{"id":351694,"date":"2024-05-20T21:53:26","date_gmt":"2024-05-20T21:53:26","guid":{"rendered":"http:\/\/savepearlharbor.com\/?p=351694"},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T21:00:00","slug":"","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/savepearlharbor.com\/?p=351694","title":{"rendered":"<span>\u041a\u0430\u043a \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0434\u0438\u0441\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 (\u0427\u0430\u0441\u0442\u044c 1. \u0422\u0435\u0441\u0442\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0438 \u0443\u043b\u0443\u0447\u0448\u0430\u0435\u043c Numpy)<\/span>"},"content":{"rendered":"<div><!--[--><!--]--><\/div>\n<div id=\"post-content-body\">\n<div>\n<div class=\"article-formatted-body article-formatted-body article-formatted-body_version-2\">\n<div xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1999\/xhtml\">\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e \u043a\u0430\u043a \u044f \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u00ab\u043f\u043e\u0434\u0441\u0435\u043b\u00bb \u043d\u0430\u00a0\u0447\u0442\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0425\u0430\u0431\u0440\u0430, \u0437\u0430\u0445\u043e\u0442\u0435\u043b\u043e\u0441\u044c \u00ab\u043e\u0441\u0432\u0435\u0436\u0438\u0442\u044c\u00bb \u0447\u0442\u043e\u2011\u0442\u043e \u0438\u0437\u00a0\u0441\u0432\u043e\u0435\u0433\u043e \u0431\u043e\u0433\u0430\u0442\u043e\u0433\u043e \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0448\u043b\u043e\u0433\u043e. \u0412\u043e\u0441\u043a\u0440\u0435\u0441\u0438\u0442\u044c, \u0442\u0430\u043a \u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c, \u0441\u0442\u0430\u0440\u044b\u0435 \u043d\u0430\u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u043a\u0438, \u0437\u0430\u0439\u0434\u044f, \u0435\u0441\u0442\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e, \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0434\u0432\u0435\u0440\u044c \u0441\u00a0\u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0447\u043a\u043e\u0439 Python. \u041f\u0440\u0435\u0434\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u0430\u044f \u043f\u0443\u0431\u043b\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u044f \u043f\u043e\u0441\u0432\u044f\u0449\u0435\u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439\u0448\u0438\u043c \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u041a\u0430\u043a \u043d\u0438 \u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u043d\u043e, \u0442\u0443\u0442 \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u044e\u0442 \u043a\u043e\u0435-\u043a\u0430\u043a\u0438\u0435 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441\u044b \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u044b. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0442\u0435\u043c\u0430 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0434\u043b\u044f\u00a0\u043a\u043e\u0433\u043e\u2011\u0442\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u043e\u0439, \u0432\u00a0\u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0445 \u043f\u0443\u0431\u043b\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u044f\u0445 \u0431\u0443\u0434\u0443\u0442 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043d\u044b \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0435 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441\u044b \u0438 \u00ab\u043f\u0440\u043e\u0434\u0432\u0438\u043d\u0443\u0442\u044b\u0435\u00bb \u0440\u0430\u0441\u0447\u0435\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u044b. \u041f\u043e\u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u043c \u0441\u00a0\u041e\u0414\u0423 (\u043e\u0431\u044b\u043a\u043d\u043e\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438, \u0438, \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e, \u0434\u043e\u0439\u0434\u0435\u043c \u0434\u043e <s>\u043d\u0430\u0448\u0435\u0433\u043e \u0412\u0438\u043b\u044c\u044f\u043c\u0430 \u0428\u0435\u043a\u0441\u043f\u0438\u0440\u0430<\/s> \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043a\u0440\u0430\u0435\u0432\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447 \u0423\u0420\u0427\u041f (\u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0432\u00a0\u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445), \u0432\u00a0\u0442\u043e\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435 \u043d\u0435\u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u00a0\u043a\u0440\u0430\u0435\u0432\u044b\u043c \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f\u043c \u0438 \u043d\u0430\u00a0\u0430\u0434\u0430\u043f\u0442\u0438\u0432\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0435\u0442\u043a\u0430\u0445. <\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434 \u0442\u0435\u0440\u043c\u0438\u043d\u043e\u043c &#171;\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435&#187; \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u044e\u0442 \u0442\u0440\u0438 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u0449\u0438 (\u0446\u0438\u0442\u0430\u0442\u0430 \u043f\u043e <a href=\"https:\/\/github.com\/pbrod\/numdifftools\/blob\/5321b5239c22d2f8eca8cf21be761a8a5c7ece85\/docs\/DERIVEST.pdf\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\"><u>numdifftools<\/u><\/a>) &#8212; \u0441\u0438\u043c\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 (\u0441\u0438\u043c\u0432\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435) \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435, \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043e\u0442 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438, \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043e\u0442 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440\u043e\u043c \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445. \u041f\u043e \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043c\u0443 \u0438 \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0443\u043d\u043a\u0442\u0430\u043c, \u0432\u043a\u0440\u0430\u0442\u0446\u0435<\/p>\n<details class=\"spoiler\">\n<summary>\u0437\u0434\u0435\u0441\u044c<\/summary>\n<div class=\"spoiler__content\">\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0441\u0438\u043c\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e (\u0441\u0438\u043c\u0432\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e) \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0432 Python \u0435\u0441\u0442\u044c \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u0430\u044f \u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a\u0430 SymPy, \u043f\u043e \u0441\u0443\u0442\u0438 \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0449\u0430\u044f\u0441\u044f \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043c \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u043c \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u043e\u0447\u043d\u0438\u043a\u043e\u043c.  <\/p>\n<p>\u0412 SciPy \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u043b \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c scipy.misc, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c deprecated, \u0438 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u043d\u0435\u0433\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u044b \u0434\u0432\u0430 \u0440\u0435\u043f\u043e\u0437\u0438\u0442\u043e\u0440\u0438\u044f: <a href=\"https:\/\/github.com\/maroba\/findiff\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\"><u>https:\/\/github.com\/maroba\/findiff<\/u><\/a>  \u0438 \u0443\u0436\u0435 \u0443\u043f\u043e\u043c\u0438\u043d\u0430\u0432\u0448\u0438\u0439\u0441\u044f <a href=\"https:\/\/github.com\/pbrod\/numdifftools\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\"><u>https:\/\/github.com\/pbrod\/numdifftools<\/u><\/a>. \u041e\u0431\u0430 \u043e\u043d\u0438, \u043d\u0430\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043c\u043d\u0435 \u0443\u0434\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c \u0440\u0430\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f, \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u044f\u0442\u0441\u044f \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043a\u043e \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0443\u043d\u043a\u0442\u0443, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0430 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438, \u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u0432 \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435, \u0438\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0441 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e.<\/p>\n<\/div>\n<\/details>\n<p>\u0410 \u043c\u044b \u0437\u0430\u0439\u043c\u0435\u043c\u0441\u044f \u043f\u0443\u043d\u043a\u0442\u043e\u043c \u0442\u0440\u0435\u0442\u044c\u0438\u043c &#8212; \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c \u0434\u0438\u0441\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 (\u043e\u043d\u0438 \u0436\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u0442\u0447\u0430\u0442\u044b\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u043e\u043d\u0438 \u0436\u0435 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u043e\u043d\u0438 \u0436\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440\u043e\u043c \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0438 \u0442.\u043f.). \u041a\u0430\u043a \u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c, \u0432 \u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a\u0430\u0445 Python \u0441 \u044d\u0442\u0438\u043c \u043d\u0435 \u0432\u0441\u0435 \u0442\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0438 \u0431\u0435\u0437\u043e\u0431\u043b\u0430\u0447\u043d\u043e, \u043a\u0430\u043a \u043f\u043e \u0438\u0434\u0435\u0435 \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u043e \u0431\u044b \u0431\u044b\u0442\u044c. SciPy \u0432\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u043f\u0440\u043e \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0435, \u0430 \u0432 NumPy &#171;\u0442\u0435\u043c\u0430 \u043d\u0435 \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u044b\u0442\u0430&#187;. \u041d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439\u0448\u0438\u0445 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430\u0445 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0442\u043e, \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u0442 NumPy, \u0447\u0442\u043e \u0442\u0430\u043c \u043d\u0435 \u0442\u0430\u043a \u0438 \u043a\u0430\u043a \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435.  . <\/p>\n<h2>\u041f\u043e\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0430 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438<\/h2>\n<p>\u041d\u0430\u0447\u043d\u0435\u043c \u0441 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"f(x)\" alt=\"f(x)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/eaa\/9df\/753\/eaa9df7530a422dab79ec7ed7a57aa82.svg\" width=\"37\" height=\"22\"\/> \u043e\u0442 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439, \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"f_{i}\" alt=\"f_{i}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/1f3\/e72\/143\/1f3e721436cbd0c510bc52b63cb68d43.svg\" width=\"16\" height=\"20\"\/> \u0432 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"n+1\" alt=\"n+1\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/644\/6ef\/267\/6446ef26741c2f19e93db787e1457b16.svg\" width=\"45\" height=\"17\"\/> \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u0445 (\u0443\u0437\u043b\u0430\u0445) <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_{i}\" alt=\"x_{i}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/ddd\/43d\/05a\/ddd43d05a615819405c706a5431037cf.svg\" width=\"18\" height=\"15\"\/> \u0441 \u0438\u043d\u0434\u0435\u043a\u0441\u043e\u043c <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"i=0,.., n\" alt=\"i=0,.., n\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/2d7\/9af\/c11\/2d79afc1167cdbbf31d4a0fe489d3db1.svg\" width=\"88\" height=\"19\"\/>  \u043d\u0430 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0435 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"[a, b] \" alt=\"[a, b] \" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/3c1\/148\/3d9\/3c11483d93d6621db3c96b7817e70996.svg\" width=\"38\" height=\"22\"\/>, \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u043c \u043d\u0430 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"n\" alt=\"n\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/d2d\/652\/97c\/d2d65297c031c01cb059c341c8c21454.svg\" width=\"12\" height=\"12\"\/> \u0441\u0435\u0433\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432. \u0415\u0441\u0442\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e,  <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_{0} = a,  \\quad x_{n} = b\" alt=\"x_{0} = a,  \\quad x_{n} = b\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/549\/620\/a47\/549620a47824f388edeae1652f581dee.svg\" width=\"139\" height=\"20\"\/>. \u0414\u043b\u044f \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u043c \u0448\u0430\u0433\u043e\u043c, \u043f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"x_{i}=a+ i*h,\\quad    h=(b-a)\/n\" alt=\"x_{i}=a+ i*h,\\quad    h=(b-a)\/n\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/5a6\/a37\/894\/5a6a37894a786a1864f4e9410520f4ff.svg\" width=\"256\" height=\"22\"\/><\/p>\n<p>\u041b\u044e\u0431\u043e\u043c\u0443 \u0441\u0442\u0443\u0434\u0435\u043d\u0442\u0443-\u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043a\u0443\u0440\u0441\u043d\u0438\u043a\u0443 \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u0430 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 <\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"f^{'}_{i+1\/2} = (f_{i+1} - f_{i}) \/ h\\quad\\quad\\quad(1)\" alt=\"f^{'}_{i+1\/2} = (f_{i+1} - f_{i}) \/ h\\quad\\quad\\quad(1)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/692\/d09\/264\/692d09264b0da058cbec8b0f9f318127.svg\" width=\"264\" height=\"30\"\/><\/p>\n<p>\u0433\u0434\u0435 \u0441\u0438\u043c\u0432\u043e\u043b \u0441\u043b\u0435\u0432\u0430 &#8212; \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"f\" alt=\"f\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/d4c\/a95\/0ce\/d4ca950cedaceb0dd61249d48447b719.svg\" width=\"11\" height=\"20\"\/> \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435, \u043b\u0435\u0436\u0430\u0449\u0435\u0439 \u043f\u043e\u0441\u0435\u0440\u0435\u0434\u0438\u043d\u0435 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u043c\u0438 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_{i}\" alt=\"x_{i}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/bc2\/fc9\/f9c\/bc2fc9f9cf18985fce319aea233c5262.svg\" width=\"18\" height=\"15\"\/>\u0438 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_{i+1}\" alt=\"x_{i+1}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/424\/c94\/579\/424c94579951d8152ee08e5644d0f88e.svg\" width=\"35\" height=\"16\"\/>\u0412\u0430\u0436\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 &#8212; \u0432 \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0430\u0441\u0447\u0435\u0442\u0430\u0445, \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u043a\u0440\u0430\u0435\u0432\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447, \u0432 \u0442\u043e\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435 \u0434\u043b\u044f \u0423\u0420\u0427\u041f, \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u0432 &#171;\u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u0445&#187; \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u0445 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043d\u0435\u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e, \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u0431\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e \u0445\u043e\u0447\u0435\u0442\u0441\u044f \u0437\u043d\u0430\u0442\u044c \u0438\u0445 \u0432 \u0443\u0437\u043b\u0430\u0445 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_{i}\" alt=\"x_{i}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/78b\/cf4\/a7b\/78bcf4a7be8e447bcf51f15941de4768.svg\" width=\"18\" height=\"15\"\/>\u0438\u043b\u0438 \u0443\u0437\u043b\u0430\u0445 \u0441\u0435\u0442\u043a\u0438\u00a0 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"(x_{i}, y_{j})\" alt=\"(x_{i}, y_{j})\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/3ab\/da5\/a50\/3abda5a50e40ca3d8eac516b00f5d629.svg\" width=\"58\" height=\"23\"\/>\u0434\u043b\u044f 2-\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0445 \u0438\u043b\u0438 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"(x_{i}, y_{j}, z_{k})\" alt=\"(x_{i}, y_{j}, z_{k})\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/b03\/afc\/047\/b03afc047b0a88941b4387e40f43fe3e.svg\" width=\"85\" height=\"23\"\/>\u0434\u043b\u044f 3-\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447. \u0415\u0441\u0442\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e, \u044d\u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043c \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e\u043c \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u043e\u0432, \u0441\u0430\u043c\u044b\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0439 \u0438\u0437 \u043d\u0438\u0445 \u044d\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c\u0430\u044f 3-\u0442\u043e\u0447\u0435\u0447\u043d\u0430\u044f \u0441\u0445\u0435\u043c\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0432 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0435\u0442\u043a\u0438 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 2-\u0442\u043e\u0447\u0435\u0447\u043d\u0443\u044e:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"f^{'}_{i} = (f_{i+1} - f_{i-1}) \/ 2h\\quad\\quad\\quad(2)\" alt=\"f^{'}_{i} = (f_{i+1} - f_{i-1}) \/ 2h\\quad\\quad\\quad(2)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/33a\/c5e\/a3e\/33ac5ea3e13c339f6463692f7aca47df.svg\" width=\"261\" height=\"26\"\/><\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 5-\u0442\u043e\u0447\u0435\u0447\u043d\u0430\u044f \u0441\u0445\u0435\u043c\u0430, \u0438 \u0442\u0430\u043a \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0430\u0442\u044c \u0434\u043e \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438. \u041f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u0430 \u0443 \u044d\u0442\u0438\u0445 \u0441\u0445\u0435\u043c \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442 \u0432 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0430\u0445 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_{0}\" alt=\"x_{0}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/c18\/619\/272\/c1861927235ba774ba9b159f6f288b31.svg\" width=\"20\" height=\"15\"\/>\u0438 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_{n}\" alt=\"x_{n}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/3dc\/5e8\/253\/3dc5e82538ec4e48210e4d2194485cd8.svg\" width=\"21\" height=\"15\"\/>\u043f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u0443 \u0443\u0437\u043b\u0430 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_{0}\" alt=\"x_{0}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/727\/241\/f60\/727241f60a6e7305c0eec1362604c745.svg\" width=\"20\" height=\"15\"\/>\u043e\u0442\u0441\u0443\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0441\u043e\u0441\u0435\u0434\u043d\u0438\u0439 \u0443\u0437\u0435\u043b \u0441\u043b\u0435\u0432\u0430, \u0430 \u0443 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_{n}\" alt=\"x_{n}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/662\/88b\/bf3\/66288bbf32ac7a309b6efbcb5e30165c.svg\" width=\"21\" height=\"15\"\/>&#8212; \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0430. \u0412 5-\u0442\u043e\u0447\u0435\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0445\u0435\u043c\u0435 \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u044f \u0435\u0449\u0435 \u0445\u0443\u0436\u0435, \u043f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u0434\u043b\u044f \u0440\u0430\u0441\u0447\u0435\u0442\u0430 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0443\u0436\u0435 \u043f\u043e 2 \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0437\u043b\u0430 \u0441\u043b\u0435\u0432\u0430 \u0438 \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0430 \u0437\u0430 \u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0446\u0430\u043c\u0438 \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u043c\u043e\u0433\u043e \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"[a, b]\" alt=\"[a, b]\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/78c\/4b6\/995\/78c4b6995fb27de64f5023c0048138b6.svg\" width=\"38\" height=\"22\"\/>. \u0421 \u044d\u0442\u0438\u043c \u0447\u0442\u043e-\u0442\u043e \u043d\u0430\u0434\u043e \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c. \u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u043c\u044b \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043d\u0430 \u044d\u0442\u0443 \u0442\u0435\u043c\u0443 \u0432 Numpy, \u043f\u043e\u0442\u0435\u0441\u0442\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439\u0448\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0442\u0438\u043f\u0430 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b, \u0438 \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0447\u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0443\u043b\u0443\u0447\u0448\u0438\u0442\u044c.<\/p>\n<p>\u00a0\u042d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0430 \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u0430 \u0432 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u043c\u043e\u0433\u043e \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u0430, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u043e \u0447\u0442\u043e \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u0432 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0435 &#8212; \u0447\u0442\u043e-\u0442\u043e \u0432\u0440\u043e\u0434\u0435 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0439 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438. \u0412\u0441\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0438 \u0431\u0443\u0434\u0443\u0442 \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u0432\u0438\u0434\u043d\u044b.