{"id":370920,"date":"2024-05-21T04:36:31","date_gmt":"2024-05-21T04:36:31","guid":{"rendered":"http:\/\/savepearlharbor.com\/?p=370920"},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T21:00:00","slug":"","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/savepearlharbor.com\/?p=370920","title":{"rendered":"<span>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 (Column Generation)<\/span>"},"content":{"rendered":"<div><!--[--><!--]--><\/div>\n<div id=\"post-content-body\">\n<div>\n<div class=\"article-formatted-body article-formatted-body article-formatted-body_version-2\">\n<div xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1999\/xhtml\">\n<figure class=\"\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/post_images\/bd1\/762\/e6d\/bd1762e6da549be48f237e092d987fe6.png\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/post_images\/bd1\/762\/e6d\/bd1762e6da549be48f237e092d987fe6.png\"\/><\/figure>\n<p>\u0413\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 &#8212; \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434 \u043a \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447 \u0441\u043c\u0435\u0448\u0430\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f (MIP) \u0441 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043c \u043a\u043e\u043b-\u0432\u043e\u043c \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0438\u043b\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432.<\/p>\n<p>\u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043b \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u0441\u044b\u043b\u043a\u0443, \u0441\u0445\u0435\u043c\u0443 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0438 python \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044e \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u0430. \u0412 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043b \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447: \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u043f\u043b\u0430\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0440\u0430\u0441\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f.<\/p>\n<h2>\u041c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0431\u0430\u0437\u0430<\/h2>\n<p>\u041f\u043e\u0433\u0440\u0443\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u043d\u0430\u0447\u043d\u0435\u043c \u0441 \u0441\u0438\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430. \u041e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/articles\/474286\/\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0441\u0438\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430<\/a> \u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044e \u0437\u0430 \u0440\u0430\u043c\u043a\u0430\u043c\u0438 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438, \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0435\u0433\u043e \u044d\u0442\u0430\u043f &#8212; \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0435\u0434\u0443\u0449\u0435\u0433\u043e \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441 (pricing problem).<\/p>\n<h3>\u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 (reduced cost)<\/h3>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0432 \u043a\u0430\u043d\u043e\u043d\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0435. \u0414\u043b\u044f \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u043c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"\\begin{align}\\min cx  \\\\Ax = b &amp; &amp; (1)\\\\x \\in \\mathbb{R}^{m+} &amp;  &amp; \\\\\\end{align}\" alt=\"\\begin{align}\\min cx  \\\\Ax = b &amp; &amp; (1)\\\\x \\in \\mathbb{R}^{m+} &amp;  &amp; \\\\\\end{align}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/9a\/9a2\/9a20fc1c3460606049c40aa89aaab0d8.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0433\u0434\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"c\" alt=\"c\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4\/4a\/4a8\/4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"n\" alt=\"n\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/7b\/7b8\/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>, <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x\" alt=\"x\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/9d\/9dd\/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"n\" alt=\"n\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/7b\/7b8\/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>, <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"A\" alt=\"A\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/7f\/7fc\/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"b\" alt=\"b\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/92\/92e\/92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"m \\times n\" alt=\"m \\times n\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f\/fb\/fbf\/fbfeb9c8459fee5a2bd529c07b881153.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 \u043f\u0440\u0438 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445 \u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"m\" alt=\"m\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/6f\/6f8\/6f8f57715090da2632453988d9a1501b.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>-\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u0447\u043b\u0435\u043d\u043e\u0432 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e.<\/p>\n<p><strong>\u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/strong> \u041f\u0443\u0441\u0442\u044c <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"(B \\quad N)\" alt=\"(B \\quad N)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0\/0d\/0d1\/0d1a8c9a7f418ea873a9a6768f1c7063.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; \u0440\u0430\u0437\u0431\u0438\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"A\" alt=\"A\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/7f\/7fc\/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u0442\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"B\" alt=\"B\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/9d\/9d5\/9d5ed678fe57bcca610140957afab571.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"m \\times m\" alt=\"m \\times m\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/8e\/8e5\/8e57e5fb32edec7f7da506ae3ed398ce.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0435\u043d \u043e\u0442 \u043d\u0443\u043b\u044f. \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x = (x_B \\quad x_N)\" alt=\"x = (x_B \\quad x_N)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/68\/68a\/68a275b79c53a8bba5603ba8a386568a.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"c=(c_B \\quad c_N)\" alt=\"c=(c_B \\quad c_N)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b\/b1\/b16\/b16a5779b1079168c031cb18c9a9ab78.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0435\u0435 \u0440\u0430\u0437\u0431\u0438\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043b\u044f <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x\" alt=\"x\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/9d\/9dd\/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"c\" alt=\"c\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4\/4a\/4a8\/4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>. \u0411\u0443\u0434\u0435\u043c \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0434\u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u043c\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x = (x_B, x_N)\" alt=\"x = (x_B, x_N)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4\/46\/46a\/46a5c048e929ba40b20978d5e7aca7b8.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; <strong>\u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u043c (\u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u043c)<\/strong>, \u0435\u0441\u043b\u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_N = 0\" alt=\"x_N = 0\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/ec\/ec3\/ec39af0c4c724c3f87f9e153404d04dc.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>. \u041f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_B\" alt=\"x_B\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5\/5f\/5ff\/5ff4696cc3495c16c4cfe9cd736e9ba4.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f <strong>\u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u043c\u0438 (\u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u043c\u0438) \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438<\/strong>, \u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_N\" alt=\"x_N\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d7\/d7d\/d7df2a8349bc0e178f1d5530ddbf3ba9.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; <strong>\u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u044b\u043c\u0438<\/strong>.<\/p>\n<p>\u0412 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f, \u043d\u0430 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0438\u0442\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0438\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u043e\u0446\u0435\u043d\u043a\u0430 (pricing) \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0438 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440 \u043d\u043e\u0432\u043e\u0433\u043e \u043a\u0430\u043d\u0434\u0438\u0434\u0430\u0442\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441 (\u0432\u0435\u0434\u0443\u0449\u0438\u0439 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0435\u0446). \u042d\u0442\u043e\u0442 \u0448\u0430\u0433 \u0438\u0433\u0440\u0430\u0435\u0442 \u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u0432\u0443\u044e \u0440\u043e\u043b\u044c \u0432 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0435 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432, \u043a\u0430\u043a \u0438 \u0432 \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c \u0441\u0438\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0435.