{"id":339593,"date":"2022-10-12T15:00:42","date_gmt":"2022-10-12T15:00:42","guid":{"rendered":"http:\/\/savepearlharbor.com\/?p=339593"},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T21:00:00","slug":"","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/savepearlharbor.com\/?p=339593","title":{"rendered":"<span>\u041f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u044c \u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0445: \u0432\u0441\u0451, \u0447\u0442\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0437\u043d\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0442\u0440\u0430\u043d\u0437\u0430\u043a\u0446\u0438\u044e \u0432 Bitcoin \u0441 \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0433\u043e \u043d\u0443\u043b\u044f<\/span>"},"content":{"rendered":"<div><\/div>\n<div id=\"post-content-body\">\n<div>\n<div class=\"article-formatted-body article-formatted-body article-formatted-body_version-2\">\n<div xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1999\/xhtml\">\n<p>\u041d\u0430 \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c \u0434\u0435\u043b\u0435, \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435 \u2014 \u0441\u0443\u043f\u0435\u0440 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0430\u044f \u0448\u0442\u0443\u043a\u0430. \u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0446\u0438\u0444\u0440\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0438, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430\u043d \u043d\u0430 \u0438\u0445 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430\u0445 (ECDSA) \u2014 \u0435\u0449\u0451 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0430\u044f \u0448\u0442\u0443\u043a\u0430. ECDSA \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u0432\u044b\u043c \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u043c \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0431\u043b\u043e\u043a\u0447\u0435\u0439\u043d\u043e\u0432 (\u0432\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u044f Bitcoin, Ethereum, \u2026). \u041d\u043e \u043d\u0435\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u044f \u043d\u0430 \u0442\u043e, \u0447\u0442\u043e \u044d\u0442\u043e \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0430\u044f \u0448\u0442\u0443\u043a\u0430, \u043a\u0440\u0430\u0439\u043d\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0433\u043e\u0434\u043d\u043e\u0435 \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043d\u0435\u0442\u0435, \u0438 \u0441\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c \u0432\u0441\u0435 \u043a\u0443\u0441\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043f\u0430\u0437\u043b\u0430 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435. \u0412 \u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u043c\u044b \u044d\u0442\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c. \u0412\u044b \u0434\u0430\u0436\u0435 \u043d\u0435 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u0435, \u043d\u0430\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0432\u0441\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e!<\/p>\n<p>\u041c\u044b \u043f\u0440\u043e\u0431\u0435\u0436\u0438\u043c\u0441\u044f \u0430\u0431\u0441\u043e\u043b\u044e\u0442\u043d\u043e \u043f\u043e \u0432\u0441\u0435\u043c \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435\u043f\u0446\u0438\u044f\u043c, \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u044b\u043c \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c \u0438 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c <strong>\u0441 \u043d\u0443\u043b\u044f<\/strong>. \u0412 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 <strong>\u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0447\u0430\u044f \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f<\/strong>, \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0449\u0430\u044f <strong>\u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e<\/strong> \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435\u043f\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b, \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435. \u0411\u0435\u0437 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0438\u0445 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439.<\/p>\n<p>\u041c\u044b \u0441\u043c\u043e\u0436\u0435\u043c <strong>\u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u043f\u0443\u0431\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043b\u044e\u0447<\/strong> \u0438\u0437 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u043a\u043b\u044e\u0447\u0430, <strong>\u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435<\/strong> \u043f\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u043d\u044b\u043c \u043a\u043b\u044e\u0447\u043e\u043c, \u0438 <strong>\u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u044c \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u0430,<\/strong> \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044f \u043f\u0443\u0431\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043b\u044e\u0447. \u0418 \u0437\u0430\u0439\u043c\u0451\u0442 \u044d\u0442\u043e \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u043b\u0438\u0448\u044c 100 \u0441\u0442\u0440\u043e\u043a \u043a\u043e\u0434\u0430. \u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u0432 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 <strong>\u0434\u0435\u043c\u043e<\/strong> \u0432 CodeSandbox, \u0441 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u043c \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043f\u043e\u0438\u0433\u0440\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f.<\/p>\n<p>\u0412 \u043f\u0435\u0440\u0432\u0443\u044e \u043e\u0447\u0435\u0440\u0435\u0434\u044c \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u044f \u043d\u0430\u0446\u0435\u043b\u0435\u043d\u0430 \u043d\u0430 \u0440\u0430\u0437\u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0447\u0438\u043a\u043e\u0432, \u043a\u0430\u043a \u0438 \u044f \u0441\u0430\u043c, \u0436\u0435\u043b\u0430\u044e\u0449\u0438\u0445 \u043d\u0430\u043a\u043e\u043d\u0435\u0446-\u0442\u043e \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a \u0443\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0430 \u043a\u0440\u0438\u043f\u0442\u043e\u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u044f \u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0445, \u0438 \u0434\u0435\u043c\u0438\u0441\u0442\u0438\u0444\u0438\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u0438 \u043d\u0435\u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043e\u0447\u0435\u0442\u0430\u043d\u0438\u044f \u0441\u043b\u043e\u0432: <strong>\u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435<\/strong>, <strong>\u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0446\u0438\u0444\u0440\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0438 \u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0445<\/strong>, <strong>ECDSA<\/strong>, <strong>secp256k1<\/strong>, \u2026 \u041d\u043e \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u044f \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u0430 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0438 \u0432\u0441\u0435\u043c \u043e\u0441\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c. \u041e\u043d\u0430 \u043d\u0435 \u043f\u043e\u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u0435\u0442 \u043d\u0438\u0447\u0435\u0433\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435\u0433\u043e, \u0447\u0435\u043c \u0437\u043d\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0448\u043a\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0438.<\/p>\n<p>\u042f \u0440\u0435\u043a\u043e\u043c\u0435\u043d\u0434\u0443\u044e \u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c \u0435\u0451 \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u0437\u0430 \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c\u044e. \u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u044f \u0440\u0435\u043a\u043e\u043c\u0435\u043d\u0434\u0443\u044e \u0432\u0437\u044f\u0442\u044c \u043b\u0438\u0441\u0442\u043e\u043a \u0431\u0443\u043c\u0430\u0433\u0438 \u0438 \u043a\u0430\u0440\u0430\u043d\u0434\u0430\u0448, \u0438 \u043f\u043e\u0432\u0442\u043e\u0440\u0438\u0442\u044c \u0432\u0441\u0435 \u0448\u0430\u0433\u0438, \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432 \u043d\u0435\u0439. \u0422\u0430\u043a \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0435\u0449\u0451 \u043a\u0440\u0443\u0447\u0435! \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u044b \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0441\u0442 \u2014 \u044f \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0440\u0435\u043a\u043e\u043c\u0435\u043d\u0434\u0443\u044e \u043d\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u043a\u043e\u0434 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043d\u0435\u0442, \u043d\u0438\u0447\u0435\u0433\u043e \u0441\u0442\u0440\u0430\u0448\u043d\u043e\u0433\u043e!<\/p>\n<p>\u0421\u0442\u0430\u0442\u044c\u044f \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0438\u0437 6 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439. \u041a\u0430\u0436\u0434\u0430\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435\u043f\u0446\u0438\u0438 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0438\u0445 (\u0438\u0441\u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435: \u0427\u0430\u0441\u0442\u044c II):<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>\u0427\u0430\u0441\u0442\u044c I: \u0427\u0442\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0437\u043d\u0430\u0442\u044c \u043e\u0431 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0445<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0427\u0430\u0441\u0442\u044c II: \u0427\u0442\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0437\u043d\u0430\u0442\u044c \u043e \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043b\u044f\u0445<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0427\u0430\u0441\u0442\u044c III: \u042d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043b\u044f\u0445<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0427\u0430\u0441\u0442\u044c IV: \u041f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435: \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0446\u0438\u0444\u0440\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0438<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0427\u0430\u0441\u0442\u044c V: \u0420\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0427\u0430\u0441\u0442\u044c VI: Live Demo<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u041d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u0435\u043c!<\/p>\n<h2>\u0427\u0430\u0441\u0442\u044c I. \u0427\u0442\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0437\u043d\u0430\u0442\u044c \u043e\u0431 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0445<\/h2>\n<p>\u0421\u043a\u043e\u0440\u0435\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e, \u043c\u044b \u0432\u0441\u0435 \u0442\u0430\u043a \u0438\u043b\u0438 \u0438\u043d\u0430\u0447\u0435 \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c\u044b \u0441 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430\u043c\u0438 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u044f\u0445, \u0433\u0434\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f <strong>y<\/strong> \u043a\u0430\u043a\u0438\u043c-\u0442\u043e \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 <strong>x<\/strong>. \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, <strong>y = x<\/strong> ,\u00a0<strong>y = x\u00b2<\/strong>, \u0438 \u0442\u0430\u043a \u0434\u0430\u043b\u0435\u0435. \u0421\u043a\u043e\u0440\u0435\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e, \u043c\u044b \u0432\u0441\u0435 \u0438\u043c\u0435\u043b\u0438 \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439-\u0442\u043e \u043e\u043f\u044b\u0442 \u0441 \u043d\u0438\u043c\u0438. \u0412\u043e\u0442 \u043e\u043d\u0438:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/83d\/c2e\/cca\/83dc2ecca3ac2ddb64c3fb050936a8b9.png\" width=\"2770\" height=\"1346\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/83d\/c2e\/cca\/83dc2ecca3ac2ddb64c3fb050936a8b9.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0423\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 <strong>\u043d\u0435 \u0441\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f<\/strong>! <br \/>\u041e\u043d\u043e \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443 <strong>y\u00b2 = x\u00b3 + ax + b. \u0427\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 a \u0438 b? \u041b\u044e\u0431\u044b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0430\u043d\u0442\u044b. \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0432 \u044d\u043b\u043b\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 \u0431\u0438\u0442\u043a\u043e\u0439\u043d\u0430 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f a = 0, b = 7:<\/strong><\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/3aa\/9a2\/888\/3aa9a2888a5e926043ed4df7834d9c89.png\" width=\"3046\" height=\"1466\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/3aa\/9a2\/888\/3aa9a2888a5e926043ed4df7834d9c89.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u042d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435 \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 3 \u0441\u0443\u043f\u0435\u0440 \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430, \u043d\u0430 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u0432\u0441\u0451 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442:<\/p>\n<blockquote>\n<p>\u041d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u044d\u0442\u0430\u043f\u0435 \u0432\u0441\u0451 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0435\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a\u0430\u044f-\u0442\u043e \u0431\u0435\u0441\u0441\u043c\u044b\u0441\u043b\u0438\u0446\u0430. \u0411\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441 \u201c<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=kJbZe-Fbkj4\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u043f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443?<\/a>\u201d. \u041d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0448\u0443 \u0434\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u043c\u043d\u0435 \u043d\u0435\u043d\u0430\u0434\u043e\u043b\u0433\u043e, \u0438 \u0432\u044b \u0443\u0432\u0438\u0434\u0438\u0442\u0435, \u0447\u0442\u043e <strong>\u044d\u0442\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442<\/strong>!<\/p>\n<\/blockquote>\n<ol>\n<li>\n<p><strong>\u042d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435 \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u044b \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u0441\u0438 x<\/strong>. <br \/>\u042d\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0434\u043b\u044f <strong>\u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439<\/strong> <strong>\u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 A,<\/strong> \u043b\u0435\u0436\u0430\u0449\u0435\u0439 \u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0435\u0451 \u043e\u0442\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435, <u>\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u043c\u044b \u043d\u0430\u0437\u043e\u0432\u0451\u043c<\/u><strong><u> -A<\/u>:<\/strong><\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/472\/7c9\/ca3\/4727c9ca33af4d74c48d781b0347dd99.png\" width=\"3152\" height=\"1534\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/472\/7c9\/ca3\/4727c9ca33af4d74c48d781b0347dd99.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u041b\u044e\u0431\u0430\u044f \u043f\u0440\u044f\u043c\u0430\u044f \u043b\u0438\u043d\u0438\u044f<\/strong> (\u043a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0432\u0435\u0440\u0442\u0438\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439) <strong>\u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043a\u0430\u0435\u0442 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u043a\u0440\u0438\u0432\u0443\u044e \u0440\u043e\u0432\u043d\u043e \u0432 3 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u0445<\/strong>. <br \/>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u043f\u0440\u044f\u043c\u0443\u044e \u043b\u0438\u043d\u0438\u044e \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 <strong>\u043b\u044e\u0431\u044b\u0435 \u0434\u0432\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 A \u0438 B<\/strong>, \u043b\u0435\u0436\u0430\u0449\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439, \u043c\u044b <strong>\u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430<\/strong> \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c <strong>\u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0442\u0440\u0435\u0442\u0435\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435<\/strong>. \u0418\u0441\u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435: \u0432\u0435\u0440\u0442\u0438\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043b\u0438\u043d\u0438\u044f. <\/p>\n<p><u>\u041c\u044b \u043d\u0430\u0437\u043e\u0432\u0451\u043c \u0442\u0440\u0435\u0442\u044c\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 <\/u><strong><u>\u2014C<\/u>.<\/strong> \u0412 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0438\u0438 \u0441 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0438\u043c \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e\u043c, \u043d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0435\u0451 <strong><em>\u043e\u0442\u0440\u0430\u0437\u0438\u0442\u044c<\/em><\/strong>, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c <strong>C:<\/strong><\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/d19\/e00\/d35\/d19e00d35f94b48bf6ad7773335d4a15.png\" width=\"2374\" height=\"1154\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/d19\/e00\/d35\/d19e00d35f94b48bf6ad7773335d4a15.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0415\u0449\u0451 \u043e\u0434\u0438\u043d \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/d21\/0ed\/fde\/d210edfde3506dcd5bce4d0c41a329dd.png\" width=\"2908\" height=\"1412\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/d21\/0ed\/fde\/d210edfde3506dcd5bce4d0c41a329dd.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p><u>\u041c\u044b \u043d\u0430\u0437\u043e\u0432\u0451\u043c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 <\/u><strong><u>C<\/u><\/strong><u> \u0441\u0443\u043c\u043c\u043e\u0439 <\/u><strong><u>A<\/u><\/strong><u> \u0438 <\/u><strong><u>B<\/u><\/strong>. \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, C = A + B<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u041a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043a \u043b\u044e\u0431\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 A \u043d\u0430 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439, \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043a\u0430\u0435\u0442 \u043a\u0440\u0438\u0432\u0443\u044e \u0440\u043e\u0432\u043d\u043e \u0432 \u0435\u0449\u0451 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435.<\/strong><em> <br \/><\/em><u>\u041c\u044b \u043d\u0430\u0437\u043e\u0432\u0451\u043c \u044d\u0442\u0443 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 <\/u><strong><u>-2A<\/u><\/strong>. \u041c\u044b \u0443\u0436\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0435\u043c, \u043a\u0430\u043a \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c <strong><em>2A<\/em><\/strong>:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/681\/c28\/93a\/681c2893aa97a69ba3f2338d7605026b.png\" width=\"2898\" height=\"1398\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/681\/c28\/93a\/681c2893aa97a69ba3f2338d7605026b.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p>\u041b\u0435\u0433\u0447\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043a \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 <strong>A<\/strong> \u043d\u0430 \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c \u0434\u0435\u043b\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043a\u0430\u0435\u0442 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 <strong>A<\/strong> <strong>\u0434\u0432\u0430\u0436\u0434\u044b<\/strong> \u043d\u0430 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u043e\u043c \u0440\u0430\u0441\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0438. \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c \u0432\u0441\u0451 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e: \u043f\u0440\u044f\u043c\u0430\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043a\u0430\u0435\u0442 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 <strong>A, A<\/strong> \u0438 <strong>-2A<\/strong>, \u043a\u0430\u043a \u0432 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0435\u043c \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435.<\/p>\n<p>\u0413\u043e\u0442\u043e\u0432\u043e! \u041c\u044b \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043b\u0438 3 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0445, \u043d\u0430 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u0432\u0441\u0451 \u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u0441\u044f: \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 -1, \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 2.<\/p>\n<h4>\u041f\u043e\u043a\u0430 \u0447\u0442\u043e \u043d\u0438\u0447\u0435\u0433\u043e \u043d\u0435 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u043e, \u043d\u043e \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u0432\u0441\u0451 \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c!<\/h4>\n<p>\u0423 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0432\u043e\u0442 \u0442\u0430\u043a\u0430\u044f \u043a\u0430\u0440\u0442\u0438\u043d\u0430 \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u043c\u0438 <strong>A<\/strong>, <strong>2A<\/strong>, <strong>-2A<\/strong>:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/279\/2a5\/f08\/2792a5f08138bc64911c36b64c3ae3ae.png\" width=\"2644\" height=\"1294\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/279\/2a5\/f08\/2792a5f08138bc64911c36b64c3ae3ae.