<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0435\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"f(x)=e^{x}\" alt=\"f(x)=e^{x}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/629\/8a6\/469\/6298a6469b519da4a2024f27124c1232.svg\" width=\"81\" height=\"22\"\/>\u043d\u0430 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0435 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"[0, 1]\" alt=\"[0, 1]\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/c99\/8fc\/254\/c998fc254c077f40f35df192f8ee55a4.svg\" width=\"39\" height=\"22\"\/>. \u0420\u0430\u0437\u043e\u0431\u044c\u0435\u043c \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043e\u043a \u043d\u0430 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"n=10\" alt=\"n=10\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/100\/4fd\/c2f\/1004fdc2fb73feeb2c1c1ac8ec934cc0.svg\" width=\"57\" height=\"16\"\/>\u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439 \u0441 \u0448\u0430\u0433\u043e\u043c <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"h = 0,1\" alt=\"h = 0,1\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/79a\/ae7\/653\/79aae7653aadb83a792f8af7cacc7bd1.svg\" width=\"65\" height=\"20\"\/>\u0438 \u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u043c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u0443\u0437\u043b\u0430\u0445 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\" f_{i}=f(x_{i})\" alt=\" f_{i}=f(x_{i})\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/138\/129\/1de\/1381291de67160e286a7ace497672fa7.svg\" width=\"85\" height=\"22\"\/>, \u0433\u0434\u0435 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_{i}=i*h\" alt=\"x_{i}=i*h\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/133\/ee3\/05a\/133ee305ae3c3ea02761513e68784ffd.svg\" width=\"79\" height=\"20\"\/>. \u0412 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u043c\u043e\u0433\u043e \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u0438\u0441\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f, \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0441\u0441\u0438\u0432\u043e\u043c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0438\u0437 11 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"[1.000,1.105,1.221,1.350,1.492,1.649,1.822,2.014,2.226,2.460,2.718]\\quad\\quad(3)\" alt=\"[1.000,1.105,1.221,1.350,1.492,1.649,1.822,2.014,2.226,2.460,2.718]\\quad\\quad(3)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/1e7\/32c\/65b\/1e732c65b0e96870915216e995ad7fb5.svg\" width=\"643\" height=\"22\"\/><\/p>\n<p>\u0421\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e, \u0432 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0430 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043c\u044b \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u0436\u0435, \u0438\u043b\u0438 \u0447\u0442\u043e-\u0442\u043e \u0431\u043b\u0438\u0437\u043a\u043e\u0435 \u043a \u043d\u0435\u043c\u0443. \u041d\u0435 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043d\u0430\u0433\u043b\u044f\u0434\u043d\u043e \u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0442\u044c \u043d\u0430 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u044b \u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435, \u043d\u043e \u0431\u0435\u0437 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0442\u0440\u0443\u0434\u043d\u043e \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043e\u0431\u043e\u0439\u0442\u0438\u0441\u044c. \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0433\u043b\u0430\u0434\u043a\u0430\u044f, \u043a\u0430\u043a \u043d\u0435 \u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0439, \u0432\u0441\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0435, \u0438 \u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430\u0445 \u0440\u0430\u0437\u043d\u0438\u0446\u0430 \u0432 \u0442\u0440\u0435\u0442\u044c\u0435\u043c \u0437\u043d\u0430\u043a\u0435 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0437\u0430\u043f\u044f\u0442\u043e\u0439 \u043d\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u043d\u0430. \u041d\u043e \u0431\u0435\u0437 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 \u0442\u043e\u0436\u0435 \u043d\u0438\u043a\u0443\u0434\u0430 \u043d\u0435 \u0434\u0435\u0442\u044c\u0441\u044f.<\/p>\n<h3>\u0427\u0442\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u0442 NumPy<\/h3>\n<p>\u0412 Numpy \u0443\u0434\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u0434\u0432\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0430 \u044d\u0442\u0443 \u0442\u0435\u043c\u0443 &#8212; <em>diff \u0438 gradient. <\/em>\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u043d\u0430 &#171;\u0440\u044f\u0431\u0438\u043b\u043e \u0432 \u0433\u043b\u0430\u0437\u0430\u0445&#187; \u043e\u0442 \u043e\u0431\u0438\u043b\u0438\u044f \u0446\u0438\u0444\u0440, \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043c \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u044d\u0442\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0432 \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0441 \u043e\u0436\u0438\u0434\u0430\u0435\u043c\u044b\u043c &#171;\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u043c&#187; \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c <em>test<\/em> (3):<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/bdc\/88f\/3cc\/bdc88f3ccc51b4a7178a0b44a702beda.png\" alt=\"\u0420\u0438\u0441.1\" title=\"\u0420\u0438\u0441.1\" width=\"556\" height=\"413\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/bdc\/88f\/3cc\/bdc88f3ccc51b4a7178a0b44a702beda.png\"\/><\/p>\n<div><figcaption>\u0420\u0438\u0441.1<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<p>\u0412\u0438\u0434\u043d\u043e, \u0447\u0442\u043e \u0432 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"[0, 1]\" alt=\"[0, 1]\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/59e\/4bd\/199\/59e4bd1997f9c53ee2b22e2c87440668.svg\" width=\"39\" height=\"22\"\/>\u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0438 \u0442\u0440\u0443\u0434\u043d\u043e \u0440\u0430\u0437\u043b\u0438\u0447\u0438\u043c\u044b, \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u044b \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u044e\u0442 \u0432\u0431\u043b\u0438\u0437\u0438 \u043a\u043e\u043d\u0446\u043e\u0432 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u043f\u043e\u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u043e \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u044e \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432 \u043e\u043a\u0440\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u044d\u0442\u0438\u0445 &#171;\u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u043d\u044b\u0445&#187; \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a.<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043f\u043e\u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u0435\u0435. \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u044f \u043a \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u043c\u0443 \u043c\u0430\u0441\u0441\u0438\u0432\u0443 (3) \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e <em>diff<\/em>, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u043c\u0430\u0441\u0441\u0438\u0432 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"[1.052 ,1.162, 1.285, 1.420, 1.569, 1.734, 1.916, 2.118, 2.341, 2.587]\\quad\\quad(4)\" alt=\"[1.052 ,1.162, 1.285, 1.420, 1.569, 1.734, 1.916, 2.118, 2.341, 2.587]\\quad\\quad(4)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/f64\/2b0\/a52\/f642b0a52b758bf7c67f5d2ea0b534c0.svg\" width=\"591\" height=\"22\"\/><\/p>\n<p>\u041b\u0435\u0433\u043a\u043e \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e, \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d \u043f\u043e 2-\u0442\u043e\u0447\u0435\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0445\u0435\u043c\u0435 (1), \u043f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u043b\u043e\u0436\u0430\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043c\u0430\u0441\u0441\u0438\u0432\u0430 \u0443\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0438\u043b\u0430\u0441\u044c \u043d\u0430 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0443. \u041a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e, \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0434\u0443\u0440\u0430 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0430\u0432\u043e \u043d\u0430 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435, \u043d\u043e \u043a\u0430\u043a \u0443\u0436\u0435 \u0431\u044b\u043b\u043e \u043e\u0442\u043c\u0435\u0447\u0435\u043d\u043e, \u044d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0434\u043b\u044f \u043c\u043d\u043e\u0433\u0438\u0445 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0432. \u0421 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0435\u0439 <em>gradient <\/em>\u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u043f\u043e-\u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u043c\u0443:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"[1.052, 1.107, 1.223, 1.352, 1.494, 1.651, 1.825, 2.017, 2.229, 2.464, 2.587]\\quad\\quad(5)\" alt=\"[1.052, 1.107, 1.223, 1.352, 1.494, 1.651, 1.825, 2.017, 2.229, 2.464, 2.587]\\quad\\quad(5)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/3c6\/1d0\/c0c\/3c61d0c0c249c619b6a41b14963626e3.svg\" width=\"643\" height=\"22\"\/><\/p>\n<p>\u0422\u0443\u0442 \u0443\u0436\u0435 \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u0435\u043d\u0430 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u043c\u0430\u0441\u0441\u0438\u0432\u0430, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u0441 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 (3), \u0438 \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0430 \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0432 \u0442\u0440\u0435\u0442\u044c\u0435\u043c \u0437\u043d\u0430\u043a\u0435 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0437\u0430\u043f\u044f\u0442\u043e\u0439 \u0432\u0435\u0437\u0434\u0435, \u043a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0443 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043d\u0435\u043f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0435 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0434\u0443. \u041b\u0435\u0433\u043a\u043e \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e \u201c\u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0438\u0435\u201d \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u0430\u0441\u0441\u0438\u0432\u0430 \u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d\u044b \u043f\u043e 3-\u0442\u043e\u0447\u0435\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0445\u0435\u043c\u0435 (2). \u0412\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \u0441 \u0442\u0435\u043c, \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u0445 \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u044e\u0442 \u0441 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438 \u0432 \u201c2-\u0442\u043e\u0447\u0435\u0447\u043d\u043e\u043c\u201d \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0438 (4), \u0442.\u0435 <strong>\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 <em>gradient <\/em>\u0432\u0437\u044f\u0442\u044b \u0438\u0437 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f <em>diff<\/em><\/strong><em> (<\/em>\u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d\u044b \u043f\u043e 2-\u0442\u043e\u0447\u0435\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0445\u0435\u043c\u0435 (1)). \u0422\u0430\u043a \u0441\u0435\u0431\u0435 \u201c\u0433\u0438\u0431\u0440\u0438\u0434\u201d \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f, \u043d\u043e, \u043a\u0430\u043a \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u0438\u0442\u0441\u044f, \u201c\u043d\u0435 \u0441\u0442\u0440\u0435\u043b\u044f\u0439\u0442\u0435 \u0432 \u043f\u0438\u0430\u043d\u0438\u0441\u0442\u0430, \u043e\u043d \u0438\u0433\u0440\u0430\u0435\u0442 \u043a\u0430\u043a \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442\u201d.<\/p>\n<h3>\u0410 \u0447\u0442\u043e, \u0442\u0430\u043a \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0431\u044b\u043b\u043e?