e\u0434\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c \u043c\u0430\u0442\u0435\u0440\u0438\u0430\u043b, \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u044f\u044e\u0449\u0438\u0439 \u044d\u0442\u0443 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435\u043f\u0446\u0438\u044e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u044b\u043c \u044f\u0437\u044b\u043a\u043e\u043c.<\/i><\/p>\n<p>  \u041a\u043e\u043d\u0446\u0435\u043f\u0446\u0438\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432 \u0431\u044b\u043b\u0430 \u043f\u0440\u0438\u0434\u0443\u043c\u0430\u043d\u0430 \u0438\u0440\u043b\u0430\u043d\u0434\u0441\u043a\u0438\u043c \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u043e\u043c <a href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%93%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%BE%D0%BD,_%D0%A3%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D1%8F%D0%BC_%D0%A0%D0%BE%D1%83%D1%8D%D0%BD\">\u0441\u044d\u0440\u043e\u043c \u0423\u0438\u043b\u044c\u044f\u043c\u043e\u043c \u0420\u043e\u0443\u044d\u043d\u043e\u043c \u0413\u0430\u043c\u0438\u043b\u044c\u0442\u043e\u043d\u043e\u043c<\/a> \u0432 \u043f\u043e\u043d\u0435\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u0438\u043a 16 \u043e\u043a\u0442\u044f\u0431\u0440\u044f 1843 \u0433\u043e\u0434\u0430 \u0432 \u0414\u0443\u0431\u043b\u0438\u043d\u0435, \u0418\u0440\u043b\u0430\u043d\u0434\u0438\u044f. \u0413\u0430\u043c\u0438\u043b\u044c\u0442\u043e\u043d \u0441\u043e \u0441\u0432\u043e\u0435\u0439 \u0436\u0435\u043d\u043e\u0439 \u0448\u0451\u043b \u0432 <a href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%98%D1%80%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B0%D0%BA%D0%B0%D0%B4%D0%B5%D0%BC%D0%B8%D1%8F\">\u0418\u0440\u043b\u0430\u043d\u0434\u0441\u043a\u0443\u044e \u043a\u043e\u0440\u043e\u043b\u0435\u0432\u0441\u043a\u0443\u044e \u0430\u043a\u0430\u0434\u0435\u043c\u0438\u044e<\/a>, \u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u044f \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 <a href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Royal_Canal\">\u041a\u043e\u0440\u043e\u043b\u0435\u0432\u0441\u043a\u0438\u0439 \u043a\u0430\u043d\u0430\u043b<\/a> \u043f\u043e <a href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Broom_Bridge\">\u043c\u043e\u0441\u0442\u0443 \u0411\u0440\u0443\u043c \u0411\u0440\u0438\u0434\u0436<\/a>, \u043e\u043d \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u043b \u043f\u043e\u0442\u0440\u044f\u0441\u0430\u044e\u0449\u0435\u0435 \u043e\u0442\u043a\u0440\u044b\u0442\u0438\u0435, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u0436\u0435 \u043d\u0430\u0446\u0430\u0440\u0430\u043f\u0430\u043b \u043d\u0430 \u043a\u0430\u043c\u043d\u0435 \u043c\u043e\u0441\u0442\u0430.<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4a0\/acf\/d6a\/4a0acfd6aa55d01ea42178dc8d8de00c.svg\" alt=\"$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<div style=\"text-align:center;\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/post_images\/b34\/87a\/8a4\/b3487a8a4aa6f5926a9232b84ba317b1.jpg\"><\/div>\n<p>  <i>\u041f\u0430\u043c\u044f\u0442\u043d\u0430\u044f \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0447\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u043c\u043e\u0441\u0442\u0443 \u0411\u0440\u0443\u043c \u0411\u0440\u0438\u0434\u0436 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u041a\u043e\u0440\u043e\u043b\u0435\u0432\u0441\u043a\u0438\u0439 \u043a\u0430\u043d\u0430\u043b \u0432 \u0447\u0435\u0441\u0442\u044c \u043e\u0442\u043a\u0440\u044b\u0442\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u0434\u0430\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432.<\/i><\/p>\n<p>  \u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u0430\u0440\u0430\u044e\u0441\u044c \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u0438\u0442\u044c \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435\u043f\u0446\u0438\u044e \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u044b\u043c \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u044f \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c. \u042f \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u044e, \u043a\u0430\u043a \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u0438\u0437\u0443\u0430\u043b\u0438\u0437\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d, \u0430 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043a\u0430\u0436\u0443 \u043e \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f\u0445, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0442\u044c \u0441 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430\u043c\u0438. \u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u044f \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u044e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446, \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430 \u0438 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432, \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u043f\u043e\u043f\u044b\u0442\u0430\u044e\u0441\u044c \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u0438\u0442\u044c, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430 \u0438\u043b\u0438 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446, \u0430 \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e.<br \/>  <a name=\"habracut\"><\/a>  <\/p>\n<h2>\u0421\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u043d\u0438\u0435<\/h2>\n<p>  <\/p>\n<ul>\n<li>1. \u0412\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435<\/li>\n<li>2. \u041a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\n<ul>\n<li>2.1. \u0421\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b<\/li>\n<li>2.2. \u0423\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043d\u0430 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435<\/li>\n<li>2.3. \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b<\/li>\n<li>2.4. \u041a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b<\/li>\n<li>2.5. \u0421\u043e\u043f\u0440\u044f\u0436\u0451\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430<\/li>\n<li>2.6. \u0410\u0431\u0441\u043e\u043b\u044e\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430<\/li>\n<li>2.7. \u0427\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>3. \u0421\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/bf8\/3b5\/32c\/bf83b532cd867d34004f8eded8c5c79a.svg\" alt=\"$i$\" data-tex=\"inline\"><\/math><\/li>\n<li>4. \u041a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u0430\u044f \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u044c<br \/> \n<ul>\n<li>4.1. \u0420\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>5. \u041a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b\n<ul>\n<li>5.1. \u041a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b \u043a\u0430\u043a \u0443\u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u0447\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043f\u0430\u0440\u0430<\/li>\n<li>5.2. \u0421\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432<\/li>\n<li>5.3. \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432<\/li>\n<li>5.4. \u0412\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d<\/li>\n<li>5.5. \u0423\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430 \u043d\u0430 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0443\u044e \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u0443<\/li>\n<li>5.6. \u0427\u0438\u0441\u0442\u044b\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b<\/li>\n<li>5.7. \u0410\u0434\u0434\u0438\u0442\u0438\u0432\u043d\u0430\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430<\/li>\n<li>5.8. \u0415\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d<\/li>\n<li>5.9. \u0411\u0438\u043d\u0430\u0440\u043d\u0430\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430<\/li>\n<li>5.10. \u0421\u043e\u043f\u0440\u044f\u0436\u0451\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b<\/li>\n<li>5.11. \u041d\u043e\u0440\u043c\u0430 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430<\/li>\n<li>5.12. \u041d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430<\/li>\n<li>5.13. \u041e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d<\/li>\n<li>5.14. \u0421\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>6. \u041f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u044b<\/li>\n<li>7. \u0418\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u044f\u0446\u0438\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432<br \/> \n<ul>\n<li>7.1. SLERP<br \/> \n<ul>\n<li>7.1.1. \u0420\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432<\/li>\n<li>7.1.2. \u0412\u043e\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430 \u0432 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c<\/li>\n<li>7.1.3. \u0414\u0440\u043e\u0431\u043d\u0430\u044f \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432<\/li>\n<li>7.1.4. \u0424\u0430\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>7.2. SQUAD<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<li>8. \u0417\u0430\u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435<\/li>\n<li>9. \u0417\u0430\u0433\u0440\u0443\u0437\u043a\u0430 \u0434\u0435\u043c\u043e<\/li>\n<li>10. \u0421\u043f\u0440\u0430\u0432\u043e\u0447\u043d\u044b\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0435\u0440\u0438\u0430\u043b\u044b<\/li>\n<\/ul>\n<p>  <\/p>\n<blockquote><p>\u041d\u0435\u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b \u0437\u0430 45 \u043c\u0438\u043d\u0443\u0442.<\/p>\n<p>  \u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0447\u0440\u0435\u0437\u0432\u044b\u0447\u0430\u0439\u043d\u043e \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0438, \u0442\u0430\u043a \u0447\u0442\u043e \u043e\u043d\u0430 \u043d\u0435 \u0434\u043b\u044f \u0441\u043b\u0430\u0431\u0430\u043a\u043e\u0432.<\/p><\/blockquote>\n<p>  <\/p>\n<h1>\u0412\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435<\/h1>\n<p>  \u0412 \u043a\u043e\u043c\u043f\u044c\u044e\u0442\u0435\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0435 \u0434\u043b\u044f \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u0437\u0438\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435 (\u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f), \u0430 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043e\u0440\u0438\u0435\u043d\u0442\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435 (\u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430) \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b. \u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043e\u0434\u043d\u0443 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0439 \u0434\u043b\u044f \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f \u043c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431\u0430 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u0430. \u042d\u0442\u0443 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c \u00ab\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e\u043c \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u0430\u00bb. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0438\u043b\u0438 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 (\u0438\u043b\u0438 \u0434\u0430\u0436\u0435 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0443\u044e \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443) \u043d\u0430 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0439, \u0442\u043e \u043c\u044b \u00ab\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u043c\u00bb \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u0438\u043b\u0438 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e, \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0435\u0439.<\/p>\n<p>  \u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u044f \u043d\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0443 \u0432 \u043f\u043e\u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u043e\u0441\u0442\u044f\u0445 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u043e \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0445 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0439. \u041f\u043e\u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u043e \u043e \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0445 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0439 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c \u0432 \u043c\u043e\u0435\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 <a href=\"https:\/\/www.3dgep.com\/?p=259\">Matrices<\/a>.<\/p>\n<p>  \u0412 \u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u044f \u0445\u043e\u0447\u0443 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c \u043e\u0431 \u0430\u043b\u044c\u0442\u0435\u0440\u043d\u0430\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u043c \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u0435 \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f \u043e\u0440\u0438\u0435\u043d\u0442\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u0430 (\u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430) \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435 \u043f\u0440\u0438 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u0438 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432.<\/p>\n<h1>\u041a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430<\/h1>\n<p>  \u0414\u043b\u044f \u0442\u043e\u0433\u043e, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b, \u043d\u0430\u043c \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c, \u043e\u0442\u043a\u0443\u0434\u0430 \u043e\u043d\u0438 \u0432\u0437\u044f\u043b\u0438\u0441\u044c. \u041f\u0440\u0438\u043d\u0446\u0438\u043f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430\u043d \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435\u043f\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b.<\/p>\n<p>  \u041d\u0430\u0440\u044f\u0434\u0443 \u0441 \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c\u0438 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b (<a href=\"http:\/\/mathworld.wolfram.com\/NaturalNumber.html\" title=\"Natural Number\">\u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c<\/a>, <a href=\"http:\/\/mathworld.wolfram.com\/Integer.html\" title=\"Integers\">\u0446\u0435\u043b\u044b\u043c<\/a>, <a href=\"http:\/\/mathworld.wolfram.com\/RealNumber.html\" title=\"Real Numbers\">\u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c<\/a> \u0438 <a href=\"http:\/\/mathworld.wolfram.com\/RationalNumber.html\" title=\"Rational Numbers\">\u0440\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c<\/a>), \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0430 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043d\u043e\u0432\u043e\u0435 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b, \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c\u044b\u0445 \u043c\u043d\u0438\u043c\u044b\u043c\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c\u0438. \u041c\u043d\u0438\u043c\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u0431\u044b\u043b\u0438 \u043f\u0440\u0438\u0434\u0443\u043c\u0430\u043d\u044b \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0451\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439, \u043d\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0432\u0448\u0438\u0445 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0439, \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a4d\/301\/9e7\/a4d3019e7b72b534613ba405d41fd225.svg\" alt=\"$x^2+1=0$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u0440\u0435\u0448\u0438\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u044f\u0432\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/227\/4b5\/ea4\/2274b5ea47b2f7464ea09e895ab8e1ea.svg\" alt=\"$x^2=-1$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0430 \u044d\u0442\u043e, \u043a\u0430\u043a \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e, \u043d\u0435\u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 (\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043b\u0438 \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e) \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435\u043d.<\/p>\n<p>  \u041c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0438 \u043d\u0435 \u043c\u043e\u0433\u043b\u0438 \u0441\u043c\u0438\u0440\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u0441 \u0442\u0435\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0431\u044b\u043b\u043e \u0438\u0437\u043e\u0431\u0440\u0435\u0442\u0435\u043d\u043e \u043d\u043e\u0432\u043e\u0435 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u0435 \u2014 <a href=\"http:\/\/mathworld.wolfram.com\/ImaginaryNumber.html\" title=\"Imaginary Number\">\u043c\u043d\u0438\u043c\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e<\/a>, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439.