{"id":320030,"date":"2021-03-22T15:00:19","date_gmt":"2021-03-22T15:00:19","guid":{"rendered":"http:\/\/savepearlharbor.com\/?p=320030"},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T21:00:00","slug":"","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/savepearlharbor.com\/?p=320030","title":{"rendered":"\u0421\u0432\u043e\u0439 AR. \u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u044b \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b"},"content":{"rendered":"\n<div class=\"post__text post__text-html post__text_v1\" id=\"post-content-body\">\n<p><a href=\"https:\/\/github.com\/DistinctVision\/sonar\" rel=\"nofollow noopener noreferrer\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/webt\/vi\/ho\/x6\/vihox6gd9og92j27pxz7hxl_mgg.png\"><\/a><\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0412 \u043d\u0430\u0441\u0442\u043e\u044f\u0449\u0438\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u043f\u043e\u044f\u0432\u0438\u043b\u043e\u0441\u044c \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0435 \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0441 \u0431\u043e\u0433\u0430\u0442\u044b\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u043e\u043c (ARCore, ARKit, Vuforia). \u0422\u0435\u043c \u043d\u0435 \u043c\u0435\u043d\u0435\u0435 \u044f \u0440\u0435\u0448\u0438\u043b \u043d\u0430\u0447\u0430\u0442\u044c \u0441\u0432\u043e\u0439 <a href=\"https:\/\/github.com\/DistinctVision\/sonar\" rel=\"nofollow noopener noreferrer\">\u043e\u0442\u043a\u0440\u044b\u0442\u044b\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0442<\/a>, \u043f\u043e\u043f\u0443\u0442\u043d\u043e \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044f \u043a\u0430\u043a \u044d\u0442\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u0438\u0437\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0437\u0435\u0442, \u0442\u043e \u043f\u043e\u0437\u0436\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u0441\u044f \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439-\u0442\u043e \u043e\u0441\u043e\u0431\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u044b\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u043d\u0435\u0442 \u0432 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0445 \u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a\u0430\u0445. \u0412 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u044b\u0445 \u043f\u043b\u0430\u0442\u0444\u043e\u0440\u043c \u043f\u043e\u043a\u0430 \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0435\u043c Windows \u0438 Android. \u0411\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a\u0430 \u043f\u0438\u0448\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 C++, \u0438 \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u043d\u0438\u0435 \u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a\u0438 \u0431\u0443\u0434\u0443\u0442 \u0437\u0430\u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u043d\u044b \u043f\u043e \u043c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0443\u043c\u0443, \u0442.\u0435. \u043f\u0440\u0435\u0438\u043c\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e \u043d\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u043e \u043d\u0438\u0447\u0435\u0433\u043e \u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u043e\u0433\u043e. \u0424\u043e\u043a\u0443\u0441 \u0432 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u044f\u0445 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d \u043d\u0430 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u044b \u0438 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0443, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043f\u043e\u0441\u0442\u0430\u0440\u0430\u044e\u0441\u044c \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u043c\u0430\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0434\u043e\u0441\u0442\u0443\u043f\u043d\u043e \u0438 \u043f\u043e\u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u043e. \u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u043f\u043e\u0439\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0435\u0447\u044c \u043f\u0440\u043e \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u044b \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b. <\/p>\n<p><a name=\"habracut\"><\/a>  <\/p>\n<p>\u0414\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0441\u043e\u0432\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0438\u0440\u0442\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043c\u0438\u0440\u0430 \u0438 \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e. \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e, \u043d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u043e\u043a\u0440\u0443\u0436\u0430\u044e\u0449\u0435\u0435 \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438, \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u044f \u0437\u0430\u043a\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439, \u043c\u044b \u0441\u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0434\u043b\u044f \u0441\u043e\u0432\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041d\u0430\u0447\u043d\u0435\u043c \u0441 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b.<\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446, \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u0449\u0438\u0435 \u043b\u0438\u0431\u043e \u0438\u0437 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u0430, \u043b\u0438\u0431\u043e \u0438\u0437 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0440\u043e\u043a\u0438. \u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043c\u044b \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u0438\u043c \u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0435, \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440-\u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0435\u0446 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/36c\/b07\/24c\/36cb0724ca1e3684396279867f4c00ab.svg\" alt=\"$\\vec v = \\begin{pmatrix}v_x \\\\ v_y \\\\ v_z \\\\v_w\\end{pmatrix}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u041d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043a\u0430\u043a \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0435\u0446 \u043d\u0435\u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0435\u0433\u043e \u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u043f\u043e\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/692\/5ce\/c85\/6925cec858f79834f8142300dd95bbc2.svg\" alt=\"$\\vec v = \\begin{pmatrix}v_x &amp; v_y &amp; v_z &amp; v_w\\end{pmatrix}^T$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<\/p>\n<p>  <\/p>\n<h3 id=\"dlina-vektora\">\u0414\u043b\u0438\u043d\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430.<\/h3>\n<p>  <\/p>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0435, \u0447\u0442\u043e \u043c\u044b \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u2014 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/277\/e10\/cb8\/277e10cb839499f22e8a0b19d438ebf9.svg\" alt=\"$l = |\\vec v|$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0433\u0434\u0435 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/30f\/b68\/14e\/30fb6814eea0091044df0e5de33dfbc2.svg\" alt=\"$l$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b, <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/ff5\/059\/671\/ff5059671e83505859d66f0b992edb1d.svg\" alt=\"$\\vec v$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u043d\u0430\u0448 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440. \u0414\u043b\u044f \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430 \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0435\u043c \u0434\u0432\u0443\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440:<br \/>  <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/webt\/j7\/f4\/zz\/j7f4zzgnfzekrbs-nhcuglkvt-a.png\"><br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/ce0\/562\/376\/ce05623764b880e70d93b58fe8130427.svg\" alt=\"$\\vec v = \\begin{pmatrix}x &amp; y\\end{pmatrix}^T$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0433\u0434\u0435 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/817\/b92\/407\/817b92407f764f57af9226e50cc788fd.svg\" alt=\"$x$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9b3\/4c4\/da5\/9b34c4da5c757d4982bbd1b6f2e8998a.svg\" alt=\"$y$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430, \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043d\u0430 \u043e\u0441\u0438 \u0434\u0432\u0443\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0445 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442. \u0418 \u043c\u044b \u0432\u0438\u0434\u0438\u043c \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0442\u0440\u0435\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0438\u043a, \u0433\u0434\u0435 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/817\/b92\/407\/817b92407f764f57af9226e50cc788fd.svg\" alt=\"$x$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9b3\/4c4\/da5\/9b34c4da5c757d4982bbd1b6f2e8998a.svg\" alt=\"$y$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b \u043a\u0430\u0442\u0435\u0442\u043e\u0432, \u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/30f\/b68\/14e\/30fb6814eea0091044df0e5de33dfbc2.svg\" alt=\"$l$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u0434\u043b\u0438\u043d\u0430 \u0435\u0433\u043e \u0433\u0438\u043f\u043e\u0442\u0435\u043d\u0443\u0437\u044b. \u041f\u043e \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0435 \u041f\u0438\u0444\u0430\u0433\u043e\u0440\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/01c\/e3c\/178\/01ce3c1787e3c902bbfda3a37cafde92.svg\" alt=\"$l = \\sqrt{x^2 + y^2}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/fd9\/fb5\/ce1\/fd9fb5ce157aa03b2027bcc348a2e4cd.svg\" alt=\"$l = |\\vec v| = \\sqrt{x^2 + y^2}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0412\u0438\u0434 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0438 \u0434\u043b\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438, \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/09e\/c13\/905\/09ec1390521f036d9132485384ccbc51.svg\" alt=\"$l = |\\vec v| = |\\begin{pmatrix} x &amp; y &amp; z &amp; w\\end{pmatrix}^T| = \\sqrt{x^2 + y^2 + z^2 + w^2}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<\/p>\n<p>  <\/p>\n<h3 id=\"skalyarnoe-proizvedenie\">\u0421\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435.<\/h3>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0421\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0441\u0443\u043c\u043c\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u0445 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432: <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/bde\/b2d\/46b\/bdeb2d46be574602238da4a565c12958.svg\" alt=\"$s = \\vec a \\cdot \\vec b = a_x \\cdot b_x + a_y \\cdot b_y + a_z \\cdot b_z$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u041d\u043e \u0442\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a \u043c\u044b \u0437\u043d\u0430\u0435\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b, \u0442\u043e \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u0435\u0435 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e \u0432 \u0442\u0430\u043a\u043e\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435: <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/507\/f0f\/102\/507f0f102c58a2056b83fcf9c9c347e6.svg\" alt=\"$s = \\vec{a}^T \\vec{b}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u042d\u0442\u043e \u0436\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0432 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0435: <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e1d\/242\/069\/e1d24206934949edbc374b39fca3e547.svg\" alt=\"$s = {\\vec a}^T \\vec b = |\\vec a| \\cdot |\\vec b| \\cdot \\cos{\\delta}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0433\u0434\u0435 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/dd8\/a86\/2f5\/dd8a862f53583925b661220cb68f577b.svg\" alt=\"$\\delta$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u0443\u0433\u043e\u043b \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9ee\/51f\/4eb\/9ee51f4ebb9c3c246096e08d630ed7c2.svg\" alt=\"$\\vec a$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/564\/9f9\/cb8\/5649f9cb8861267b6a0331555574c5b2.svg\" alt=\"$\\vec b$\" data-tex=\"inline\"><\/math> (\u0434\u043b\u044f \u0434\u0432\u0443\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044f \u044d\u0442\u0430 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0443 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u043e\u0432). \u041f\u043e \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043a\u043b\u044e\u0447\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043c\u0435\u0440\u0430 \u0441\u043e\u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432. \u0412\u0435\u0434\u044c, \u0435\u0441\u043b\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7e6\/f79\/7d2\/7e6f797d24f5e5f11ae5f68730c68690.svg\" alt=\"$\\delta = 0^{\\circ}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0442\u043e <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f08\/681\/206\/f086812067110025cd16c2a03e43d698.svg\" alt=\"$\\cos{\\delta} = 1$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f9d\/da2\/695\/f9dda26950cb67bd3ecef956c5341c14.svg\" alt=\"$s$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043b\u0438\u043d \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432. \u0422\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5cd\/301\/185\/5cd3011857c1b6059603bd9018c211e4.svg\" alt=\"$\\cos{\\delta}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 1, \u0442\u043e \u044d\u0442\u043e \u043c\u0430\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c, \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u044f \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0443\u0433\u043e\u043b <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/dd8\/a86\/2f5\/dd8a862f53583925b661220cb68f577b.svg\" alt=\"$\\delta$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u041c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5cd\/301\/185\/5cd3011857c1b6059603bd9018c211e4.svg\" alt=\"$\\cos{\\delta}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e -1, \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/cb7\/3f4\/11f\/cb73f411f55ae604097123053fd4d069.svg\" alt=\"$\\delta = 180^{\\circ}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0442.