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u041d\u0430\u0447\u0435\u0440\u0442\u0438\u043c \u043f\u0440\u044f\u043c\u0443\u044e \u043b\u0438\u043d\u0438\u044e \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u043c\u0438 <strong>A<\/strong> \u0438 <strong>2A<\/strong>. \u0422\u043e, \u0447\u0442\u043e \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c (\u0432 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0438\u0438 \u0441 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430\u043c\u0438 \u0432\u044b\u0448\u0435): <strong>-3A<\/strong>. \u0410 \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043c\u044b \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e <strong>\u043e\u0442\u0440\u0430\u0437\u0438\u043c<\/strong> <strong>-3A<\/strong>, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c <strong>3A<\/strong>:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/60e\/134\/5da\/60e1345da171c35bf6f9def650e76260.png\" width=\"2680\" height=\"1314\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/60e\/134\/5da\/60e1345da171c35bf6f9def650e76260.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u042f \u0443\u0432\u0435\u0440\u0435\u043d, \u0447\u0442\u043e \u0432\u0441\u0451 \u0435\u0449\u0451 \u043d\u0435 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u043e, \u0437\u0430\u0447\u0435\u043c \u043c\u044b \u0432\u0441\u0451 \u044d\u0442\u043e \u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c. \u041f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u0442\u0435 \u043d\u0430 \u0435\u0449\u0451 \u043e\u0434\u0438\u043d \u0448\u0430\u0433. \u0427\u0442\u043e, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043c\u044b \u043d\u0430\u0447\u0435\u0440\u0442\u0438\u043c \u043f\u0440\u044f\u043c\u0443\u044e \u043b\u0438\u043d\u0438\u044e \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 <strong>3A<\/strong> \u0438 <strong>-2A<\/strong>?<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/6ad\/9b8\/bfc\/6ad9b8bfcfaa7932af62e06062e5a4cb.png\" width=\"2896\" height=\"1408\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/6ad\/9b8\/bfc\/6ad9b8bfcfaa7932af62e06062e5a4cb.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p><strong>\u0412\u0438\u0434\u0438\u0442\u0435 \u043c\u0430\u0433\u0438\u044e?<\/strong>  \u041c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043b\u0438 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 <strong>-A<\/strong>, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0442\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043d\u0430\u0448\u0435\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 <strong>A<\/strong>, \u0441 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043c\u044b \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u043b\u0438. <strong>3A + (-2A) = A.<\/strong><\/p>\n<h3>\u0412\u0441\u0451 \u044d\u0442\u043e \u2014 \u201c\u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u201d \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0445<\/h3>\n<p><strong>\u041f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043f\u043e\u0441\u0442\u0430\u0440\u0430\u0439\u0442\u0435\u0441\u044c \u043e\u0441\u043e\u0437\u043d\u0430\u0442\u044c \u043c\u043e\u0449\u044c \u044d\u0442\u0438\u0445 \u0442\u0440\u0451\u0445 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439<\/strong>: \u0444\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438, \u0441\u0435\u0439\u0447\u0430\u0441 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043e\u043f\u0435\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u043c\u0438 \u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 \u0442\u0430\u043a, <strong>\u0431\u0443\u0434\u0442\u043e \u043e\u043d\u0438 \u043d\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438, \u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430<\/strong>!<\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e \u043c\u044b <strong>\u043c\u043e\u0436\u0435\u043c<\/strong> \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u043c\u0438 \u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>\u0421\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a <strong>A+B<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0412\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a. <strong>A-B<\/strong>, \u0447\u0442\u043e \u043f\u043e \u0441\u0432\u043e\u0435\u0439 \u0441\u0443\u0442\u0438 <strong>A + (-B)<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0421\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a (\u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u0434\u0432\u0430): <strong>A+A<\/strong> = <strong>2A<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u0423\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0435 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e (\u043a\u043e\u043c\u0431\u0438\u043d\u0438\u0440\u0443\u044f \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043b\u0435\u0433\u043a\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u043b\u044e\u0431\u043e\u0435 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e * \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443).<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u0427\u0442\u043e \u043c\u044b <strong>\u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c<\/strong> \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u043c\u0438 \u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>\u0423\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a \u0434\u0440\u0443\u0433 \u043d\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0430<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0414\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u0414\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c, \u043a\u0430\u043a \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u043d\u0430 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0435 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e.<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c <strong>10A<\/strong>:<br \/><em>2A = A + A<br \/>4A = 2A + 2A<br \/>8A = 4A + 4A<br \/>10A = 8A + 2A<\/em><\/p>\n<p><em>\u0425\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c <\/em><strong><em>\u043b\u044e\u0431\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e * \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443<\/em><\/strong><em> \u0437\u0430 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439. \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439 \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c <\/em><strong><em>n * \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 = log2(n)<\/em><\/strong><\/p>\n<p>\u0412 \u0438\u0442\u043e\u0433\u0435 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u043b\u044e\u0431\u043e\u0435 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043d\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443, \u043d\u043e \u043d\u0435 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043d\u0430\u0437\u0430\u0434! \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435 \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u0438 \u0434\u043b\u044f \u043a\u0440\u0438\u043f\u0442\u043e\u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u0438!<\/p>\n<p>\u041d\u0435\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0435 \u043d\u0435\u0443\u0434\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u043e \u043d\u0430 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442: \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c \u0447\u0435\u0440\u0442\u0438\u0442\u044c \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0438. \u041a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u0436\u0435, \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0434\u043b\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f -1 * \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443, \u0434\u043b\u044f \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a, \u0438 \u0434\u043b\u044f \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 2:<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p><strong>\u0423\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 A \u043d\u0430 -1<\/strong>.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 <strong>A(x, y)<\/strong>, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043b\u0435\u0433\u043a\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c <strong>-A<\/strong> \u043f\u0443\u0442\u0451\u043c \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0435\u0451 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u044b <strong>y<\/strong> \u043d\u0430 <strong>-1<\/strong>. <strong>-A(x, -y)<\/strong>. <\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b:<br \/>1) <strong>-1 * A(2, 2) \u2192 -A(2, -2)<br \/><\/strong>2)<strong> -1 * A(1, -1) \u2192 -A(1, 1)<br \/><\/strong>3)<strong> -1 * A(5, 8) \u2192 -A(5, -8)<br \/><\/strong>4)<strong> -1 * A(5, -8) \u2192 -A(5, 8)<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u0421\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a A + B<\/strong>.<\/p>\n<p>\u041c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043b\u0435\u0433\u043a\u043e \u0441\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u0434\u0432\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043f\u0440\u0438 \u043e\u0434\u043d\u043e\u043c \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0438: \u043e\u043d\u0438 <strong>\u043d\u0435 \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u044b<\/strong> \u043b\u0435\u0436\u0430\u0442\u044c \u043d\u0430 <strong>\u0432\u0435\u0440\u0442\u0438\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043b\u0438\u043d\u0438\u0438<\/strong>. \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u0438\u0445 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u044b <strong>x<\/strong> \u043d\u0435 \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u044b \u0431\u044b\u0442\u044c \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u043c\u0438. \u0412\u043e\u0442 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a <strong>A + B = C<\/strong>:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/38b\/232\/5d9\/38b2325d95aa66bcf9cec19e8c092bf6.png\" width=\"1942\" height=\"808\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/38b\/232\/5d9\/38b2325d95aa66bcf9cec19e8c092bf6.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u0421\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a (\u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 A \u043d\u0430 2)<\/strong>.<\/p>\n<p>\u041e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0430 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0443\u044e:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/40d\/77e\/6b7\/40d77e6b78f1117601fa004564ef4e02.png\" width=\"1752\" height=\"1030\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/40d\/77e\/6b7\/40d77e6b78f1117601fa004564ef4e02.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<h4>\u0413\u043e\u0442\u043e\u0432\u043e! \u0412\u0440\u0435\u043c\u044f \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0438<\/h4>\n<p>\u041f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0435\u043c \u0441\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 <strong>A(3.096, 6.055)<\/strong> \u0438 <strong>B(-1.650, 1.581)<\/strong> \u0441 \u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/ace\/07a\/93a\/ace07a93aab720fbbd4cfd96277704f5.png\" width=\"2032\" height=\"1000\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/ace\/07a\/93a\/ace07a93aab720fbbd4cfd96277704f5.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0418\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0432 3 \u0437\u043d\u0430\u043a\u0430 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0437\u0430\u043f\u044f\u0442\u043e\u0439. \u0412 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0438\u0438 \u0441 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u043e\u0439 \u0434\u043b\u044f \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a (<strong>\u043f\u0443\u043d\u043a\u0442 2<\/strong> \u0432\u044b\u0448\u0435):<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/431\/cfb\/a59\/431cfba59289b0993cc754bb14dacd98.png\" width=\"1934\" height=\"698\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/431\/cfb\/a59\/431cfba59289b0993cc754bb14dacd98.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 <strong>C<\/strong> \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/0a0\/9c6\/c12\/0a09c6c12d903eebd3b1a6f011724858.png\" width=\"2620\" height=\"1272\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/0a0\/9c6\/c12\/0a09c6c12d903eebd3b1a6f011724858.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p><strong>\u042d\u0442\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442!<\/strong> \u0414\u0430, \u0441 \u043d\u0435\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0439 \u043d\u0435\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0438\u0437-\u0437\u0430 \u043e\u043a\u0440\u0443\u0433\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043d\u043e \u044d\u0442\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442! \u041c\u043e\u0436\u0435\u0442\u0435 \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441\u0430\u043c\u0438!<\/p>\n<h4>\u042d\u0442\u043e \u0431\u044b\u043b\u043e \u0432\u0441\u0451, \u0447\u0442\u043e \u043d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0437\u043d\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435 \u0438 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0430\u0434 \u043d\u0438\u043c\u0438!<\/h4>\n<p>\u0412\u0441\u0451 \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u043d\u043e, \u043d\u043e \u043f\u043e\u043a\u0430 \u0447\u0442\u043e \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0438\u044f \u043a\u0440\u0438\u043f\u0442\u043e\u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b <strong>\u043d\u0435 \u0445\u0432\u0430\u0442\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0430\u0440\u044b \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432<\/strong>.<\/p>\n<h2>\u0427\u0430\u0441\u0442\u044c II. \u0427\u0442\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0437\u043d\u0430\u0442\u044c \u043e \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043b\u044f\u0445<\/h2>\n<p>\u041f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0434\u0435\u043b\u043e, \u043c\u044b \u043d\u0435 \u0441\u043e\u0431\u0438\u0440\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0438\u0437\u0443\u0447\u0430\u0442\u044c <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=nm_o0IS2gK4\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0442\u0435\u043e\u0440\u0438\u044e \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043b\u0435\u0439<\/a>. \u0412\u0441\u0451, \u0447\u0442\u043e \u043d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0437\u043d\u0430\u0442\u044c <strong>\u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e<\/strong> \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432, \u0438 \u043d\u0430\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0441\u043e \u0441\u0432\u043e\u0435\u0433\u043e \u0440\u043e\u0434\u0430 \u201c\u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u043e\u0439\u201d \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043b\u0435\u0439, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0434\u0432\u0438\u0433\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435.<\/p>\n<blockquote>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0443\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438\u0442\u044c, \u0442\u043e \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0435 \u043f\u043e\u043b\u044f \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c <strong>\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u0435<\/strong> \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0442\u044c, \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c, \u0438 <strong>\u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0438\u0442 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u044b\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c<\/strong>. \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u043a\u0430\u0437\u0443\u0435\u043c\u043e, \u0432\u043e\u0441\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e \u0438 \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>\u0421\u043a\u043e\u0440\u0435\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e, \u0432\u044b \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c\u044b \u0441 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0435\u0439 \u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043a\u043e\u043c. \u0412 \u044f\u0437\u044b\u043a\u0430\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043e\u043d\u0430 \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c <strong>%<\/strong> (\u0438\u043b\u0438 <strong>mod<\/strong>). \u0412\u043e\u0442 \u043a\u0430\u043a \u043e\u043d\u0430 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442:<\/p>\n<p><strong>2 mod 11 = 2<br \/>10 mod 11 = 10<br \/>11 mod 11 = 0<br \/>13 mod 11 = 2<br \/>25 mod 11 = 3<\/strong><\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043e\u0442 0 \u0434\u043e 33 mod 11, \u0432\u043e\u0442 \u0447\u0442\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u0441\u044f: <strong><u>0<\/u>, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, <u>0<\/u>, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, <u>0<\/u>, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, <u>0<\/u><\/strong><\/p>\n<p><strong>\u0427\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043f\u043e\u0432\u0442\u043e\u0440\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e \u043a\u0440\u0443\u0433\u0443<\/strong> <strong>\u043a\u0430\u043a \u043d\u0430 \u0447\u0430\u0441\u0430\u0445<\/strong>. <code>\u041c\u044b \u043d\u0430\u0437\u043e\u0432\u0451\u043c \u044d\u0442\u043e \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u043c \u043f\u043e\u043b\u0435\u043c \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 11. <\/code><\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0437\u043d\u0430\u0442\u044c \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e 4 \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430:<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p><strong>\u041f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u043a \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<p><em>a<\/em><\/strong><em> * <\/em><strong><em>b<\/em><\/strong><em> * <\/em><strong><em>c<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>n<\/em><\/strong> <strong>\u044d\u0442\u043e \u0442\u043e \u0436\u0435 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0435<\/strong>, \u0447\u0442\u043e \u0438 <em>(<\/em><strong><em>a<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>n<\/em><\/strong><em>) * (<\/em><strong><em>b<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>n<\/em><\/strong><em>) * (<\/em><strong><em>c<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>n<\/em><\/strong><em>) mod <\/em><strong><em>n<\/em><\/strong>, <strong>\u0447\u0442\u043e \u0442\u043e \u0436\u0435 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0435, \u0447\u0442\u043e \u0438<\/strong> (<strong>a<\/strong> * <strong>b<\/strong> mod <strong>n<\/strong>) * <strong>c<\/strong> mod <strong>n<\/strong> \u0438\u043b\u0438  <strong><em>a<\/em><\/strong><em> * (<\/em><strong><em>b<\/em><\/strong><em> * <\/em><strong><em>c<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>n<\/em><\/strong><em>) mod <\/em><strong><em>n<br \/><\/em><br \/><\/strong>\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440:<br \/><strong><em>6<\/em><\/strong><em> * <\/em><strong><em>7<\/em><\/strong><em> * <\/em><strong><em>8<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>11<\/em><\/strong><em> = <\/em><strong><em>336<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>11<\/em><\/strong><em> = <\/em><strong><em><u>6<\/u><\/em><\/strong>, <strong>\u0442\u043e \u0436\u0435 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0435, \u0447\u0442\u043e \u0438<\/strong>:<br \/><em>(<\/em><strong><em>6<\/em><\/strong><em> * <\/em><strong><em>7<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>11<\/em><\/strong><em>) * <\/em><strong><em>8<\/em><\/strong><em> mod 11 = (<\/em><strong><em>42<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>11<\/em><\/strong><em>) * <\/em><strong><em>9<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>11<\/em><\/strong><em> = <\/em><strong><em>9<\/em><\/strong><em> * <\/em><strong><em>8<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>11<\/em><\/strong><em> = <\/em><strong><em>72<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>11<\/em><\/strong><em> = <u>6<\/u><\/em><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u041e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e mod n \u044d\u0442\u043e \u0442\u043e \u0436\u0435 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0435, \u0447\u0442\u043e \u0438 <br \/><em>n<\/em><\/strong><em> &#8212; (|<\/em><strong><em>\u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e<\/em><\/strong><em>| mod <\/em><strong><em>n<\/em><\/strong><em>)<\/em><\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b:<br \/>1) <strong>-4 mod 11<\/strong> = 11 &#8212; (4 mod 11) = <strong>11\u20134 = 7<br \/><\/strong>2) <strong>-7 mod 11 <\/strong>= 11 &#8212; (7 mod 11) = <strong>11\u20137 = 4<br \/><\/strong>3) <strong>-9 mod 11 <\/strong>= 11 &#8212; (9 mod 11) = <strong>11\u20139 = 2<br \/><\/strong>4) <strong>2 mod 11 <\/strong>= 11 &#8212; (2 mod 11) = <strong>11\u20132 = 9<br \/><\/strong>5) <strong>-13 mod 11 <\/strong>= 11 &#8212; (13 mod 11) = <strong>11\u20132 = 9<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u201c<\/strong><a href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9E%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D1%83%D0%BB%D1%8E_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\"><strong>\u041e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e<\/strong><\/a><strong>\u201d: \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 <em>a<\/em> \u0435\u0441\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e <em>b<\/em>, \u0447\u0442\u043e <em>a<\/em><\/strong><em> * <\/em><strong><em>b<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>n<\/em><\/strong><em> = <\/em><strong><em>1<\/em><\/strong>.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 <strong>a * b mod 11 = 1<\/strong>, <strong>b<\/strong> \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f <strong>\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e\u043c<\/strong> \u043a <strong>a<\/strong> \u043f\u043e \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044e <strong>n<\/strong>, \u0438 \u043d\u0430\u043e\u0431\u043e\u0440\u043e\u0442: <strong>a<\/strong> \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e\u043c \u043a <strong>b<\/strong> \u043f\u043e \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044e <strong>n<\/strong>.<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b:<br \/>1) <strong>5 * x mod 11<\/strong> = 1. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043c\u044b \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0435\u043c \u043f\u043e\u0434\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c x \u043e\u0434\u043d\u0438\u043c \u0437\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u043c, \u043c\u044b \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043c <strong>x = 9<\/strong>. \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, <strong>9 &#8212; \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043a 5 \u043f\u043e \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044e 11<\/strong>. \u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443? <strong>5 * 9 = 45<\/strong>, <strong>45 mod 11 = 1<\/strong>.<br \/>2) <strong>7 * x mod 11 = 1<\/strong>. \u041f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0435\u043c \u0441\u043d\u043e\u0432\u0430 \u043f\u043e\u0434\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c <strong>x<\/strong> \u043f\u0435\u0440\u0435\u0431\u043e\u0440\u043e\u043c \u0438 \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043c <strong>x = 8<\/strong>. <br \/><strong>8 &#8212; \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043a 7 \u043f\u043e \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044e 11.<\/strong> (<strong>7*8 = 56, 56 mod 11 = 1<\/strong>)<br \/>3) <strong>10 * x mod 11 = 1. x = 10.<\/strong> \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, <strong>10<\/strong> &#8212; \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043a <strong>10<\/strong> \u043f\u043e \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044e <strong>11<\/strong>. (<strong>10 * 10 = 100, 100 mod 11 = 1<\/strong>)<\/p>\n<p><em>\u041e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e <\/em><a href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%A0%D0%B0%D1%81%D1%88%D0%B8%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%B0\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\"><em>\u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0415\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u0430<\/em><\/a><em>. \u041d\u043e \u0442.\u043a. \u044d\u0442\u043e \u0442\u0435\u043c\u0430 \u0434\u043b\u044f \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438, \u043f\u043e\u043a\u0430 \u0447\u0442\u043e \u043c\u044b \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0433\u0440\u0443\u0431\u044b\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0431\u043e\u0440.<\/em><\/p>\n<p><em>\u0422\u0430\u043a\u0436\u0435, \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 n &#8212; \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e.<\/em><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u0414\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0442\u043e \u0436\u0435 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0435, \u0447\u0442\u043e \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e.<\/strong><\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/8b3\/8fc\/6ce\/8b38fc6ceed948e642e479f15f1ab1c9.png\" width=\"1910\" height=\"310\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/8b3\/8fc\/6ce\/8b38fc6ceed948e642e479f15f1ab1c9.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0422\u0430\u043a \u0447\u0442\u043e, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043f\u043e \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044e, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0437\u0430\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e. \u041f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440:<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/e16\/19e\/5b8\/e1619e5b8d34d020f23da7872ef0af61.png\" width=\"2000\" height=\"516\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/e16\/19e\/5b8\/e1619e5b8d34d020f23da7872ef0af61.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p><em>\u0412\u0430\u0436\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442: \u0442.\u043a. \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 n &#8212; \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e, \u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0442\u043e\u0436\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 n &#8212; \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e. <\/em><\/p>\n<p>\u0413\u043e\u0442\u043e\u0432\u043e! \u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043c\u044b \u0437\u043d\u0430\u0435\u043c, \u043a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0441 \u201c\u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u043e\u0439\u201d \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u043b\u044f \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 n!<\/p>\n<h2>\u0427\u0430\u0441\u0442\u044c III. \u042d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043b\u044f\u0445<\/h2>\n<p>\u041d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u044d\u0442\u0430\u043f\u0435 \u0432\u0441\u0451 \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u0435\u0442 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0435\u0442\u044c \u0447\u0443\u0442\u044c \u043c\u0435\u043d\u0435\u0435 \u043e\u0447\u0435\u0432\u0438\u0434\u043d\u044b\u043c \u0438 \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u0447\u0443\u0442\u044c \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u0435\u0435 \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u044f. <strong>\u041d\u043e! \u042d\u0442\u043e \u2014 \u0440\u043e\u0432\u043d\u043e \u0442\u043e, \u043a\u0430\u043a \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043a\u0440\u0438\u043f\u0442\u043e\u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u0438!<\/strong> \u041d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c <strong>\u0440\u043e\u0432\u043d\u043e \u0442\u043e, \u0447\u0442\u043e \u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u043e \u0432 \u043d\u0430\u0437\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438<\/strong>: \u043f\u043e\u043c\u0435\u0441\u0442\u0438\u0442\u044c \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u043a\u0440\u0438\u0432\u0443\u044e \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0435.<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u0442 \u0442\u0430\u043a \u043f\u043e\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/608\/ee0\/396\/608ee0396b981682bc1cad95022374b9.png\" width=\"2658\" height=\"222\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/608\/ee0\/396\/608ee0396b981682bc1cad95022374b9.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p><strong>\u0412\u0441\u0451 \u0440\u043e\u0432\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a \u0436\u0435<\/strong>, \u043a\u0430\u043a \u0432 \u201c\u043e\u0440\u0438\u0433\u0438\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439\u201d \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439, <strong>\u043d\u043e<\/strong> \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043e\u0431\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f <strong>\u043f\u043e\u0434 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0435\u043c p<\/strong>.<\/p>\n<p>\u0411\u0443\u0434\u0435\u043c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u043a\u0440\u0438\u0432\u0443\u044e \u0441 \u0442\u0430\u043a\u0438\u043c \u201c\u043a\u043e\u043d\u0444\u0438\u0433\u043e\u043c\u201d:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p><em>a = 0<\/em><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><em>b = 7<\/em><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><em>p = 11<\/em><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u041d\u0430\u0439\u0434\u0451\u043c \u0432\u0441\u0435 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 \u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043a\u043e\u0434\u0430:<\/p>\n<pre><code class=\"javascript\">const a = 0; const b = 7; const p = 11;   for (let x = 0; x &lt;= p; x ++) {   for (let y = 0; y &lt;= p; y ++) {     if (y**2 % p === (x**3 + a * x + b) % p) {       console.log(`(${x}, ${y})`);     }   } } <\/code><\/pre>\n<p>\u042d\u0442\u043e JavaScript, \u0442\u0430\u043a \u0447\u0442\u043e \u0435\u0433\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u044c \u0434\u0430\u0436\u0435 \u0432 \u0431\u0440\u0430\u0443\u0437\u0435\u0440\u0435. \u041d\u043e \u043d\u0435 \u043e\u0431\u044f\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e.<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u0442 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442: <strong>(2, 2), (2, 9), (3, 1), (3, 10), (4, 4), (4, 7), (5, 0), (5,11), (6, 5), (6, 6), (7, 3), (7, 8)<\/strong><\/p>\n<p>\u041e\u0442\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u043c \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/a1a\/898\/4c2\/a1a8984c21d711ef8e3fb4c157d713e4.png\" width=\"2512\" height=\"1224\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/a1a\/898\/4c2\/a1a8984c21d711ef8e3fb4c157d713e4.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0435\u043c a=0, b=7, p=23:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/811\/b4a\/ef9\/811b4aef93842a8763f3b97e595514d7.png\" width=\"2154\" height=\"1042\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/811\/b4a\/ef9\/811b4aef93842a8763f3b97e595514d7.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p><strong>\u0412\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u043a\u0430\u043a \u0447\u0442\u043e-\u0442\u043e \u0431\u0435\u0441\u0441\u043c\u044b\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435, \u043f\u0440\u0430\u0432\u0434\u0430? \u041d\u0438\u043a\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u044b! <\/strong><\/p>\n<p>\u041d\u043e! \u041e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e \u043d\u0430 \u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0432\u0441\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0438 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u201c\u043e\u0440\u0438\u0433\u0438\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439\u201d \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439!<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a \u0447\u0442\u043e \u0441\u0435\u0439\u0447\u0430\u0441 \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u043a\u0440\u0438\u0432\u0430\u044f, <strong>\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043d\u0435 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u043a\u0430\u043a \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u043a\u0440\u0438\u0432\u0430\u044f<\/strong>. \u041d\u043e! \u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0443 \u043d\u0435\u0451 <strong>\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a<\/strong>, \u0438, \u0447\u0442\u043e \u0441\u0430\u043c\u043e\u0435 \u0433\u043b\u0430\u0432\u043d\u043e\u0435, <strong>\u043e\u043d\u0430 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u043a\u0430\u043a \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u043a\u0440\u0438\u0432\u0430\u044f<\/strong>!<\/p>\n<h4>\u0422\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043d\u0435\u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0432 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435 \u0441 mod p:<\/h4>\n<ol>\n<li>\n<p><strong>\u0423\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 A \u043d\u0430 -1<\/strong>:<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 <strong>A(x, y)<\/strong>, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043b\u0435\u0433\u043a\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c <strong>-A<\/strong> \u043f\u0443\u0442\u0451\u043c \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0435\u0451 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u044b <strong>y<\/strong> \u043d\u0430 <strong>-1<\/strong> <strong>mod p<\/strong>. <strong>-A(x, -y mod p)<\/strong>.<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b:<br \/>1)<strong> -1 * A(2, 2) \u2192 -A(2, -2 mod 11) = -A(2, 9)<br \/><\/strong>2) <strong>-1 * A(2, 9) \u2192 -A(2, -9 mod 11) = -A(2, 2)<br \/><\/strong>3)<strong> -1 * A(6, 5) \u2192 -A(6, -5 mod 11) = -A(6, 6)<br \/><\/strong>4)<strong> -1 * A(6, 6) \u2192 -A(6, -6 mod 11) = -A(6, 5)<\/strong><\/p>\n<p><em>\u041a\u0430\u043a \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u0442\u0435 \u0432 \u043f\u0443\u043d\u043a\u0442\u0435 2 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0435\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438.<\/em><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u0421\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a A + B<\/strong>:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/167\/081\/765\/167081765c03a2c1bae1e033caf2bbfc.png\" width=\"1976\" height=\"960\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/167\/081\/765\/167081765c03a2c1bae1e033caf2bbfc.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u0421\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a (\u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 A \u043d\u0430 2)<\/strong>:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/308\/289\/271\/308289271e133b8b4d71a15aefd438ad.png\" width=\"2036\" height=\"1156\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/308\/289\/271\/308289271e133b8b4d71a15aefd438ad.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<\/li>\n<\/ol>\n<h4>\u0413\u043e\u0442\u043e\u0432\u043e! \u041f\u043e\u0440\u0430 \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432 \u0434\u0435\u043b\u0435!<\/h4>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0432\u0441\u0435\u0445 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043e\u0432 \u043d\u0438\u0436\u0435 \u043c\u044b \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u043a\u0440\u0438\u0432\u0443\u044e \u0441\u043e \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u043c \u201c\u043a\u043e\u043d\u0444\u0438\u0433\u043e\u043c\u201d: <strong>a=0, b=7, \u0438 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u043a p=11<\/strong>.<\/p>\n<p>\u0412\u044b\u0431\u0435\u0440\u0435\u043c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 <strong>C(7, 8)<\/strong> \u0438 \u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u043c <strong>2C:<\/strong><\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/b07\/a26\/80c\/b07a2680c44c47adc72ae644ddc51cb6.png\" width=\"2042\" height=\"876\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/b07\/a26\/80c\/b07a2680c44c47adc72ae644ddc51cb6.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0414\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043b\u0435\u0433\u043a\u043e \u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c <strong>4C<\/strong>:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/bb8\/3cb\/95b\/bb83cb95b330cae748da5dbf8f606932.png\" width=\"2236\" height=\"902\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/bb8\/3cb\/95b\/bb83cb95b330cae748da5dbf8f606932.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u041f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0435\u043c \u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c <strong>4C &#8212; C<\/strong>, \u0447\u0442\u043e \u043f\u043e \u0441\u0432\u043e\u0435\u0439 \u0441\u0443\u0442\u0438 <strong>4C + (-C) = 3C<\/strong>. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u043c <strong>-C<\/strong>, \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0441\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c <strong>4C<\/strong> \u0438 <strong>-C<\/strong>:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/aac\/21d\/f45\/aac21df45f5241fae8c3f269c6935f48.png\" width=\"2140\" height=\"1348\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/aac\/21d\/f45\/aac21df45f5241fae8c3f269c6935f48.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0410 \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0435\u043c \u0441\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c <strong>C + 2C<\/strong>, \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u0442\u0430 \u0436\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 <strong>3C<\/strong>:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/13c\/ba8\/698\/13cba8698b973d89572d9baa8f1cf6cb.png\" width=\"2008\" height=\"748\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/13c\/ba8\/698\/13cba8698b973d89572d9baa8f1cf6cb.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<h4>\u0410\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0445 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043b\u044f\u0445 \u0438\u0434\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442!<\/h4>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p><strong>\u041e\u0434\u043d\u043e \u041e\u0427\u0415\u041d\u042c \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e<\/strong>: \u0443 <strong>\u0442\u043e\u0447\u0435\u043a<\/strong> \u043d\u0430 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0441\u0432\u043e\u0439 <strong>\u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u043a n<\/strong>!<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u043a\u0430\u043a \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c. T\u0441\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u043a <strong>n<\/strong> \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 <strong>C<\/strong> = <strong>12<\/strong>, \u044d\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e <strong>12 * C = 0<\/strong> (\u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u043d\u0435 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442), <strong>13*C = C<\/strong>, <strong>16*C = 4C<\/strong>, <strong>27*C = 3C<\/strong>. \u041f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u043a <strong>\u043f\u0440\u0435\u0434\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d<\/strong> \u0434\u043b\u044f \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438. \u041d\u0430 \u043d\u0435\u0433\u043e \u043d\u0435\u043b\u044c\u0437\u044f \u043f\u043e\u0432\u043b\u0438\u044f\u0442\u044c, \u0435\u0433\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c.<\/p>\n<p>\u042f \u0440\u0435\u043a\u043e\u043c\u0435\u043d\u0434\u0443\u044e \u043f\u043e\u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0441\u0430\u043c\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0438 \u0443\u0431\u0435\u0434\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e \u044d\u0442\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442<\/p>\n<blockquote>\n<p>\u041f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u043a <strong>n<\/strong> \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 <strong>C(7, 8)<\/strong> \u043d\u0430 \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c \u0434\u0435\u043b\u0435 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d <strong>12<\/strong>. \u042f \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u0430\u0433\u0430\u044e \u043d\u0435\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0438: \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c <strong>8*C<\/strong> \u043f\u0443\u0442\u0451\u043c \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f <strong>4C + 4C<\/strong>. \u0417\u0430\u0442\u0435\u043c \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c <strong>8C + 8C<\/strong>. \u0412\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 <strong>16C<\/strong>, <strong>\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0432\u043d\u044f\u0442\u044c\u0441\u044f 4C<\/strong>!<\/p>\n<\/blockquote>\n<p><strong>\u042d\u0442\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u0431\u0443\u043a\u0432\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u043a\u0430\u043a \u0447\u0430\u0441\u044b<\/strong>. \u041f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u0442\u0435 \u0441\u0430\u043c\u0438:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/c6f\/a47\/456\/c6fa474569dab33899ba31a4e47cd2db.png\" width=\"2190\" height=\"854\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/c6f\/a47\/456\/c6fa474569dab33899ba31a4e47cd2db.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p><strong>\u041d\u0430 \u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u043c \u044d\u0442\u0430\u043f\u0435 \u043c\u044b \u0437\u043d\u0430\u0435\u043c<\/strong> <strong>\u0430\u0431\u0441\u043e\u043b\u044e\u0442\u043d\u043e \u0432\u0441\u0451 \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0435,<\/strong> \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435 \u0432 \u043a\u0440\u0438\u043f\u0442\u043e\u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u0438!<\/p>\n<p>\u041d\u0435\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0437\u044e\u043c\u0435:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>\u0412\u0441\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0445 \u0438\u0434\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u044e\u0442 \u0438 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043b\u044f\u0445. \u041c\u044b \u0432\u0441\u0451 \u0435\u0449\u0451 \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c <strong>\u043b\u044e\u0431\u043e\u0435 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e x * \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443<\/strong>. \u041d\u0430\u043c \u0432\u0441\u0451 \u0435\u0449\u0451 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e <strong>log2(x)<\/strong> \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439!<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u042d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435 \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 <strong>\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0439<\/strong> \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0443 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a \u0435\u0441\u0442\u044c \u0438\u0445 \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 <strong>\u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u043a n<\/strong>, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c \u0438\u043b\u0438 \u043a\u0430\u043a \u0447\u0430\u0441\u044b.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u043a\u0440\u0438\u0432\u0443\u044e, \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u044b \u0442\u0440\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u0434\u0432\u0443\u0445: <strong>a<\/strong>, <strong>b<\/strong>, \u0438 <strong>p<\/strong>. <strong>p<\/strong> \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u043e\u043c \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 (\u043d\u0435 \u043f\u0443\u0442\u0430\u0442\u044c \u0441 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u043e\u043c <strong>n<\/strong> \u0443 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a!)