{"id":293000,"date":"2019-08-05T15:00:52","date_gmt":"2019-08-05T15:00:52","guid":{"rendered":"http:\/\/savepearlharbor.com\/?p=293000"},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T21:00:00","slug":"","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/savepearlharbor.com\/?p=293000","title":{"rendered":"\u0418\u0437\u0431\u0435\u0433\u0430\u0435\u043c \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0438"},"content":{"rendered":"\n<div class=\"post__text post__text-html js-mediator-article\">\n<h1>\u0412\u0441\u0442\u0443\u043f\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435<\/h1>\n<p>  \u041c\u043d\u0435 \u043a\u0430\u0436\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e \u043d\u0430\u043c \u043d\u0430\u0434\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0438 \u0432 \u043a\u043e\u043c\u043f\u044c\u044e\u0442\u0435\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0435. \u0425\u043e\u0440\u043e\u0448\u0435\u0435 \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0439, \u043e\u0442\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u044b\u0445 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439 (\u043a\u0430\u043a \u0432 \u0438\u0441\u0442\u0438\u043d\u043d\u043e\u043c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e (dot) \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e (cross) \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432) \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0441 \u0440\u0430\u0441\u0442\u0443\u0449\u0438\u043c \u0447\u0443\u0432\u0441\u0442\u0432\u043e\u043c \u0431\u0435\u0441\u043f\u043e\u043a\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043f\u0440\u0438 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0438. \u0422\u043e\u0447\u043d\u0435\u0435, \u044f \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u044e, \u0447\u0442\u043e \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u044f \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0432\u0432\u043e\u0434\u0430 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0432 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c (\u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u044f \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432 \u044d\u0442\u043e \u0438\u043d\u0442\u0443\u0438\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431 \u0438\u0437\u043c\u0435\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f \u043e\u0440\u0438\u0435\u043d\u0442\u0430\u0446\u0438\u0438), \u044f \u0447\u0443\u0432\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e, \u0447\u0442\u043e \u0447\u0442\u043e-\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0442\u0430\u043a, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432\u0438\u0436\u0443 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u044e, \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0443\u044e\u0441\u044f \u0432 \u0433\u043b\u0443\u0431\u0438\u043d\u0430\u0445 \u043a\u0430\u043a\u043e\u0433\u043e-\u043d\u0438\u0431\u0443\u0434\u044c \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 3D-\u0440\u0435\u043d\u0434\u0435\u0440\u0438\u043d\u0433\u0430. \u041d\u0430 \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c \u0434\u0435\u043b\u0435, \u044f \u0434\u0443\u043c\u0430\u044e, \u0447\u0442\u043e \u0433\u0434\u0435-\u0442\u043e \u0443\u043c\u0438\u0440\u0430\u0435\u0442 \u043a\u043e\u0442\u0435\u043d\u043e\u043a, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0442\u0443\u0434\u0430 \u0437\u0430\u043a\u0440\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u044f. \u0418 \u044f \u043d\u0435 \u0442\u0430\u043a \u0431\u0435\u0441\u043f\u043e\u043a\u043e\u044e\u0441\u044c \u043e \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0438\u043b\u0438 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438, \u043d\u043e \u0441 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435\u043f\u0442\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u044d\u043b\u0435\u0433\u0430\u043d\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u044f \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u044e\u2026 \u0421\u0435\u0439\u0447\u0430\u0441 \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u044e.