\u0435. \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u044f\u0442 \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043e\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0435 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/37e\/575\/f51\/37e575f512ca172a510abe7275c5f709.svg\" alt=\"$\\delta = 90^{\\circ}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4fd\/2a2\/e71\/4fd2a2e7166a1df9050e689ae0ab0147.svg\" alt=\"$\\cos{\\delta}=0$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0430 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442 \u043a\u0430\u043a\u0438\u0435 \u0431\u044b \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b \u043d\u0435 \u0438\u043c\u0435\u043b\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9ee\/51f\/4eb\/9ee51f4ebb9c3c246096e08d630ed7c2.svg\" alt=\"$\\vec a$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/564\/9f9\/cb8\/5649f9cb8861267b6a0331555574c5b2.svg\" alt=\"$\\vec b$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0432\u0441\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/390\/d52\/20d\/390d5220d482698fcc1f625d962c1bdc.svg\" alt=\"$s = 0$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u041c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432 \u0442\u0430\u043a\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043d\u0435 \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 \u043e\u0431\u0449\u0435\u0433\u043e \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0438 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438.<br \/>  \u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043f\u0440\u0438 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u0438 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043a\u0440\u0430\u0441\u0438\u0432\u0435\u0435: <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a9b\/56c\/76c\/a9b56c76cbb983d1a74027fe6b5b7bd4.svg\" alt=\"$|\\vec v| = \\sqrt{\\vec{v}^T \\vec v}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e33\/e0f\/bc4\/e33e0fbc44b07081171fefc029b88eac.svg\" alt=\"$|\\vec v|^2 = \\vec{v}^T \\vec{v}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<\/p>\n<p>  <\/p>\n<h3 id=\"proekciya-vektora-na-drugoy-vektor\">\u041f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043d\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440.<\/h3>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0412\u043e\u0437\u044c\u043c\u0435\u043c \u0434\u0432\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430: <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9ee\/51f\/4eb\/9ee51f4ebb9c3c246096e08d630ed7c2.svg\" alt=\"$\\vec a$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/564\/9f9\/cb8\/5649f9cb8861267b6a0331555574c5b2.svg\" alt=\"$\\vec b$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<br \/>  \u041f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u044e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043d\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b\u0430\u0445: \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u043c \u0438 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u043c. \u0412 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u043c \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043d\u0430 \u043e\u0441\u044c \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0430 \u0432 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u043c \u2013 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e. <\/p>\n<p>  <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/webt\/jt\/jx\/rq\/jtjxrqevqb4hnlxr26qhlhxmtii.png\"><br \/>  \u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438\u0445 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u043e \u043b\u0435\u0436\u0438\u0442 \u0432 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0435 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442. \u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u0432\u044b\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438: <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2b6\/47e\/ca4\/2b647eca43a3275e9b95a138b659a0ea.svg\" alt=\"$O$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u043e \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442, <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/493\/c1c\/008\/493c1c008018df9bed4910321f29ff00.svg\" alt=\"$A$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u0430\u044f \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9ee\/51f\/4eb\/9ee51f4ebb9c3c246096e08d630ed7c2.svg\" alt=\"$\\vec a$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/20d\/8ca\/ec6\/20d8caec693d8d8eaf70885e408419f6.svg\" alt=\"$B$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u0430\u044f \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/564\/9f9\/cb8\/5649f9cb8861267b6a0331555574c5b2.svg\" alt=\"$\\vec b$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. <\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0412 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u043c \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b\u0435 \u043c\u044b \u0438\u0449\u0435\u043c \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6bd\/bf2\/1e1\/6bdbf21e12680f677992e06462f5f7e7.svg\" alt=\"$\\vec c$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u0430\u044f \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 (\u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u0435\u0435 \u043a\u0430\u043a \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/47e\/792\/77d\/47e79277dc17c254743475ff05980a53.svg\" alt=\"$C$\" data-tex=\"inline\"><\/math>) \u0431\u044b\u043b\u0430 \u0431\u043b\u0438\u0436\u0430\u0439\u0448\u0435\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u043e\u0439 \u043a \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/20d\/8ca\/ec6\/20d8caec693d8d8eaf70885e408419f6.svg\" alt=\"$B$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u043b\u0435\u0436\u0430\u0449\u0435\u0439 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/55c\/adf\/0f7\/55cadf0f78c709cf781071e38f318a1f.svg\" alt=\"$OA$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0418\u043d\u0430\u0447\u0435 \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u044f, \u043c\u044b \u0445\u043e\u0442\u0438\u043c \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0449\u0443\u044e <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/564\/9f9\/cb8\/5649f9cb8861267b6a0331555574c5b2.svg\" alt=\"$\\vec b$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0432 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9ee\/51f\/4eb\/9ee51f4ebb9c3c246096e08d630ed7c2.svg\" alt=\"$\\vec a$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0442.\u0435. \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9b0\/012\/4e4\/9b00124e411362185d05b841bc32695f.svg\" alt=\"$t$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f83\/d9c\/aac\/f83d9caac3caed39519bfc8f846beef1.svg\" alt=\"$\\vec c = \\vec a \\cdot t$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/778\/cdf\/e30\/778cdfe30706903b8f16020dcf1a8bc9.svg\" alt=\"$|\\vec c - \\vec b| \\rightarrow min$\" data-tex=\"inline\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u043c\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/20d\/8ca\/ec6\/20d8caec693d8d8eaf70885e408419f6.svg\" alt=\"$B$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/47e\/792\/77d\/47e79277dc17c254743475ff05980a53.svg\" alt=\"$C$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c, \u0435\u0441\u043b\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b14\/4e5\/b70\/b144e5b70b361bc6af8f789800779080.svg\" alt=\"$\\angle OCB = 90^\\circ$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0442\u0440\u0435\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0438\u043a \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/dde\/0b9\/15e\/dde0b915eb4b29345c987c99c96a0bc0.svg\" alt=\"$OCB$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/46a\/e7a\/9ac\/46ae7a9acdeadedf62bde6267ae4cfc8.svg\" alt=\"$\\alpha = \\angle COB$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u041c\u044b \u0437\u043d\u0430\u0435\u043c, \u0447\u0442\u043e <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/28e\/e54\/db7\/28ee54db7624f6f62b9fb47109df8be4.svg\" alt=\"$\\cos{\\alpha} = \\frac{|OC|}{|OB|}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043f\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0441\u043e\u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0442\u0440\u0435\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0438\u043a\u0430<br \/>  (<math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8c9\/54e\/6b6\/8c954e6b6167d9491f2b23a2b7bf38ae.svg\" alt=\"$OB$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u0433\u0438\u043f\u043e\u0442\u0435\u043d\u0443\u0437\u0430, <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e18\/764\/a50\/e18764a50e70f7d3bce612eade5dcdbf.svg\" alt=\"$OC$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u043f\u0440\u0438\u043b\u0435\u0436\u0430\u0449\u0438\u0439 \u043a\u0430\u0442\u0435\u0442).<br \/>  \u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0435\u043c \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/121\/735\/270\/121735270c7d036830146e2a40fa6b7d.svg\" alt=\"$s = \\vec a \\cdot \\vec b = |\\vec a| \\cdot |\\vec b| \\cdot \\cos{\\alpha}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u041e\u0442\u0441\u044e\u0434\u0430 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e95\/f2a\/188\/e95f2a188e9354d987f3497584d0b254.svg\" alt=\"$\\cos{\\alpha} = \\frac {\\vec a \\cdot \\vec b } {|\\vec a| \\cdot |\\vec b|}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0410 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/3f1\/85b\/0ec\/3f185b0ec6d84895d19ced0e3b201f53.svg\" alt=\"$\\frac{|OC|}{|OB|} = \\frac {\\vec a \\cdot \\vec b } {|\\vec a| \\cdot |\\vec b|}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<br \/>  \u0422\u0443\u0442 \u0432\u0441\u043f\u043e\u043c\u0438\u043d\u0430\u0435\u043c, \u0447\u0442\u043e <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e18\/764\/a50\/e18764a50e70f7d3bce612eade5dcdbf.svg\" alt=\"$OC$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0438\u0441\u043a\u043e\u043c\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6bd\/bf2\/1e1\/6bdbf21e12680f677992e06462f5f7e7.svg\" alt=\"$\\vec c$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8c9\/54e\/6b6\/8c954e6b6167d9491f2b23a2b7bf38ae.svg\" alt=\"$OB$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/564\/9f9\/cb8\/5649f9cb8861267b6a0331555574c5b2.svg\" alt=\"$\\vec b$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d04\/5f5\/220\/d045f5220b463d04f4f22009ea723320.svg\" alt=\"$\\frac{|\\vec c|}{|\\vec b|} = \\frac {\\vec a \\cdot \\vec b } {|\\vec a| \\cdot |\\vec b|}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0423\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0435\u043c \u043e\u0431\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043d\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7ba\/c5f\/bbe\/7bac5fbbe904beaadb233caa74c237cd.svg\" alt=\"$|\\vec b|$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6b4\/8cd\/28a\/6b48cd28ae7798eb2c98e9dad8c7f8fa.svg\" alt=\"$|\\vec c| = \\frac {\\vec a \\cdot \\vec b } {|\\vec a|}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043c\u044b \u0437\u043d\u0430\u0435\u043c \u0434\u043b\u0438\u043d\u0443 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6bd\/bf2\/1e1\/6bdbf21e12680f677992e06462f5f7e7.svg\" alt=\"$\\vec c$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6bd\/bf2\/1e1\/6bdbf21e12680f677992e06462f5f7e7.svg\" alt=\"$\\vec c$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0442 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9ee\/51f\/4eb\/9ee51f4ebb9c3c246096e08d630ed7c2.svg\" alt=\"$\\vec a$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0434\u043b\u0438\u043d\u043d\u043e\u0439, \u043d\u043e \u043d\u0435 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c, \u0430 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0441\u043e\u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043b\u0438\u043d \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c: <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/bdf\/1bc\/eaa\/bdf1bceaa547a6ba49c1dfd3a39164d3.svg\" alt=\"$\\vec c = \\vec a \\cdot \\frac{|\\vec c|}{|\\vec a|}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0418 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0432\u044b\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0444\u0438\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b:<br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/07d\/c2c\/153\/07dc2c153e3e4b675c40cd3d069f2fe8.svg\" alt=\"$t = \\frac {\\vec a \\cdot \\vec b } {|\\vec a|^2} = \\frac {{\\vec a}^T \\vec b}{{\\vec a}^T \\vec a}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438<br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f9e\/ef4\/3d7\/f9eef43d79b64e0e0f955fccfba0e32f.svg\" alt=\"$\\vec c = \\vec a t = \\vec a (\\frac {{\\vec a}^T \\vec b}{{\\vec a}^T \\vec a})$\" data-tex=\"inline\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h3 id=\"normalizovannyy-vektor\">\u041d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440.<\/h3>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0425\u043e\u0440\u043e\u0448\u0438\u0439 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431 \u0443\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438\u0442\u044c \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0443 \u043d\u0430\u0434 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438 \u2014 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b. \u0412\u043e\u0437\u044c\u043c\u0435\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/ff5\/059\/671\/ff5059671e83505859d66f0b992edb1d.svg\" alt=\"$\\vec v$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u0441\u043e\u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6dc\/612\/aed\/6dc612aedf54da7771c490202d58aa16.svg\" alt=\"$\\vec{nv}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b. \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u043d\u0430 \u0435\u0433\u043e \u0434\u043b\u0438\u043d\u0443: <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9d2\/bbe\/3f7\/9d2bbe3f7613ddec38a44776651e09de.svg\" alt=\"$\\vec{nv} = \\frac{\\vec v}{|\\vec v|}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u042d\u0442\u0430 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0435\u0439, \u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u2014 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u043c.<br \/>  \u0417\u043d\u0430\u044f \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0438 \u0434\u043b\u0438\u043d\u0443 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440: <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/254\/d2a\/ec7\/254d2aec7b861de7e75c53f317e553a9.svg\" alt=\"$\\vec v = \\vec{nv} \\cdot |\\vec v|$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<br \/>  \u0417\u043d\u0430\u044f \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0438 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u0434\u043b\u0438\u043d\u0443: <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/296\/fb3\/b40\/296fb3b408d377819dfb958abf7837c0.svg\" alt=\"$|\\vec v| = {\\vec v}^T \\vec{nv}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<br \/>  \u0425\u043e\u0440\u043e\u0448\u0438\u043c \u043f\u0440\u0435\u0438\u043c\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e\u043c \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0442\u043e, \u0447\u0442\u043e \u0441\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438 (\u0442.