{"id":335749,"date":"2022-07-14T21:00:17","date_gmt":"2022-07-14T21:00:17","guid":{"rendered":"http:\/\/savepearlharbor.com\/?p=335749"},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T21:00:00","slug":"","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/savepearlharbor.com\/?p=335749","title":{"rendered":"<span>\u041f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0438 \u044d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u044b\u0435 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u044b \u0434\u043b\u044f \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439\u00a0secp256k1<\/span>"},"content":{"rendered":"<div><\/div>\n<div id=\"post-content-body\">\n<div>\n<div class=\"article-formatted-body article-formatted-body article-formatted-body_version-2\">\n<div xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1999\/xhtml\">\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/8e8\/e19\/8c6\/8e8e198c6d20543e48adc6f815e805f6.png\" width=\"1280\" height=\"720\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/8e8\/e19\/8c6\/8e8e198c6d20543e48adc6f815e805f6.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u043c\u044b \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0438 \u044d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u044b\u0445 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u043e\u0432 \u0434\u043b\u044f \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439\u00a0<strong><em>E<\/em><\/strong>\u00a0\u043d\u0430\u0434 \u043f\u043e\u043b\u0435\u043c\u00a0<strong><em>GF(p)<\/em><\/strong>\u00a0, \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043a\u043e\u0440\u043e\u0442\u043a\u0438\u043c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0412\u0435\u0439\u0435\u0440\u0448\u0442\u0440\u0430\u0441\u0441\u0430<\/p>\n<p><code>\u0443^2\u00a0= \u0445^3\u00a0+ \u0410\u0445 + \u0412<\/code>\u00a0<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>\u00a0<strong>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439\u00a0<em>E<\/em><\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u00a0<strong>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u00a0<strong>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0443\u0434\u0432\u043e\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u00a0<strong>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0446\u0435\u043b\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u00a0<strong>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0446\u0435\u043b\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 (\u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435)<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u00a0<strong>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f\u00a0<em>D<\/em>\u00a0\u043d\u0430\u0434 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439\u00a0<em>E<\/em>\u00a0\u0441 \u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435\u043c\u00a0<em>supp(D)<\/em>\u00a0\u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u0430\u00a0<em>d<\/em><\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u00a0<strong>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u041c\u0438\u043b\u043b\u0435\u0440\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0412\u0435\u0439\u043b\u044f\u00a0<em>f\u00a0<sub>n, P<\/sub><\/em>\u00a0\u043f\u043e \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044e\u00a0<em>D<\/em>\u00a0\u0442\u0430\u043a\u043e\u043c\u0443, \u0447\u0442\u043e\u00a0<\/strong><em>supp(D)<\/em>\u00a0\u2229 {P, O} = \u2205<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u00a0<strong>Pairing Weil<\/strong>\u00a0<em>(\u0421\u043f\u0430\u0440\u0438\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0412\u0435\u0439\u043b\u044f)<\/em><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<h4>\u041c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 (\u0446\u0435\u043b\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430) \u0432 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u043c \u043f\u043e\u043b\u0435 (\u0438\u043b\u0438 \u043f\u043e\u043b\u0435 \u0413\u0430\u043b\u0443\u0430)<\/h4>\n<ol>\n<li>\n<p><em>x mod n<\/em>\u00a0\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442 \u00ab\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u043a n \u043e\u0442 \u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f x\u00bb.\u00a0\u0414\u0440\u0443\u0433\u0438\u043c\u0438 \u0441\u043b\u043e\u0432\u0430\u043c\u0438, \u0435\u0441\u043b\u0438\u00a0<em>x = an + b<\/em>\u00a0\u0438 a, b \u2208 integer, \u0430 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 0 \u2264 b \u2264 n \u2212 1, \u0442\u043e\u00a0<em>x mod n = b<\/em>\u00a0.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u041e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435<\/strong>\u00a0: \u0435\u0441\u043b\u0438\u00a0<em>ax = 1 mod n<\/em>\u00a0, \u0442\u043e\u00a0<em>a<\/em>\u00a0\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u043c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c\u00a0<em>x mod n<\/em>\u00a0.\u00a0\u0415\u0441\u0442\u044c \u0434\u0432\u0430 \u043f\u043e\u043f\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b\u0445 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430\u00a0<em>\u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f<\/em>\u00a0:\u2022\u00a0<strong><em>\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 1<\/em><\/strong>\u00a0: \u041f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043b\u044f\u00a0<em>a &lt; n,<\/em>\u00a0\u043f\u043e\u043a\u0430\u00a0<em>xa mod n = 1<\/em>\u00a0.