<br \/>  <a name=\"habracut\"><\/a><br \/>  \u0412 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0445 \u043c\u0435\u0441\u0442\u0430\u0445 \u044f \u0443\u0436\u0435 \u043e\u0431\u0441\u0443\u0436\u0434\u0430\u043b, \u0447\u0442\u043e \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b\u0435 \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0442 \u0432 \u0441\u0435\u0431\u0435 \u0432\u0441\u044e \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u0443\u044e \u0438\u043d\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0446\u0438\u044e \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u043e\u0432, \u0434\u043b\u044f \u0442\u0435\u0445 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u00ab\u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445\u00bb \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439 \u2014 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u043e\u0432 \u0438 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u043e\u0432 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432. \u042d\u0442\u0430 \u0438\u043d\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0446\u0438\u044f \u044d\u043a\u0432\u0438\u0432\u0430\u043b\u0435\u043d\u0442\u043d\u0430 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430\u043c \u0438 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430\u043c \u0432 \u0442\u0430\u043a\u043e\u043c \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u043c \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \u043c\u0435\u0441\u0442, \u0447\u0442\u043e \u043a\u0430\u0436\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0438 \u0438\u0437\u0431\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u043e\u0442 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0438 \u0438 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432. \u041d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435, \u0432\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442\u0435 \u044d\u0442\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0430\u044f\u0441\u044c \u0432 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0435\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u0445, \u0441\u043e\u0432\u0441\u0435\u043c \u0431\u0435\u0437 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0438. \u042d\u0442\u043e \u0437\u0430\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0437\u0430\u0434\u0443\u043c\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f: \u00ab\u0410 \u043d\u0435 \u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c \u043b\u0438 \u043c\u044b \u0447\u0435\u0433\u043e-\u043d\u0438\u0431\u0443\u0434\u044c \u043b\u0438\u0448\u043d\u0435\u0433\u043e?\u00bb \u041a\u0430\u0436\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c. \u041e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e, \u043a \u043d\u0435\u0441\u0447\u0430\u0441\u0442\u044c\u044e, \u0434\u0430\u0436\u0435 \u043e\u043f\u044b\u0442\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0444\u0435\u0441\u0441\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044b \u0441\u043a\u043b\u043e\u043d\u043d\u044b \u043a \u0437\u043b\u043e\u0443\u043f\u043e\u0442\u0440\u0435\u0431\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0435\u0439 \u0438 \u0434\u0435\u043b\u0430\u044e\u0442 \u0432\u0435\u0449\u0438 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u043c\u0438, \u0433\u0440\u043e\u043c\u043e\u0437\u0434\u043a\u0438\u043c\u0438 \u0438 \u043d\u0435 \u0441\u0430\u043c\u044b\u043c\u0438 \u043b\u0430\u043a\u043e\u043d\u0438\u0447\u043d\u044b\u043c\u0438. \u0418 \u0434\u0430\u0436\u0435 \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u00ab\u043d\u0435\u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435\u00bb.<\/p>\n<p>  \u0414\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0442\u0430\u043d\u0435\u043c \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u044e \u0435\u0449\u0435 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0430\u0431\u0441\u0442\u0440\u0430\u043a\u0442\u043d\u043e\u0439. \u041f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043e\u0434\u0438\u043d \u0438\u0437 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0432 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044b \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438 \u0438 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0438\u043c \u043e \u0447\u0435\u043c \u044f \u0441\u0435\u0439\u0447\u0430\u0441 \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u0438\u043b.<\/p>\n<h1>\u041d\u0435\u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0438\u043b\u0438 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u0430<\/h1>\n<p>  \u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f, \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u044e\u0449\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0432\u043e\u043a\u0440\u0443\u0433 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/ff5\/059\/671\/ff5059671e83505859d66f0b992edb1d.svg\" alt=\"$\\vec{v}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043d\u0430 \u0443\u0433\u043e\u043b <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/372\/e18\/546\/372e18546a3b7abb94c2672708bc5dfe.svg\" alt=\"$a$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0412 \u043b\u044e\u0431\u043e\u043c 3D-\u0434\u0432\u0438\u0436\u043a\u0435 \u0438\u043b\u0438 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a\u0435 \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043e\u0434\u043d\u0430 \u0442\u0430\u043a\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u0441\u043b\u0435\u043f\u043e \u0441\u043a\u043e\u043f\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0430 \u0441 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0433\u043e \u0434\u0432\u0438\u0436\u043a\u0430, \u0432\u0438\u043a\u0438\u043f\u0435\u0434\u0438\u0438 \u0438\u043b\u0438 \u0442\u0443\u0442\u043e\u0440\u0438\u0430\u043b\u0430 \u043f\u043e OpenGL\u2026 (\u0434\u0430, \u043a \u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442\u0443 \u0432\u044b \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u044b \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u0442\u044c, \u0438 \u0432 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0442 \u0432\u0430\u0448\u0435\u0433\u043e \u043d\u0430\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0436\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u0438\u0437-\u0437\u0430 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e). <\/p>\n<p>  \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0435\u0442\u044c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<pre><code class=\"cpp\">mat3x3 rotationAxisAngle( const vec3 &amp; v, float a ) {     const float si = sinf( a );     const float co = cosf( a );     const float ic = 1.0f - co;      return mat3x3( v.x*v.x*ic + co,     v.y*v.x*ic - si*v.z,  v.z*v.x*ic + si*v.y,                    v.x*v.y*ic + si*v.z, v.y*v.y*ic + co,      v.z*v.y*ic - si*v.x,                    v.x*v.z*ic - si*v.y, v.y*v.z*ic + si*v.x,  v.z*v.z*ic + co ); }<\/code><\/pre>\n<p>  \u041f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u044c\u0442\u0435, \u0447\u0442\u043e \u0432\u044b \u0432\u043e \u043a\u043e\u043f\u0430\u0435\u0442\u0435\u0441\u044c \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u044f\u0445 \u0434\u0435\u043c\u043a\u0438 \u0438\u043b\u0438 \u0438\u0433\u0440\u044b, \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0434\u043e\u043f\u0438\u043b\u0438\u0432\u0430\u044f \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439-\u0442\u043e \u0430\u043d\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c, \u0438 \u0432\u0430\u043c \u043d\u0430\u0434\u043e \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u0442\u044c \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442 \u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u043c \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0438. \u0412\u044b \u0445\u043e\u0442\u0438\u0442\u0435 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u0442\u0430\u043a, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043e\u0434\u043d\u0430 \u0438\u0437 \u0435\u0433\u043e \u043e\u0441\u0435\u0439, \u0441\u043a\u0430\u0436\u0435\u043c, \u043e\u0441\u044c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5fb\/223\/422\/5fb223422d94e579e41c1c730f14136b.svg\" alt=\"$\\vec{z}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u043b\u0430 \u0441 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/329\/4ea\/5e0\/3294ea5e0b8f740d047a5e7749ec1c15.svg\" alt=\"$\\vec{d}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0441\u043a\u0430\u0436\u0435\u043c, \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u043a \u0430\u043d\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0443\u0442\u0438. \u0412\u044b, \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u0436\u0435, \u0440\u0435\u0448\u0430\u0435\u0442\u0435 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0442\u044c \u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044f <code>rotationAxisAngle()<\/code>. \u0422\u0430\u043a, \u0432\u0430\u043c \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0438\u0437\u043c\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c \u0443\u0433\u043e\u043b \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043e\u0441\u044c\u044e <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4ec\/3e2\/363\/4ec3e23638b6073b649999485c251c94.svg\" alt=\"$z$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0432\u0430\u0448\u0435\u0433\u043e \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u0430 \u0438 \u0436\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043e\u0440\u0438\u0435\u043d\u0442\u0430\u0446\u0438\u0438. \u0422\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a \u0432\u044b \u2014 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0441\u0442, \u0432\u044b \u0437\u043d\u0430\u0435\u0442\u0435, \u0447\u0442\u043e \u044d\u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0438 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0438\u0437\u0432\u043b\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0443\u0433\u043b\u0430 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e <code>acos()<\/code>.