\u043a. \u0434\u043b\u0438\u043d\u0430 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 1, \u0442\u043e \u043e\u043d\u0430 \u0441\u043e\u043a\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f). \u041f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/564\/9f9\/cb8\/5649f9cb8861267b6a0331555574c5b2.svg\" alt=\"$\\vec b$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043d\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9ee\/51f\/4eb\/9ee51f4ebb9c3c246096e08d630ed7c2.svg\" alt=\"$\\vec a$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b:<br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/ecb\/235\/b0e\/ecb235b0ed4505a8e80d1b2f35ea09e5.svg\" alt=\"$t = \\vec a \\cdot \\vec b = {\\vec a}^T \\vec b$\" data-tex=\"inline\"><\/math><br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d0c\/be5\/8ef\/d0cbe58ef56fafc527e2dfb35b488c4b.svg\" alt=\"$\\vec c = \\vec a {(\\vec a}^T \\vec b)$\" data-tex=\"inline\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h3 id=\"matrica-povorota-dvumernogo-prostranstva\">\u041c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u0434\u0432\u0443\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430.<\/h3>\n<p>  <\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043d\u0435\u043a\u0430\u044f \u0444\u0438\u0433\u0443\u0440\u0430:<br \/>  <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/webt\/b9\/gi\/3n\/b9gi3nl76kefzw5ehnvojk1sn0i.png\" alt=\"Figure\"><br \/>  \u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u0435\u0435 \u043d\u0430\u0440\u0438\u0441\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c, \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u044b \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u044b \u0435\u0435 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d, \u043e\u0442 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u0441\u0442\u0440\u043e\u044f\u0442\u0441\u044f \u043b\u0438\u043d\u0438\u0438. \u041a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u044b \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u044b \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/258\/cce\/171\/258cce171082c2ec35a9d8376d8c276a.svg\" alt=\"$\\vec v_i = \\begin{pmatrix}{v_i}_x &amp; {v_i}_y \\end{pmatrix}^T$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u041d\u0430\u0448\u0430 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u043d\u0430\u044f \u0441\u0435\u0442\u043a\u0430 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0430 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u043e\u0441\u044f\u043c\u0438 \u2014 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 (\u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b\u043c\u0438) \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438. \u0412 \u0434\u0432\u0443\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0434\u0432\u0430 \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043a \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u043c\u0443 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0443 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0436\u0435 \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c: <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b43\/c09\/397\/b43c093970985376d7cd4a86487ad18e.svg\" alt=\"$\\perp \\vec v = \\begin{pmatrix}\\mp v_y &amp; \\pm v_x \\end{pmatrix}^T$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u043b\u0435\u0432\u044b\u0439 \u0438 \u043f\u0440\u0430\u0432\u044b\u0439 \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u044b. \u0411\u0435\u0440\u0435\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0437\u0430\u0434\u0430\u044e\u0449\u0438\u043c \u043e\u0441\u044c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6d6\/a4f\/78f\/6d6a4f78fbacd6edecc018ce8ad3e364.svg\" alt=\"$X$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/636\/4a9\/bde\/6364a9bdea97e80b3ede268b38d16f05.svg\" alt=\"$\\vec{aX}=\\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 \\end{pmatrix}^T$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 \u043e\u0441\u044c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c62\/ff2\/5ef\/c62ff25ef4caeaeaef7122a489ef9d07.svg\" alt=\"$Y$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u043b\u0435\u0432\u044b\u0439 \u043a \u043d\u0435\u043c\u0443 \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440 \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a92\/519\/c61\/a92519c611e4a61ec56ce18815ce8b76.svg\" alt=\"$\\vec{aY}=\\begin{pmatrix} 0 &amp; 1 \\end{pmatrix}^T$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<br \/>  \u0412\u044b\u0432\u0435\u0434\u0435\u043c \u043d\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c\u044b\u0439 \u0438\u0437 \u043d\u0430\u0448\u0438\u0445 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432:<br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/ce4\/652\/f9c\/ce4652f9c149e826134266e23dd65239.svg\" alt=\"$\\vec{v'} = \\vec{aX}^T \\cdot v_x + \\vec{aY}^T \\cdot v_y = \\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 \\end{pmatrix}^T \\cdot v_x + \\begin{pmatrix} 0 &amp; 1 \\end{pmatrix}^T \\cdot v_y = \\begin{pmatrix} v_x &amp; v_y \\end{pmatrix}^T = \\vec v$\" data-tex=\"inline\"><\/math><br \/>  \u0421\u044e\u0440\u043f\u0440\u0438\u0437 \u2014 \u043e\u043d \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u0435\u0442 \u0441 \u043d\u0430\u0448\u0438\u043c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c.<br \/>  \u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0435\u043c \u043a\u0430\u043a-\u0442\u043e \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430\u0448\u0443 \u0444\u0438\u0433\u0443\u0440\u0443 \u2014 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u043d\u0435\u043c \u0435\u0435 \u043d\u0430 \u0443\u0433\u043e\u043b <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/723\/4a5\/2ba\/7234a52ba041cdb09b9328a047048fb2.svg\" alt=\"$\\alpha$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u043d\u0435\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4fb\/0da\/6cd\/4fb0da6cd882ac55a4fa00356edcf433.svg\" alt=\"$\\vec{aX}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/03c\/70f\/ea6\/03c70fea6f4cd0a7f6b5ae543d170167.svg\" alt=\"$\\vec{aY}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0437\u0430\u0434\u0430\u044e\u0449\u0438\u0445 \u043e\u0441\u0438 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442. \u041f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/644\/b4e\/c15\/644b4ec15277bd7b5c0e2fb76941d6a1.svg\" alt=\"$\\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 \\end{pmatrix}^T$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0437\u0430\u0434\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u043e\u043c \u0438 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u043e\u043c \u0443\u0433\u043b\u0430 \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e49\/4a9\/b86\/e494a9b86dedc5f2b8e0029f63963f36.svg\" alt=\"$\\vec{aX}=rotate(\\begin{pmatrix} 0 &amp; 1 \\end{pmatrix}^T, \\alpha) = \\begin{pmatrix} \\cos{\\alpha} &amp; \\sin{\\alpha} \\end{pmatrix}^T$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0410 \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043e\u0441\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c62\/ff2\/5ef\/c62ff25ef4caeaeaef7122a489ef9d07.svg\" alt=\"$Y$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0435\u043c \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440 \u043a <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4fb\/0da\/6cd\/4fb0da6cd882ac55a4fa00356edcf433.svg\" alt=\"$\\vec{aX}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>: <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/151\/624\/750\/15162475011d3635e2faa66980c28acc.svg\" alt=\"$\\vec{aY}=\\perp \\vec{aX}=\\begin{pmatrix} -\\sin{\\alpha} &amp; \\cos{\\alpha} \\end{pmatrix}^T$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0412\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0432 \u044d\u0442\u0443 \u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0446\u0438\u044e, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u043d\u043e\u0432\u0443\u044e \u0444\u0438\u0433\u0443\u0440\u0443:<br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9f8\/5ee\/8ec\/9f85ee8ecc39fbf07d46d8dd165ef696.svg\" alt=\"$\\vec{v_i'} = \\vec{aX} \\cdot {v_i}_x + \\vec{aY} \\cdot {v_i}_y$\" data-tex=\"inline\"><\/math> <\/p>\n<p>  <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/webt\/qo\/sq\/5c\/qosq5cfndegnup7_ygd_tdylz4u.png\" alt=\"$&lt;!-- math&gt;$inline$\\alpha=20^\\circ$inline$&lt;\/math --&gt;$\"><\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4fb\/0da\/6cd\/4fb0da6cd882ac55a4fa00356edcf433.svg\" alt=\"$\\vec{aX}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/03c\/70f\/ea6\/03c70fea6f4cd0a7f6b5ae543d170167.svg\" alt=\"$\\vec{aY}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u043e\u0440\u0442\u043e\u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u043c \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043e\u043c, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043a\u0430\u043a \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0441\u043e\u0431\u043e\u0439 (\u0430 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441 \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u0435\u043d), \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u0443\u044e \u0434\u043b\u0438\u043d\u0443, \u0442.\u0435. \u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u044b.<\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043c\u044b \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u0438\u043c \u043e \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0438\u0445 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0430\u0445 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442 \u2014 \u0431\u0430\u0437\u043e\u0432\u043e\u0439 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442 (\u043d\u0430\u0437\u043e\u0432\u0435\u043c \u0435\u0435 \u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u043e\u0439), \u0438 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0434\u043b\u044f \u043d\u0430\u0448\u0435\u0433\u043e \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u0430 (\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0443\u044e \u043c\u044b \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u0430\u0447\u0438\u0432\u0430\u043b\u0438). \u0423\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430\u0448 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0432 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/393\/42d\/c64\/39342dc649f4756fbf7fa475792135bd.svg\" alt=\"$R = \\begin{pmatrix} \\vec{aX} &amp; \\vec{aY} \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} \\cos{\\alpha} &amp; -\\sin{\\alpha} \\\\ \\sin{\\alpha} &amp; \\cos{\\alpha} \\end{pmatrix}$\" data-tex=\"inline\"><\/math><br \/>  \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1c5\/b47\/ee6\/1c5b47ee663220bb723d1214054d2665.svg\" alt=\"$\\vec{v_i'} = \\vec{aX} \\cdot {v_i}_x + \\vec{aY} \\cdot {v_i}_y = \\begin{pmatrix} \\vec{aX} &amp; \\vec{aY} \\end{pmatrix} \\vec{v_i} = R \\cdot \\vec{v_i}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<br \/>  \u0412 \u0438\u0442\u043e\u0433\u0435 \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a4d\/8d7\/efd\/a4d8d7efd2920da263284b472dc9d8b5.svg\" alt=\"$\\vec{v_i'} = R \\cdot \\vec{v_i}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<br \/>  \u041c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b81\/a7c\/1e9\/b81a7c1e9676b36cc02ddeea5d5f6e51.svg\" alt=\"$R$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0449\u0430\u044f \u043e\u0440\u0442\u043e\u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441 \u0438 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0449\u0430\u044f \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442, \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0435\u0439 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430.<br \/>  \u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0440\u044f\u0434 \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u0442 \u0438\u043c\u0435\u0442\u044c \u0432\u0432\u0438\u0434\u0443: <\/p>\n<p>  <\/p>\n<ul>\n<li>\u041f\u0440\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2c2\/a63\/c1f\/2c2a63c1ff9ae0956c6cc74f6aa78def.svg\" alt=\"$R = I$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0433\u0434\u0435 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/64b\/eb7\/37a\/64beb737a23fb5cb0a455f0e9213f2a4.svg\" alt=\"$I$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430, \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u043e\u043c\u0443 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0443 (\u0443\u0433\u043e\u043b <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5ea\/af2\/599\/5eaaf2599aa9f97a55f2aff90ef6ec3f.svg\" alt=\"$\\alpha = 0$\" data-tex=\"inline\"><\/math>), \u0438 \u0432 \u0442\u0430\u043a\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043e\u0441\u0438 \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u044e\u0442 \u0441 \u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u044b\u043c\u0438. \u041a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u043b\u0438 \u0432\u044b\u0448\u0435, \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u043d\u0438\u043a\u0430\u043a \u043d\u0435 \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440.