{"id":297883,"date":"2020-01-29T15:00:14","date_gmt":"2020-01-29T15:00:14","guid":{"rendered":"http:\/\/savepearlharbor.com\/?p=297883"},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T21:00:00","slug":"","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/savepearlharbor.com\/?p=297883","title":{"rendered":"\u0422\u0435\u0441\u0442\u044b \u0424\u0435\u0440\u043c\u0430 \u0438 \u041c\u0438\u043b\u043b\u0435\u0440\u0430-\u0420\u0430\u0431\u0438\u043d\u0430 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0442\u0443"},"content":{"rendered":"\n<div class=\"post__text post__text-html\" id=\"post-content-body\" data-io-article-url=\"https:\/\/habr.com\/ru\/company\/otus\/blog\/486116\/\"><i>\u0421\u0430\u043b\u044e\u0442 \u0445\u0430\u0431\u0440\u043e\u0432\u0447\u0430\u043d\u0435! \u0421\u0435\u0433\u043e\u0434\u043d\u044f \u043c\u044b \u043f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0430\u0435\u043c \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u044b\u043c \u043c\u0430\u0442\u0435\u0440\u0438\u0430\u043b\u043e\u043c, \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e\u0434 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0434\u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u043b\u0435\u043d \u0441\u043f\u0435\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u0441\u0442\u0443\u0434\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 \u043a\u0443\u0440\u0441\u0430 <a href=\"https:\/\/otus.pw\/POKS\/\">\u00ab\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u044b \u0434\u043b\u044f \u0440\u0430\u0437\u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0447\u0438\u043a\u043e\u0432\u00bb<\/a>.<br \/>  <\/i><br \/>  <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/webt\/qf\/dz\/58\/qfdz58atfebt2egzwexicnh03t4.png\"><\/p>\n<p>  \u0414\u0430\u043d\u043e \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e <code>n<\/code>, \u043a\u0430\u043a \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u044d\u0442\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0435? \u041f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e <code>n<\/code> \u0438\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u043d\u0435\u0447\u0435\u0442\u043d\u043e\u0435, \u043f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u0441\u043e\u0432\u0441\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0430\u044f.<\/p>\n<p>  \u0421\u0430\u043c\u043e\u0439 \u043e\u0447\u0435\u0432\u0438\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0438\u0434\u0435\u0435\u0439 \u0431\u044b\u043b\u043e \u0431\u044b \u0438\u0441\u043a\u0430\u0442\u044c \u0432\u0441\u0435 \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 <code>n<\/code>, \u043e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u0434\u043e \u0441\u0438\u0445 \u043f\u043e\u0440 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0430\u044f \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u0430 \u0437\u0430\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u044d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c. <a name=\"habracut\"><\/a>  <\/p>\n<hr>\n<p>  <\/p>\n<h3>\u0422\u0435\u0441\u0442 \u0424\u0435\u0440\u043c\u0430<\/h3>\n<p>  \u041f\u043e <a href=\"https:\/\/crypto.stanford.edu\/pbc\/notes\/numbertheory\/order.html\">\u0422\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0435 \u0424\u0435\u0440\u043c\u0430<\/a>, \u0435\u0441\u043b\u0438 <code>n<\/code> \u2013 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e, \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e a \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0435\u0434\u043b\u0438\u0432\u043e \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0435 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e <code>a<sup>n\u22121<\/sup>=1 (mod n)<\/code>. \u041e\u0442\u0441\u044e\u0434\u0430 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0432\u044b\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0442\u0435\u0441\u0442\u0430 \u0424\u0435\u0440\u043c\u0430 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u043a\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0442\u044b \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430: \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439\u043d\u043e\u0435 <code>a \u2208 {1, ..., n\u22121}<\/code> \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u043c \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043b\u0438 \u0441\u043e\u0431\u043b\u044e\u0434\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e<code> a<sup>n\u22121<\/sup>=1 (mod n)<\/code>. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u043d\u0435 \u0441\u043e\u0431\u043b\u044e\u0434\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442 \u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e <code>n<\/code> \u2013 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043d\u043e\u0435.