\u2022\u00a0<strong><em>\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 2<\/em><\/strong>\u00a0: \u0435\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u043e\u0432 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u0445 \u0446\u0435\u043b\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0440\u0435\u043a\u043e\u043c\u0435\u043d\u0434\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 1 \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u043c\u0430\u043b\u044b\u0445 \u0446\u0435\u043b\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<h4>\u041e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u043c\u0438 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439<\/h4>\n<p>\u0422\u043e\u0447\u043a\u0430\u00a0<em>P(x\u00a0<sub>0<\/sub>\u00a0, y\u00a0<sub>0<\/sub>\u00a0)<\/em>\u00a0\u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439\u00a0<em>E<\/em>\u00a0\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442: \u0435\u0435 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u044b\u00a0<em>x\u00a0<sub>0<\/sub><\/em>\u00a0\u0438\u00a0<em>y\u00a0<sub>0<\/sub><\/em>\u00a0\u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u043c\u0438 \u043f\u043e\u043b\u044f, \u0430 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u044b\u00a0<em>x\u00a0<sub>0<\/sub><\/em>\u00a0\u0438\u00a0<em>y\u00a0<sub>0<\/sub><\/em>\u00a0\u0443\u0434\u043e\u0432\u043b\u0435\u0442\u0432\u043e\u0440\u044f\u044e\u0442 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044e.<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p><strong>\u0414\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a \u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439<\/strong>\u00a0: \u043f\u0443\u0441\u0442\u044c\u00a0<em>P, Q<\/em>\u00a0\u0438\u00a0<em>R<\/em>\u00a0\u0431\u0443\u0434\u0443\u0442 \u0442\u0440\u0435\u043c\u044f \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u043c\u0438 \u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439.\u00a0\u0414\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0447\u043a\u043e\u0432 P + Q = R.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u0423\u0434\u0432\u043e\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a \u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439<\/strong>\u00a0: \u043f\u0443\u0441\u0442\u044c\u00a0<em>P, Q<\/em>\u00a0\u2014 \u0434\u0432\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439.\u00a0\u0423\u0434\u0432\u043e\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0447\u043a\u043e\u0432 P + P = 2P = Q<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u0421\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435<\/strong>\u00a0: \u043f\u0443\u0441\u0442\u044c\u00a0<em>P<\/em>\u00a0\u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0442\u043e\u0447\u043a\u043e\u0439 \u043d\u0430 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439\u00a0<em>E<\/em>\u00a0, \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0438<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>\u0421\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435\u00a0<em>nP<\/em>\u00a0\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a\u00a0<em>nP = P + P + P + \u2026 + P<\/em>\u00a0(\u00a0<em>n<\/em>\u00a0\u0440\u0430\u0437), \u0433\u0434\u0435\u00a0<em>n<\/em>\u00a0\u2014 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e;\u00a0<em>nP<\/em>\u00a0\u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0442\u043e\u0447\u043a\u043e\u0439 \u043d\u0430 \u0442\u043e\u0439 \u0436\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439\u00a0<em>E<\/em>\u00a0.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u041c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e a \u043f\u0440\u0438\u00a0<em>aP = O<\/em>\u00a0\u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f\u00a0<strong>\u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u043e\u043c\u00a0<em>P<\/em><\/strong>\u00a0.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0421\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0448\u0438\u0440\u043e\u043a\u043e \u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043a\u0440\u0438\u043f\u0442\u043e\u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0430\u0445 \u0441 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u043c\u0438 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u043c\u0438.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ol>\n<h4>\u0414\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c<\/h4>\n<p><strong>Divisor<\/strong>\u00a0(\u0414\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c)\u00a0<em>D<\/em>\u00a0\u043d\u0430 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439\u00a0<em>E<\/em>\u00a0\u2014 \u044d\u0442\u043e \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431 \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442\u044c\u00a0<strong>\u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a \u043d\u0430\u00a0<em>E<\/em><\/strong>\u00a0, \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0443\u043c\u043c\u044b<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/0b1\/3e2\/fbe\/0b13e2fbec01a2ea5635bbcb1a36ade1.png\" alt=\"\" title=\"\" width=\"930\" height=\"270\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/0b1\/3e2\/fbe\/0b13e2fbec01a2ea5635bbcb1a36ade1.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<ul>\n<li>\n<p>\u041c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435\u0439 \u043d\u0430\u00a0<em>E<\/em>\u00a0\u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f\u00a0<em>Div\u00a0<sub>F\u00a0q<\/sub>\u00a0(E)<\/em>\u00a0\u0438 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u0442 \u0433\u0440\u0443\u043f\u043f\u0443, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435\u0439 \u0435\u0441\u0442\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0414\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u043d\u0443\u043b\u044f: \u044d\u0442\u043e \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0434\u043b\u044f \u0432\u0441\u0435\u0445 n\u00a0<sub>P<\/sub>\u00a0= 0, \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u043d\u0443\u043b\u044f\u00a0<em>0 \u2208 Div\u00a0<sub>F\u00a0q<\/sub>\u00a0(E)<\/em>\u00a0.