<\/li>\n<li><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e97\/fce\/191\/e97fce191f40ba0b0a9643b799797965.svg\" alt=\"$|R|=1$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d 1, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0443 \u043d\u0430\u0441, \u043a\u0430\u043a \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u0431\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043f\u0440\u0430\u0432\u0430\u044f \u0442\u0440\u043e\u0439\u043a\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432. <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/615\/b58\/b53\/615b58b53ed20733335d11a2483c6e26.svg\" alt=\"$|R| = -1$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0442\u0440\u043e\u0439\u043a\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u043b\u0435\u0432\u0430\u044f. <\/li>\n<li><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2ef\/9a4\/380\/2ef9a438048bcc8cc8a7d8518e7b200d.svg\" alt=\"$R^T = R^{-1}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. <\/li>\n<li><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c94\/e82\/fd7\/c94e82fd7d5fe94e879d9786e04148df.svg\" alt=\"$R^T R = R^{-1} R = I$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/05a\/1c4\/985\/05a1c49853db7d4fab02242fa16a0e59.svg\" alt=\"$R^T R = \\begin{pmatrix}\\vec{aX} &amp; \\vec{aY}\\end{pmatrix}^T \\begin{pmatrix}\\vec{aX} &amp; \\vec{aY}\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix}\\vec{aX}^T\\vec{aX} &amp; \\vec{aX}^T\\vec{aY} \\\\ \\vec{aY}^T\\vec{aX} &amp; \\vec{aY}^T\\vec{aY}\\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 \\\\ 0 &amp; 1 \\end{pmatrix}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<\/li>\n<li><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a5a\/8e2\/900\/a5a8e2900665ceab392774f855304cb3.svg\" alt=\"$\\vec{v'} = R \\vec v \\Rightarrow |\\vec{v'}|=|\\vec v|$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u043d\u0435 \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442 \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430.<\/li>\n<li>\u0437\u043d\u0430\u044f <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/377\/4f1\/9e1\/3774f19e13a03eb66f16a38fa132a15c.svg\" alt=\"$\\vec{v'}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b81\/a7c\/1e9\/b81a7c1e9676b36cc02ddeea5d5f6e51.svg\" alt=\"$R$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/ff5\/059\/671\/ff5059671e83505859d66f0b992edb1d.svg\" alt=\"$\\vec v$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6ce\/db6\/13b\/6cedb613b3bc2a08c29bc276e6c88111.svg\" alt=\"$\\vec v = R^{-1} \\vec{v'} = R^T \\vec{v'}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0422.\u0435. \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043d\u0430 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u043c\u044b \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0435\u043c \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0438\u0437 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u0430 \u0432 \u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0443\u044e, \u043d\u043e \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u043e\u0441\u0442\u0443\u043f\u0430\u0442\u044c \u0438 \u043d\u0430\u043e\u0431\u043e\u0440\u043e\u0442 \u2014 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u044b\u0435 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u044b \u0432 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0443 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u0430, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u044f \u043d\u0430 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u0443\u044e \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430.<\/li>\n<\/ul>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0435\u043c \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u0442\u044c \u043d\u0430\u0448 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442 \u0434\u0432\u0430 \u0440\u0430\u0437\u0430, \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0437 \u043d\u0430 \u0443\u0433\u043e\u043b <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/723\/4a5\/2ba\/7234a52ba041cdb09b9328a047048fb2.svg\" alt=\"$\\alpha$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0437 \u043d\u0430 \u0443\u0433\u043e\u043b <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7fd\/b73\/0d9\/7fdb730d916a98c0ad71826e0bc706bf.svg\" alt=\"$\\beta$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u041c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0438\u0437 \u0443\u0433\u043b\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/723\/4a5\/2ba\/7234a52ba041cdb09b9328a047048fb2.svg\" alt=\"$\\alpha$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u043a\u0430\u043a <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/27f\/20f\/007\/27f20f0079cb0aba64cc23220a1f618e.svg\" alt=\"$R_a$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0438\u0437 \u0443\u0433\u043b\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7fd\/b73\/0d9\/7fdb730d916a98c0ad71826e0bc706bf.svg\" alt=\"$\\beta$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f28\/9b5\/974\/f289b59747c6219bd084575f4feb31f3.svg\" alt=\"$R_b$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0420\u0430\u0441\u043f\u0438\u0448\u0435\u043c \u043d\u0430\u0448\u0435 \u0438\u0442\u043e\u0433\u043e\u0432\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435:<br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/480\/ccb\/5e4\/480ccb5e46fdb58d9490bfc3bcf8efa2.svg\" alt=\"$\\vec{{v'}_i} = R_b R_a \\vec{v_i}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. <\/p>\n<p>  <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/webt\/7-\/rn\/p1\/7-rnp1bxriwxse3mvbgrj9e1hy0.png\" alt=\"$&lt;!-- math&gt;$inline$\\alpha=20^\\circ, \\beta=10^\\circ$inline$&lt;\/math --&gt;$\"> <\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4e7\/d37\/4ec\/4e7d374ecf42d4c0d53f704dd1c69198.svg\" alt=\"$R_c = R_b R_a$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2f7\/107\/747\/2f7107747a6678059be01c4c30088119.svg\" alt=\"$\\vec{{v'}_i} = R_c \\vec{v_i}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0418 \u0438\u0437 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439 \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043b\u0438 \u043e\u0434\u043d\u0443. \u0422\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 (\u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043b\u0438 \u0435\u0435 \u043f\u0440\u0438 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u0438 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b), \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0439 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0435\u0439, \u0447\u0442\u043e \u0441\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430\u0434 \u043d\u0438\u043c\u0438 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0443.<\/p>\n<p>  <\/p>\n<h3 id=\"masshtabirovanie-v-dvumernom-prostranstve\">\u041c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0434\u0432\u0443\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435.<\/h3>\n<p>  <\/p>\n<p>\u041c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442 \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e, \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u044b \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a \u043d\u0430 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442 \u043c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431\u0430: <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/352\/fe3\/008\/352fe300899097628942a58cb887310f.svg\" alt=\"$\\vec{v_i'} = s \\cdot \\vec{v_i}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043c\u044b \u0445\u043e\u0442\u0438\u043c \u043c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442 \u043d\u0430 \u0440\u0430\u0437\u043d\u0443\u044e \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u0443 \u043f\u043e \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u043c \u043e\u0441\u044f\u043c, \u0442\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434: <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/999\/f88\/c6f\/999f88c6f77221b16f6175b15ad0e009.svg\" alt=\"$\\vec{v_i'} = \\begin{pmatrix} s_x \\cdot {v_i}_x &amp; s_y \\cdot {v_i}_y \\end{pmatrix}^T$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0414\u043b\u044f \u0443\u0434\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u0435\u0434\u0435\u043c \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044e \u0432 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0438\u0434: <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8ca\/91d\/627\/8ca91d627d71aa47ec3a485c65388d9f.svg\" alt=\"$S = \\begin{pmatrix} s_x &amp; 0 \\\\ 0 &amp; s_y \\end{pmatrix}, \\vec{v_i'} = S \\cdot \\vec{v_i}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u043d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u0442\u044c \u0438 \u043c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043d\u0430\u0448 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442. \u041d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043e\u0442\u043c\u0435\u0442\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c, \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u0442\u044c, \u0442\u043e \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f, \u043e\u0442 \u0442\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0430, \u0433\u0434\u0435 \u043c\u044b \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u043b\u0438, \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u043c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043b\u0438:<\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442, \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u043c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e \u043e\u0441\u044f\u043c:<br \/>  <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/webt\/rz\/pl\/ku\/rzplkuibpbhua9fezkdq5mjdpj8.png\" alt=\"$&lt;!-- math&gt;$inline$\\alpha=20^\\circ, s_x=1.5, s_y=0.5$inline$&lt;\/math --&gt;$\"><\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e \u043e\u0441\u044f\u043c, \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442:<br \/>  <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/webt\/oz\/qu\/nj\/ozqunjf6nkqxbsxi9ukxjpncdow.png\" alt=\"$&lt;!-- math&gt;$inline$\\alpha=20^\\circ, s_x=1.5, s_y=0.5$inline$&lt;\/math --&gt;$\"><\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u041a\u0430\u043a \u043c\u044b \u0432\u0438\u0434\u0438\u043c \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u043a \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439 \u0438\u0433\u0440\u0430\u0435\u0442 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0438 \u0435\u0433\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043e\u0431\u044f\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c.<br \/>  \u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u043c\u044b \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u044f\u0442\u044c \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0432 \u043e\u0434\u043d\u0443:<br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/00c\/69f\/562\/00c69f562c44e9817631703bc78a2ba0.svg\" alt=\"$\\vec{{v'}_i} = S R \\vec{v_i}, \\space T_a = S R \\space \\Rightarrow \\space \\vec{{v'}_i} = T_a \\vec{v_i}$\" data-tex=\"inline\"><\/math><br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e34\/860\/801\/e348608015e135890c88cc24e266ab82.svg\" alt=\"$\\vec{{v'}_i} = R S \\vec{v_i}, \\space T_b = R S \\space \\Rightarrow \\space \\vec{{v'}_i} = T_b \\vec{v_i}$\" data-tex=\"inline\"><\/math><br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/902\/229\/e46\/902229e460cd22ed5a0ab7211fb8685f.svg\" alt=\"$T_a \\neq T_b!$\" data-tex=\"inline\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0425\u043e\u0442\u044f \u0432 \u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435, \u0435\u0441\u043b\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/86c\/d68\/4a1\/86cd684a1096a346cf7ac5cb60e9562d.svg\" alt=\"$s_x = s_y$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0442\u043e <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/bb5\/394\/b56\/bb5394b56e3572dcfcf0c8d1c1f878b0.svg\" alt=\"$T_a = T_b$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0422\u0435\u043c \u043d\u0435 \u043c\u0435\u043d\u0435\u0435, \u0441 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u043e\u043c \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0439 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0431\u044b\u0442\u044c \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0430\u043a\u043a\u0443\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u043c. \u0418\u0445 \u043d\u0435\u043b\u044c\u0437\u044f \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a \u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u043c\u0435\u0441\u0442\u0430\u043c\u0438.<\/p>\n<p>  <\/p>\n<h3 id=\"vektornoe-proizvedenie-vektorov\">\u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432.<\/h3>\n<p>  <\/p>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0434\u0435\u043c \u0432 \u0442\u0440\u0435\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u0438 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u043d\u0430 \u043d\u0435\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435.<br \/>  \u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0432 \u0442\u0440\u0451\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435 \u2014 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043a \u043e\u0431\u043e\u0438\u043c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c, \u0434\u043b\u0438\u043d\u0430 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u0438 \u043f\u0430\u0440\u0430\u043b\u043b\u0435\u043b\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0430, \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438.