{"id":350551,"date":"2023-07-20T15:01:07","date_gmt":"2023-07-20T15:01:07","guid":{"rendered":"http:\/\/savepearlharbor.com\/?p=350551"},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T21:00:00","slug":"","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/savepearlharbor.com\/?p=350551","title":{"rendered":"<span>COQ: \u0432\u0435\u0440\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439, \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0449\u0438\u0445 fold_left<\/span>"},"content":{"rendered":"<div><\/div>\n<div id=\"post-content-body\">\n<div>\n<div class=\"article-formatted-body article-formatted-body article-formatted-body_version-2\">\n<div xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1999\/xhtml\">\n<p>\u0414\u0430\u043d\u043d\u0430\u044f \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u044f \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0430\u0434\u0430\u043f\u0442\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0443\u0441\u0441\u043a\u043e\u044f\u0437\u044b\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0441\u0438\u0435\u0439 \u043c\u043e\u0435\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438: <a href=\"https:\/\/formal-land.gitlab.io\/coq-tezos-of-ocaml\/blog\/2022\/05\/21\/fold-left\/\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\"><u>Handling fold_left in proofs<\/u><\/a>.<\/p>\n<p>\u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f <code>fold_left<\/code> , \u0441\u0432\u043e\u0440\u0430\u0447\u0438\u0432\u0430\u044e\u0449\u0430\u044f \u0441\u043f\u0438\u0441\u043e\u043a, \u0434\u043e\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u043f\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u0430 \u0432\u043e\u00a0\u043c\u043d\u043e\u0433\u0438\u0445 (\u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0438 \u043d\u0435\u00a0\u043e\u0447\u0435\u043d\u044c) \u044f\u0437\u044b\u043a\u0430\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u041e\u043d\u0430 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0438 \u0432\u00a0Haskell, \u0438 \u0432\u00a0OCaml \u0438 \u0432\u00a0Rust. \u0418\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0447\u0430\u0449\u0435, \u0447\u0435\u043c <code>fold_right<\/code>, \u0432\u0435\u0440\u043e\u044f\u0442\u043d\u043e \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443, \u0447\u0442\u043e\u00a0\u0441\u00a0\u0435\u0435 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043f\u0440\u043e\u0449\u0435 \u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u044d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u0434.<\/p>\n<p><code>fold_left<\/code> \u0438 <code>fold_right<\/code> \u0438\u0437\u00a0\u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a\u0438 <a href=\"https:\/\/v2.ocaml.org\/api\/List.html\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\"><u>OCaml library: List<\/u><\/a>.<\/p>\n<pre><code>val fold_left : ('a -> 'b -> 'a) -> 'a -> 'b list -> 'a  fold_left f init [b1; ...; bn] is f (... (f (f init b1) b2) ...) bn.  val fold_right : ('a -> 'b -> 'b) -> 'a list -> 'b -> 'b  fold_right f [a1; ...; an] init is f a1 (f a2 (... (f an init) ...)).  Not tail-recursive.<\/code><\/pre>\n<p>\u041d\u043e\u00a0\u0441 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0437\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438, \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u043b\u044f <code>fold_right<\/code> \u043f\u0440\u043e\u0449\u0435, \u0447\u0435\u043c \u0434\u043b\u044f <code>fold_left<\/code>. \u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443? \u041f\u0440\u0438\u0447\u0438\u043d\u0430 \u043a\u0440\u043e\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432\u043e\u00a0\u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0439 \u043e\u0440\u0433\u0430\u043d\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u044d\u0442\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439. \u0412\u00a0\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u044f \u043a\u0430\u043a\u00a0\u0438\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0434\u043b\u044f\u00a0\u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043e\u00a0\u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0430\u0445 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043a\u0430\u043a\u00a0\u0441\u043f\u0438\u0441\u043a\u0438. \u041a\u0430\u043a\u00a0\u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e, <code>fold_left<\/code>, \u0441\u0432\u0435\u0440\u043d\u0435\u0442 \u0441\u043f\u0438\u0441\u043e\u043a \u0441\u043b\u0435\u0432\u0430. \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043d\u0430\u00a0\u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043c \u0448\u0430\u0433\u0435 \u043e\u043d\u0430 \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u0438\u0442 \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0441\u043f\u0438\u0441\u043a\u0430 \u043a\u00a0\u0430\u043a\u043a\u0443\u043c\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440\u0443, \u0438 \u0434\u043b\u044f\u00a0\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0433\u043e \u0448\u0430\u0433\u0430 \u0438\u0442\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0430\u043a\u043a\u0443\u043c\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d. \u0410\u00a0\u044d\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e\u00a0\u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u043e\u043d\u043d\u0443\u044e \u0433\u0438\u043f\u043e\u0442\u0435\u0437\u0443 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0443\u0436\u0435 \u043d\u0435\u043b\u044c\u0437\u044f. \u0421\u00a0\u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u044b, \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f <code>fold_right<\/code> \u043d\u0435\u00a0\u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442 \u0430\u043a\u043a\u0443\u043c\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440 \u0434\u043e\u00a0\u0441\u0430\u043c\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u043d\u0446\u0430 \u0441\u0432\u043e\u0435\u0439 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b, \u0430\u00a0\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442 \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u043e\u043d\u043d\u0443\u044e \u0433\u0438\u043f\u043e\u0442\u0435\u0437\u0443 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u0432\u00a0\u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u0435.<\/p>\n<p>\u0423\u043d\u0438\u0432\u0435\u0440\u0441\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0448\u0430\u0431\u043b\u043e\u043d\u0430 \u0434\u043b\u044f\u00a0\u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c, \u0441\u00a0\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u043c\u0438 \u0441\u0442\u0430\u043b\u043a\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u0443\u0444\u2011\u0438\u043d\u0436\u0435\u043d\u0435\u0440, \u043f\u043e\u0434\u0432\u0435\u0440\u0433\u0430\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0441\u00a0fold_left, \u043d\u0435\u0442. \u041d\u0443\u0436\u043d\u043e\u00a0\u0431\u044b\u0442\u044c \u0438\u0437\u043e\u0431\u0440\u0435\u0442\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u0438 \u0445\u0438\u0442\u0440\u044b\u043c, \u0432\u0435\u0440\u0438\u0444\u0438\u0446\u0438\u0440\u0443\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0441\u00a0fold_left, \u043d\u043e\u00a0\u0442\u0435\u043c \u043d\u0435\u00a0\u043c\u0435\u043d\u0435\u0435 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u043f\u0430\u0440\u043e\u0447\u043a\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0442\u0435\u0445\u043d\u0438\u043a, \u0434\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435 \u0440\u0430\u0437\u0431\u0435\u0440\u0435\u043c \u0438\u0445 \u0432\u00a0\u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435.