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u043e\u043b\u0435\u00a0<em>F\u00a0<sub>q<\/sub><\/em>\u00a0\u043d\u0435 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u044b\u043c, \u0435\u0433\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u0442\u044c \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a\u00a0<em>Div(E)<\/em>\u00a0\u0434\u043b\u044f \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0433\u0440\u0443\u043f\u043f\u044b \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435\u0439.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<h4>\u0414\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\u00a0f\u00a0\u043d\u0430\u00a0E<\/h4>\n<p>\u0414\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\u00a0<em>f<\/em>\u00a0\u043d\u0430\u00a0<em>E<\/em>\u00a0\u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u043b\u044f \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f (\u0438 \u0438\u0445 \u043a\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439) \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439\u00a0<em>f<\/em>\u00a0\u0438\u00a0<em>E<\/em>\u00a0.<\/p>\n<h4>Pairing Weil<\/h4>\n<p>\u0421\u043f\u0430\u0440\u0438\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0412\u0435\u0439\u043b\u044f, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f\u00a0<em>e\u00a0<sub>m<\/sub><\/em>\u00a0, \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430 \u0432\u0445\u043e\u0434 \u043f\u0430\u0440\u0443 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a\u00a0<em>P, Q \u2208 E[m]\u00a0\u0438\u00a0<sub>\u0434\u0430\u0435\u0442<\/sub><\/em>\u00a0\u043d\u0430 \u0432\u044b\u0445\u043e\u0434\u0435\u00a0\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c _m \u0438\u0437 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u044b\u00a0<em><sup>e\u00a0<sub>m<\/sub><\/sup><sub>(<\/sub>\u00a0P\u00a0, Q)<\/em>\u00a0.\u00a0\u0411\u0438\u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0441\u043f\u0430\u0440\u0438\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0412\u0435\u0439\u043b\u044f \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438<\/p>\n<p><em>e\u00a0<sub>m<\/sub>\u00a0(P\u00a0<sub>1<\/sub>\u00a0+ P\u00a0<sub>2<\/sub>\u00a0, Q) = e\u00a0<sub>m<\/sub>\u00a0(P\u00a0<sub>1<\/sub>\u00a0, Q) * e\u00a0<sub>m<\/sub>\u00a0(P2, \u0412),<\/em><\/p>\n<p><em>e\u00a0<sub>m<\/sub>\u00a0(P, Q\u00a0<sub>1<\/sub>\u00a0+ Q\u00a0<sub>2<\/sub>\u00a0) = e\u00a0<sub>m<\/sub>\u00a0(P, Q\u00a0<sub>1<\/sub>\u00a0) * e\u00a0<sub>m<\/sub>\u00a0(P, Q\u00a0<sub>2<\/sub>\u00a0).<\/em><\/p>\n<p>\u041f\u0430\u0440\u0430\u00a0<strong>\u0412\u0435\u0439\u043b\u044f\u00a0<\/strong><em>P<\/em>\u00a0\u0438\u00a0<em>Q<\/em>\u00a0\u2014 \u044d\u0442\u043e\u00a0\u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/5eb\/b85\/30f\/5ebb8530fd881d89d3f396460464af79.png\" alt=\"\" title=\"\" width=\"1082\" height=\"220\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/5eb\/b85\/30f\/5ebb8530fd881d89d3f396460464af79.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0433\u0434\u0435\u00a0<em>S \u2208 E<\/em>\u00a0\u2014 \u043b\u044e\u0431\u0430\u044f \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430, \u0443\u0434\u043e\u0432\u043b\u0435\u0442\u0432\u043e\u0440\u044f\u044e\u0449\u0430\u044f \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044e\u00a0<em>S \u2209 {O, P, \u2212Q, P \u2212 Q}<\/em>\u00a0.\u00a0(\u042d\u0442\u043e \u0433\u0430\u0440\u0430\u043d\u0442\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0432\u0441\u0435 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u044b \u0432 \u043f\u0440\u0430\u0432\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u044b \u0438 \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b \u043e\u0442 \u043d\u0443\u043b\u044f.) \u041c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435\u00a0<em>e\u00a0<sub>m<\/sub>\u00a0(P,Q)<\/em>\u00a0\u043d\u0435 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u0430\u00a0<em>f\u00a0<sub>P<\/sub><\/em>\u00a0,\u00a0<em>f\u00a0<sub>Q<\/sub><\/em>\u00a0\u0438\u00a0<em>S<\/em>\u00a0.<\/p>\n<h4>\u042d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u043f\u0430\u0440\u0438\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0412\u0435\u0439\u043b\u044f<\/h4>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c\u00a0<em>E<\/em>\u00a0\u2014 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u043a\u0440\u0438\u0432\u0430\u044f, \u0438 \u043f\u0443\u0441\u0442\u044c P = (x\u00a0<sub>P<\/sub>\u00a0,y\u00a0<sub>P<\/sub>\u00a0) \u0438 Q = (x\u00a0<sub>Q<\/sub>\u00a0, y\u00a0<sub>Q<\/sub>\u00a0) \u2014 \u043d\u0435\u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430\u00a0<em>E<\/em>\u00a0.<\/p>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c\u00a0<em>\u03bb<\/em>\u00a0\u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d\u043e\u043c \u043b\u0438\u043d\u0438\u0438, \u0441\u043e\u0435\u0434\u0438\u043d\u044f\u044e\u0449\u0435\u0439\u00a0<em>P<\/em>\u00a0\u0438\u00a0<em>Q<\/em>\u00a0, \u0438\u043b\u0438 \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d\u043e\u043c \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043a\u00a0<em>E<\/em>\u00a0\u0432 P, \u0435\u0441\u043b\u0438\u00a0<em>P =<\/em>\u00a0Q.