<\/h3>\n<p>\u041a\u0430\u043a \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u201c\u0443\u043b\u0443\u0447\u0448\u0438\u0442\u044c\u201d \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 (5) \u0432 \u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u0445? \u0412\u0441\u0435 \u043d\u0430 \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c \u0434\u0435\u043b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0449\u0435 \u043d\u0435\u043a\u0443\u0434\u0430. \u0412\u0441\u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u043c \u0440\u0430\u0437\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"f(x)\" alt=\"f(x)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/55b\/159\/af1\/55b159af139c06a10bdd6479b8892dca.svg\" width=\"37\" height=\"22\"\/>\u0432 \u0440\u044f\u0434 \u0422\u0435\u0439\u043b\u043e\u0440\u0430 \u0432 \u043e\u043a\u0440\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_{0}\" alt=\"x_{0}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/fc5\/d55\/5ae\/fc5d555aed148f17afcced4a0b2d6c27.svg\" width=\"20\" height=\"15\"\/>\u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u0435\u0433\u043e \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u0445 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_{1}\" alt=\"x_{1}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/d2f\/c86\/a63\/d2fc86a63a6c8467bd532e970cb5ae81.svg\" width=\"20\" height=\"14\"\/>\u0438 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_{2}\" alt=\"x_{2}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/b96\/70e\/c0a\/b9670ec0a1f5660facac8e8541b1a7a7.svg\" width=\"20\" height=\"14\"\/>\u043e\u0442\u0441\u0442\u043e\u044f\u0449\u0438\u0445 \u043e\u0442 \u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 <em>h<\/em> \u0438 <em>2h<\/em>, \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"f(x_{1}) = f(x_{0}) + h*f^{'}(x_{0})+ h^{2}\/2*f^{''}(x_{0})\" alt=\"f(x_{1}) = f(x_{0}) + h*f^{'}(x_{0})+ h^{2}\/2*f^{''}(x_{0})\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/cca\/39f\/7f9\/cca39f7f9b48a706fd8c95eeed741ac8.svg\" width=\"356\" height=\"26\"\/><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"f(x_{2}) = f(x_{0}) + 2*h*f^{'}(x_{0})+ (2*h)^{2}\/2*f^{''}(x_{0})\" alt=\"f(x_{2}) = f(x_{0}) + 2*h*f^{'}(x_{0})+ (2*h)^{2}\/2*f^{''}(x_{0})\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/d9f\/dc9\/dfd\/d9fdc9dfd06525f21427204f5b79a60a.svg\" width=\"427\" height=\"26\"\/><\/p>\n<p>\u0418\u0441\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u044f \u0438\u0437 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"f^{''}(x_{0})\" alt=\"f^{''}(x_{0})\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/101\/f55\/d61\/101f55d612806f7be8bd19530bab3243.svg\" width=\"54\" height=\"26\"\/>, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u043d\u0430\u0441 \u043f\u043e\u043a\u0430 \u043d\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u0443\u0435\u0442, \u043b\u0435\u0433\u043a\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043b\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438\u0441\u043a\u043e\u043c\u043e\u0433\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"f^{'}\" alt=\"f^{'}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/f86\/f32\/e60\/f86f32e60ed58d09e7b6234f980bb987.svg\" width=\"17\" height=\"25\"\/>\u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_{0}\" alt=\"x_{0}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/c09\/9bc\/736\/c099bc736a8f3f225729ca8ea815a340.svg\" width=\"20\" height=\"15\"\/>:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"f^{'}(x_{0}) = (-3*f(x_{0}) + 4*f(x_{1})- f(x_{2}))\/2h\\quad\\quad(6.1)\" alt=\"f^{'}(x_{0}) = (-3*f(x_{0}) + 4*f(x_{1})- f(x_{2}))\/2h\\quad\\quad(6.1)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/334\/652\/308\/33465230814e7bf08787e091fe2d1068.svg\" width=\"455\" height=\"26\"\/><\/p>\n<p>\u0410\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u044b\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"f^{'}\" alt=\"f^{'}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/b96\/48a\/c17\/b9648ac17b1994326525f335143c8878.svg\" width=\"17\" height=\"25\"\/>\u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_{n}\" alt=\"x_{n}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/d18\/8ac\/7b4\/d188ac7b4de0fbe5349a9f4a12435435.svg\" width=\"21\" height=\"15\"\/>:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"f^{'}(x_{n}) = (3*f(x_{n}) - 4*f(x_{n-1})+ f(x_{n-2}))\/2h\\quad\\quad(6.2)\" alt=\"f^{'}(x_{n}) = (3*f(x_{n}) - 4*f(x_{n-1})+ f(x_{n-2}))\/2h\\quad\\quad(6.2)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/dfd\/db2\/073\/dfddb2073e9d6f5d05306ec74e4c0eca.svg\" width=\"480\" height=\"26\"\/><\/p>\n<p>\u201c\u0421\u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0432\u201d \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e <em>gradient<\/em> \u0432 \u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u0445 (\u0435\u0441\u043b\u0438 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u043e, \u043a\u043e\u0434 \u043d\u0430 Python \u0432 2-\u0445 \u0432\u0435\u0440\u0441\u0438\u044f\u0445 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0442\u044c<\/p>\n<details class=\"spoiler\">\n<summary>\u0437\u0434\u0435\u0441\u044c<\/summary>\n<div class=\"spoiler__content\">\n<pre><code>def gradient_improved_1(f, h):   n = len(f) - 1   y1 = np.append(y[1:], 3 * y[n] + y[n-2])   y1[0] *= 4   y2 = np.insert(y[:-1], 0, 3 * y[0] + y[2])   y2[n] *= 4   return (y1-y2)\/2\/h   def gradient_improved_2(f, h):   n = len(f) - 1   y1 = np.append(np.insert(y[2:], 0, 4*y[1]), 3 * y[n] + y[n-2])   y2 = np.append(np.insert(y[:-2], 0, 3 * y[0] + y[2]), 4*y[n-1])   return (y1-y2)\/2\/h<\/code><\/pre>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/details>\n<p>\u0412 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0435\u00a0\u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u043c\u0430\u0441\u0441\u0438\u0432 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439:<\/p>\n<p><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"[0.996, 1.107, 1.223, 1.352, 1.494, 1.651, 1.825, 2.017, 2.229, 2.464, 2.710]\\quad\\quad(7)\" alt=\"[0.996, 1.107, 1.223, 1.352, 1.494, 1.651, 1.825, 2.017, 2.229, 2.464, 2.710]\\quad\\quad(7)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/fc3\/a3e\/3a9\/fc3a3e3a9d642125006266d8a447e778.svg\" width=\"643\" height=\"22\"\/><\/p>\n<p>\u0420\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u0443\u0436\u0435 \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u043a\u0440\u0430\u0441\u0438\u0432\u043e. \u0421\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0442\u044c \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u044b <em>diff <\/em>(4), <em>gradient<\/em> (5) \u0438 <em>improved <\/em>(7) \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c (\u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u044e\u0449\u0438\u043c \u0441\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438) <em>test <\/em>(3) \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0435 \u0432\u0431\u043b\u0438\u0437\u0438 \u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0446\u044b \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"[0, 1]\" alt=\"[0, 1]\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/30f\/e4d\/cf3\/30fe4dcf39535a0f5222efca46ecd074.svg\" width=\"39\" height=\"22\"\/>:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/cfb\/7d5\/a73\/cfb7d5a73e2f71351e292ff65e270ba6.png\" alt=\"\u0420\u0438\u0441.2\" title=\"\u0420\u0438\u0441.2\" width=\"585\" height=\"418\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/cfb\/7d5\/a73\/cfb7d5a73e2f71351e292ff65e270ba6.png\"\/><\/p>\n<div><figcaption>\u0420\u0438\u0441.2<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<p>\u0410\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u0430 \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u044f \u0432\u0431\u043b\u0438\u0437\u0438 \u043f\u0440\u0430\u0432\u043e\u0439 \u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0446\u044b \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/f64\/c3f\/7ca\/f64c3f7ca2cda94b53091ac058f45e60.png\" alt=\"\u0420\u0438\u0441. 3\" title=\"\u0420\u0438\u0441. 3\" width=\"567\" height=\"413\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/f64\/c3f\/7ca\/f64c3f7ca2cda94b53091ac058f45e60.png\"\/><\/p>\n<div><figcaption>\u0420\u0438\u0441. 3<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<p>&#171;\u0423\u043b\u0443\u0447\u0448\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f&#187; \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0435\u043a\u0440\u0430\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u044b. \u0411\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043d\u0430\u0433\u043b\u044f\u0434\u043d\u0443\u044e \u043a\u0430\u0440\u0442\u0438\u043d\u0443, \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0431\u044b\u043b\u043e \u0431\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c, \u201c\u043d\u0430\u043a\u043e\u043f\u0438\u0432 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0438\u201d \u043f\u0440\u0438 \u043f\u043e\u0432\u0442\u043e\u0440\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0434\u0443\u0440\u044b \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0440\u0430\u0437. \u0422\u043e\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c, \u0435\u0441\u0442\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e, \u043d\u0435 \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f, \u043d\u043e \u043f\u043e\u0434\u0441\u0447\u0435\u0442\u044b \u043f\u043e \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u044b\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f\u043c NumPy \u201c\u0440\u0430\u0437\u044a\u0435\u0437\u0436\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f\u201d \u043d\u0430\u0441\u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0441\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e, \u0447\u0442\u043e \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u043d\u0435 \u043f\u043e\u0440\u0442\u0438\u0442\u044c \u0441\u0435\u0431\u0435 \u043d\u0430\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0438\u0435. \u0421 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u044b, \u043f\u0440\u0435\u0438\u043c\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u201c\u0443\u043b\u0443\u0447\u0448\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439\u201d \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0434\u0443\u0440\u044b \u0443\u0436\u0435 \u043e\u0447\u0435\u0432\u0438\u0434\u043d\u044b, \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u043f\u043e\u0447\u0442\u0438 &#171;\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0441\u044f&#187; \u043d\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435.  <\/p>\n<h3>\u0427\u0442\u043e \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435?