<\/p>\n<p>  \u041c\u043d\u0438\u043c\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/eed\/4c4\/b59\/eed4c4b59fd1c543b2877980f1165b3d.svg\" alt=\"$i^2=-1$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u041d\u0435 \u043f\u044b\u0442\u0430\u0439\u0442\u0435\u0441\u044c \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e \u0434\u043e\u043f\u0443\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0438\u0447\u0438\u043d \u0435\u0433\u043e \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043d\u0435\u0442. \u041d\u0430\u043c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u043d\u044f\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/bf8\/3b5\/32c\/bf83b532cd867d34004f8eded8c5c79a.svg\" alt=\"$i$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043d\u0435\u043a\u0430\u044f \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u0430, \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d06\/719\/edc\/d06719edc69908e7467f7e6189302b74.svg\" alt=\"$-1$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<\/p>\n<p>  \u041c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u043c\u043d\u0438\u043c\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2ce\/505\/258\/2ce505258cf947b492aced95ad7a54df.svg\" alt=\"$\\mathbb{I}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<\/p>\n<p>  \u041c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b (\u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u043c\u043e\u0435 \u0441\u0438\u043c\u0432\u043e\u043b\u043e\u043c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d61\/ace\/f38\/d61acef3809b3c34b17961e106248795.svg\" alt=\"$\\mathbb{C}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0441\u0443\u043c\u043c\u0430 \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438 \u043c\u043d\u0438\u043c\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u0432 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0435:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9f5\/71b\/0b3\/9f571b0b3ada652122d519e3809c9e9f.svg\" alt=\"$z=a+bi~~a,b\\in\\mathbb{R},~~i^2=-1$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u041c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0437\u0430\u044f\u0432\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0432\u0441\u0435 \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0441 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8ec\/4ca\/ae8\/8ec4caae8d46f38657f9872e9c416c61.svg\" alt=\"$b=0$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0430 \u0432\u0441\u0435 \u043c\u043d\u0438\u043c\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0441 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/013\/738\/513\/01373851384108fcef30b04dae7f96f3.svg\" alt=\"$a=0$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<\/p>\n<h2>\u0421\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b<\/h2>\n<p>  \u041a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u043c\u043d\u0438\u043c\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439.<\/p>\n<p>  \u0421\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/201\/740\/b7c\/201740b7ccbb97fa0b506e844c12344c.svg\" alt=\"$(a_1+b_1i)+(a_2+b_2i)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0412\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d\u0438\u0435:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1f0\/1e9\/1e5\/1f01e91e5a57d9214d7e968944f5ec3b.svg\" alt=\"$(a_1+b_1i)-(a_2+b_2i)=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h2>\u0423\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043d\u0430 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435<\/h2>\n<p>  \u041a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0433\u043e \u0447\u043b\u0435\u043d\u0430 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043d\u0430 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0c9\/90c\/93b\/0c990c93ba167986b3768893ffc3138a.svg\" alt=\"$\\lambda(a+bi)=\\lambda{a}+\\lambda{b}i$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b<\/h2>\n<p>  \u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0442\u044c, \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044f \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430.<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4a9\/e1d\/8d9\/4a9e1d8d97f3e6fc2b092277898c6c95.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}z_1 &amp; = &amp; (a_1+b_1i) \\\\ z_2 &amp; = &amp; (a_2+b_2i) \\\\ z_1z_2 &amp; = &amp; (a_1+b_1i)(a_2+b_2i) \\\\ &amp; = &amp; a_1a_2+a_1b_2i+b_1a_2i+b_1b_2i^2 \\\\ &amp; = &amp; (a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)i\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h2>\u041a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b<\/h2>\n<p>  \u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u043e\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0432 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0432 \u043d\u0430 \u0441\u0430\u043c\u043e \u0441\u0435\u0431\u044f:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d23\/faa\/022\/d23faa022d574c2dc4ac3b01bcbf7d42.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}z &amp; = &amp; (a+bi) \\\\ z^2 &amp; = &amp; (a+bi)(a+bi) \\\\ &amp; = &amp; (a^2-b^2)+2abi\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h2>\u0421\u043e\u043f\u0440\u044f\u0436\u0451\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430<\/h2>\n<p>  <strong>\u0421\u043e\u043f\u0440\u044f\u0436\u0451\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u043e\u0439<\/strong> \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u0441 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0451\u043d\u043d\u044b\u043c \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c \u043c\u043d\u0438\u043c\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438, \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u043c\u043e\u0439 \u043a\u0430\u043a <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/818\/ea6\/966\/818ea696633a22559acfce02b254ccbf.svg\" alt=\"$\\bar{z}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438\u043b\u0438 \u043a\u0430\u043a <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/747\/659\/467\/747659467bff34fa7eecce44c8d8b5ff.svg\" alt=\"$z^*$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/228\/91c\/b02\/22891cb02c450c4a09614d1237d55f8c.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}z &amp; = &amp; (a+bi) \\\\ z^* &amp; = &amp; (a-bi)\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u041f\u0435\u0440\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u0441 \u0435\u0433\u043e \u0441\u043e\u043f\u0440\u044f\u0436\u0451\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u043e\u0439 \u0434\u0430\u0451\u0442 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442.<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b16\/9e7\/937\/b169e7937aa2deb94385a8ec1c601306.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}z &amp; = &amp; (a+bi) \\\\ z^* &amp; = &amp; (a-bi) \\\\ zz^* &amp; = &amp; (a+bi)(a-bi) \\\\ &amp; = &amp; a^2-abi+abi+b^2 \\\\ &amp; = &amp; a^2+b^2\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h2>\u0410\u0431\u0441\u043e\u043b\u044e\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430<\/h2>\n<p>  \u041c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c <strong>\u0441\u043e\u043f\u0440\u044f\u0436\u0451\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e<\/strong> \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u0430\u0431\u0441\u043e\u043b\u044e\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 (\u0438\u043b\u0438 <strong>\u043d\u043e\u0440\u043c\u0443<\/strong>, \u0438\u043b\u0438 <strong>\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u0443<\/strong>) \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430. \u0410\u0431\u0441\u043e\u043b\u044e\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c \u0438\u0437 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u043d\u0430 \u0435\u0433\u043e <strong>\u0441\u043e\u043f\u0440\u044f\u0436\u0451\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e<\/strong>. \u041e\u043d\u043e \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/109\/1c8\/6d3\/1091c86d331bdf3869bf1b55344012a9.svg\" alt=\"$|z|$\" data-tex=\"inline\"><\/math>:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/51f\/c55\/955\/51fc55955740b32844b89f2b35553146.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}z &amp; = &amp; (a+bi) \\\\ |z| &amp; = &amp; \\sqrt{zz^*} \\\\ &amp; = &amp; \\sqrt{(a+bi)(a-bi)} \\\\ &amp; = &amp; \\sqrt{a^2+b^2}\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h2>\u0427\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b<\/h2>\n<p>  \u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b, \u043c\u044b \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0435\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0438 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u043d\u0430 \u0441\u043e\u043f\u0440\u044f\u0436\u0451\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044f.<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a86\/da4\/df0\/a86da4df049e83084ac3f54e1a42c680.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}z_1 &amp; = &amp; (a_1+b_1i) \\\\ z_2 &amp; = &amp; (a_2+b_2i) \\\\ \\cfrac{z_1}{z_2} &amp; = &amp; \\cfrac{a_1+b_1i}{a_2+b_2i} \\\\ &amp; = &amp; \\cfrac{(a_1+b_1i)(a_2-b_2i)}{(a_2+b_2i)(a_2-b_2i)} \\\\ &amp; = &amp; \\cfrac{a_1a_2-a_1b_2i+b_1a_2i-b_1b_2i^2}{a_2^2+b_2^2} \\\\ &amp; = &amp; \\cfrac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2}+\\cfrac{b_1a_2-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2}i \\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h1>\u0421\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/bf8\/3b5\/32c\/bf83b532cd867d34004f8eded8c5c79a.svg\" alt=\"$i$\" data-tex=\"inline\"><\/math><\/h1>\n<p>  \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043c\u044b \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0430\u0435\u043c, \u0447\u0442\u043e <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/eed\/4c4\/b59\/eed4c4b59fd1c543b2877980f1165b3d.svg\" alt=\"$i^2=-1$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0442\u043e \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u0430 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0432\u043e\u0437\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/bf8\/3b5\/32c\/bf83b532cd867d34004f8eded8c5c79a.svg\" alt=\"$i$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 \u0432 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0435 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438.<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/286\/23c\/2c2\/28623c2c2987b9a267d3045e9469408b.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rrrrrrr}i^0 &amp; = &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; 1 \\\\ i^1 &amp; = &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; i \\\\ i^2 &amp; = &amp; &amp; &amp; &amp; &amp; -1 \\\\ i^3 &amp; = &amp; ii^2 &amp; = &amp; &amp; &amp; -i \\\\ i^4 &amp; = &amp; i^{2}i^{2} &amp; = &amp; &amp; &amp; 1 \\\\ i^5 &amp; = &amp; ii^4 &amp; = &amp; &amp; &amp; i \\\\ i^6 &amp; = &amp; ii^5 &amp; = &amp; i^2 &amp; = &amp; -1\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043c\u044b \u043f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0438\u043c \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0440\u044f\u0434, \u0442\u043e \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u0438\u043c \u0437\u0430\u043a\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/10d\/ee3\/bf7\/10dee3bf7292186b94e051c1d78daaa6.svg\" alt=\"$(1,i,-1,-i,1,\\dots)$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<\/p>\n<p>  \u041f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0430\u044f \u0437\u0430\u043a\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0438 \u0443\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0435\u0439.<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6de\/754\/b1e\/6de754b1e94ada9650f4c7ef8d3c3333.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcr}i^0 &amp; = &amp; 1 \\\\ i^{-1} &amp; = &amp; -i \\\\ i^{-2} &amp; = &amp; -1 \\\\ i^{-3} &amp; = &amp; i \\\\ i^{-4} &amp; = &amp; 1 \\\\ i^{-5} &amp; = &amp; -i \\\\ i^{-6} &amp; = &amp; -1\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0412\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e, \u0432\u044b \u0443\u0436\u0435 \u0432\u0438\u0434\u0435\u043b\u0438 \u0442\u0430\u043a\u0443\u044e \u0437\u0430\u043a\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0432 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0435, \u043d\u043e \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/774\/d10\/e51\/774d10e51318e0843ebae8c817501729.svg\" alt=\"$(x,y,-x,-y,x,\\dots)$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u043e\u043c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 90\u00b0 \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432 \u0447\u0430\u0441\u043e\u0432\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0440\u0435\u043b\u043a\u0438 \u043d\u0430 \u0434\u0432\u0443\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0434\u0435\u043a\u0430\u0440\u0442\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438; \u0440\u044f\u0434 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/36e\/9e9\/566\/36e9e9566c7f9c862aed9370bbbdee7e.svg\" alt=\"$(x,-y,-x,y,x,\\dots)$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0441\u043e\u0437\u0434\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u043e\u043c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 90\u00b0 \u0433\u0440\u0430\u0434\u0443\u0441\u043e\u0432 \u043d\u0430 \u0434\u0432\u0443\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0434\u0435\u043a\u0430\u0440\u0442\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/post_images\/7ee\/016\/265\/7ee016265905a34e6e27021c7a419105.png\"><\/div>\n<p>  <i>\u0414\u0435\u043a\u0430\u0440\u0442\u043e\u0432\u0430 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u044c<\/i><\/p>\n<h1>\u041a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u0430\u044f \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u044c<\/h1>\n<p>  \u041c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u044b\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c \u043d\u0430\u043d\u0435\u0441\u0442\u0438 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043d\u0430 \u0434\u0432\u0443\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u0443\u044e \u0441\u0435\u0442\u043a\u0443, \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c\u0443\u044e <strong><a href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9A%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%81%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D1%81%D0%BA%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C\">\u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e<\/a><\/strong>, \u043f\u0440\u0438\u0432\u044f\u0437\u0430\u0432 <strong>\u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e<\/strong> \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043a \u0433\u043e\u0440\u0438\u0437\u043e\u043d\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043e\u0441\u0438, \u0430 <strong>\u043c\u043d\u0438\u043c\u0443\u044e<\/strong> \u2014 \u043a \u0432\u0435\u0440\u0442\u0438\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/post_images\/e20\/914\/be6\/e20914be6313213d1dd6bd05ca10c7c4.png\"><\/div>\n<p>  <i>\u041a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u0430\u044f \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u044c<\/i><\/p>\n<p>  \u041a\u0430\u043a \u0432\u0438\u0434\u043d\u043e \u0438\u0437 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0435\u0433\u043e \u0440\u044f\u0434\u0430, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u043c \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043d\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/bf8\/3b5\/32c\/bf83b532cd867d34004f8eded8c5c79a.svg\" alt=\"$i$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0442\u043e \u0441\u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u0430\u0447\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0441 \u0448\u0430\u0433\u043e\u043c \u0432 90\u00b0.<\/p>\n<p>  \u0414\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u043c, \u0432\u0435\u0440\u043d\u043e \u043b\u0438 \u044d\u0442\u043e. \u041c\u044b \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0451\u043c \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/839\/f25\/c27\/839f25c2746382debd4f08ea25ad5ecf.svg\" alt=\"$p$\" data-tex=\"inline\"><\/math>:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0bd\/e24\/d78\/0bde24d78c9bb5d84602f903ab8228fd.svg\" alt=\"$p=2+i$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0438 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u043c \u0435\u0451 \u043d\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/bf8\/3b5\/32c\/bf83b532cd867d34004f8eded8c5c79a.svg\" alt=\"$i$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0432 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d68\/cc4\/926\/d68cc4926bf74bae8fa3b51ca4a09ec8.svg\" alt=\"$q$\" data-tex=\"inline\"><\/math>:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/35e\/b50\/4d6\/35eb504d628238d6b9b0fe8b5d5239b5.