\u00a0(\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043b\u0438\u043d\u0438\u044f \u0432\u0435\u0440\u0442\u0438\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430, \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u00a0<em>\u03bb<\/em>\u00a0= \u221e.) \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e g\u00a0<sub>P, Q<\/sub>\u00a0\u043d\u0430\u00a0<em>E<\/em>\u00a0\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/dbc\/8cd\/efc\/dbc8cdefc33de28911b8e41530a16687.png\" alt=\"\" title=\"\" width=\"1274\" height=\"316\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/dbc\/8cd\/efc\/dbc8cdefc33de28911b8e41530a16687.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0437\u0430\u0442\u0435\u043c<\/p>\n<p>div(g\u00a0<sub>P, Q<\/sub>\u00a0) = [P] + [Q] \u2014 [P + Q] \u2014 [\u00a0<em>O<\/em>\u00a0].<\/p>\n<p><strong>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u041c\u0438\u043b\u043b\u0435\u0440\u0430<\/strong><\/p>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c\u00a0<em>m \u2265<\/em>\u00a0\u0438 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0448\u0438\u0442\u0435 \u0434\u0432\u043e\u0438\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043d\u0438\u0435\u00a0<em>m<\/em>\u00a0\u043a\u0430\u043a<\/p>\n<p><em>m = m\u00a0<sub>0<\/sub>\u00a0+ m\u00a0<sub>1<\/sub>\u00a0* 2 + m\u00a0<sub>2<\/sub>\u00a0* 2\u00a0<sup>2<\/sup>\u00a0+\u00b7\u00b7\u00b7+ m\u00a0<sub>n \u2014 1<\/sub>\u00a02\u00a0<sup>n \u2014 1<\/sup><\/em><\/p>\n<p>\u043f\u0440\u0438\u00a0<em>m\u00a0<sub>i<\/sub>\u00a0\u2208 {0, 1}<\/em>\u00a0\u0438\u00a0<em>m\u00a0<sub>n \u2014 1<\/sub>\u00a0\u2260 0<\/em>\u00a0.\u00a0\u0421\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0432\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e\u00a0<em>f\u00a0<sub>P<\/sub><\/em>\u00a0, \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0443\u0434\u043e\u0432\u043b\u0435\u0442\u0432\u043e\u0440\u044f\u0435\u0442 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044e<\/p>\n<p>div(\u00a0<em>f\u00a0<sub>P<\/sub><\/em>\u00a0) =\u00a0<em>m<\/em>\u00a0[\u00a0<em>P<\/em>\u00a0] \u2014 [\u00a0<em>mP<\/em>\u00a0] \u2014 (\u00a0<em>m \u2014 1<\/em>\u00a0) [\u00a0<em>O<\/em>\u00a0],<\/p>\n<p>\u0433\u0434\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\u00a0<em>g\u00a0<sub>T, T<\/sub><\/em>\u00a0\u0438\u00a0<em>g\u00a0<sub>T, P,<\/sub><\/em>\u00a0\u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c\u044b\u0435 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u043e\u043c, \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u044b \u0432 (a).<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/bc1\/d75\/c60\/bc1d75c6060123845b0b7f4b153096b0.png\" alt=\"\" title=\"\" width=\"1038\" height=\"920\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/bc1\/d75\/c60\/bc1d75c6060123845b0b7f4b153096b0.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0412 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438, \u0435\u0441\u043b\u0438\u00a0<em>P \u2208 E[m]<\/em>\u00a0, \u0442\u043e div(\u00a0<em>f\u00a0<sub>P<\/sub><\/em>\u00a0) =\u00a0<em>m<\/em>\u00a0[\u00a0<em>P<\/em>\u00a0] \u2212\u00a0<em>m<\/em>\u00a0[\u00a0<em>O<\/em>\u00a0].<\/p>\n<h3>\u0422\u0440\u0435\u0431\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435<\/h3>\n<ul>\n<li>\n<p><code>Python 3.5<\/code><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><code>numpy<\/code><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<pre><code class=\"bash\">git clone https:\/\/github.com\/demining\/CryptoDeepTools.git  cd CryptoDeepTools\/04AlgorithmsForSecp256k\/  pip3 install numpy<\/code><\/pre>\n<pre><code>\u251c\u2500\u2500 Curves.py             &lt;- \u041d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0445 \u251c\u2500\u2500 Divisor.py            &lt;- \u0421\u043e\u0437\u0434\u0430\u0442\u044c \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u251c\u2500\u2500 EllipticCurve.py      &lt;- \u041a\u043b\u0430\u0441\u0441\u044b \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 \u0438 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 \u251c\u2500\u2500 EuclideanAlg.py       &lt;- \u0420\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0415\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u0430 \u251c\u2500\u2500 Helper.py             &lt;- \u0412\u0441\u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 (\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0431\u0438\u0442\u044b, \u043c\u043e\u0449\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043f\u043e \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044e)  \u251c\u2500\u2500 Pairing.py            &lt;- \u0421\u043f\u0430\u0440\u0438\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0412\u0435\u0439\u043b\u044f, \u0430 \u0442\u0430\u043a \u0436\u0435 \u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u041c\u0438\u043b\u043b\u0435\u0440\u0430 \u251c\u2500\u2500 Tests.py              &lt;- \u041c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0442\u0435\u0441\u0442\u044b \u0434\u043b\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u251c\u2500\u2500 Tonelli_ShanksAlg.py  &lt;- \u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0422\u043e\u043d\u0435\u043b\u043b\u0438 \u2013 \u0428\u0435\u043d\u043a\u0441\u0430 \u251c\u2500\u2500 main.py               &lt;- main <\/code><\/pre>\n<h3><\/h3>\n<hr\/>\n<p><a href=\"https:\/\/github.com\/demining\/CryptoDeepTools\/tree\/main\/04AlgorithmsForSecp256k\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\"><strong>\u0418\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u0434<\/strong><\/a><\/p>\n<p><strong>\u0418\u0441\u0442\u043e\u0447\u043d\u0438\u043a: <\/strong><a href=\"https:\/\/cryptodeep.ru\/algorithms-for-secp256k\/\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\"><strong>https:\/\/cryptodeep.ru\/algorithms-for-secp256k\/<\/strong><\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"v-portal\" style=\"display:none;\"><\/div>\n<\/div>\n<p> <!