<\/p>\n<p><img class=\"formula\" source=\"Ax = (B \\quad N)\\begin{pmatrix}  x_B \\\\  0\\end{pmatrix} = b, \\text{ => } x_B = B^{-1}b.&#187; alt=&#187;Ax = (B \\quad N)\\begin{pmatrix}  x_B \\\\  0\\end{pmatrix} = b, \\text{ => } x_B = B^{-1}b.&#187; src=&#187;https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/66\/662\/662847e18f4209ee09290683ec7465f2.svg&#187; width=&#187;auto&#187; height=&#187;auto&#187;\/><\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x\" alt=\"x\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/9d\/9dd\/9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u043c\u044b\u043c \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c, \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 (\u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c) \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"cx = (c_B \\quad c_N)\\begin{pmatrix}  x_B \\\\  0\\end{pmatrix} = c_BB^{-1}b.\" alt=\"cx = (c_B \\quad c_N)\\begin{pmatrix}  x_B \\\\  0\\end{pmatrix} = c_BB^{-1}b.\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2\/25\/253\/253db9527d69686723b575ba697d0240.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u041a\u0443\u0434\u0430 \u0443\u0439\u0442\u0438 \u0441 \u0442\u0435\u043a\u0443\u0449\u0435\u0439 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 (\u0442\u0435\u043a\u0443\u0449\u0435\u0433\u043e \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f), \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0443\u043b\u0443\u0447\u0448\u0438\u0442\u044c \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e? \u041f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435 \u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x' = (x'_B \\quad x'_N)\" alt=\"x' = (x'_B \\quad x'_N)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/92\/92e\/92e0b450d97a69989e70b37219084781.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>, \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"Ax' = (B \\quad N)\\begin{pmatrix}  x'_B \\\\  x'_N\\end{pmatrix} = b.\" alt=\"Ax' = (B \\quad N)\\begin{pmatrix}  x'_B \\\\  x'_N\\end{pmatrix} = b.\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2\/27\/278\/278632ba2cbf321361e8119eea11b33a.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0414\u043e\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0443\u044e \u0438 \u043b\u0435\u0432\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043d\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"B^{-1}\" alt=\"B^{-1}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/3\/32\/329\/32905c98de732060111b5fad5274c1af.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"B^{-1}Ax' = (I \\quad B^{-1}N)\\begin{pmatrix}  x'_B \\\\  x'_N\\end{pmatrix} = B^{-1}b,\" alt=\"B^{-1}Ax' = (I \\quad B^{-1}N)\\begin{pmatrix}  x'_B \\\\  x'_N\\end{pmatrix} = B^{-1}b,\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/6d\/6d8\/6d88209dd1ddcfd545d8fb962bef1097.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"x'_B + B^{-1}Nx'_N = B^{-1}b,\" alt=\"x'_B + B^{-1}Nx'_N = B^{-1}b,\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1\/1e\/1ea\/1eac3c7c94c43a3ea88f1bcf3743943c.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"x'_B = B^{-1}b - B^{-1}Nx'_N.\" alt=\"x'_B = B^{-1}b - B^{-1}Nx'_N.\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/8f\/8ff\/8ff022026887582e9d77562c0394ebd2.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x'\" alt=\"x'\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/3\/30\/30b\/30b94bbbad526eeb6dd345afdaeaccf8.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u0432 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"cx'= c_Bx'_B+c_Nx'_N = c_B(B^{-1}b - B^{-1}Nx'_N) + c_Nx'_N = c_BB^{-1}b + (c_N - c_BB^{-1}N)x'_N.\" alt=\"cx'= c_Bx'_B+c_Nx'_N = c_B(B^{-1}b - B^{-1}Nx'_N) + c_Nx'_N = c_BB^{-1}b + (c_N - c_BB^{-1}N)x'_N.\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4\/45\/45a\/45a79e3cae0709297ce65833acf263e7.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043f\u0440\u0438 \u0434\u043e\u043f\u0443\u0449\u0435\u043d\u0438\u0438, \u0447\u0442\u043e \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043d\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u044b \u043d\u0443\u043b\u044e. \u0417\u0430\u043f\u0438\u0448\u0435\u043c \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043a\u0430\u043a <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"cx' - cx\" alt=\"cx' - cx\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1\/1a\/1aa\/1aad0da9c8ad982f8f4e14c38be050f5.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>, \u0447\u0442\u043e \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"c_BB^{-1}b + (c_N - c_BB^{-1}N)x'_N - c_BB^{-1}b= (c_N-c_BB^{-1}N)x'_N.\" alt=\"c_BB^{-1}b + (c_N - c_BB^{-1}N)x'_N - c_BB^{-1}b= (c_N-c_BB^{-1}N)x'_N.\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d4\/d40\/d40ab17b595f9f3331e4744230c386ba.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u041c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0435\u0441\u043b\u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_N\" alt=\"x_N\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d7\/d7d\/d7df2a8349bc0e178f1d5530ddbf3ba9.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u0443\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f (<img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_N \\ge 0\" alt=\"x_N \\ge 0\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/7f\/7f6\/7f691128a12e07582056bf557cb6487f.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>), \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f  \u0437\u0430\u0442\u0440\u0430\u0442 \u0440\u0430\u0441\u0442\u0435\u0442 \u0438\u043b\u0438 \u0443\u0431\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0432 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0442 \u0437\u043d\u0430\u043a\u0430<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"\\bar{c} = c_N-c_BB^{-1}N.\" alt=\"\\bar{c} = c_N-c_BB^{-1}N.\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1\/12\/126\/12644fa93027ab261bc1aab837f7da7e.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\bar{c}\" alt=\"\\bar{c}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d3\/d3d\/d3d3115127cc0141f42a3559bdce6283.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e (reduced cost). \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0430 \u0432 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\bar{c}\" alt=\"\\bar{c}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d3\/d3d\/d3d3115127cc0141f42a3559bdce6283.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>, \u0442\u043e \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0430\u044f \u0435\u0439 \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0443\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0438\u0442\u044c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438; \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u0435\u0451 \u0432 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441.<\/p>\n<p>\u0412 \u0441\u0438\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0435 \u0432 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441 \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0434\u043d\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0441 \u043d\u0430\u0438\u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u043e\u0439 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\bar{c}\" alt=\"\\bar{c}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d3\/d3d\/d3d3115127cc0141f42a3559bdce6283.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>, \u0442.\u043a. \u043e\u043d\u0430 \u043e\u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043d\u0430\u0438\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u0439\u0448\u0435\u0435 \u0443\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\bar{c}\" alt=\"\\bar{c}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d3\/d3d\/d3d3115127cc0141f42a3559bdce6283.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u043d\u0435\u0442 \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442, \u0442\u043e \u043c\u044b \u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0443\u043b\u0443\u0447\u0448\u0438\u0442\u044c \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e, \u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043c\u044b \u043d\u0430\u0448\u043b\u0438 \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435.<\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0437\u0430\u043a\u043e\u043d\u0447\u0438\u043c \u043f\u043e\u0433\u0440\u0443\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0441\u0438\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0434\u0435\u043c \u043a \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0443 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432.