<\/p>\n<h2>\u041f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c fold_left \u043d\u0430 fold_right: \u0442\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0430 rewrite<\/h2>\n<p>\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c <code>rewrite<\/code>, \u043f\u0440\u0435\u0436\u0434\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0443\u0434\u043e\u0441\u0442\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e\u00a0\u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 <code>fold_left<\/code> \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u0430.<\/p>\n<p><strong><em>\u0417\u0430\u043c\u0435\u0442\u043a\u0430:<\/em><\/strong><em> \u0441\u00a0\u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0437\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0438, \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u0430, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0435\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u043c \u0432\u043d\u0435 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0442\u00a0\u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 \u0435\u0435 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432. \u0421\u0430\u043c\u044b\u043c \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043e\u043c \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0441\u043b\u0443\u0436\u0438\u0442\u044c \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u043b\u0438\u00a0\u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435.<\/em><\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u00a0\u043d\u0430\u0448\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u044d\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a, \u043c\u044b \u0441\u0442\u043e\u043b\u043a\u043d\u0443\u043b\u0438\u0441\u044c \u0441\u00a0\u0441\u0430\u043c\u044b\u043c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u044b\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443, \u0447\u0442\u043e\u00a0\u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0443 <code>fold_symmetric<\/code> \u0438\u0437\u00a0\u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a\u0438 <a href=\"https:\/\/www.cs.princeton.edu\/courses\/archive\/fall07\/cos595\/stdlib\/html\/Coq.Lists.List.html\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">Coq Lists library<\/a>.<\/p>\n<pre><code>  Theorem fold_symmetric :     forall (A : Type) (f : A -> A -> A),     (forall x y z : A, f x (f y z) = f (f x y) z) ->     forall (a0 : A), (forall y : A, f a0 y = f y a0) ->     forall (l : list A), fold_left f l a0 = fold_right f a0 l.<\/code><\/pre>\n<p>\u0412 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044f\u0445, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0441\u0432\u043e\u0440\u0430\u0447\u0438\u0432\u0430\u044e\u0449\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043d\u0435 \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u0430, \u043f\u0440\u0438\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0438\u0434\u0442\u0438 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u043c \u043f\u0443\u0442\u0435\u043c: \u0441\u043e\u0437\u0434\u0430\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441\u0438\u043c\u0443\u043b\u044f\u0446\u0438\u0438 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u043e\u0441\u043d\u0430\u0449\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 <code>fold_right<\/code>.<\/p>\n<p>\u041c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u0437\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0439 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0448\u0430\u0433\u043e\u0432:<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0441\u0438\u043c\u0443\u043b\u044f\u0446\u0438\u044e, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u0442 \u0442\u043e \u0436\u0435, \u0447\u0442\u043e \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0432\u0435\u0440\u0438\u0444\u0438\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f, \u043d\u043e \u0441 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c <code>fold_right<\/code><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0414\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439: \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 (\u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0449\u0435\u0439 \u0432 \u0441\u0432\u043e\u0435\u043c \u0442\u0435\u043b\u0435 <code>fold_left<\/code>) \u0438 \u0435\u0435 \u0441\u0438\u043c\u0443\u043b\u044f\u0446\u0438\u0438 (\u043d\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0430\u043c\u0438, \u0438 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0449\u0435\u0439 \u0432 \u0441\u0432\u043e\u0435\u043c \u0442\u0435\u043b\u0435 <code>fold_right<\/code>) \u0434\u043b\u044f \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0438\u0445 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0412  \u0442\u0435\u043b\u0435 \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0435\u0435 \u0441\u0438\u043c\u0443\u043b\u044f\u0446\u0438\u0435\u0439 (\u0442\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0430 <code>rewrite<\/code>).<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0414\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044f \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u044e, \u0430 \u043a\u0430\u043a \u043c\u044b \u0443\u0436\u0435 \u043e\u0442\u043c\u0435\u0447\u0430\u043b\u0438 \u0432 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0435 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438, \u0441 <code>fold_right<\/code> \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u044f \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u0431\u0435\u0437 \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<h2>\u041e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 (Generalization)<\/h2>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u0447\u0438\u043d\u0430, \u043f\u043e\u00a0\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043c\u044b \u043d\u0435\u00a0\u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u043e\u043d\u043d\u0443\u044e \u0433\u0438\u043f\u043e\u0442\u0435\u0437\u0443 \u0441\u00a0fold_left\u00a0\u2014 \u044d\u0442\u043e \u0430\u043a\u043a\u0443\u043c\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430\u00a0\u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u043c \u0448\u0430\u0433\u0435 \u0440\u0435\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u0438. \u041e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u043e\u0432\u00a0\u2014 \u044d\u0442\u043e \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043c\u043e\u0449\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442: \u0432\u00a0\u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u0430\u0445 \u043c\u044b \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0442\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0443 <code>generalize dependent parameter_name<\/code>. \u0414\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435 \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043a\u0430\u043a\u00a0\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043b\u044f\u00a0\u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439, \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0449\u0438\u0445 \u0432\u00a0\u0441\u0435\u0431\u0435 fold_left.