<\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430 \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0435\u043c \u0434\u0432\u0430 \u0442\u0440\u0435\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9ee\/51f\/4eb\/9ee51f4ebb9c3c246096e08d630ed7c2.svg\" alt=\"$\\vec a$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/564\/9f9\/cb8\/5649f9cb8861267b6a0331555574c5b2.svg\" alt=\"$\\vec b$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0418 \u0432 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/49e\/c59\/9b4\/49ec599b461f9e1e639f4dc49325d93d.svg\" alt=\"$\\vec c = \\vec a \\times \\vec b = \\begin{pmatrix}a_y \\cdot b_z - a_z \\cdot b_y &amp; a_z \\cdot b_x - a_x \\cdot b_z &amp; a_x \\cdot b_y - a_y \\cdot b_x \\end{pmatrix}^T$\" data-tex=\"inline\"><\/math> <\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0412\u0438\u0437\u0443\u0430\u043b\u0438\u0437\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0434\u0430\u043d\u043d\u0443\u044e \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044e:<br \/>  <img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/webt\/u5\/-m\/rp\/u5-mrpfzeggwxwfytcxfwakza8a.png\"><br \/>  \u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u043d\u0430\u0448\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9ee\/51f\/4eb\/9ee51f4ebb9c3c246096e08d630ed7c2.svg\" alt=\"$\\vec a$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/564\/9f9\/cb8\/5649f9cb8861267b6a0331555574c5b2.svg\" alt=\"$\\vec b$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6bd\/bf2\/1e1\/6bdbf21e12680f677992e06462f5f7e7.svg\" alt=\"$\\vec c$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0441 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442, \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u043e\u0439 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2b6\/47e\/ca4\/2b647eca43a3275e9b95a138b659a0ea.svg\" alt=\"$O$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u041a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u0430\u044f \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9ee\/51f\/4eb\/9ee51f4ebb9c3c246096e08d630ed7c2.svg\" alt=\"$\\vec a$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/493\/c1c\/008\/493c1c008018df9bed4910321f29ff00.svg\" alt=\"$A$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u041a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u0430\u044f \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/564\/9f9\/cb8\/5649f9cb8861267b6a0331555574c5b2.svg\" alt=\"$\\vec b$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/20d\/8ca\/ec6\/20d8caec693d8d8eaf70885e408419f6.svg\" alt=\"$B$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u041f\u0430\u0440\u0430\u043b\u043b\u0435\u043b\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c \u0438\u0437 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u043c\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2b6\/47e\/ca4\/2b647eca43a3275e9b95a138b659a0ea.svg\" alt=\"$O$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/493\/c1c\/008\/493c1c008018df9bed4910321f29ff00.svg\" alt=\"$A$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/20d\/8ca\/ec6\/20d8caec693d8d8eaf70885e408419f6.svg\" alt=\"$B$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c5e\/2ea\/3b6\/c5e2ea3b63d255f7a483773fe1d664b2.svg\" alt=\"$D$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u041a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u044b \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c5e\/2ea\/3b6\/c5e2ea3b63d255f7a483773fe1d664b2.svg\" alt=\"$D$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u043a\u0430\u043a \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/942\/6e4\/167\/9426e416730ebcc3684e7ec05fdf59a0.svg\" alt=\"$D = \\vec a + \\vec b$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0412 \u0438\u0442\u043e\u0433\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0441\u043e\u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f: <\/p>\n<p>  <\/p>\n<ul>\n<li><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a43\/b7a\/2ae\/a43b7a2ae8de1a7a83b0c546db09c348.svg\" alt=\"$|\\vec c| = S(OABD)$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0433\u0434\u0435 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/cb6\/d45\/cf9\/cb6d45cf916546ae1085088c0c5dcd09.svg\" alt=\"$S$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u044c,<\/li>\n<li><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8ba\/4aa\/631\/8ba4aa631e2b0ac72b6fed44a18b3e42.svg\" alt=\"$\\vec{a}^T \\vec c = 0$\" data-tex=\"inline\"><\/math>,<\/li>\n<li><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1bb\/61f\/8fc\/1bb61f8fc754cdf7c68a50425025c42b.svg\" alt=\"$\\vec{b}^T \\vec c = 0$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<\/li>\n<\/ul>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0414\u0432\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u044e\u0442 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440 \u043a \u044d\u0442\u043e\u0439 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438. \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0432\u0448\u0438\u0435\u0441\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u044e\u0442 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u044e\u0442 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0443\u044e \u0442\u0440\u043e\u0439\u043a\u0443 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0431\u0435\u0440\u0435\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0442\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440 \u043a \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438, \u0438 \u0442\u0440\u043e\u0439\u043a\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0443\u0436\u0435 \u043b\u0435\u0432\u043e\u0439.<\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0437\u0430\u043f\u043e\u043c\u0438\u043d\u0430\u043d\u0438\u044f \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043c\u043d\u0435\u043c\u043e\u043d\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c. \u041f\u0443\u0441\u0442\u044c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/fb2\/122\/108\/fb2122108e3bc99f7890c6dc431ca137.svg\" alt=\"$i = \\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 &amp; 0 \\end{pmatrix}^T, \\space j = \\begin{pmatrix} 0 &amp; 1 &amp; 0 \\end{pmatrix}^T, \\space k = \\begin{pmatrix} 0 &amp; 0 &amp; 1 \\end{pmatrix}^T$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0438 \u043c\u044b \u0440\u0430\u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u043f\u043e \u0441\u0442\u0440\u043e\u043a\u0435 \u043a\u0430\u043a \u0441\u0443\u043c\u043c\u0443 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435\u0439 \u043c\u0438\u043d\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4f1\/c86\/e8c\/4f1c86e8c371a7c295ddcea41b2d2d62.svg\" alt=\"$i, j, k$\" data-tex=\"inline\"><\/math>:<br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/212\/9ad\/fcc\/2129adfcc4963c34c3bcfa8b224c3503.svg\" alt=\"$\\vec c = \\vec a \\times \\vec b = \\begin{vmatrix} (i, j, k)^T &amp; \\vec a &amp; \\vec b \\end{vmatrix} = \\begin{vmatrix} i &amp; a_x &amp; b_x \\\\ j &amp; a_y &amp; b_y \\\\ k &amp; a_z &amp; b_z \\end{vmatrix} = i \\cdot \\begin{vmatrix} a_y &amp; b_y \\\\ a_z &amp; b_z \\end{vmatrix} - j \\cdot \\begin{vmatrix} a_x &amp; b_x \\\\ a_z &amp; b_z \\end{vmatrix} + k \\cdot \\begin{vmatrix} a_x &amp; b_x \\\\ a_y &amp; b_y \\end{vmatrix} \\space \\Rightarrow$\" data-tex=\"inline\"><\/math><br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/47b\/b66\/2d5\/47bb662d5e031de9d0fbcbb4f2bf6751.svg\" alt=\"$\\vec c = \\begin{pmatrix}a_y \\cdot b_z - a_z \\cdot b_y &amp; a_z \\cdot b_x - a_x \\cdot b_z &amp; a_x \\cdot b_y - a_y \\cdot b_x \\end{pmatrix}^T$\" data-tex=\"inline\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u041d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f: <\/p>\n<p>  <\/p>\n<ul>\n<li>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0434\u0432\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b \u0438 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u044b, \u0442\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0438\u043c\u0435\u0442\u044c \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u0443\u044e \u0434\u043b\u0438\u043d\u0443. \u041f\u0430\u0440\u0430\u043b\u043b\u0435\u043b\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438, \u0441\u0442\u0430\u043d\u0435\u0442 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043e\u043c \u0441 \u0434\u043b\u0438\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0435. \u0422.\u0435. \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u044c \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0435, \u043e\u0442\u0441\u044e\u0434\u0430 \u0434\u043b\u0438\u043d\u0430 \u0432\u044b\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u2014 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0430.<\/li>\n<li><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/fab\/e9b\/3e3\/fabe9b3e3cbcc069deb90b714c29a805.svg\" alt=\"$\\vec a \\times \\vec b = - \\vec b \\times \\vec a$\" data-tex=\"inline\"><\/math><\/li>\n<\/ul>\n<p>  <\/p>\n<h3 id=\"matrica-povorota-trehmernogo-prostranstva\">\u041c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u0442\u0440\u0435\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430.<\/h3>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0421 \u0442\u0435\u043c, \u043a\u0430\u043a \u0444\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 \u0432 \u0434\u0432\u0443\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435 \u043c\u044b \u0440\u0430\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u043b\u0438\u0441\u044c. \u0412 \u0442\u0440\u0435\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u043c \u043e\u043d\u0430 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0443\u0436\u0435 \u043d\u0435 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f, \u0430 \u0442\u0440\u0435\u043c\u044f \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438 \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b00\/a0d\/0ed\/b00a0d0ed2965352526b027af7efdc9b.svg\" alt=\"$R = \\begin{pmatrix} \\vec{aX} &amp; \\vec{aY} &amp; \\vec{aZ} \\end{pmatrix}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u041f\u043e \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c, \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u043d\u044b\u043c \u0432\u044b\u0448\u0435, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0435 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u044d\u0442\u0438\u043c\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c: <\/p>\n<p>  <\/p>\n<ul>\n<li><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/65c\/cda\/1cd\/65ccda1cd997c32deb2bf756a5d4595c.svg\" alt=\"$\\vec{aZ} = \\vec{aX} \\times \\vec{aY}$\" data-tex=\"inline\"><\/math><\/li>\n<li><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a8e\/e60\/1d0\/a8ee601d01f4ddc726378d303c78a681.svg\" alt=\"$\\vec{aX} = \\vec{aY} \\times \\vec{aZ}$\" data-tex=\"inline\"><\/math><\/li>\n<li><math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9a0\/247\/e75\/9a0247e75bcc1796cf166c6a7b08d2ba.svg\" alt=\"$\\vec{aY} = \\vec{aZ} \\times \\vec{aX}$\" data-tex=\"inline\"><\/math><\/li>\n<\/ul>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u044d\u0442\u0438\u0445 \u043e\u0441\u0435\u0439 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u0435\u0435, \u0447\u0435\u043c \u0432 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0435 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u0434\u0432\u0443\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430. \u0414\u043b\u044f \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u044d\u0442\u0438\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0432 \u0442\u0440\u0435\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0445 \u0434\u0432\u0438\u0436\u043a\u0430\u0445 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f lookAt. \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043d\u0430\u043c \u043f\u043e\u043d\u0430\u0434\u043e\u0431\u044f\u0442\u0441\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u0437\u0433\u043b\u044f\u0434\u0430 \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5fb\/223\/422\/5fb223422d94e579e41c1c730f14136b.svg\" alt=\"$\\vec z$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 \u043e\u043f\u043e\u0440\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0434\u043b\u044f \u043e\u0441\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c62\/ff2\/5ef\/c62ff25ef4caeaeaef7122a489ef9d07.svg\" alt=\"$Y$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f8a\/721\/5c3\/f8a7215c3645f9ba287fa478743c4465.svg\" alt=\"$\\vec y$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0421\u0430\u043c \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c:<\/p>\n<p>  <\/p>\n<ol>\n<li>\u041e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0430\u043c\u0435\u0440\u044b \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u0435\u0442 \u0441 \u043e\u0441\u044c\u044e <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/274\/25a\/3cd\/27425a3cdf6cdf9dea5baa307429b5a7.svg\" alt=\"$Z$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u0435\u043c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5fb\/223\/422\/5fb223422d94e579e41c1c730f14136b.svg\" alt=\"$\\vec z$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u043e\u0441\u044c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/274\/25a\/3cd\/27425a3cdf6cdf9dea5baa307429b5a7.svg\" alt=\"$Z$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f87\/799\/456\/f877994566173af71318dad4be80fab6.svg\" alt=\"$\\vec aZ = \\frac{\\vec z}{|\\vec z|}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<\/li>\n<li>\u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043e\u0441\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6d6\/a4f\/78f\/6d6a4f78fbacd6edecc018ce8ad3e364.svg\" alt=\"$X$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f1f\/4e5\/faf\/f1f4e5faf9ac800f386f91cb5484b6b0.svg\" alt=\"$\\vec{aX} = \\frac{\\vec{y} \\times \\vec{aZ}}{|\\vec{y} \\times \\vec{aZ}|}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0412 \u0438\u0442\u043e\u0433\u0435 \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0434\u0432\u0430 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4fb\/0da\/6cd\/4fb0da6cd882ac55a4fa00356edcf433.svg\" alt=\"$\\vec{aX}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/85f\/0e0\/b00\/85f0e0b00bcfa66565649c367a4a4e0a.svg\" alt=\"$\\vec{aZ}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0449\u0438\u0445 \u043e\u0441\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6d6\/a4f\/78f\/6d6a4f78fbacd6edecc018ce8ad3e364.svg\" alt=\"$X$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/274\/25a\/3cd\/27425a3cdf6cdf9dea5baa307429b5a7.svg\" alt=\"$Z$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u043f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043e\u0441\u044c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/274\/25a\/3cd\/27425a3cdf6cdf9dea5baa307429b5a7.svg\" alt=\"$Z$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0441\u043e\u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0430 \u0441 \u0432\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5fb\/223\/422\/5fb223422d94e579e41c1c730f14136b.svg\" alt=\"$\\vec z$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0430 \u043e\u0441\u044c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6d6\/a4f\/78f\/6d6a4f78fbacd6edecc018ce8ad3e364.svg\" alt=\"$X$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u0430 \u043a \u0432\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u043c\u0443 \u043e\u043f\u043e\u0440\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0443 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f8a\/721\/5c3\/f8a7215c3645f9ba287fa478743c4465.svg\" alt=\"$\\vec y$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. <\/li>\n<li>\u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043e\u0441\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c62\/ff2\/5ef\/c62ff25ef4caeaeaef7122a489ef9d07.svg\" alt=\"$Y$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438\u0437 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4fb\/0da\/6cd\/4fb0da6cd882ac55a4fa00356edcf433.svg\" alt=\"$\\vec{aX}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/85f\/0e0\/b00\/85f0e0b00bcfa66565649c367a4a4e0a.svg\" alt=\"$\\vec{aZ}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9a0\/247\/e75\/9a0247e75bcc1796cf166c6a7b08d2ba.svg\" alt=\"$\\vec{aY} = \\vec{aZ} \\times \\vec{aX}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<\/li>\n<li>\u0412 \u0438\u0442\u043e\u0433\u0435 