<\/p>\n<h3>\u0423\u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u0438 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432<\/h3>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u0441\u043c\u0435\u0448\u0430\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f (MIP) \u0432 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0435 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0433\u043e \u0432\u0438\u0434\u0430:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"\\begin{align}\\min \\sum_{j \\in J} c_{j} x_{j} \\\\\\sum_{j \\in J} \\textbf{a}_j x_j \\ge \\textbf{b} &amp; &amp; (2)\\\\x_{j} \\in \\mathbb{R}^+|\\mathbb{N}^+ &amp; \\quad \\forall j \\in J &amp; \\\\\\end{align}\" alt=\"\\begin{align}\\min \\sum_{j \\in J} c_{j} x_{j} \\\\\\sum_{j \\in J} \\textbf{a}_j x_j \\ge \\textbf{b} &amp; &amp; (2)\\\\x_{j} \\in \\mathbb{R}^+|\\mathbb{N}^+ &amp; \\quad \\forall j \\in J &amp; \\\\\\end{align}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a\/af\/afd\/afd22bc8f513c5964455b423ce7e1102.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0411\u0443\u0434\u0435\u043c \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 (2) \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u043e\u0439 (\u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0438\u0440\u0443\u044e\u0449\u0435\u0439) \u0441\u043e\u043a\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u043d\u043e MP (Master Problem). \u0420\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"|J|=n\" alt=\"|J|=n\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4\/41\/410\/410ca398d87921164caf35d0853ed977.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 (\u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445) \u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"|\\textbf{b}|=m\" alt=\"|\\textbf{b}|=m\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/3\/32\/322\/3220b0f584044e1e628f144f57528bb9.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u0441\u0442\u0440\u043e\u043a (\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439). \u041f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e \u043a\u043e\u043b-\u0432\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"n\" alt=\"n\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/7b\/7b8\/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043a\u043e\u043b-\u0432\u0430 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"m\" alt=\"m\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/6f\/6f8\/6f8f57715090da2632453988d9a1501b.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> (<img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"n \\gg m\" alt=\"n \\gg m\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a\/a5\/a53\/a534689c5d72f6e78c60f093dd660bdf.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>). \u0417\u0434\u0435\u0441\u044c <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"c_j\" alt=\"c_j\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4\/4b\/4bf\/4bf5e6e7f38061ce5bb452465c966eed.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u044b \u043f\u0440\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0432 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438, <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_j\" alt=\"x_j\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1\/1f\/1f8\/1f89889020cdc84d9e1c35237cb62f65.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; \u0440\u0435\u0448\u0430\u044e\u0449\u0438\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435, \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 \u043f\u0440\u0438 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445  <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"A=\\{\\textbf{a}_1, \\dots, \\textbf{a}_n\\}\" alt=\"A=\\{\\textbf{a}_1, \\dots, \\textbf{a}_n\\}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/98\/986\/9864719cbb9eb1abe5c9a109f2f748fc.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u0447\u043b\u0435\u043d\u043e\u0432 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\textbf{b}\" alt=\"\\textbf{b}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/6a\/6a3\/6a334f7246cbc78c6b96135e0c93f8c2.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>.<\/p>\n<p><strong>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043b\u0430\u0431\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435\u0439<\/strong> \u043a \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435 (2) \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u0441 \u043e\u0441\u043b\u0430\u0431\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043d\u0430 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445, \u0442.\u0435. \u0432 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435 \u0432\u0441\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438. <strong>\u0414\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430<\/strong> \u043a \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043b\u0430\u0431\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435 (2) \u0437\u0430\u043f\u0438\u0448\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"\\begin{align}\\max \\textbf{u}^\\intercal \\textbf{b} \\\\\\textbf{u}^\\intercal A \\le \\textbf{c} &amp; &amp; (3)\\\\\\textbf{u} \\in \\mathbb{R}^m &amp; &amp; \\\\\\end{align}\" alt=\"\\begin{align}\\max \\textbf{u}^\\intercal \\textbf{b} \\\\\\textbf{u}^\\intercal A \\le \\textbf{c} &amp; &amp; (3)\\\\\\textbf{u} \\in \\mathbb{R}^m &amp; &amp; \\\\\\end{align}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c\/c2\/c2b\/c2b4ffaf9aaf1c5941d9783c88aa8bf0.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0437\u0434\u0435\u0441\u044c <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\textbf{u}\" alt=\"\\textbf{u}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2\/2f\/2f3\/2f316026e11879965801f7e089b7cd62.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0434\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"m\" alt=\"m\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/6f\/6f8\/6f8f57715090da2632453988d9a1501b.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>.<\/p>\n<h4>\u041f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0434\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435<\/h4>\n<p>\u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043e\u0431\u0441\u0443\u0436\u0434\u0430\u043b\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0443\u0436\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u043b\u0438 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_B = B^{-1}b\" alt=\"x_B = B^{-1}b\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/75\/75e\/75e044e16123c1720eb7c4cff5bc8451.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u0434\u043b\u044f \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445. \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0441\u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0443\u044e \u0434\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443: <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"B^\\intercal u = c_B^\\intercal\" alt=\"B^\\intercal u = c_B^\\intercal\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f\/f4\/f41\/f41baf83875a8a7aa1f2be1b9c85a58d.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>. \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044e \u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u043f\u043e\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043a \u043f\u0440\u0430\u0432\u043e\u0439 \u0438 \u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u044f\u043c \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430, \u0434\u043e\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u043c \u043d\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"B^{-1}\" alt=\"B^{-1}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/3\/32\/329\/32905c98de732060111b5fad5274c1af.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0430: <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"u^\\intercal = c_B B^{-1}\" alt=\"u^\\intercal = c_B B^{-1}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/87\/873\/873d95fdb63c24f52c5410b769793b6a.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>. \u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u0440\u0430\u0441\u0447\u0435\u0442\u0430 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 (reduced cost), \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"\\bar{c} = c_N-c_BB^{-1}N=c_N-u^\\intercal N.\" alt=\"\\bar{c} = c_N-c_BB^{-1}N=c_N-u^\\intercal N.\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5\/5f\/5fd\/5fd9db7fcda15f36bc2581edae23a5af.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"J_N = \\{j_1, \\dots, j_{n-m}\\}\" alt=\"J_N = \\{j_1, \\dots, j_{n-m}\\}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/91\/917\/9177e087a6a178f7c23a246a2b273dc9.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0438\u043d\u0434\u0435\u043a\u0441\u043e\u0432 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"A\" alt=\"A\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/7f\/7fc\/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442 \u0438\u043d\u0434\u0435\u043a\u0441\u0430\u043c \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0438 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"N\" alt=\"N\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/8d\/8d9\/8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>. \u041f\u043e \u0441\u0438\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0443 \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u0432 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0441\u0430\u043c\u0443\u044e \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0443 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\bar{c}_j\" alt=\"\\bar{c}_j\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d8\/d83\/d83324b50f26787e5e95d5863da7ddf6.