<\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/3a6\/a27\/671\/3a6a27671b61254cea1446d25db63710.svg\" alt=\"$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = a_xb_x + a_yb_y = ab \\cos{\\angle \\vec{a} \\vec{b} }$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0436\u0435, \u0432\u044b \u0437\u043d\u0430\u0435\u0442\u0435, \u0447\u0442\u043e \u0438\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 <code>acosf()<\/code> \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u0442\u044c \u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u044b\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0437\u0430 \u0434\u0438\u0430\u043f\u0430\u0437\u043e\u043d [-1; 1], \u0438 \u0432\u044b \u0440\u0435\u0448\u0430\u0435\u0442\u0435 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0430\u043a, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043e\u043d\u043e \u043f\u043e\u043f\u0430\u043b\u043e \u0432 \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0434\u0438\u0430\u043f\u0430\u0437\u043e\u043d (<i>\u043f\u0440\u0438\u043c. \u043f\u0435\u0440.<\/i> to clamp) (\u0432 \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0432\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442\u0435 \u0434\u0430\u0436\u0435 \u043e\u0441\u043c\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u0432\u0438\u043d\u0438\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0432\u0430\u0448\u0435\u0433\u043e \u043a\u043e\u043c\u043f\u044c\u044e\u0442\u0435\u0440\u0430, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u0434\u043b\u0438\u043d\u0430 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043d\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 1). \u041a \u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442\u0443 \u043f\u043e\u0433\u0438\u0431 \u043e\u0434\u0438\u043d \u043a\u043e\u0442\u0435\u043d\u043e\u043a. \u041d\u043e \u043f\u043e\u043a\u0430 \u0432\u044b \u043d\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0435\u0442\u0435 \u043e\u0431 \u044d\u0442\u043e\u043c, \u0432\u044b \u043f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0430\u0435\u0442\u0435 \u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0441\u0432\u043e\u0439 \u043a\u043e\u0434. \u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u0432\u044b \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0435\u0442\u0435 \u043e\u0441\u044c \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430, \u0438 \u0432\u044b \u0437\u043d\u0430\u0435\u0442\u0435, \u0447\u0442\u043e \u044d\u0442\u043e \u2014 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5fb\/223\/422\/5fb223422d94e579e41c1c730f14136b.svg\" alt=\"$\\vec{z}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0432\u0430\u0448\u0435\u0433\u043e \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u0430 \u0438 \u0432\u044b\u0431\u0440\u0430\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/329\/4ea\/5e0\/3294ea5e0b8f740d047a5e7749ec1c15.svg\" alt=\"$\\vec{d}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0432\u0441\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0432 \u0432\u0430\u0448\u0435\u043c \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0443\u0442 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0432 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u044f\u0445, \u043f\u0430\u0440\u0430\u043b\u043b\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0442\u043e\u0439, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u044d\u0442\u0438\u043c\u0438 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438, \u0442\u0430\u043a, \u043d\u0430 \u0432\u0441\u044f\u043a\u0438\u0439 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439\u2026 (\u043a\u043e\u0442\u0435\u043d\u043a\u0430 \u0432\u043e\u0437\u0440\u043e\u0434\u0438\u043b\u0438 \u0438 \u0441\u043d\u043e\u0432\u0430 \u0443\u0431\u0438\u043b\u0438). \u0412 \u0438\u0442\u043e\u0433\u0435, \u043a\u043e\u0434 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u043a\u0430\u043a-\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<pre><code class=\"cpp\">const vec3   axi = normalize( cross( z, d ) ); const float  ang = acosf( clamp( dot( z, d ), -1.0f, 1.0f ) ); const mat3x3 rot = rotationAxisAngle( axi, ang );<\/code><\/pre>\n<p>  \u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c, \u043f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u044d\u0442\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442, \u043d\u043e \u0432\u0441\u0435 \u0435\u0449\u0435 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043e\u0447\u043d\u043e, \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u0435\u043c \u0432\u0435\u0441\u044c \u043a\u043e\u0434 <code>rotationAxisAngle()<\/code> \u0438 \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0436\u0435 