<\/p>\n<p>\u041f\u043b\u0430\u043d \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b:<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p>\u0421\u043e\u0437\u0434\u0430\u0442\u044c <strong>\u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e<\/strong> \u0432\u0435\u0440\u0441\u0438\u044e \u043d\u0430\u0448\u0435\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 (\u043c\u044b \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0430\u0435\u043c \u0430\u043a\u043a\u0443\u043c\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440)<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0414\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e\u00a0\u044d\u0442\u0430 \u0441\u0438\u043c\u0443\u043b\u044f\u0446\u0438\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0421\u00a0\u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0442\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0438 <code>rewrite<\/code> \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 (<code>fold_left<\/code> \u043d\u0430 <code>fold_right<\/code>) \u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u044e<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0412\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u00a0\u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441\u0435 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u043d\u0430\u043c \u043f\u043e\u043d\u0430\u0434\u043e\u0431\u044f\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0432\u0441\u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 (\u0441\u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0438\u0445 \u0438 \u0434\u043e\u043a\u0430\u0436\u0435\u043c)<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0434\u0435\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 (\u0434\u0438\u0441\u0442\u0438\u043b\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439) \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 \u0441\u00a0\u043f\u043e\u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043a\u043e\u043c\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0440\u0438\u044f\u043c\u0438<\/p>\n<pre><code>(* \u0421\u043e\u0437\u0434\u0430\u0435\u043c \u0434\u0432\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u044b\u0445 \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u044b\u0445 \u0442\u0438\u043f\u0430. *) Inductive good : Set := wealth | health | glory .  Inductive bad : Set := poverty | disease | oblivion.  (* \u0421\u043e\u0437\u0434\u0430\u0435\u043c \u043f\u0430\u0440\u043e\u0447\u043a\u0443 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435\u0439 *) (* \u041f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 *) Definition fate (a : good) : bad :=   match a with   | wealth => poverty   | health => disease   | glory => oblivion   end.             Definition destiny (b : bad) : good :=   match b with   | poverty => wealth   | disease => health   | oblivion => glory   end.       (* \u041f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0441 \u0430\u043a\u043a\u0443\u043c\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c. \u042d\u0442\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0430 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 [fold_left].    \u041e\u043d\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0438 \u0430\u043a\u043a\u0443\u043c\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440-\u0441\u043f\u0438\u0441\u043e\u043a, \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u0442 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0438 \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0435\u0433\u043e \u0432 \u0430\u043a\u043a\u0443\u043c\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440-\u0441\u043f\u0438\u0441\u043e\u043a. *) Definition fate_acc (ls : list bad) (a : good) : list bad :=   match a with   | wealth => poverty :: ls   | health => disease :: ls   | glory => oblivion :: ls   end.             Definition destiny_acc (ls : list good) (a : bad) : list good :=   match a with   | poverty => wealth :: ls   | disease => health :: ls   | oblivion => glory :: ls   end.                (* \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u0438\u0445 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439 (\u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0449\u0438\u0445 [fold_left]) \u043c\u044b \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f. *) Definition good_to_bad (ls : list good) : list bad :=   fold_left fate_acc [] ls.  Definition bad_to_good (ls : list bad) : list good :=   fold_left destiny_acc [] ls.  (* \u0421 \u044d\u0442\u0438\u043c\u0438 \u0441\u043f\u0438\u0441\u043a\u0430\u043c\u0438 \u043c\u044b \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c. *) Definition bad_list : list bad := [oblivion; disease; oblivion; oblivion]. Definition good_list : list good := [wealth; health; health; glory].  (* \u041f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u043c \u043d\u0430\u0448\u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f: *) Compute good_to_bad good_list. Compute bad_to_good bad_list.  (* \u042d\u0442\u0438 \u0434\u0432\u0430 \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u044b. *) Compute (bad_to_good bad_list). Compute rev (Lists.List.map destiny bad_list).  (* \u041f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0435\u043c \u044d\u0442\u043e \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c. *) Lemma transformation : forall (ls : list bad),     bad_to_good ls = Lists.List.rev (Lists.List.map destiny ls). Proof. intros.        induction ls.        simpl. reflexivity.        simpl.        unfold bad_to_good in *.        simpl. destruct a.        Abort.  (*  \u041d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0448\u0430\u0433\u0435 \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u043e\u043d\u043d\u0430\u044f \u0433\u0438\u043f\u043e\u0442\u0435\u0437\u0430:     IHls : fold_left destiny_acc [] ls = Lists.List.rev (Lists.List.map destiny ls)     \u0410 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0446\u0435\u043b\u044c: fold_left destiny_acc [wealth] ls =     (Lists.List.rev (Lists.List.map destiny ls) ++ [destiny poverty])%list  \u041c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0439 \u0438\u0442\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043c\u044b \u0443\u0436\u0435 \u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c  \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u043e\u043d\u043d\u0443\u044e \u0433\u0438\u043f\u043e\u0442\u0435\u0437\u0443, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443, \u0447\u0442\u043e \u0430\u043a\u043a\u0443\u043c\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0438\u043b\u0441\u044f. \u041f\u0440\u0435\u0434\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0448\u0430\u0433\u0438:          1. \u0421\u043e\u0437\u0434\u0430\u0434\u0438\u043c \u0432\u0435\u0440\u0441\u0438\u044e \u043d\u0430\u0448\u0435\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u043d\u043e \u0441 \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u0430\u043a\u043a\u0443\u043c\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c     2. \u0414\u043e\u043a\u0430\u0436\u0435\u043c, \u0447\u0442\u043e \u044d\u0442\u0430 \u0441\u0438\u043c\u0443\u043b\u044f\u0446\u0438\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438     3. \u041f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0448\u0435\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 \u043d\u0430\u0448\u0435\u0439 \u043b\u0435\u043c\u043c\u044b \u0438 \u043f\u043e\u0439\u0434\u0435\u043c \u043f\u043e \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u0438     4. \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u0438 \u0434\u043e\u043a\u0430\u0436\u0435\u043c \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0432\u0441\u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043b\u0435\u043c\u043c\u044b. *)  Definition bad_to_good_generalized   (ls : list bad) (acc : list good) : list good :=   fold_left destiny_acc acc ls.  (* \u041f\u0440\u0435\u0436\u0434\u0435 \u0447\u0435\u043c \u0441\u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043b\u0435\u043c\u043c\u0443, \u043e\u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u043a\u0443. *) Compute bad_to_good bad_list.  