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u0438\u0437 \u043d\u0435\u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445, \u0442.\u0435.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"j_B = \\text{arg} \\min \\{\\bar{c_j} = c_j-u^\\intercal a_j|j \\in J_N\\}\" alt=\"j_B = \\text{arg} \\min \\{\\bar{c_j} = c_j-u^\\intercal a_j|j \\in J_N\\}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/3\/37\/375\/37512545f99585b383987e8c8d56fe32.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0412\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u043e\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u043c \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u0437\u0432\u0430\u0442\u044c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"J_N\" alt=\"J_N\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/79\/79a\/79a7675e22c7ee03f022aebd385fe066.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"J\" alt=\"J\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f\/ff\/ff4\/ff44570aca8241914870afbc310cdb85.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>. \u042d\u0442\u043e \u043e\u043f\u0440\u0430\u0432\u0434\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0442\u0435\u043c, \u0447\u0442\u043e reduced cost \u0434\u043b\u044f \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043d\u0443\u043b\u044e: <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"c_B-c_BB^{-1}B = 0\" alt=\"c_B-c_BB^{-1}B = 0\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2\/24\/24f\/24f1561d1b2e36bdbe540219f5c6af52.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>. \u041e\u0442\u0432\u044f\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u043e\u0442 \u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"A\" alt=\"A\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/7f\/7fc\/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u043d\u0430 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u0443\u044e \u0438 \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"j_B = \\text{arg} \\min \\{\\bar{c_j} = c_j-u^\\intercal a_j|j \\in J\\}.\" alt=\"j_B = \\text{arg} \\min \\{\\bar{c_j} = c_j-u^\\intercal a_j|j \\in J\\}.\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/67\/672\/672110d308d0b6edd0caab187b04e487.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0420\u0430\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u0430\u0433\u0430\u043b\u0438, \u0447\u0442\u043e \u043a\u043e\u043b-\u0432\u043e \u0441\u0442\u0440\u043e\u043a \u0432 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"A\" alt=\"A\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/7f\/7fc\/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435 \u043a\u043e\u043b-\u0432\u0430 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432. \u0413\u0440\u043e\u043c\u043e\u0437\u0434\u043a\u043e\u0441\u0442\u044c \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u0443\u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044f\u0435\u0442 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435 \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0440\u0435\u0448\u0438\u0442\u044c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u043e\u0433\u043e \u0436\u0435 \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<h4>\u0418\u0434\u0435\u044f \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432<\/h4>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0443\u044e \u043f\u043e\u0434\u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 (Restricted Master Problem, RMP) \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"J' \\subset J\" alt=\"J' \\subset J\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4\/49\/496\/496ceef4e2507d94528d135a02e350ec.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u043f\u0440\u0438 (<img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"|J'| \\ge m\" alt=\"|J'| \\ge m\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f\/f9\/f96\/f96cf331de3648805e55c3edb7a14daf.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>), \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0441\u043e\u0431\u043e\u0439 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043a\u043e\u043b-\u0432\u043e\u043c \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u0432 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"A\" alt=\"A\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/7f\/7fc\/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>. \u0412\u043e\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c\u0441\u044f \u0438\u0434\u0435\u0435\u0439 \u0441\u0438\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u0435\u0434\u0443\u0449\u0435\u0433\u043e \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u0430 \u0432 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441 (pricing problem), \u043d\u043e \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0442\u044c \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0435\u0446 \u0432 RMP. \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0434\u043b\u044f \u0432\u0441\u0435\u0445 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0448\u0438\u0445\u0441\u044f \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c (reduced cost) <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\bar{c_j} \\ge 0, \\forall j \\in J \\text{\\\\} J'\" alt=\"\\bar{c_j} \\ge 0, \\forall j \\in J \\text{\\\\} J'\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4\/44\/44d\/44d313c27abe52797a73a768b809b943.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>, \u0442\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 RMP \u0443\u043b\u0443\u0447\u0448\u0438\u0442\u044c \u043d\u0435\u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430 \u0441\u0447\u0435\u0442 \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432. \u042d\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0432 \u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e\u0434\u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 RMP \u0438 \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 MP \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u044e\u0442.<\/p>\n<p><strong>\u041a\u043e\u043c\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0440\u0438\u0439:<\/strong> \u0414\u043b\u044f \u0440\u0430\u0441\u0447\u0435\u0442\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\bar{c_j}\" alt=\"\\bar{c_j}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/eb\/eb9\/eb9300100dc7a8738ebd92d084e07e83.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u0432 RMP \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\bar{u}\" alt=\"\\bar{u}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/89\/895\/8951b8aac3f397360db9d528cb341ff6.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0434\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043b\u0430\u0431\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 RMP.<\/p>\n<h4>\u042f\u0432\u043d\u043e\u0435 \u0438 \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432<\/h4>\n<p>\u041e\u0431\u0440\u0430\u0442\u0438\u043c \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"J\" alt=\"J\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f\/ff\/ff4\/ff44570aca8241914870afbc310cdb85.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u0440\u0430\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u0430\u0433\u0430\u043b\u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0442\u044c \u0432 \u044f\u0432\u043d\u043e\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435 &#8212; \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432. \u0412 \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u0445 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0431\u0435\u0437\u0443\u043c\u043d\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043c \u0438\u043b\u0438 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u043c (\u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u044b \u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432\u0441\u0435 \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u044b\u0435 \u043c\u0430\u0440\u0448\u0440\u0443\u0442\u044b, \u043f\u0430\u0442\u0442\u0435\u0440\u043d\u044b, \u043f\u043e\u0434\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0438\u043b\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0438). \u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u0438\u0431\u0435\u0433\u043d\u0443\u0442\u044c \u043a \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u0443 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0438\u044f \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"a_j \\in \\mathcal{A}\" alt=\"a_j \\in \\mathcal{A}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b\/bc\/bc4\/bc4147fac54971797bf925a3f8080ce9.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>. \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u043e\u0438\u0441\u043a \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u0430 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0441\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"\\min \\{c(a) - \\bar{u}^\\intercal a| a \\in \\mathcal{A} \\}.\" alt=\"\\min \\{c(a) - \\bar{u}^\\intercal a| a \\in \\mathcal{A} \\}.\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/ef\/ef2\/ef273a903c6f12225dd21636d761983f.