{"id":334898,"date":"2022-06-23T15:00:59","date_gmt":"2022-06-23T15:00:59","guid":{"rendered":"http:\/\/savepearlharbor.com\/?p=334898"},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T21:00:00","slug":"","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/savepearlharbor.com\/?p=334898","title":{"rendered":"<span>\u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u044b \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b \u0434\u043b\u044f 3D-\u043f\u0440\u0438\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439. \u0423\u0440\u043e\u043a 2<\/span>"},"content":{"rendered":"<div><\/div>\n<div id=\"post-content-body\">\n<div>\n<div class=\"article-formatted-body article-formatted-body article-formatted-body_version-2\">\n<div xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1999\/xhtml\">\n<h4>\u0420\u0430\u0437\u0431\u0438\u0440\u0430\u0435\u043c \u0443\u0433\u043b\u044b \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430 \u0438 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b.<\/h4>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/c62\/5c3\/2c5\/c625c32c5e2680c95b48baa71328dd7c.png\" width=\"1600\" height=\"900\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/c62\/5c3\/2c5\/c625c32c5e2680c95b48baa71328dd7c.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0430\u0435\u043c \u0440\u0430\u0437\u0431\u0438\u0440\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0441 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u043e\u0439 \u0434\u043b\u044f 3D-\u043f\u0440\u0438\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \u0441 \u0410\u043b\u0435\u043a\u0441\u0430\u043d\u0434\u0440\u043e\u043c \u041f\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u0432\u044b\u043c \u2014 \u0432\u0435\u0434\u0443\u0449\u0438\u043c \u0440\u0430\u0437\u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0447\u0438\u043a\u043e\u043c \u043b\u043e\u0433\u0438\u043a\u0438 \u0432 UNIGINE. \u0412 <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/company\/unigine\/blog\/671294\/\"><u>\u043f\u0440\u043e\u0448\u043b\u043e\u043c \u0443\u0440\u043e\u043a\u0435<\/u><\/a> \u043c\u044b \u043f\u043e\u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u0438\u043b\u0438 \u043f\u0440\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u043d\u0430\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0438 \u0432 \u0442\u0440\u0435\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0435 \u0438 \u0432\u0441\u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u043b\u0438 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0435 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0430\u0434 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438. \u0410 \u0432 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0443\u0440\u043e\u043a\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u043a \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u043c \u0442\u0435\u043c\u0430\u043c: \u0443\u0433\u043b\u0430\u043c \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430 \u0438 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430\u043c.<\/p>\n<h3>\u0423\u0433\u043b\u044b \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430<\/h3>\n<p>\u0423\u0433\u043b\u044b \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0443\u0433\u043b\u044b \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0449\u0438\u0435 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u0430\u0431\u0441\u043e\u043b\u044e\u0442\u043d\u043e \u0442\u0432\u0435\u0440\u0434\u043e\u0433\u043e \u0442\u0435\u043b\u0430 \u0432 \u0442\u0440\u0435\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u043c \u0435\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u043e\u0432\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435. \u0421\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u0442 \u0438\u0437 \u0442\u0440\u0435\u0445 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442 (\u03c8, \u03b8, \u03c6), \u043a\u0430\u0436\u0434\u044b\u0439 \u0438\u0437 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u2014 \u0443\u0433\u043e\u043b \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u043e\u043a\u0440\u0443\u0433 \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439-\u0442\u043e \u043e\u0441\u0438.<\/p>\n<p>\u041b\u0435\u043e\u043d\u0430\u0440\u0434 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u043b \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0430\u043a, \u043a\u0430\u043a \u043d\u0430 \u043a\u0430\u0440\u0442\u0438\u043d\u043a\u0435 \u043d\u0438\u0436\u0435:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/8a9\/659\/c38\/8a9659c38d18ef27bf3dc97d407484c0.png\" width=\"1172\" height=\"426\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/8a9\/659\/c38\/8a9659c38d18ef27bf3dc97d407484c0.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0423\u0433\u043b\u044b Z-X-Z Intrinsic (\u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435)<\/p>\n<h3>\u0423\u0433\u043b\u044b \u0422\u0435\u0439\u0442\u0430-\u0411\u0440\u0430\u0439\u0430\u043d\u0430<\/h3>\n<p>\u041a\u0430\u043a \u0432\u0438\u0434\u0438\u0442\u0435, \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u043b \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e \u0434\u0432\u0443\u043c \u043e\u0441\u044f\u043c \u0442\u0440\u0435\u043c\u044f \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0430\u043c\u0438. \u0421\u043f\u0435\u0440\u0432\u0430 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u043f\u043e \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0439 \u043e\u0441\u0438, \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u043f\u043e \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0438 \u0432 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435 \u0441\u043d\u043e\u0432\u0430 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c \u043f\u043e \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0439 \u043e\u0441\u0438. \u0412 \u0443\u043c\u0435 \u043e\u043d \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u043b \u0441\u0435\u0431\u0435 \u043d\u0435\u043a\u0443\u044e \u044e\u043b\u0443.<\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c \u0434\u0435\u043b\u0435 \u0442\u043e, \u0447\u0435\u043c \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c\u0441\u044f \u0438\u0433\u0440\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0434\u0432\u0438\u0436\u043a\u0430\u0445 \u0441\u0435\u0439\u0447\u0430\u0441 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0430\u043b\u044c\u0442\u0435\u0440\u043d\u0430\u0442\u0438\u0432\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0438\u0434 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430, \u043f\u0440\u0438\u0434\u0443\u043c\u0430\u043d\u043d\u043e\u0435 \u041f\u0438\u0442\u0435\u0440\u043e\u043c \u0422\u0435\u0439\u0442\u043e\u043c \u0438 \u0414\u0436\u043e\u0440\u0434\u0436\u0435\u043c \u0411\u0440\u0430\u0439\u0430\u043d\u043e\u043c \u0434\u043b\u044f \u0430\u0432\u0438\u0430\u0446\u0438\u0438. \u041e\u043d\u0438 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u043f\u043e \u0442\u0440\u0435\u043c \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u043c \u043e\u0441\u044f\u043c (\u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b\u043c, \u043a\u0430\u043a yaw->pitch->roll) \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u0442\u0440\u0435\u0445 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442. \u0412\u0438\u0437\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u044d\u0442\u043e \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u043a\u0430\u043a \u0442\u0435 \u0441\u0430\u043c\u044b\u0435 \u0432\u0441\u0435\u043c \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u044e\u0449\u0438\u0435\u0441\u044f \u0432\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043a\u043e\u043b\u044c\u0446\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0442\u0430\u043a \u043b\u044e\u0431\u044f\u0442 \u0444\u0430\u043d\u0442\u0430\u0441\u0442\u044b, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0438\u043c \u043d\u0430\u0434\u043e \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c \u0434\u0432\u0438\u0433\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u043a\u043e\u0441\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u0440\u0430\u0431\u043b\u044f \u0438\u043b\u0438 \u0434\u0440\u0435\u0432\u043d\u0438\u0439 \u0430\u0440\u0442\u0435\u0444\u0430\u043a\u0442 \u0438\u043d\u043e\u043f\u043b\u0430\u043d\u0435\u0442\u044f\u043d.<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/204\/6b8\/d02\/2046b8d0279b8e9501f5a73dda465565.png\" width=\"1052\" height=\"546\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/204\/6b8\/d02\/2046b8d0279b8e9501f5a73dda465565.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432 \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c, \u0442\u043e \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438\/\u043f\u043e\u0434\u0432\u0438\u0436\u043d\u044b\u043c\u0438 (<strong>Intrinsic<\/strong>) \u0438\u043b\u0438 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0438\u043c\u0438\/\u0441\u0442\u0430\u0442\u0438\u0447\u043d\u044b\u043c\u0438 (<strong>Extrinsic<\/strong>).<\/p>\n<p>\u0411\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u043e\u043d\u0438 \u0435\u0449\u0435 \u0434\u0435\u043b\u044f\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 \u0434\u0432\u0435 \u0433\u0440\u0443\u043f\u043f\u044b:<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p>\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0443\u0433\u043b\u044b \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430: <strong>z-x-z<\/strong>, <strong>x-y-x<\/strong>, <strong>y-z-y<\/strong>, <strong>z-y-z<\/strong>, <strong>x-z-x<\/strong>, <strong>y-x-y<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0423\u0433\u043b\u044b \u0422\u0435\u0439\u0442\u0430\u2014 \u0411\u0440\u0430\u0439\u0430\u043d\u0430 (\u0438\u043b\u0438 yaw,pitch,roll): <strong>x-y-z<\/strong>, <strong>y-z-x<\/strong>, <strong>z-x-y<\/strong>, <strong>x-z-y<\/strong>, <strong>z-y-x<\/strong>, <strong>y-x-z<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p>\u0422\u0430\u043a \u0447\u0442\u043e \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 12 \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442\u043e\u0432 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<p>\u041a\u0430\u043a \u0443\u0436\u0435 \u0431\u044b\u043b\u043e \u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u043e, \u0432 \u0438\u0433\u0440\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0434\u0432\u0438\u0436\u043a\u0430\u0445 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f<\/p>\n<p><strong>Yaw -> Pitch -> Roll<\/strong>. \u0413\u043e\u0432\u043e\u0440\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u044f\u0437\u044b\u043a\u043e\u043c\u2014 \u044d\u0442\u043e <strong>Z-X-Y Intrinsic<\/strong>.<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u043d\u0430\u0438\u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442 \u0434\u043b\u044f \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447 (\u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0434\u043b\u044f \u0441\u0430\u043c\u043e\u043b\u0435\u0442\u043e\u0432):<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p><strong>Z \u2014 \u0440\u044b\u0441\u043a\u0430\u043d\u0438\u0435 (yaw).<\/strong> \u0423\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u043a\u043e\u043c\u043f\u0430\u0441\u0430\/\u043a\u0430\u0440\u0442\u044b, \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c, \u0432 \u043a\u0430\u043a\u0443\u044e \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u0443 \u0438\u0434\u0435\u0442\/\u043b\u0435\u0442\u0438\u0442\/\u043f\u043e\u043b\u0437\u0435\u0442 \u0447\u0442\u043e-\u0442\u043e. \u0421\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u043e \u043e\u0442 gimbal lock\u2019\u0430.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>X \u2014 \u0442\u0430\u043d\u0433\u0430\u0436 (pitch).<\/strong> \u0421\u0430\u043c\u043e\u043b\u0435\u0442 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u0441\u0442\u0440\u043e\u0433\u043e \u0432\u0432\u0435\u0440\u0445 \u0438\u043b\u0438 \u0432\u043d\u0438\u0437 \u043d\u0435 \u043b\u0435\u0442\u0438\u0442. \u0423\u0433\u043b\u044b \u0437\u0430\u043a\u0438\u0434\u044b\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043a\u0430\u043c\u0435\u0440\u044b \u0438\u0433\u0440\u043e\u043a\u0430 \u0432 \u0438\u0433\u0440\u0430\u0445 \u0442\u043e\u0436\u0435 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u044b \u0433\u0440\u0430\u0434\u0443\u0441\u0430\u043c\u0438 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 -89 \u0438 +89. \u0410, \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, gimbal lock\u2019\u0430 \u0442\u043e\u0436\u0435 \u043d\u0435\u0442.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>Y \u2014 \u043a\u0440\u0435\u043d (roll).