Compute bad_to_good_generalized bad_list [].  Lemma bad_to_good_eq : forall ls, bad_to_good ls = bad_to_good_generalized ls []. Proof.   reflexivity. Qed.   (* \u041d\u0430\u043c \u043f\u043e\u043d\u0430\u0434\u043e\u0431\u0438\u0442\u0441\u044f \u0430\u043a\u043a\u0443\u043c\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440. *) Definition accum : list good := [wealth; glory].  (* \u041f\u0440\u0435\u0436\u0434\u0435, \u0447\u0435\u043c \u0441\u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043b\u0435\u043c\u043c\u0443, \u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u043a\u0443. *)  Compute bad_to_good_generalized bad_list accum.  (*  = [glory; glory; health; glory; wealth; glory]      : list good *)  Compute (bad_to_good_generalized bad_list [] ++ accum)%list.   (*  = [glory; glory; health; glory; wealth; glory]      : list good *)  (* \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0432\u0441\u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u043b\u0435\u043c\u043c\u0443 - \u043e\u043d\u0430 \u043f\u043e\u043d\u0430\u0434\u043e\u0431\u0438\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430\u043c \u0432 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u043e\u043c     \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u0435. *) Lemma bad_to_good_generalized_acc : forall ls acc,     bad_to_good_generalized ls acc =       (bad_to_good_generalized ls [] ++ acc)%list. Proof.   intros.   (* \u041c\u044b \u0441\u043e\u0431\u0438\u0440\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u044e \u043f\u043e ls.      \u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u043d\u0430\u0448\u0430 \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u043e\u043d\u043d\u0430\u044f \u0433\u0438\u043f\u043e\u0442\u0435\u0437\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u043b\u0430\u0441\u044c \u043a \u043b\u044e\u0431\u043e\u043c\u0443 \u0430\u043a\u043a\u0443\u043c\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440\u0443 \u2014       \u043c\u044b \u0435\u0433\u043e \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0430\u0435\u043c \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0442\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0438 generalize *)   generalize dependent acc.   induction ls; intros.   (* \u0431\u0430\u0437\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439 *)   { simpl.  sfirstorder. }   (* \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439 *)   { destruct a eqn:A.     (* a = poverty *)     { unfold bad_to_good_generalized. simpl.       replace (fold_left destiny_acc (wealth :: acc) ls) with         (bad_to_good_generalized ls (wealth :: acc )) by sfirstorder.       rewrite IHls.       replace (fold_left destiny_acc [wealth] ls) with         (bad_to_good_generalized ls [wealth]) by sfirstorder.       replace (bad_to_good_generalized ls [wealth]) with         ((bad_to_good_generalized ls [] ++ [wealth])%list) by sfirstorder.       rewrite &lt;- List.app_assoc. sfirstorder. }     (* \u0418\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044f \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0436\u0435 \u0441\u0430\u043c\u044b\u0439 \u0431\u043b\u043e\u043a \u043a\u043e\u0434\u0430 \u043c\u044b \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c \u043e\u0441\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0438 \u0434\u043b\u044f \u0442\u0438\u043f\u0430 `bad` *)     ...   (* \u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0430\u044f \u043b\u0435\u043c\u043c\u0430, \u043f\u044b\u0442\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0435 \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044f \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f [generalization]. *) Lemma transformation_attempt2 : forall (ls : list bad),     bad_to_good ls = Lists.List.rev (Lists.List.map destiny ls). Proof.   intros.   rewrite bad_to_good_eq.  (* \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043c\u044b \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u043c \u0441 \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0441\u0438\u0435\u0439 *)   induction ls. reflexivity.   simpl.   (* \u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c \u043e\u0434\u0438\u043d \u0448\u0430\u0433 \u0440\u0435\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u0438 *)   destruct a; simpl; unfold bad_to_good_generalized; simpl.   replace (fold_left destiny_acc [wealth] ls) with     (bad_to_good_generalized ls [wealth]) by sfirstorder.   (* \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u043c\u044b \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u043d\u0430\u0448\u0443 \u0432\u0441\u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u043b\u0435\u043c\u043c\u0443 *)   rewrite bad_to_good_generalized_acc.   (* \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c, \u043d\u0430\u043a\u043e\u043d\u0435\u0446, \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u043d\u0430\u0448\u0443 \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u0443\u044e \u0433\u0438\u043f\u043e\u0442\u0435\u0437\u0443 *)   rewrite IHls; reflexivity. (* voila! *)   (* \u0421\u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c \u0442\u043e \u0436\u0435 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0435 \u0434\u043b\u044f \u0435\u0449\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0442\u0438\u043f\u0430[good].      \u041c\u044b \u043c\u043e\u0433\u043b\u0438 \u0431\u044b \u0443\u043f\u0430\u043a\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e \u0432 \u0433\u0440\u0443\u043f\u043f\u0443 \u0442\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a, \u043d\u043e \u043c\u044b \u043d\u0435 \u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e      \u0441 \u0442\u0435\u043c, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043d\u0430\u0448\u0435 \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e \u0431\u044b\u043b\u043e \u0434\u0435\u043c\u043e\u043d\u0441\u0442\u0440\u0430\u0442\u0438\u0432\u043d\u044b\u043c. *)   (* \u0422\u043e \u0436\u0435 \u0434\u043b\u044f `health` *)   replace (fold_left destiny_acc [health] ls) with     (bad_to_good_generalized ls [health]) by sfirstorder.   rewrite bad_to_good_generalized_acc.   rewrite IHls; reflexivity.   (* \u0422\u043e \u0436\u0435 \u0434\u043b\u044f `glory` *)   replace (fold_left destiny_acc [glory] ls) with     (bad_to_good_generalized ls [glory]) by sfirstorder.   rewrite bad_to_good_generalized_acc.   rewrite IHls; reflexivity. Qed.<\/code><\/pre>\n<p>\u0414\u0430, \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0449\u0438\u0435 <code>fold_left<\/code>\u00a0\u2014 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u043d\u0435\u00a0\u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0430\u044f, \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0434\u043b\u044f\u00a0\u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438 \u044f \u043f\u044b\u0442\u0430\u043b\u0430\u0441\u044c \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e\u00a0\u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 <code>good_to_bad<\/code> \u0438 <code>bad_to_good<\/code> \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0438\u043d\u0432\u0435\u0440\u0441\u0438\u044f\u043c\u0438:<\/p>\n<pre><code>Lemma round_and_round (ls : list bad) : good_to_bad (bad_to_good ls) = ls.