<\/h3>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0440\u0430\u0437\u0431\u0438\u0440\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0434\u043e \u043a\u043e\u043d\u0446\u0430, \u0442\u043e, \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e, \u043d\u0430\u0434\u043e \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0434\u0443\u0440\u0443 \u043d\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f\u0445, \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u043f\u043e\u043b\u0438\u043d\u043e\u043c\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0438\u043b\u0438 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445. \u0412\u043e\u0437\u044c\u043c\u0435\u043c \u0432 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430 \u043d\u0430 \u0442\u043e\u043c \u0436\u0435 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0435 <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"[0, 1]\" alt=\"[0, 1]\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/38e\/7bf\/42e\/38e7bf42e8095735472ec6aada90134b.svg\" width=\"39\" height=\"22\"\/>\u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"f(x) = x^{3}\" alt=\"f(x) = x^{3}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/25a\/cf7\/a10\/25acf7a10bd896609caadbd36d6ed7b9.svg\" width=\"82\" height=\"25\"\/>, \u0448\u0430\u0433 \u0441\u0435\u0442\u043a\u0438 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0442\u043e\u0442 \u0436\u0435, \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c <img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"f^{'}(x)=3*x^{2}\" alt=\"f^{'}(x)=3*x^{2}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/962\/14a\/c78\/96214ac7807deef1d6725535dcb329ce.svg\" width=\"116\" height=\"26\"\/>. \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043e \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u0435\u043c &#8212; \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u044f \u0432\u0431\u043b\u0438\u0437\u0438 \u043f\u0440\u0430\u0432\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u043d\u0446\u0430 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430:<\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/236\/690\/d56\/236690d562d6eb32c9f1db8db49719f0.png\" alt=\"\u0420\u0438\u0441.4\" title=\"\u0420\u0438\u0441.4\" width=\"563\" height=\"418\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/236\/690\/d56\/236690d562d6eb32c9f1db8db49719f0.png\"\/><\/p>\n<div><figcaption>\u0420\u0438\u0441.4<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<p>\u0412\u0441\u0435 \u043f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0435 \u043d\u0430 \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u044e \u0441 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u043e\u0439: <em>diff <\/em>\u201c\u043d\u0435 \u0434\u043e\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0434\u043e \u043a\u043e\u043d\u0446\u0430\u201d, <em>gradient <\/em>\u0434\u0430\u0435\u0442 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0443\u044e \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0443 \u0432 \u043a\u0440\u0430\u0439\u043d\u0435\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435, \u201c\u0443\u043b\u0443\u0447\u0448\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439\u201d <em>gradient <\/em>\u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e, \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u044f \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c.   <\/p>\n<p>\u0421\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u044f \u0432\u0431\u043b\u0438\u0437\u0438 \u043b\u0435\u0432\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u043d\u0446\u0430 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430, \u043c\u044f\u0433\u043a\u043e \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u044f, \u0443\u0436\u0435 \u043d\u0435 \u0441\u043e\u0432\u0441\u0435\u043c \u043e\u0434\u043d\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u043d\u0430:  <\/p>\n<figure class=\"full-width\"><img loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/3fe\/63a\/951\/3fe63a951d1c99414cdf22768fdce265.png\" alt=\"\u0420\u0438\u0441. 5\" title=\"\u0420\u0438\u0441. 5\" width=\"587\" height=\"418\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/3fe\/63a\/951\/3fe63a951d1c99414cdf22768fdce265.png\"\/><\/p>\n<div><figcaption>\u0420\u0438\u0441. 5<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<p>\u041d\u0430\u0448 \u0443\u043b\u0443\u0447\u0448\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c <em>improved <\/em>\u0432 \u043e\u043a\u0440\u0435\u0441\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 0 \u0443\u0441\u0442\u0443\u043f\u0430\u0435\u0442 \u201c\u043e\u0440\u0438\u0433\u0438\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c\u0443\u201d \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0443 <em>gradient<\/em>, \u0438 \u043f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043e\u043d\u0438 \u043e\u0431\u0430 \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0434\u0430\u043b\u0435\u043a\u0438 \u043e\u0442 \u201c\u0438\u0434\u0435\u0430\u043b\u0430\u201d &#8212; \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f <em>test<\/em>. \u0414\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u043b\u0435\u0433\u043a\u043e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u0430\u044f \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u044f \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0432\u0430\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u0431\u043b\u0438\u0437\u043a\u0430 \u043a \u043d\u0443\u043b\u044e.<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442 \u0437\u0430\u043a\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0439 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441 &#8212; \u0430 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043b\u0438 \u043f\u0440\u0438\u0434\u0443\u043c\u0430\u0442\u044c \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c, \u043d\u0435 \u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0443\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0442\u0440\u0430\u0442 ( \u0430 \u0432 \u043d\u0430\u0448\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435, \u044d\u0442\u043e \u041e(n)), \u043d\u043e \u0434\u0430\u044e\u0449\u0438\u0439 \u043b\u0443\u0447\u0448\u0438\u0435 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u044b \u043d\u0430 \u0432\u0441\u0435\u043c \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0435, \u0432\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u044f \u0435\u0433\u043e \u043a\u043e\u043d\u0446\u044b? \u041a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e, \u044d\u0442\u043e \u0438 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0442\u0435\u043c\u043e\u0439 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438. \u0421\u043f\u0430\u0441\u0438\u0431\u043e \u0437\u0430 \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435. \u0411\u0443\u0434\u0443 \u0431\u043b\u0430\u0433\u043e\u0434\u0430\u0440\u0435\u043d \u0437\u0430 \u043a\u043e\u043c\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0440\u0438\u0438.<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p><!----><!----><\/div>\n<p><!----><!----><br \/> \u0441\u0441\u044b\u043b\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u043e\u0440\u0438\u0433\u0438\u043d\u0430\u043b \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438 <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/articles\/753490\/\"> https:\/\/habr.com\/ru\/articles\/753490\/<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<div><!--[--><!--]--><\/div>\n<div id=\"post-content-body\">\n<div>\n<div class=\"article-formatted-body article-formatted-body article-formatted-body_version-2\">\n<div xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1999\/xhtml\">\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e \u043a\u0430\u043a \u044f \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u00ab\u043f\u043e\u0434\u0441\u0435\u043b\u00bb \u043d\u0430\u00a0\u0447\u0442\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0425\u0430\u0431\u0440\u0430, \u0437\u0430\u0445\u043e\u0442\u0435\u043b\u043e\u0441\u044c \u00ab\u043e\u0441\u0432\u0435\u0436\u0438\u0442\u044c\u00bb \u0447\u0442\u043e\u2011\u0442\u043e \u0438\u0437\u00a0\u0441\u0432\u043e\u0435\u0433\u043e \u0431\u043e\u0433\u0430\u0442\u043e\u0433\u043e \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0448\u043b\u043e\u0433\u043e. \u0412\u043e\u0441\u043a\u0440\u0435\u0441\u0438\u0442\u044c, \u0442\u0430\u043a \u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c, \u0441\u0442\u0430\u0440\u044b\u0435 \u043d\u0430\u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u043a\u0438, \u0437\u0430\u0439\u0434\u044f, \u0435\u0441\u0442\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e, \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0434\u0432\u0435\u0440\u044c \u0441\u00a0\u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0447\u043a\u043e\u0439 Python. \u041f\u0440\u0435\u0434\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u0430\u044f \u043f\u0443\u0431\u043b\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u044f \u043f\u043e\u0441\u0432\u044f\u0449\u0435\u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439\u0448\u0438\u043c \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f. \u041a\u0430\u043a \u043d\u0438 \u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u043d\u043e, \u0442\u0443\u0442 \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u044e\u0442 \u043a\u043e\u0435-\u043a\u0430\u043a\u0438\u0435 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441\u044b \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u044b. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0442\u0435\u043c\u0430 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0434\u043b\u044f\u00a0\u043a\u043e\u0433\u043e\u2011\u0442\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u043e\u0439, \u0432\u00a0\u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0445 \u043f\u0443\u0431\u043b\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u044f\u0445 \u0431\u0443\u0434\u0443\u0442 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043d\u044b \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0435 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441\u044b \u0438 \u00ab\u043f\u0440\u043e\u0434\u0432\u0438\u043d\u0443\u0442\u044b\u0435\u00bb \u0440\u0430\u0441\u0447\u0435\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u044b. \u041f\u043e\u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u043c \u0441\u00a0\u041e\u0414\u0423 (\u043e\u0431\u044b\u043a\u043d\u043e\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438, \u0438, \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e, \u0434\u043e\u0439\u0434\u0435\u043c \u0434\u043e <s>\u043d\u0430\u0448\u0435\u0433\u043e \u0412\u0438\u043b\u044c\u044f\u043c\u0430 \u0428\u0435\u043a\u0441\u043f\u0438\u0440\u0430<\/s> \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043a\u0440\u0430\u0435\u0432\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447 \u0423\u0420\u0427\u041f (\u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0432\u00a0\u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445), \u0432\u00a0\u0442\u043e\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435 \u043d\u0435\u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043e\u00a0\u043a\u0440\u0430\u0435\u0432\u044b\u043c \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f\u043c \u0438 \u043d\u0430\u00a0\u0430\u0434\u0430\u043f\u0442\u0438\u0432\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0435\u0442\u043a\u0430\u0445. <\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434 \u0442\u0435\u0440\u043c\u0438\u043d\u043e\u043c &#171;\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435&#187; \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u044e\u0442 \u0442\u0440\u0438 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u0449\u0438 (\u0446\u0438\u0442\u0430\u0442\u0430 \u043f\u043e <a href=\"https:\/\/github.com\/pbrod\/numdifftools\/blob\/5321b5239c22d2f8eca8cf21be761a8a5c7ece85\/docs\/DERIVEST.pdf\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\"><u>numdifftools<\/u><\/a>) &#8212; \u0441\u0438\u043c\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 (\u0441\u0438\u043c\u0432\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435) \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435, \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043e\u0442 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438, \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043e\u0442 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440\u043e\u043c \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445. \u041f\u043e \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043c\u0443 \u0438 \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0443\u043d\u043a\u0442\u0430\u043c, \u0432\u043a\u0440\u0430\u0442\u0446\u0435<\/p>\n<details class=\"spoiler\">\n<summary>\u0437\u0434\u0435\u0441\u044c<\/summary>\n<div class=\"spoiler__content\">\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0441\u0438\u043c\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e (\u0441\u0438\u043c\u0432\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e) \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0432 Python \u0435\u0441\u0442\u044c \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u0430\u044f \u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a\u0430 SymPy, \u043f\u043e \u0441\u0443\u0442\u0438 \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0449\u0430\u044f\u0441\u044f \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043c \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u043c \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u043e\u0447\u043d\u0438\u043a\u043e\u043c.  <\/p>\n<p>\u0412 SciPy \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u043b \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c scipy.misc, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c deprecated, \u0438 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u043d\u0435\u0433\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u044b \u0434\u0432\u0430 \u0440\u0435\u043f\u043e\u0437\u0438\u0442\u043e\u0440\u0438\u044f: <a href=\"https:\/\/github.com\/maroba\/findiff\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\"><u>https:\/\/github.com\/maroba\/findiff<\/u><\/a>  \u0438 \u0443\u0436\u0435 \u0443\u043f\u043e\u043c\u0438\u043d\u0430\u0432\u0448\u0438\u0439\u0441\u044f <a href=\"https:\/\/github.com\/pbrod\/numdifftools\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\"><u>https:\/\/github.com\/pbrod\/numdifftools<\/u><\/a>. \u041e\u0431\u0430 \u043e\u043d\u0438, \u043d\u0430\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043c\u043d\u0435 \u0443\u0434\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c \u0440\u0430\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f, \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u044f\u0442\u0441\u044f \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043a\u043e \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0443\u043d\u043a\u0442\u0443, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0430 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438, \u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u0432 \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435, \u0438\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0441 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e.<\/p>\n<\/div>\n<\/details>\n<p>\u0410 \u043c\u044b \u0437\u0430\u0439\u043c\u0435\u043c\u0441\u044f \u043f\u0443\u043d\u043a\u0442\u043e\u043c \u0442\u0440\u0435\u0442\u044c\u0438\u043c &#8212; \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c \u0434\u0438\u0441\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 (\u043e\u043d\u0438 \u0436\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u0442\u0447\u0430\u0442\u044b\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u043e\u043d\u0438 \u0436\u0435 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u043e\u043d\u0438 \u0436\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440\u043e\u043c \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0438 \u0442.\u043f.). \u041a\u0430\u043a \u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c, \u0432 \u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a\u0430\u0445 Python \u0441 \u044d\u0442\u0438\u043c \u043d\u0435 \u0432\u0441\u0435 \u0442\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0438 \u0431\u0435\u0437\u043e\u0431\u043b\u0430\u0447\u043d\u043e, \u043a\u0430\u043a \u043f\u043e \u0438\u0434\u0435\u0435 \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u043e \u0431\u044b \u0431\u044b\u0442\u044c. SciPy \u0432\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u043f\u0440\u043e \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0435, \u0430 \u0432 NumPy &#171;\u0442\u0435\u043c\u0430 \u043d\u0435 \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u044b\u0442\u0430&#187;. \u041d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439\u0448\u0438\u0445 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430\u0445 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0442\u043e, \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u0442 NumPy, \u0447\u0442\u043e \u0442\u0430\u043c \u043d\u0435 \u0442\u0430\u043a \u0438 \u043a\u0430\u043a \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435.  . <\/p>\n<h2>\u041f\u043e\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0430 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438<\/h2>\n<p>\u041d\u0430\u0447\u043d\u0435\u043c \u0441 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438  \u043e\u0442 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439, \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438  \u0432  \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u0445 (\u0443\u0437\u043b\u0430\u0445)  \u0441 \u0438\u043d\u0434\u0435\u043a\u0441\u043e\u043c   \u043d\u0430 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0435 , \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u043c \u043d\u0430  \u0441\u0435\u0433\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432. \u0415\u0441\u0442\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e,  . \u0414\u043b\u044f \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u043c \u0448\u0430\u0433\u043e\u043c, \u043f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c<\/p>\n<p>\u041b\u044e\u0431\u043e\u043c\u0443 \u0441\u0442\u0443\u0434\u0435\u043d\u0442\u0443-\u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043a\u0443\u0440\u0441\u043d\u0438\u043a\u0443 \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u0430 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 <\/p>\n<p>\u0433\u0434\u0435 \u0441\u0438\u043c\u0432\u043e\u043b \u0441\u043b\u0435\u0432\u0430 &#8212; \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438  \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435, \u043b\u0435\u0436\u0430\u0449\u0435\u0439 \u043f\u043e\u0441\u0435\u0440\u0435\u0434\u0438\u043d\u0435 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u043c\u0438 \u0438 \u0412\u0430\u0436\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 &#8212; \u0432 \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0430\u0441\u0447\u0435\u0442\u0430\u0445, \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u043a\u0440\u0430\u0435\u0432\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447, \u0432 \u0442\u043e\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435 \u0434\u043b\u044f \u0423\u0420\u0427\u041f, \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u0432 &#171;\u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u0445&#187; \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u0445 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043d\u0435\u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e, \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u0431\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e \u0445\u043e\u0447\u0435\u0442\u0441\u044f \u0437\u043d\u0430\u0442\u044c \u0438\u0445 \u0432 \u0443\u0437\u043b\u0430\u0445 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430 \u0438\u043b\u0438 \u0443\u0437\u043b\u0430\u0445 \u0441\u0435\u0442\u043a\u0438\u00a0 \u0434\u043b\u044f 2-\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0445 \u0438\u043b\u0438 \u0434\u043b\u044f 3-\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447. \u0415\u0441\u0442\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e, \u044d\u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043c \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e\u043c \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u043e\u0432, \u0441\u0430\u043c\u044b\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0439 \u0438\u0437 \u043d\u0438\u0445 \u044d\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c\u0430\u044f 3-\u0442\u043e\u0447\u0435\u0447\u043d\u0430\u044f \u0441\u0445\u0435\u043c\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0432 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0435\u0442\u043a\u0438 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 2-\u0442\u043e\u0447\u0435\u0447\u043d\u0443\u044e:<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 5-\u0442\u043e\u0447\u0435\u0447\u043d\u0430\u044f \u0441\u0445\u0435\u043c\u0430, \u0438 \u0442\u0430\u043a \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0434\u043e\u043b\u0436\u0430\u0442\u044c \u0434\u043e \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438. \u041f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u0430 \u0443 \u044d\u0442\u0438\u0445 \u0441\u0445\u0435\u043c \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442 \u0432 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0430\u0445 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430 \u0438 \u043f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u0443 \u0443\u0437\u043b\u0430 \u043e\u0442\u0441\u0443\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0441\u043e\u0441\u0435\u0434\u043d\u0438\u0439 \u0443\u0437\u0435\u043b \u0441\u043b\u0435\u0432\u0430, \u0430 \u0443 &#8212; \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0430. \u0412 5-\u0442\u043e\u0447\u0435\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0445\u0435\u043c\u0435 \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u044f \u0435\u0449\u0435 \u0445\u0443\u0436\u0435, \u043f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u0434\u043b\u044f \u0440\u0430\u0441\u0447\u0435\u0442\u0430 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0443\u0436\u0435 \u043f\u043e 2 \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0437\u043b\u0430 \u0441\u043b\u0435\u0432\u0430 \u0438 \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0430 \u0437\u0430 \u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0446\u0430\u043c\u0438 \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u043c\u043e\u0433\u043e \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430 . \u0421 \u044d\u0442\u0438\u043c \u0447\u0442\u043e-\u0442\u043e \u043d\u0430\u0434\u043e \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c. \u0414\u0430\u043b\u0435\u0435 \u043c\u044b \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043d\u0430 \u044d\u0442\u0443 \u0442\u0435\u043c\u0443 \u0432 Numpy, \u043f\u043e\u0442\u0435\u0441\u0442\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439\u0448\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0442\u0438\u043f\u0430 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b, \u0438 \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0447\u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0443\u043b\u0443\u0447\u0448\u0438\u0442\u044c.<\/p>\n<p>\u00a0\u042d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0430 \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u0430 \u0432 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u043c\u043e\u0433\u043e \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u0430, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u043e \u0447\u0442\u043e \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u0432 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0435 &#8212; \u0447\u0442\u043e-\u0442\u043e \u0432\u0440\u043e\u0434\u0435 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0439 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438. \u0412\u0441\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0438 \u0431\u0443\u0434\u0443\u0442 \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u0432\u0438\u0434\u043d\u044b.