<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u041e\u0442\u043a\u0443\u0434\u0430 \u043c\u044b \u0437\u043d\u0430\u0435\u043c, \u043a\u0430\u043a\u0438\u0435 <strong>a<\/strong>, <strong>b<\/strong> \u0438 <strong>p<\/strong> \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c? \u042d\u0442\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043e \u0432 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u0430\u0445. \u0421\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043e\u0432 \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e.<\/p>\n<h3>\u0427\u0442\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 Bitcoin \u0438 Ethereum?<\/h3>\n<p>\u041e\u043d\u0438 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u0443\u044e \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u043a\u0440\u0438\u0432\u0443\u044e, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f <strong>secp256k1<\/strong>. \u0412\u043e\u0442 \u0435\u0451 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>a=<strong>0<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>b=<strong>7<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>p=<strong>115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007908834671663<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u0414\u043e\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e! \u042f \u0434\u0443\u043c\u0430\u044e, \u0432\u044b \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u0435\u0442\u0435 \u0434\u043e\u0433\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f, \u043f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435 \u043d\u0430\u0441\u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u0438 \u0432 \u043a\u0440\u0438\u043f\u0442\u043e\u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u0438.<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0440\u0430 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435 \u0438 \u0438\u0445 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435!<\/p>\n<h2>\u0427\u0430\u0441\u0442\u044c IV. \u041f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435: \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0446\u0438\u0444\u0440\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0438 (ECDSA)<\/h2>\n<p><strong>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0446\u0438\u0444\u0440\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0438 \u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0445<\/strong> (<a href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/ECDSA\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\"><strong>Elliptic Curves Digital Signature Algorithm<\/strong><\/a>) \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 <strong>\u0432 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438<\/strong> \u043d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u201c\u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0435\u201d \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0445, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0443\u044e \u043c\u044b \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043b\u0438 \u0432 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0435\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438.<\/p>\n<p>\u0414\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043a\u043e\u043c\u0443 \u0443\u0433\u043e\u0434\u043d\u043e <strong>\u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c<\/strong> <strong>\u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435<\/strong>, \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044f <strong>\u041f\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043b\u044e\u0447<\/strong>, \u0430 \u043a\u0442\u043e \u0443\u0433\u043e\u0434\u043d\u043e \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e <strong>\u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u044c<\/strong> \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u043d\u0430\u0434\u043b\u0435\u0436\u0438\u0442 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0430\u0432\u0448\u0435\u043c\u0443, \u0437\u043d\u0430\u044f \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 <strong>\u041f\u0443\u0431\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043b\u044e\u0447<\/strong> \u0438 \u043e\u0440\u0438\u0433\u0438\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 <strong>\u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435<\/strong>.<\/p>\n<h4>\u042d\u0442\u043e \u0440\u043e\u0432\u043d\u043e \u0442\u043e, \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0432 \u0431\u043b\u043e\u043a\u0447\u0435\u0439\u043d\u0430\u0445:<\/h4>\n<p>\u0423 \u0432\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043f\u0430\u0440\u0430 \u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u0439 <strong>\u041f\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043b\u044e\u0447 \u2014 \u041f\u0443\u0431\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043b\u044e\u0447<\/strong>. \u0412\u0441\u0435 \u0437\u043d\u0430\u044e\u0442 \u0432\u0430\u0448 <strong>\u041f\u0443\u0431\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043b\u044e\u0447<\/strong>, \u043d\u043e \u043d\u0438\u043a\u0442\u043e \u043a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0432\u0430\u0441 \u043d\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0430\u0448 <strong>\u041f\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043b\u044e\u0447<\/strong>.<\/p>\n<p>\u0412\u044b \u0441\u043e\u0437\u0434\u0430\u0451\u0442\u0435 <strong>\u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435<\/strong> \u043f\u043e \u0442\u0438\u043f\u0443 \u201c<strong>\u0445\u043e\u0447\u0443 \u043e\u0442\u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c X \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u043a\u0440\u0438\u043f\u0442\u043e\u0432\u0430\u043b\u044e\u0442\u044b \u043d\u0430 \u0430\u0434\u0440\u0435\u0441 Y<\/strong>\u201d, \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0432\u044b <strong>\u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0435<\/strong> \u0435\u0433\u043e \u0432\u0430\u0448\u0438\u043c <strong>\u041f\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u043d\u044b\u043c \u043a\u043b\u044e\u0447\u043e\u043c<\/strong> (\u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044f \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c, \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0432 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438), \u0438 \u043e\u0442\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0435 \u0432 \u0441\u0435\u0442\u044c (\u0432 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0431\u0438\u0442\u043a\u043e\u0439\u043d\u0430, \u043c\u0430\u0439\u043d\u0435\u0440\u0430\u043c). \u0412\u0441\u0435 \u043e\u0441\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0443\u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u0438\u043a\u0438 \u0441\u0435\u0442\u0438 (\u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u043c\u0430\u0439\u043d\u0435\u0440\u044b) \u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 <strong>\u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c<\/strong>, \u0447\u0442\u043e \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0430\u043b\u0438 \u0432\u044b, \u0437\u043d\u0430\u044f \u0432\u0430\u0448 <strong>\u041f\u0443\u0431\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043b\u044e\u0447<\/strong>.<\/p>\n<h3>\u041a\u0430\u043a \u044d\u0442\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442?<\/h3>\n<p>\u0412\u0441\u0451 \u043a\u0440\u0443\u0442\u0438\u0442\u0441\u044f \u0432\u043e\u043a\u0440\u0443\u0433 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 <strong>\u043f\u0440\u0435\u0434\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0451\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438<\/strong> <strong>GP<\/strong> (<strong>generator point<\/strong>), \u043b\u0435\u0436\u0430\u0449\u0435\u0439 \u043d\u0430 <strong>\u043f\u0440\u0435\u0434\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0451\u043d\u043d\u043e\u0439 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439<\/strong>. \u0422\u043e\u0447\u043a\u0430 \u0438 \u043a\u0440\u0438\u0432\u0430\u044f \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u044b \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043e\u043c \u0438 \u0438\u0445 \u0437\u043d\u0430\u044e\u0442 \u0432\u0441\u0435.<\/p>\n<p><strong>\u041c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0441\u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043b\u044e\u0431\u043e\u0435 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0440\u0430\u043d\u0434\u043e\u043c\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e<\/strong>, \u0438 \u044d\u0442\u043e \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043d\u0430\u0448\u0438\u043c <strong>\u041f\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u043d\u044b\u043c \u043a\u043b\u044e\u0447\u043e\u043c<\/strong> (<strong>PrivateKey<\/strong>)!<\/p>\n<p><strong>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043c\u044b \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u043c \u043d\u0430\u0448 PrivateKey \u043d\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 GP, \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u041f\u0443\u0431\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043b\u044e\u0447 (PublicKey)!<\/strong><\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, <strong>PublicKey = PrivateKey * GP<\/strong>:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/9a8\/130\/389\/9a8130389661bf1f50514f085598ed0a.png\" width=\"2764\" height=\"1898\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/9a8\/130\/389\/9a8130389661bf1f50514f085598ed0a.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p><strong>\u0414\u0430, \u043f\u0443\u0431\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043b\u044e\u0447 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u043b\u0438\u0448\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439.<\/strong><\/p>\n<p>\u041a\u0430\u043a \u043c\u044b \u0443\u0436\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0435\u043c, \u043c\u044b \u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u043d\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u0438\u043b\u0438 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u043d\u0430 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e. \u0412\u0441\u0435 \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u044b\u0435 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u044b <strong>\u0432 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435 \u0427\u0430\u0441\u0442\u0438 I<\/strong>.<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, <strong>\u043d\u0435 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442<\/strong> <strong>\u044d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u0433\u043e<\/strong> <strong>\u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u0430<\/strong> \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c <strong>PrivateKey<\/strong> \u0438\u0437 <strong>PublicKey<\/strong>, \u043d\u0435\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u044f \u043d\u0430 \u0442\u043e, \u0447\u0442\u043e \u043c\u044b \u0437\u043d\u0430\u0435\u043c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 <strong>GP<\/strong>!<\/p>\n<p><strong>\u041e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043d\u0435 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442<\/strong>! \u0413\u0440\u0443\u0431\u044b\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0431\u043e\u0440 <strong>\u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438<\/strong> \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0441\u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c. \u041d\u043e \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0443 \u043d\u0430\u0441 <strong>\u043f\u043e-\u043d\u0430\u0441\u0442\u043e\u044f\u0449\u0435\u043c\u0443 \u043e\u0433\u0440\u043e\u043c\u043d\u043e\u0435<\/strong> \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a, \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u043d\u0430\u0441\u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e (\u043f\u043e\u0447\u0442\u0438 \u043a\u0430\u043a \u0430\u0442\u043e\u043c\u043e\u0432 \u0432\u043e \u0432\u0441\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439):<\/p>\n<p>115792089237316195423570985008687907852837564279074904382605163141518161494337<\/p>\n<p>\u041d\u043e! \u041e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e \u043d\u0430 \u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0432\u0441\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0438 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u201c\u043e\u0440\u0438\u0433\u0438\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439\u201d \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439!<\/p>\n<h4>\u041f\u0440\u043e\u0439\u0434\u0451\u043c\u0441\u044f \u043f\u043e \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u044b\u043c \u0434\u043b\u044f \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c:<\/h4>\n<p>\u0412\u043e\u0442 \u0441\u043f\u0438\u0441\u043e\u043a \u201c\u0433\u043b\u043e\u0431\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445\u201d \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445, \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0451\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043e\u043c:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>\u041a\u043e\u043d\u0444\u0438\u0433 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 (\u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 <strong>a<\/strong>, <strong>b<\/strong>, <strong>p<\/strong>)<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0422\u043e\u0447\u043a\u0430 <strong>GP<\/strong>, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043b\u0435\u0436\u0438\u0442 \u043d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 (\u0435\u0451 <strong>x<\/strong> \u0438 <strong>y<\/strong> \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u044b)<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 <strong>\u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u043a<\/strong> <strong>n<\/strong> \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 <strong>GP<\/strong>. \u041a\u0430\u043a \u043c\u044b \u0443\u0436\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0435\u043c, <strong>n<\/strong> \u2014 <strong>\u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e<\/strong> \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 <strong>GP<\/strong>, \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435, \u0447\u0442\u043e GP*(n+1) = GP, GP*(n+2) = GP*2, \u0438 \u0442\u0430\u043a \u0434\u0430\u043b\u0435\u0435. \u041a\u0430\u043a \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0430\u0434\u043b\u0435\u0436\u0430\u0442 \u043a\u043e\u043c\u0443-\u0442\u043e \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u043e\u043c\u0443:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p><strong>PrivateKey<\/strong> (\u043f\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043b\u044e\u0447) &#8212; \u043b\u044e\u0431\u043e\u0435 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0435 \u0440\u0430\u043d\u0434\u043e\u043c\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e. \u0414\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0441\u0435\u043a\u0440\u0435\u0442\u0435 \u0435\u0433\u043e \u0432\u043b\u0430\u0434\u0435\u043b\u044c\u0446\u0435\u043c.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>PublicKey<\/strong> (\u043f\u0443\u0431\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043b\u044e\u0447) = <strong>GP<\/strong> * <strong>PrivateKey<\/strong>. \u0418\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u0435\u043d \u0432\u0441\u0435\u043c.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u0438 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0438 \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p><strong>Message<\/strong> (\u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435) \u2014 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0435 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e, \u043d\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0432\u044b\u0448\u0430\u044e\u0449\u0435\u0435 <strong>n<\/strong>. <em>\u041e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0445\u044d\u0448 \u043e\u0442 \u0441\u0442\u0440\u043e\u043a\u0438<\/em>. \u041d\u043e \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0442\u044b \u043f\u043e\u043a\u0430 \u0447\u0442\u043e \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0438\u043c \u0441\u0435\u0431\u044f \u0446\u0435\u043b\u044b\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e\u043c.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>K<\/strong> &#8212; \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439\u043d\u043e\u0435 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u043b\u044f <strong>\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439<\/strong> \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0438 \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0414\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0441\u0435\u043a\u0440\u0435\u0442\u0435 \u0442\u0435\u043c, \u043a\u0442\u043e \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043a\u0442\u043e-\u0442\u043e \u0435\u0433\u043e \u0443\u0437\u043d\u0430\u0435\u0442 \u2014 <strong>\u0441 \u043b\u0451\u0433\u043a\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e<\/strong> \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043b\u044e\u0447 \u0438\u0437 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0438!<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u0412\u043e\u0442 \u043f\u043e\u043b\u043d\u0430\u044f \u043a\u0430\u0440\u0442\u0438\u043d\u0430. \u0417\u0435\u043b\u0451\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0441\u0442\u0438\u043a\u0435\u0440\u0430\u043c\u0438 \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u044b \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b \u0432\u0441\u0435\u043c, \u0430 \u043a\u0440\u0430\u0441\u043d\u044b\u043c\u0438 \u2014 \u0441\u0435\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u044b\u0435.<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/5fe\/1aa\/6d6\/5fe1aa6d6197d44580058f13d92e84d9.png\" width=\"1522\" height=\"2036\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/5fe\/1aa\/6d6\/5fe1aa6d6197d44580058f13d92e84d9.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u041e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445! \u0425\u043e\u0447\u0443 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c: \u044d\u0442\u043e \u0431\u044b\u043b \u0438\u0441\u0447\u0435\u0440\u043f\u044b\u0432\u0430\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0441\u043f\u0438\u0441\u043e\u043a.<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0441\u0430\u043c\u0438 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u044b \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0438 \u0438 \u0432\u0435\u0440\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438:<\/p>\n<h3>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0438 \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f<\/h3>\n<p>\u0423 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043f\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043b\u044e\u0447 (PrivateKey) \u0438 \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 (message). \u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e:<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p>\u0421\u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439\u043d\u043e\u0435 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e k. \u042d\u0442\u043e \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u043e \u0431\u044b\u0442\u044c \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e [1, <strong>n<\/strong>-1]<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 <strong>R = GP * k<\/strong>.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e r:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/0a8\/838\/311\/0a8838311f9efa6d7fdfc7d995aafc85.png\" width=\"1898\" height=\"238\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/0a8\/838\/311\/0a8838311f9efa6d7fdfc7d995aafc85.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e s:<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/72d\/55e\/211\/72d55e211103583015e014fffaa8c80e.png\" width=\"2088\" height=\"252\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/72d\/55e\/211\/72d55e211103583015e014fffaa8c80e.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p><strong>\u0413\u043e\u0442\u043e\u0432\u043e! \u041f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u044c \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043f\u0430\u0440\u0430 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b (r, s)!<\/strong><\/p>\n<h4>\u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432\u043e\u0442 \u0442\u0430\u043a\u0430\u044f \u043a\u0430\u0440\u0442\u0438\u043d\u0430:<\/h4>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/f89\/585\/d10\/f89585d1042bd02eaf38f1f9566eb15a.png\" width=\"2578\" height=\"2026\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/f89\/585\/d10\/f89585d1042bd02eaf38f1f9566eb15a.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<h3>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0432\u0435\u0440\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0438<\/h3>\n<p>\u0423 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043f\u0443\u0431\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043b\u044e\u0447 (<strong>PublicKey<\/strong>) \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0430\u0432\u0448\u0435\u0433\u043e, \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 (<strong>message<\/strong>) \u0438 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u044c    (<strong>r<\/strong>, <strong>s<\/strong>). \u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u044c \u0432\u0435\u0440\u043d\u0430, \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e:<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p>\u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e <strong>U<\/strong>:<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/5fd\/1d9\/bf4\/5fd1d9bf42c12498fd90737999039110.png\" width=\"1922\" height=\"212\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/5fd\/1d9\/bf4\/5fd1d9bf42c12498fd90737999039110.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<ol start=\"2\">\n<li>\n<p>\u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e <strong>V<\/strong>:<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/5c0\/c39\/e46\/5c0c39e46ce94170f6f9a73b2d7c447e.png\" width=\"1910\" height=\"238\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/5c0\/c39\/e46\/5c0c39e46ce94170f6f9a73b2d7c447e.