<\/code><\/pre>\n<p>\u0414\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u043e \u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c \u043d\u0430\u0441\u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u043c (\u044d\u0434\u0430\u043a\u0430\u044f \u0433\u0438\u043c\u043d\u0430\u0441\u0442\u0438\u043a\u0430), \u0447\u0442\u043e\u00a0\u0441\u043e\u0432\u0441\u0435\u043c \u043d\u0435\u00a0\u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u0438\u043b\u043e \u0434\u043b\u044f\u00a0\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0433\u043e \u043d\u0430\u0433\u043b\u044f\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430 \u0432\u00a0\u043e\u0431\u0443\u0447\u0430\u044e\u0449\u0435\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435.<\/p>\n<p>\u041e\u0434\u043d\u043e \u043e\u00a0\u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u0435 \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0449\u0438\u0445 <code>fold_left<\/code> \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c \u043d\u0430\u0432\u0435\u0440\u043d\u044f\u043a\u0430: \u044d\u0442\u043e \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0443\u0432\u043b\u0435\u043a\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443, \u0447\u0442\u043e\u00a0\u043a\u0430\u0436\u0434\u0430\u044f \u0442\u0430\u043a\u0430\u044f \u043b\u0435\u043c\u043c\u0430\u00a0\u2014 \u044d\u0442\u043e \u043c\u0430\u043b\u0435\u043d\u044c\u043a\u0438\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u043b\u043b\u0435\u043a\u0442\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0432\u044b\u0437\u043e\u0432.<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p> <!----> <!----><\/div>\n<p> <!----> <!----><br \/> \u0441\u0441\u044b\u043b\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u043e\u0440\u0438\u0433\u0438\u043d\u0430\u043b \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438 <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/articles\/749372\/\"> https:\/\/habr.com\/ru\/articles\/749372\/<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<div><\/div>\n<div id=\"post-content-body\">\n<div>\n<div class=\"article-formatted-body article-formatted-body article-formatted-body_version-2\">\n<div xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1999\/xhtml\">\n<p>\u0414\u0430\u043d\u043d\u0430\u044f \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u044f \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0430\u0434\u0430\u043f\u0442\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0443\u0441\u0441\u043a\u043e\u044f\u0437\u044b\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0441\u0438\u0435\u0439 \u043c\u043e\u0435\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438: <a href=\"https:\/\/formal-land.gitlab.io\/coq-tezos-of-ocaml\/blog\/2022\/05\/21\/fold-left\/\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\"><u>Handling fold_left in proofs<\/u><\/a>.<\/p>\n<p>\u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f <code>fold_left<\/code> , \u0441\u0432\u043e\u0440\u0430\u0447\u0438\u0432\u0430\u044e\u0449\u0430\u044f \u0441\u043f\u0438\u0441\u043e\u043a, \u0434\u043e\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u043f\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u0430 \u0432\u043e\u00a0\u043c\u043d\u043e\u0433\u0438\u0445 (\u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0438 \u043d\u0435\u00a0\u043e\u0447\u0435\u043d\u044c) \u044f\u0437\u044b\u043a\u0430\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u041e\u043d\u0430 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0438 \u0432\u00a0Haskell, \u0438 \u0432\u00a0OCaml \u0438 \u0432\u00a0Rust. \u0418\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0447\u0430\u0449\u0435, \u0447\u0435\u043c <code>fold_right<\/code>, \u0432\u0435\u0440\u043e\u044f\u0442\u043d\u043e \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443, \u0447\u0442\u043e\u00a0\u0441\u00a0\u0435\u0435 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043f\u0440\u043e\u0449\u0435 \u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u044d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u0434.<\/p>\n<p><code>fold_left<\/code> \u0438 <code>fold_right<\/code> \u0438\u0437\u00a0\u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a\u0438 <a href=\"https:\/\/v2.ocaml.org\/api\/List.html\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\"><u>OCaml library: List<\/u><\/a>.<\/p>\n<pre><code>val fold_left : ('a -> 'b -> 'a) -> 'a -> 'b list -> 'a  fold_left f init [b1; ...; bn] is f (... (f (f init b1) b2) ...) bn.  val fold_right : ('a -> 'b -> 'b) -> 'a list -> 'b -> 'b  fold_right f [a1; ...; an] init is f a1 (f a2 (... (f an init) ...)).  Not tail-recursive.<\/code><\/pre>\n<p>\u041d\u043e\u00a0\u0441 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0437\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438, \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u043b\u044f <code>fold_right<\/code> \u043f\u0440\u043e\u0449\u0435, \u0447\u0435\u043c \u0434\u043b\u044f <code>fold_left<\/code>. \u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443? \u041f\u0440\u0438\u0447\u0438\u043d\u0430 \u043a\u0440\u043e\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432\u043e\u00a0\u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0439 \u043e\u0440\u0433\u0430\u043d\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u044d\u0442\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439. \u0412\u00a0\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u044f \u043a\u0430\u043a\u00a0\u0438\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0434\u043b\u044f\u00a0\u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043e\u00a0\u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0430\u0445 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043a\u0430\u043a\u00a0\u0441\u043f\u0438\u0441\u043a\u0438. \u041a\u0430\u043a\u00a0\u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e, <code>fold_left<\/code>, \u0441\u0432\u0435\u0440\u043d\u0435\u0442 \u0441\u043f\u0438\u0441\u043e\u043a \u0441\u043b\u0435\u0432\u0430. \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043d\u0430\u00a0\u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043c \u0448\u0430\u0433\u0435 \u043e\u043d\u0430 \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u0438\u0442 \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0441\u043f\u0438\u0441\u043a\u0430 \u043a\u00a0\u0430\u043a\u043a\u0443\u043c\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440\u0443, \u0438 \u0434\u043b\u044f\u00a0\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0433\u043e \u0448\u0430\u0433\u0430 \u0438\u0442\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0430\u043a\u043a\u0443\u043c\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d. \u0410\u00a0\u044d\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e\u00a0\u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u043e\u043d\u043d\u0443\u044e \u0433\u0438\u043f\u043e\u0442\u0435\u0437\u0443 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0443\u0436\u0435 \u043d\u0435\u043b\u044c\u0437\u044f. \u0421\u00a0\u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u044b, \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f <code>fold_right<\/code> \u043d\u0435\u00a0\u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442 \u0430\u043a\u043a\u0443\u043c\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440 \u0434\u043e\u00a0\u0441\u0430\u043c\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u043d\u0446\u0430 \u0441\u0432\u043e\u0435\u0439 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b, \u0430\u00a0\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442 \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u043e\u043d\u043d\u0443\u044e \u0433\u0438\u043f\u043e\u0442\u0435\u0437\u0443 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u0432\u00a0\u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u0435.