----> <!----><br \/> \u0441\u0441\u044b\u043b\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u043e\u0440\u0438\u0433\u0438\u043d\u0430\u043b \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438 <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/post\/677048\/\"> https:\/\/habr.com\/ru\/post\/677048\/<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<div><\/div>\n<div id=\"post-content-body\">\n<div>\n<div class=\"article-formatted-body article-formatted-body article-formatted-body_version-2\">\n<div xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1999\/xhtml\">\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u043c\u044b \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0438 \u044d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u044b\u0445 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u043e\u0432 \u0434\u043b\u044f \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439\u00a0<strong><em>E<\/em><\/strong>\u00a0\u043d\u0430\u0434 \u043f\u043e\u043b\u0435\u043c\u00a0<strong><em>GF(p)<\/em><\/strong>\u00a0, \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043a\u043e\u0440\u043e\u0442\u043a\u0438\u043c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0412\u0435\u0439\u0435\u0440\u0448\u0442\u0440\u0430\u0441\u0441\u0430<\/p>\n<p><code>\u0443^2\u00a0= \u0445^3\u00a0+ \u0410\u0445 + \u0412<\/code>\u00a0<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>\u00a0<strong>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439\u00a0<em>E<\/em><\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u00a0<strong>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u00a0<strong>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0443\u0434\u0432\u043e\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u00a0<strong>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0446\u0435\u043b\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u00a0<strong>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0446\u0435\u043b\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 (\u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435)<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u00a0<strong>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044f\u00a0<em>D<\/em>\u00a0\u043d\u0430\u0434 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439\u00a0<em>E<\/em>\u00a0\u0441 \u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435\u043c\u00a0<em>supp(D)<\/em>\u00a0\u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u0430\u00a0<em>d<\/em><\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u00a0<strong>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u041c\u0438\u043b\u043b\u0435\u0440\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0412\u0435\u0439\u043b\u044f\u00a0<em>f\u00a0<sub>n, P<\/sub><\/em>\u00a0\u043f\u043e \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044e\u00a0<em>D<\/em>\u00a0\u0442\u0430\u043a\u043e\u043c\u0443, \u0447\u0442\u043e\u00a0<\/strong><em>supp(D)<\/em>\u00a0\u2229 {P, O} = \u2205<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u00a0<strong>Pairing Weil<\/strong>\u00a0<em>(\u0421\u043f\u0430\u0440\u0438\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0412\u0435\u0439\u043b\u044f)<\/em><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<h4>\u041c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 (\u0446\u0435\u043b\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430) \u0432 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u043c \u043f\u043e\u043b\u0435 (\u0438\u043b\u0438 \u043f\u043e\u043b\u0435 \u0413\u0430\u043b\u0443\u0430)<\/h4>\n<ol>\n<li>\n<p><em>x mod n<\/em>\u00a0\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442 \u00ab\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u043a n \u043e\u0442 \u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f x\u00bb.\u00a0\u0414\u0440\u0443\u0433\u0438\u043c\u0438 \u0441\u043b\u043e\u0432\u0430\u043c\u0438, \u0435\u0441\u043b\u0438\u00a0<em>x = an + b<\/em>\u00a0\u0438 a, b \u2208 integer, \u0430 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 0 \u2264 b \u2264 n \u2212 1, \u0442\u043e\u00a0<em>x mod n = b<\/em>\u00a0.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u041e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435<\/strong>\u00a0: \u0435\u0441\u043b\u0438\u00a0<em>ax = 1 mod n<\/em>\u00a0, \u0442\u043e\u00a0<em>a<\/em>\u00a0\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u043c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c\u00a0<em>x mod n<\/em>\u00a0.\u00a0\u0415\u0441\u0442\u044c \u0434\u0432\u0430 \u043f\u043e\u043f\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b\u0445 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430\u00a0<em>\u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f<\/em>\u00a0:\u2022\u00a0<strong><em>\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 1<\/em><\/strong>\u00a0: \u041f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043b\u044f\u00a0<em>a &lt; n,<\/em>\u00a0\u043f\u043e\u043a\u0430\u00a0<em>xa mod n = 1<\/em>\u00a0.