<\/strong> \u0421\u0430\u043c\u043e\u043b\u0435\u0442\u0430\u043c \u0441\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u043a\u0440\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u043d\u0435\u043b\u044c\u0437\u044f. \u0410 \u043a\u0430\u043c\u0435\u0440\u044b \u0438\u0433\u0440\u043e\u043a\u043e\u0432 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u0432\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 \u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0435\u043d.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/2e4\/e47\/3e7\/2e4e473e76ccf07d3c560e8113a5df4e.png\" width=\"1176\" height=\"926\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/2e4\/e47\/3e7\/2e4e473e76ccf07d3c560e8113a5df4e.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/df9\/38c\/be4\/df938cbe4298c949a4aed50d1e9860f3.png\" width=\"850\" height=\"405\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/df9\/38c\/be4\/df938cbe4298c949a4aed50d1e9860f3.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p><strong>\u041a\u0430\u043a \u0438\u0442\u043e\u0433:<\/strong> \u043d\u043e\u043b\u044c \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c \u0441 gimbal lock\u2019\u043e\u043c \u0432 \u0442\u0438\u043f\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u0445!<\/p>\n<p><strong>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>\u0421\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e\u0434\u0430 \u0438\u0437 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432 \u0422\u0435\u0439\u0442\u0430-\u0411\u0440\u0430\u0439\u0430\u043d\u0430 \u0432 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443: 3 sincos, 15 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439, 4 \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0421\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e\u0434\u0430 \u0438\u0437 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u0432 \u0443\u0433\u043b\u044b \u0422\u0435\u0439\u0442\u0430-\u0411\u0440\u0430\u0439\u0430\u043d\u0430: 2 atan2, 1 asin.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<h3>\u041a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d<\/h3>\n<p>\u041a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0430 \u0433\u0438\u043f\u0435\u0440\u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b, \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u044e\u0449\u0430\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0435 \u043d\u0430\u0434 \u043f\u043e\u043b\u0435\u043c \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b.<\/p>\n<h4>\u041d\u0438\u0447\u0435\u0433\u043e \u043d\u0435 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u043e?<\/h4>\n<p>\u0415\u0449\u0435 \u0440\u0430\u0437: \u041a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d \u2014 \u044d\u0442\u043e <strong>\u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0430 \u0433\u0438\u043f\u0435\u0440\u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b<\/strong>, \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u044e\u0449\u0430\u044f <strong>\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0435<\/strong> \u043d\u0430\u0434 \u043f\u043e\u043b\u0435\u043c <strong>\u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445<\/strong> \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b.<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0437\u0431\u0435\u0440\u0435\u043c \u043f\u043e \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0443:<\/p>\n<p><strong>1. \u0413\u0438\u043f\u0435\u0440\u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430<\/strong> \u2014 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440, \u0441\u0442\u0440\u043e\u044f\u0449\u0438\u0445\u0441\u044f \u0432 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0435 \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u044f \u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b. \u041c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u044d\u0442\u043e \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0435 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b \u043d\u0430\u0434 \u043f\u043e\u043b\u0435\u043c \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b (\u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u043d\u0430\u0434 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u043c\u0438 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043f\u0430\u0440\u0430 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439 \u043f\u043e \u0442\u0438\u043f\u0443 \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f).<\/p>\n<p>\u00a0\u00a0\u00a0 1.1. <strong>\u041a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430<\/strong> \u2014 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u0432\u0438\u0434\u0430 <strong><em>z = a + bi<\/em><\/strong>,<\/p>\n<p>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 \u0433\u0434\u0435 <em>a<\/em>,<em>b<\/em> \u2014 \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430,<\/p>\n<p>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <em>i<\/em> \u2014 \u043c\u043d\u0438\u043c\u0430\u044f \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0430 (\u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e, \u0443 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e <strong><em>i2 = -1<\/em><\/strong>)<\/p>\n<p>2. \u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0435 \u043d\u0430\u0434 \u043f\u043e\u043b\u0435\u043c \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b \u2014 \u044d\u0442\u043e <strong>Vec4<\/strong>.<\/p>\n<h3>\u0410 \u043a\u0430\u043a \u0432\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u043f\u043e\u044f\u0432\u0438\u043b\u0438\u0441\u044c \u043c\u043d\u0438\u043c\u044b\u0435 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u044b?<\/h3>\n<p>\u041a\u043e\u0433\u0434\u0430-\u0442\u043e \u0434\u0430\u0432\u043d\u043e \u0431\u044b\u043b\u0430 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043a\u0443\u0431\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f: <strong><em>x3 + px + q = 0<\/em><\/strong><\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0447\u0443\u0442\u043a\u0430 \u043f\u043e\u0434\u0448\u0430\u043c\u0430\u043d\u0438\u0442\u044c, \u0442\u043e \u0432\u044b\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0435: <strong><em>x3 = -px &#8212; q \u0438\u043b\u0438 x3 = kx + b<\/em><\/strong> (\u0441\u043b\u0435\u0432\u0430 \u2014 \u043a\u0443\u0431\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u043f\u0430\u0440\u0430\u0431\u043e\u043b\u0430, \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0430 \u2014 \u043f\u0440\u044f\u043c\u0430\u044f).<\/p>\n<p>\u0413\u0440\u0430\u0444\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u043f\u043e\u0438\u0441\u043a\u0443 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430 \u043a\u0443\u0431\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043f\u0430\u0440\u0430\u0431\u043e\u043b\u044b \u0438 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439. \u0412\u0438\u0437\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u044f\u0441\u043d\u043e, \u0447\u0442\u043e \u043b\u044e\u0431\u0430\u044f \u043f\u0440\u044f\u043c\u0430\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043a\u0430\u0435\u0442 \u043a\u0443\u0431\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u043f\u0430\u0440\u0430\u0431\u043e\u043b\u0443 \u0432 1, 2 \u0438\u043b\u0438 3 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u0445. \u0422\u043e \u0431\u0438\u0448\u044c, \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430.<\/p>\n<p>\u0418 \u0432 16 \u0432\u0435\u043a\u0435 \u0431\u044b\u043b\u0430 \u0438\u0437\u043e\u0431\u0440\u0435\u0442\u0435\u043d\u0430 \u0447\u0443\u0434\u0435\u0441\u043d\u0430\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u041a\u0430\u0440\u0434\u0430\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/c02\/089\/d70\/c02089d709519f92278a8e5d26c24441.png\" width=\"1041\" height=\"488\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/c02\/089\/d70\/c02089d709519f92278a8e5d26c24441.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u041e\u043f\u0430. \u0410 \u0447\u0442\u043e-\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a-\u0442\u043e. \u041d\u0435\u043b\u044c\u0437\u044f \u0432\u0437\u044f\u0442\u044c \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c \u0438\u0437 -121. \u041d\u043e \u0432\u0435\u0434\u044c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435-\u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c. \u0427\u0442\u043e \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c?<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0444\u0430\u044d\u043b\u044c \u0411\u043e\u043c\u0431\u0435\u043b\u043b\u0438 \u0432 1572 \u0433\u043e\u0434\u0443 \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u043e\u0436\u0438\u043b \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0432\u0438\u0434, \u0447\u0442\u043e \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c \u0438\u0437 \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043a\u0430\u043a\u043e\u0435-\u0442\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e. \u041c\u044b, \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e, \u0437\u043d\u0430\u0435\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b \u043d\u0435\u0442, \u043d\u043e \u0442\u0435\u043c \u043d\u0435 \u043c\u0435\u043d\u0435\u0435, \u0434\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u043e\u043d\u043e \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0438 \u0435\u0433\u043e, \u043a\u0430\u043a \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u043c\u0438, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0442\u044c, \u0432\u043e\u0437\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u0432 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u0438 \u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u043e\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e\u0435. \u0422\u0430\u043a \u0438 \u043f\u043e\u044f\u0432\u0438\u043b\u0438\u0441\u044c <strong>\u043c\u043d\u0438\u043c\u044b\u0435<\/strong> \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430.<\/p>\n<p>\u041d\u043e\u2026 \u041a\u0430\u043a \u044d\u0442\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442? \u041a\u0430\u043a \u0432\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u0435\u0431\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c \u0438\u0437 <strong>\u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430<\/strong>?<\/p>\n<h3>\u0410 \u00ab\u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e\u00bb \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0432\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u0447\u0442\u043e?<\/h3>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/486\/9d0\/e2e\/4869d0e2e6a63a73694edec6cc575f36.png\" width=\"1300\" height=\"738\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/486\/9d0\/e2e\/4869d0e2e6a63a73694edec6cc575f36.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u041a\u0430\u043a \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u0442\u043d\u044f\u0442\u044c 4 \u043a\u043e\u0440\u043e\u0432\u044b \u043e\u0442 3? \u041a\u0430\u043a \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u043c\u0435\u0442\u044c \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435, \u0447\u0435\u043c \u043d\u0438\u0447\u0435\u0433\u043e? \u0412 18 \u0432\u0435\u043a\u0435 \u0434\u043e \u0441\u0438\u0445 \u043f\u043e\u0440 \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c, \u0447\u0442\u043e \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u2014 \u044d\u0442\u043e \u0447\u0443\u0448\u044c \u0438 \u043e\u0442 \u043d\u0438\u0445 \u043d\u0430\u0434\u043e \u0438\u0437\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0442\u044c\u0441\u044f.<\/p>\n<p>\u0425\u043e\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e \u0438 \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e, \u043e\u043d\u043e \u043e\u0431\u043b\u0430\u0434\u0430\u0435\u0442 \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c\u0438. \u0427\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043d\u0438\u0445 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432\u0441\u044f\u043a\u0438\u0435 \u0441\u0432\u044f\u0437\u0438 (\u0437\u0430\u0434\u043e\u043b\u0436\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c, \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440: -20 \u0434\u043e\u043b\u0433, 50 \u0434\u043e\u0445\u043e\u0434. \u0418\u0442\u043e\u0433: -20 + 50 = 30 \u0440\u0443\u0431 \u0432 \u043a\u0430\u0440\u043c\u0430\u043d\u0435).<\/p>\n<p>\u0417\u043d\u0430\u043a\u0438 \u043f\u043b\u044e\u0441\u0430 \u0438 \u043c\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0430\u0432\u0442\u043e\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0444\u0438\u043a\u0441\u0438\u0440\u0443\u044e\u0442 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u2014 \u0432\u0430\u043c \u043d\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0446\u0435\u043b\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0442\u0440\u0430\u043d\u0437\u0430\u043a\u0446\u0438\u0438. \u0421 \u043c\u043d\u0438\u043c\u044b\u043c\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c\u0438 \u0442\u0430 \u0436\u0435 \u0438\u0441\u0442\u043e\u0440\u0438\u044f. \u041e\u043d\u0438 \u00ab\u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u00bb \u043d\u0430\u0441\u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0436\u0435, \u043a\u0430\u043a \u0438 \u0432\u0441\u0435 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0435. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u00ab\u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442\u00bb -1, 1\/3 \u0438 0, \u0442\u043e \u0434\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0438 \u043d\u0435\u043a\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e i, \u0433\u0434\u0435 <strong><em>i2 = -1<\/em><\/strong>.<\/p>\n<p>\u0418\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0441\u043b\u043e\u0432\u0430\u043c\u0438, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u044f i \u043d\u0430 \u0441\u0435\u0431\u044f \u0436\u0435, \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c <strong><em>-1: i*i = -1<\/em><\/strong>. \u0421\u0442\u0440\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043d\u043e\u0432\u044b\u0435 \u0438\u0434\u0435\u0438 \u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0447\u0440\u0435\u0437\u0432\u044b\u0447\u0430\u0439\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u044b\u043c\u0438.<\/p>\n<h3>\u0412\u0438\u0437\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0438 \u043c\u043d\u0438\u043c\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b<\/h3>\n<p>\u0427\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 <em>x2<\/em> <em>=<\/em> <em>9<\/em>?<\/p>\n<p><strong><em>1 * x2 = 9<\/em><\/strong> \u0438\u043b\u0438 <strong><em>1 * x * x = 9<\/em><\/strong><\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u0432 x? <strong>3<\/strong> \u0438 <strong>-3<\/strong>. \u0422\u043e \u0431\u0438\u0448\u044c, \u00ab3 \u0440\u0430\u0437\u0430 \u043f\u043e 3 \u0438\u043b\u0438 3 \u0440\u0430\u0437\u0430 \u043f\u043e -3 \u0438 <strong>\u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e\u0440\u0430\u0447\u0438\u0432\u0430\u0435\u043c<\/strong> \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u00bb.<\/p>\n<p>\u0410 \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u043e\u0434\u0443\u043c\u0430\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e <em>x2 = -1<\/em>:<\/p>\n<p><strong><em>1 * x * x = -1<\/em><\/strong><\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u0441\u044e\u0434\u0430? \u0421\u044e\u0434\u0430 \u043d\u0435 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u043d\u0438 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435, \u043d\u0438 \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e\u2026 \u0410 \u0447\u0442\u043e, \u0435\u0441\u043b\u0438\u2026 \u0412\u0440\u0430\u0449\u0430\u0442\u044c? \u0411\u0440\u0435\u0434, \u043d\u043e \u0447\u0442\u043e \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c <em>\u0445<\/em> \u043a\u0430\u043a \u00ab\u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 90 \u0433\u0440\u0430\u0434\u0443\u0441\u043e\u0432\u00bb, \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0432 <em>\u0445<\/em> \u0434\u0432\u0430\u0436\u0434\u044b, \u043c\u044b \u0441\u043e\u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043c \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u043d\u0430 180 \u0433\u0440\u0430\u0434\u0443\u0441\u043e\u0432 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u043d\u043e\u0439 \u043e\u0441\u0438, \u0438 1 \u043e\u0431\u0435\u0440\u043d\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 -1!<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/d44\/c7d\/528\/d44c7d5288ba59df05ac9c7f13075a42.png\" width=\"1225\" height=\"521\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/d44\/c7d\/528\/d44c7d5288ba59df05ac9c7f13075a42.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/c2b\/2a6\/70c\/c2b2a670cefcf5d4e1bd3918d8110a75.png\" width=\"1300\" height=\"738\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/c2b\/2a6\/70c\/c2b2a670cefcf5d4e1bd3918d8110a75.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<h3>\u041f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b<\/h3>\n<p>\u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f, <strong><em>i2 = -1<\/em><\/strong> \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0430\u0432\u043e \u043d\u0430 \u0436\u0438\u0437\u043d\u044c. \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432\u044b\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442, \u0447\u0442\u043e \u043b\u044e\u0431\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e <em>z<\/em> \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u043f\u0430\u0440\u044b \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b <strong>z = a + bi<\/strong>, \u0433\u0434\u0435 <em>a<\/em>,<em>b <\/em>\u2014 \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u0430 i \u2014 \u043c\u043d\u0438\u043c\u0430\u044f \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0430. \u0427\u0438\u0441\u043b\u043e a \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c\u044e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 <em>z<\/em>, <em>\u0430<\/em>,<em>b<\/em> \u2014 \u043c\u043d\u0438\u043c\u043e\u0439.<\/p>\n<p>\u041f\u0430\u0440\u0443 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b a,b \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442 \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u0440\u0430\u0434\u0438\u0443\u0441-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u0442\u0440\u0435\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0438\u043a, \u0433\u0434\u0435 \u0443\u0433\u043e\u043b \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u0438 \u043e\u0441\u044c\u044e \u0430\u0431\u0441\u0446\u0438\u0441\u0441 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 <strong>\u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u043c<\/strong>, \u0430 \u0433\u0438\u043f\u043e\u0442\u0435\u043d\u0443\u0437\u0443 \u2014 \u0440\u0430\u0441\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043e\u0442 \u043d\u0443\u043b\u044f.<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u044f \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u0443\u044e \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0443, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u044b\u0439 \u044d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442:<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p>\u0421\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044e \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d\u0438\u044e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u2014 \u043c\u044b \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e <strong>\u0441\u043c\u0435\u0449\u0430\u0435\u043c<\/strong> \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u043d\u0430 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0423\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u044f \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433 \u043d\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0430 (\u0441 \u0443\u0447\u0435\u0442\u043e\u043c \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439 \u043c\u043d\u0438\u043c\u043e\u0439 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u044b), \u043d\u0430\u0448\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u0435\u0442 <strong>\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f<\/strong> \u0432\u043e\u043a\u0440\u0443\u0433 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442 \u0438 <strong>\u043c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f<\/strong>.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/014\/441\/1c1\/0144411c1ec367ca285e1619ce0a8420.png\" width=\"1243\" height=\"386\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/014\/441\/1c1\/0144411c1ec367ca285e1619ce0a8420.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u041f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u044c\u0442\u0435, \u0447\u0442\u043e \u043c\u044b \u043d\u0430 \u043b\u043e\u0434\u043a\u0435, \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043c\u0441\u044f \u0441 \u043a\u0443\u0440\u0441\u043e\u043c 3 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u044b \u043d\u0430 \u0412\u043e\u0441\u0442\u043e\u043a \u043a\u0430\u0436\u0434\u044b\u0435 4 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u044b \u043d\u0430 \u0421\u0435\u0432\u0435\u0440. \u0425\u043e\u0442\u0438\u043c \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u0441\u0432\u043e\u0439 \u043a\u0443\u0440\u0441 \u043d\u0430 45 \u0433\u0440\u0430\u0434\u0443\u0441\u043e\u0432 \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432 \u0447\u0430\u0441\u043e\u0432\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0440\u0435\u043b\u043a\u0438. \u041a\u0430\u043a\u0438\u043c \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043d\u043e\u0432\u044b\u0439 \u043a\u0443\u0440\u0441?<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p><strong><em>z1 = 3 + 4i<\/em><\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong><em>z2 = 1 + i<\/em><\/strong><\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0435\u043c: <strong><em>z1*z2 = (3 + 4i)(1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i2 = 3 + 7i + 4(-1) = -1 + 7i<\/em><\/strong><\/p>\n<p>\u041d\u0430\u0448 \u043d\u043e\u0432\u044b\u0439 \u043e\u0440\u0438\u0435\u043d\u0442\u0438\u0440: 1 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0430 \u043d\u0430 \u0417\u0430\u043f\u0430\u0434 \u0438 7 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446 \u043d\u0430 \u0421\u0435\u0432\u0435\u0440. \u0418 \u044d\u0442\u043e \u0431\u0435\u0437 \u0432\u0441\u044f\u043a\u0438\u0445 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u043e\u0432 \u0438 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u043e\u0432! \u0411\u0443\u043a\u0432\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0437\u0430 \u043f\u0430\u0440\u0443 \u0441\u0435\u043a\u0443\u043d\u0434!<\/p>\n<p><em>\u041c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u044f\u044e\u0442 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0443, \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u044e \u0438 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u044e \u0432 \u0435\u0434\u0438\u043d\u043e\u0435 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0435.<\/em><\/p>\n<h3>\u0422\u0430\u043a \u0447\u0442\u043e \u0436\u0435 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0432 \u0438\u0442\u043e\u0433\u0435 \u041a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d?<\/h3>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u2014 \u044d\u0442\u043e \u0432\u043e\u0442 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435:<\/p>\n<p>\u00a0\u00a0\u00a0 <strong><em>q = xi + yj + zk + w<\/em><\/strong>,<\/p>\n<p>\u0433\u0434\u0435 x,y,z,w\u2014 \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435, \u0430 i,j,k\u2014 \u043c\u043d\u0438\u043c\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043e\u0431\u043b\u0430\u0434\u0430\u044e\u0442 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u043c\u0438 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c\u0438:<\/p>\n<p>\u00a0\u00a0\u00a0 <strong><em>i2 = j2 = k2 = ijk = -1<\/em><\/strong><\/p>\n<p>\u0438, \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e:<\/p>\n<p>\u00a0\u00a0\u00a0 <strong><em>ij=k\u00a0 \u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0 jk=i\u00a0 \u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0 ki=j<\/em><\/strong><\/p>\n<p><strong><em>\u00a0\u00a0\u00a0 ji=-k \u00a0 \u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0 kj=-i\u00a0 \u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0 ik=-j<\/em><\/strong><\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u0440\u0438\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0442\u044c\u0441\u044f, \u0442\u043e \u044d\u0442\u043e \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0441\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0435 \u043d\u0430 cross product:<\/p>\n<p>\u00a0\u00a0\u00a0 x\u00d7y=z\u00a0 \u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0 y\u00d7z=x\u00a0 \u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0 z\u00d7x=y<\/p>\n<p>\u00a0\u00a0\u00a0 y\u00d7x=\u2212z\u00a0\u00a0\u00a0 z\u00d7y=\u2212x\u00a0\u00a0\u00a0 x\u00d7z=\u2212y<\/p>\n<p>\u0418 \u043d\u0435 \u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0430: \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b \u043f\u0440\u0438\u0434\u0443\u043c\u0430\u043b <strong>\u0423\u0438\u043b\u044c\u044f\u043c \u0413\u0430\u043c\u0438\u043b\u044c\u0442\u043e\u043d<\/strong> \u0432 <strong>1843<\/strong> \u0433\u043e\u0434\u0443. \u041e\u043d \u0436\u0435 3 \u0433\u043e\u0434\u0430 \u0441\u043f\u0443\u0441\u0442\u044f \u043f\u0440\u0438\u0434\u0443\u043c\u0430\u043b dot \u0438 cross product. \u0418\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u0442\u0435\u0445 \u0436\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432\u2014 \u043a\u0430\u043a \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u0430\u044f \u0438 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0430\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432, \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0430\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043d\u0443\u043b\u044e. \u00ab\u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u00bb \u0438 \u00ab\u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u00bb \u2014 \u0442\u0435\u0440\u043c\u0438\u043d\u044b, \u0442\u043e\u0436\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0448\u0435\u0434\u0448\u0438\u0435 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \u0441 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430\u043c\u0438.