<\/p>\n<p>  \u0422\u0435\u043c \u043d\u0435 \u043c\u0435\u043d\u0435\u0435, \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0441\u043e\u0431\u043b\u044e\u0434\u0435\u043d\u043e, \u0434\u0430\u0436\u0435 \u0435\u0441\u043b\u0438 <code>n<\/code> \u2013 \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0435. \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0435\u043c <code><code>n<\/code> = 561 = 3 \u00d7 11 \u00d7 17<\/code>. \u0421\u043e\u0433\u043b\u0430\u0441\u043d\u043e \u041a\u0438\u0442\u0430\u0439\u0441\u043a\u043e\u0439 <a href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9A%D0%B8%D1%82%D0%B0%D0%B9%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%BE%D0%B1_%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%B0%D1%85\">\u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0435 \u043e\u0431 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043a\u0430\u0445<\/a>:<\/p>\n<p>  <code> Z<sub>561<\/sub> = Z<sub>3<\/sub> \u00d7 Z<sub>11<\/sub> \u00d7 Z<sub>17<\/sub><\/code><\/p>\n<p>  , \u0433\u0434\u0435 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0435 a \u2208 Z<sup>\u2217<\/sup><sub>561<\/sub> \u043e\u0442\u0432\u0435\u0447\u0430\u0435\u0442 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u043c\u0443:<\/p>\n<p>  <code>(x,y,z) \u2208 Z<sup>\u2217<\/sup><sub>3<\/sub>\u00d7Z<sup>\u2217<\/sup><sub>11<\/sub>11\u00d7Z<sup>\u2217<\/sup><sub>17<\/sub>.<\/code><\/p>\n<p>  \u041f\u043e \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0435 \u0424\u0435\u0440\u043c\u0430,<code> x<sup>2<\/sup>=1<\/code>, <code>y<sup>10<\/sup>=1<\/code>, <code><i>\u0438<\/i> z<sup>16<\/sup>=1<\/code>. \u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 2, 10 \u0438 16 \u0432\u0441\u0435 \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f\u043c\u0438 560, \u044d\u0442\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u0447\u0442\u043e <code>(x,y,z)<sup>560<\/sup> = (1, 1, 1)<\/code>, \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u043c\u0438 \u0441\u043b\u043e\u0432\u0430\u043c\u0438 <code>a<sup>560<\/sup> = 1<\/code> \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e<code> a \u2208 Z<sup>\u2217<\/sup><sub>561<\/sub><\/code>.<\/p>\n<p>  \u041d\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043a\u0430\u043a\u043e\u0435 a \u043c\u044b \u0432\u044b\u0431\u0435\u0440\u0435\u043c, 561 \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u0442\u0435\u0441\u0442 \u0424\u0435\u0440\u043c\u0430 \u043d\u0435\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u044f \u043d\u0430 \u0442\u043e, \u0447\u0442\u043e \u043e\u043d\u043e \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043d\u043e\u0435, \u0434\u043e \u0442\u0435\u0445 \u043f\u043e\u0440, \u043f\u043e\u043a\u0430 a \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432\u0437\u0430\u0438\u043c\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u044b\u043c \u0441 <code>n<\/code>. \u0422\u0430\u043a\u0438\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c\u0438 \u041a\u0430\u0440\u043c\u0430\u0439\u043a\u043b\u0430 \u0438 \u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e \u0438\u0445 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u0435 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e. <\/p>\n<p>  \u0415\u0441\u043b\u0438 <code>a<\/code> \u043d\u0435 \u0432\u0437\u0430\u0438\u043c\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0435 \u0441 <code>n<\/code>, \u0442\u043e \u043e\u043d\u043e \u0442\u0435\u0441\u0442 \u0424\u0435\u0440\u043c\u0430 \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442, \u043d\u043e \u0432 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043e\u0442\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u043e\u0442 \u0442\u0435\u0441\u0442\u043e\u0432 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0438\u0442\u044c \u0438\u0441\u043a\u0430\u0442\u044c \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0438 <code>n<\/code>, \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u044f \u041d\u041e\u0414(<i>a,n<\/i>). <\/p>\n<h3>\u0422\u0435\u0441\u0442 \u041c\u0438\u043b\u043b\u0435\u0440\u0430-\u0420\u0430\u0431\u0438\u043d\u0430<\/h3>\n<p>   \u041c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0443\u0441\u043e\u0432\u0435\u0440\u0448\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0442\u0435\u0441\u0442, \u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u0432, \u0447\u0442\u043e <i>n<\/i> \u2014 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0435 \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0438 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438 <code>x<sup>2<\/sup> = 1 (mod n)<\/code> <a href=\"https:\/\/crypto.stanford.edu\/pbc\/notes\/numbertheory\/poly.html\">\u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f<\/a> <code>x = \u00b11<\/code>.