\u2022\u00a0<strong><em>\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 2<\/em><\/strong>\u00a0: \u0435\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u043e\u0432 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u0445 \u0446\u0435\u043b\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0440\u0435\u043a\u043e\u043c\u0435\u043d\u0434\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 1 \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u043c\u0430\u043b\u044b\u0445 \u0446\u0435\u043b\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<h4>\u041e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u043c\u0438 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439<\/h4>\n<p>\u0422\u043e\u0447\u043a\u0430\u00a0<em>P(x\u00a0<sub>0<\/sub>\u00a0, y\u00a0<sub>0<\/sub>\u00a0)<\/em>\u00a0\u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439\u00a0<em>E<\/em>\u00a0\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442: \u0435\u0435 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u044b\u00a0<em>x\u00a0<sub>0<\/sub><\/em>\u00a0\u0438\u00a0<em>y\u00a0<sub>0<\/sub><\/em>\u00a0\u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u043c\u0438 \u043f\u043e\u043b\u044f, \u0430 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u044b\u00a0<em>x\u00a0<sub>0<\/sub><\/em>\u00a0\u0438\u00a0<em>y\u00a0<sub>0<\/sub><\/em>\u00a0\u0443\u0434\u043e\u0432\u043b\u0435\u0442\u0432\u043e\u0440\u044f\u044e\u0442 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044e.<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p><strong>\u0414\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a \u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439<\/strong>\u00a0: \u043f\u0443\u0441\u0442\u044c\u00a0<em>P, Q<\/em>\u00a0\u0438\u00a0<em>R<\/em>\u00a0\u0431\u0443\u0434\u0443\u0442 \u0442\u0440\u0435\u043c\u044f \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u043c\u0438 \u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439.\u00a0\u0414\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0447\u043a\u043e\u0432 P + Q = R.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u0423\u0434\u0432\u043e\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a \u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439<\/strong>\u00a0: \u043f\u0443\u0441\u0442\u044c\u00a0<em>P, Q<\/em>\u00a0\u2014 \u0434\u0432\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439.\u00a0\u0423\u0434\u0432\u043e\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0447\u043a\u043e\u0432 P + P = 2P = Q<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u0421\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435<\/strong>\u00a0: \u043f\u0443\u0441\u0442\u044c\u00a0<em>P<\/em>\u00a0\u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0442\u043e\u0447\u043a\u043e\u0439 \u043d\u0430 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439\u00a0<em>E<\/em>\u00a0, \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0438<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>\u0421\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435\u00a0<em>nP<\/em>\u00a0\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a\u00a0<em>nP = P + P + P + \u2026 + P<\/em>\u00a0(\u00a0<em>n<\/em>\u00a0\u0440\u0430\u0437), \u0433\u0434\u0435\u00a0<em>n<\/em>\u00a0\u2014 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e;\u00a0<em>nP<\/em>\u00a0\u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0442\u043e\u0447\u043a\u043e\u0439 \u043d\u0430 \u0442\u043e\u0439 \u0436\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439\u00a0<em>E<\/em>\u00a0.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u041c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e a \u043f\u0440\u0438\u00a0<em>aP = O<\/em>\u00a0\u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f\u00a0<strong>\u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u043e\u043c\u00a0<em>P<\/em><\/strong>\u00a0.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0421\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0448\u0438\u0440\u043e\u043a\u043e \u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043a\u0440\u0438\u043f\u0442\u043e\u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0430\u0445 \u0441 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u043c\u0438 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u043c\u0438.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/li>\n<\/ol>\n<h4>\u0414\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c<\/h4>\n<p><strong>Divisor<\/strong>\u00a0(\u0414\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c)\u00a0<em>D<\/em>\u00a0\u043d\u0430 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439\u00a0<em>E<\/em>\u00a0\u2014 \u044d\u0442\u043e \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431 \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442\u044c\u00a0<strong>\u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a \u043d\u0430\u00a0<em>E<\/em><\/strong>\u00a0, \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0443\u043c\u043c\u044b<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<ul>\n<li>\n<p>\u041c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435\u0439 \u043d\u0430\u00a0<em>E<\/em>\u00a0\u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f\u00a0<em>Div\u00a0<sub>F\u00a0q<\/sub>\u00a0(E)<\/em>\u00a0\u0438 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u0442 \u0433\u0440\u0443\u043f\u043f\u0443, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435\u0439 \u0435\u0441\u0442\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0414\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u043d\u0443\u043b\u044f: \u044d\u0442\u043e \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0434\u043b\u044f \u0432\u0441\u0435\u0445 n\u00a0<sub>P<\/sub>\u00a0= 0, \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u043d\u0443\u043b\u044f\u00a0<em>0 \u2208 Div\u00a0<sub>F\u00a0q<\/sub>\u00a0(E)<\/em>\u00a0.