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<ol start=\"3\">\n<li>\n<p>\u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 <strong>C<\/strong> = <strong>U<\/strong> * <strong>GP<\/strong> + <strong>V<\/strong> * <strong>PublicKey<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 <strong>x<\/strong> \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 <strong>C<\/strong> mod <strong>n<\/strong> \u0440\u0430\u0432\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f <strong>r<\/strong> (<strong>C.x mod n == r<\/strong>), <strong>\u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u044c \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u0430<\/strong>. <strong>\u041d\u0435\u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u0430 \u0438\u043d\u0430\u0447\u0435<\/strong>.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<h4>\u0412\u043e\u0442 \u0442\u0430\u043a \u0432\u0441\u0451 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442:<\/h4>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/5fc\/9b8\/858\/5fc9b885872d82fae19dd5268ea2a3e7.png\" width=\"2502\" height=\"2044\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/5fc\/9b8\/858\/5fc9b885872d82fae19dd5268ea2a3e7.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0421\u043e\u0432\u0435\u0440\u0448\u0435\u043d\u043d\u043e \u043d\u0435\u043e\u0447\u0435\u0432\u0438\u0434\u043d\u043e.<\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c \u0434\u0435\u043b\u0435, \u044d\u0442\u043e \u043d\u0435\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0439 \u0442\u0440\u044e\u043a.<\/p>\n<h3>\u041d\u0435\u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0438\u0433\u0440\u0430\u0435\u043c \u0441 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430\u043c\u0438 \u0438 \u0434\u043e\u043a\u0430\u0436\u0435\u043c, \u0447\u0442\u043e \u044d\u0442\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442<\/h3>\n<p>\u0412 \u0448\u0430\u0433\u0435 <strong>3<\/strong> \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0432\u0435\u0440\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043c\u044b \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0435\u043c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 <strong>C<\/strong>:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/0e4\/a68\/d31\/0e4a68d31dc978e6a6f98fa1d7f26b96.png\" width=\"1994\" height=\"152\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/0e4\/a68\/d31\/0e4a68d31dc978e6a6f98fa1d7f26b96.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0417\u0430\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 <strong>U<\/strong>, <strong>V<\/strong>, <strong>PublicKey<\/strong> \u043d\u0430 \u0438\u0445 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/901\/5f2\/0a8\/9015f20a876ca4be510610e63ff2d9ca.png\" width=\"1632\" height=\"354\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/901\/5f2\/0a8\/9015f20a876ca4be510610e63ff2d9ca.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/312\/12d\/4b7\/31212d4b7a29b2882d33f927c40faf54.png\" width=\"1816\" height=\"180\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/312\/12d\/4b7\/31212d4b7a29b2882d33f927c40faf54.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0417\u0430\u043c\u0435\u0442\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c <strong>GP * s<sup>-1<\/sup><\/strong> \u043f\u043e\u0432\u0442\u043e\u0440\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f. \u0412\u044b\u043d\u0435\u0441\u0435\u043c \u0437\u0430 \u0441\u043a\u043e\u0431\u043a\u0438:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/517\/7e0\/a5d\/5177e0a5d02b4630ac0a64c59349f7bf.png\" width=\"1624\" height=\"192\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/517\/7e0\/a5d\/5177e0a5d02b4630ac0a64c59349f7bf.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043d\u0430 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 <strong>s<\/strong> \u0432 \u0448\u0430\u0433\u0435 4 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0438 \u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c <strong>s<sup>-1<\/sup><\/strong>:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/121\/cb2\/4bf\/121cb24bf54ee199580048085ad96eb2.png\" width=\"1620\" height=\"198\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/121\/cb2\/4bf\/121cb24bf54ee199580048085ad96eb2.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/87b\/24b\/689\/87b24b689b478743b01aba9708fe53ec.png\" width=\"2026\" height=\"220\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/87b\/24b\/689\/87b24b689b478743b01aba9708fe53ec.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0423\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438\u043c \u044d\u0442\u0443 \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/899\/254\/94a\/89925494a906ec1a700cf368960ac9b3.png\" width=\"1814\" height=\"148\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/899\/254\/94a\/89925494a906ec1a700cf368960ac9b3.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0412\u043e\u0442 \u0447\u0442\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043b\u043e\u0441\u044c:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/8fb\/03e\/094\/8fb03e0946c63d92aa33b26d10654fa7.png\" width=\"978\" height=\"132\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/8fb\/03e\/094\/8fb03e0946c63d92aa33b26d10654fa7.png\"\/><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u044c \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u0430, \u0442\u043e <strong>x<\/strong> \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 <strong>C<\/strong> == <strong>r<\/strong> (\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043f\u043e \u0441\u0432\u043e\u0435\u043c\u0443 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u2014 \u0442\u0430 \u0436\u0435 \u0441\u0430\u043c\u0430\u044f <strong>x<\/strong> \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 <strong>GP<\/strong> * <strong>k<\/strong>). \u0412\u0441\u0435 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043f\u043e\u0434 mod n.<\/p>\n<h3>\u0412\u0441\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u0430 secp256k1<\/h3>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>a=<code>0<\/code><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>b=<code>7<\/code><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>p=<code>115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007908834671663<\/code><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 <strong>GP<\/strong>:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>x = <code>55066263022277343669578718895168534326250603453777594175500187360389116729240<\/code><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>y = <code>32670510020758816978083085130507043184471273380659243275938904335757337482424<\/code><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u041f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u043a n = <code>115792089237316195423570985008687907852837564279074904382605163141518161494337<\/code><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u0413\u043e\u0442\u043e\u0432\u043e! \u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043c\u044b \u0437\u043d\u0430\u0435\u043c \u0410\u0411\u0421\u041e\u041b\u042e\u0422\u041d\u041e \u0432\u0441\u0451 \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0435 \u043e\u0431 ECDSA!<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0430\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0439 \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0441\u0442\u043e\u0432. \u041d\u043e \u043e\u043d\u0430 \u043d\u0435 \u043e\u0431\u044f\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0432\u0441\u0435\u0445 \u043e\u0441\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u044b \u043d\u0435 \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d\u044b \u0441 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c, \u0440\u0435\u043a\u043e\u043c\u0435\u043d\u0434\u0443\u044e \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043b\u0438\u0441\u0442\u0430\u0442\u044c \u043a \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 VI: Live Demo.<\/p>\n<h2>\u0427\u0430\u0441\u0442\u044c V. \u0420\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f<\/h2>\n<p>\u041d\u0435\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u044b, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0440\u0435\u0448\u0438\u0442\u044c:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>\u041d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e \u0443\u043c\u0435\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u0431\u0430\u0437\u043e\u0432\u044b\u0435 \u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0435\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0430 \u043e\u0433\u0440\u043e\u043c\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u0445. \u0412 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043b\u0435\u0433\u043a\u043e \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0434\u043e\u0441\u0442\u0438\u0447\u044c, \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044f <a href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%94%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B0%D1%80%D0%B8%D1%84%D0%BC%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0434\u043b\u0438\u043d\u043d\u0443\u044e \u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0435\u0442\u0438\u043a\u0443<\/a>. \u041d\u0430\u0448 \u044f\u0437\u044b\u043a \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0434\u043e\u043b\u0436\u0435\u043d \u043f\u043e\u0434\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u0434\u043b\u0438\u043d\u043d\u0443\u044e \u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0435\u0442\u0438\u043a\u0443, \u0438\u043b\u0438 \u043c\u044b \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u044b \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a\u0443\u044e-\u043d\u0438\u0431\u0443\u0434\u044c \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u044e\u044e \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c \u0434\u043b\u044f \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u0441 \u0434\u043b\u0438\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c\u0438. \u0412 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430\u0445 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0442\u044b \u044f \u0431\u0443\u0434\u0443 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c Python, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043f\u043e\u0434\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0434\u043b\u0438\u043d\u043d\u0443\u044e \u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0435\u0442\u0438\u043a\u0443 \u0438\u0437 \u043a\u043e\u0440\u043e\u0431\u043a\u0438. \u0412 \u0434\u0435\u043c\u043e (\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0430\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c) \u044f \u0431\u0443\u0434\u0443 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c JavaScript \u0441 \u043f\u0430\u043a\u0435\u0442\u043e\u043c <a href=\"https:\/\/www.npmjs.com\/package\/bignumber.js\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">BigNumber.js<\/a>.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0421\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0430\u044f \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u0430 \u2014 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 <strong>\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043f\u043e \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044e<\/strong> \u0434\u043b\u044f \u043e\u0433\u0440\u043e\u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430. \u041e\u0447\u0435\u0432\u0438\u0434\u043d\u043e, \u0447\u0442\u043e \u0433\u0440\u0443\u0431\u044b\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0431\u043e\u0440 \u043d\u0435 \u0441\u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442. \u041e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043b\u0435\u0433\u043a\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e <a href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%A0%D0%B0%D1%81%D1%88%D0%B8%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%B0\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0415\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u0430<\/a>, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c O(log2(n)). Python (3.8+) \u0443\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e \u0438\u0437 \u043a\u043e\u0440\u043e\u0431\u043a\u0438 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0432\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 pow:<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<pre><code class=\"python\">def find_inverse(number, modulus): return pow(number, -1, modulus)<\/code><\/pre>\n<p>\u041d\u043e \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0432\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u0430 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f \u0441 \u043d\u0443\u043b\u044f, \u0432\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442\u0435 \u0435\u0451 \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0432 \u043c\u043e\u0451\u043c Live Demo!<\/p>\n<h4>\u041d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u0435\u043c \u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u043a\u043e\u0434!<\/h4>\n<p>\u041d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u0430 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u043e\u0434\u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0430\u044f \u0432\u0435\u0449\u044c, \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d\u043d\u0430\u044f \u0441 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439: <strong>\u0442\u043e\u0447\u043a\u0430<\/strong>. \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441 <strong>Point<\/strong>. \u0412 \u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u043e\u0440\u0435 \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u043a\u0443, \u043b\u0435\u0436\u0438\u0442 \u043b\u0438 \u0443\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u043d\u0430\u044f \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439:<\/p>\n<pre><code class=\"python\">class Point:     def __init__(self, x, y, curve_config):         a = curve_config['a']         b = curve_config['b']         p = curve_config['p']                  if (y ** 2) % p != (x ** 3 + a * x + b) % p:             raise Exception(\"The point is not on the curve\")          self.x = x         self.y = y         self.curve_config = curve_config<\/code><\/pre>\n<p>\u041d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0442\u044c 3 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0430\u0434 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u043c\u0438: <strong>\u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u0434\u0432\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438<\/strong>, <strong>\u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0434\u0432\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438<\/strong>, <strong>\u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u043d\u0430 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0435 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e<\/strong>. \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u043a\u0438 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a:<\/p>\n<pre><code class=\"python\">def is_equal_to(self, point):         return self.x == point.x &amp; self.y == point.y<\/code><\/pre>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0434\u043b\u044f <strong>\u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a<\/strong>, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0432\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 &#8212; \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<pre><code class=\"python\">def add(self, point):         p = self.curve_config['p']                  if self.is_equal_to(point):             slope = (3 * point.x ** 2) * find_inverse(2 * point.y, p) % p         else:             slope = (point.y - self.y) * find_inverse(point.x - self.x, p) % p          x = (slope ** 2 - point.x - self.x) % p         y = (slope * (self.x - x) - self.y) % p          return Point(x, y, self.curve_config)<\/code><\/pre>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u043e\u043c\u043d\u044e, \u0447\u0442\u043e <strong>\u0432\u0441\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b<\/strong> \u043f\u0435\u0440\u0435\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u044b \u0432 <strong>\u0427\u0430\u0441\u0442\u0438 III<\/strong>!<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0434\u043b\u044f <strong>\u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e<\/strong>.<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u0442 \u0441\u0430\u043c\u0430\u044f <strong>\u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f<\/strong> \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f:<\/p>\n<pre><code class=\"python\">def multiply(self, times):     point = self     for i in range(times - 1):         point = point.add(self)     return point<\/code><\/pre>\n<p>\u041d\u043e \u0434\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u043d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u043d\u0430 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e, \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 \u0432\u043e\u0442 \u044d\u0442\u043e: <strong>115792089237316195<\/strong>. \u0414\u0430\u0436\u0435 \u0438\u043c\u0435\u044f \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u0432 <strong>1 \u043c\u0438\u043b\u043b\u0438\u0430\u0440\u0434<\/strong> \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0432 <strong>\u0441\u0435\u043a\u0443\u043d\u0434\u0443<\/strong>, <strong>\u044d\u0442\u043e \u0437\u0430\u043d\u044f\u043b\u043e \u0431\u044b 3.6 \u0433\u043e\u0434\u0430<\/strong>.<\/p>\n<p>\u0418 \u044d\u0442\u043e \u0434\u0430\u0436\u0435 <strong>\u043d\u0435 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0435<\/strong> \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u0434\u043b\u044f \u043d\u0430\u0441! \u0412\u043e\u0442 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e:<\/p>\n<p>115792089237316195423570985008687907852837564279074904382605163141518161494337<\/p>\n<p>\u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0433\u043e \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u043c \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u043e\u043c \u0437\u0430\u043d\u044f\u043b\u043e \u0431\u044b <strong>\u043c\u0438\u043b\u043b\u0438\u0430\u0440\u0434\u044b \u043c\u0438\u043b\u043b\u0438\u0430\u0440\u0434\u043e\u0432 \u043b\u0435\u0442<\/strong>!<\/p>\n<p>\u041c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u044d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u043a\u0430\u043a <strong>O(n),<\/strong> \u0447\u0442\u043e <strong>\u0441\u043e\u0432\u0435\u0440\u0448\u0435\u043d\u043d\u043e \u043d\u0435\u043f\u0440\u0438\u0435\u043c\u043b\u0435\u043c\u043e<\/strong> \u0434\u043b\u044f \u043d\u0430\u0448\u0438\u0445 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0439. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u044b \u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u0435, \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0439 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431 \u0434\u043e\u0441\u0442\u0438\u0447\u044c \u044d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 O(log2(n)), \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0434\u0432\u043e\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a:<\/p>\n<p>2P = P+P<br \/>4P = 2P + 2P<br \/>8P = 4P + 4P<br \/>16P = 8P + 8P<br \/>32P= 16P + 16P<br \/>64P = 32P + 32P<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, <strong>log2(115792089237316195) =<\/strong> <strong>56<\/strong><\/p>\n<p><strong>log2(115792089237316195423570985008687907852837564279074904382605163141518161494337)<\/strong> = <strong>256<\/strong><\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043d\u0430\u043c <strong>\u043d\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043c\u0438\u043b\u043b\u0438\u0430\u0440\u0434\u043e\u0432 \u043c\u0438\u043b\u043b\u0438\u0430\u0440\u0434\u043e\u0432 \u043b\u0435\u0442<\/strong>, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430\u0441\u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043e\u0433\u0440\u043e\u043c\u043d\u0443\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443. \u041d\u0430\u043c <strong>\u043d\u0443\u0436\u043d\u043e<\/strong> <strong>\u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u043b\u0438\u0448\u044c 256 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439 \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f<\/strong>!<\/p>\n<p>\u041e\u0434\u0438\u043d \u043d\u044e\u0430\u043d\u0441: \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u044d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u043d\u0430 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043d\u0435 \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044f\u043c\u0438 \u0434\u0432\u043e\u0439\u043a\u0438, \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b <strong>\u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u044f\u0442\u044c<\/strong> \u0432\u0441\u0435 <strong>\u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438<\/strong>, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c <strong>\u0441\u043a\u043e\u043c\u0431\u0438\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c<\/strong> \u0438\u0445 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435.