<\/p>\n<p>  \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0435\u0441\u043b\u0438 n \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0442\u0435\u0441\u0442 \u0424\u0435\u0440\u043c\u0430, \u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c <code>a<sup>n\u22121<\/sup> = 1<\/code>, \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043c\u044b \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u044f\u0435\u043c \u0435\u0449\u0435 \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b <code>a<sup>(n\u22121)\/2<\/sup> = \u00b11<\/code>, \u043f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 <code>a<sup>(n\u22121)\/2<\/sup> <\/code>\u044d\u0442\u043e \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c 1. <\/p>\n<p>  \u041a \u0441\u043e\u0436\u0430\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e, \u0442\u0430\u043a\u0438\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u043a\u0430\u043a, \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 1729 \u2014 \u0442\u0440\u0435\u0442\u044c\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u041a\u0430\u0440\u043c\u0430\u0439\u043a\u043b\u0430 \u0434\u043e \u0441\u0438\u0445 \u043f\u043e\u0440 \u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u043e\u0431\u043c\u0430\u043d\u0443\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0443\u043b\u0443\u0447\u0448\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0442\u0435\u0441\u0442. \u0427\u0442\u043e \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043c\u044b \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u0438\u0442\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438? \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043f\u043e\u043a\u0430 \u044d\u0442\u043e \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e, \u043c\u044b \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0443\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0430\u0442\u044c \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0443 \u0432\u0434\u0432\u043e\u0435, \u0434\u043e \u0442\u0435\u0445 \u043f\u043e\u0440, \u043f\u043e\u043a\u0430 \u043d\u0435 \u0434\u043e\u0439\u0434\u0435\u043c \u0434\u043e \u043a\u0430\u043a\u043e\u0433\u043e-\u043b\u0438\u0431\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u043f\u043e\u043c\u0438\u043c\u043e 1. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u0432 \u0438\u0442\u043e\u0433\u0435 \u0447\u0442\u043e-\u0442\u043e, \u043a\u0440\u043e\u043c\u0435 -1, \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 <code>n<\/code> \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043d\u044b\u043c.<\/p>\n<p>  \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u0438\u0442\u044c \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e, \u0442\u043e \u043f\u0443\u0441\u043a\u0430\u0439 2<sup>S<\/sup> \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0439 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c\u044e 2, \u0434\u0435\u043b\u044f\u0449\u0435\u0439\u0441\u044f \u043d\u0430 n-1, \u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c <code>n\u22121=2<sup>S<\/sup>q<\/code> \u0434\u043b\u044f \u043a\u0430\u043a\u043e\u0433\u043e-\u0442\u043e \u043d\u0435\u0447\u0435\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 <code>q<\/code>. \u041a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u0438\u0437 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 <\/p>\n<p>  <code>a<sup>n\u22121<\/sup> = a<sup>(2^S)q<\/sup><\/code>, <code>a<sup>(2^S-1)q<\/sup><\/code>,\u2026, <code>aq<\/code>.<\/p>\n<p>  \u042d\u0442\u043e \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0448\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0435\u0433\u043e \u0447\u043b\u0435\u043d\u0430 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438.<\/p>\n<p>   \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0435\u0441\u043b\u0438 <code>n<\/code> \u2013 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e, \u0442\u043e \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u0430 \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0441 1 \u0438 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0435 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u0442\u043e\u0436\u0435 \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u043e \u0431\u044b\u0442\u044c 1, \u0438\u043b\u0438 \u0436\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u0447\u043b\u0435\u043d \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u043d\u0435 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d 1, \u043d\u043e \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043e\u043d \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d -1.<\/p>\n<p>  \u0422\u0435\u0441\u0442 \u041c\u0438\u043b\u043b\u0435\u0440\u0430-\u0420\u0430\u0431\u0438\u043d\u0430 \u0431\u0435\u0440\u0435\u0442 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439\u043d\u043e\u0435<code> a\u2208 Z<sub>n<\/sub><\/code>. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u044b\u0448\u0435\u0443\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043d\u0435 \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441 1, \u043b\u0438\u0431\u043e \u0436\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u0447\u043b\u0435\u043d \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043d\u0435 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d 1 \u0438\u043b\u0438 -1, \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 <code>n<\/code> \u2013 \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0435.