<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/039\/8ac\/02a\/0398ac02ad5447b7462d32cd1564cf48.png\" width=\"1600\" height=\"900\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/039\/8ac\/02a\/0398ac02ad5447b7462d32cd1564cf48.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0410\u043d\u0440\u0438 \u041f\u0443\u0430\u043d\u043a\u0430\u0440\u0435 \u043f\u0438\u0441\u0430\u043b \u043e \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430\u0445: <em>\u00ab\u0418\u0445 \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0430\u043b\u043e \u043c\u043e\u0449\u043d\u044b\u0439 \u0442\u043e\u043b\u0447\u043e\u043a \u0440\u0430\u0437\u0432\u0438\u0442\u0438\u044e \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b; \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u044f \u043e\u0442 \u043d\u0438\u0445, \u043d\u0430\u0443\u043a\u0430 \u043f\u043e\u0448\u043b\u0430 \u043f\u043e \u043f\u0443\u0442\u0438 \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u044f \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u043f\u0440\u0438\u0434\u044f \u043a \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435\u043f\u0446\u0438\u044f\u043c \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u0438 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0433\u043e \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u0430, \u043f\u0440\u043e\u043d\u0438\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0449\u0438\u043c \u0441\u043e\u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0443. \u042d\u0442\u043e \u0431\u044b\u043b\u0430 \u0440\u0435\u0432\u043e\u043b\u044e\u0446\u0438\u044f \u0432 \u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0435\u0442\u0438\u043a\u0435, \u043f\u043e\u0434\u043e\u0431\u043d\u0430\u044f \u0442\u043e\u0439, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0443\u044e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u043b \u041b\u043e\u0431\u0430\u0447\u0435\u0432\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0432 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0438\u00bb<\/em>.<\/p>\n<p>\u041a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b \u0438\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0438\u0437\u043e\u0431\u0440\u0435\u0442\u0430\u043b\u0438\u0441\u044c \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0444\u0438\u0437\u0438\u043a\u0438. \u041c\u044b \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0438\u0445 \u0434\u043b\u044f \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u0435\u043b \u0432 3D.<\/p>\n<h3>\u0413\u0434\u0435 \u0438 \u0434\u043b\u044f \u0447\u0435\u0433\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d?<\/h3>\n<ol>\n<li>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0412\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e 9 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b mat3 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e 4! \u042d\u043a\u043e\u043d\u043e\u043c\u0438\u044f \u043f\u043e \u043f\u0430\u043c\u044f\u0442\u0438, \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u0435\u0435 \u0447\u0442\u0435\u043d\u0438\u0435\/\u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044c.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0421\u043e\u0437\u0434\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0441\u044c-\u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0412\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432 (\u0438\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435) \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0441\u0442\u0430\u0431\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u0432 \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0441 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u041d\u0435\u0442 Gimbal Lock\u2019\u0430, \u043a\u0430\u043a \u0443 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/6a5\/a46\/efe\/6a5a46efeb1baf6dfdc58d16d94ed1cb.png\" width=\"850\" height=\"405\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/6a5\/a46\/efe\/6a5a46efeb1baf6dfdc58d16d94ed1cb.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<ol start=\"5\">\n<li>\n<p>\u0412 \u0441\u043a\u0435\u043b\u0435\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043d\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0434\u043b\u044f \u0441\u043a\u0438\u043d\u043d\u0438\u043d\u0433\u0430. \u0415\u0441\u0442\u044c \u0435\u0449\u0435 \u0442\u0430\u043a\u0430\u044f \u0448\u0442\u0443\u043a\u0430, \u043a\u0430\u043a Dual quaternion. \u041f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u043e \u0438\u0441\u043a\u0440\u0438\u0432\u043b\u044f\u0442\u044c \u0440\u0443\u043a\u0438-\u043d\u043e\u0433\u0438 (\u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u044b) \u0432\u0434\u043e\u043b\u044c \u043f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043e\u0441\u0435\u0439.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/3e5\/479\/af5\/3e5479af57d4ffd214f26e27ae89ea9c.png\" width=\"640\" height=\"480\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/3e5\/479\/af5\/3e5479af57d4ffd214f26e27ae89ea9c.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/894\/38b\/34f\/89438b34f502ba5f3a52d27cc493700b.png\" width=\"571\" height=\"227\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/894\/38b\/34f\/89438b34f502ba5f3a52d27cc493700b.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<ol start=\"6\">\n<li>\n<p>\u0410\u043d\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u044f. \u0421\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u043f\u043b\u0430\u0432\u043d\u044b\u0439 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430\u043c\u0438 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 Spherical interpolation. \u0427\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0443\u0433\u043b\u044b \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430 \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u0443\u044e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u044f\u0446\u0438\u044e (\u043f\u043e \u043d\u0430\u0438\u043a\u0440\u0430\u0442\u0447\u0430\u0439\u0448\u0435\u043c\u0443 \u043f\u0443\u0442\u0438) \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0432\u043e\u043a\u0440\u0443\u0433 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043e\u0441\u0438.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/b01\/f7d\/031\/b01f7d031b2921b14e60922c631096bb.png\" width=\"665\" height=\"265\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/b01\/f7d\/031\/b01f7d031b2921b14e60922c631096bb.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<h3>\u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f, xyz \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043e\u0441\u044c, \u0430 w \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0443\u0433\u043e\u043b?<\/h3>\n<p>\u041d\u0435\u0442! (x, y, z, w)\u2014 \u044d\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u0445\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0433\u0438\u043f\u0435\u0440\u0441\u0444\u0435\u0440\u044b (3-\u0441\u0444\u0435\u0440\u044b). \u0422\u043e\u0447\u043d\u0435\u0435, 3-\u043f\u043e\u043b\u0443\u0441\u0444\u0435\u0440\u044b.<\/p>\n<h4>\u041d\u0430\u0447\u043d\u0435\u043c \u0441 2D<\/h4>\n<p>\u0414\u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u043c, \u043c\u044b \u0445\u043e\u0442\u0438\u043c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u0447\u0438\u0441\u0442\u043e \u0434\u043b\u044f \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0439. \u0423 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043d\u0435\u043a\u0438\u0439 \u0443\u0433\u043e\u043b <strong><em>\u03c6<\/em><\/strong>, \u043d\u0430\u0434\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0435\u0433\u043e \u0432 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e, \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0442\u044c \u0441 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u043c\u0438, \u0430 \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0442\u044c \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u0443\u0433\u043b\u0430. \u0418\u043b\u0438, \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u043c\u044b \u0445\u043e\u0442\u0438\u043c \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u0430\u0447\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u0443\u0447\u0443 \u0440\u0430\u0434\u0438\u0443\u0441-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u043d\u0430 \u0443\u0433\u043e\u043b <strong><em>\u03c6<\/em><\/strong>. \u0411\u044b\u0441\u0442\u0440\u043e.<\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b \u0434\u0430\u0432\u0430\u043b\u043e <strong>\u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442<\/strong>, \u0431\u0435\u0437 \u043c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f? \u0423\u043c\u043d\u044b\u0435 \u043b\u044e\u0434\u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043b\u0438, \u0447\u0442\u043e: \u00ab\u041f\u0440\u0438 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b \u0438\u0445 <strong>\u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f<\/strong>, \u0430 <strong>\u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f<\/strong>\u00bb.<\/p>\n<p>\u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c <strong><em>z<\/em><\/strong> \u0434\u043e\u043b\u0436\u0435\u043d \u0431\u044b\u0442\u044c \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d <strong><em>1<\/em><\/strong>. \u0413\u0440\u0430\u0444\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u2014 \u0431\u044b\u0442\u044c <strong>\u0442\u043e\u0447\u043a\u043e\u0439 \u043d\u0430 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u0445\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043a\u0440\u0443\u0433\u0430<\/strong>. \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u0432 2D (\u043b\u0438\u0431\u043e \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0443\u0433\u043b\u044b <strong><em>\u03c61 + \u03c62<\/em><\/strong>), \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u043d\u0430\u0434\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a <strong><em>z = cos\u03c6 + isin\u03c6<\/em><\/strong>!<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u0435 \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435, \u0447\u0442\u043e \u043d\u0438 \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f, \u043d\u0438 \u043c\u043d\u0438\u043c\u0430\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043d\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u043d\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u043d\u0438 \u0443\u0433\u043e\u043b. \u041e\u043d\u0438 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u044e\u0442 \u0432 \u043f\u0430\u0440\u0435. \u042d\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438, \u0442\u0435\u043d\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043d\u0430 \u043e\u0441\u044f\u0445. \u0418\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u044f \u043e\u0434\u043d\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e, \u0434\u043b\u044f \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0443\u0433\u043b\u0430, \u043d\u0430\u0434\u043e \u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u043f\u043e\u0440\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0438 \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435.<\/p>\n<p>\u0418 \u043f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c, \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u043e, \u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0443\u0433\u043e\u043b: 1 + 0i.