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0411\u0430\u0437\u043e\u0432\u044b\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043e\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u0430\u043a\u043e\u0433\u043e \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\mathcal{A}\" alt=\"\\mathcal{A}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a\/ad\/ad7\/ad70146b431bea9ae74cf8385470c544.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f, \u0433\u0434\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"a_j\" alt=\"a_j\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/e0\/e04\/e045635af82f8f48986a6e931cb70b8f.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0441\u043e\u0431\u043e\u0439 \u043f\u0430\u0442\u0442\u0435\u0440\u043d \u0440\u0430\u0437\u0440\u0435\u0437\u0430, \u0430 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\mathcal{A}\" alt=\"\\mathcal{A}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a\/ad\/ad7\/ad70146b431bea9ae74cf8385470c544.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u0441 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0435\u0439 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442 \u0441\u043e\u0431\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u043e \u0440\u044e\u043a\u0437\u0430\u043a\u0435. \u041d\u0430 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0438\u0442\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u0440\u0435\u0448\u0430\u0435\u043c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u043e \u0440\u044e\u043a\u0437\u0430\u043a\u0435 \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0430\u0442\u0442\u0435\u0440\u043d\u0430. \u0417\u0430\u0442\u0435\u043c \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043f\u0430\u0442\u0442\u0435\u0440\u043d \u0432 RMP.<\/p>\n<h4>\u0421\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430<\/h4>\n<p>\u0417\u0430\u0444\u0438\u043a\u0441\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0435 \u044d\u0442\u0430\u043f\u044b \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432. \u041f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0443 \u0434\u043b\u044f \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044f \u044f\u0432\u043d\u043e\u0433\u043e \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0438\u044f \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432:<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p>\u0424\u0438\u043a\u0441\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"J'\" alt=\"J'\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4\/4a\/4aa\/4aad50798b24cebd0f55e4700d1543c2.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u0434\u043b\u044f \u0438\u043d\u0438\u0446\u0438\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0440\u0430\u0441\u0441\u043b\u0430\u0431\u043b\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 RMP. \u0412 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"A\" alt=\"A\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/7f\/7fc\/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"c\" alt=\"c\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4\/4a\/4a8\/4a8a08f09d37b73795649038408b5f33.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u044b, \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0437\u0430\u0444\u0438\u043a\u0441\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e\u043c\u0443 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440\u0443 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"J'\" alt=\"J'\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4\/4a\/4aa\/4aad50798b24cebd0f55e4700d1543c2.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0421\u0442\u0440\u043e\u0438\u043c \u0434\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u043a RMP \u0438 \u0440\u0435\u0448\u0430\u0435\u043c \u0435\u0435;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>Pricing problem. \u0420\u0430\u0441\u0441\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c (reduced cost) \u0438 \u0432\u044b\u0431\u0438\u0440\u0430\u0435\u043c \u043a\u0430\u043d\u0434\u0438\u0434\u0430\u0442\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 RMP. \u041a\u0440\u0438\u0442\u0435\u0440\u0438\u0439: <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"j_B = \\text{arg} \\min \\{\\bar{c_j} = c_j-u^\\intercal \\textbf{a}_j|j \\in J\\}.\" alt=\"j_B = \\text{arg} \\min \\{\\bar{c_j} = c_j-u^\\intercal \\textbf{a}_j|j \\in J\\}.\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/60\/600\/600ef9b38e19b0463684b007470c9038.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u044f\u0435\u043c \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f:<br \/> 5.1. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c (reduced cost) \u0434\u043b\u044f \u043a\u0430\u043d\u0434\u0438\u0434\u0430\u0442\u0430 \u0438\u0437 \u043f.4 &#8212; \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f, \u0442\u043e \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u0435\u0433\u043e \u0432 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"J'\" alt=\"J'\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4\/4a\/4aa\/4aad50798b24cebd0f55e4700d1543c2.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u0432 \u043f.2.;<br \/> 5.2. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c \u0434\u043b\u044f <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\forall j \\in J\" alt=\"\\forall j \\in J\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d3\/d3d\/d3dcf511a3d21fb68561568bb87df8b2.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u043d\u0435\u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f, \u0442\u043e \u043e\u0441\u0442\u0430\u043d\u0430\u0432\u043b\u0438\u0432\u0430\u0435\u043c \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c (stop). \u041e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 RMP \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u0442\u044c \u0441 \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 MP;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0420\u0435\u0448\u0430\u0435\u043c \u043f\u0440\u044f\u043c\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 RMP (\u043d\u0430 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"J'\" alt=\"J'\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4\/4a\/4aa\/4aad50798b24cebd0f55e4700d1543c2.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>) \u0441 \u0443\u0447\u0435\u0442\u043e\u043c \u0446\u0435\u043b\u043e\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445. \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<figure class=\"\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/post_images\/d48\/1f3\/262\/d481f32627a4f898f64444d6ebcc4623.png\" alt=\"\u0421\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/post_images\/d48\/1f3\/262\/d481f32627a4f898f64444d6ebcc4623.png\"\/><\/p>\n<div><figcaption>\u0421\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<p>\u0414\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u043a\u0440\u0438\u0442\u0435\u0440\u0438\u0435\u043c \u043e\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0438 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0440\u0435\u043a\u043e\u043c\u0435\u043d\u0434\u0443\u044e \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0442\u044c \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"J = J'\" alt=\"J = J'\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d6\/d68\/d681939452ae587efb2fa36e1730abc0.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>. \u0412 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432\u0441\u0435 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u044b \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u044b \u0432 RMP, \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u043f\u043e\u043b\u043d\u0443\u044e \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443. \u042d\u0442\u043e\u0442 \u0441\u0446\u0435\u043d\u0430\u0440\u0438\u0439 \u0434\u043e\u043b\u0436\u0435\u043d \u0432\u044b\u0437\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441\u043e\u043c\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0438\u043b\u0438 \u0435\u0433\u043e \u043d\u0435\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043a \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0432 \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c.<\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f<\/h2>\n<p>\u0412 \u0442\u0435\u0445\u043d\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c 2 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044f \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432. \u0412 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u044f\u0432\u043d\u043e\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435, \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0441\u0442\u0438\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430 \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0440\u0435\u0448\u0430\u0442\u044c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u043f\u043b\u0430\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 \u044d\u043a\u0438\u043f\u0430\u0436\u0435\u0439 \u043f\u043e\u0435\u0437\u0434\u043e\u0432 \u0432 \u043f\u0430\u0441\u0441\u0430\u0436\u0438\u0440\u043e\u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e\u0437\u043a\u0430\u0445. \u0412\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439: \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u044b \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u044b \u0432 \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439, \u0440\u0435\u0447\u044c \u043f\u043e\u0439\u0434\u0435\u0442 \u043e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435 \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f.