<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0435\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u043d\u0430 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0435 . \u0420\u0430\u0437\u043e\u0431\u044c\u0435\u043c \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043e\u043a \u043d\u0430 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439 \u0441 \u0448\u0430\u0433\u043e\u043c \u0438 \u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u043c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u0443\u0437\u043b\u0430\u0445 , \u0433\u0434\u0435 . \u0412 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u043c\u043e\u0433\u043e \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u0438\u0441\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f, \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0441\u0441\u0438\u0432\u043e\u043c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0438\u0437 11 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432:<\/p>\n<p>\u0421\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e, \u0432 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0430 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043c\u044b \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u0436\u0435, \u0438\u043b\u0438 \u0447\u0442\u043e-\u0442\u043e \u0431\u043b\u0438\u0437\u043a\u043e\u0435 \u043a \u043d\u0435\u043c\u0443. \u041d\u0435 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043d\u0430\u0433\u043b\u044f\u0434\u043d\u043e \u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0442\u044c \u043d\u0430 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u044b \u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435, \u043d\u043e \u0431\u0435\u0437 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0442\u0440\u0443\u0434\u043d\u043e \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043e\u0431\u043e\u0439\u0442\u0438\u0441\u044c. \u0424\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0433\u043b\u0430\u0434\u043a\u0430\u044f, \u043a\u0430\u043a \u043d\u0435 \u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0439, \u0432\u0441\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0435, \u0438 \u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430\u0445 \u0440\u0430\u0437\u043d\u0438\u0446\u0430 \u0432 \u0442\u0440\u0435\u0442\u044c\u0435\u043c \u0437\u043d\u0430\u043a\u0435 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0437\u0430\u043f\u044f\u0442\u043e\u0439 \u043d\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u043d\u0430. \u041d\u043e \u0431\u0435\u0437 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 \u0442\u043e\u0436\u0435 \u043d\u0438\u043a\u0443\u0434\u0430 \u043d\u0435 \u0434\u0435\u0442\u044c\u0441\u044f.<\/p>\n<h3>\u0427\u0442\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u0442 NumPy<\/h3>\n<p>\u0412 Numpy \u0443\u0434\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u0434\u0432\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0430 \u044d\u0442\u0443 \u0442\u0435\u043c\u0443 &#8212; <em>diff \u0438 gradient. <\/em>\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u043d\u0430 &#171;\u0440\u044f\u0431\u0438\u043b\u043e \u0432 \u0433\u043b\u0430\u0437\u0430\u0445&#187; \u043e\u0442 \u043e\u0431\u0438\u043b\u0438\u044f \u0446\u0438\u0444\u0440, \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043c \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u044d\u0442\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 \u0432 \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0441 \u043e\u0436\u0438\u0434\u0430\u0435\u043c\u044b\u043c &#171;\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u043c&#187; \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c <em>test<\/em> (3):<\/p>\n<figure class=\"full-width\">\n<div><figcaption>\u0420\u0438\u0441.1<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<p>\u0412\u0438\u0434\u043d\u043e, \u0447\u0442\u043e \u0432 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0438 \u0442\u0440\u0443\u0434\u043d\u043e \u0440\u0430\u0437\u043b\u0438\u0447\u0438\u043c\u044b, \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u044b \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u044e\u0442 \u0432\u0431\u043b\u0438\u0437\u0438 \u043a\u043e\u043d\u0446\u043e\u0432 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u043f\u043e\u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u043e \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u044e \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0432 \u043e\u043a\u0440\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u044d\u0442\u0438\u0445 &#171;\u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u043d\u044b\u0445&#187; \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a.<\/p>\n<p>\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043f\u043e\u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u0435\u0435. \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u044f \u043a \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u043c\u0443 \u043c\u0430\u0441\u0441\u0438\u0432\u0443 (3) \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e <em>diff<\/em>, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u043c\u0430\u0441\u0441\u0438\u0432 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439:<\/p>\n<p>\u041b\u0435\u0433\u043a\u043e \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e, \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d \u043f\u043e 2-\u0442\u043e\u0447\u0435\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0445\u0435\u043c\u0435 (1), \u043f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u043b\u043e\u0436\u0430\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043c\u0430\u0441\u0441\u0438\u0432\u0430 \u0443\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0438\u043b\u0430\u0441\u044c \u043d\u0430 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0443. \u041a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e, \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0434\u0443\u0440\u0430 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0430\u0432\u043e \u043d\u0430 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435, \u043d\u043e \u043a\u0430\u043a \u0443\u0436\u0435 \u0431\u044b\u043b\u043e \u043e\u0442\u043c\u0435\u0447\u0435\u043d\u043e, \u044d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0434\u043b\u044f \u043c\u043d\u043e\u0433\u0438\u0445 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0432. \u0421 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0435\u0439 <em>gradient <\/em>\u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u043f\u043e-\u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u043c\u0443:<\/p>\n<p>\u0422\u0443\u0442 \u0443\u0436\u0435 \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u0435\u043d\u0430 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u043c\u0430\u0441\u0441\u0438\u0432\u0430, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u0441 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 (3), \u0438 \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0430 \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0432 \u0442\u0440\u0435\u0442\u044c\u0435\u043c \u0437\u043d\u0430\u043a\u0435 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0437\u0430\u043f\u044f\u0442\u043e\u0439 \u0432\u0435\u0437\u0434\u0435, \u043a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0443 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043d\u0435\u043f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0435 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0434\u0443. \u041b\u0435\u0433\u043a\u043e \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e \u201c\u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0438\u0435\u201d \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u0430\u0441\u0441\u0438\u0432\u0430 \u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d\u044b \u043f\u043e 3-\u0442\u043e\u0447\u0435\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0445\u0435\u043c\u0435 (2). \u0412\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \u0441 \u0442\u0435\u043c, \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u0445 \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u044e\u0442 \u0441 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438 \u0432 \u201c2-\u0442\u043e\u0447\u0435\u0447\u043d\u043e\u043c\u201d \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0438 (4), \u0442.\u0435 <strong>\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 <em>gradient <\/em>\u0432\u0437\u044f\u0442\u044b \u0438\u0437 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f <em>diff<\/em><\/strong><em> (<\/em>\u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d\u044b \u043f\u043e 2-\u0442\u043e\u0447\u0435\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0445\u0435\u043c\u0435 (1)). \u0422\u0430\u043a \u0441\u0435\u0431\u0435 \u201c\u0433\u0438\u0431\u0440\u0438\u0434\u201d \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f, \u043d\u043e, \u043a\u0430\u043a \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u0438\u0442\u0441\u044f, \u201c\u043d\u0435 \u0441\u0442\u0440\u0435\u043b\u044f\u0439\u0442\u0435 \u0432 \u043f\u0438\u0430\u043d\u0438\u0441\u0442\u0430, \u043e\u043d \u0438\u0433\u0440\u0430\u0435\u0442 \u043a\u0430\u043a \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442\u201d.<\/p>\n<h3>\u0410 \u0447\u0442\u043e, \u0442\u0430\u043a \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0431\u044b\u043b\u043e?<\/h3>\n<p>\u041a\u0430\u043a \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u201c\u0443\u043b\u0443\u0447\u0448\u0438\u0442\u044c\u201d \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 (5) \u0432 \u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u0445? \u0412\u0441\u0435 \u043d\u0430 \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c \u0434\u0435\u043b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0449\u0435 \u043d\u0435\u043a\u0443\u0434\u0430. \u0412\u0441\u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u043c \u0440\u0430\u0437\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u0440\u044f\u0434 \u0422\u0435\u0439\u043b\u043e\u0440\u0430 \u0432 \u043e\u043a\u0440\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430 \u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u0435\u0433\u043e \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u0445 \u0438 \u043e\u0442\u0441\u0442\u043e\u044f\u0449\u0438\u0445 \u043e\u0442 \u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 <em>h<\/em> \u0438 <em>2h<\/em>, \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e:<\/p>\n<p>\u0418\u0441\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u044f \u0438\u0437 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 , \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u043d\u0430\u0441 \u043f\u043e\u043a\u0430 \u043d\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u0443\u0435\u0442, \u043b\u0435\u0433\u043a\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043b\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438\u0441\u043a\u043e\u043c\u043e\u0433\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 :<\/p>\n<p>\u0410\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u044b\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 :<\/p>\n<p>\u201c\u0421\u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0432\u201d \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e <em>gradient<\/em> \u0432 \u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u0445 (\u0435\u0441\u043b\u0438 