<\/p>\n<h4>\u041f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u0432 3D<\/h4>\n<p>\u0422\u0443\u0442 \u0432\u0441\u0435 \u0447\u0443\u0442\u044c \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u0435\u0435. \u041f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u044c\u0442\u0435 \u0441\u0435\u0431\u0435 \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0435 \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b\u0445 \u0434\u0440\u0443\u0433 \u043a \u0434\u0440\u0443\u0433\u0443 \u043e\u0441\u0438, \u043e\u0434\u043d\u0430 \u0438\u0437 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445\u2014 \u043e\u0441\u044c \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b. <strong><em>xyzw<\/em><\/strong> \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u0445\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0433\u0438\u043f\u0435\u0440\u0441\u0444\u0435\u0440\u044b \u0441 \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u044b\u043c \u0440\u0430\u0441\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435\u043c \u0434\u043e \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440\u0430 \u0432 1, \u0430 \u0443\u0433\u043e\u043b \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u2014 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u044f <strong><em>xyz<\/em><\/strong> \u0438\u0437 \u043c\u043d\u0438\u043c\u044b\u0445 \u043e\u0441\u0435\u0439 \u043d\u0430 \u043e\u0441\u044c \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b.<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a \u0447\u0442\u043e \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c (\u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 axis-angle):<\/p>\n<p><strong><em>q = cos(\u03c6\/2) + u sin(\u03c6\/2)<\/em><\/strong>, \u0433\u0434\u0435 <strong><em>u<\/em><\/strong> \u2014 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0438\u0437 <strong><em>(x,y,z)<\/em><\/strong><\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c (<em>x,y,z,w<\/em>) \u043d\u0435 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d 1, \u0442\u043e \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \u0441 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043c\u044b \u043d\u0430\u0447\u043d\u0435\u043c \u0435\u0449\u0435 \u0438 \u043c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438\/\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430, \u0434\u0432\u0438\u0433\u0430\u044f \u0438\u0445 \u043f\u043e \u0441\u043f\u0438\u0440\u0430\u043b\u0438. <strong>\u0422\u0430\u043a \u0447\u0442\u043e \u041d\u0418\u041a\u041e\u0413\u0414\u0410 \u043d\u0435 \u043c\u0435\u043d\u044f\u0439\u0442\u0435 <em>w<\/em> \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0443 \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u0442 <em>xyz<\/em>!<\/strong><\/p>\n<p>\u0412\u043e-\u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0445, \u043c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442\u0435, \u0430 \u0432\u043e-\u0432\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445, \u0443\u0433\u043e\u043b \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0435\u0442\u044c \u043e\u0442 \u0442\u0435\u043a\u0443\u0449\u0438\u0445 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 (<em>x,y,z<\/em>).<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 <strong><em>\u03c6\/2<\/em><\/strong>? \u041f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 v \u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 <strong><em>qvq-1<\/em><\/strong>. \u0422\u0430\u043c \u044d\u0442\u043e \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d\u043e \u0441 \u0442\u0435\u043c, \u0447\u0442\u043e <strong><em>v<\/em><\/strong> \u2014 (<em>x,y,z<\/em>), \u0430 <strong><em>q<\/em><\/strong> \u2014 (<em>x,y,z,w<\/em>). \u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 <strong><em>qv<\/em><\/strong> \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u0442\u044b\u0439 v \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0442\u0430\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u0442\u043e \u00ab\u043c\u043d\u0438\u043c\u044b\u043c\u00bb, \u0430 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c. \u041d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e \u0434\u043e\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430 <strong><em>q-1<\/em><\/strong>, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u0442\u044c \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u0442\u044b\u0439 <strong><em>v<\/em><\/strong> \u0432 \u00ab\u043c\u043d\u0438\u043c\u0443\u044e\u00bb \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c.<\/p>\n<h3>* * *<\/h3>\n<p>\u0412\u043e\u0442 \u0438 \u043f\u043e\u0434\u043e\u0448\u0435\u043b \u043a \u043a\u043e\u043d\u0446\u0443 \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0443\u0440\u043e\u043a \u0438\u0437 \u0437\u0430\u043f\u043b\u0430\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0442\u0440\u0435\u0445. \u0412 \u0442\u0440\u0435\u0442\u044c\u0435\u043c, \u0437\u0430\u0432\u0435\u0440\u0448\u0430\u044e\u0449\u0435\u043c, \u0443\u0440\u043e\u043a\u0435 \u0440\u0430\u0437\u0431\u0435\u0440\u0435\u043c \u043e\u0431\u044a\u0435\u043c\u043d\u0443\u044e \u0442\u0435\u043c\u0443 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446 \u0432 3D-\u043f\u0440\u0438\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445. \u041e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435\u0441\u044c \u043d\u0430 \u0441\u0432\u044f\u0437\u0438 \u0438 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435\u0441\u044c \u043d\u0430 \u043d\u0430\u0448 \u0431\u043b\u043e\u0433!<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"v-portal\" style=\"display:none;\"><\/div>\n<\/div>\n<p> <!----> <!----><br \/> \u0441\u0441\u044b\u043b\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u043e\u0440\u0438\u0433\u0438\u043d\u0430\u043b \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438 <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/company\/unigine\/blog\/672930\/\"> https:\/\/habr.com\/ru\/company\/unigine\/blog\/672930\/<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<div><\/div>\n<div id=\"post-content-body\">\n<div>\n<div class=\"article-formatted-body article-formatted-body article-formatted-body_version-2\">\n<div xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1999\/xhtml\">\n<h4>\u0420\u0430\u0437\u0431\u0438\u0440\u0430\u0435\u043c \u0443\u0433\u043b\u044b \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430 \u0438 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b.<\/h4>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0430\u0435\u043c \u0440\u0430\u0437\u0431\u0438\u0440\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0441 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u043e\u0439 \u0434\u043b\u044f 3D-\u043f\u0440\u0438\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \u0441 \u0410\u043b\u0435\u043a\u0441\u0430\u043d\u0434\u0440\u043e\u043c \u041f\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u0432\u044b\u043c \u2014 \u0432\u0435\u0434\u0443\u0449\u0438\u043c \u0440\u0430\u0437\u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0447\u0438\u043a\u043e\u043c \u043b\u043e\u0433\u0438\u043a\u0438 \u0432 UNIGINE. \u0412 <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/company\/unigine\/blog\/671294\/\"><u>\u043f\u0440\u043e\u0448\u043b\u043e\u043c \u0443\u0440\u043e\u043a\u0435<\/u><\/a> \u043c\u044b \u043f\u043e\u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u0438\u043b\u0438 \u043f\u0440\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u043d\u0430\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0438 \u0432 \u0442\u0440\u0435\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0435 \u0438 \u0432\u0441\u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u043b\u0438 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0435 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0430\u0434 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438. \u0410 \u0432 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0443\u0440\u043e\u043a\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u043a \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u043c \u0442\u0435\u043c\u0430\u043c: \u0443\u0433\u043b\u0430\u043c \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430 \u0438 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430\u043c.<\/p>\n<h3>\u0423\u0433\u043b\u044b \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430<\/h3>\n<p>\u0423\u0433\u043b\u044b \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0443\u0433\u043b\u044b \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0449\u0438\u0435 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u0430\u0431\u0441\u043e\u043b\u044e\u0442\u043d\u043e \u0442\u0432\u0435\u0440\u0434\u043e\u0433\u043e \u0442\u0435\u043b\u0430 \u0432 \u0442\u0440\u0435\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u043c \u0435\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u043e\u0432\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435. \u0421\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u0442 \u0438\u0437 \u0442\u0440\u0435\u0445 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442 (\u03c8, \u03b8, \u03c6), \u043a\u0430\u0436\u0434\u044b\u0439 \u0438\u0437 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u2014 \u0443\u0433\u043e\u043b \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u043e\u043a\u0440\u0443\u0433 \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439-\u0442\u043e \u043e\u0441\u0438.<\/p>\n<p>\u041b\u0435\u043e\u043d\u0430\u0440\u0434 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u043b \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0430\u043a, \u043a\u0430\u043a \u043d\u0430 \u043a\u0430\u0440\u0442\u0438\u043d\u043a\u0435 \u043d\u0438\u0436\u0435:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0423\u0433\u043b\u044b Z-X-Z Intrinsic (\u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435)<\/p>\n<h3>\u0423\u0433\u043b\u044b \u0422\u0435\u0439\u0442\u0430-\u0411\u0440\u0430\u0439\u0430\u043d\u0430<\/h3>\n<p>\u041a\u0430\u043a \u0432\u0438\u0434\u0438\u0442\u0435, \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u043b \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e \u0434\u0432\u0443\u043c \u043e\u0441\u044f\u043c \u0442\u0440\u0435\u043c\u044f \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0430\u043c\u0438. \u0421\u043f\u0435\u0440\u0432\u0430 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u043f\u043e \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0439 \u043e\u0441\u0438, \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u043f\u043e \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0438 \u0432 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435 \u0441\u043d\u043e\u0432\u0430 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u043c \u043f\u043e \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0439 \u043e\u0441\u0438. \u0412 \u0443\u043c\u0435 \u043e\u043d \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u043b \u0441\u0435\u0431\u0435 \u043d\u0435\u043a\u0443\u044e \u044e\u043b\u0443.<\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c \u0434\u0435\u043b\u0435 \u0442\u043e, \u0447\u0435\u043c \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c\u0441\u044f \u0438\u0433\u0440\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0434\u0432\u0438\u0436\u043a\u0430\u0445 \u0441\u0435\u0439\u0447\u0430\u0441 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0430\u043b\u044c\u0442\u0435\u0440\u043d\u0430\u0442\u0438\u0432\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0438\u0434 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430, \u043f\u0440\u0438\u0434\u0443\u043c\u0430\u043d\u043d\u043e\u0435 \u041f\u0438\u0442\u0435\u0440\u043e\u043c \u0422\u0435\u0439\u0442\u043e\u043c \u0438 \u0414\u0436\u043e\u0440\u0434\u0436\u0435\u043c \u0411\u0440\u0430\u0439\u0430\u043d\u043e\u043c \u0434\u043b\u044f \u0430\u0432\u0438\u0430\u0446\u0438\u0438. \u041e\u043d\u0438 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u043f\u043e \u0442\u0440\u0435\u043c \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u043c \u043e\u0441\u044f\u043c (\u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b\u043c, \u043a\u0430\u043a yaw->pitch->roll) \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u0442\u0440\u0435\u0445 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442. \u0412\u0438\u0437\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u044d\u0442\u043e \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u043a\u0430\u043a \u0442\u0435 \u0441\u0430\u043c\u044b\u0435 \u0432\u0441\u0435\u043c \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u044e\u0449\u0438\u0435\u0441\u044f \u0432\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043a\u043e\u043b\u044c\u0446\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0442\u0430\u043a \u043b\u044e\u0431\u044f\u0442 \u0444\u0430\u043d\u0442\u0430\u0441\u0442\u044b, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0438\u043c \u043d\u0430\u0434\u043e \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c \u0434\u0432\u0438\u0433\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u043a\u043e\u0441\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u0440\u0430\u0431\u043b\u044f \u0438\u043b\u0438 \u0434\u0440\u0435\u0432\u043d\u0438\u0439 \u0430\u0440\u0442\u0435\u0444\u0430\u043a\u0442 \u0438\u043d\u043e\u043f\u043b\u0430\u043d\u0435\u0442\u044f\u043d.