<\/p>\n<p>  \u041e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043d\u043e\u0433\u043e <code>n<\/code>, \u0432\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u044f \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u041a\u0430\u0440\u043c\u0430\u0439\u043a\u043b\u0430, \u0432\u0435\u0440\u043e\u044f\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0439\u0442\u0438 \u0442\u0435\u0441\u0442 \u041c\u0438\u043b\u043b\u0435\u0440\u0430-\u0420\u0430\u0431\u0438\u043d\u0430 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e 1\/4. (\u0412 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u043c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435.) \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0432\u0435\u0440\u043e\u044f\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0442\u043e\u0433\u043e, \u0447\u0442\u043e <code>n<\/code> \u043f\u0440\u043e\u0439\u0434\u0435\u0442 \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u0440\u043e\u0433\u043e\u043d\u043e\u0432 \u0442\u0435\u0441\u0442\u0430, \u0443\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e.<\/p>\n<p>  \u0415\u0441\u043b\u0438 <code>n<\/code> \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0442\u0435\u0441\u0442 \u041c\u0438\u043b\u043b\u0435\u0440\u0430-\u0420\u0430\u0431\u0438\u043d\u0430 \u0441 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u044e\u0449\u0435\u0439\u0441\u044f \u0441 1, \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u0442\u0440\u0438\u0432\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c \u0438\u0437 1 \u043f\u043e \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044e <code>n<\/code>, \u0438 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c <a href=\"https:\/\/crypto.stanford.edu\/pbc\/notes\/numbertheory\/poly.html\">\u044d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0438<\/a> <code>n<\/code>. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u041a\u0430\u0440\u043c\u0430\u0439\u043a\u043b\u0430 \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0440\u0430\u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u043d\u0430 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u0438. <\/p>\n<p>  \u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0442\u0435\u0441\u0442 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c \u0432\u0438\u0434\u0430 <code>pq<\/code>, \u0433\u0434\u0435 <code>p<\/code> \u0438 <code>q<\/code> \u2013 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u043e\u043d\u0438 \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u044f\u0442 \u0442\u0435\u0441\u0442 \u041c\u0438\u043b\u043b\u0435\u0440\u0430-\u0420\u0430\u0431\u0438\u043d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0432\u043e \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044f\u0445, \u043f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043d\u0435 \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441 1. \u0418\u0442\u043e\u0433\u043e, \u0442\u0430\u043a \u043c\u044b RSA \u0441\u043b\u043e\u043c\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435 \u0441\u043c\u043e\u0436\u0435\u043c.<\/p>\n<p>  \u041d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435 \u0442\u0435\u0441\u0442 \u041c\u0438\u043b\u043b\u0435\u0440\u0430-\u0420\u0430\u0431\u0438\u043d\u0430 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c:<\/p>\n<ol>\n<li>\u0414\u0430\u043d\u043e <code>n<\/code>, \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 <code>s<\/code>, \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0447\u0442\u043e <code>n \u2013 1 = 2<sup>S<\/sup>q<\/code> \u0434\u043b\u044f \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u043d\u0435\u0447\u0435\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e <code>q<\/code>.<\/li>\n<li>\u0412\u043e\u0437\u044c\u043c\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439\u043d\u043e\u0435 <code>a \u2208 {1,...,n\u22121}<\/code><\/li>\n<li>\u0415\u0441\u043b\u0438 a<sup>q<\/sup> = 1, \u0442\u043e <code>n<\/code> \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0442\u0435\u0441\u0442 \u0438 \u043c\u044b \u043f\u0440\u0435\u043a\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435.<\/li>\n<li>\u0414\u043b\u044f<code> i= 0, ... , s\u22121<\/code> \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e <code>a<sup>(2^i)q<\/sup> = \u22121<\/code>. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0442\u043e <code>n<\/code> \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0442\u0435\u0441\u0442 (\u043f\u0440\u0435\u043a\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435).<\/li>\n<li>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043d\u0438 \u043e\u0434\u043d\u043e \u0438\u0437 \u0432\u044b\u0448\u0435\u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0439 \u043d\u0435 \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u043e, \u0442\u043e <code>n<\/code> \u2013 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043d\u043e\u0435.