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u043e\u043b\u0435\u00a0<em>F\u00a0<sub>q<\/sub><\/em>\u00a0\u043d\u0435 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u044b\u043c, \u0435\u0433\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u0442\u044c \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a\u00a0<em>Div(E)<\/em>\u00a0\u0434\u043b\u044f \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0433\u0440\u0443\u043f\u043f\u044b \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435\u0439.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<h4>\u0414\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\u00a0f\u00a0\u043d\u0430\u00a0E<\/h4>\n<p>\u0414\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\u00a0<em>f<\/em>\u00a0\u043d\u0430\u00a0<em>E<\/em>\u00a0\u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u043b\u044f \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f (\u0438 \u0438\u0445 \u043a\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439) \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439\u00a0<em>f<\/em>\u00a0\u0438\u00a0<em>E<\/em>\u00a0.<\/p>\n<h4>Pairing Weil<\/h4>\n<p>\u0421\u043f\u0430\u0440\u0438\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0412\u0435\u0439\u043b\u044f, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f\u00a0<em>e\u00a0<sub>m<\/sub><\/em>\u00a0, \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430 \u0432\u0445\u043e\u0434 \u043f\u0430\u0440\u0443 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a\u00a0<em>P, Q \u2208 E[m]\u00a0\u0438\u00a0<sub>\u0434\u0430\u0435\u0442<\/sub><\/em>\u00a0\u043d\u0430 \u0432\u044b\u0445\u043e\u0434\u0435\u00a0\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c _m \u0438\u0437 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u044b\u00a0<em><sup>e\u00a0<sub>m<\/sub><\/sup><sub>(<\/sub>\u00a0P\u00a0, Q)<\/em>\u00a0.\u00a0\u0411\u0438\u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0441\u043f\u0430\u0440\u0438\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0412\u0435\u0439\u043b\u044f \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438<\/p>\n<p><em>e\u00a0<sub>m<\/sub>\u00a0(P\u00a0<sub>1<\/sub>\u00a0+ P\u00a0<sub>2<\/sub>\u00a0, Q) = e\u00a0<sub>m<\/sub>\u00a0(P\u00a0<sub>1<\/sub>\u00a0, Q) * e\u00a0<sub>m<\/sub>\u00a0(P2, \u0412),<\/em><\/p>\n<p><em>e\u00a0<sub>m<\/sub>\u00a0(P, Q\u00a0<sub>1<\/sub>\u00a0+ Q\u00a0<sub>2<\/sub>\u00a0) = e\u00a0<sub>m<\/sub>\u00a0(P, Q\u00a0<sub>1<\/sub>\u00a0) * e\u00a0<sub>m<\/sub>\u00a0(P, Q\u00a0<sub>2<\/sub>\u00a0).<\/em><\/p>\n<p>\u041f\u0430\u0440\u0430\u00a0<strong>\u0412\u0435\u0439\u043b\u044f\u00a0<\/strong><em>P<\/em>\u00a0\u0438\u00a0<em>Q<\/em>\u00a0\u2014 \u044d\u0442\u043e\u00a0\u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0433\u0434\u0435\u00a0<em>S \u2208 E<\/em>\u00a0\u2014 \u043b\u044e\u0431\u0430\u044f \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430, \u0443\u0434\u043e\u0432\u043b\u0435\u0442\u0432\u043e\u0440\u044f\u044e\u0449\u0430\u044f \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044e\u00a0<em>S \u2209 {O, P, \u2212Q, P \u2212 Q}<\/em>\u00a0.\u00a0(\u042d\u0442\u043e \u0433\u0430\u0440\u0430\u043d\u0442\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0432\u0441\u0435 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u044b \u0432 \u043f\u0440\u0430\u0432\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u044b \u0438 \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b \u043e\u0442 \u043d\u0443\u043b\u044f.) \u041c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435\u00a0<em>e\u00a0<sub>m<\/sub>\u00a0(P,Q)<\/em>\u00a0\u043d\u0435 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u0430\u00a0<em>f\u00a0<sub>P<\/sub><\/em>\u00a0,\u00a0<em>f\u00a0<sub>Q<\/sub><\/em>\u00a0\u0438\u00a0<em>S<\/em>\u00a0.<\/p>\n<h4>\u042d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u043f\u0430\u0440\u0438\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0412\u0435\u0439\u043b\u044f<\/h4>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c\u00a0<em>E<\/em>\u00a0\u2014 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u043a\u0440\u0438\u0432\u0430\u044f, \u0438 \u043f\u0443\u0441\u0442\u044c P = (x\u00a0<sub>P<\/sub>\u00a0,y\u00a0<sub>P<\/sub>\u00a0) \u0438 Q = (x\u00a0<sub>Q<\/sub>\u00a0, y\u00a0<sub>Q<\/sub>\u00a0) \u2014 \u043d\u0435\u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430\u00a0<em>E<\/em>\u00a0.<\/p>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c\u00a0<em>\u03bb<\/em>\u00a0\u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d\u043e\u043c \u043b\u0438\u043d\u0438\u0438, \u0441\u043e\u0435\u0434\u0438\u043d\u044f\u044e\u0449\u0435\u0439\u00a0<em>P<\/em>\u00a0\u0438\u00a0<em>Q<\/em>\u00a0, \u0438\u043b\u0438 \u043d\u0430\u043a\u043b\u043e\u043d\u043e\u043c \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043a\u00a0<em>E<\/em>\u00a0\u0432 P, \u0435\u0441\u043b\u0438\u00a0<em>P =<\/em>\u00a0Q.\u00a0(\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043b\u0438\u043d\u0438\u044f \u0432\u0435\u0440\u0442\u0438\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430, \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u00a0<em>\u03bb<\/em>\u00a0= \u221e.) \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e g\u00a0<sub>P, Q<\/sub>\u00a0\u043d\u0430\u00a0<em>E<\/em>\u00a0\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0437\u0430\u0442\u0435\u043c<\/p>\n<p>div(g\u00a0<sub>P, Q<\/sub>\u00a0) = [P] + [Q] \u2014 [P + Q] \u2014 [\u00a0<em>O<\/em>\u00a0].