<\/p>\n<p>\u041f\u043e \u0441\u0442\u0435\u043a\u0443 \u0442\u0435\u0445\u043d\u043e\u043b\u043e\u0433\u0438\u0439: python, ortools, \u0441\u043e\u043b\u0432\u0435\u0440\u044b SCIP \u0438 GLOP, \u0434\u043b\u044f \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u0441 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438 &#8212; numpy.<\/p>\n<h3>\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u043f\u043b\u0430\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0441\u043c\u0435\u043d \u044d\u043a\u0438\u043f\u0430\u0436\u0435\u0439 \u0432 \u043f\u0430\u0441\u0441\u0430\u0436\u0438\u0440\u043e\u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e\u0437\u043a\u0430\u0445<\/h3>\n<p>\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u0448\u0438\u0440\u043e\u043a\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u043f\u043b\u0430\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0441\u043c\u0435\u043d \u044d\u043a\u0438\u043f\u0430\u0436\u0435\u0439 (<a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Crew_scheduling\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">Crew Scheduling Problem<\/a>, CSP), \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e \u0430\u043a\u0442\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0432 \u0441\u0444\u0435\u0440\u0435 \u0416\u0414 \u043f\u0430\u0441\u0441\u0430\u0436\u0438\u0440\u043e\u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e\u0437\u043a\u043e\u043a. \u041a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e, \u044d\u0442\u043e \u0434\u0430\u043b\u0435\u043a\u043e \u043d\u0435 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430, \u0433\u0434\u0435 \u0443\u043c\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432. \u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0441 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043c \u0443\u0441\u043f\u0435\u0445\u043e\u043c \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0442\u044c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u043e \u043d\u0430\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445, \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u043f\u043e\u043a\u0440\u044b\u0442\u0438\u044f, \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u043c\u0430\u0440\u0448\u0440\u0443\u0442\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0438\u043b\u0438 \u0434\u0440.<\/p>\n<p>\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u0437\u0430\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043f\u043b\u0430\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u044d\u043a\u0438\u043f\u0430\u0436\u0435\u0439 \u043d\u0430 \u0437\u0430\u0440\u0430\u043d\u0435\u0435 \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e\u043c \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440\u0435 \u0440\u0435\u0439\u0441\u043e\u0432. \u041d\u0430 \u0432\u0445\u043e\u0434\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u043f\u043b\u0430\u043d \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442 \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u0443\u0447\u0430\u0441\u0442\u043a\u043e\u0432 \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u0435\u0437\u0434\u043e\u0432 \u043e\u0442\u043a\u0443\u0434\u0430-\u043a\u0443\u0434\u0430, \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e \u0443\u0447\u0430\u0441\u0442\u043a\u0443, \u0442\u0440\u0435\u0431\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043a \u043a\u0432\u0430\u043b\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438 \u044d\u043a\u0438\u043f\u0430\u0436\u0430 \u0438\u043b\u0438 \u0435\u0433\u043e \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0443 \u0438 \u0442.\u0434. \u0426\u0435\u043b\u044c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 &#8212; \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u044d\u043a\u0438\u043f\u0430\u0436\u0435\u0439, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043e\u0431\u0435\u0441\u043f\u0435\u0447\u0438\u0442 \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0437\u0430\u043f\u043b\u0430\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0435\u0439\u0441\u043e\u0432.<\/p>\n<p>\u041e\u0434\u043d\u0438\u043c \u0438\u0437 \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442\u043e\u0432 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0435\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 <a href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D0%BA%D1%80%D1%8B%D1%82%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u043f\u043e\u043a\u0440\u044b\u0442\u0438\u044f<\/a>. \u041d\u0430 \u0432\u0445\u043e\u0434 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0434\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u044b\u0435 \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442\u044b \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u044d\u043a\u0438\u043f\u0430\u0436\u0435\u0439 (\u0434\u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u043c\u044b\u0435), \u0430 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u043e\u043c \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440 \u043c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u043b-\u0432\u0430 \u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 (\u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u043a\u043e\u043b-\u0432\u0443 \u044d\u043a\u0438\u043f\u0430\u0436\u0435\u0439), \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043f\u043e\u043a\u0440\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0432\u0441\u0435 \u0440\u0435\u0439\u0441\u044b.<\/p>\n<figure class=\"\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/post_images\/ac1\/e1c\/ea3\/ac1e1cea30d189bb84cd56dfb15db62a.png\" alt=\"\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 \u044d\u043a\u0438\u043f\u0430\u0436\u0435\u0439\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/post_images\/ac1\/e1c\/ea3\/ac1e1cea30d189bb84cd56dfb15db62a.png\"\/><\/p>\n<div><figcaption>\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 \u044d\u043a\u0438\u043f\u0430\u0436\u0435\u0439<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<p>\u041a\u043e\u043b-\u0432\u043e \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"n\" alt=\"n\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/7b\/7b8\/7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043a\u043e\u043b-\u0432\u0430 \u0440\u0435\u0439\u0441\u043e\u0432 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"m\" alt=\"m\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/6f\/6f8\/6f8f57715090da2632453988d9a1501b.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0438 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u0442 \u0438\u0437 \u0440\u0430\u0437\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0434\u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u043c\u044b\u0445 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0440\u0435\u0439\u0441\u043e\u0432.<\/p>\n<h4>\u041c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0430<\/h4>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"i \\in I\" alt=\"i \\in I\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/6f\/6fa\/6fa78e29473bdce53401e1c2158c3eca.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0437\u0430\u043f\u043b\u0430\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0435\u0439\u0441\u043e\u0432;<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"j \\in J\" alt=\"j \\in J\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/ef\/ef4\/ef49d6708ac0e93b9ccb82e7c29afca1.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0434\u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u043c\u044b\u0445 \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432, \u043a\u0430\u0436\u0434\u044b\u0439 \u0438\u0437 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u044c \u043e\u0434\u0438\u043d \u044d\u043a\u0438\u043f\u0430\u0436;<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\textbf{a}_j\" alt=\"\\textbf{a}_j\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/65\/65f\/65f412453e6705e88e4b2cc31fec1f84.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; \u0431\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u0439 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"|I|\" alt=\"|I|\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a\/a3\/a3f\/a3f2c9657247b3e25cb73a65c5e40f5b.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>-\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0430\u043d\u0442, \u0433\u0434\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"i\" alt=\"i\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/86\/865\/865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>-\u0430\u044f \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0430 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 1, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0440\u0435\u0439\u0441 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u043c \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"j\" alt=\"j\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/3\/36\/363\/363b122c528f54df4a0446b6bab05515.