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}p &amp; = &amp; 2+i \\\\ q &amp; = &amp; pi \\\\ &amp; = &amp; (2+i)i \\\\ &amp; = &amp; 2i+i^2 \\\\ &amp; = &amp; -1+2i\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0423\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0432 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d68\/cc4\/926\/d68cc4926bf74bae8fa3b51ca4a09ec8.svg\" alt=\"$q$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043d\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/bf8\/3b5\/32c\/bf83b532cd867d34004f8eded8c5c79a.svg\" alt=\"$i$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/066\/939\/a33\/066939a33475dd671b845469b6526972.svg\" alt=\"$r$\" data-tex=\"inline\"><\/math>:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/fa5\/842\/3d8\/fa58423d86016a9772f0ae6d62479dfa.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}q &amp; = &amp; -1+2i \\\\ r &amp; = &amp; qi \\\\ &amp; = &amp; (-1+2i)i \\\\ &amp; = &amp; -i+2i^2 \\\\ &amp; = &amp; -2-i\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0410 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0432 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/066\/939\/a33\/066939a33475dd671b845469b6526972.svg\" alt=\"$r$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043d\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/bf8\/3b5\/32c\/bf83b532cd867d34004f8eded8c5c79a.svg\" alt=\"$i$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f9d\/da2\/695\/f9dda26950cb67bd3ecef956c5341c14.svg\" alt=\"$s$\" data-tex=\"inline\"><\/math>:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4b5\/b4e\/b80\/4b5b4eb808507fb807394668e6244870.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}r &amp; = &amp; -2-i \\\\ s &amp; = &amp; ri \\\\ &amp; = &amp; (-2-i)i \\\\ &amp; = &amp; -2i-i^2 \\\\ &amp; = &amp; 1-2i\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0410 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0432 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f9d\/da2\/695\/f9dda26950cb67bd3ecef956c5341c14.svg\" alt=\"$s$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043d\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/bf8\/3b5\/32c\/bf83b532cd867d34004f8eded8c5c79a.svg\" alt=\"$i$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9b0\/012\/4e4\/9b00124e411362185d05b841bc32695f.svg\" alt=\"$t$\" data-tex=\"inline\"><\/math>:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/842\/378\/1c2\/8423781c221715b893dc9cc1132890ce.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}s &amp; = &amp; 1-2i \\\\ t &amp; = &amp; si \\\\ &amp; = &amp; (1-2i)i \\\\ &amp; = &amp; i-2i^2 \\\\ &amp; = &amp; 2+i\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0418 \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043b\u0438 \u0440\u043e\u0432\u043d\u043e \u0442\u043e, \u0441 \u0447\u0435\u0433\u043e \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u043b\u0438 (<math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/839\/f25\/c27\/839f25c2746382debd4f08ea25ad5ecf.svg\" alt=\"$p$\" data-tex=\"inline\"><\/math>). \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043d\u0430\u043d\u0435\u0441\u0442\u0438 \u044d\u0442\u0438 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u0443\u044e \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0442\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/post_images\/89c\/8a2\/da0\/89c8a2da0a5c3f901a65024022ed2523.png\"><\/div>\n<p>  <i>\u041a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438<\/i><\/p>\n<p>  \u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0442\u044c \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0438 \u043f\u043e \u0447\u0430\u0441\u043e\u0432\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0440\u0435\u043b\u043a\u0435, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u044f \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043d\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/04e\/7ca\/80f\/04e7ca80f3b74922cf1cd1d23e84a9c4.svg\" alt=\"$-i$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<\/p>\n<h2>\u0420\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b<\/h2>\n<p>  \u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0442\u044c \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u044b, \u0437\u0430\u0434\u0430\u0432 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u0432 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/847\/e68\/5a2\/847e685a2b01d7e805fe943e3f325cfe.svg\" alt=\"$q=\\cos\\theta+i\\sin\\theta$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u041f\u0440\u0438 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043d\u0430 \u0440\u043e\u0442\u043e\u0440 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d68\/cc4\/926\/d68cc4926bf74bae8fa3b51ca4a09ec8.svg\" alt=\"$q$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u043e\u0431\u0449\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d0c\/35a\/9cc\/d0c35a9cc99839b97993b1a2bd32f0c8.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl} p &amp; = &amp; a + bi \\\\ q &amp; = &amp; \\cos\\theta+i\\sin\\theta \\\\ pq &amp; = &amp; (a+bi)(\\cos\\theta+i\\sin\\theta) \\\\ a^{\\prime}+b^{\\prime}i &amp; = &amp; a\\cos\\theta-b\\sin\\theta+(a\\sin\\theta+b\\cos\\theta)i \\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0427\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0432 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4d0\/d8c\/696\/4d0d8c696ec0315feb232c9a848b60f7.svg\" alt=\"$\\begin{bmatrix} a^{\\prime} &amp; -b^{\\prime} \\\\ b^{\\prime} &amp; a^{\\prime} \\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix} \\cos\\theta &amp; -\\sin\\theta \\\\ \\sin\\theta &amp; \\cos\\theta \\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}a &amp; -b \\\\b &amp; a \\end{bmatrix}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0427\u0442\u043e \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u043e\u043c \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432 \u0447\u0430\u0441\u043e\u0432\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0440\u0435\u043b\u043a\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442.<\/p>\n<h1>\u041a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b<\/h1>\n<p>  \u0423\u0437\u043d\u0430\u0432 \u043e \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b \u0438 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0432\u044b\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0438\u0445 \u0432 \u0442\u0440\u0451\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e, \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u0438\u0432 \u043a \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0435 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b \u043d\u0430\u0440\u044f\u0434\u0443 \u0441 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/bf8\/3b5\/32c\/bf83b532cd867d34004f8eded8c5c79a.svg\" alt=\"$i$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0435\u0449\u0451 \u0434\u0432\u0430 \u043c\u043d\u0438\u043c\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430.<\/p>\n<p>  \u041a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0451\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0438\u0434<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/912\/854\/4c0\/9128544c0ed7769f60a40e8a94103c42.svg\" alt=\"$q=s+xi+yj+zk~~s,x,y,z\\in\\mathbb{R}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0413\u0434\u0435 \u0432 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0438\u0438 \u0441\u043e \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044b\u043c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0413\u0430\u043c\u0438\u043b\u044c\u0442\u043e\u043d\u0430:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4a0\/acf\/d6a\/4a0acfd6aa55d01ea42178dc8d8de00c.svg\" alt=\"$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e20\/189\/9e0\/e201899e0f79ef38f9dd25e96ed4b856.svg\" alt=\"$\\begin{array}{ccc}ij=k &amp; jk=i &amp; ki=j \\\\ ji=-k &amp; kj=-i &amp; ik=-j\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u041c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/bf8\/3b5\/32c\/bf83b532cd867d34004f8eded8c5c79a.svg\" alt=\"$i$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b82\/8e2\/475\/b828e2475a3a56280b895f35eb250ea2.svg\" alt=\"$j$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/16d\/a50\/7b2\/16da507b2fc389688ef0659939dcc647.svg\" alt=\"$k$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0438 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0434\u0435\u043a\u0430\u0440\u0442\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/52f\/921\/619\/52f921619a456448f273be3082519ce0.svg\" alt=\"$\\begin{array}{ccc}\\mathbf{x}\\times \\mathbf{y}=\\mathbf{z} &amp; \\mathbf{y}\\times \\mathbf{z}=\\mathbf{x} &amp; \\mathbf{z}\\times \\mathbf{x}=\\mathbf{y} \\\\ \\mathbf{y}\\times \\mathbf{x}=-\\mathbf{z} &amp; \\mathbf{z}\\times \\mathbf{y}=-\\mathbf{x} &amp; \\mathbf{x}\\times \\mathbf{z}=-\\mathbf{y}\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0413\u0430\u043c\u0438\u043b\u044c\u0442\u043e\u043d \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u0438\u043b, \u0447\u0442\u043e \u043c\u043d\u0438\u043c\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/bf8\/3b5\/32c\/bf83b532cd867d34004f8eded8c5c79a.svg\" alt=\"$i$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b82\/8e2\/475\/b828e2475a3a56280b895f35eb250ea2.svg\" alt=\"$j$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/16d\/a50\/7b2\/16da507b2fc389688ef0659939dcc647.svg\" alt=\"$k$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u0440\u0451\u0445 \u0434\u0435\u043a\u0430\u0440\u0442\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6dc\/410\/731\/6dc4107319701bdd02929b73d101c236.svg\" alt=\"$\\mathbf{i}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f78\/b80\/2f0\/f78b802f0a12f13a05268c57e069a32d.svg\" alt=\"$\\mathbf{j}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/31b\/23e\/0f4\/31b23e0f457d7dac461f06806b877986.svg\" alt=\"$\\mathbf{k}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0441 \u0442\u0435\u043c\u0438 \u0436\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c\u0438 \u043c\u043d\u0438\u043c\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b, \u0442\u0430\u043a \u0447\u0442\u043e <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/286\/65f\/0e9\/28665f0e9d1bacd32ad34aca918a72cf.svg\" alt=\"$\\mathbf{i}^2=\\mathbf{j}^2=\\mathbf{k}^2=-1$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/post_images\/e53\/8a2\/e2b\/e538a2e2bdaaeaa1721bba02a0f35708.png\"><\/div>\n<p>  <i>\u0413\u0440\u0430\u0444\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4a2\/6c4\/c99\/4a26c4c99bd023ddccdaf4f5a008846f.svg\" alt=\"$\\mathbf{ij}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/508\/8f5\/1bb\/5088f51bbfe393bb050a1c5af5d89249.svg\" alt=\"$\\mathbf{jk}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/740\/566\/d28\/740566d282edfdaa2e1a0fb93aacbbc8.svg\" alt=\"$\\mathbf{ki}$\" data-tex=\"inline\"><\/math><\/i><\/p>\n<p>  \u041d\u0430 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u043c \u0432\u044b\u0448\u0435 \u0438\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u044b \u0432\u0437\u0430\u0438\u043c\u043e\u0441\u0432\u044f\u0437\u0438 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0434\u0435\u043a\u0430\u0440\u0442\u043e\u0432\u044b\u043c\u0438 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438 \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6dc\/410\/731\/6dc4107319701bdd02929b73d101c236.svg\" alt=\"$\\mathbf{i}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f78\/b80\/2f0\/f78b802f0a12f13a05268c57e069a32d.svg\" alt=\"$\\mathbf{j}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/31b\/23e\/0f4\/31b23e0f457d7dac461f06806b877986.svg\" alt=\"$\\mathbf{k}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<\/p>\n<h2>\u041a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b \u043a\u0430\u043a \u0443\u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u0447\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043f\u0430\u0440\u0430<\/h2>\n<p>  \u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u0443\u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043f\u0430\u0440\u044b:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8de\/e73\/b0c\/8dee73b0cbaed8d4611fb0cacd0df483.svg\" alt=\"$q=[s,\\mathbf{v}]~~s\\in\\mathbb{R}, \\mathbf{v}\\in\\mathbb{R}^3$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0413\u0434\u0435 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2c4\/b0b\/1fa\/2c4b0b1facb860c5dd334b06a87de9d0.svg\" alt=\"$\\mathbf{v}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u0435\u0433\u043e \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/735\/367\/f72\/735367f72ec14c36d239c1d05720ddb7.svg\" alt=\"$q=[s,x\\mathbf{i}+y\\mathbf{j}+z\\mathbf{k}]~~s,x,y,z\\in\\mathbb{R}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0421 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0438 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0449\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u043e\u0431\u0449\u0438\u0435 \u0447\u0435\u0440\u0442\u044b \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432 \u0438 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b.<\/p>\n<h2>\u0421\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432<\/h2>\n<p>  \u041a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c \u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/65a\/572\/e4d\/65a572e4d8568e4f83fa74ecbcb85b32.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}q_a &amp; = &amp; [s_a,\\mathbf{a}] \\\\ q_b &amp; = &amp; [s_b,\\mathbf{b}] \\\\ q_a+q_b &amp; = &amp; [s_a+s_b,\\mathbf{a}+\\mathbf{b}] \\\\ q_a-q_b &amp; = &amp; [s_a-s_b,\\mathbf{a}-\\mathbf{b}]\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432<\/h2>\n<p>  \u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/915\/856\/92b\/91585692b7008a761df90c754b49e014.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}q_a &amp; = &amp; [s_a,\\mathbf{a}] \\\\ q_b &amp; = &amp; [s_b,\\mathbf{b}] \\\\ q_{a}q_{b} &amp; = &amp; [s_{a},\\mathbf{a}][s_{b},\\mathbf{b}] \\\\ &amp; = &amp; (s_{a}+x_{a}i+y_{a}j+z_{a}k)(s_{b}+x_{b}i+y_{b}j+z_{b}k) \\\\ &amp; = &amp; (s_{a}s_{b}-x_{a}x_{b}-y_{a}y_{b}-z_{a}z_{b}) \\\\ &amp; &amp; +(s_{a}x_{b}+s_{b}x{a}+y_{a}z_{b}-y_{b}z_{a})i \\\\ &amp; &amp; +(s_{a}y_{b}+s_{b}y_{a}+z_{a}x_{b}-z_{b}x_{a})j \\\\ &amp; &amp; +(s_{a}z_{b}+s_{b}z_{a}+x_{a}y_{b}-x_{b}y_{a})k\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0427\u0442\u043e \u0434\u0430\u0451\u0442 \u043d\u0430\u043c \u0435\u0449\u0451 \u043e\u0434\u0438\u043d \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043c\u044b \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u0432 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0435\u043c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043c\u043d\u0438\u043c\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/bf8\/3b5\/32c\/bf83b532cd867d34004f8eded8c5c79a.svg\" alt=\"$i$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b82\/8e2\/475\/b828e2475a3a56280b895f35eb250ea2.svg\" alt=\"$j$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/16d\/a50\/7b2\/16da507b2fc389688ef0659939dcc647.svg\" alt=\"$k$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0443\u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0438 (\u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043a\u0430\u043a \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u044b), \u0442\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9eb\/542\/bd3\/9eb542bd3c0db6bf17dc190b221d5785.svg\" alt=\"$i=[0,\\mathbf{i}]~j=[0,\\mathbf{j}]~k=[0,\\mathbf{k}]$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0410 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0432 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e \u0432 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/94b\/813\/0be\/94b8130befb70523a8a5d4131ae9ec55.svg\" alt=\"$[1,\\mathbf{0}]=1$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1b2\/193\/839\/1b2193839e69facc6163d32c4c8ade3c.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}[s_{a},\\mathbf{a}][s_{b},\\mathbf{b}] &amp; = &amp; (s_{a}s_{b}-x_{a}x_{b}-y_{a}y_{b}-z_{a}z_{b})[1,\\mathbf{0}] \\\\ &amp; &amp; +(s_{a}x_{b}+s_{b}x{a}+y_{a}z_{b}-y_{b}z_{a})[0,\\mathbf{i}] \\\\ &amp; &amp; +(s_{a}y_{b}+s_{b}y_{a}+z_{a}x_{b}-z_{b}x_{a})[0,\\mathbf{j}] \\\\ &amp; &amp; +(s_{a}z_{b}+s_{b}z_{a}+x_{a}y_{b}-x_{b}y_{a})[0,\\mathbf{k}]\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0420\u0430\u0437\u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u0432 \u044d\u0442\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0441\u0443\u043c\u043c\u0443 \u0443\u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0430\u0440, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/29a\/8ad\/c0c\/29a8adc0cc95b3d208b53bc470b6e24a.