<\/p>\n<p><strong>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440<\/strong>, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0434\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0434\u043e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 <strong>100P<\/strong> \u0432 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0435 \u0432\u044b\u0448\u0435, \u043c\u044b <strong>\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c<\/strong> \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 <strong>64P<\/strong> \u043d\u0430 <strong>2<\/strong>. \u0422\u043e\u0447\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043c\u044b \u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043d\u0430\u0447\u0430\u0442\u044c \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u0437\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u043e\u0439, \u043f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u043d\u0430 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u0445 \u044d\u0442\u043e \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a \u0436\u0435 \u0437\u0430\u043d\u044f\u043b\u043e \u0431\u044b <strong>\u043c\u0438\u043b\u043b\u0438\u0430\u0440\u0434\u044b \u043c\u0438\u043b\u043b\u0438\u0430\u0440\u0434\u043e\u0432 \u043b\u0435\u0442<\/strong>. \u0412\u043e\u0442 \u0447\u0442\u043e <strong>\u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b<\/strong> \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c:<\/p>\n<p>96P = 64P + 32P<br \/>100P = 96P + 4P<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u0438\u0445 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0439, \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0445\u0440\u0430\u043d\u0438\u0442\u044c \u0432\u0441\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438, \u0430 \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043c\u044b \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u043d\u0430 2 \u2014 \u043f\u043e \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c <strong>\u043d\u0430\u0438\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u0435 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0438\u0435<\/strong> \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043a\u0430\u043a \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u0435 \u0434\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0434\u043e \u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u0435\u043c\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438.<\/p>\n<p>\u042d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u0430\u044f \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f:<\/p>\n<pre><code class=\"python\">def multiply(self, times):         current_point = self         current_coefficient = 1          pervious_points = []         while current_coefficient &lt; times:             # \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u044f\u0435\u043c \u0442\u0435\u043a\u0443\u0449\u0443\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u0432 \u043b\u0438\u0441\u0442\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0438\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a             pervious_points.append((current_coefficient, current_point))             # \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u0442\u0435\u043a\u0443\u0449\u0443\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u043d\u0430 2, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0435\u043c             if 2 * current_coefficient &lt;= times:                 current_point = current_point.add(current_point)                 current_coefficient = 2 * current_coefficient             # \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430 2, \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u043d\u0430\u0438\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0443\u044e \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0443\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443, \u0438 \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c \u0442\u0435\u043a\u0443\u0449\u0443\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u0441 \u043d\u0435\u0439             else:                 next_point = self                 next_coefficient = 1                 for (previous_coefficient, previous_point) in pervious_points:                     if previous_coefficient + current_coefficient &lt;= times:                         if previous_point.x != current_point.x:                             next_coefficient = previous_coefficient                             next_point = previous_point                 current_point = current_point.add(next_point)                 current_coefficient = current_coefficient + next_coefficient          return current_point<\/code><\/pre>\n<h4>\u041d\u0430 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u043c\u044b \u043d\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u043b\u0438 \u043a\u043e\u0434 \u0434\u043b\u044f \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e, \u0447\u0442\u043e \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u043e \u0434\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 IV. \u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u0435\u043c \u0441\u0430\u043c \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0446\u0438\u0444\u0440\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0438 \u0438\u0437 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 IV:<\/h4>\n<p>\u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u0430 <strong>secp256k1<\/strong>:<\/p>\n<pre><code class=\"python\">secp256k1_curve_config = {     'a': 0,     'b': 7,     'p': 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007908834671663 } x = 55066263022277343669578718895168534326250603453777594175500187360389116729240 y = 32670510020758816978083085130507043184471273380659243275938904335757337482424 n = 115792089237316195423570985008687907852837564279074904382605163141518161494337 gp_point = Point(x, y, secp256k1_curve_config)<\/code><\/pre>\n<p>\u042f \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u0432 \u0434\u0435\u0441\u044f\u0442\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0435 \u0441\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0442\u044b \u0432\u043e\u0441\u043f\u0440\u0438\u044f\u0442\u0438\u044f.<\/p>\n<p><strong>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0438 \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u043d\u044b\u043c \u043a\u043b\u044e\u0447\u043e\u043c:<\/strong><\/p>\n<pre><code class=\"python\">def sign_message(message, private_key):     k = random.randint(1, n)     r_point = gp_point.multiply(k)     r = r_point.x % n     if r == 0:         return sign_message(message, private_key)     k_inverse = find_inverse(k, n)     s = k_inverse * (message + r * private_key) % n     return r, s<\/code><\/pre>\n<p><strong>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u043a\u0438 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0438:<\/strong><\/p>\n<pre><code class=\"python\">def verify_signature(signature, message, public_key):     (r, s) = signature     s_inverse = find_inverse(s, n)     u = message * s_inverse % n     v = r * s_inverse % n     c_point = gp_point.multiply(u).add(public_key.multiply(v))     return c_point.x == r<\/code><\/pre>\n<p>\u0412\u044b\u0431\u0435\u0440\u0435\u043c \u043a\u0430\u043a\u043e\u0435-\u043d\u0438\u0431\u0443\u0434\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u0434\u043b\u044f <strong>PrivateKey<\/strong>: <strong>123456789012345<\/strong><\/p>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c <strong>message<\/strong> \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 <strong>12345<\/strong><\/p>\n<p>\u041f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u0435, \u043a\u0430\u043a \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u043f\u0443\u0431\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043b\u044e\u0447 \u0438\u0437 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e?<\/p>\n<pre><code class=\"python\">private_key = 123456789012345  # \u043b\u044e\u0431\u043e\u0435 \u0440\u0430\u043d\u0434\u043e\u043c\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e message = 12345  # \u043b\u044e\u0431\u043e\u0435 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e public_key = gp_point.multiply(private_key)<\/code><\/pre>\n<p>\u0410 \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0435\u043c \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c:<\/p>\n<pre><code class=\"python\">signature = sign_message(message, private_key) print('Signature: ', signature) print('Is valid: ', verify_signature(signature, message, public_key))<\/code><\/pre>\n<p><strong>\u0420\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442! \u041f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0439\u0442\u0435 \u0441\u0430\u043c\u0438 \u0440\u0443\u043a\u0430\u043c\u0438 \u043f\u043e\u0434\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u044c, \u043e\u0440\u0438\u0433\u0438\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u043b\u0438 \u043a\u043b\u044e\u0447\u0438, \u0438 \u0443\u0431\u0435\u0434\u0438\u0442\u0435\u0441\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u043e!<\/strong><\/p>\n<h4>\u041f\u043e\u043b\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u0434:<\/h4>\n<pre><code class=\"python\">import random   def find_inverse(number, modulus):     return pow(number, -1, modulus)   class Point:     def __init__(self, x, y, curve_config):         a = curve_config['a']         b = curve_config['b']         p = curve_config['p']          if (y ** 2) % p != (x ** 3 + a * x + b) % p:             raise Exception(\"The point is not on the curve\")          self.x = x         self.y = y         self.curve_config = curve_config      def is_equal_to(self, point):         return self.x == point.x and self.y == point.y      def add(self, point):         p = self.curve_config['p']          if self.is_equal_to(point):             slope = (3 * point.x ** 2) * find_inverse(2 * point.y, p) % p         else:             slope = (point.y - self.y) * find_inverse(point.x - self.x, p) % p          x = (slope ** 2 - point.x - self.x) % p         y = (slope * (self.x - x) - self.y) % p         return Point(x, y, self.curve_config)      def multiply(self, times):         current_point = self         current_coefficient = 1          pervious_points = []         while current_coefficient &lt; times:             # \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u044f\u0435\u043c \u0442\u0435\u043a\u0443\u0449\u0443\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u0432 \u043b\u0438\u0441\u0442\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0438\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a             pervious_points.append((current_coefficient, current_point))             # \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u0442\u0435\u043a\u0443\u0449\u0443\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u043d\u0430 2, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0435\u043c             if 2 * current_coefficient &lt;= times:                 current_point = current_point.add(current_point)                 current_coefficient = 2 * current_coefficient             # \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430 2, \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u043d\u0430\u0438\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0443\u044e \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0443\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443, \u0438 \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c \u0442\u0435\u043a\u0443\u0449\u0443\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u0441 \u043d\u0435\u0439             else:                 next_point = self                 next_coefficient = 1                 for (previous_coefficient, previous_point) in pervious_points:                     if previous_coefficient + current_coefficient &lt;= times:                         if previous_point.x != current_point.x:                             next_coefficient = previous_coefficient                             next_point = previous_point                 current_point = current_point.add(next_point)                 current_coefficient = current_coefficient + next_coefficient          return current_point   secp256k1_curve_config = {     'a': 0,     'b': 7,     'p': 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007908834671663 } x = 55066263022277343669578718895168534326250603453777594175500187360389116729240 y = 32670510020758816978083085130507043184471273380659243275938904335757337482424 n = 115792089237316195423570985008687907852837564279074904382605163141518161494337 gp_point = Point(x, y, secp256k1_curve_config)   def sign_message(message, private_key):     k = random.randint(1, n)     r_point = gp_point.multiply(k)     r = r_point.x % n     if r == 0:         return sign_message(message, private_key)     k_inverse = find_inverse(k, n)     s = k_inverse * (message + r * private_key) % n     return r, s   def verify_signature(signature, message, public_key):     (r, s) = signature     s_inverse = find_inverse(s, n)     u = message * s_inverse % n     v = r * s_inverse % n     c_point = gp_point.multiply(u).add(public_key.multiply(v))     return c_point.x == r   # \u0422\u0435\u0441\u0442\u044b \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c private_key = 123456789012345  # \u043b\u044e\u0431\u043e\u0435 \u0440\u0430\u043d\u0434\u043e\u043c\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e message = 12345  # \u043b\u044e\u0431\u043e\u0435 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e public_key = gp_point.multiply(private_key)  signature = sign_message(message, private_key) print('Signature: ', signature) print('Is valid: ', verify_signature(signature, message, public_key))<\/code><\/pre>\n<h4>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043f\u043e\u043b\u043d\u0430\u044f \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 ECDSA \u0441 \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0433\u043e \u043d\u0443\u043b\u044f \u0437\u0430\u043d\u044f\u043b\u0430 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e 100 \u0441\u0442\u0440\u043e\u043a \u043a\u043e\u0434\u0430. \u0418 \u044d\u0442\u043e \u0430\u0431\u0441\u043e\u043b\u044e\u0442\u043d\u043e \u0442\u043e\u0442 \u0436\u0435 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c\u044e Bitcoin \u0438 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0445 \u0431\u043b\u043e\u043a\u0447\u0435\u0439\u043d\u043e\u0432!<\/h4>\n<h2>\u0427\u0430\u0441\u0442\u044c VI. Live Demo<\/h2>\n<p>\u041a\u0430\u043a \u0438 \u043e\u0431\u0435\u0449\u0430\u043b \u0432 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0435 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438, \u043f\u0443\u0431\u043b\u0438\u043a\u0443\u044e Live Demo, \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0449\u0435\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0438 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435\u043f\u0446\u0438\u0438, \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435. \u041f\u0430\u0440\u0430 \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u043e\u043a:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>\u0418\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0446\u0435\u043b\u044b\u043c\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c\u0438. \u041d\u043e \u044d\u0442\u043e \u0441\u043a\u0443\u0447\u043d\u043e. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432 \u0434\u0435\u043c\u043e \u0432\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442\u0435 \u043f\u043e \u0436\u0435\u043b\u0430\u043d\u0438\u044e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0445\u044d\u0448 \u043e\u0442 \u0441\u0442\u0440\u043e\u043a\u0438 (<a href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/SHA-2\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">sha256<\/a>) \u0432 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f. <em>\u0412\u0435\u0437\u0434\u0435 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u044d\u0442\u0430 \u0441\u0445\u0435\u043c\u0430.<\/em> \u041d\u043e \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442\u0435 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0438 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e, \u043a\u0430\u043a \u0432 \u043e\u0440\u0438\u0433\u0438\u043d\u0430\u043b\u0435.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>Bitcoin \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442 \u0441\u043b\u0435\u0433\u043a\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0442\u044b <a href=\"https:\/\/river.com\/learn\/terms\/s\/sec-format\/\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u043f\u0443\u0431\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u0439<\/a> \u0438 <a href=\"https:\/\/river.com\/learn\/terms\/d\/der\/\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0435\u0439<\/a>.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u041d\u0438\u043a\u043e\u0433\u0434\u0430<\/strong> \u043d\u0435 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0439\u0442\u0435 \u043d\u0438\u0447\u0435\u0433\u043e \u0438\u0437 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0434\u0430\u043a\u0448\u0435\u043d\u0435! <strong>\u042d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0431\u0435\u0437\u043e\u043f\u0430\u0441\u043d\u043e<\/strong>. \u0411\u0430\u0437\u043e\u0432\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u0432 \u043a\u0440\u0438\u043f\u0442\u043e\u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u0438: \u043d\u0438\u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043d\u0435 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u0439 \u043d\u0438\u0447\u0435\u0433\u043e \u0441\u0432\u043e\u0438\u043c\u0438 \u0440\u0443\u043a\u0430\u043c\u0438 \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0434\u0430. \u041a\u0443\u0434\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0449\u0435 \u0438 \u0431\u0435\u0437\u043e\u043f\u0430\u0441\u043d\u0435\u0435 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c <a href=\"https:\/\/www.openssl.org\/\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f<\/a>.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<div class=\"tm-iframe_temp\" data-src=\"https:\/\/embedd.srv.habr.com\/iframe\/6346a55b1f2ba68d76c65ddf\" data-style=\"\" id=\"6346a55b1f2ba68d76c65ddf\" width=\"\"><\/div>\n<h4>\u0412 \u0437\u0430\u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435<\/h4>\n<p>\u041d\u0430\u0434\u0435\u044e\u0441\u044c, \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u044f \u0431\u044b\u043b\u0430 \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u043e\u0439 \u0434\u043b\u044f \u0432\u0430\u0441. \u041f\u043e \u043a\u0440\u0430\u0439\u043d\u0435\u0439 \u043c\u0435\u0440\u0435 \u044f \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u043b \u0432\u0441\u0451, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0435\u0451 \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u043e\u0439. \u0414\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u0441\u044c \u0435\u0439 \u0441 \u0434\u0440\u0443\u0437\u044c\u044f\u043c\u0438 \u0438 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0439\u0442\u0435 \u043b\u044e\u0431\u044b\u0435 \u0435\u0451 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0433\u0434\u0435 \u0443\u0433\u043e\u0434\u043d\u043e. \u0422\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u043e\u0436\u0430\u043b\u0443\u0439\u0441\u0442\u0430 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u044c\u0442\u0435 \u0441\u0441\u044b\u043b\u043a\u0443 \u043d\u0430 \u0441\u0430\u043c\u0443 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u044e.<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0435\u0441\u0442\u044c <a href=\"https:\/\/habr.com\/en\/post\/692072\/\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0430\u043d\u0433\u043b\u0438\u0439\u0441\u043a\u0430\u044f \u0432\u0435\u0440\u0441\u0438\u044f<\/a>.<\/p>\n<p><a href=\"mailto:exemak@gmail.com\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">exemak@gmail.com<\/a><\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/t.me\/exemak\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">t.me\/exemak<\/a><\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<div class=\"v-portal\" style=\"display:none;\"><\/div>\n<\/div>\n<p> <!----> <!----><br \/> \u0441\u0441\u044b\u043b\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u043e\u0440\u0438\u0433\u0438\u043d\u0430\u043b \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438 <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/post\/692842\/\"> https:\/\/habr.com\/ru\/post\/692842\/<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<div><\/div>\n<div id=\"post-content-body\">\n<div>\n<div class=\"article-formatted-body article-formatted-body article-formatted-body_version-2\">\n<div xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1999\/xhtml\">\n<p>\u041d\u0430 \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c \u0434\u0435\u043b\u0435, \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435 \u2014 \u0441\u0443\u043f\u0435\u0440 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0430\u044f \u0448\u0442\u0443\u043a\u0430. \u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0446\u0438\u0444\u0440\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0438, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430\u043d \u043d\u0430 \u0438\u0445 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430\u0445 (ECDSA) \u2014 \u0435\u0449\u0451 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0430\u044f \u0448\u0442\u0443\u043a\u0430. ECDSA \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u0432\u044b\u043c \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u043c \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0431\u043b\u043e\u043a\u0447\u0435\u0439\u043d\u043e\u0432 (\u0432\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u044f Bitcoin, Ethereum, \u2026). \u041d\u043e \u043d\u0435\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u044f \u043d\u0430 \u0442\u043e, \u0447\u0442\u043e \u044d\u0442\u043e \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0430\u044f \u0448\u0442\u0443\u043a\u0430, \u043a\u0440\u0430\u0439\u043d\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0433\u043e\u0434\u043d\u043e\u0435 \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043d\u0435\u0442\u0435, \u0438 \u0441\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c \u0432\u0441\u0435 \u043a\u0443\u0441\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043f\u0430\u0437\u043b\u0430 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435. \u0412 \u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u043c\u044b \u044d\u0442\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c. \u0412\u044b \u0434\u0430\u0436\u0435 \u043d\u0435 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u0435, \u043d\u0430\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0432\u0441\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e!