<\/p>\n<p><strong>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u041c\u0438\u043b\u043b\u0435\u0440\u0430<\/strong><\/p>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c\u00a0<em>m \u2265<\/em>\u00a0\u0438 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0448\u0438\u0442\u0435 \u0434\u0432\u043e\u0438\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043d\u0438\u0435\u00a0<em>m<\/em>\u00a0\u043a\u0430\u043a<\/p>\n<p><em>m = m\u00a0<sub>0<\/sub>\u00a0+ m\u00a0<sub>1<\/sub>\u00a0* 2 + m\u00a0<sub>2<\/sub>\u00a0* 2\u00a0<sup>2<\/sup>\u00a0+\u00b7\u00b7\u00b7+ m\u00a0<sub>n \u2014 1<\/sub>\u00a02\u00a0<sup>n \u2014 1<\/sup><\/em><\/p>\n<p>\u043f\u0440\u0438\u00a0<em>m\u00a0<sub>i<\/sub>\u00a0\u2208 {0, 1}<\/em>\u00a0\u0438\u00a0<em>m\u00a0<sub>n \u2014 1<\/sub>\u00a0\u2260 0<\/em>\u00a0.\u00a0\u0421\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0432\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e\u00a0<em>f\u00a0<sub>P<\/sub><\/em>\u00a0, \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0443\u0434\u043e\u0432\u043b\u0435\u0442\u0432\u043e\u0440\u044f\u0435\u0442 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044e<\/p>\n<p>div(\u00a0<em>f\u00a0<sub>P<\/sub><\/em>\u00a0) =\u00a0<em>m<\/em>\u00a0[\u00a0<em>P<\/em>\u00a0] \u2014 [\u00a0<em>mP<\/em>\u00a0] \u2014 (\u00a0<em>m \u2014 1<\/em>\u00a0) [\u00a0<em>O<\/em>\u00a0],<\/p>\n<p>\u0433\u0434\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438\u00a0<em>g\u00a0<sub>T, T<\/sub><\/em>\u00a0\u0438\u00a0<em>g\u00a0<sub>T, P,<\/sub><\/em>\u00a0\u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c\u044b\u0435 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u043e\u043c, \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u044b \u0432 (a).<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0412 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438, \u0435\u0441\u043b\u0438\u00a0<em>P \u2208 E[m]<\/em>\u00a0, \u0442\u043e div(\u00a0<em>f\u00a0<sub>P<\/sub><\/em>\u00a0) =\u00a0<em>m<\/em>\u00a0[\u00a0<em>P<\/em>\u00a0] \u2212\u00a0<em>m<\/em>\u00a0[\u00a0<em>O<\/em>\u00a0].<\/p>\n<h3>\u0422\u0440\u0435\u0431\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435<\/h3>\n<ul>\n<li>\n<p><code>Python 3.5<\/code><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><code>numpy<\/code><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<pre><code class=\"bash\">git clone https:\/\/github.com\/demining\/CryptoDeepTools.git  cd CryptoDeepTools\/04AlgorithmsForSecp256k\/  pip3 install numpy<\/code><\/pre>\n<pre><code>\u251c\u2500\u2500 Curves.py             &lt;- \u041d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0445 \u251c\u2500\u2500 Divisor.py            &lt;- \u0421\u043e\u0437\u0434\u0430\u0442\u044c \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u251c\u2500\u2500 EllipticCurve.py      &lt;- \u041a\u043b\u0430\u0441\u0441\u044b \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 \u0438 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 \u251c\u2500\u2500 EuclideanAlg.py       &lt;- \u0420\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0415\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u0430 \u251c\u2500\u2500 Helper.py             &lt;- \u0412\u0441\u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 (\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0431\u0438\u0442\u044b, \u043c\u043e\u0449\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043f\u043e \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044e)  \u251c\u2500\u2500 Pairing.py            &lt;- \u0421\u043f\u0430\u0440\u0438\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0412\u0435\u0439\u043b\u044f, \u0430 \u0442\u0430\u043a \u0436\u0435 \u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u041c\u0438\u043b\u043b\u0435\u0440\u0430 \u251c\u2500\u2500 Tests.py              &lt;- \u041c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0442\u0435\u0441\u0442\u044b \u0434\u043b\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u251c\u2500\u2500 Tonelli_ShanksAlg.py  &lt;- \u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0422\u043e\u043d\u0435\u043b\u043b\u0438 \u2013 \u0428\u0435\u043d\u043a\u0441\u0430 \u251c\u2500\u2500 main.py               &lt;- main <\/code><\/pre>\n<h3><\/h3>\n<hr\/>\n<p><a href=\"https:\/\/github.com\/demining\/CryptoDeepTools\/tree\/main\/04AlgorithmsForSecp256k\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\"><strong>\u0418\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u0434<\/strong><\/a><\/p>\n<p><strong>\u0418\u0441\u0442\u043e\u0447\u043d\u0438\u043a: <\/strong><a href=\"https:\/\/cryptodeep.ru\/algorithms-for-secp256k\/\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\"><strong>https:\/\/cryptodeep.ru\/algorithms-for-secp256k\/<\/strong><\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"v-portal\" style=\"display:none;\"><\/div>\n<\/div>\n<p> <!----> <!----><br \/> \u0441\u0441\u044b\u043b\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u043e\u0440\u0438\u0433\u0438\u043d\u0430\u043b \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438 <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/post\/677048\/\"> https:\/\/habr.com\/ru\/post\/677048\/<\/a><br \/><\/br><\/br><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[],"tags":[],"class_list":["post-335749","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/335749","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=335749"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/335749\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=335749"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=335749"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=335749"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}