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442:<\/p>\n<pre><code class=\"cpp\">const vec3   axi = normalize( cross( z, d ) ); const float  ang = acosf( clamp( dot( z, d ), -1.0f, 1.0f ) ); const float  co = cosf( ang ); const float  si = sinf( ang ); const float  ic = 1.0f - co; const mat3x3 rot = mat3x3(     axi.x*axi.x*ic + co,       axi.y*axi.x*ic - si*axi.z, axi.z*axi.x*ic + si*axi.y,     axi.x*axi.y*ic + si*axi.z, axi.y*axi.y*ic + co,       axi.z*axi.y*ic - si*axi.x,     axi.x*axi.z*ic - si*axi.y, axi.y*axi.z*ic + si*axi.x, axi.z*axi.z*ic + co);<\/code><\/pre>\n<p>  \u041a\u0430\u043a \u0432\u044b \u0443\u0436\u0435 \u043c\u043e\u0433\u043b\u0438 \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u0438\u0442\u044c, \u043c\u044b \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0435\u043c \u0434\u043e\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e \u043d\u0435\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0438 \u0434\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e\u0439 \u0432\u044b\u0437\u043e\u0432 acos, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0435\u0433\u043e \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u0436\u0435 \u043e\u0442\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0432\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c\u043e\u0433\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0418 \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441: \u00ab\u0430 \u043f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u0431\u044b \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u0442\u044c \u0446\u0435\u043f\u044c \u0432\u044b\u0437\u043e\u0432\u043e\u0432 <code>acos()<\/code>&#8212;&gt;<code>cos()<\/code> \u0438 \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f?\u00bb \u0411\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u043d\u0435 \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u0438\u0442 \u043b\u0438 \u043d\u0430\u043c \u044d\u0442\u043e \u043e \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e \u043c\u044b \u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c \u0447\u0442\u043e-\u0442\u043e \u043d\u0435\u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0438 \u0441\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0443\u0442\u0430\u043d\u043d\u043e\u0435, \u0438 \u0447\u0442\u043e \u043a \u043d\u0430\u043c \u043f\u0440\u0438\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439-\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0446\u0438\u043f, \u043f\u0440\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0449\u0438\u0439\u0441\u044f \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f?<\/p>\n<p>  \u0412\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442\u0435 \u043f\u043e\u0441\u043f\u043e\u0440\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0435\u043b\u044c\u0437\u044f \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c, \u0442\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a \u0432\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u0435\u043d \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0443\u0433\u043e\u043b \u0434\u043b\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430. \u041e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e, \u044d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0442\u0430\u043a. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u044b \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c\u044b \u0441 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u044b\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432, \u0442\u043e \u0432\u044b \u0437\u043d\u0430\u0435\u0442\u0435, \u0447\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a \u0436\u0435 \u043a\u0430\u043a \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441, \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u2014 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441. \u0411\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0441\u0442\u043e\u0432 \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u044e\u0442 \u0437\u0430\u0447\u0435\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432, \u043d\u043e \u043d\u0435 \u0432\u0441\u0435 \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u044e\u0442, \u0437\u0430\u0447\u0435\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 (\u0438 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u0435\u0433\u043e \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0434\u043b\u044f \u0442\u043e\u0433\u043e, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438 \u0438 \u043e\u0441\u0438 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430). \u0412 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u043e\u043c, \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0446\u0438\u043f, \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u044e\u0449\u0438\u0439 \u043d\u0430\u043c \u0438\u0437\u0431\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u043e\u0442 \u043f\u0430\u0440\u044b cos\/acos, \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u0438\u0442 \u043d\u0430\u043c \u043e \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0442\u0430\u043c, \u0433\u0434\u0435 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0442\u0430\u043c \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0430\u044e\u0449\u0435\u0435 \u043e\u0442\u0441\u0443\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u0438\u043d\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 (\u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c, \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441).  <\/p>\n<p><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/af6\/c72\/f71\/af6c72f71d7fd61bf0a1726bf81901a4.svg\" alt=\"$||\\vec{a}\\times\\vec{b}|| = ab\\cos{\\angle\\vec{a}\\vec{b}}$\" data-tex=\"display\"><\/math><\/p>\n<h1>\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0438\u043b\u0438 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u0430<\/h1>\n<p>  \u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0438\u0437\u0432\u043b\u0435\u0447\u044c \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0443\u0433\u043b\u0430 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5fb\/223\/422\/5fb223422d94e579e41c1c730f14136b.svg\" alt=\"$\\vec{z}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/329\/4ea\/5e0\/3294ea5e0b8f740d047a5e7749ec1c15.svg\" alt=\"$\\vec{d}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0432 \u043d\u0430 \u0434\u043b\u0438\u043d\u0443 \u0438\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f\u2026 \u2014 \u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5fb\/223\/422\/5fb223422d94e579e41c1c730f14136b.svg\" alt=\"$\\vec{z}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/329\/4ea\/5e0\/3294ea5e0b8f740d047a5e7749ec1c15.svg\" alt=\"$\\vec{d}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u044b! \u0410 \u044d\u0442\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u0447\u0442\u043e \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c (\u043c\u044b \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u044b!!) \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0442\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c:<\/p>\n<pre><code class=\"cpp\">const vec3   axi = cross( z, d ); const float  si  = length( axi ); const float  co  = dot( z, d ); const mat3x3 rot = rotationAxisCosSin( axi\/si, co, si );<\/code><\/pre>\n<p>  \u0438 \u0443\u0434\u043e\u0441\u0442\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e \u043d\u0430\u0448\u0430 \u043d\u043e\u0432\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430, <code>rotationAxisCosSin()<\/code>, \u043d\u0438\u0433\u0434\u0435 \u043d\u0435 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u044b \u0438 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u044b, \u0430 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0438\u0445 \u0432 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432:<\/p>\n<pre><code class=\"cpp\">mat3x3 rotationAxisCosSin( const vec3 &amp; v, const float co, const float si ) {     const float ic = 1.0f - co;      return mat3x3( v.x*v.x*ic + co,       v.y*v.x*ic - si*v.z,    v.z*v.x*ic + si*v.y,                    v.x*v.y*ic + si*v.z,   v.y*v.y*ic + co,        v.z*v.y*ic - si*v.x,                    v.x*v.z*ic - si*v.y,   v.y*v.z*ic + si*v.x,    v.z*v.z*ic + co ); }<\/code><\/pre>\n<p>  \u0415\u0441\u0442\u044c \u0435\u0449\u0435 \u043e\u0434\u043d\u0430 \u0432\u0435\u0449\u044c, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0443\u044e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0438\u0437\u0431\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u043e\u0442 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0439 \u0438 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0445 \u043a\u043e\u0440\u043d\u0435\u0439 \u2014 \u0438\u043d\u043a\u0430\u043f\u0441\u0443\u043b\u0438\u0440\u0443\u044f \u0432\u0441\u044e \u043b\u043e\u0433\u0438\u043a\u0443 \u0432 \u043e\u0434\u043d\u0443 \u043d\u043e\u0432\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434\u0430\u0432\u0430\u044f <code>1\/si<\/code> \u0432 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443:<\/p>\n<pre><code class=\"cpp\">mat3x3 rotationAlign( const vec3 &amp; d, const vec3 &amp; z ) {     const vec3  v = cross( z, d );     const float c = dot( z, d );     const float k = (1.0f-c)\/(1.0f-c*c);      return mat3x3( v.x*v.x*k + c,     v.y*v.x*k - v.z,    v.z*v.x*k + v.y,                    v.x*v.y*k + v.z,   v.y*v.y*k + c,      v.z*v.y*k - v.x,                    v.x*v.z*K - v.y,   v.y*v.z*k + v.x,    v.z*v.z*k + c    ); }<\/code><\/pre>\n<p>  \u041f\u043e\u0437\u0436\u0435, \u0417\u043e\u043b\u0442\u0430\u043d \u0412\u0440\u0430\u043d\u0430 (Zoltan Vrana) \u043f\u043e\u0434\u043c\u0435\u0442\u0438\u043b, \u0447\u0442\u043e <code>k<\/code> \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0443\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438\u0442\u044c \u0434\u043e <code>k = 1\/(1+c)<\/code>, \u0447\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u044d\u043b\u0435\u0433\u0430\u043d\u0442\u043d\u0435\u0435 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442, \u043d\u043e \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0430\u0435\u0442 \u0434\u0432\u0435 \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0432 k \u0438, \u0442\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0432\u0441\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f (<math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/329\/4ea\/5e0\/3294ea5e0b8f740d047a5e7749ec1c15.svg\" alt=\"$\\vec{d}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5fb\/223\/422\/5fb223422d94e579e41c1c730f14136b.svg\" alt=\"$\\vec{z}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043f\u0430\u0440\u0430\u043b\u043b\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b) \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0432 \u043e\u0434\u043d\u0443 (\u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/329\/4ea\/5e0\/3294ea5e0b8f740d047a5e7749ec1c15.svg\" alt=\"$\\vec{d}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5fb\/223\/422\/5fb223422d94e579e41c1c730f14136b.svg\" alt=\"$\\vec{z}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u044e\u0442 \u0432 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043d\u0435\u0442 \u0447\u0435\u0442\u043a\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430). \u0424\u0438\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u0434 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u043a\u0430\u043a-\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<pre><code class=\"cpp\">mat3x3 rotationAlign( const vec3 &amp; d, const vec3 &amp; z ) {     const vec3  v = cross( z, d );     const float c = dot( z, d );     const float k = 1.0f\/(1.0f+c);      return mat3x3( v.x*v.x*k + c,     v.y*v.x*k - v.z,    v.z*v.x*k + v.y,                    v.x*v.y*k + v.z,   v.y*v.y*k + c,      v.z*v.y*k - v.x,                    v.x*v.z*K - v.y,   v.y*v.z*k + v.x,    v.z*v.z*k + c    ); }<\/code><\/pre>\n<p>  \u041c\u044b \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0438\u0437\u0431\u0430\u0432\u0438\u043b\u0438\u0441\u044c \u043e\u0442 \u0442\u0440\u0435\u0445 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0438 \u0438\u0437\u0431\u0430\u0432\u0438\u043b\u0438\u0441\u044c \u043e\u0442 \u0443\u0440\u043e\u0434\u043b\u0438\u0432\u043e\u0433\u043e clamp&#8217;\u0430 (\u0438 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438!), \u043d\u043e \u0438 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435\u043f\u0442\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0443\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438\u043b\u0438 \u043d\u0430\u0448\u0443 3D \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0443. \u041d\u0438\u043a\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0446\u0435\u043d\u0434\u0435\u043d\u0442\u043d\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439, \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b. \u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u0441\u043e\u0437\u0434\u0430\u044e\u0442 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b, \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b. \u0418 \u044d\u0442\u043e \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u0447\u0435\u043c \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0438 \u0432 \u0432\u0430\u0448\u0435\u043c 3D-\u0434\u0432\u0438\u0436\u043a\u0435, \u0442\u0435\u043c \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u0435\u0435 \u0438 \u044f\u0441\u043d\u0435\u0435 \u043e\u043d \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f, \u043d\u043e, \u043f\u0440\u0435\u0436\u0434\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e, \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u044d\u043b\u0435\u0433\u0430\u043d\u0442\u043d\u0435\u0435 (\u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u0435\u0435!).<\/div>\n<p>               <script class=\"js-mediator-script\">!function(e){function t(t,n){if(!(n in e)){for(var r,a=e.document,i=a.scripts,o=i.length;o--;)if(-1!