<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432 \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c, \u0442\u043e \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438\/\u043f\u043e\u0434\u0432\u0438\u0436\u043d\u044b\u043c\u0438 (<strong>Intrinsic<\/strong>) \u0438\u043b\u0438 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0438\u043c\u0438\/\u0441\u0442\u0430\u0442\u0438\u0447\u043d\u044b\u043c\u0438 (<strong>Extrinsic<\/strong>).<\/p>\n<p>\u0411\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u043e\u043d\u0438 \u0435\u0449\u0435 \u0434\u0435\u043b\u044f\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 \u0434\u0432\u0435 \u0433\u0440\u0443\u043f\u043f\u044b:<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p>\u041f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0443\u0433\u043b\u044b \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430: <strong>z-x-z<\/strong>, <strong>x-y-x<\/strong>, <strong>y-z-y<\/strong>, <strong>z-y-z<\/strong>, <strong>x-z-x<\/strong>, <strong>y-x-y<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0423\u0433\u043b\u044b \u0422\u0435\u0439\u0442\u0430\u2014 \u0411\u0440\u0430\u0439\u0430\u043d\u0430 (\u0438\u043b\u0438 yaw,pitch,roll): <strong>x-y-z<\/strong>, <strong>y-z-x<\/strong>, <strong>z-x-y<\/strong>, <strong>x-z-y<\/strong>, <strong>z-y-x<\/strong>, <strong>y-x-z<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p>\u0422\u0430\u043a \u0447\u0442\u043e \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 12 \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442\u043e\u0432 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<p>\u041a\u0430\u043a \u0443\u0436\u0435 \u0431\u044b\u043b\u043e \u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u043e, \u0432 \u0438\u0433\u0440\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0434\u0432\u0438\u0436\u043a\u0430\u0445 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f<\/p>\n<p><strong>Yaw -> Pitch -> Roll<\/strong>. \u0413\u043e\u0432\u043e\u0440\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u044f\u0437\u044b\u043a\u043e\u043c\u2014 \u044d\u0442\u043e <strong>Z-X-Y Intrinsic<\/strong>.<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u043d\u0430\u0438\u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442 \u0434\u043b\u044f \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447 (\u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0434\u043b\u044f \u0441\u0430\u043c\u043e\u043b\u0435\u0442\u043e\u0432):<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p><strong>Z \u2014 \u0440\u044b\u0441\u043a\u0430\u043d\u0438\u0435 (yaw).<\/strong> \u0423\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u043a\u043e\u043c\u043f\u0430\u0441\u0430\/\u043a\u0430\u0440\u0442\u044b, \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c, \u0432 \u043a\u0430\u043a\u0443\u044e \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u0443 \u0438\u0434\u0435\u0442\/\u043b\u0435\u0442\u0438\u0442\/\u043f\u043e\u043b\u0437\u0435\u0442 \u0447\u0442\u043e-\u0442\u043e. \u0421\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u043e \u043e\u0442 gimbal lock\u2019\u0430.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>X \u2014 \u0442\u0430\u043d\u0433\u0430\u0436 (pitch).<\/strong> \u0421\u0430\u043c\u043e\u043b\u0435\u0442 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u0441\u0442\u0440\u043e\u0433\u043e \u0432\u0432\u0435\u0440\u0445 \u0438\u043b\u0438 \u0432\u043d\u0438\u0437 \u043d\u0435 \u043b\u0435\u0442\u0438\u0442. \u0423\u0433\u043b\u044b \u0437\u0430\u043a\u0438\u0434\u044b\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043a\u0430\u043c\u0435\u0440\u044b \u0438\u0433\u0440\u043e\u043a\u0430 \u0432 \u0438\u0433\u0440\u0430\u0445 \u0442\u043e\u0436\u0435 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u044b \u0433\u0440\u0430\u0434\u0443\u0441\u0430\u043c\u0438 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 -89 \u0438 +89. \u0410, \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, gimbal lock\u2019\u0430 \u0442\u043e\u0436\u0435 \u043d\u0435\u0442.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>Y \u2014 \u043a\u0440\u0435\u043d (roll).<\/strong> \u0421\u0430\u043c\u043e\u043b\u0435\u0442\u0430\u043c \u0441\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u043a\u0440\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u043d\u0435\u043b\u044c\u0437\u044f. \u0410 \u043a\u0430\u043c\u0435\u0440\u044b \u0438\u0433\u0440\u043e\u043a\u043e\u0432 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u0432\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 \u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0435\u043d.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p><strong>\u041a\u0430\u043a \u0438\u0442\u043e\u0433:<\/strong> \u043d\u043e\u043b\u044c \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c \u0441 gimbal lock\u2019\u043e\u043c \u0432 \u0442\u0438\u043f\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u0445!<\/p>\n<p><strong>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>\u0421\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e\u0434\u0430 \u0438\u0437 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432 \u0422\u0435\u0439\u0442\u0430-\u0411\u0440\u0430\u0439\u0430\u043d\u0430 \u0432 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443: 3 sincos, 15 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439, 4 \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0421\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e\u0434\u0430 \u0438\u0437 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u0432 \u0443\u0433\u043b\u044b \u0422\u0435\u0439\u0442\u0430-\u0411\u0440\u0430\u0439\u0430\u043d\u0430: 2 atan2, 1 asin.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<h3>\u041a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d<\/h3>\n<p>\u041a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0430 \u0433\u0438\u043f\u0435\u0440\u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b, \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u044e\u0449\u0430\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0435 \u043d\u0430\u0434 \u043f\u043e\u043b\u0435\u043c \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b.<\/p>\n<h4>\u041d\u0438\u0447\u0435\u0433\u043e \u043d\u0435 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u043e?<\/h4>\n<p>\u0415\u0449\u0435 \u0440\u0430\u0437: \u041a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d \u2014 \u044d\u0442\u043e <strong>\u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0430 \u0433\u0438\u043f\u0435\u0440\u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b<\/strong>, \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u044e\u0449\u0430\u044f <strong>\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0435<\/strong> \u043d\u0430\u0434 \u043f\u043e\u043b\u0435\u043c <strong>\u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445<\/strong> \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b.<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0437\u0431\u0435\u0440\u0435\u043c \u043f\u043e \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0443:<\/p>\n<p><strong>1. \u0413\u0438\u043f\u0435\u0440\u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430<\/strong> \u2014 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440, \u0441\u0442\u0440\u043e\u044f\u0449\u0438\u0445\u0441\u044f \u0432 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0435 \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u044f \u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b. \u041c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u044d\u0442\u043e \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0435 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b \u043d\u0430\u0434 \u043f\u043e\u043b\u0435\u043c \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b (\u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u043d\u0430\u0434 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u043c\u0438 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043f\u0430\u0440\u0430 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439 \u043f\u043e \u0442\u0438\u043f\u0443 \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f).<\/p>\n<p>\u00a0\u00a0\u00a0 1.1. <strong>\u041a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430<\/strong> \u2014 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u0432\u0438\u0434\u0430 <strong><em>z = a + bi<\/em><\/strong>,<\/p>\n<p>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 \u0433\u0434\u0435 <em>a<\/em>,<em>b<\/em> \u2014 \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430,<\/p>\n<p>\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0 <em>i<\/em> \u2014 \u043c\u043d\u0438\u043c\u0430\u044f \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0430 (\u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e, \u0443 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e <strong><em>i2 = -1<\/em><\/strong>)<\/p>\n<p>2. \u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0435 \u043d\u0430\u0434 \u043f\u043e\u043b\u0435\u043c \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b \u2014 \u044d\u0442\u043e <strong>Vec4<\/strong>.<\/p>\n<h3>\u0410 \u043a\u0430\u043a \u0432\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u043f\u043e\u044f\u0432\u0438\u043b\u0438\u0441\u044c \u043c\u043d\u0438\u043c\u044b\u0435 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u044b?<\/h3>\n<p>\u041a\u043e\u0433\u0434\u0430-\u0442\u043e \u0434\u0430\u0432\u043d\u043e \u0431\u044b\u043b\u0430 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043a\u0443\u0431\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f: <strong><em>x3 + px + q = 0<\/em><\/strong><\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0447\u0443\u0442\u043a\u0430 \u043f\u043e\u0434\u0448\u0430\u043c\u0430\u043d\u0438\u0442\u044c, \u0442\u043e \u0432\u044b\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0435: <strong><em>x3 = -px &#8212; q \u0438\u043b\u0438 x3 = kx + b<\/em><\/strong> (\u0441\u043b\u0435\u0432\u0430 \u2014 \u043a\u0443\u0431\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u043f\u0430\u0440\u0430\u0431\u043e\u043b\u0430, \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0430 \u2014 \u043f\u0440\u044f\u043c\u0430\u044f).<\/p>\n<p>\u0413\u0440\u0430\u0444\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u043f\u043e\u0438\u0441\u043a\u0443 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430 \u043a\u0443\u0431\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043f\u0430\u0440\u0430\u0431\u043e\u043b\u044b \u0438 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439. \u0412\u0438\u0437\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u044f\u0441\u043d\u043e, \u0447\u0442\u043e \u043b\u044e\u0431\u0430\u044f \u043f\u0440\u044f\u043c\u0430\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043a\u0430\u0435\u0442 \u043a\u0443\u0431\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u043f\u0430\u0440\u0430\u0431\u043e\u043b\u0443 \u0432 1, 2 \u0438\u043b\u0438 3 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u0445. \u0422\u043e \u0431\u0438\u0448\u044c, \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430.<\/p>\n<p>\u0418 \u0432 16 \u0432\u0435\u043a\u0435 \u0431\u044b\u043b\u0430 \u0438\u0437\u043e\u0431\u0440\u0435\u0442\u0435\u043d\u0430 \u0447\u0443\u0434\u0435\u0441\u043d\u0430\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u041a\u0430\u0440\u0434\u0430\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u041e\u043f\u0430. \u0410 \u0447\u0442\u043e-\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a-\u0442\u043e. \u041d\u0435\u043b\u044c\u0437\u044f \u0432\u0437\u044f\u0442\u044c \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c \u0438\u0437 -121. \u041d\u043e \u0432\u0435\u0434\u044c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435-\u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c. \u0427\u0442\u043e \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c?<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0444\u0430\u044d\u043b\u044c \u0411\u043e\u043c\u0431\u0435\u043b\u043b\u0438 \u0432 1572 \u0433\u043e\u0434\u0443 \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u043e\u0436\u0438\u043b \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0432\u0438\u0434, \u0447\u0442\u043e \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c \u0438\u0437 \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043a\u0430\u043a\u043e\u0435-\u0442\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e. \u041c\u044b, \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e, \u0437\u043d\u0430\u0435\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b \u043d\u0435\u0442, \u043d\u043e \u0442\u0435\u043c \u043d\u0435 \u043c\u0435\u043d\u0435\u0435, \u0434\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u043e\u043d\u043e \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0438 \u0435\u0433\u043e, \u043a\u0430\u043a \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u043c\u0438, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0442\u044c, \u0432\u043e\u0437\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u0432 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u0438 \u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u043e\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e\u0435. \u0422\u0430\u043a \u0438 \u043f\u043e\u044f\u0432\u0438\u043b\u0438\u0441\u044c <strong>\u043c\u043d\u0438\u043c\u044b\u0435<\/strong> \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430.