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}[s_{a},\\mathbf{a}][s_{b},\\mathbf{b}] &amp; = &amp; [s_{a}s_{b}-x_{a}x_{b}-y_{a}y_{b}-z_{a}z_{b},\\mathbf{0}] \\\\ &amp; &amp; +[0,(s_{a}x_{b}+s_{b}x{a}+y_{a}z_{b}-y_{b}z_{a})\\mathbf{i}] \\\\ &amp; &amp; +[0,(s_{a}y_{b}+s_{b}y_{a}+z_{a}x_{b}-z_{b}x_{a})\\mathbf{j}] \\\\ &amp; &amp; +[0,(s_{a}z_{b}+s_{b}z_{a}+x_{a}y_{b}-x_{b}y_{a})\\mathbf{k}]\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043d\u0443\u044e \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0443 \u0438 \u0438\u0437\u0432\u043b\u0435\u0447\u044c \u043e\u0431\u0449\u0438\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b, \u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a70\/33f\/fb6\/a7033ffb64945da7ae315e5a86ca268a.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}[s_{a},\\mathbf{a}][s_{b},\\mathbf{b}] &amp; = &amp; [s_{a}s_{b}-x_{a}x_{b}-y_{a}y_{b}-z_{a}z_{b},\\mathbf{0}] \\\\ &amp; &amp; +[0,s_{a}(x_{b}\\mathbf{i}+y_{b}\\mathbf{j}+z_{b}\\mathbf{k})+s_{b}(x_{a}\\mathbf{i}+y_{a}\\mathbf{j}+z_{a}\\mathbf{k}) \\\\ &amp; &amp; +(y_{a}z_{b}-y_{b}z_{a})\\mathbf{i}+(z_{a}x_{b}-z_{b}x_{a})\\mathbf{j}+(x_{a}y_{b}-x_{b}y_{a})\\mathbf{k}]\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u042d\u0442\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0430\u0451\u0442 \u043d\u0430\u043c \u0441\u0443\u043c\u043c\u0443 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0443\u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0430\u0440. \u041f\u0435\u0440\u0432\u0430\u044f \u0443\u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u0447\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043f\u0430\u0440\u0430 \u2014 \u044d\u0442\u043e <strong>\u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d<\/strong>, \u0430 \u0432\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u2014 <strong>\u0447\u0438\u0441\u0442\u044b\u0439<\/strong> \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d. \u0414\u0432\u0435 \u044d\u0442\u0438\u0445 \u0443\u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0430\u0440\u044b \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043e\u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0442\u044c \u0432 \u043e\u0434\u043d\u0443 \u0443\u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u0447\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u043f\u0430\u0440\u0443:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/61d\/940\/387\/61d94038714d9fe1ec40f1ea9780e5c5.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}[s_{a},\\mathbf{a}][s_{b},\\mathbf{b}] &amp; = &amp; [s_{a}s_{b}-x_{a}x_{b}-y_{a}y_{b}-z_{a}z_{b}, \\\\ &amp; &amp; s_{a}(x_{b}\\mathbf{i}+y_{b}\\mathbf{j}+z_{b}\\mathbf{k})+s_{b}(x_{a}\\mathbf{i}+y_{a}\\mathbf{j}+z_{a}\\mathbf{k}) \\\\ &amp; &amp; +(y_{a}z_{b}-y_{b}z_{a})\\mathbf{i}+(z_{a}x_{b}-z_{b}x_{a})\\mathbf{j}+(x_{a}y_{b}-x_{b}y_{a})\\mathbf{k}]\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c, \u0442\u043e \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/764\/74c\/489\/76474c489ad5cfc1d9c25939162bbcec.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}\\mathbf{a} &amp; = &amp; x_{a}\\mathbf{i}+y_{a}\\mathbf{j}+z_{a}\\mathbf{k} \\\\ \\mathbf{b} &amp; = &amp; x_{b}\\mathbf{i}+y_{b}\\mathbf{j}+z_{b}\\mathbf{k} \\\\ \\mathbf{a}\\cdot\\mathbf{b} &amp; = &amp; x_{a}x_{b}+y_{a}y_{b}+z_{a}z_{b} \\\\ \\mathbf{a}\\times\\mathbf{b} &amp; = &amp; (y_{a}z_{b}-y_{b}z_{a})\\mathbf{i}+(z_{a}x_{b}-z_{b}x_{a})\\mathbf{j}+(x_{a}y_{b}-x_{b}y_{a})\\mathbf{k}\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/991\/8b2\/0d7\/9918b20d7df9f5606255a1697fc35fb4.svg\" alt=\"$[s_{a},\\mathbf{a}][s_{b},\\mathbf{b}]=[s_{a}s_{b}-\\mathbf{a}\\cdot\\mathbf{b},s_{a}\\mathbf{b}+s_{b}\\mathbf{a}+\\mathbf{a}\\times\\mathbf{b}]$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u042d\u0442\u043e \u0438 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043e\u0431\u0449\u0435\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432.<\/p>\n<h2>\u0412\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d<\/h2>\n<p>  <strong>\u0412\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439<\/strong> \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0432\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/22d\/721\/490\/22d721490f88eae369ca0ce370455d73.svg\" alt=\"$\\mathbf{0}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/cac\/942\/a46\/cac942a46f1338a1d17118c68d08102b.svg\" alt=\"$q=[s,\\mathbf{0}]$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0410 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0434\u0432\u0443\u0445 <strong>\u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445<\/strong> \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0435\u0449\u0451 \u043e\u0434\u0438\u043d <strong>\u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439<\/strong> \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5c2\/a77\/a90\/5c2a77a90b40f1e21d4a753d9fcceeb9.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}q_a &amp; = &amp; [s_a,\\mathbf{0}] \\\\ q_b &amp; = &amp; [s_b,\\mathbf{0}] \\\\ q_{a}q_{b} &amp; = &amp; [s_a,\\mathbf{0}][s_b,\\mathbf{0}] \\\\ &amp; = &amp; [s_{a}s_{b},\\mathbf{0}]\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0427\u0442\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044e \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b, \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0449\u0438\u0445 \u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u043c\u043d\u0438\u043c\u044b\u0439 \u0447\u043b\u0435\u043d.<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/06b\/bd8\/f97\/06bbd8f97b521f9514697743551ef0a0.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}z_1 &amp; = &amp; a_1+0i \\\\ z_2 &amp; = &amp; a_2+0i \\\\ z_{1}z_{2} &amp; = &amp; (a_1+0i)(a_2+0i) \\\\ &amp; = &amp; a_{1}a_{2}\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h2>\u0423\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430 \u043d\u0430 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0443\u044e \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u0443<\/h2>\n<p>  \u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d \u043d\u0430 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440, \u043f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043f\u0440\u0438\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0432\u0430\u044f\u0441\u044c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0433\u043e \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c63\/8cd\/011\/c638cd011a1fd51e9d86879301a35b23.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}q &amp; = &amp; [s,\\mathbf{v}] \\\\ \\lambda{q} &amp; = &amp; \\lambda[s,\\mathbf{v}] \\\\ &amp; = &amp; [\\lambda{s},\\lambda\\mathbf{v}]\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u041c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0443\u0431\u0435\u0434\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u0432 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0448\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f <strong>\u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445<\/strong> \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0432 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d \u043d\u0430 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440 \u043a\u0430\u043a <strong>\u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439<\/strong> \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/10d\/cec\/00c\/10dcec00cfffa06ce719e6d2d5bca84d.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}q &amp; = &amp; [s,\\mathbf{v}] \\\\ \\lambda &amp; = &amp; [\\lambda,\\mathbf{0}] \\\\ \\lambda{q} &amp; = &amp; [\\lambda,\\mathbf{0}][s,\\mathbf{v}] \\\\ &amp; = &amp; [\\lambda{s},\\lambda\\mathbf{v}]\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h2>\u0427\u0438\u0441\u0442\u044b\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b<\/h2>\n<p>  \u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 <strong>\u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445<\/strong> \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432, \u0413\u0430\u043c\u0438\u043b\u044c\u0442\u043e\u043d \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043b <strong>\u0447\u0438\u0441\u0442\u044b\u0439<\/strong> \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d \u043a\u0430\u043a \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d \u0441 \u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u043c \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b\u043c \u0447\u043b\u0435\u043d\u043e\u043c:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6db\/46d\/90c\/6db46d90ccb80fa53b38ba622b26152a.svg\" alt=\"$q=[0,\\mathbf{v}]$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0418\u043b\u0438 \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u043f\u043e \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0430\u043c:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5e8\/05a\/682\/5e805a6829366b478490c5c0d3e3ebd4.svg\" alt=\"$q=xi+yj+zk$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0418 \u043c\u044b \u0441\u043d\u043e\u0432\u0430 \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0432\u0437\u044f\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 <strong>\u0447\u0438\u0441\u0442\u044b\u0445<\/strong> \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/756\/c73\/bb3\/756c73bb34f3cd30a9dd10bc52b2bafc.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}q_a &amp; = &amp; [0,\\mathbf{a}] \\\\ q_b &amp; = &amp; [0,\\mathbf{b}] \\\\ q_{a}q_{b} &amp; = &amp; [0,\\mathbf{a}][0,\\mathbf{b}] \\\\ &amp; = &amp; [-\\mathbf{a}\\cdot\\mathbf{b},\\mathbf{a}\\times\\mathbf{b}]\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0432 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0438\u0438 \u0441 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u0432\u044b\u0448\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432.<\/p>\n<h2>\u0410\u0434\u0434\u0438\u0442\u0438\u0432\u043d\u0430\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430<\/h2>\n<p>  \u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b \u043a\u0430\u043a \u0441\u0443\u043c\u043c\u0443 <strong>\u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439<\/strong> \u0438 <strong>\u0447\u0438\u0441\u0442\u043e\u0439<\/strong> \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/584\/077\/494\/5840774943ba3b69cb03d726ff2b9e66.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}q &amp; = &amp; [s,\\mathbf{v}] \\\\ &amp; = &amp; [s,\\mathbf{0}]+[0,\\mathbf{v}]\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h2>\u0415\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d<\/h2>\n<p>  \u0412\u0437\u044f\u0432 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2c4\/b0b\/1fa\/2c4b0b1facb860c5dd334b06a87de9d0.svg\" alt=\"$\\mathbf{v}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0438 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0435\u0433\u043e \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0443\u044e \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u0443, \u0438 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0435\u0433\u043e \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/51e\/d1c\/9de\/51ed1c9de8d5d7683142ab69bce8bd9d.svg\" alt=\"$\\mathbf{v}=v\\mathbf{\\hat{v}}~\\text{\u0433\u0434\u0435}~v=|\\mathbf{v}|~\\text{\u0438}~|\\mathbf{\\hat{v}}|=1$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u041e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0432 \u044d\u0442\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0447\u0438\u0441\u0442\u043e\u0433\u043e \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/856\/91d\/7f2\/85691d7f21d207b509d9e777afa16e1c.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}q &amp; = &amp; [0,\\mathbf{v}] \\\\ &amp; = &amp; [0,v\\mathbf{\\hat{v}}] \\\\ &amp; = &amp; v[0,\\mathbf{\\hat{v}}]\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d, \u0438\u043c\u0435\u044e\u0449\u0438\u0439 \u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440 \u0438 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b52\/7d2\/c97\/b527d2c9777076cae2ad5ba7e95eec47.svg\" alt=\"$\\hat{q}=[0,\\mathbf{\\hat{v}}]$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h2>\u0411\u0438\u043d\u0430\u0440\u043d\u0430\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430<\/h2>\n<p>  \u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0442\u044c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430 \u0438 \u0430\u0434\u0434\u0438\u0442\u0438\u0432\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432, \u0441\u0445\u043e\u0436\u0443\u044e \u0441 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044c\u044e, \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c\u043e\u0439 \u043f\u0440\u0438 \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0438\u0438 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0e6\/961\/668\/0e69616688c868e8aa0533fd00f0db10.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}q &amp; = &amp; [s,\\mathbf{v}] \\\\ &amp; = &amp; [s,\\mathbf{0}]+[0,\\mathbf{v}] \\\\ &amp; = &amp; [s,\\mathbf{0}]+v[0,\\mathbf{\\hat{v}}] \\\\ &amp; = &amp; s+v\\hat{q}\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0427\u0442\u043e \u0434\u0430\u0451\u0442 \u043d\u0430\u043c \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0435, \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0435\u0439 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/639\/8b4\/353\/6398b4353cc56fba1596b70f4ac59d27.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}z &amp; = &amp; a+bi \\\\ q &amp; = &amp; s + v\\hat{q}\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h2>\u0421\u043e\u043f\u0440\u044f\u0436\u0451\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430<\/h2>\n<p>  \u0421\u043e\u043f\u0440\u044f\u0436\u0451\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c, \u0432\u0437\u044f\u0432 \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043e\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u043d\u0443\u044e \u043f\u043e \u0437\u043d\u0430\u043a\u0443 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/502\/8b7\/8ff\/5028b78fffb1167e771d2939daccc305.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}q &amp; = &amp; [s,\\mathbf{v}] \\\\ q^* &amp; = &amp; [s,-\\mathbf{v}]\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430 \u0438 \u0435\u0433\u043e \u0441\u043e\u043f\u0440\u044f\u0436\u0451\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u0434\u0430\u0451\u0442 \u043d\u0430\u043c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0435:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9b2\/3cd\/8c8\/9b23cd8c87706bfbd537045177748852.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}qq^* &amp; = &amp; [s,\\mathbf{v}][s,-\\mathbf{v}] \\\\ &amp; = &amp; [s^2-\\mathbf{v}\\cdot-\\mathbf{v},-s\\mathbf{v}+s\\mathbf{v}+\\mathbf{v}\\times-\\mathbf{v}] \\\\ &amp; = &amp; [s^2+\\mathbf{v}\\cdot\\mathbf{v},\\mathbf{0}] \\\\ &amp; = &amp; [s^2+v^2,\\mathbf{0}]\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h2>\u041d\u043e\u0440\u043c\u0430 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430<\/h2>\n<p>  \u0412\u0441\u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u043c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u043e\u0440\u043c\u044b \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/55c\/b6f\/7a6\/55cb6f7a656e6f593695e357228f5337.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}|z| &amp; = &amp; \\sqrt{a^2+b^2} \\\\ zz^* &amp; = &amp; |z|^2\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0410\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e, \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430 (\u0438\u043b\u0438 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u0430) \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/10a\/1d1\/aad\/10a1d1aad9f7037f6034171dbebbc110.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}q &amp; = &amp; [s,\\mathbf{v}] \\\\ |q| &amp; = &amp; \\sqrt{s^2+v^2}\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0427\u0442\u043e \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043d\u0430\u043c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u0442\u044c \u043d\u043e\u0440\u043c\u0443 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/dbc\/1eb\/458\/dbc1eb4585a1c408ab30e1c095c1e05f.svg\" alt=\"$qq^*=|q|^2$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h2>\u041d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430<\/h2>\n<p>  \u0418\u043c\u0435\u044f \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u043e\u0440\u043c\u044b \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0435\u0451 \u0434\u043b\u044f \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430. \u041a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043d\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/695\/ac7\/8db\/695ac78dbd910407e182d281a35ccdf4.svg\" alt=\"$|q|$\" data-tex=\"inline\"><\/math>:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/837\/f10\/29c\/837f1029cbf333d389d1306a0fa607e1.svg\" alt=\"$q^{\\prime}=\\frac{q}{\\sqrt{s^2+v^2}}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0434\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u0435\u043c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/867\/5a4\/730\/8675a4730cc1c56532c0631839073a25.svg\" alt=\"$q=[1,4\\mathbf{i}+4\\mathbf{j}-4\\mathbf{k}]$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c <strong>\u043d\u043e\u0440\u043c\u0443<\/strong> \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c4a\/4a8\/606\/c4a4a86068982e4dcfba8afd2fbcabfa.