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b00\/a0d\/0ed\/b00a0d0ed2965352526b027af7efdc9b.svg\" alt=\"$R = \\begin{pmatrix} \\vec{aX} &amp; \\vec{aY} &amp; \\vec{aZ} \\end{pmatrix}$\" data-tex=\"inline\"><\/math><\/li>\n<\/ol>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0412 \u0442\u0440\u0435\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0435\u0434\u0430\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u0445 \u0438 \u0434\u0432\u0438\u0436\u043a\u0430\u0445 \u0432 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0444\u0435\u0439\u0441\u0430\u0445 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u0443\u0433\u043b\u044b \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430. \u0423\u0433\u043b\u044b \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0443\u0438\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u044b \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0442\u0440\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0442\u0440\u0438 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u0432\u043e\u043a\u0440\u0443\u0433 \u0442\u0440\u0435\u0445 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0445 \u043e\u0441\u0435\u0439 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5eb\/081\/43d\/5eb08143d7fd4aa35dc1d8cd838c9e60.svg\" alt=\"$X, Y, Z$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u041e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e, \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0441 \u043d\u0438\u043c\u0438 \u043d\u0435 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u0442\u044c \u0438\u0442\u043e\u0433\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043d\u0430\u043f\u0440\u044f\u043c\u0443\u044e \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u044d\u0442\u0438 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u044b, \u0442\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u0434\u043e\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u0431\u044a\u0435\u043c\u043d\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443, \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u0449\u0443\u044e \u0438\u0437 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u043e\u0432 \u0438 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u043e\u0432 \u043d\u0430\u0448\u0438\u0445 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432. \u0415\u0441\u0442\u044c \u0435\u0449\u0435 \u043f\u0430\u0440\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c \u0441 \u044d\u0442\u0438\u043c\u0438 \u0443\u0433\u043b\u0430\u043c\u0438. \u041f\u0435\u0440\u0432\u0430\u044f \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u0430 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0442\u043e, \u0447\u0442\u043e \u0441\u0430\u043c\u0438 \u043f\u043e \u0441\u0435\u0431\u0435 \u0443\u0433\u043b\u044b \u043d\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u044e\u0442 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430, \u0442\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u0432 \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u044b \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/684\/89a\/c85\/68489ac852ea0fe90ca31c1aa91dfc35.svg\" alt=\"$X \\rightarrow Y \\rightarrow Z$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438\u043b\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a88\/a28\/ad1\/a88a28ad18e420b02eb3c3b1d235e42e.svg\" alt=\"$Z \\rightarrow X \\rightarrow Y$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438\u043b\u0438 \u043a\u0430\u043a-\u0442\u043e \u0435\u0449\u0435. \u0423\u0433\u043b\u044b \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u043e\u0432, \u0430 \u043a\u0430\u043a \u043c\u044b \u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u043c, \u0441\u043c\u0435\u043d\u0430 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 \u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0446\u0438\u0439 \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442 \u0438\u0442\u043e\u0433\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442. \u0412\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u0430 \u2014 \u044d\u0442\u043e <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/post\/183116\/#:~:text=%D0%A3%D0%B3%D0%BB%D1%8B%20%D0%AD%D0%B9%D0%BB%D0%B5%D1%80%D0%B0%20%D0%B8%D0%BC%D0%B5%D1%8E%D1%82%20%D0%BD%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%BE%D0%BB%D1%8C%D0%BA%D0%BE%20%D0%BD%D0%B5%D0%B4%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B0%D1%82%D0%BA%D0%BE%D0%B2,%2C%20%D0%B1%D0%BB%D0%BE%D0%BA%D0%B8%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BA%D0%B0%20%D0%BE%D1%81%D0%B5%D0%B9%2C%20%D1%81%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D1%8B%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B5%20%D1%80%D0%B0%D0%BC%D0%BE%D0%BA\">gimbal lock<\/a>.<\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0412\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 \u0436\u0435 \u0442\u0440\u0435\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0432\u0438\u0436\u043a\u0438 \u0447\u0430\u0449\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u043c\u044b \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u043d\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c.<\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0421\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u044b \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u0432 \u0442\u0440\u0435\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435, \u0438 \u043a\u0430\u0436\u0434\u044b\u0439 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0441\u0432\u043e\u0438 \u043f\u043b\u044e\u0441\u044b \u0438 \u043c\u0438\u043d\u0443\u0441\u044b:<\/p>\n<p>  <\/p>\n<ul>\n<li>\u041c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430. \u0421 \u043d\u0435\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c (\u0442.\u043a. \u044d\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b). \u041d\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0438\u0437\u0431\u044b\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u2014 \u0432\u0441\u0435 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d\u044b \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f\u043c\u0438, \u0442\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0435\u0439 \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u044b (12 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432 \u0442\u0440\u0435\u0445 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0435\u0439). \u0422.\u0435. \u043c\u044b \u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0432\u0437\u044f\u0442\u044c \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 \u0438 \u043d\u0430\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u044c \u0435\u0435 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c\u0438, \u0442\u0430\u043a \u043f\u0440\u0438 \u043d\u0435\u0441\u043e\u0431\u043b\u044e\u0434\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0442\u044c\u0441\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0435\u0439 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430.<\/li>\n<li>\u0423\u0433\u043b\u044b \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430. \u041e\u043d\u0438 \u0438\u043d\u0442\u0443\u0438\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u044b, \u043d\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0441 \u043d\u0438\u043c\u0438 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e.<\/li>\n<li>\u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043e\u0441\u0438 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0443\u0433\u043e\u043b \u043f\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u0432\u043e\u043a\u0440\u0443\u0433 \u043d\u0435\u0435. \u041b\u044e\u0431\u043e\u0439 \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u044b\u0439 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c. \u041f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0432\u043e\u043a\u0440\u0443\u0433 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043e\u0441\u0438 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043d\u0438\u0436\u0435.<\/li>\n<li>\u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u0420\u043e\u0434\u0440\u0438\u0433\u0430. \u042d\u0442\u043e \u0442\u0440\u0435\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0433\u0434\u0435 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0441\u043e\u0431\u043e\u0439 \u043e\u0441\u044c \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0430 \u0434\u043b\u0438\u043d\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0443\u0433\u043e\u043b \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430. \u042d\u0442\u043e\u0442 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u043f\u043e\u0445\u043e\u0436 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0438\u0439 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431, \u043d\u043e \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0443 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0435\u0439 \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u044b, \u0438 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u043d\u0435 \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d\u044b \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0441\u043e\u0431\u043e\u0439 \u0436\u0435\u0441\u0442\u043a\u0438\u043c\u0438 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438. \u0418 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0432\u0437\u044f\u0442\u044c \u0442\u0440\u0435\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0441 \u0430\u0431\u0441\u043e\u043b\u044e\u0442\u043d\u043e \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c\u0438, \u0438 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0439 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a\u043e\u0435-\u0442\u043e \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e\u0435 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435.<\/li>\n<\/ul>\n<p>  <\/p>\n<h3 id=\"povorot-vektora-vokrug-zadannoy-osi\">\u041f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0432\u043e\u043a\u0440\u0443\u0433 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043e\u0441\u0438.<\/h3>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044e, \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u044e\u0449\u0443\u044e \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0432\u043e\u043a\u0440\u0443\u0433 \u043e\u0441\u0438.<br \/>  \u0412\u043e\u0437\u044c\u043c\u0435\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0f3\/f02\/e18\/0f3f02e18d7bffac5b629f48dd5a81c0.svg\" alt=\"$\\vec n$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0449\u0438\u0439 \u043e\u0441\u044c, \u0432\u043e\u043a\u0440\u0443\u0433 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/ff5\/059\/671\/ff5059671e83505859d66f0b992edb1d.svg\" alt=\"$\\vec v$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043d\u0430 \u0443\u0433\u043e\u043b <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/723\/4a5\/2ba\/7234a52ba041cdb09b9328a047048fb2.svg\" alt=\"$\\alpha$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0420\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0440\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u043a\u0430\u043a <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/82e\/4fd\/148\/82e4fd148664f8cab4271201005e872d.svg\" alt=\"$\\vec{v'} = rotate(\\vec n, \\alpha, \\vec v)$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0418\u043b\u043b\u044e\u0441\u0442\u0440\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441: <\/p>\n<p>  <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/webt\/wf\/0j\/rw\/wf0jrw07i37068vz3s-uywnd8me.png\"><\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0f3\/f02\/e18\/0f3f02e18d7bffac5b629f48dd5a81c0.svg\" alt=\"$\\vec n$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0440\u0430\u0437\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u0441\u0443\u043c\u043c\u0443 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432: \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430, \u043f\u0430\u0440\u0430\u043b\u043b\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043a \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0443 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0f3\/f02\/e18\/0f3f02e18d7bffac5b629f48dd5a81c0.svg\" alt=\"$\\vec n$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e9e\/5d6\/5a6\/e9e5d65a662424961bb5ed1c040be35d.svg\" alt=\"$\\vec{v_\\parallel}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430, \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u043c\u0443 \u043a \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0443 \u043a \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0443 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0f3\/f02\/e18\/0f3f02e18d7bffac5b629f48dd5a81c0.svg\" alt=\"$\\vec n$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/639\/fed\/8aa\/639fed8aa36352e7d40e404b7f7da826.svg\" alt=\"$\\vec{v_{\\perp}}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6bb\/873\/4b3\/6bb8734b30a1a524704864ad84d10e32.svg\" alt=\"$\\vec v = \\vec{v_{\\parallel}} + \\vec{v_{\\perp}}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<br \/>  \u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e9e\/5d6\/5a6\/e9e5d65a662424961bb5ed1c040be35d.svg\" alt=\"$\\vec{v_\\parallel}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/ff5\/059\/671\/ff5059671e83505859d66f0b992edb1d.svg\" alt=\"$\\vec v$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043d\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0f3\/f02\/e18\/0f3f02e18d7bffac5b629f48dd5a81c0.svg\" alt=\"$\\vec n$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0422.