<\/p>\n<p>\u041d\u043e\u2026 \u041a\u0430\u043a \u044d\u0442\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442? \u041a\u0430\u043a \u0432\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u0435\u0431\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c \u0438\u0437 <strong>\u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430<\/strong>?<\/p>\n<h3>\u0410 \u00ab\u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e\u00bb \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0432\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u0447\u0442\u043e?<\/h3>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u041a\u0430\u043a \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u0442\u043d\u044f\u0442\u044c 4 \u043a\u043e\u0440\u043e\u0432\u044b \u043e\u0442 3? \u041a\u0430\u043a \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u043c\u0435\u0442\u044c \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435, \u0447\u0435\u043c \u043d\u0438\u0447\u0435\u0433\u043e? \u0412 18 \u0432\u0435\u043a\u0435 \u0434\u043e \u0441\u0438\u0445 \u043f\u043e\u0440 \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c, \u0447\u0442\u043e \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u2014 \u044d\u0442\u043e \u0447\u0443\u0448\u044c \u0438 \u043e\u0442 \u043d\u0438\u0445 \u043d\u0430\u0434\u043e \u0438\u0437\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0442\u044c\u0441\u044f.<\/p>\n<p>\u0425\u043e\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e \u0438 \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e, \u043e\u043d\u043e \u043e\u0431\u043b\u0430\u0434\u0430\u0435\u0442 \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c\u0438. \u0427\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043d\u0438\u0445 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432\u0441\u044f\u043a\u0438\u0435 \u0441\u0432\u044f\u0437\u0438 (\u0437\u0430\u0434\u043e\u043b\u0436\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c, \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440: -20 \u0434\u043e\u043b\u0433, 50 \u0434\u043e\u0445\u043e\u0434. \u0418\u0442\u043e\u0433: -20 + 50 = 30 \u0440\u0443\u0431 \u0432 \u043a\u0430\u0440\u043c\u0430\u043d\u0435).<\/p>\n<p>\u0417\u043d\u0430\u043a\u0438 \u043f\u043b\u044e\u0441\u0430 \u0438 \u043c\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0430\u0432\u0442\u043e\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0444\u0438\u043a\u0441\u0438\u0440\u0443\u044e\u0442 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u2014 \u0432\u0430\u043c \u043d\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0446\u0435\u043b\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0442\u0440\u0430\u043d\u0437\u0430\u043a\u0446\u0438\u0438. \u0421 \u043c\u043d\u0438\u043c\u044b\u043c\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c\u0438 \u0442\u0430 \u0436\u0435 \u0438\u0441\u0442\u043e\u0440\u0438\u044f. \u041e\u043d\u0438 \u00ab\u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u00bb \u043d\u0430\u0441\u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0436\u0435, \u043a\u0430\u043a \u0438 \u0432\u0441\u0435 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0435. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u00ab\u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442\u00bb -1, 1\/3 \u0438 0, \u0442\u043e \u0434\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0438 \u043d\u0435\u043a\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e i, \u0433\u0434\u0435 <strong><em>i2 = -1<\/em><\/strong>.<\/p>\n<p>\u0418\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0441\u043b\u043e\u0432\u0430\u043c\u0438, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u044f i \u043d\u0430 \u0441\u0435\u0431\u044f \u0436\u0435, \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c <strong><em>-1: i*i = -1<\/em><\/strong>. \u0421\u0442\u0440\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043d\u043e\u0432\u044b\u0435 \u0438\u0434\u0435\u0438 \u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0447\u0440\u0435\u0437\u0432\u044b\u0447\u0430\u0439\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u044b\u043c\u0438.<\/p>\n<h3>\u0412\u0438\u0437\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0438 \u043c\u043d\u0438\u043c\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b<\/h3>\n<p>\u0427\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 <em>x2<\/em> <em>=<\/em> <em>9<\/em>?<\/p>\n<p><strong><em>1 * x2 = 9<\/em><\/strong> \u0438\u043b\u0438 <strong><em>1 * x * x = 9<\/em><\/strong><\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u0432 x? <strong>3<\/strong> \u0438 <strong>-3<\/strong>. \u0422\u043e \u0431\u0438\u0448\u044c, \u00ab3 \u0440\u0430\u0437\u0430 \u043f\u043e 3 \u0438\u043b\u0438 3 \u0440\u0430\u0437\u0430 \u043f\u043e -3 \u0438 <strong>\u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e\u0440\u0430\u0447\u0438\u0432\u0430\u0435\u043c<\/strong> \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u00bb.<\/p>\n<p>\u0410 \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u043e\u0434\u0443\u043c\u0430\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e <em>x2 = -1<\/em>:<\/p>\n<p><strong><em>1 * x * x = -1<\/em><\/strong><\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u0441\u044e\u0434\u0430? \u0421\u044e\u0434\u0430 \u043d\u0435 \u043f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u043d\u0438 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435, \u043d\u0438 \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e\u2026 \u0410 \u0447\u0442\u043e, \u0435\u0441\u043b\u0438\u2026 \u0412\u0440\u0430\u0449\u0430\u0442\u044c? \u0411\u0440\u0435\u0434, \u043d\u043e \u0447\u0442\u043e \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c <em>\u0445<\/em> \u043a\u0430\u043a \u00ab\u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 90 \u0433\u0440\u0430\u0434\u0443\u0441\u043e\u0432\u00bb, \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0432 <em>\u0445<\/em> \u0434\u0432\u0430\u0436\u0434\u044b, \u043c\u044b \u0441\u043e\u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043c \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u043d\u0430 180 \u0433\u0440\u0430\u0434\u0443\u0441\u043e\u0432 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u043d\u043e\u0439 \u043e\u0441\u0438, \u0438 1 \u043e\u0431\u0435\u0440\u043d\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 -1!<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<h3>\u041f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b<\/h3>\n<p>\u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f, <strong><em>i2 = -1<\/em><\/strong> \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0430\u0432\u043e \u043d\u0430 \u0436\u0438\u0437\u043d\u044c. \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432\u044b\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442, \u0447\u0442\u043e \u043b\u044e\u0431\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e <em>z<\/em> \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u043f\u0430\u0440\u044b \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b <strong>z = a + bi<\/strong>, \u0433\u0434\u0435 <em>a<\/em>,<em>b <\/em>\u2014 \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u0430 i \u2014 \u043c\u043d\u0438\u043c\u0430\u044f \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0430. \u0427\u0438\u0441\u043b\u043e a \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c\u044e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 <em>z<\/em>, <em>\u0430<\/em>,<em>b<\/em> \u2014 \u043c\u043d\u0438\u043c\u043e\u0439.<\/p>\n<p>\u041f\u0430\u0440\u0443 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b a,b \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442 \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u0440\u0430\u0434\u0438\u0443\u0441-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u0442\u0440\u0435\u0443\u0433\u043e\u043b\u044c\u043d\u0438\u043a, \u0433\u0434\u0435 \u0443\u0433\u043e\u043b \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u0438 \u043e\u0441\u044c\u044e \u0430\u0431\u0441\u0446\u0438\u0441\u0441 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 <strong>\u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u043c<\/strong>, \u0430 \u0433\u0438\u043f\u043e\u0442\u0435\u043d\u0443\u0437\u0443 \u2014 \u0440\u0430\u0441\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043e\u0442 \u043d\u0443\u043b\u044f.<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u044f \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u0443\u044e \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0443, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u044b\u0439 \u044d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442:<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p>\u0421\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044e \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d\u0438\u044e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u2014 \u043c\u044b \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e <strong>\u0441\u043c\u0435\u0449\u0430\u0435\u043c<\/strong> \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u043d\u0430 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0423\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u044f \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433 \u043d\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0430 (\u0441 \u0443\u0447\u0435\u0442\u043e\u043c \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439 \u043c\u043d\u0438\u043c\u043e\u0439 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u044b), \u043d\u0430\u0448\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u0435\u0442 <strong>\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f<\/strong> \u0432\u043e\u043a\u0440\u0443\u0433 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442 \u0438 <strong>\u043c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f<\/strong>.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u041f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u044c\u0442\u0435, \u0447\u0442\u043e \u043c\u044b \u043d\u0430 \u043b\u043e\u0434\u043a\u0435, \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043c\u0441\u044f \u0441 \u043a\u0443\u0440\u0441\u043e\u043c 3 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u044b \u043d\u0430 \u0412\u043e\u0441\u0442\u043e\u043a \u043a\u0430\u0436\u0434\u044b\u0435 4 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u044b \u043d\u0430 \u0421\u0435\u0432\u0435\u0440. \u0425\u043e\u0442\u0438\u043c \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u0441\u0432\u043e\u0439 \u043a\u0443\u0440\u0441 \u043d\u0430 45 \u0433\u0440\u0430\u0434\u0443\u0441\u043e\u0432 \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432 \u0447\u0430\u0441\u043e\u0432\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0440\u0435\u043b\u043a\u0438. \u041a\u0430\u043a\u0438\u043c \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043d\u043e\u0432\u044b\u0439 \u043a\u0443\u0440\u0441?<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p><strong><em>z1 = 3 + 4i<\/em><\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong><em>z2 = 1 + i<\/em><\/strong><\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0435\u043c: <strong><em>z1*z2 = (3 + 4i)(1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i2 = 3 + 7i + 4(-1) = -1 + 7i<\/em><\/strong><\/p>\n<p>\u041d\u0430\u0448 \u043d\u043e\u0432\u044b\u0439 \u043e\u0440\u0438\u0435\u043d\u0442\u0438\u0440: 1 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0430 \u043d\u0430 \u0417\u0430\u043f\u0430\u0434 \u0438 7 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446 \u043d\u0430 \u0421\u0435\u0432\u0435\u0440. \u0418 \u044d\u0442\u043e \u0431\u0435\u0437 \u0432\u0441\u044f\u043a\u0438\u0445 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u043e\u0432 \u0438 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u043e\u0432! \u0411\u0443\u043a\u0432\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0437\u0430 \u043f\u0430\u0440\u0443 \u0441\u0435\u043a\u0443\u043d\u0434!<\/p>\n<p><em>\u041c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u044f\u044e\u0442 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0443, \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u044e \u0438 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u044e \u0432 \u0435\u0434\u0438\u043d\u043e\u0435 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0435.<\/em><\/p>\n<h3>\u0422\u0430\u043a \u0447\u0442\u043e \u0436\u0435 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0432 \u0438\u0442\u043e\u0433\u0435 \u041a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d?