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}|q| &amp; = &amp; \\sqrt{1^2+4^2+4^2+(-4)^2} \\\\ &amp; = &amp; \\sqrt{49} \\\\ &amp; = &amp; 7\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0417\u0430\u0442\u0435\u043c \u043c\u044b \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u044b \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d \u043d\u0430 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0443 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b4a\/fce\/160\/b4afce160d2d55276b1415746d3ea309.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}q^{\\prime} &amp; = &amp; \\cfrac{q}{|q|} \\\\[1.0em] &amp; = &amp; \\cfrac{(1+4\\mathbf{i}+4\\mathbf{j}-4\\mathbf{k})}{7} \\\\[1.0em] &amp; = &amp; \\cfrac{1}{7}+\\cfrac{4}{7}\\mathbf{i}+\\cfrac{4}{7}\\mathbf{j}-\\cfrac{4}{7}\\mathbf{k}\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h2>\u041e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d<\/h2>\n<p>  \u041e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a <\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/199\/bf2\/527\/199bf25279a113ce7af31b3aa65106ae.svg\" alt=\"$q^{-1}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>. \u0414\u043b\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430 \u043c\u044b \u0431\u0435\u0440\u0451\u043c \u0441\u043e\u043f\u0440\u044f\u0436\u0451\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430 \u0438 \u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u0435\u0433\u043e \u043d\u0430 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u043d\u043e\u0440\u043c\u044b:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/227\/1b3\/92e\/2271b392eb71194744d7d0756101100e.svg\" alt=\"$q^{-1}=\\frac{q^*}{|q|^2}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0432\u043e\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u044b:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/34f\/1c3\/64c\/34f1c364c8c3405eb5ebab9b3d300a59.svg\" alt=\"$qq^{-1}=[1,\\mathbf{0}]=1$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0418 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u043e\u0431\u0435 \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u044b \u043d\u0430 \u0441\u043e\u043f\u0440\u044f\u0436\u0451\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430, \u0447\u0442\u043e \u0434\u0430\u0441\u0442 \u043d\u0430\u043c:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/df6\/14e\/59e\/df614e59e6a93329365c5c332e26eab8.svg\" alt=\"$q^{*}qq^{-1}=q^{*}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u043e\u0439 \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/831\/05c\/956\/83105c956eef73b6ed1a0715443e8c55.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}|q|^{2}q^{-1} &amp; = &amp; q^{*} \\\\ q^{-1} &amp; = &amp; \\cfrac{q^{*}}{|q|^{2}}\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0414\u043b\u044f \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432-\u043d\u043e\u0440\u043c, \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 1, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/dc2\/a33\/b69\/dc2a33b695f7e6597c27218c95ccac61.svg\" alt=\"$q^{-1}=q^{*}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h2>\u0421\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432<\/h2>\n<p>  \u0410\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432, \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0432 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0443\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0432 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u044b:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/056\/831\/2ee\/0568312ee7e4b993a57f748df7e8107e.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}q_1 &amp; = &amp; [s_1,x_1\\mathbf{i}+y_1\\mathbf{j}+z_1\\mathbf{k}] \\\\ q_2 &amp; = &amp; [s_2,x_2\\mathbf{i}+y_2\\mathbf{j}+z_2\\mathbf{k}] \\\\ q_1{\\cdot}q_2 &amp; = &amp; s_{1}s_{2}+x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432 \u0434\u043b\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430\u043c\u0438:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a16\/e3b\/9ba\/a16e3b9ba9c54f0420029f22d8e253d2.svg\" alt=\"$\\cos\\theta=\\frac{s_{1}s_{2}+x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}}{|q_{1}||q_{2}|}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0414\u043b\u044f \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432-\u043d\u043e\u0440\u043c \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0443\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438\u0442\u044c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/3ea\/a19\/8e7\/3eaa198e7bd03b9d60f0c8f6434ab876.svg\" alt=\"$\\cos\\theta=s_{1}s_{2}+x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h1>\u041f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u044b<\/h1>\n<p>  \u041d\u0430\u043f\u043e\u043c\u043d\u044e, \u0447\u0442\u043e \u043c\u044b \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043b\u0438 \u043e\u0441\u043e\u0431\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043f\u043e\u0434 \u043d\u0430\u0437\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c <strong>\u0440\u043e\u0442\u043e\u0440<\/strong>, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0443\u044e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 \u0434\u0432\u0443\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/847\/e68\/5a2\/847e685a2b01d7e805fe943e3f325cfe.svg\" alt=\"$q=\\cos\\theta+i\\sin\\theta$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0411\u043b\u0430\u0433\u043e\u0434\u0430\u0440\u044f \u0441\u0445\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0438 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b \u0441 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430\u043c\u0438 \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u0430 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0432 \u0442\u0440\u0451\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d79\/43e\/0c2\/d7943e0c20cc25b19ac3010edd46e182.svg\" alt=\"$q=[\\cos\\theta,\\sin\\theta\\mathbf{v}]$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0414\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u043c, \u0432\u0435\u0440\u043d\u0430 \u043b\u0438 \u044d\u0442\u0430 \u0442\u0435\u043e\u0440\u0438\u044f, \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0432 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430 <\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d68\/cc4\/926\/d68cc4926bf74bae8fa3b51ca4a09ec8.svg\" alt=\"$q$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p> \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b4f\/f1e\/f6b\/b4ff1ef6bc47cc5f070bf19d6f8b2429.svg\" alt=\"$\\mathbf{p}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>. \u0412\u043e-\u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0445, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u0442\u044c <\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b4f\/f1e\/f6b\/b4ff1ef6bc47cc5f070bf19d6f8b2429.svg\" alt=\"$\\mathbf{p}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p> \u043a\u0430\u043a <strong>\u0447\u0438\u0441\u0442\u044b\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d<\/strong> \u0432 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8ed\/fff\/af2\/8edfffaf27b368577795ff2f72ff4eb3.svg\" alt=\"$p=[0,\\mathbf{p}]$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0410 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d68\/cc4\/926\/d68cc4926bf74bae8fa3b51ca4a09ec8.svg\" alt=\"$q$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d-\u043d\u043e\u0440\u043c\u0430 \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/903\/ea2\/87d\/903ea287db5cc7375f003f47cc41c841.svg\" alt=\"$q=[s,\\lambda\\mathbf{\\hat{v}}]$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/ffe\/6b4\/2b9\/ffe6b42b9baafdfe0e38a6925fea39dd.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}p^{\\prime} &amp; = &amp; qp \\\\ &amp; = &amp; [s,\\lambda\\mathbf{\\hat{v}}][0,\\mathbf{p}] \\\\ &amp; = &amp; [-\\lambda\\mathbf{\\hat{v}}\\cdot\\mathbf{p},s\\mathbf{p}+\\lambda\\mathbf{\\hat{v}}\\times\\mathbf{p}]\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u041c\u044b \u0432\u0438\u0434\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u043e\u043c \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0431\u0449\u0438\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d \u0441\u043e \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u044f\u043c\u0438.<\/p>\n<p>  \u0414\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435 \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u00ab\u043e\u0441\u043e\u0431\u044b\u0439\u00bb \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439, \u043f\u0440\u0438 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b4f\/f1e\/f6b\/b4ff1ef6bc47cc5f070bf19d6f8b2429.svg\" alt=\"$\\mathbf{p}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u0435\u043d <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a06\/99b\/abe\/a0699babe69ea37e63f787934d0e7778.svg\" alt=\"$\\mathbf{\\hat{v}}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0412 \u0442\u0430\u043a\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0447\u043b\u0435\u043d \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/582\/363\/5ef\/5823635ef71ee057c60815e8b25f738f.svg\" alt=\"$-\\lambda\\mathbf{\\hat{v}}\\cdot\\mathbf{p}=0$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f <strong>\u0447\u0438\u0441\u0442\u044b\u043c<\/strong> \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u043c:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b47\/62f\/06e\/b4762f06eebf0a0d67c89db660fde768.svg\" alt=\"$p^{\\prime}=[0,s\\mathbf{p}+\\lambda\\mathbf{\\hat{v}}\\times\\mathbf{p}]$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0412 \u0442\u0430\u043a\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b4f\/f1e\/f6b\/b4ff1ef6bc47cc5f070bf19d6f8b2429.svg\" alt=\"$\\mathbf{p}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a06\/99b\/abe\/a0699babe69ea37e63f787934d0e7778.svg\" alt=\"$\\mathbf{\\hat{v}}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043c\u044b \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5f9\/991\/06e\/5f999106e41dc28c5b84f91c1552b5f8.svg\" alt=\"$s=\\cos\\theta$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/56e\/773\/d06\/56e773d066dbbbc9b4ac2424c9411089.svg\" alt=\"$\\lambda=\\sin\\theta$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8f7\/b12\/c41\/8f7b12c414f3d5be167058367a6fe3f6.svg\" alt=\"$p^{\\prime}=[0,\\cos\\theta\\mathbf{p}+\\sin\\theta\\mathbf{\\hat{v}}\\times\\mathbf{p}]$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0434\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u043d\u0451\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b4f\/f1e\/f6b\/b4ff1ef6bc47cc5f070bf19d6f8b2429.svg\" alt=\"$\\mathbf{p}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043d\u0430 45\u00b0 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u0441\u0438 Z; \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043d\u0430\u0448 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d68\/cc4\/926\/d68cc4926bf74bae8fa3b51ca4a09ec8.svg\" alt=\"$q$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/358\/814\/7f8\/3588147f85dc9565b08bb47290e172b1.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}q &amp; = &amp; [\\cos\\theta,\\sin\\theta\\mathbf{k}] \\\\ &amp; = &amp; \\left[\\frac{\\sqrt{2}}{2},\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\mathbf{k}\\right]\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0418 \u0434\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435 \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0451\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b4f\/f1e\/f6b\/b4ff1ef6bc47cc5f070bf19d6f8b2429.svg\" alt=\"$\\mathbf{p}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u043e\u0441\u043e\u0431\u043e\u043c\u0443 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044e, \u0433\u0434\u0435 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b4f\/f1e\/f6b\/b4ff1ef6bc47cc5f070bf19d6f8b2429.svg\" alt=\"$\\mathbf{p}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u0435\u043d <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/31b\/23e\/0f4\/31b23e0f457d7dac461f06806b877986.svg\" alt=\"$\\mathbf{k}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7b8\/a64\/ca4\/7b8a64ca42cf0d4c5fb9c75646d6029a.svg\" alt=\"$p=[0,2\\mathbf{i}]$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0434\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435 \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 <\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c6d\/0e2\/2c6\/c6d0e22c64b01cb4148393817300e649.svg\" alt=\"$qp$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/cc4\/ad4\/547\/cc4ad45478ad79d9176123033722d886.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}p^{\\prime} &amp; = &amp; qp \\\\ &amp; = &amp; \\left[\\frac{\\sqrt{2}}{2},\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\mathbf{k}\\right][0,2\\mathbf{i}] \\\\ &amp; = &amp; \\left[0,2\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\mathbf{i}+2\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\mathbf{k}\\times\\mathbf{i}\\right] \\\\ &amp; = &amp; [0, \\sqrt{2}\\mathbf{i}+\\sqrt{2}\\mathbf{j}]\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0427\u0442\u043e \u0434\u0430\u0451\u0442 \u043d\u0430\u043c <strong>\u0447\u0438\u0441\u0442\u044b\u0439<\/strong> \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d, \u043f\u043e\u0432\u0451\u0440\u043d\u0443\u0442\u044b\u0439 \u043d\u0430 45\u00b0 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u0441\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/31b\/23e\/0f4\/31b23e0f457d7dac461f06806b877986.svg\" alt=\"$\\mathbf{k}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u041c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0443\u0431\u0435\u0434\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u0430 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u0438\u043b\u0430\u0441\u044c:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5ad\/86b\/4db\/5ad86b4dbefbcccf730bc0d4bcc6aaf3.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}|\\mathbf{p}^{\\prime}| &amp; = &amp; \\sqrt{\\sqrt{2}^{2}+\\sqrt{2}^{2}} \\\\ &amp; = &amp; 2\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0412 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0442\u043e, \u0447\u0435\u0433\u043e \u043c\u044b \u0438 \u043e\u0436\u0438\u0434\u0430\u043b\u0438!<\/p>\n<p>  \u041c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u043c \u0438\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c:<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/post_images\/e9d\/87b\/2c9\/e9d87b2c9784e8dfaa4c173efe8adb85.png\"><\/div>\n<p>  <i>\u041f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430 (1)<\/i><\/p>\n<p>  \u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0434\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d, \u043d\u0435 \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043a <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b4f\/f1e\/f6b\/b4ff1ef6bc47cc5f070bf19d6f8b2429.svg\" alt=\"$\\mathbf{p}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043c\u044b \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043c \u0434\u043b\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430 \u0441\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 45\u00b0 \u043e\u0442 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b4f\/f1e\/f6b\/b4ff1ef6bc47cc5f070bf19d6f8b2429.svg\" alt=\"$\\mathbf{p}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0442\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c6a\/39e\/285\/c6a39e2859efab9f0284da25faa50a6c.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}\\mathbf{\\hat{v}} &amp; = &amp; \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\mathbf{i}+\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\mathbf{k} \\\\ \\mathbf{p} &amp; = &amp; 2\\mathbf{i} \\\\ q &amp; = &amp; [\\cos\\theta,\\sin\\theta\\mathbf{\\hat{v}}] \\\\ p &amp; = &amp; [0,\\mathbf{p}]\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0410 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0432 \u043d\u0430\u0448 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b4f\/f1e\/f6b\/b4ff1ef6bc47cc5f070bf19d6f8b2429.svg\" alt=\"$\\mathbf{p}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043d\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d68\/cc4\/926\/d68cc4926bf74bae8fa3b51ca4a09ec8.svg\" alt=\"$q$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/53b\/082\/6a9\/53b0826a91a317450b27762e478059b2.