<\/p>\n<p>\u041c\u044b \u043f\u0440\u043e\u0431\u0435\u0436\u0438\u043c\u0441\u044f \u0430\u0431\u0441\u043e\u043b\u044e\u0442\u043d\u043e \u043f\u043e \u0432\u0441\u0435\u043c \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435\u043f\u0446\u0438\u044f\u043c, \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u044b\u043c \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c \u0438 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c <strong>\u0441 \u043d\u0443\u043b\u044f<\/strong>. \u0412 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 <strong>\u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0447\u0430\u044f \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f<\/strong>, \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0449\u0430\u044f <strong>\u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e<\/strong> \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435\u043f\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b, \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435. \u0411\u0435\u0437 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0438\u0445 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439.<\/p>\n<p>\u041c\u044b \u0441\u043c\u043e\u0436\u0435\u043c <strong>\u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u043f\u0443\u0431\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043b\u044e\u0447<\/strong> \u0438\u0437 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u043a\u043b\u044e\u0447\u0430, <strong>\u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435<\/strong> \u043f\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u043d\u044b\u043c \u043a\u043b\u044e\u0447\u043e\u043c, \u0438 <strong>\u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u044c \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u0430,<\/strong> \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044f \u043f\u0443\u0431\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043b\u044e\u0447. \u0418 \u0437\u0430\u0439\u043c\u0451\u0442 \u044d\u0442\u043e \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u043b\u0438\u0448\u044c 100 \u0441\u0442\u0440\u043e\u043a \u043a\u043e\u0434\u0430. \u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u0432 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 <strong>\u0434\u0435\u043c\u043e<\/strong> \u0432 CodeSandbox, \u0441 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u043c \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043f\u043e\u0438\u0433\u0440\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f.<\/p>\n<p>\u0412 \u043f\u0435\u0440\u0432\u0443\u044e \u043e\u0447\u0435\u0440\u0435\u0434\u044c \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u044f \u043d\u0430\u0446\u0435\u043b\u0435\u043d\u0430 \u043d\u0430 \u0440\u0430\u0437\u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0447\u0438\u043a\u043e\u0432, \u043a\u0430\u043a \u0438 \u044f \u0441\u0430\u043c, \u0436\u0435\u043b\u0430\u044e\u0449\u0438\u0445 \u043d\u0430\u043a\u043e\u043d\u0435\u0446-\u0442\u043e \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a \u0443\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0430 \u043a\u0440\u0438\u043f\u0442\u043e\u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u044f \u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0445, \u0438 \u0434\u0435\u043c\u0438\u0441\u0442\u0438\u0444\u0438\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u0438 \u043d\u0435\u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043e\u0447\u0435\u0442\u0430\u043d\u0438\u044f \u0441\u043b\u043e\u0432: <strong>\u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435<\/strong>, <strong>\u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0446\u0438\u0444\u0440\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0438 \u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0445<\/strong>, <strong>ECDSA<\/strong>, <strong>secp256k1<\/strong>, \u2026 \u041d\u043e \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u044f \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u0430 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0438 \u0432\u0441\u0435\u043c \u043e\u0441\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c. \u041e\u043d\u0430 \u043d\u0435 \u043f\u043e\u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u0435\u0442 \u043d\u0438\u0447\u0435\u0433\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435\u0433\u043e, \u0447\u0435\u043c \u0437\u043d\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0448\u043a\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0438.<\/p>\n<p>\u042f \u0440\u0435\u043a\u043e\u043c\u0435\u043d\u0434\u0443\u044e \u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c \u0435\u0451 \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u0437\u0430 \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c\u044e. \u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u044f \u0440\u0435\u043a\u043e\u043c\u0435\u043d\u0434\u0443\u044e \u0432\u0437\u044f\u0442\u044c \u043b\u0438\u0441\u0442\u043e\u043a \u0431\u0443\u043c\u0430\u0433\u0438 \u0438 \u043a\u0430\u0440\u0430\u043d\u0434\u0430\u0448, \u0438 \u043f\u043e\u0432\u0442\u043e\u0440\u0438\u0442\u044c \u0432\u0441\u0435 \u0448\u0430\u0433\u0438, \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432 \u043d\u0435\u0439. \u0422\u0430\u043a \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0435\u0449\u0451 \u043a\u0440\u0443\u0447\u0435! \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u044b \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0441\u0442 \u2014 \u044f \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0440\u0435\u043a\u043e\u043c\u0435\u043d\u0434\u0443\u044e \u043d\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u043a\u043e\u0434 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043d\u0435\u0442, \u043d\u0438\u0447\u0435\u0433\u043e \u0441\u0442\u0440\u0430\u0448\u043d\u043e\u0433\u043e!<\/p>\n<p>\u0421\u0442\u0430\u0442\u044c\u044f \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0438\u0437 6 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439. \u041a\u0430\u0436\u0434\u0430\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435\u043f\u0446\u0438\u0438 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0438\u0445 (\u0438\u0441\u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435: \u0427\u0430\u0441\u0442\u044c II):<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>\u0427\u0430\u0441\u0442\u044c I: \u0427\u0442\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0437\u043d\u0430\u0442\u044c \u043e\u0431 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0445<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0427\u0430\u0441\u0442\u044c II: \u0427\u0442\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0437\u043d\u0430\u0442\u044c \u043e \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043b\u044f\u0445<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0427\u0430\u0441\u0442\u044c III: \u042d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043b\u044f\u0445<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0427\u0430\u0441\u0442\u044c IV: \u041f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435: \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0446\u0438\u0444\u0440\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0438\u0441\u0438<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0427\u0430\u0441\u0442\u044c V: \u0420\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0427\u0430\u0441\u0442\u044c VI: Live Demo<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u041d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u0435\u043c!<\/p>\n<h2>\u0427\u0430\u0441\u0442\u044c I. \u0427\u0442\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0437\u043d\u0430\u0442\u044c \u043e\u0431 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0445<\/h2>\n<p>\u0421\u043a\u043e\u0440\u0435\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e, \u043c\u044b \u0432\u0441\u0435 \u0442\u0430\u043a \u0438\u043b\u0438 \u0438\u043d\u0430\u0447\u0435 \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c\u044b \u0441 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430\u043c\u0438 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u044f\u0445, \u0433\u0434\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f <strong>y<\/strong> \u043a\u0430\u043a\u0438\u043c-\u0442\u043e \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 <strong>x<\/strong>. \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, <strong>y = x<\/strong> ,\u00a0<strong>y = x\u00b2<\/strong>, \u0438 \u0442\u0430\u043a \u0434\u0430\u043b\u0435\u0435. \u0421\u043a\u043e\u0440\u0435\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e, \u043c\u044b \u0432\u0441\u0435 \u0438\u043c\u0435\u043b\u0438 \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439-\u0442\u043e \u043e\u043f\u044b\u0442 \u0441 \u043d\u0438\u043c\u0438. \u0412\u043e\u0442 \u043e\u043d\u0438:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0423\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 <strong>\u043d\u0435 \u0441\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f<\/strong>! <br \/>\u041e\u043d\u043e \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443 <strong>y\u00b2 = x\u00b3 + ax + b. \u0427\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 a \u0438 b? \u041b\u044e\u0431\u044b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0430\u043d\u0442\u044b. \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0432 \u044d\u043b\u043b\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 \u0431\u0438\u0442\u043a\u043e\u0439\u043d\u0430 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f a = 0, b = 7:<\/strong><\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u042d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435 \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 3 \u0441\u0443\u043f\u0435\u0440 \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430, \u043d\u0430 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u0432\u0441\u0451 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442:<\/p>\n<blockquote>\n<p>\u041d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u044d\u0442\u0430\u043f\u0435 \u0432\u0441\u0451 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0435\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a\u0430\u044f-\u0442\u043e \u0431\u0435\u0441\u0441\u043c\u044b\u0441\u043b\u0438\u0446\u0430. \u0411\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441 \u201c<a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=kJbZe-Fbkj4\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u043f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443?<\/a>\u201d. \u041d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0448\u0443 \u0434\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u043c\u043d\u0435 \u043d\u0435\u043d\u0430\u0434\u043e\u043b\u0433\u043e, \u0438 \u0432\u044b \u0443\u0432\u0438\u0434\u0438\u0442\u0435, \u0447\u0442\u043e <strong>\u044d\u0442\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442<\/strong>!<\/p>\n<\/blockquote>\n<ol>\n<li>\n<p><strong>\u042d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435 \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u044b \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u0441\u0438 x<\/strong>. <br \/>\u042d\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0434\u043b\u044f <strong>\u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439<\/strong> <strong>\u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 A,<\/strong> \u043b\u0435\u0436\u0430\u0449\u0435\u0439 \u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0435\u0451 \u043e\u0442\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435, <u>\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u043c\u044b \u043d\u0430\u0437\u043e\u0432\u0451\u043c<\/u><strong><u> -A<\/u>:<\/strong><\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u041b\u044e\u0431\u0430\u044f \u043f\u0440\u044f\u043c\u0430\u044f \u043b\u0438\u043d\u0438\u044f<\/strong> (\u043a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0432\u0435\u0440\u0442\u0438\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439) <strong>\u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043a\u0430\u0435\u0442 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u043a\u0440\u0438\u0432\u0443\u044e \u0440\u043e\u0432\u043d\u043e \u0432 3 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u0445<\/strong>. <br \/>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u043f\u0440\u044f\u043c\u0443\u044e \u043b\u0438\u043d\u0438\u044e \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 <strong>\u043b\u044e\u0431\u044b\u0435 \u0434\u0432\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 A \u0438 B<\/strong>, \u043b\u0435\u0436\u0430\u0449\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439, \u043c\u044b <strong>\u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430<\/strong> \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c <strong>\u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0442\u0440\u0435\u0442\u0435\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435<\/strong>. \u0418\u0441\u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435: \u0432\u0435\u0440\u0442\u0438\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043b\u0438\u043d\u0438\u044f. <\/p>\n<p><u>\u041c\u044b \u043d\u0430\u0437\u043e\u0432\u0451\u043c \u0442\u0440\u0435\u0442\u044c\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 <\/u><strong><u>\u2014C<\/u>.<\/strong> \u0412 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0438\u0438 \u0441 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0438\u043c \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e\u043c, \u043d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0435\u0451 <strong><em>\u043e\u0442\u0440\u0430\u0437\u0438\u0442\u044c<\/em><\/strong>, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c <strong>C:<\/strong><\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0415\u0449\u0451 \u043e\u0434\u0438\u043d \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p><u>\u041c\u044b \u043d\u0430\u0437\u043e\u0432\u0451\u043c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 <\/u><strong><u>C<\/u><\/strong><u> \u0441\u0443\u043c\u043c\u043e\u0439 <\/u><strong><u>A<\/u><\/strong><u> \u0438 <\/u><strong><u>B<\/u><\/strong>. \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, C = A + B<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u041a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043a \u043b\u044e\u0431\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 A \u043d\u0430 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439, \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043a\u0430\u0435\u0442 \u043a\u0440\u0438\u0432\u0443\u044e \u0440\u043e\u0432\u043d\u043e \u0432 \u0435\u0449\u0451 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435.<\/strong><em> <br \/><\/em><u>\u041c\u044b \u043d\u0430\u0437\u043e\u0432\u0451\u043c \u044d\u0442\u0443 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 <\/u><strong><u>-2A<\/u><\/strong>. \u041c\u044b \u0443\u0436\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0435\u043c, \u043a\u0430\u043a \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c <strong><em>2A<\/em><\/strong>:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p>\u041b\u0435\u0433\u0447\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u043a\u0430\u0441\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043a \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 <strong>A<\/strong> \u043d\u0430 \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c \u0434\u0435\u043b\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043a\u0430\u0435\u0442 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 <strong>A<\/strong> <strong>\u0434\u0432\u0430\u0436\u0434\u044b<\/strong> \u043d\u0430 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u043e\u043c \u0440\u0430\u0441\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0438. \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c \u0432\u0441\u0451 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e: \u043f\u0440\u044f\u043c\u0430\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043a\u0430\u0435\u0442 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 <strong>A, A<\/strong> \u0438 <strong>-2A<\/strong>, \u043a\u0430\u043a \u0432 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0435\u043c \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435.<\/p>\n<p>\u0413\u043e\u0442\u043e\u0432\u043e! \u041c\u044b \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043b\u0438 3 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0445, \u043d\u0430 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u0432\u0441\u0451 \u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u0441\u044f: \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 -1, \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 2.<\/p>\n<h4>\u041f\u043e\u043a\u0430 \u0447\u0442\u043e \u043d\u0438\u0447\u0435\u0433\u043e \u043d\u0435 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u043e, \u043d\u043e \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u0432\u0441\u0451 \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c!<\/h4>\n<p>\u0423 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0432\u043e\u0442 \u0442\u0430\u043a\u0430\u044f \u043a\u0430\u0440\u0442\u0438\u043d\u0430 \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u043c\u0438 <strong>A<\/strong>, <strong>2A<\/strong>, <strong>-2A<\/strong>:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u041d\u0430\u0447\u0435\u0440\u0442\u0438\u043c \u043f\u0440\u044f\u043c\u0443\u044e \u043b\u0438\u043d\u0438\u044e \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u043c\u0438 <strong>A<\/strong> \u0438 <strong>2A<\/strong>. \u0422\u043e, \u0447\u0442\u043e \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c (\u0432 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0438\u0438 \u0441 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430\u043c\u0438 \u0432\u044b\u0448\u0435): <strong>-3A<\/strong>. \u0410 \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043c\u044b \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e <strong>\u043e\u0442\u0440\u0430\u0437\u0438\u043c<\/strong> <strong>-3A<\/strong>, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c <strong>3A<\/strong>:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u042f \u0443\u0432\u0435\u0440\u0435\u043d, \u0447\u0442\u043e \u0432\u0441\u0451 \u0435\u0449\u0451 \u043d\u0435 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u043e, \u0437\u0430\u0447\u0435\u043c \u043c\u044b \u0432\u0441\u0451 \u044d\u0442\u043e \u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c. \u041f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u0442\u0435 \u043d\u0430 \u0435\u0449\u0451 \u043e\u0434\u0438\u043d \u0448\u0430\u0433. \u0427\u0442\u043e, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043c\u044b \u043d\u0430\u0447\u0435\u0440\u0442\u0438\u043c \u043f\u0440\u044f\u043c\u0443\u044e \u043b\u0438\u043d\u0438\u044e \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 <strong>3A<\/strong> \u0438 <strong>-2A<\/strong>?<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p><strong>\u0412\u0438\u0434\u0438\u0442\u0435 \u043c\u0430\u0433\u0438\u044e?<\/strong>  \u041c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043b\u0438 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 <strong>-A<\/strong>, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0442\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043d\u0430\u0448\u0435\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 <strong>A<\/strong>, \u0441 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043c\u044b \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u043b\u0438. <strong>3A + (-2A) = A.<\/strong><\/p>\n<h3>\u0412\u0441\u0451 \u044d\u0442\u043e \u2014 \u201c\u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u201d \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0445<\/h3>\n<p><strong>\u041f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043f\u043e\u0441\u0442\u0430\u0440\u0430\u0439\u0442\u0435\u0441\u044c \u043e\u0441\u043e\u0437\u043d\u0430\u0442\u044c \u043c\u043e\u0449\u044c \u044d\u0442\u0438\u0445 \u0442\u0440\u0451\u0445 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439<\/strong>: \u0444\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438, \u0441\u0435\u0439\u0447\u0430\u0441 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043e\u043f\u0435\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u043c\u0438 \u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439 \u0442\u0430\u043a, <strong>\u0431\u0443\u0434\u0442\u043e \u043e\u043d\u0438 \u043d\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438, \u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430<\/strong>!<\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e \u043c\u044b <strong>\u043c\u043e\u0436\u0435\u043c<\/strong> \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u043c\u0438 \u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>\u0421\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a <strong>A+B<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0412\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a. <strong>A-B<\/strong>, \u0447\u0442\u043e \u043f\u043e \u0441\u0432\u043e\u0435\u0439 \u0441\u0443\u0442\u0438 <strong>A + (-B)<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0421\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a (\u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u0434\u0432\u0430): <strong>A+A<\/strong> = <strong>2A<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u0423\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0435 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e (\u043a\u043e\u043c\u0431\u0438\u043d\u0438\u0440\u0443\u044f \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043b\u0435\u0433\u043a\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u043b\u044e\u0431\u043e\u0435 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e * \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443).<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u0427\u0442\u043e \u043c\u044b <strong>\u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c<\/strong> \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u043c\u0438 \u043d\u0430 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>\u0423\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a \u0434\u0440\u0443\u0433 \u043d\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0430<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0414\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u0414\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c, \u043a\u0430\u043a \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u043d\u0430 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0435 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e.