<\/h3>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u2014 \u044d\u0442\u043e \u0432\u043e\u0442 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435:<\/p>\n<p>\u00a0\u00a0\u00a0 <strong><em>q = xi + yj + zk + w<\/em><\/strong>,<\/p>\n<p>\u0433\u0434\u0435 x,y,z,w\u2014 \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435, \u0430 i,j,k\u2014 \u043c\u043d\u0438\u043c\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043e\u0431\u043b\u0430\u0434\u0430\u044e\u0442 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u043c\u0438 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c\u0438:<\/p>\n<p>\u00a0\u00a0\u00a0 <strong><em>i2 = j2 = k2 = ijk = -1<\/em><\/strong><\/p>\n<p>\u0438, \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e:<\/p>\n<p>\u00a0\u00a0\u00a0 <strong><em>ij=k\u00a0 \u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0 jk=i\u00a0 \u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0 ki=j<\/em><\/strong><\/p>\n<p><strong><em>\u00a0\u00a0\u00a0 ji=-k \u00a0 \u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0 kj=-i\u00a0 \u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0 ik=-j<\/em><\/strong><\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u0440\u0438\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0442\u044c\u0441\u044f, \u0442\u043e \u044d\u0442\u043e \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0441\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0435 \u043d\u0430 cross product:<\/p>\n<p>\u00a0\u00a0\u00a0 x\u00d7y=z\u00a0 \u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0 y\u00d7z=x\u00a0 \u00a0 \u00a0\u00a0\u00a0 z\u00d7x=y<\/p>\n<p>\u00a0\u00a0\u00a0 y\u00d7x=\u2212z\u00a0\u00a0\u00a0 z\u00d7y=\u2212x\u00a0\u00a0\u00a0 x\u00d7z=\u2212y<\/p>\n<p>\u0418 \u043d\u0435 \u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0430: \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b \u043f\u0440\u0438\u0434\u0443\u043c\u0430\u043b <strong>\u0423\u0438\u043b\u044c\u044f\u043c \u0413\u0430\u043c\u0438\u043b\u044c\u0442\u043e\u043d<\/strong> \u0432 <strong>1843<\/strong> \u0433\u043e\u0434\u0443. \u041e\u043d \u0436\u0435 3 \u0433\u043e\u0434\u0430 \u0441\u043f\u0443\u0441\u0442\u044f \u043f\u0440\u0438\u0434\u0443\u043c\u0430\u043b dot \u0438 cross product. \u0418\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u0442\u0435\u0445 \u0436\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432\u2014 \u043a\u0430\u043a \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u0430\u044f \u0438 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0430\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432, \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0430\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043d\u0443\u043b\u044e. \u00ab\u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u00bb \u0438 \u00ab\u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u00bb \u2014 \u0442\u0435\u0440\u043c\u0438\u043d\u044b, \u0442\u043e\u0436\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0448\u0435\u0434\u0448\u0438\u0435 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \u0441 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430\u043c\u0438.<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0410\u043d\u0440\u0438 \u041f\u0443\u0430\u043d\u043a\u0430\u0440\u0435 \u043f\u0438\u0441\u0430\u043b \u043e \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430\u0445: <em>\u00ab\u0418\u0445 \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0430\u043b\u043e \u043c\u043e\u0449\u043d\u044b\u0439 \u0442\u043e\u043b\u0447\u043e\u043a \u0440\u0430\u0437\u0432\u0438\u0442\u0438\u044e \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b; \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u044f \u043e\u0442 \u043d\u0438\u0445, \u043d\u0430\u0443\u043a\u0430 \u043f\u043e\u0448\u043b\u0430 \u043f\u043e \u043f\u0443\u0442\u0438 \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u044f \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u043f\u0440\u0438\u0434\u044f \u043a \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435\u043f\u0446\u0438\u044f\u043c \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u0438 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0433\u043e \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u0430, \u043f\u0440\u043e\u043d\u0438\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0449\u0438\u043c \u0441\u043e\u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0443. \u042d\u0442\u043e \u0431\u044b\u043b\u0430 \u0440\u0435\u0432\u043e\u043b\u044e\u0446\u0438\u044f \u0432 \u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0435\u0442\u0438\u043a\u0435, \u043f\u043e\u0434\u043e\u0431\u043d\u0430\u044f \u0442\u043e\u0439, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0443\u044e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u043b \u041b\u043e\u0431\u0430\u0447\u0435\u0432\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0432 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0438\u00bb<\/em>.<\/p>\n<p>\u041a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b \u0438\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0438\u0437\u043e\u0431\u0440\u0435\u0442\u0430\u043b\u0438\u0441\u044c \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0444\u0438\u0437\u0438\u043a\u0438. \u041c\u044b \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0438\u0445 \u0434\u043b\u044f \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u0435\u043b \u0432 3D.<\/p>\n<h3>\u0413\u0434\u0435 \u0438 \u0434\u043b\u044f \u0447\u0435\u0433\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d?<\/h3>\n<ol>\n<li>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0412\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e 9 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b mat3 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e 4! \u042d\u043a\u043e\u043d\u043e\u043c\u0438\u044f \u043f\u043e \u043f\u0430\u043c\u044f\u0442\u0438, \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u0435\u0435 \u0447\u0442\u0435\u043d\u0438\u0435\/\u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044c.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0421\u043e\u0437\u0434\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0441\u044c-\u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0412\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432 (\u0438\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435) \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0441\u0442\u0430\u0431\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u0432 \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0441 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u041d\u0435\u0442 Gimbal Lock\u2019\u0430, \u043a\u0430\u043a \u0443 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<ol start=\"5\">\n<li>\n<p>\u0412 \u0441\u043a\u0435\u043b\u0435\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043d\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0434\u043b\u044f \u0441\u043a\u0438\u043d\u043d\u0438\u043d\u0433\u0430. \u0415\u0441\u0442\u044c \u0435\u0449\u0435 \u0442\u0430\u043a\u0430\u044f \u0448\u0442\u0443\u043a\u0430, \u043a\u0430\u043a Dual quaternion. \u041f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u043e \u0438\u0441\u043a\u0440\u0438\u0432\u043b\u044f\u0442\u044c \u0440\u0443\u043a\u0438-\u043d\u043e\u0433\u0438 (\u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u044b) \u0432\u0434\u043e\u043b\u044c \u043f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043e\u0441\u0435\u0439.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<ol start=\"6\">\n<li>\n<p>\u0410\u043d\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u044f. \u0421\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u043f\u043b\u0430\u0432\u043d\u044b\u0439 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430\u043c\u0438 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 Spherical interpolation. \u0427\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0443\u0433\u043b\u044b \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440\u0430 \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u0443\u044e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u044f\u0446\u0438\u044e (\u043f\u043e \u043d\u0430\u0438\u043a\u0440\u0430\u0442\u0447\u0430\u0439\u0448\u0435\u043c\u0443 \u043f\u0443\u0442\u0438) \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0432\u043e\u043a\u0440\u0443\u0433 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043e\u0441\u0438.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<h3>\u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f, xyz \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043e\u0441\u044c, \u0430 w \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0443\u0433\u043e\u043b?<\/h3>\n<p>\u041d\u0435\u0442! (x, y, z, w)\u2014 \u044d\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u0445\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0433\u0438\u043f\u0435\u0440\u0441\u0444\u0435\u0440\u044b (3-\u0441\u0444\u0435\u0440\u044b). \u0422\u043e\u0447\u043d\u0435\u0435, 3-\u043f\u043e\u043b\u0443\u0441\u0444\u0435\u0440\u044b.<\/p>\n<h4>\u041d\u0430\u0447\u043d\u0435\u043c \u0441 2D<\/h4>\n<p>\u0414\u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u043c, \u043c\u044b \u0445\u043e\u0442\u0438\u043c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u0447\u0438\u0441\u0442\u043e \u0434\u043b\u044f \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0439. \u0423 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043d\u0435\u043a\u0438\u0439 \u0443\u0433\u043e\u043b <strong><em>\u03c6<\/em><\/strong>, \u043d\u0430\u0434\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0435\u0433\u043e \u0432 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e, \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0442\u044c \u0441 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u043c\u0438, \u0430 \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0442\u044c \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u0443\u0433\u043b\u0430. \u0418\u043b\u0438, \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u043c\u044b \u0445\u043e\u0442\u0438\u043c \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u0430\u0447\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u0443\u0447\u0443 \u0440\u0430\u0434\u0438\u0443\u0441-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u043d\u0430 \u0443\u0433\u043e\u043b <strong><em>\u03c6<\/em><\/strong>. \u0411\u044b\u0441\u0442\u0440\u043e.<\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b \u0434\u0430\u0432\u0430\u043b\u043e <strong>\u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442<\/strong>, \u0431\u0435\u0437 \u043c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f? \u0423\u043c\u043d\u044b\u0435 \u043b\u044e\u0434\u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043b\u0438, \u0447\u0442\u043e: \u00ab\u041f\u0440\u0438 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b \u0438\u0445 <strong>\u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f<\/strong>, \u0430 <strong>\u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f<\/strong>\u00bb.<\/p>\n<p>\u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c <strong><em>z<\/em><\/strong> \u0434\u043e\u043b\u0436\u0435\u043d \u0431\u044b\u0442\u044c \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d <strong><em>1<\/em><\/strong>. \u0413\u0440\u0430\u0444\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u2014 \u0431\u044b\u0442\u044c <strong>\u0442\u043e\u0447\u043a\u043e\u0439 \u043d\u0430 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u0445\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043a\u0440\u0443\u0433\u0430<\/strong>. \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u0432 2D (\u043b\u0438\u0431\u043e \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0443\u0433\u043b\u044b <strong><em>\u03c61 + \u03c62<\/em><\/strong>), \u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u043d\u0430\u0434\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a <strong><em>z = cos\u03c6 + isin\u03c6<\/em><\/strong>!<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u0435 \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435, \u0447\u0442\u043e \u043d\u0438 \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f, \u043d\u0438 \u043c\u043d\u0438\u043c\u0430\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043d\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 <\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[],"tags":[],"class_list":["post-334898","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/334898","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=334898"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/334898\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=334898"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=334898"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=334898"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}