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}p^{\\prime} &amp; = &amp; qp \\\\ &amp; = &amp; [\\cos\\theta,sin\\theta\\mathbf{\\hat{v}}][0,\\mathbf{p}] \\\\ &amp; = &amp; [-\\sin\\theta\\mathbf{\\hat{v}}\\cdot\\mathbf{p},\\cos\\theta\\mathbf{p}+\\sin\\theta\\mathbf{\\hat{v}}\\times\\mathbf{p}]\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a06\/99b\/abe\/a0699babe69ea37e63f787934d0e7778.svg\" alt=\"$\\mathbf{\\hat{v}}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b4f\/f1e\/f6b\/b4ff1ef6bc47cc5f070bf19d6f8b2429.svg\" alt=\"$\\mathbf{p}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/017\/838\/b13\/017838b13204968366bddf139a636f08.svg\" alt=\"$\\theta=45^{\\circ}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7d8\/aec\/fcd\/7d8aecfcd6f5dfd9161f639151915dc2.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}p^{\\prime} &amp; = &amp; \\left[-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\mathbf{i}+\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\mathbf{k}\\right)\\cdot(2\\mathbf{i}),\\frac{\\sqrt{2}}{2}2\\mathbf{i}+\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\mathbf{i}+\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\mathbf{k}\\right)\\times2\\mathbf{i}\\right] \\\\ &amp; = &amp; [-1,\\sqrt{2}\\mathbf{i}+\\mathbf{j}]\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043d\u0435 <strong>\u0447\u0438\u0441\u0442\u044b\u0439<\/strong> \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d, \u043e\u043d \u043d\u0435 \u043f\u043e\u0432\u0451\u0440\u043d\u0443\u0442 \u043d\u0430 45\u00b0 \u0430 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043d\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 2 (\u043e\u043d\u0430 \u0443\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0438\u043b\u0430\u0441\u044c \u0434\u043e <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/945\/64e\/527\/94564e527a2fae83bfd73977026fbc9c.svg\" alt=\"$\\sqrt{3}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>).<\/p>\n<p>  \u042d\u0442\u043e\u0442 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/post_images\/e1d\/483\/02f\/e1d48302f030b7045af4fbbb908a8d23.png\"><\/div>\n<p>  <i>\u041f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430 (2)<\/i><\/p>\n<blockquote><p>\u0421\u0442\u0440\u043e\u0433\u043e \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u044f, \u043d\u0435\u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/826\/cec\/efe\/826cecefefae504f9e79954dc80e110d.svg\" alt=\"$p^{\\prime}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0432 \u0442\u0440\u0451\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u043d\u0430 \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c \u0434\u0435\u043b\u0435 \u044d\u0442\u043e \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0451\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440! \u0420\u0430\u0434\u0438 \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0436\u0443 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432.<\/p><\/blockquote>\n<p>  \u041e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u043d\u0435 \u0432\u0441\u0451 \u043f\u043e\u0442\u0435\u0440\u044f\u043d\u043e. \u0413\u0430\u043c\u0438\u043b\u044c\u0442\u043e\u043d \u0432\u044b\u044f\u0441\u043d\u0438\u043b (\u043d\u043e \u043d\u0435 \u043e\u043f\u0443\u0431\u043b\u0438\u043a\u043e\u0432\u0430\u043b \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e), \u0447\u0442\u043e \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043c\u044b \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u043c \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c6d\/0e2\/2c6\/c6d0e22c64b01cb4148393817300e649.svg\" alt=\"$qp$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043d\u0430 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d68\/cc4\/926\/d68cc4926bf74bae8fa3b51ca4a09ec8.svg\" alt=\"$q$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0442\u043e \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u043e\u043c \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 <strong>\u0447\u0438\u0441\u0442\u044b\u0439<\/strong> \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d, \u0430 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0430 \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u0438\u0442\u0441\u044f. \u0414\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435 \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043b\u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e \u0432 \u043d\u0430\u0448\u0435\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0435.<\/p>\n<p>  \u0414\u043b\u044f \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0434\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u043c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/199\/bf2\/527\/199bf25279a113ce7af31b3aa65106ae.svg\" alt=\"$q^{-1}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b7e\/93b\/b8f\/b7e93bb8f93be26b7b0551ae70706365.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}q &amp; = &amp; \\left[\\cos\\theta,\\sin\\theta\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\mathbf{i}+\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\mathbf{k}\\right)\\right] \\\\ q^{-1} &amp; = &amp; \\left[\\cos\\theta,-\\sin\\theta\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\mathbf{i}+\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\mathbf{k}\\right)\\right]\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u041f\u0440\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/017\/838\/b13\/017838b13204968366bddf139a636f08.svg\" alt=\"$\\theta=45^{\\circ}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f04\/128\/142\/f041281425e6746a58e7c61bb9a880c0.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}q^{-1} &amp; = &amp; \\left[\\frac{\\sqrt{2}}{2},-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\left(\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\mathbf{i}+\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\mathbf{k}\\right)\\right] \\\\ &amp; = &amp; \\frac{1}{2}\\left[\\sqrt{2},-\\mathbf{i}-\\mathbf{k}\\right]\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u041e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0432 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0435\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c6d\/0e2\/2c6\/c6d0e22c64b01cb4148393817300e649.svg\" alt=\"$qp$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/199\/bf2\/527\/199bf25279a113ce7af31b3aa65106ae.svg\" alt=\"$q^{-1}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/247\/577\/f01\/247577f0114f93ce49b0dc6f8782403d.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}qp &amp; = &amp; \\left[-1,\\sqrt{2}\\mathbf{i}+\\mathbf{j}\\right] \\\\ qpq^{-1} &amp; = &amp; \\left[-1,\\sqrt{2}\\mathbf{i}+\\mathbf{j}\\right]\\frac{1}{2}\\left[\\sqrt{2},-\\mathbf{i}-\\mathbf{k}\\right] \\\\ &amp; = &amp; \\frac{1}{2}\\left[-\\sqrt{2}-\\left(\\sqrt{2}\\mathbf{i}+\\mathbf{j}\\right)\\cdot(-\\mathbf{i}-\\mathbf{k}),\\mathbf{i}+\\mathbf{k}+\\sqrt{2}\\left(\\sqrt{2}\\mathbf{i}+\\mathbf{j}\\right)-\\mathbf{i}+\\sqrt{2}\\mathbf{j}+\\mathbf{k}\\right] \\\\ &amp; = &amp; \\frac{1}{2}\\left[-\\sqrt{2}+\\sqrt{2},\\mathbf{i}+\\mathbf{k}+2\\mathbf{i}+\\sqrt{2}\\mathbf{j}-\\mathbf{i}+\\sqrt{2}\\mathbf{j}+\\mathbf{k}\\right] \\\\ &amp; = &amp; \\left[0,\\mathbf{i}+\\sqrt{2}\\mathbf{j}+\\mathbf{k}\\right]\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0427\u0442\u043e \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f <strong>\u0447\u0438\u0441\u0442\u044b\u043c<\/strong> \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u043c, \u0430 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0430 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a2f\/578\/ecd\/a2f578ecdc1223e51ff215e90e8b1459.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}|p^{\\prime}| &amp; = &amp; \\sqrt{1^2+\\sqrt{2}^2+1^2} \\\\ &amp; = &amp; \\sqrt{4} \\\\ &amp; = &amp; 2\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0447\u0442\u043e \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b4f\/f1e\/f6b\/b4ff1ef6bc47cc5f070bf19d6f8b2429.svg\" alt=\"$\\mathbf{p}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u0438\u043b\u0430\u0441\u044c.<\/p>\n<p>  \u041d\u0430 \u0438\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043d\u0438\u0436\u0435 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/post_images\/085\/d25\/966\/085d25966ac77ecfbd94f309c62cab5b.png\"><\/div>\n<p>  <i>\u041f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430 (3)<\/i><\/p>\n<p>  \u041c\u044b \u0432\u0438\u0434\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0447\u0438\u0441\u0442\u044b\u043c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u043c, \u0430 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u0438\u043b\u0430\u0441\u044c, \u043d\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u043b\u0441\u044f \u043d\u0430 90\u00b0, \u0430 \u043d\u0435 \u043d\u0430 45\u00b0, \u0447\u0442\u043e \u0432\u0434\u0432\u043e\u0435 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0433\u043e! \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0434\u043b\u044f \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b4f\/f1e\/f6b\/b4ff1ef6bc47cc5f070bf19d6f8b2429.svg\" alt=\"$\\mathbf{p}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043d\u0430 \u0443\u0433\u043e\u043b <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/ff2\/c64\/99d\/ff2c6499d038a61a41d7ce75cd78788f.svg\" alt=\"$\\theta$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043e\u0441\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a06\/99b\/abe\/a0699babe69ea37e63f787934d0e7778.svg\" alt=\"$\\mathbf{\\hat{v}}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0432\u0437\u044f\u0442\u044c \u043f\u043e\u043b\u043e\u0432\u0438\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0443\u0433\u043e\u043b \u0438 \u0441\u043e\u0437\u0434\u0430\u0442\u044c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/dda\/eb6\/1f5\/ddaeb61f579c777f28b58b64b712dc9e.svg\" alt=\"$q=\\left[\\cos\\frac{1}{2}\\theta,\\sin\\frac{1}{2}\\theta\\mathbf{\\hat{v}}\\right]$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0427\u0442\u043e \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0431\u0449\u0438\u043c \u0432\u0438\u0434\u043e\u043c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430!<\/p>\n<h1>\u0418\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u044f\u0446\u0438\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430<\/h1>\n<p>  \u041e\u0434\u043d\u0430 \u0438\u0437 \u0441\u0430\u043c\u044b\u0445 \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0438\u0447\u0438\u043d \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432 \u0432 \u043a\u043e\u043c\u043f\u044c\u044e\u0442\u0435\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0435 \u0437\u0430\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u044b \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435. \u041a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b \u0438\u0437\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442 \u043e\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c, \u043e\u0442\u044f\u0433\u043e\u0449\u0430\u044e\u0449\u0438\u0445 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0435 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u044b \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a \u0432 3D-\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435, \u0442\u0430\u043a\u0438\u0435 \u043a\u0430\u043a <a href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%A1%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D1%8B%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D0%BA\">\u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0440\u0430\u043c\u043e\u043a<\/a>, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u0430 \u0437\u0430\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u0432 \u0443\u0433\u043b\u0430\u0445 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430.<\/p>\n<p>  \u0421 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u043e\u0432, \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0449\u0438\u0445 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u044f\u0446\u0438\u044e \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u0432 3D-\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435. \u041f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0435\u043c\u044b\u0439 \u043c\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f <strong>SLERP<\/strong>. \u041e\u043d \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u043b\u044f \u043f\u043b\u0430\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u044f\u0446\u0438\u0438 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u043e\u0440\u0438\u0435\u043d\u0442\u0430\u0446\u0438\u044f\u043c\u0438. \u0412\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0440\u0430\u0437\u0432\u0438\u0442\u0438\u0435\u043c <strong>SLERP<\/strong> \u0438 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f <strong>SQUAD<\/strong>. \u041e\u043d \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u043b\u044f \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u044f\u0446\u0438\u0438 \u043f\u043e \u0440\u044f\u0434\u0443 \u043e\u0440\u0438\u0435\u043d\u0442\u0430\u0446\u0438\u0439, \u0437\u0430\u0434\u0430\u044e\u0449\u0438\u0445 \u043f\u0443\u0442\u044c.<\/p>\n<h2>SLERP<\/h2>\n<p>  <strong>SLERP<\/strong> \u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0444\u0440\u043e\u0432\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a <strong>S<\/strong>pherical <strong>L<\/strong>inear Int<strong>erp<\/strong>olation (\u0441\u0444\u0435\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u044f\u0446\u0438\u044f). <strong>SLERP<\/strong> \u043f\u0440\u0435\u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043f\u043b\u0430\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u044f\u0446\u0438\u0438 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u043e\u0440\u0438\u0435\u043d\u0442\u0430\u0446\u0438\u044f\u043c\u0438.<\/p>\n<p>  \u042f \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0443 \u043f\u0435\u0440\u0432\u0443\u044e \u043e\u0440\u0438\u0435\u043d\u0442\u0430\u0446\u0438\u044e \u043a\u0430\u043a <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2d7\/873\/abc\/2d7873abc0ce8607352d457561a13161.svg\" alt=\"$q_1$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0430 \u0432\u0442\u043e\u0440\u0443\u044e \u043a\u0430\u043a <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1f4\/200\/0bc\/1f42000bc95abfc0db53e3a5e78f3cb8.svg\" alt=\"$q_2$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0418\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c\u0443\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u043a\u0430\u043a <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b4f\/f1e\/f6b\/b4ff1ef6bc47cc5f070bf19d6f8b2429.svg\" alt=\"$\\mathbf{p}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u0443\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u043a\u0430\u043a <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/fc7\/c96\/20f\/fc7c9620f01d279361636ced4d15da0d.svg\" alt=\"$\\mathbf{p}^{\\prime}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u041f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u044f\u0446\u0438\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9b0\/012\/4e4\/9b00124e411362185d05b841bc32695f.svg\" alt=\"$t$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b4f\/f1e\/f6b\/b4ff1ef6bc47cc5f070bf19d6f8b2429.svg\" alt=\"$\\mathbf{p}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043e\u0442 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2d7\/873\/abc\/2d7873abc0ce8607352d457561a13161.svg\" alt=\"$q_1$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043f\u0440\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/267\/68f\/254\/26768f2546a9c33d522388c196dc0a57.svg\" alt=\"$t=0$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0434\u043e <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1f4\/200\/0bc\/1f42000bc95abfc0db53e3a5e78f3cb8.svg\" alt=\"$q_2$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043f\u0440\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/ddd\/b2b\/34f\/dddb2b34fca0149f0e2b4dd23335954a.svg\" alt=\"$t=1$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<\/p>\n<p>  \u0421\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u0430\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u044f\u0446\u0438\u0438 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/632\/638\/9bd\/6326389bdb6fb2fda02d38907f1fdc37.svg\" alt=\"$\\mathbf{p}^{\\prime}=\\mathbf{p_1}+t(\\mathbf{p_2}-\\mathbf{p_1})$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0412\u043e\u0442 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0435 \u0448\u0430\u0433\u0438 \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<ul>\n<li>\u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0435\u043c \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/ad6\/10a\/420\/ad610a42023ab7e5ee40c94341626c8d.svg\" alt=\"$\\mathbf{p_1}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8c9\/322\/7db\/8c93227db0190aaf895c77464b9dcf23.svg\" alt=\"$\\mathbf{p_2}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<\/li>\n<li>\u0411\u0435\u0440\u0451\u043c \u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438.