<\/p>\n<p>\u0423\u043d\u0438\u0432\u0435\u0440\u0441\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0448\u0430\u0431\u043b\u043e\u043d\u0430 \u0434\u043b\u044f\u00a0\u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c, \u0441\u00a0\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u043c\u0438 \u0441\u0442\u0430\u043b\u043a\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u0443\u0444\u2011\u0438\u043d\u0436\u0435\u043d\u0435\u0440, \u043f\u043e\u0434\u0432\u0435\u0440\u0433\u0430\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0441\u00a0fold_left, \u043d\u0435\u0442. \u041d\u0443\u0436\u043d\u043e\u00a0\u0431\u044b\u0442\u044c \u0438\u0437\u043e\u0431\u0440\u0435\u0442\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u0438 \u0445\u0438\u0442\u0440\u044b\u043c, \u0432\u0435\u0440\u0438\u0444\u0438\u0446\u0438\u0440\u0443\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0441\u00a0fold_left, \u043d\u043e\u00a0\u0442\u0435\u043c \u043d\u0435\u00a0\u043c\u0435\u043d\u0435\u0435 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u043f\u0430\u0440\u043e\u0447\u043a\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0442\u0435\u0445\u043d\u0438\u043a, \u0434\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435 \u0440\u0430\u0437\u0431\u0435\u0440\u0435\u043c \u0438\u0445 \u0432\u00a0\u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435.<\/p>\n<h2>\u041f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c fold_left \u043d\u0430 fold_right: \u0442\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0430 rewrite<\/h2>\n<p>\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c <code>rewrite<\/code>, \u043f\u0440\u0435\u0436\u0434\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0443\u0434\u043e\u0441\u0442\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e\u00a0\u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 <code>fold_left<\/code> \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u0430.<\/p>\n<p><strong><em>\u0417\u0430\u043c\u0435\u0442\u043a\u0430:<\/em><\/strong><em> \u0441\u00a0\u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0437\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0438, \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u0430, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0435\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u043c \u0432\u043d\u0435 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0442\u00a0\u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 \u0435\u0435 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432. \u0421\u0430\u043c\u044b\u043c \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043e\u043c \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0441\u043b\u0443\u0436\u0438\u0442\u044c \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u043b\u0438\u00a0\u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435.<\/em><\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u00a0\u043d\u0430\u0448\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u044d\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a, \u043c\u044b \u0441\u0442\u043e\u043b\u043a\u043d\u0443\u043b\u0438\u0441\u044c \u0441\u00a0\u0441\u0430\u043c\u044b\u043c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u044b\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443, \u0447\u0442\u043e\u00a0\u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u043c\u0443 <code>fold_symmetric<\/code> \u0438\u0437\u00a0\u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a\u0438 <a href=\"https:\/\/www.cs.princeton.edu\/courses\/archive\/fall07\/cos595\/stdlib\/html\/Coq.Lists.List.html\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">Coq Lists library<\/a>.<\/p>\n<pre><code>  Theorem fold_symmetric :     forall (A : Type) (f : A -> A -> A),     (forall x y z : A, f x (f y z) = f (f x y) z) ->     forall (a0 : A), (forall y : A, f a0 y = f y a0) ->     forall (l : list A), fold_left f l a0 = fold_right f a0 l.<\/code><\/pre>\n<p>\u0412 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044f\u0445, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0441\u0432\u043e\u0440\u0430\u0447\u0438\u0432\u0430\u044e\u0449\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043d\u0435 \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u0430, \u043f\u0440\u0438\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0438\u0434\u0442\u0438 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u043c \u043f\u0443\u0442\u0435\u043c: \u0441\u043e\u0437\u0434\u0430\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441\u0438\u043c\u0443\u043b\u044f\u0446\u0438\u0438 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u043e\u0441\u043d\u0430\u0449\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 <code>fold_right<\/code>.<\/p>\n<p>\u041c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u0437\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0439 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0448\u0430\u0433\u043e\u0432:<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0441\u0438\u043c\u0443\u043b\u044f\u0446\u0438\u044e, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u0442 \u0442\u043e \u0436\u0435, \u0447\u0442\u043e \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0432\u0435\u0440\u0438\u0444\u0438\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f, \u043d\u043e \u0441 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c <code>fold_right<\/code><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0414\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439: \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 (\u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0449\u0435\u0439 \u0432 \u0441\u0432\u043e\u0435\u043c \u0442\u0435\u043b\u0435 <code>fold_left<\/code>) \u0438 \u0435\u0435 \u0441\u0438\u043c\u0443\u043b\u044f\u0446\u0438\u0438 (\u043d\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0430\u043c\u0438, \u0438 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0449\u0435\u0439 \u0432 \u0441\u0432\u043e\u0435\u043c \u0442\u0435\u043b\u0435 <code>fold_right<\/code>) \u0434\u043b\u044f \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0438\u0445 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0412  \u0442\u0435\u043b\u0435 \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0435\u0435 \u0441\u0438\u043c\u0443\u043b\u044f\u0446\u0438\u0435\u0439 (\u0442\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0430 <code>rewrite<\/code>).<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0414\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044f \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u044e, \u0430 \u043a\u0430\u043a \u043c\u044b \u0443\u0436\u0435 \u043e\u0442\u043c\u0435\u0447\u0430\u043b\u0438 \u0432 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0435 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438, \u0441 <code>fold_right<\/code> \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u044f \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u0431\u0435\u0437 \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<h2>\u041e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 (Generalization)<\/h2>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u0447\u0438\u043d\u0430, \u043f\u043e\u00a0\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043c\u044b \u043d\u0435\u00a0\u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u043e\u043d\u043d\u0443\u044e \u0433\u0438\u043f\u043e\u0442\u0435\u0437\u0443 \u0441\u00a0fold_left\u00a0\u2014 \u044d\u0442\u043e \u0430\u043a\u043a\u0443\u043c\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430\u00a0\u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u043c \u0448\u0430\u0433\u0435 \u0440\u0435\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u0438. \u041e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u043e\u0432\u00a0\u2014 \u044d\u0442\u043e \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043c\u043e\u0449\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442: \u0432\u00a0\u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u0430\u0445 \u043c\u044b \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u0442\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0443 <code>generalize dependent parameter_name<\/code>. \u0414\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435 \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043a\u0430\u043a\u00a0\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043b\u044f\u00a0\u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439, \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0449\u0438\u0445 \u0432\u00a0\u0441\u0435\u0431\u0435 fold_left.