\u043a. <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0f3\/f02\/e18\/0f3f02e18d7bffac5b629f48dd5a81c0.svg\" alt=\"$\\vec n$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0442\u043e:<br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/31f\/ff8\/8ad\/31fff88ad762d8aa8cf684814facdc01.svg\" alt=\"$\\vec{v_\\parallel} = \\vec{n} (\\vec{n}^T \\vec{v})$\" data-tex=\"inline\"><\/math><br \/>  \u0422\u0430 \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/ff5\/059\/671\/ff5059671e83505859d66f0b992edb1d.svg\" alt=\"$\\vec v$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043f\u0440\u0438\u043d\u0430\u0434\u043b\u0435\u0436\u0438\u0442 \u043e\u0441\u0438 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f (<math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e9e\/5d6\/5a6\/e9e5d65a662424961bb5ed1c040be35d.svg\" alt=\"$\\vec{v_{\\parallel}}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>) \u043d\u0435 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u0432\u043e \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041f\u043e\u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u0442\u044c \u043d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/639\/fed\/8aa\/639fed8aa36352e7d40e404b7f7da826.svg\" alt=\"$\\vec{v_{\\perp}}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0432 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0439 \u043a <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0f3\/f02\/e18\/0f3f02e18d7bffac5b629f48dd5a81c0.svg\" alt=\"$\\vec n$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043d\u0430 \u0443\u0433\u043e\u043b <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/723\/4a5\/2ba\/7234a52ba041cdb09b9328a047048fb2.svg\" alt=\"$\\alpha$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043a\u0430\u043a <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/20a\/698\/7ea\/20a6987ea06e7a74b67d2febce54d20f.svg\" alt=\"$\\vec{v_{\\perp rot}}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043d\u0430\u0448 \u0438\u0441\u043a\u043e\u043c\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/988\/c70\/bf6\/988c70bf61172c6085acfaeeb9030614.svg\" alt=\"$\\vec{v'} = \\vec{v_\\parallel} + \\vec{v_{\\perp rot}}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<br \/>  \u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/639\/fed\/8aa\/639fed8aa36352e7d40e404b7f7da826.svg\" alt=\"$\\vec{v_{\\perp}}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c:<br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/df8\/3fb\/8e4\/df83fb8e4b7c49b8ab487d27b1b8144a.svg\" alt=\"$\\vec{v_{\\perp}} = \\vec v - \\vec{v_\\parallel}$\" data-tex=\"inline\"><\/math><br \/>  \u0414\u043b\u044f \u0442\u043e\u0433\u043e, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u0442\u044c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/639\/fed\/8aa\/639fed8aa36352e7d40e404b7f7da826.svg\" alt=\"$\\vec{v_{\\perp}}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0432\u044b\u0432\u0435\u0434\u0435\u043c \u043e\u0441\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6d6\/a4f\/78f\/6d6a4f78fbacd6edecc018ce8ad3e364.svg\" alt=\"$X$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c62\/ff2\/5ef\/c62ff25ef4caeaeaef7122a489ef9d07.svg\" alt=\"$Y$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0432 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0442\u044c \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442. \u042d\u0442\u043e \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u044b \u0431\u044b\u0442\u044c \u0434\u0432\u0430 \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430, \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043a <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0f3\/f02\/e18\/0f3f02e18d7bffac5b629f48dd5a81c0.svg\" alt=\"$\\vec n$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u041e\u0434\u0438\u043d \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0443\u0436\u0435 \u0435\u0441\u0442\u044c \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/639\/fed\/8aa\/639fed8aa36352e7d40e404b7f7da826.svg\" alt=\"$\\vec{v_{\\perp}}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u0435\u043c \u0435\u0433\u043e \u0438 \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u043a\u0430\u043a \u043e\u0441\u044c <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6d6\/a4f\/78f\/6d6a4f78fbacd6edecc018ce8ad3e364.svg\" alt=\"$X$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/66a\/5ec\/179\/66a5ec1795a3a99f55082e04cdb0d3f1.svg\" alt=\"$\\vec{aX} = \\frac{\\vec{v_{\\perp}}}{|\\vec{v_{\\perp}}|}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<br \/>  \u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043e\u0441\u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c62\/ff2\/5ef\/c62ff25ef4caeaeaef7122a489ef9d07.svg\" alt=\"$Y$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u042d\u0442\u043e \u0434\u043e\u043b\u0436\u0435\u043d \u0431\u044b\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043a <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0f3\/f02\/e18\/0f3f02e18d7bffac5b629f48dd5a81c0.svg\" alt=\"$\\vec n$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4fb\/0da\/6cd\/4fb0da6cd882ac55a4fa00356edcf433.svg\" alt=\"$\\vec{aX}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> (\u0442.\u0435. \u0438 \u043a <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/639\/fed\/8aa\/639fed8aa36352e7d40e404b7f7da826.svg\" alt=\"$\\vec{v_{\\perp}}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>). \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435: <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7db\/716\/ad6\/7db716ad64f04e8736a62b961f1a09ae.svg\" alt=\"$\\vec{d_y} = \\vec n \\times \\vec{v_{\\perp}}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/dbb\/40a\/7c8\/dbb40a7c8a8f5fee5d12bb87387ce9d9.svg\" alt=\"$\\vec{aY} = \\frac{\\vec{d_y}}{|\\vec{d_y}|}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u041f\u043e \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0443 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/490\/a8c\/583\/490a8c583e626458d966da0d97189e4a.svg\" alt=\"$|\\vec{d_y}|$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \u043f\u043b\u043e\u0449\u0430\u0434\u0438 \u043f\u0430\u0440\u0430\u043b\u043b\u0435\u043b\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0430, \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u043c\u043e\u0433\u043e \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438 (<math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0f3\/f02\/e18\/0f3f02e18d7bffac5b629f48dd5a81c0.svg\" alt=\"$\\vec n$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4fb\/0da\/6cd\/4fb0da6cd882ac55a4fa00356edcf433.svg\" alt=\"$\\vec{aX}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>). \u0422\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b, \u0442\u043e \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043d\u0435 \u043f\u0430\u0440\u0430\u043b\u043b\u0435\u043b\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c, \u0430 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0438\u043a, \u0430 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/232\/7bd\/a53\/2327bda53cc247308d820b06c9a050f3.svg\" alt=\"$|\\vec{d_y}| = |\\vec{n}| \\cdot |\\vec{v_{\\perp}}|$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/bbb\/276\/d5d\/bbb276d5db74d0097e81402c38abe8cb.svg\" alt=\"$|\\vec{n}| = 1 \\space \\Rightarrow \\space |\\vec{d_y}| = |\\vec{v_{\\perp}}|$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b5d\/805\/dae\/b5d805daedf41a8bc98b295abe134f58.svg\" alt=\"$\\vec{aY} = \\frac{\\vec n \\times \\vec{v_{\\perp}}}{|\\vec{v_{\\perp}}|}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>.<br \/>  \u041f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u0434\u0432\u0443\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0dc\/4b1\/931\/0dc4b19318cd9438d0a31e1058fb4eb0.svg\" alt=\"$\\vec v = \\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 \\end{pmatrix}^T$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043d\u0430 \u0443\u0433\u043e\u043b <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/723\/4a5\/2ba\/7234a52ba041cdb09b9328a047048fb2.svg\" alt=\"$\\alpha$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0438 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441 \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1fa\/8f7\/921\/1fa8f7921aa5d9a6475cb99404038817.svg\" alt=\"$rotate2D(\\vec v, \\alpha) = \\begin{pmatrix} \\cos{\\alpha} &amp; \\sin{\\alpha} \\end{pmatrix}^T$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0422.\u043a. <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/639\/fed\/8aa\/639fed8aa36352e7d40e404b7f7da826.svg\" alt=\"$\\vec{v_{\\perp}}$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0432 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u0430\u0445 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0441\u043e\u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d \u0441 \u043e\u0441\u044c\u044e <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6d6\/a4f\/78f\/6d6a4f78fbacd6edecc018ce8ad3e364.svg\" alt=\"$X$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0442\u043e \u043e\u043d \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/52a\/5bc\/c7b\/52a5bcc7b94ecb4435d0ecc1eb9bed5e.svg\" alt=\"$\\begin{pmatrix} |\\vec{v_{\\perp}}| &amp; 0 \\end{pmatrix}^T = \\begin{pmatrix} 1 &amp; 0 \\end{pmatrix}^T \\cdot |\\vec{v_{\\perp}}|$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u042d\u0442\u043e\u0442 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u2014 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/cd7\/36a\/51f\/cd736a51fb94034001fe71f27ce77db8.svg\" alt=\"$rotate2D(\\begin{pmatrix} 0 &amp; 1 \\end{pmatrix}^T, \\alpha) \\cdot |\\vec{v_{\\perp}}| = \\begin{pmatrix} \\cos{\\alpha} &amp; \\sin{\\alpha} \\end{pmatrix}^T \\cdot |\\vec{v_{\\perp}}|$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u041e\u0442\u0441\u044e\u0434\u0430 \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0432\u044b\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438: <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/672\/31e\/533\/67231e5337fea62ccf4123c8f050695d.svg\" alt=\"$\\vec{v_{\\perp rot}} = (\\vec{aX} \\cdot \\cos{\\alpha} + \\vec{aY} \\cdot \\sin{\\alpha}) \\cdot |\\vec{v_{\\perp}}|$\" data-tex=\"inline\"><\/math> <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/015\/fda\/fe4\/015fdafe46def6e92fb3ef746f73ca5b.svg\" alt=\"$\\space \\Rightarrow \\space$\" data-tex=\"inline\"><\/math><br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1ad\/ff6\/f43\/1adff6f4336da10b8b50a54f827bfc1e.svg\" alt=\"$\\vec{v_{\\perp rot}} = (\\frac{\\vec{v_{\\perp}}}{|\\vec{v_{\\perp}}|} \\cdot \\cos{\\alpha} + \\frac{\\vec n \\times \\vec{v_{\\perp}}}{|\\vec{v_{\\perp}}|} \\cdot \\sin{\\alpha}) \\cdot |\\vec{v_{\\perp}}|$\" data-tex=\"inline\"><\/math> <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/015\/fda\/fe4\/015fdafe46def6e92fb3ef746f73ca5b.svg\" alt=\"$\\space \\Rightarrow \\space$\" data-tex=\"inline\"><\/math><br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a44\/6e6\/e79\/a446e6e7973d95841032ba7e6fb95867.svg\" alt=\"$\\vec{v_{\\perp rot}} = \\vec{v_{\\perp}} \\cdot \\cos{\\alpha} + (\\vec n \\times \\vec{v_{\\perp}}) \\cdot \\sin{\\alpha}$\" data-tex=\"inline\"><\/math><br \/>  \u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430\u0448 \u0438\u0441\u043a\u043e\u043c\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440:<br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/30c\/340\/915\/30c340915481d033c4b94b6f1009a534.svg\" alt=\"$\\vec{v'} = \\vec{v_{\\parallel}} + \\vec{v_{\\perp rot}} = \\vec{v_{\\parallel}} + \\vec{v_{\\perp}} \\cdot \\cos{\\alpha} + (\\vec n \\times \\vec{v_{\\perp}}) \\cdot \\sin{\\alpha}$\" data-tex=\"inline\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u041c\u044b \u0440\u0430\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u043b\u0438\u0441\u044c \u0441 \u0442\u0435\u043c, \u043a\u0430\u043a \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u0430\u0447\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0432\u043e\u043a\u0440\u0443\u0433 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043e\u0441\u0438 \u043d\u0430 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0443\u0433\u043e\u043b, \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442 \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043c\u044b \u0443\u043c\u0435\u0435\u043c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442, \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0442\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c.<br \/>  \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043e\u0441\u0438 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0443\u0433\u043e\u043b \u0438\u0437 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0420\u043e\u0434\u0440\u0438\u0433\u0430 \u043d\u0435 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0433\u043e \u0442\u0440\u0443\u0434\u0430, \u0430 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442 \u043c\u044b \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0443\u043c\u0435\u0435\u043c \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0438 \u0441 \u043d\u0438\u043c \u0442\u043e\u0436\u0435.<br \/>  \u041d\u0430\u043f\u043e\u043c\u0438\u043d\u0430\u044e, \u0447\u0442\u043e \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0441\u043e\u0431\u043e\u0439 \u0442\u0440\u0438 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b00\/a0d\/0ed\/b00a0d0ed2965352526b027af7efdc9b.svg\" alt=\"$R = \\begin{pmatrix} \\vec{aX} &amp; \\vec{aY} &amp; \\vec{aZ} \\end{pmatrix}$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0430 \u0443\u0433\u043b\u044b \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430 \u2014 \u0442\u0440\u0438 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u0432\u043e\u043a\u0440\u0443\u0433 \u043e\u0441\u0435\u0439 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6d6\/a4f\/78f\/6d6a4f78fbacd6edecc018ce8ad3e364.svg\" alt=\"$X$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c62\/ff2\/5ef\/c62ff25ef4caeaeaef7122a489ef9d07.svg\" alt=\"$Y$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/274\/25a\/3cd\/27425a3cdf6cdf9dea5baa307429b5a7.svg\" alt=\"$Z$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0432\u0437\u044f\u0442\u044c \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u0443\u044e \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443, \u043a\u0430\u043a \u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/631\/ce0\/a65\/631ce0a656f16dfa8d5d563e1f0751f0.svg\" alt=\"$R_0 = I$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u0430\u0447\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0432\u043e\u043a\u0440\u0443\u0433 \u043d\u0443\u0436\u043d\u044b\u0445 \u043d\u0430\u043c \u043e\u0441\u0435\u0439. \u0412 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0443\u044e \u0443\u0433\u043b\u0430\u043c \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430. \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440:<br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/cc5\/9a7\/568\/cc59a7568c78c8824e13597cd4ac40c3.svg\" alt=\"$\\vec{aX'} = rotate((0, 0, 1)^T, angle_z, rotate((0, 1, 0)^T, angle_y, rotate((1, 0, 0)^T, angle_x, \\vec{aX})))$\" data-tex=\"inline\"><\/math><br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7ad\/68f\/4e8\/7ad68f4e83929aa6f454a94687d98c85.svg\" alt=\"$\\vec{aY'} = rotate((0, 0, 1)^T, angle_z, rotate((0, 1, 0)^T, angle_y, rotate((1, 0, 0)^T, angle_x, \\vec{aY})))$\" data-tex=\"inline\"><\/math><br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/220\/906\/b58\/220906b58609a884bde77870033325ae.svg\" alt=\"$\\vec{aZ'} = rotate((0, 0, 1)^T, angle_z, rotate((0, 1, 0)^T, angle_y, rotate((1, 0, 0)^T, angle_x, \\vec{aZ})))$\" data-tex=\"inline\"><\/math><br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/794\/a17\/f3f\/794a17f3f682b04a5c2777166d62a5a1.svg\" alt=\"$R = \\begin{pmatrix} \\vec{aX'} &amp; \\vec{aY'} &amp; \\vec{aZ'} \\end{pmatrix}$\" data-tex=\"inline\"><\/math><br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6b4\/7f6\/e05\/6b47f6e0570dab7a281733bed33f7306.svg\" alt=\"$rotateEuler(angle_x, angle_y, angle_z, v) = R \\cdot \\vec v$\" data-tex=\"inline\"><\/math><br \/>  \u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0432\u044b\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0438\u0437 \u043e\u0441\u0435\u0439 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6d6\/a4f\/78f\/6d6a4f78fbacd6edecc018ce8ad3e364.svg\" alt=\"$X$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c62\/ff2\/5ef\/c62ff25ef4caeaeaef7122a489ef9d07.svg\" alt=\"$Y$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/274\/25a\/3cd\/27425a3cdf6cdf9dea5baa307429b5a7.svg\" alt=\"$Z$\" data-tex=\"inline\"><\/math> (<math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/713\/916\/727\/71391672706442c01cd4dcf17c69f800.svg\" alt=\"$R_x$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/ed6\/5cc\/4a7\/ed65cc4a7d298d2ee184034dc8c2e690.svg\" alt=\"$R_Y$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2c1\/574\/106\/2c1574106e27fa806595de5b527bbeff.svg\" alt=\"$R_z$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e) \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0438\u0442\u043e\u0433\u043e\u0432\u0443\u044e \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u0438\u0445 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c:<br \/>  <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e4d\/8d3\/29b\/e4d8d329b2dac8a2f95218467c8acfcd.svg\" alt=\"$R = R_x \\cdot R_y \\cdot R_z$\" data-tex=\"inline\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u0436\u0435 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u0420\u043e\u0434\u0440\u0438\u0433\u0430 \u0432 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430: \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u0430\u0447\u0438\u0432\u0430\u0435\u043c \u043e\u0441\u0438 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043e\u0442 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b.