<\/li>\n<li>\u041a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u0443\u044e \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u043c\u0438.<\/li>\n<\/ul>\n<p>  \u041c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0442\u043e\u0442 \u0436\u0435 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u043e\u0439 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0446\u0438\u043f, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u044c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u044f\u0446\u0438\u044e \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u043e\u0440\u0438\u0435\u043d\u0442\u0430\u0446\u0438\u044f\u043c\u0438 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432.<\/p>\n<h3>\u0420\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432<\/h3>\n<p>  \u041f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u0448\u0430\u0433 \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u043d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2d7\/873\/abc\/2d7873abc0ce8607352d457561a13161.svg\" alt=\"$q_1$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1f4\/200\/0bc\/1f42000bc95abfc0db53e3a5e78f3cb8.svg\" alt=\"$q_2$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0412 \u043a\u043e\u043d\u0442\u0435\u043a\u0441\u0442\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432 \u044d\u0442\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430\u043c\u0438.<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/136\/2a6\/693\/1362a669387ddc6275b4866d3e5b9eab.svg\" alt=\"$\\Delta{q}=q_1^{-1}q_2$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h3>\u0412\u043e\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430 \u0432 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c<\/h3>\n<p>  \u041d\u0430 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u043c \u0448\u0430\u0433\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0432\u0437\u044f\u0442\u044c \u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438. \u041c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430, \u0432\u043e\u0437\u0432\u0435\u0434\u044f \u0435\u0433\u043e \u0432 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c, \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0432\u0430\u043b\u0435 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/186\/55e\/6e0\/18655e6e0e967a2461afa45b26c77a0d.svg\" alt=\"$[0\u20261]$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<\/p>\n<p>  \u041e\u0431\u0449\u0430\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0432\u043e\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430 \u0432 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/623\/9d5\/f2d\/6239d5f2da7b95db61700ba56b2577f5.svg\" alt=\"$q^t=\\exp(t\\log{q})$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0413\u0434\u0435 \u044d\u043a\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0434\u043b\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b0d\/f34\/123\/b0df34123c0b2b17ddf3483d6b848ce3.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}\\exp(q) &amp; = &amp; \\exp\\left([0,\\theta\\mathbf{\\hat{v}}]\\right) \\\\ &amp; = &amp; [\\cos\\theta,\\sin\\theta\\mathbf{\\hat{v}}] \\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0410 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/75c\/63d\/f31\/75c63df31fd249556733bc1facbd7794.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}\\log{q} &amp; = &amp; \\log(\\cos\\theta{+}\\sin\\theta\\mathbf{\\hat{v}}) \\\\ &amp; = &amp; \\log\\left(\\exp(\\theta\\mathbf{\\hat{v}})\\right) \\\\ &amp; = &amp; \\theta\\mathbf{\\hat{v}} \\\\ &amp; = &amp; [0,\\theta\\mathbf{\\hat{v}}] \\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u041f\u0440\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/267\/68f\/254\/26768f2546a9c33d522388c196dc0a57.svg\" alt=\"$t=0$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043c\u044b \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0435:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/3d1\/ef5\/1d4\/3d1ef51d4d1a9c9224338cc6e9409f98.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}q^0 &amp; = &amp; \\exp(0\\log{q}) \\\\ &amp; = &amp; \\exp([\\cos(0),\\sin(0)\\mathbf{\\hat{v}}]) \\\\ &amp; = &amp; \\exp([1,\\mathbf{0}]) \\\\ &amp; = &amp; [1,\\mathbf{0}]\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0410 \u043f\u0440\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/ddd\/b2b\/34f\/dddb2b34fca0149f0e2b4dd23335954a.svg\" alt=\"$t=1$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043c\u044b \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/722\/621\/dd8\/722621dd832f2750b087d34438741aa6.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}q^1 &amp; = &amp; \\exp(\\log{q}) \\\\ &amp; = &amp; q\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h3>\u0414\u0440\u043e\u0431\u043d\u0430\u044f \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432<\/h3>\n<p>  \u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442, \u043c\u044b \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043e\u0440\u0438\u0435\u043d\u0442\u0430\u0446\u0438\u044e <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2d7\/873\/abc\/2d7873abc0ce8607352d457561a13161.svg\" alt=\"$q_1$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043d\u0430 \u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2d7\/873\/abc\/2d7873abc0ce8607352d457561a13161.svg\" alt=\"$q_1$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1f4\/200\/0bc\/1f42000bc95abfc0db53e3a5e78f3cb8.svg\" alt=\"$q_2$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/572\/820\/212\/572820212646a4014c0b38b22c9dca65.svg\" alt=\"$q^{\\prime}=q_1\\left(q_1^{-1}q_2\\right)^t$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0427\u0442\u043e \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0431\u0449\u0438\u043c \u0432\u0438\u0434\u043e\u043c \u0441\u0444\u0435\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u044f\u0446\u0438\u0438 \u0434\u043b\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432. \u041e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u044d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0442\u043e\u0442 \u0432\u0438\u0434 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f <strong>SLERP<\/strong>, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435.<\/p>\n<p>  \u041c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u043f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u0434\u043b\u044f \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0444\u0435\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u044f\u0446\u0438\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0432 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b. \u041e\u0431\u0449\u0438\u0439 \u0432\u0438\u0434 \u0441\u0444\u0435\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u044f\u0446\u0438\u0438 \u0434\u043b\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/514\/ef1\/98a\/514ef198ace89f6fcb2e3459c176deab.svg\" alt=\"$\\mathbf{v}_t=\\frac{\\sin(1-t)\\theta}{\\sin\\theta}\\mathbf{v}_1+\\frac{\\sin{t\\theta}}{\\sin\\theta}\\mathbf{v}_2$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0413\u0440\u0430\u0444\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u044d\u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u043c \u0438\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c.<\/p>\n<div style=\"text-align:center;\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/post_images\/f55\/e29\/d12\/f55e29d12f9d13ed21b51b9e36502e4d.png\"><\/div>\n<p>  <i>\u0418\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u044f\u0446\u0438\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432<\/i><\/p>\n<p>  \u042d\u0442\u0443 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0431\u0435\u0437 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u043a \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430\u043c:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/478\/c16\/226\/478c1622646981062b1e54d177eaa016.svg\" alt=\"$q_t=\\frac{\\sin(1-t)\\theta}{\\sin\\theta}q_1+\\frac{\\sin{t\\theta}}{\\sin\\theta}q_2$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0418 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0443\u0433\u043e\u043b <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/ff2\/c64\/99d\/ff2c6499d038a61a41d7ce75cd78788f.svg\" alt=\"$\\theta$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0432 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2d7\/873\/abc\/2d7873abc0ce8607352d457561a13161.svg\" alt=\"$q_1$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1f4\/200\/0bc\/1f42000bc95abfc0db53e3a5e78f3cb8.svg\" alt=\"$q_2$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/958\/f59\/a6c\/958f59a6ccfd731073848af2770f59ad.svg\" alt=\"$\\begin{array}{rcl}\\cos\\theta &amp; = &amp; \\cfrac{q_1{\\cdot} q_2}{|q_1||q_2|} \\\\ &amp; = &amp; \\cfrac{s_{1}s_{2}+x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}}{|q_1||q_2|} \\\\ \\theta &amp; = &amp; \\cos^{-1}\\left(\\cfrac{s_{1}s_{2}+x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}+z_{1}z_{2}}{|q_1||q_2|}\\right)\\end{array}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h3>\u0424\u0430\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c<\/h3>\n<p>  \u0423 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0434\u0432\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u044b, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u0438 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438.<\/p>\n<p>  \u0412\u043e-\u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0445, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432 \u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c, \u0442\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u044f\u0446\u0438\u044f \u043f\u043e\u0439\u0434\u0451\u0442 \u043f\u043e \u00ab\u0434\u043e\u043b\u0433\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0443\u0442\u0438\u00bb \u043d\u0430 \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0451\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0444\u0435\u0440\u0435, \u0430 \u044d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 \u0436\u0435\u043b\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e. \u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u0440\u0435\u0448\u0438\u0442\u044c \u044d\u0442\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u0443, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043e\u043d \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439, \u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u0437\u044f\u0442\u044c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043e\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0435 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0438\u0437 \u043e\u0440\u0438\u0435\u043d\u0442\u0430\u0446\u0438\u0439. \u0418\u043d\u0432\u0435\u0440\u0442\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430 \u043d\u0435 \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c\u0443\u044e \u0438\u043c \u043e\u0440\u0438\u0435\u043d\u0442\u0430\u0446\u0438\u044e, \u043d\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0432 \u044d\u0442\u043e, \u043c\u044b \u0433\u0430\u0440\u0430\u043d\u0442\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c, \u0447\u0442\u043e \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043f\u043e \u00ab\u043a\u0440\u0430\u0442\u0447\u0430\u0439\u0448\u0435\u043c\u0443\u00bb \u043f\u0443\u0442\u0438.<\/p>\n<p>  \u0415\u0449\u0451 \u043e\u0434\u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u0430 \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u0430\u044f \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2d7\/873\/abc\/2d7873abc0ce8607352d457561a13161.svg\" alt=\"$q_1$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1f4\/200\/0bc\/1f42000bc95abfc0db53e3a5e78f3cb8.svg\" alt=\"$q_2$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043c\u0430\u043b\u0430, \u043f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0ef\/f70\/9d0\/0eff709d0dc6e33d22303db47949f0e5.svg\" alt=\"$\\sin\\theta$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f 0. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u044d\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442, \u0442\u043e \u043f\u0440\u0438 \u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043d\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0ef\/f70\/9d0\/0eff709d0dc6e33d22303db47949f0e5.svg\" alt=\"$\\sin\\theta$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u043d\u0435\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0451\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442. \u0412 \u0442\u0430\u043a\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u0442\u044c\u0441\u044f \u043a \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044e \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u044f\u0446\u0438\u0438 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2d7\/873\/abc\/2d7873abc0ce8607352d457561a13161.svg\" alt=\"$q_1$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1f4\/200\/0bc\/1f42000bc95abfc0db53e3a5e78f3cb8.svg\" alt=\"$q_2$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<\/p>\n<h2>SQUAD<\/h2>\n<p>  \u0422\u0430\u043a \u0436\u0435, \u043a\u0430\u043a <strong>SLERP<\/strong> \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0434\u043b\u044f \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u044f\u0446\u0438\u0438 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430\u043c\u0438, <strong>SQUAD<\/strong> (<strong>S<\/strong>pherical and <strong>Quad<\/strong>rangle \u2014 \u0441\u0444\u0435\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0438 \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0451\u0445\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f) \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0434\u043b\u044f \u043f\u043b\u0430\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u044f\u0446\u0438\u0438 \u043f\u043e \u043f\u0443\u0442\u0438 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u043e\u0432.<\/p>\n<p>  \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0440\u044f\u0434 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f5d\/1ba\/1ad\/f5d1ba1addc768d5a99e3cf96c86e895.svg\" alt=\"$q_1,q_2,q_3,\\cdots,q_{n-2},q_{n-1},q_{n}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u0418 \u043c\u044b \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043b\u0438 \u00ab\u0432\u0441\u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439\u00bb \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d (<math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/508\/a2e\/9e3\/508a2e9e3a2024c6629b33196ef1a191.svg\" alt=\"$s_i$\" data-tex=\"inline\"><\/math>), \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0439 \u043a\u043e\u043d\u0442\u0440\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u043e\u0439:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9c3\/458\/d1f\/9c3458d1f392a2f6ca72a3aadf44a9b5.svg\" alt=\"$s_i=\\exp\\left(-\\frac{\\log\\left(q_{i+1}q_i^{-1}\\right)+\\log\\left(q_{i-1}q_i^{-1}\\right)}{4}\\right)q_i$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u041e\u0440\u0438\u0435\u043d\u0442\u0430\u0446\u0438\u044f \u0432\u0434\u043e\u043b\u044c \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/07c\/8f9\/3ef\/07c8f93efa009ce9b9fa49ec41b3bafc.svg\" alt=\"$q_{i-1},q_i,q_{i+1},q_{i+2}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  \u043f\u0440\u0438 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 <strong>t<\/strong> \u044d\u0442\u043e \u0434\u0430\u0451\u0442 \u043d\u0430\u043c:<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/066\/298\/9ef\/0662989ef55c2298542396da7c77f9df.svg\" alt=\"$\\mathrm{squad}(q_i,q_{i+1},s_i,s_{i+1},t)=\\mathrm{slerp}(\\mathrm{slerp}(q_i,q_{i+1},t),\\mathrm{slerp}(s_i,s_{i+1},t),2t(1-t))$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h1>\u0417\u0430\u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435<\/h1>\n<p>  \u041d\u0435\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u044f \u043d\u0430 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u044f, \u043f\u0440\u0438 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0435 \u0441 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430\u043c\u0438 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b \u043e\u0431\u0435\u0441\u043f\u0435\u0447\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043e\u0447\u0435\u0432\u0438\u0434\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0435\u0438\u043c\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432 \u043f\u043e \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044e \u0441 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u043c\u0438 \u0438 \u0443\u0433\u043b\u0430\u043c\u0438 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430.