==i[o].src.indexOf(t)){r=i[o];break}if(!r){r=a.createElement(\"script\"),r.type=\"text\/javascript\",r.async=!0,r.defer=!0,r.src=t,r.charset=\"UTF-8\";var d=function(){var e=a.getElementsByTagName(\"script\")[0];e.parentNode.insertBefore(r,e)};\"[object Opera]\"==e.opera?a.addEventListener?a.addEventListener(\"DOMContentLoaded\",d,!1):e.attachEvent(\"onload\",d):d()}}}t(\"\/\/mediator.mail.ru\/script\/2820404\/\",\"_mediator\")}(window);<\/script>     <br \/> \u0441\u0441\u044b\u043b\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u043e\u0440\u0438\u0433\u0438\u043d\u0430\u043b \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438 <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/post\/462539\/\"> https:\/\/habr.com\/ru\/post\/462539\/<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"\n<div class=\"post__text post__text-html js-mediator-article\">\n<h1>\u0412\u0441\u0442\u0443\u043f\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435<\/h1>\n<p>  \u041c\u043d\u0435 \u043a\u0430\u0436\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e \u043d\u0430\u043c \u043d\u0430\u0434\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0438 \u0432 \u043a\u043e\u043c\u043f\u044c\u044e\u0442\u0435\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0435. \u0425\u043e\u0440\u043e\u0448\u0435\u0435 \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0439, \u043e\u0442\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u044b\u0445 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439 (\u043a\u0430\u043a \u0432 \u0438\u0441\u0442\u0438\u043d\u043d\u043e\u043c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e (dot) \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e (cross) \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432) \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0441 \u0440\u0430\u0441\u0442\u0443\u0449\u0438\u043c \u0447\u0443\u0432\u0441\u0442\u0432\u043e\u043c \u0431\u0435\u0441\u043f\u043e\u043a\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043f\u0440\u0438 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0438. \u0422\u043e\u0447\u043d\u0435\u0435, \u044f \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u044e, \u0447\u0442\u043e \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u044f \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0432\u0432\u043e\u0434\u0430 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0432 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c (\u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u044f \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432 \u044d\u0442\u043e \u0438\u043d\u0442\u0443\u0438\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431 \u0438\u0437\u043c\u0435\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f \u043e\u0440\u0438\u0435\u043d\u0442\u0430\u0446\u0438\u0438), \u044f \u0447\u0443\u0432\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e, \u0447\u0442\u043e \u0447\u0442\u043e-\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0442\u0430\u043a, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432\u0438\u0436\u0443 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u044e, \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0443\u044e\u0441\u044f \u0432 \u0433\u043b\u0443\u0431\u0438\u043d\u0430\u0445 \u043a\u0430\u043a\u043e\u0433\u043e-\u043d\u0438\u0431\u0443\u0434\u044c \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 3D-\u0440\u0435\u043d\u0434\u0435\u0440\u0438\u043d\u0433\u0430. \u041d\u0430 \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c \u0434\u0435\u043b\u0435, \u044f \u0434\u0443\u043c\u0430\u044e, \u0447\u0442\u043e \u0433\u0434\u0435-\u0442\u043e \u0443\u043c\u0438\u0440\u0430\u0435\u0442 \u043a\u043e\u0442\u0435\u043d\u043e\u043a, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0442\u0443\u0434\u0430 \u0437\u0430\u043a\u0440\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u044f. \u0418 \u044f \u043d\u0435 \u0442\u0430\u043a \u0431\u0435\u0441\u043f\u043e\u043a\u043e\u044e\u0441\u044c \u043e \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0438\u043b\u0438 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438, \u043d\u043e \u0441 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435\u043f\u0442\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u044d\u043b\u0435\u0433\u0430\u043d\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u044f \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u044e\u2026 \u0421\u0435\u0439\u0447\u0430\u0441 \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u044e.  <\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[],"tags":[],"class_list":["post-293000","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/293000","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=293000"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/293000\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=293000"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=293000"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=293000"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}