<\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u0441 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u0430 \u0440\u0430\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u043b\u0438\u0441\u044c. \u041f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u043a \u043e\u0441\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0446\u0438\u044f\u043c. <\/p>\n<p>  <\/p>\n<h3 id=\"masshtabirovanie-v-trehmernom-prostranstve\">\u041c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0442\u0440\u0435\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435.<\/h3>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0412\u0441\u0435 \u0442\u043e\u0436\u0435 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0435 \u0447\u0442\u043e \u0438 \u0434\u0432\u0443\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435, \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u043c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434: <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a44\/9ca\/fc8\/a449cafc83fa15f93a7962109130a418.svg\" alt=\"$S = \\begin{pmatrix} s_x &amp; 0 &amp; 0 \\\\ 0 &amp; s_y &amp; 0 \\\\ 0 &amp; 0 &amp; s_z \\end{pmatrix}$\" data-tex=\"inline\"><\/math><\/p>\n<p>  <\/p>\n<h3 id=\"peremeschenie-obekta\">\u041f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u0430.<\/h3>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0414\u043e \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442 \u043d\u0435 \u0441\u043c\u0435\u0449\u0430\u043b\u0430\u0441\u044c \u0432 \u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435. \u0422\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442 \u043d\u0430\u0448\u0435\u0433\u043e \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u0430 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0435\u0433\u043e \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440, \u0442\u043e \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442 \u043d\u0438\u043a\u0443\u0434\u0430 \u043d\u0435 \u0441\u043c\u0435\u0449\u0430\u043b\u0441\u044f. \u0420\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e \u0441\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e: <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2fe\/0f3\/290\/2fe0f32902a8bde498d9d25f5563d132.svg\" alt=\"$\\vec{v'_i} = \\vec{v_i} + \\vec t$\" data-tex=\"inline\"><\/math>, \u0433\u0434\u0435 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2a8\/7b9\/2bd\/2a87b92bdc1a96411177c30cc3668ef8.svg\" alt=\"$\\vec t$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u2014 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0437\u0430\u0434\u0430\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0441\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435.<br \/>  \u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043c\u044b \u0443\u043c\u0435\u0435\u043c \u043c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442 \u043f\u043e \u043e\u0441\u044f\u043c, \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u0430\u0447\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0430\u0442\u044c.<br \/>  \u041e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u043c \u0432\u0441\u0435 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u043e\u0439: <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/499\/3b8\/a8a\/4993b8a8a6d5ed6b54c49c9e446010a9.svg\" alt=\"$\\vec{v'_i} = R \\cdot S \\cdot \\vec{v_i} + \\vec t$\" data-tex=\"inline\"><\/math>:<\/p>\n<p>  <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/webt\/lu\/qr\/qc\/luqrqctdpsqzqrpusypuiamxmls.png\" alt=\"s_x = 0.5, \\space s_y = 0.5, \\space $&lt;!-- math&gt;$inline$\\alpha={30^{\\circ}}, \\space \\vec t = \\begin{pmatrix} 6 &amp; 4 \\end{pmatrix}^T$inline$&lt;\/math --&gt;$\"><\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u0443\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438\u0442\u044c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c, \u043a\u0430\u043a \u0443\u0436\u0435 \u0434\u0435\u043b\u0430\u043b\u0438 \u0440\u0430\u043d\u0435\u0435, \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0442\u044c \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4d7\/ba9\/88c\/4d7ba988c403e8703542c21ae822b937.svg\" alt=\"$T = R \\cdot S \\space \\Rightarrow \\space \\vec{v'_i} = T \\cdot \\vec{v_i} + \\vec t$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u0412 \u0438\u0442\u043e\u0433\u0435 \u043d\u0430\u0448\u0435 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/175\/f98\/839\/175f98839ab732db76d5f20cd6ce2ce9.svg\" alt=\"$T$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2a8\/7b9\/2bd\/2a87b92bdc1a96411177c30cc3668ef8.svg\" alt=\"$\\vec t$\" data-tex=\"inline\"><\/math>. \u041e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2a8\/7b9\/2bd\/2a87b92bdc1a96411177c30cc3668ef8.svg\" alt=\"$\\vec t$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0441 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0435\u0439 <math><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/175\/f98\/839\/175f98839ab732db76d5f20cd6ce2ce9.svg\" alt=\"$T$\" data-tex=\"inline\"><\/math> \u0435\u0449\u0435 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0431\u044b \u0443\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438\u043b\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443, \u043e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0432 \u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043d\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u0441\u044f, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043a\u0430\u043a \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f. \u0422\u0435\u043c \u043d\u0435 \u043c\u0435\u043d\u0435\u0435 \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e, \u0438 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0443\u0436\u0435 \u0432 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435.<\/p>\n<p>  <\/p>\n<h2 id=\"zaklyuchenie\">\u0417\u0430\u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435.<\/h2>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u043a\u0430\u043a\u043e\u0433\u043e-\u0442\u043e \u043f\u043e\u043a\u0430\u0436\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u044f \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043e\u0447\u0435\u0432\u0438\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u0449\u0438, \u043a\u043e\u043c\u0443-\u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u043d\u0430\u043e\u0431\u043e\u0440\u043e\u0442 \u043d\u0435\u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0437\u0430\u043f\u0443\u0442\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439. \u0422\u0435\u043c \u043d\u0435 \u043c\u0435\u043d\u0435\u0435 \u044d\u0442\u043e \u0431\u0430\u0437\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0444\u0443\u043d\u0434\u0430\u043c\u0435\u043d\u0442, \u043d\u0430 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u0432\u0441\u0435 \u043e\u0441\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435. \u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u0430\u044f \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u2014 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0444\u0443\u043d\u0434\u0430\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u043c \u0434\u043b\u044f \u043c\u043d\u043e\u0433\u0438\u0445 \u043e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439, \u0442\u0430\u043a \u0447\u0442\u043e \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u044f \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0432\u0430\u043c \u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0432 \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438. \u0421\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0430\u044f \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u044f \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0443\u0436\u0435 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0443\u0437\u043a\u043e\u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439.<\/p>\n<\/div>\n<p> \u0441\u0441\u044b\u043b\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u043e\u0440\u0438\u0433\u0438\u043d\u0430\u043b \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438 <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/post\/547876\/\"> https:\/\/habr.com\/ru\/post\/547876\/<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"\n<div class=\"post__text post__text-html post__text_v1\" id=\"post-content-body\">\n<p><a href=\"https:\/\/github.com\/DistinctVision\/sonar\" rel=\"nofollow noopener noreferrer\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/webt\/vi\/ho\/x6\/vihox6gd9og92j27pxz7hxl_mgg.png\"><\/a><\/p>\n<p>  <\/p>\n<p>\u0412 \u043d\u0430\u0441\u0442\u043e\u044f\u0449\u0438\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u043f\u043e\u044f\u0432\u0438\u043b\u043e\u0441\u044c \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0435 \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0441 \u0431\u043e\u0433\u0430\u0442\u044b\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u043e\u043c (ARCore, ARKit, Vuforia). \u0422\u0435\u043c \u043d\u0435 \u043c\u0435\u043d\u0435\u0435 \u044f \u0440\u0435\u0448\u0438\u043b \u043d\u0430\u0447\u0430\u0442\u044c \u0441\u0432\u043e\u0439 <a href=\"https:\/\/github.com\/DistinctVision\/sonar\" rel=\"nofollow noopener noreferrer\">\u043e\u0442\u043a\u0440\u044b\u0442\u044b\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0442<\/a>, \u043f\u043e\u043f\u0443\u0442\u043d\u043e \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044f \u043a\u0430\u043a \u044d\u0442\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u0438\u0437\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0437\u0435\u0442, \u0442\u043e \u043f\u043e\u0437\u0436\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u0441\u044f \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439-\u0442\u043e \u043e\u0441\u043e\u0431\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u044b\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u043d\u0435\u0442 \u0432 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0445 \u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a\u0430\u0445. \u0412 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u044b\u0445 \u043f\u043b\u0430\u0442\u0444\u043e\u0440\u043c \u043f\u043e\u043a\u0430 \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0435\u043c Windows \u0438 Android. \u0411\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a\u0430 \u043f\u0438\u0448\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 C++, \u0438 \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u043d\u0438\u0435 \u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a\u0438 \u0431\u0443\u0434\u0443\u0442 \u0437\u0430\u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u043d\u044b \u043f\u043e \u043c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0443\u043c\u0443, \u0442.\u0435. \u043f\u0440\u0435\u0438\u043c\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e \u043d\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u043e \u043d\u0438\u0447\u0435\u0433\u043e \u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u043e\u0433\u043e. \u0424\u043e\u043a\u0443\u0441 \u0432 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u044f\u0445 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d \u043d\u0430 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u044b \u0438 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0443, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043f\u043e\u0441\u0442\u0430\u0440\u0430\u044e\u0441\u044c \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u043c\u0430\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0434\u043e\u0441\u0442\u0443\u043f\u043d\u043e \u0438 \u043f\u043e\u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u043e. \u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u043f\u043e\u0439\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0435\u0447\u044c \u043f\u0440\u043e \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u044b \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b. <\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[],"tags":[],"class_list":["post-320030","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/320030","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=320030"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/320030\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=320030"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=320030"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=320030"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}