<\/li>\n<\/ol>\n<p>  \u041f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0442\u0435\u0441\u0442\u0430 \u041c\u0438\u043b\u043b\u0435\u0440\u0430-\u0420\u0430\u0431\u0438\u043d\u0430 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0435\u0449\u0435 \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0442\u0440\u0438\u0432\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043d\u0430 \u043c\u0430\u043b\u0435\u043d\u044c\u043a\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430. <\/p>\n<p>  \u0421\u0442\u0440\u043e\u0433\u043e \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u044f \u044d\u0442\u0438 \u0442\u0435\u0441\u0442\u044b \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0442\u0435\u0441\u0442\u0430\u043c\u0438 \u043d\u0430 \u0442\u043e \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043b\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043d\u044b\u043c, \u043f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u043e\u043d\u0438 \u043d\u0435 \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043f\u043e \u0441\u0443\u0442\u0438, \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u044f\u0435\u043c\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0435, \u043d\u043e \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442, \u0447\u0442\u043e \u043e\u043d\u043e \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043d\u044b\u043c. <\/p>\n<p>  \u0421\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442 \u0435\u0449\u0435 \u0434\u0435\u0442\u0435\u0440\u043c\u0438\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0437\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0438\u043d\u043e\u043c\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f \u0434\u043b\u044f \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0442\u044b (Agrawal, Kayal \u0438 <a href=\"http:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/AKS_primality_test\">Saxena<\/a>), \u043e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u043d\u0430 \u0441\u0435\u0433\u043e\u0434\u043d\u044f\u0448\u043d\u0438\u0439 \u0434\u0435\u043d\u044c \u043e\u043d\u0438 \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u043d\u044b\u043c\u0438.<\/div>\n<p> \u0441\u0441\u044b\u043b\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u043e\u0440\u0438\u0433\u0438\u043d\u0430\u043b \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438 <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/company\/otus\/blog\/486116\/\"> https:\/\/habr.com\/ru\/company\/otus\/blog\/486116\/<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"\n<div class=\"post__text post__text-html\" id=\"post-content-body\" data-io-article-url=\"https:\/\/habr.com\/ru\/company\/otus\/blog\/486116\/\"><i>\u0421\u0430\u043b\u044e\u0442 \u0445\u0430\u0431\u0440\u043e\u0432\u0447\u0430\u043d\u0435! \u0421\u0435\u0433\u043e\u0434\u043d\u044f \u043c\u044b \u043f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0430\u0435\u043c \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u044b\u043c \u043c\u0430\u0442\u0435\u0440\u0438\u0430\u043b\u043e\u043c, \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e\u0434 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0434\u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u043b\u0435\u043d \u0441\u043f\u0435\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u0441\u0442\u0443\u0434\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 \u043a\u0443\u0440\u0441\u0430 <a href=\"https:\/\/otus.pw\/POKS\/\">\u00ab\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u044b \u0434\u043b\u044f \u0440\u0430\u0437\u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0447\u0438\u043a\u043e\u0432\u00bb<\/a>.<br \/>  <\/i><br \/>  <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/webt\/qf\/dz\/58\/qfdz58atfebt2egzwexicnh03t4.png\"><\/p>\n<p>  \u0414\u0430\u043d\u043e \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e <code>n<\/code>, \u043a\u0430\u043a \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u044d\u0442\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0435? \u041f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e <code>n<\/code> \u0438\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u043d\u0435\u0447\u0435\u0442\u043d\u043e\u0435, \u043f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u0441\u043e\u0432\u0441\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0430\u044f.<\/p>\n<p>  \u0421\u0430\u043c\u043e\u0439 \u043e\u0447\u0435\u0432\u0438\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0438\u0434\u0435\u0435\u0439 \u0431\u044b\u043b\u043e \u0431\u044b \u0438\u0441\u043a\u0430\u0442\u044c \u0432\u0441\u0435 \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 <code>n<\/code>, \u043e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u0434\u043e \u0441\u0438\u0445 \u043f\u043e\u0440 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0430\u044f \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u0430 \u0437\u0430\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u044d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c. <\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[],"tags":[],"class_list":["post-297883","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/297883","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=297883"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/297883\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=297883"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=297883"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=297883"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}