<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c <strong>10A<\/strong>:<br \/><em>2A = A + A<br \/>4A = 2A + 2A<br \/>8A = 4A + 4A<br \/>10A = 8A + 2A<\/em><\/p>\n<p><em>\u0425\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c <\/em><strong><em>\u043b\u044e\u0431\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e * \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443<\/em><\/strong><em> \u0437\u0430 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439. \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439 \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c <\/em><strong><em>n * \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 = log2(n)<\/em><\/strong><\/p>\n<p>\u0412 \u0438\u0442\u043e\u0433\u0435 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u043b\u044e\u0431\u043e\u0435 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043d\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443, \u043d\u043e \u043d\u0435 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043d\u0430\u0437\u0430\u0434! \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435 \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u0438 \u0434\u043b\u044f \u043a\u0440\u0438\u043f\u0442\u043e\u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u0438!<\/p>\n<p>\u041d\u0435\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0435 \u043d\u0435\u0443\u0434\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u043e \u043d\u0430 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442: \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c \u0447\u0435\u0440\u0442\u0438\u0442\u044c \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0438. \u041a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u0436\u0435, \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0434\u043b\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f -1 * \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443, \u0434\u043b\u044f \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a, \u0438 \u0434\u043b\u044f \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 2:<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p><strong>\u0423\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 A \u043d\u0430 -1<\/strong>.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 <strong>A(x, y)<\/strong>, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043b\u0435\u0433\u043a\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c <strong>-A<\/strong> \u043f\u0443\u0442\u0451\u043c \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0435\u0451 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u044b <strong>y<\/strong> \u043d\u0430 <strong>-1<\/strong>. <strong>-A(x, -y)<\/strong>. <\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b:<br \/>1) <strong>-1 * A(2, 2) \u2192 -A(2, -2)<br \/><\/strong>2)<strong> -1 * A(1, -1) \u2192 -A(1, 1)<br \/><\/strong>3)<strong> -1 * A(5, 8) \u2192 -A(5, -8)<br \/><\/strong>4)<strong> -1 * A(5, -8) \u2192 -A(5, 8)<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u0421\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a A + B<\/strong>.<\/p>\n<p>\u041c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043b\u0435\u0433\u043a\u043e \u0441\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u0434\u0432\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043f\u0440\u0438 \u043e\u0434\u043d\u043e\u043c \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0438: \u043e\u043d\u0438 <strong>\u043d\u0435 \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u044b<\/strong> \u043b\u0435\u0436\u0430\u0442\u044c \u043d\u0430 <strong>\u0432\u0435\u0440\u0442\u0438\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043b\u0438\u043d\u0438\u0438<\/strong>. \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u0438\u0445 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u044b <strong>x<\/strong> \u043d\u0435 \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u044b \u0431\u044b\u0442\u044c \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u043c\u0438. \u0412\u043e\u0442 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a <strong>A + B = C<\/strong>:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u0421\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a (\u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 A \u043d\u0430 2)<\/strong>.<\/p>\n<p>\u041e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0430 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0443\u044e:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<h4>\u0413\u043e\u0442\u043e\u0432\u043e! \u0412\u0440\u0435\u043c\u044f \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0438<\/h4>\n<p>\u041f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0435\u043c \u0441\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 <strong>A(3.096, 6.055)<\/strong> \u0438 <strong>B(-1.650, 1.581)<\/strong> \u0441 \u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0418\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0432 3 \u0437\u043d\u0430\u043a\u0430 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0437\u0430\u043f\u044f\u0442\u043e\u0439. \u0412 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0438\u0438 \u0441 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u043e\u0439 \u0434\u043b\u044f \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a (<strong>\u043f\u0443\u043d\u043a\u0442 2<\/strong> \u0432\u044b\u0448\u0435):<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 <strong>C<\/strong> \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p><strong>\u042d\u0442\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442!<\/strong> \u0414\u0430, \u0441 \u043d\u0435\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0439 \u043d\u0435\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0438\u0437-\u0437\u0430 \u043e\u043a\u0440\u0443\u0433\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043d\u043e \u044d\u0442\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442! \u041c\u043e\u0436\u0435\u0442\u0435 \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441\u0430\u043c\u0438!<\/p>\n<h4>\u042d\u0442\u043e \u0431\u044b\u043b\u043e \u0432\u0441\u0451, \u0447\u0442\u043e \u043d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0437\u043d\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435 \u0438 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0430\u0434 \u043d\u0438\u043c\u0438!<\/h4>\n<p>\u0412\u0441\u0451 \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u043d\u043e, \u043d\u043e \u043f\u043e\u043a\u0430 \u0447\u0442\u043e \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0438\u044f \u043a\u0440\u0438\u043f\u0442\u043e\u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b <strong>\u043d\u0435 \u0445\u0432\u0430\u0442\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0430\u0440\u044b \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432<\/strong>.<\/p>\n<h2>\u0427\u0430\u0441\u0442\u044c II. \u0427\u0442\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0437\u043d\u0430\u0442\u044c \u043e \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043b\u044f\u0445<\/h2>\n<p>\u041f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0434\u0435\u043b\u043e, \u043c\u044b \u043d\u0435 \u0441\u043e\u0431\u0438\u0440\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0438\u0437\u0443\u0447\u0430\u0442\u044c <a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=nm_o0IS2gK4\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0442\u0435\u043e\u0440\u0438\u044e \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043b\u0435\u0439<\/a>. \u0412\u0441\u0451, \u0447\u0442\u043e \u043d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0437\u043d\u0430\u0442\u044c <strong>\u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e<\/strong> \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432, \u0438 \u043d\u0430\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0441\u043e \u0441\u0432\u043e\u0435\u0433\u043e \u0440\u043e\u0434\u0430 \u201c\u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u043e\u0439\u201d \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043b\u0435\u0439, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0434\u0432\u0438\u0433\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435.<\/p>\n<blockquote>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0443\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438\u0442\u044c, \u0442\u043e \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0435 \u043f\u043e\u043b\u044f \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c <strong>\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u0435<\/strong> \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0442\u044c, \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c, \u0438 <strong>\u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0438\u0442 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u044b\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c<\/strong>. \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u043a\u0430\u0437\u0443\u0435\u043c\u043e, \u0432\u043e\u0441\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e \u0438 \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e.<\/p>\n<\/blockquote>\n<p>\u0421\u043a\u043e\u0440\u0435\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e, \u0432\u044b \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c\u044b \u0441 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0435\u0439 \u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043a\u043e\u043c. \u0412 \u044f\u0437\u044b\u043a\u0430\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043e\u043d\u0430 \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c <strong>%<\/strong> (\u0438\u043b\u0438 <strong>mod<\/strong>). \u0412\u043e\u0442 \u043a\u0430\u043a \u043e\u043d\u0430 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442:<\/p>\n<p><strong>2 mod 11 = 2<br \/>10 mod 11 = 10<br \/>11 mod 11 = 0<br \/>13 mod 11 = 2<br \/>25 mod 11 = 3<\/strong><\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043e\u0442 0 \u0434\u043e 33 mod 11, \u0432\u043e\u0442 \u0447\u0442\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u0441\u044f: <strong><u>0<\/u>, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, <u>0<\/u>, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, <u>0<\/u>, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, <u>0<\/u><\/strong><\/p>\n<p><strong>\u0427\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043f\u043e\u0432\u0442\u043e\u0440\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e \u043a\u0440\u0443\u0433\u0443<\/strong> <strong>\u043a\u0430\u043a \u043d\u0430 \u0447\u0430\u0441\u0430\u0445<\/strong>. <code>\u041c\u044b \u043d\u0430\u0437\u043e\u0432\u0451\u043c \u044d\u0442\u043e \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u043c \u043f\u043e\u043b\u0435\u043c \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 11. <\/code><\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0437\u043d\u0430\u0442\u044c \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e 4 \u0432\u0430\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430:<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p><strong>\u041f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u043a \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<p><em>a<\/em><\/strong><em> * <\/em><strong><em>b<\/em><\/strong><em> * <\/em><strong><em>c<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>n<\/em><\/strong> <strong>\u044d\u0442\u043e \u0442\u043e \u0436\u0435 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0435<\/strong>, \u0447\u0442\u043e \u0438 <em>(<\/em><strong><em>a<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>n<\/em><\/strong><em>) * (<\/em><strong><em>b<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>n<\/em><\/strong><em>) * (<\/em><strong><em>c<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>n<\/em><\/strong><em>) mod <\/em><strong><em>n<\/em><\/strong>, <strong>\u0447\u0442\u043e \u0442\u043e \u0436\u0435 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0435, \u0447\u0442\u043e \u0438<\/strong> (<strong>a<\/strong> * <strong>b<\/strong> mod <strong>n<\/strong>) * <strong>c<\/strong> mod <strong>n<\/strong> \u0438\u043b\u0438  <strong><em>a<\/em><\/strong><em> * (<\/em><strong><em>b<\/em><\/strong><em> * <\/em><strong><em>c<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>n<\/em><\/strong><em>) mod <\/em><strong><em>n<br \/><\/em><br \/><\/strong>\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440:<br \/><strong><em>6<\/em><\/strong><em> * <\/em><strong><em>7<\/em><\/strong><em> * <\/em><strong><em>8<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>11<\/em><\/strong><em> = <\/em><strong><em>336<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>11<\/em><\/strong><em> = <\/em><strong><em><u>6<\/u><\/em><\/strong>, <strong>\u0442\u043e \u0436\u0435 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0435, \u0447\u0442\u043e \u0438<\/strong>:<br \/><em>(<\/em><strong><em>6<\/em><\/strong><em> * <\/em><strong><em>7<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>11<\/em><\/strong><em>) * <\/em><strong><em>8<\/em><\/strong><em> mod 11 = (<\/em><strong><em>42<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>11<\/em><\/strong><em>) * <\/em><strong><em>9<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>11<\/em><\/strong><em> = <\/em><strong><em>9<\/em><\/strong><em> * <\/em><strong><em>8<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>11<\/em><\/strong><em> = <\/em><strong><em>72<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>11<\/em><\/strong><em> = <u>6<\/u><\/em><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u041e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e mod n \u044d\u0442\u043e \u0442\u043e \u0436\u0435 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0435, \u0447\u0442\u043e \u0438 <br \/><em>n<\/em><\/strong><em> &#8212; (|<\/em><strong><em>\u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e<\/em><\/strong><em>| mod <\/em><strong><em>n<\/em><\/strong><em>)<\/em><\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b:<br \/>1) <strong>-4 mod 11<\/strong> = 11 &#8212; (4 mod 11) = <strong>11\u20134 = 7<br \/><\/strong>2) <strong>-7 mod 11 <\/strong>= 11 &#8212; (7 mod 11) = <strong>11\u20137 = 4<br \/><\/strong>3) <strong>-9 mod 11 <\/strong>= 11 &#8212; (9 mod 11) = <strong>11\u20139 = 2<br \/><\/strong>4) <strong>2 mod 11 <\/strong>= 11 &#8212; (2 mod 11) = <strong>11\u20132 = 9<br \/><\/strong>5) <strong>-13 mod 11 <\/strong>= 11 &#8212; (13 mod 11) = <strong>11\u20132 = 9<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u201c<\/strong><a href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%9E%D0%B1%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D0%BE_%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D1%83%D0%BB%D1%8E_%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\"><strong>\u041e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e<\/strong><\/a><strong>\u201d: \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 <em>a<\/em> \u0435\u0441\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e <em>b<\/em>, \u0447\u0442\u043e <em>a<\/em><\/strong><em> * <\/em><strong><em>b<\/em><\/strong><em> mod <\/em><strong><em>n<\/em><\/strong><em> = <\/em><strong><em>1<\/em><\/strong>.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 <strong>a * b mod 11 = 1<\/strong>, <strong>b<\/strong> \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f <strong>\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e\u043c<\/strong> \u043a <strong>a<\/strong> \u043f\u043e \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044e <strong>n<\/strong>, \u0438 \u043d\u0430\u043e\u0431\u043e\u0440\u043e\u0442: <strong>a<\/strong> \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e\u043c \u043a <strong>b<\/strong> \u043f\u043e \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044e <strong>n<\/strong>.<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b:<br \/>1) <strong>5 * x mod 11<\/strong> = 1. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043c\u044b \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0435\u043c \u043f\u043e\u0434\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c x \u043e\u0434\u043d\u0438\u043c \u0437\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u043c, \u043c\u044b \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043c <strong>x = 9<\/strong>. \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, <strong>9 &#8212; \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043a 5 \u043f\u043e \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044e 11<\/strong>. \u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443? <strong>5 * 9 = 45<\/strong>, <strong>45 mod 11 = 1<\/strong>.<br \/>2) <strong>7 * x mod 11 = 1<\/strong>. \u041f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0435\u043c \u0441\u043d\u043e\u0432\u0430 \u043f\u043e\u0434\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c <strong>x<\/strong> \u043f\u0435\u0440\u0435\u0431\u043e\u0440\u043e\u043c \u0438 \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043c <strong>x = 8<\/strong>. <br \/><strong>8 &#8212; \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043a 7 \u043f\u043e \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044e 11.<\/strong> (<strong>7*8 = 56, 56 mod 11 = 1<\/strong>)<br \/>3) <strong>10 * x mod 11 = 1. x = 10.<\/strong> \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, <strong>10<\/strong> &#8212; \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043a <strong>10<\/strong> \u043f\u043e \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044e <strong>11<\/strong>. (<strong>10 * 10 = 100, 100 mod 11 = 1<\/strong>)<\/p>\n<p><em>\u041e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e <\/em><a href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%A0%D0%B0%D1%81%D1%88%D0%B8%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%95%D0%B2%D0%BA%D0%BB%D0%B8%D0%B4%D0%B0\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\"><em>\u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0415\u0432\u043a\u043b\u0438\u0434\u0430<\/em><\/a><em>. \u041d\u043e \u0442.\u043a. \u044d\u0442\u043e \u0442\u0435\u043c\u0430 \u0434\u043b\u044f \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438, \u043f\u043e\u043a\u0430 \u0447\u0442\u043e \u043c\u044b \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0433\u0440\u0443\u0431\u044b\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0431\u043e\u0440.<\/em><\/p>\n<p><em>\u0422\u0430\u043a\u0436\u0435, \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 n &#8212; \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e.<\/em><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u0414\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0442\u043e \u0436\u0435 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0435, \u0447\u0442\u043e \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e.<\/strong><\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p>\u0422\u0430\u043a \u0447\u0442\u043e, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043f\u043e \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044e, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0437\u0430\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e. \u041f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440:<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p><em>\u0412\u0430\u0436\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442: \u0442.\u043a. \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 n &#8212; \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e, \u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0442\u043e\u0436\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 n &#8212; \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e. <\/em><\/p>\n<p>\u0413\u043e\u0442\u043e\u0432\u043e! \u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043c\u044b \u0437\u043d\u0430\u0435\u043c, \u043a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0441 \u201c\u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u043e\u0439\u201d \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u043b\u044f \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 n!<\/p>\n<h2>\u0427\u0430\u0441\u0442\u044c III. \u042d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043b\u044f\u0445<\/h2>\n<p>\u041d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u044d\u0442\u0430\u043f\u0435 \u0432\u0441\u0451 \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u0430\u0435\u0442 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0435\u0442\u044c \u0447\u0443\u0442\u044c \u043c\u0435\u043d\u0435\u0435 \u043e\u0447\u0435\u0432\u0438\u0434\u043d\u044b\u043c \u0438 \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u0447\u0443\u0442\u044c \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u0435\u0435 \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u044f. <strong>\u041d\u043e! \u042d\u0442\u043e \u2014 \u0440\u043e\u0432\u043d\u043e \u0442\u043e, \u043a\u0430\u043a \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0432\u044b\u0435 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043a\u0440\u0438\u043f\u0442\u043e\u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u0438!<\/strong> \u041d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c <strong>\u0440\u043e\u0432\u043d\u043e \u0442\u043e, \u0447\u0442\u043e \u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u043e \u0432 \u043d\u0430\u0437\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438<\/strong>: \u043f\u043e\u043c\u0435\u0441\u0442\u0438\u0442\u044c \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u043a\u0440\u0438\u0432\u0443\u044e \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0435.<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u0442 \u0442\u0430\u043a \u043f\u043e\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><figcaption><\/figcaption><\/figure>\n<p><strong>\u0412\u0441\u0451 \u0440\u043e\u0432\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a \u0436\u0435<\/strong>, \u043a\u0430\u043a \u0432 \u201c\u043e\u0440\u0438\u0433\u0438\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439\u201d \u044d\u043b\u043b\u0438\u043f\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439, <strong>\u043d\u043e<\/strong><\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[],"tags":[],"class_list":["post-339593","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/339593","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=339593"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/339593\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=339593"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=339593"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=339593"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}