<\/p>\n<p>\u041f\u043b\u0430\u043d \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b:<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p>\u0421\u043e\u0437\u0434\u0430\u0442\u044c <strong>\u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e<\/strong> \u0432\u0435\u0440\u0441\u0438\u044e \u043d\u0430\u0448\u0435\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 (\u043c\u044b \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0430\u0435\u043c \u0430\u043a\u043a\u0443\u043c\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440)<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0414\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e\u00a0\u044d\u0442\u0430 \u0441\u0438\u043c\u0443\u043b\u044f\u0446\u0438\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0421\u00a0\u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0442\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0438 <code>rewrite<\/code> \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 (<code>fold_left<\/code> \u043d\u0430 <code>fold_right<\/code>) \u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u044e<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0412\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u00a0\u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441\u0435 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u043d\u0430\u043c \u043f\u043e\u043d\u0430\u0434\u043e\u0431\u044f\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0432\u0441\u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 (\u0441\u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0438\u0445 \u0438 \u0434\u043e\u043a\u0430\u0436\u0435\u043c)<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0434\u0435\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 (\u0434\u0438\u0441\u0442\u0438\u043b\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439) \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 \u0441\u00a0\u043f\u043e\u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043a\u043e\u043c\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0440\u0438\u044f\u043c\u0438<\/p>\n<pre><code>(* \u0421\u043e\u0437\u0434\u0430\u0435\u043c \u0434\u0432\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u044b\u0445 \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u044b\u0445 \u0442\u0438\u043f\u0430. *) Inductive good : Set := wealth | health | glory .  Inductive bad : Set := poverty | disease | oblivion.  (* \u0421\u043e\u0437\u0434\u0430\u0435\u043c \u043f\u0430\u0440\u043e\u0447\u043a\u0443 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439-\u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435\u0439 *) (* \u041f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 *) Definition fate (a : good) : bad :=   match a with   | wealth => poverty   | health => disease   | glory => oblivion   end.             Definition destiny (b : bad) : good :=   match b with   | poverty => wealth   | disease => health   | oblivion => glory   end.       (* \u041f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0441 \u0430\u043a\u043a\u0443\u043c\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c. \u042d\u0442\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0430 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 [fold_left].    \u041e\u043d\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0438 \u0430\u043a\u043a\u0443\u043c\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440-\u0441\u043f\u0438\u0441\u043e\u043a, \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u0443\u0435\u0442 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0438 \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0435\u0433\u043e \u0432 \u0430\u043a\u043a\u0443\u043c\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440-\u0441\u043f\u0438\u0441\u043e\u043a. *) Definition fate_acc (ls : list bad) (a : good) : list bad :=   match a with   | wealth => poverty :: ls   | health => disease :: ls   | glory => oblivion :: ls   end.             Definition destiny_acc (ls : list good) (a : bad) : list good :=   match a with   | poverty => wealth :: ls   | disease => health :: ls   | oblivion => glory :: ls   end.                (* \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u0438\u0445 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439 (\u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0449\u0438\u0445 [fold_left]) \u043c\u044b \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f. *) Definition good_to_bad (ls : list good) : list bad :=   fold_left fate_acc [] ls.  Definition bad_to_good (ls : list bad) : list good :=   fold_left destiny_acc [] ls.  (* \u0421 \u044d\u0442\u0438\u043c\u0438 \u0441\u043f\u0438\u0441\u043a\u0430\u043c\u0438 \u043c\u044b \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c. *) Definition bad_list : list bad := [oblivion; disease; oblivion; oblivion]. Definition good_list : list good := [wealth; health; health; glory].  (* \u041f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u043c \u043d\u0430\u0448\u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f: *) Compute good_to_bad good_list. Compute bad_to_good bad_list.  (* \u042d\u0442\u0438 \u0434\u0432\u0430 \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u044b. *) Compute (bad_to_good bad_list). Compute rev (Lists.List.map destiny bad_list).  (* \u041f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0435\u043c \u044d\u0442\u043e \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c. *) Lemma transformation : forall (ls : list bad),     bad_to_good ls = Lists.List.rev (Lists.List.map destiny ls). Proof. intros.        induction ls.        simpl. reflexivity.        simpl.        unfold bad_to_good in *.        simpl. destruct a.        Abort.  (*  \u041d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0448\u0430\u0433\u0435 \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u043e\u043d\u043d\u0430\u044f \u0433\u0438\u043f\u043e\u0442\u0435\u0437\u0430:     IHls : fold_left destiny_acc [] ls = Lists.List.rev (Lists.List.map destiny ls)     \u0410 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0446\u0435\u043b\u044c: fold_left destiny_acc [wealth] ls =     (Lists.List.rev (Lists.List.map destiny ls) ++ [destiny poverty])%list  \u041c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0439 \u0438\u0442\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043c\u044b \u0443\u0436\u0435 \u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c  \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u043e\u043d\u043d\u0443\u044e \u0433\u0438\u043f\u043e\u0442\u0435\u0437\u0443, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443, \u0447\u0442\u043e \u0430\u043a\u043a\u0443\u043c\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0438\u043b\u0441\u044f. \u041f\u0440\u0435\u0434\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0448\u0430\u0433\u0438:          1. \u0421\u043e\u0437\u0434\u0430\u0434\u0438\u043c \u0432\u0435\u0440\u0441\u0438\u044e \u043d\u0430\u0448\u0435\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u043d\u043e \u0441 \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u0430\u043a\u043a\u0443\u043c\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c     2. \u0414\u043e\u043a\u0430\u0436\u0435\u043c, \u0447\u0442\u043e \u044d\u0442\u0430 \u0441\u0438\u043c\u0443\u043b\u044f\u0446\u0438\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438     3. \u041f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0448\u0435\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 \u043d\u0430\u0448\u0435\u0439 \u043b\u0435\u043c\u043c\u044b \u0438 \u043f\u043e\u0439\u0434\u0435\u043c \u043f\u043e \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u0438     4. \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u0438 \u0434\u043e\u043a\u0430\u0436\u0435\u043c \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0432\u0441\u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043b\u0435\u043c\u043c\u044b. *)  Definition bad_to_good_generalized   (ls : list bad) (acc : list good) : list good :=   fold_left destiny_acc acc ls.  (* \u041f\u0440\u0435\u0436\u0434\u0435 \u0447\u0435\u043c \u0441\u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043b\u0435\u043c\u043c\u0443, \u043e\u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u043a\u0443. *) Compute bad_to_good bad_list.  Compute bad_to_good_generalized bad_list [].  Lemma bad_to_good_eq : forall ls, bad_to_good ls = bad_to_good_generalized ls []. Proof.   reflexivity. Qed.   (* \u041d\u0430\u043c \u043f\u043e\u043d\u0430\u0434\u043e\u0431\u0438\u0442\u0441\u044f \u0430\u043a\u043a\u0443\u043c\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440. *) Definition accum : list good := [wealth; glory].  (* \u041f\u0440\u0435\u0436\u0434\u0435, \u0447\u0435\u043c \u0441\u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043b\u0435\u043c\u043c\u0443, \u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u043a\u0443. *)  Compute bad_to_good_generalized bad_list accum.  (*  = [glory; glory; health; glory; wealth; glory]      : list good *)  Compute (bad_to_good_generalized bad_list [] ++ accum)%list.   (*  = [glory; glory; health; glory; wealth; glory]      : list good *)  (* \u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0432\u0441\u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u043b\u0435\u043c\u043c\u0443 - \u043e\u043d\u0430 \u043f\u043e\u043d\u0430\u0434\u043e\u0431\u0438\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430\u043c \u0432 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u043e\u043c     \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u0441\u0442\u0432\u0435. *) Lemma bad_to_good_generalized_acc : forall ls acc,     bad_to_good_generalized ls acc =       (bad_to_good_generalized ls [] ++ acc)%list. Proof.   intros.   (* \u041c\u044b \u0441\u043e\u0431\u0438\u0440\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u044e \u043f\u043e ls.      \u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u043d\u0430\u0448\u0430 \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u043e\u043d\u043d\u0430\u044f \u0433\u0438\u043f\u043e\u0442\u0435\u0437\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u043b\u0430\u0441\u044c \u043a \u043b\u044e\u0431\u043e\u043c\u0443 \u0430\u043a\u043a\u0443\u043c\u0443\u043b\u044f\u0442\u043e\u0440\u0443 \u2014       \u043c\u044b \u0435\u0433\u043e \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0430\u0435\u043c \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0442\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0438 generalize *)   generalize dependent acc.   induction ls; intros.   (* \u0431\u0430\u0437\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439 *)   { simpl.  sfirstorder. }   (* \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439 *)   { destruct a eqn:A.     (* a = poverty *)     { unfold bad_to_good_generalized. simpl.       replace (fold_left destiny_acc (wealth :: acc) ls) with         (bad_to_good_generalized ls (wealth :: acc )) by sfirstorder.       rewrite IHls.       replace (fold_left destiny_acc [wealth] ls) with         (bad_to_good_generalized ls [wealth]) by sfirstorder.       replace (bad_to_good_generalized ls [wealth]) with         ((bad_to_good_generalized ls [] ++ [wealth])%list) by sfirstorder.       rewrite &lt;- List.app_assoc. sfirstorder. }     (* \u0418\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044f \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0436\u0435 \u0441\u0430\u043c\u044b\u0439 \u0431\u043b\u043e\u043a \u043a\u043e\u0434\u0430 \u043c\u044b \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c \u043e\u0441\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0438 \u0434\u043b\u044f \u0442\u0438\u043f\u0430 `bad` *)     ...   (* \u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0430\u044f \u043b\u0435\u043c\u043c\u0430, \u043f\u044b\u0442\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u0434\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0435 \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044f \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f [generalization]. *) Lemma transformation_attempt2 : forall (ls : list bad),     bad_to_good ls = Lists.List.rev (Lists.List.map destiny ls). Proof.   intros.   rewrite bad_to_good_eq.  (* \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043c\u044b \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u043c \u0441 \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0441\u0438\u0435\u0439 *)   induction ls. reflexivity.   simpl.   (* \u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c \u043e\u0434\u0438\u043d \u0448\u0430\u0433 \u0440\u0435\u0434\u0443\u043a\u0446\u0438\u0438 *)   destruct a; simpl; unfold bad_to_good_generalized; simpl.   replace (fold_left destiny_acc [wealth] ls) with     (bad_to_good_generalized ls [wealth]) by sfirstorder.   (* \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u043c\u044b \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u043d\u0430\u0448\u0443 \u0432\u0441\u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u043b\u0435\u043c\u043c\u0443 *)   rewrite bad_to_good_generalized_acc.   (* \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c, \u043d\u0430\u043a\u043e\u043d\u0435\u0446, \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u043d\u0430\u0448\u0443 \u0438\u043d\u0434\u0443\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u0443\u044e \u0433\u0438\u043f\u043e\u0442\u0435\u0437\u0443 *)   rewrite IHls; reflexivity. (* voila! *)   (* \u0421\u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c \u0442\u043e \u0436\u0435 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0435 \u0434\u043b\u044f \u0435\u0449\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0442\u0438\u043f\u0430[good].      \u041c\u044b \u043c\u043e\u0433\u043b\u0438 \u0431\u044b \u0443\u043f\u0430\u043a\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e \u0432 \u0433\u0440\u0443\u043f\u043f\u0443 \u0442\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a, \u043d\u043e \u043c\u044b \u043d\u0435 \u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e      \u0441 \u0442\u0435\u043c, <\/code><\/pre>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[],"tags":[],"class_list":["post-350551","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/350551","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=350551"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/350551\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=350551"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=350551"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=350551"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}