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u043e, \u043a\u043e\u0434 \u043d\u0430 Python \u0432 2-\u0445 \u0432\u0435\u0440\u0441\u0438\u044f\u0445 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0442\u044c<\/p>\n<details class=\"spoiler\">\n<summary>\u0437\u0434\u0435\u0441\u044c<\/summary>\n<div class=\"spoiler__content\">\n<pre><code>def gradient_improved_1(f, h):   n = len(f) - 1   y1 = np.append(y[1:], 3 * y[n] + y[n-2])   y1[0] *= 4   y2 = np.insert(y[:-1], 0, 3 * y[0] + y[2])   y2[n] *= 4   return (y1-y2)\/2\/h   def gradient_improved_2(f, h):   n = len(f) - 1   y1 = np.append(np.insert(y[2:], 0, 4*y[1]), 3 * y[n] + y[n-2])   y2 = np.append(np.insert(y[:-2], 0, 3 * y[0] + y[2]), 4*y[n-1])   return (y1-y2)\/2\/h<\/code><\/pre>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/details>\n<p>\u0412 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0435\u00a0\u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u043c\u0430\u0441\u0441\u0438\u0432 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439:<\/p>\n<p>\u0420\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u0443\u0436\u0435 \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u043a\u0440\u0430\u0441\u0438\u0432\u043e. \u0421\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0442\u044c \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u044b <em>diff <\/em>(4), <em>gradient<\/em> (5) \u0438 <em>improved <\/em>(7) \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c (\u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u044e\u0449\u0438\u043c \u0441\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438) <em>test <\/em>(3) \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0435 \u0432\u0431\u043b\u0438\u0437\u0438 \u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0446\u044b \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430 :<\/p>\n<figure class=\"full-width\">\n<div><figcaption>\u0420\u0438\u0441.2<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<p>\u0410\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u0430 \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u044f \u0432\u0431\u043b\u0438\u0437\u0438 \u043f\u0440\u0430\u0432\u043e\u0439 \u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0446\u044b \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430:<\/p>\n<figure class=\"full-width\">\n<div><figcaption>\u0420\u0438\u0441. 3<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<p>&#171;\u0423\u043b\u0443\u0447\u0448\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f&#187; \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0435\u043a\u0440\u0430\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u044b. \u0411\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043d\u0430\u0433\u043b\u044f\u0434\u043d\u0443\u044e \u043a\u0430\u0440\u0442\u0438\u043d\u0443, \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0431\u044b\u043b\u043e \u0431\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c, \u201c\u043d\u0430\u043a\u043e\u043f\u0438\u0432 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0438\u201d \u043f\u0440\u0438 \u043f\u043e\u0432\u0442\u043e\u0440\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0434\u0443\u0440\u044b \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0440\u0430\u0437. \u0422\u043e\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c, \u0435\u0441\u0442\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e, \u043d\u0435 \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f, \u043d\u043e \u043f\u043e\u0434\u0441\u0447\u0435\u0442\u044b \u043f\u043e \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u044b\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f\u043c NumPy \u201c\u0440\u0430\u0437\u044a\u0435\u0437\u0436\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f\u201d \u043d\u0430\u0441\u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0441\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e, \u0447\u0442\u043e \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u043d\u0435 \u043f\u043e\u0440\u0442\u0438\u0442\u044c \u0441\u0435\u0431\u0435 \u043d\u0430\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0438\u0435. \u0421 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u044b, \u043f\u0440\u0435\u0438\u043c\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u201c\u0443\u043b\u0443\u0447\u0448\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439\u201d \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0434\u0443\u0440\u044b \u0443\u0436\u0435 \u043e\u0447\u0435\u0432\u0438\u0434\u043d\u044b, \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u043f\u043e\u0447\u0442\u0438 &#171;\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0441\u044f&#187; \u043d\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435.  <\/p>\n<h3>\u0427\u0442\u043e \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435?<\/h3>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0440\u0430\u0437\u0431\u0438\u0440\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0434\u043e \u043a\u043e\u043d\u0446\u0430, \u0442\u043e, \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e, \u043d\u0430\u0434\u043e \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0434\u0443\u0440\u0443 \u043d\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f\u0445, \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u043f\u043e\u043b\u0438\u043d\u043e\u043c\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0438\u043b\u0438 \u0442\u0440\u0438\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445. \u0412\u043e\u0437\u044c\u043c\u0435\u043c \u0432 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430 \u043d\u0430 \u0442\u043e\u043c \u0436\u0435 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e , \u0448\u0430\u0433 \u0441\u0435\u0442\u043a\u0438 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0442\u043e\u0442 \u0436\u0435, \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c . \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043e \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u0435\u043c &#8212; \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u044f \u0432\u0431\u043b\u0438\u0437\u0438 \u043f\u0440\u0430\u0432\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u043d\u0446\u0430 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430:<\/p>\n<figure class=\"full-width\">\n<div><figcaption>\u0420\u0438\u0441.4<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<p>\u0412\u0441\u0435 \u043f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0435 \u043d\u0430 \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u044e \u0441 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u043e\u0439: <em>diff <\/em>\u201c\u043d\u0435 \u0434\u043e\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0434\u043e \u043a\u043e\u043d\u0446\u0430\u201d, <em>gradient <\/em>\u0434\u0430\u0435\u0442 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0443\u044e \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0443 \u0432 \u043a\u0440\u0430\u0439\u043d\u0435\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435, \u201c\u0443\u043b\u0443\u0447\u0448\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439\u201d <em>gradient <\/em>\u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e, \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u044f \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c.   <\/p>\n<p>\u0421\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u044f \u0432\u0431\u043b\u0438\u0437\u0438 \u043b\u0435\u0432\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u043d\u0446\u0430 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430, \u043c\u044f\u0433\u043a\u043e \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u044f, \u0443\u0436\u0435 \u043d\u0435 \u0441\u043e\u0432\u0441\u0435\u043c \u043e\u0434\u043d\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u043d\u0430:  <\/p>\n<figure class=\"full-width\">\n<div><figcaption>\u0420\u0438\u0441. 5<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<p>\u041d\u0430\u0448 \u0443\u043b\u0443\u0447\u0448\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c <em>improved <\/em>\u0432 \u043e\u043a\u0440\u0435\u0441\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 0 \u0443\u0441\u0442\u0443\u043f\u0430\u0435\u0442 \u201c\u043e\u0440\u0438\u0433\u0438\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c\u0443\u201d \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0443 <em>gradient<\/em>, \u0438 \u043f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043e\u043d\u0438 \u043e\u0431\u0430 \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0434\u0430\u043b\u0435\u043a\u0438 \u043e\u0442 \u201c\u0438\u0434\u0435\u0430\u043b\u0430\u201d &#8212; \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f <em>test<\/em>. \u0414\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u043b\u0435\u0433\u043a\u043e \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u0430\u044f \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u044f \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0432\u0430\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u0431\u043b\u0438\u0437\u043a\u0430 \u043a \u043d\u0443\u043b\u044e.<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442 \u0437\u0430\u043a\u043e\u043d\u043e\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0439 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441 &#8212; \u0430 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043b\u0438 \u043f\u0440\u0438\u0434\u0443\u043c\u0430\u0442\u044c \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c, \u043d\u0435 \u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0443\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0442\u0440\u0430\u0442 ( \u0430 \u0432 \u043d\u0430\u0448\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435, \u044d\u0442\u043e \u041e(n)), \u043d\u043e \u0434\u0430\u044e\u0449\u0438\u0439 \u043b\u0443\u0447\u0448\u0438\u0435 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u044b \u043d\u0430 \u0432\u0441\u0435\u043c \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0435, \u0432\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u044f \u0435\u0433\u043e \u043a\u043e\u043d\u0446\u044b? \u041a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e, \u044d\u0442\u043e \u0438 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0442\u0435\u043c\u043e\u0439 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438. \u0421\u043f\u0430\u0441\u0438\u0431\u043e \u0437\u0430 \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435. \u0411\u0443\u0434\u0443 \u0431\u043b\u0430\u0433\u043e\u0434\u0430\u0440\u0435\u043d \u0437\u0430 \u043a\u043e\u043c\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0440\u0438\u0438.<\/p>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p><!----><!----><\/div>\n<p><!----><!----><br \/> \u0441\u0441\u044b\u043b\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u043e\u0440\u0438\u0433\u0438\u043d\u0430\u043b \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438 <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/articles\/753490\/\"> https:\/\/habr.com\/ru\/articles\/753490\/<\/a><br \/><\/br><\/br><\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[],"tags":[],"class_list":["post-351694","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/351694","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=351694"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/351694\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=351694"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=351694"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=351694"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}