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>. \u0412 \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 &#8212; 0. \u0422\u043e\u0442 \u0441\u0430\u043c\u044b\u0439 \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u0432 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0435;<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_j\" alt=\"x_j\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1\/1f\/1f8\/1f89889020cdc84d9e1c35237cb62f65.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; \u0431\u0438\u043d\u0430\u0440\u043d\u0430\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f, \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 1, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"j\" alt=\"j\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/3\/36\/363\/363b122c528f54df4a0446b6bab05515.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u0432\u044b\u0431\u0440\u0430\u043d \u043a \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u0438\u044e,  \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435- 0;<\/p>\n<p>\u041e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 &#8212; \u043f\u043e\u043a\u0440\u044b\u0442\u0438\u0435 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0439\u0441\u0430 \u043a\u0430\u043a \u043c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0443\u043c \u043e\u0434\u043e\u0439 \u0441\u043c\u0435\u043d\u043e\u0439:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"\\sum_{j \\in J} a_{ij}x_j \\ge 1, \\quad \\forall i \\in I\" alt=\"\\sum_{j \\in J} a_{ij}x_j \\ge 1, \\quad \\forall i \\in I\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a\/ae\/aef\/aef8f1ed2b6968483229cabf1d52e4f3.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0412 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0438\u0437\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043a\u043e\u043b-\u0432\u043e \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 \u0434\u043b\u044f \u043e\u0431\u0435\u0441\u043f\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0437\u0430\u043f\u043b\u0430\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0435\u0439\u0441\u043e\u0432 (\u043a\u043e\u043b-\u0432\u043e \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 = \u043a\u043e\u043b-\u0432\u043e \u044d\u043a\u0438\u043f\u0430\u0436\u0435\u0439):<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"\\min \\sum_{j \\in J} x_j.\" alt=\"\\min \\sum_{j \\in J} x_j.\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f\/ff\/ffb\/ffb2f44b16ab366112b54692a568c0a9.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<h4>Python \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 CSP<\/h4>\n<p>\u0414\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0434\u043b\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 CSP \u0441\u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439\u043d\u044b\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c. \u041f\u043e \u0443\u043c\u043e\u043b\u0447\u0430\u043d\u0438\u044e \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043c\u0430\u043b\u0435\u043d\u044c\u043a\u0438\u0439 \u043a\u0435\u0439\u0441. \u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443, \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e \u0443\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c <code>is_small = False<\/code>. \u041f\u043e\u0438\u0441\u043a \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u043d\u0430 \u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0439\u043c\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0438\u043b\u0438\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f.<\/p>\n<details class=\"spoiler\">\n<summary>\u0413\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f \u0432\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445.<\/summary>\n<div class=\"spoiler__content\">\n<pre><code class=\"python\"># \u0418\u043c\u043f\u043e\u0440\u0442\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u044b\u0435 \u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a\u0438 from ortools.linear_solver import pywraplp import pandas as pd import numpy as np import random import time  # \u041f\u043e\u0434\u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u043a\u0430 \u0438\u0441\u043a\u0443\u0441\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0441\u0446\u0435\u043d\u0430\u0440\u0438\u044f \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 is_small = True  # \u041f\u0435\u0440\u0435\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 trips_cnt = 30 if is_small else 200 # \u041a\u043e\u043b-\u0432\u043e \u0440\u0435\u0439\u0441\u043e\u0432 duties_cnt = 200 if is_small else 4000 # \u041a\u043e\u043b-\u0432\u043e \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 seed = 3  rng = np.random.default_rng(seed=seed) df = rng.choice(100, size=(trips_cnt, duties_cnt))  columns = [f\"duty_{i + 1}\" for i in range(duties_cnt)] indexes = [f\"trip_{i}\" for i in range(trips_cnt)]  # \u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0432\u0435\u0441\u043e\u0432 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438. c = np.array([1 for i in range(duties_cnt)])  # \u0418\u043d\u0438\u0446\u0438\u0430\u043b\u0438\u0437\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 \u0410 A = pd.DataFrame(df, columns=columns, index=indexes) A = A \/ 100 - 0.3 if is_small else A \/ 100 - 0.48  # \u041f\u0440\u043e\u0440\u0435\u0436\u0438\u0432\u0430\u0435\u043c \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0438 A = A.round().astype(int) A = A.to_numpy()  # \u041f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0434\u043b\u044f \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0439\u0441\u0430 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0445\u043e\u0442\u044f \u0431\u044b \u043e\u0434\u0438\u043d \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0435\u0433\u043e \u043f\u043e\u043a\u0440\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 sat = A.sum(axis=1) sat[sat[0] == 0] <\/code><\/pre>\n<\/div>\n<\/details>\n<details class=\"spoiler\">\n<summary>\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 RMP (MIP).<\/summary>\n<div class=\"spoiler__content\">\n<pre><code class=\"python\"># \u041f\u0440\u044f\u043c\u0430\u044f MIP \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 RMP def optimize_primal_MIP(A, c, columns, selected_x_keys=None):     \"\"\"       A - \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438       \u0441 - \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438       columns - \u0441\u043f\u0438\u0441\u043e\u043a \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432       selected_x_keys - \u0441\u043f\u0438\u0441\u043e\u043a \u0438\u043d\u0434\u0435\u043a\u0441\u043e\u0432 \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 J'     \"\"\"     selected_x_keys = selected_x_keys or list(range(A.shape[1]))      model = pywraplp.Solver.CreateSolver('SCIP')      # \u0418\u043d\u0438\u0446\u0438\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f \u0431\u0438\u043d\u0430\u0440\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u0430 \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0430:     # \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 1, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u0432\u044b\u0431\u0440\u0430\u043d \u043a \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u0438\u044e, \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 -0.     x_vars = []     for i in selected_x_keys:         name = columns[i]         x_vars.append(model.BoolVar(name=f\"{name}\"))      # \u0414\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c     # \u041e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e\u043a\u0440\u044b\u0442\u0438\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u044f \u0438\u0437 \u0434\u043e\u0441\u0442\u0443\u043f\u043d\u043e\u0433\u043e \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440\u0430 \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 J'     A_tmp = A[:, selected_x_keys]     for i in range(len(A_tmp)):         constr = model.Add(A_tmp[i] @ x_vars >= 1)      # \u0426\u0435\u043b\u0435\u0432\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f     model.Minimize(c[selected_x_keys] @ x_vars)     model_str = model.ExportModelAsLpFormat(False) # \u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0442\u0435 .lp      # \u041f\u043e\u0438\u0441\u043a \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438     model.EnableOutput()     status = model.Solve()      print(\"\u041d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043e \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435: \", status == pywraplp.Solver.OPTIMAL)     print('\u0426\u0435\u043b\u0435\u0432\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f = %f' % model.Objective().Value())      # \u0418\u0437\u0432\u043b\u0435\u043a\u0430\u0435\u043c \u0438 \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434\u0438\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438     solution = {columns[selected_x_keys[i]]: var.solution_value()                 for i, var in enumerate(x_vars)                if var.solution_value() }     print(solution)      # \u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0440\u0435\u0448\u0430\u044e\u0449\u0438\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445     solution_vect = np.array([var.solution_value() for var in x_vars])     return solution_vect, model_str <\/code><\/pre>\n<\/div>\n<\/details>\n<details class=\"spoiler\">\n<summary>\u0414\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u043a \u0440\u0430\u0441\u0441\u043b\u0430\u0431\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 RMP.