<\/p>\n<ul>\n<li>\u0418\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u044f\u0446\u0438\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e SLERP \u0438 SQUAD \u043f\u0440\u0435\u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431 \u043f\u043b\u0430\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u044f\u0446\u0438\u0438 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043e\u0440\u0438\u0435\u043d\u0442\u0430\u0446\u0438\u044f\u043c\u0438 \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435.<\/li>\n<li>\u041a\u043e\u043d\u043a\u0430\u0442\u0435\u043d\u0430\u0446\u0438\u044f \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u043e\u0432 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432 \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u0435\u0435, \u0447\u0435\u043c \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u043e\u0432, \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0432 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435.<\/li>\n<li>\u0414\u043b\u044f \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432-\u043d\u043e\u0440\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u0430 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u0431\u0435\u0440\u0451\u0442\u0441\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430. \u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u044b \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043c\u0435\u0434\u043b\u0435\u043d\u043d\u0435\u0435, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u043d\u0435 \u043e\u0440\u0442\u043e\u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0430 (\u0435\u0441\u043b\u0438 \u043e\u043d\u0430 \u043e\u0440\u0442\u043e\u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0430, \u0442\u043e \u044d\u0442\u043e \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u043b\u0438\u0448\u044c \u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u043f\u043e\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b).<\/li>\n<li>\u041f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432 \u0432 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u043d\u0435\u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u0435\u0435, \u0447\u0435\u043c \u0434\u043b\u044f \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430.<\/li>\n<li>\u0414\u043b\u044f \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430\u043c \u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e 4 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 (3, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043e\u043d\u0438 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u044b. \u0412\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0442\u044c \u0432\u043e \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u044b), \u0432 \u0442\u043e \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f \u043a\u0430\u043a \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u043c \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e \u043d\u0435 \u043c\u0435\u043d\u0435\u0435 9 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439.<\/li>\n<\/ul>\n<p>  \u041e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u043d\u0430\u0440\u044f\u0434\u0443 \u0441\u043e \u0432\u0441\u0435\u043c\u0438 \u043f\u0440\u0435\u0438\u043c\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c\u0438 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043d\u0435\u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043a\u043e\u0432.<\/p>\n<ul>\n<li>\u041a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b \u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u043d\u0435\u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0438\u0437-\u0437\u0430 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0438 \u043e\u043a\u0440\u0443\u0433\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b \u0441 \u043f\u043b\u0430\u0432\u0430\u044e\u0449\u0435\u0439 \u0437\u0430\u043f\u044f\u0442\u043e\u0439; \u043e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u044d\u0442\u0443 \u00ab\u0432\u043a\u0440\u0430\u0432\u0448\u0443\u044e\u0441\u044f \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0443\u00bb \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0443\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0438\u0442\u044c \u0440\u0435\u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0435\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430.<\/li>\n<li>\u0412\u0435\u0440\u043e\u044f\u0442\u043d\u043e, \u0441\u0430\u043c\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u043f\u044f\u0442\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435 \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432 \u2014 \u0432\u044b\u0441\u043e\u043a\u0430\u044f \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0438\u0445 \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u044f. \u041d\u0430\u0434\u0435\u044e\u0441\u044c, \u044d\u0442\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u0443 \u0432\u044b \u0440\u0435\u0448\u0438\u0442\u0435, \u043f\u0440\u043e\u0447\u0438\u0442\u0430\u0432 \u043c\u043e\u044e \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u044e.<\/li>\n<\/ul>\n<p>  \u0415\u0441\u0442\u044c \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a, \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u044e\u0449\u0438\u0445 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b, \u0438 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0438\u0437 \u043d\u0438\u0445 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u044e\u0442 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e. \u041f\u043e \u043c\u043e\u0435\u043c\u0443 \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u043c\u0443 \u043e\u043f\u044b\u0442\u0443 \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u0435\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a\u043e\u0439 \u0441 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0435\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f <a href=\"http:\/\/glm.g-truc.net\/\" title=\"OpenGL Mathematics\">GLM<\/a> (OpenGL Math Library). \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u044b \u0445\u043e\u0442\u0438\u0442\u0435 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b \u0432 \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0438\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445, \u0442\u043e \u0440\u0435\u043a\u043e\u043c\u0435\u043d\u0434\u0443\u044e \u044d\u0442\u0443 \u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a\u0443.<\/p>\n<h1>\u0417\u0430\u0433\u0440\u0443\u0437\u043a\u0430 \u0434\u0435\u043c\u043e<\/h1>\n<p>  \u042f \u0441\u043e\u0437\u0434\u0430\u043b \u043d\u0435\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0435 \u0434\u0435\u043c\u043e, \u0434\u0435\u043c\u043e\u043d\u0441\u0442\u0440\u0438\u0440\u0443\u044e\u0449\u0435\u0435 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430 \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u0430 \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435. \u0414\u0435\u043c\u043e \u0431\u044b\u043b\u043e \u0441\u043e\u0437\u0434\u0430\u043d\u043e \u0432 <a href=\"http:\/\/unity3d.com\/\" title=\"Unity3D\">Unity<\/a> 3.5.2, \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442\u0435 \u0441\u043a\u0430\u0447\u0430\u0442\u044c \u0431\u0435\u0441\u043f\u043b\u0430\u0442\u043d\u043e <a href=\"http:\/\/unity3d.com\/unity\/download\/\">\u0441\u043a\u0430\u0447\u0430\u0442\u044c<\/a> \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0434\u0432\u0438\u0436\u043e\u043a \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0442\u044c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u0434 \u0434\u0435\u043c\u043e. \u0412 \u0444\u0430\u0439\u043b\u0435 zip \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442\u0441\u044f \u0434\u0432\u043e\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0435\u043c\u044b\u0439 \u0444\u0430\u0439\u043b Windows, \u043d\u043e \u0432 Unity \u0432\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442\u0435 \u0441\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u0438\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u0434\u043b\u044f Mac.<\/p>\n<p>  <a href=\"https:\/\/docs.google.com\/open?id=0B0ND0J8HHfaXdzM0dmdGUzBLV1U\" title=\"Understanding Quaternions Demo\">Understanding Quaternions.zip<\/a><\/p>\n<h1>\u0421\u043f\u0440\u0430\u0432\u043e\u0447\u043d\u044b\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0435\u0440\u0438\u0430\u043b\u044b<\/h1>\n<p>  <\/p>\n<table>\n<tr>\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/post_images\/b7e\/cc3\/5fb\/b7ecc35fb6c3bd7ec6aa33f1b20d85d0.jpg\" alt=\"Quaternions for Computer Graphics\" title=\"Quaternions for Computer Graphics\" width=\"199\" height=\"300\"><\/p>\n<p>  Vince, J (2011). Quaternions for Computer Graphics. 1st. ed. London: Springer.<\/p>\n<\/td>\n<td><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/post_images\/e82\/d6d\/fe4\/e82d6dfe416a96509e87b57c38c9e77e.jpg\" width=\"227\" height=\"300\"><\/p>\n<p>  Dunn, F. and Parberry, I. (2002). 3D Math Primer for Graphics and Game Development. 1st. ed. Plano, Texas: Wordware Publishing, Inc.<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n<p>        <script class=\"js-mediator-script\">!function(e){function t(t,n){if(!(n in e)){for(var r,a=e.document,i=a.scripts,o=i.length;o--;)if(-1!==i[o].src.indexOf(t)){r=i[o];break}if(!r){r=a.createElement(\"script\"),r.type=\"text\/javascript\",r.async=!0,r.defer=!0,r.src=t,r.charset=\"UTF-8\";var d=function(){var e=a.getElementsByTagName(\"script\")[0];e.parentNode.insertBefore(r,e)};\"[object Opera]\"==e.opera?a.addEventListener?a.addEventListener(\"DOMContentLoaded\",d,!1):e.attachEvent(\"onload\",d):d()}}}t(\"\/\/mediator.mail.ru\/script\/2820404\/\",\"_mediator\")}(window);<\/script>     <br \/> \u0441\u0441\u044b\u043b\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u043e\u0440\u0438\u0433\u0438\u043d\u0430\u043b \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438 <a href=\"https:\/\/habr.com\/post\/426863\/\"> https:\/\/habr.com\/post\/426863\/<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"\n<div class=\"post__text post__text-html js-mediator-article\">\n<div style=\"text-align:center;\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/webt\/wx\/yq\/yy\/wxyqyyeuvo5us3kwciwntw5uigq.png\"><\/div>\n<p>  <i>\u041e\u0442 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e\u0434\u0447\u0438\u043a\u0430: \u0440\u043e\u0432\u043d\u043e 175 \u043b\u0435\u0442 \u0438 3 \u0434\u043d\u044f \u043d\u0430\u0437\u0430\u0434 \u0431\u044b\u043b\u0438 \u0438\u0437\u043e\u0431\u0440\u0435\u0442\u0435\u043d\u044b \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b. \u0412 \u0447\u0435\u0441\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0443\u0433\u043b\u043e\u0439 \u0434\u0430\u0442\u044b \u044f \u0440\u0435\u0448\u0438\u043b \u043f\u043e\u0434\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c \u043c\u0430\u0442\u0435\u0440\u0438\u0430\u043b, \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u044f\u044e\u0449\u0438\u0439 \u044d\u0442\u0443 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435\u043f\u0446\u0438\u044e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u044b\u043c \u044f\u0437\u044b\u043a\u043e\u043c.<\/i><\/p>\n<p>  \u041a\u043e\u043d\u0446\u0435\u043f\u0446\u0438\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432 \u0431\u044b\u043b\u0430 \u043f\u0440\u0438\u0434\u0443\u043c\u0430\u043d\u0430 \u0438\u0440\u043b\u0430\u043d\u0434\u0441\u043a\u0438\u043c \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u043e\u043c <a href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%93%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D1%82%D0%BE%D0%BD,_%D0%A3%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D1%8F%D0%BC_%D0%A0%D0%BE%D1%83%D1%8D%D0%BD\">\u0441\u044d\u0440\u043e\u043c \u0423\u0438\u043b\u044c\u044f\u043c\u043e\u043c \u0420\u043e\u0443\u044d\u043d\u043e\u043c \u0413\u0430\u043c\u0438\u043b\u044c\u0442\u043e\u043d\u043e\u043c<\/a> \u0432 \u043f\u043e\u043d\u0435\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u0438\u043a 16 \u043e\u043a\u0442\u044f\u0431\u0440\u044f 1843 \u0433\u043e\u0434\u0430 \u0432 \u0414\u0443\u0431\u043b\u0438\u043d\u0435, \u0418\u0440\u043b\u0430\u043d\u0434\u0438\u044f. \u0413\u0430\u043c\u0438\u043b\u044c\u0442\u043e\u043d \u0441\u043e \u0441\u0432\u043e\u0435\u0439 \u0436\u0435\u043d\u043e\u0439 \u0448\u0451\u043b \u0432 <a href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%98%D1%80%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%BA%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%BB%D0%B5%D0%B2%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D0%B0%D0%BA%D0%B0%D0%B4%D0%B5%D0%BC%D0%B8%D1%8F\">\u0418\u0440\u043b\u0430\u043d\u0434\u0441\u043a\u0443\u044e \u043a\u043e\u0440\u043e\u043b\u0435\u0432\u0441\u043a\u0443\u044e \u0430\u043a\u0430\u0434\u0435\u043c\u0438\u044e<\/a>, \u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u044f \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 <a href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Royal_Canal\">\u041a\u043e\u0440\u043e\u043b\u0435\u0432\u0441\u043a\u0438\u0439 \u043a\u0430\u043d\u0430\u043b<\/a> \u043f\u043e <a href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Broom_Bridge\">\u043c\u043e\u0441\u0442\u0443 \u0411\u0440\u0443\u043c \u0411\u0440\u0438\u0434\u0436<\/a>, \u043e\u043d \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u043b \u043f\u043e\u0442\u0440\u044f\u0441\u0430\u044e\u0449\u0435\u0435 \u043e\u0442\u043a\u0440\u044b\u0442\u0438\u0435, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u0436\u0435 \u043d\u0430\u0446\u0430\u0440\u0430\u043f\u0430\u043b \u043d\u0430 \u043a\u0430\u043c\u043d\u0435 \u043c\u043e\u0441\u0442\u0430.<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4a0\/acf\/d6a\/4a0acfd6aa55d01ea42178dc8d8de00c.svg\" alt=\"$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<div style=\"text-align:center;\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/post_images\/b34\/87a\/8a4\/b3487a8a4aa6f5926a9232b84ba317b1.jpg\"><\/div>\n<p>  <i>\u041f\u0430\u043c\u044f\u0442\u043d\u0430\u044f \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0447\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u043c\u043e\u0441\u0442\u0443 \u0411\u0440\u0443\u043c \u0411\u0440\u0438\u0434\u0436 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u041a\u043e\u0440\u043e\u043b\u0435\u0432\u0441\u043a\u0438\u0439 \u043a\u0430\u043d\u0430\u043b \u0432 \u0447\u0435\u0441\u0442\u044c \u043e\u0442\u043a\u0440\u044b\u0442\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u0434\u0430\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432.<\/i><\/p>\n<p>  \u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u0430\u0440\u0430\u044e\u0441\u044c \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u0438\u0442\u044c \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435\u043f\u0446\u0438\u044e \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u044b\u043c \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u044f \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c. \u042f \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u044e, \u043a\u0430\u043a \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u0438\u0437\u0443\u0430\u043b\u0438\u0437\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d, \u0430 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043a\u0430\u0436\u0443 \u043e \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f\u0445, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0442\u044c \u0441 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430\u043c\u0438. \u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u044f \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u044e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446, \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430 \u0438 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432, \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u043f\u043e\u043f\u044b\u0442\u0430\u044e\u0441\u044c \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u0438\u0442\u044c, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430 \u0438\u043b\u0438 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446, \u0430 \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e.  <\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[],"tags":[],"class_list":["post-291023","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/291023","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=291023"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/291023\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=291023"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=291023"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=291023"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}