<\/summary>\n<div class=\"spoiler__content\">\n<pre><code class=\"python\"># \u0414\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u043a \u0440\u0430\u0441\u0441\u043b\u0430\u0431\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435 RMP def optimize_dual(A, c, indexes, selected_x_keys=None):     \"\"\"       A - \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438       \u0441 - \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438       indexes - \u0441\u043f\u0438\u0441\u043e\u043a \u0440\u0435\u0439\u0441\u043e\u0432 \u043a \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u0438\u044e       selected_x_keys - \u0441\u043f\u0438\u0441\u043e\u043a \u0438\u043d\u0434\u0435\u043a\u0441\u043e\u0432 \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 J'     \"\"\"     model = pywraplp.Solver.CreateSolver('GLOP')  # \u0421\u043e\u043b\u0432\u0435\u0440 LP     A_T = A.T      # \u0418\u043d\u0438\u0446\u0438\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445     y_vars = []     for i, name in enumerate(indexes):         y_vars.append(model.NumVar(0, 2, name=f\"{name}\"))  # Remark: \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0432\u0435\u0440\u0445\u0443 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043f\u043e\u044f\u0441\u043d\u0435\u043d\u043e \u0434\u0430\u043b\u0435\u0435      # \u0414\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c     selected_x_keys = selected_x_keys or list(range(len(A_T)))     for i in selected_x_keys:  # \u0421\u0442\u0440\u043e\u0438\u043c \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0434\u043b\u044f \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 \u0438\u0437 J'         model.Add(A_T[i] @ y_vars &lt;= c[i])      # \u0426\u0435\u043b\u0435\u0432\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f \u0434\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438     model.Maximize(sum(y_vars))     model_str = model.ExportModelAsLpFormat(False)  # \u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0442\u0435 .lp      # \u041f\u043e\u0438\u0441\u043a \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438     status = model.Solve()      print(\"\u041d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043d\u043e \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435: \", status == pywraplp.Solver.OPTIMAL)     print('\u0426\u0435\u043b\u0435\u0432\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f = %f' % model.Objective().Value())      # \u0418\u0437\u0432\u043b\u0435\u043a\u0430\u0435\u043c \u0438 \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434\u0438\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438     solution = {indexes[i]: var.solution_value()                 for i, var in enumerate(y_vars)}     print(solution)      # \u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0434\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 (\u0434\u043b\u044f \u0440\u0430\u0441\u0447\u0435\u0442\u0430 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438)     solution_vect = np.array([var.solution_value() for var in y_vars])     return solution_vect, model_str <\/code><\/pre>\n<\/div>\n<\/details>\n<details class=\"spoiler\">\n<summary>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432.<\/summary>\n<div class=\"spoiler__content\">\n<pre><code class=\"python\">stop_bound = -1e-5  # \u0414\u043b\u044f \u043e\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0438 \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u0431\u043b\u0438\u0437\u043a\u043e\u0435 \u043a \u043d\u0443\u043b\u044e def column_generation_by_dual(A, c, indexes, columns):     # indexes - dual variables     # columns - primal variables      # \u0418\u043d\u0438\u0446\u0438\u0430\u043b\u0438\u0437\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e J'     selected_keys = [0]     print(\"\u0418\u043d\u0438\u0446\u0438\u0430\u043b\u0438\u0437\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c J': \", selected_keys, '\\n')      min_val = -1  # \u0438\u043d\u0438\u0446\u0438\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f \u043c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438     iter_count = 0  # \u0441\u0447\u0435\u0442\u0447\u0438\u043a \u0438\u0442\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439     # \u041a\u0440\u0438\u0442\u0435\u0440\u0438\u0438 \u043e\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0438 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430:     # 1. \u0412 J\/J' \u043d\u0435 \u043e\u0441\u0442\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0443\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0430\u044e\u0442 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e     # 2. |J'| == |J|     while min_val &lt; stop_bound and len(selected_keys) &lt; len(columns):         iter_count += 1         print('\u0418\u0442\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f: ', iter_count)         dual_solution, model_str = optimize_dual(A, c, indexes, selected_keys)          reduced_cost = 1 - A.T @ dual_solution         print(\"\u041f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c: \", reduced_cost)          best_key = reduced_cost.argmin()         min_val = reduced_cost[best_key]         if min_val &lt; stop_bound:             selected_keys.append(best_key)             print('\u0418\u043d\u0434\u0435\u043a\u0441 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u0430 \u0441 \u043c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e: ', selected_keys, '\\n')      m, n = len(selected_keys), len(columns)     print(f\"\u041a\u043e\u043b-\u0432\u043e \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u0432 RMP {m}\/{n}. \u0421\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u0441\u0436\u0430\u0442\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 {round(100 * m \/ n, 3)}%\")     return selected_keys <\/code><\/pre>\n<\/div>\n<\/details>\n<details class=\"spoiler\">\n<summary>\u041e\u0431\u0449\u0438\u0439 \u0437\u0430\u043f\u0443\u0441\u043a \u0441\u0446\u0435\u043d\u0430\u0440\u0438\u044f \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f.<\/summary>\n<div class=\"spoiler__content\">\n<pre><code class=\"python\"># \u041e\u0431\u0449\u0438\u0439 \u0437\u0430\u043f\u0443\u0441\u043a selected_keys = column_generation_by_dual(A, c, indexes, columns) res, model_str = optimize_primal_MIP(A, c, columns) <\/code><\/pre>\n<\/div>\n<\/details>\n<p>\u0412 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u043c \u044d\u043a\u0441\u043f\u0435\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0442\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043b \u0434\u0432\u0430 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440\u0430 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445, \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u0438\u0445 \u043a\u0430\u043a \u0443\u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0441\u0446\u0435\u043d\u0430\u0440\u0438\u0439 (<code>is_small=True<\/code>) \u0438 \u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0441\u0446\u0435\u043d\u0430\u0440\u0438\u0439 (<code>is_small=False<\/code>). \u041e\u0446\u0435\u043d\u043a\u0443 \u044d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442\u0430 \u043f\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0434\u043b\u044f \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u0430\u0433\u0430\u044e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u043f\u043e \u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u044e \u043a \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044e \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438.<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0442\u0430\u043a\u0438\u0435 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u0438, \u043a\u0430\u043a \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u0441\u0436\u0430\u0442\u0438\u044f \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438 &#8212; \u043a\u043e\u043b-\u0432\u043e \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432, \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438; \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u043d\u0442\u0430 &#171;\u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u044b\u0445&#187; \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u043a \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c\u0443 \u043a\u043e\u043b-\u0432\u0443 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435. \u0421\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u0432\u044b\u044f\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 &#8212; \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 (CG). \u0412\u0440\u0435\u043c\u044f \u043f\u043e\u0438\u0441\u043a\u0430 \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 RMP MIP \u043d\u0430 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 &#171;\u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u044b\u0445&#187; \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432. \u0421 \u0446\u0435\u043b\u044c\u044e \u043e\u0446\u0435\u043d\u043a\u0438 \u043f\u0440\u0435\u0438\u043c\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e CG, \u043d\u0430\u0439\u0434\u0435\u043c \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438, \u0433\u0434\u0435 \u0432\u0435\u0441\u044c \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u043f\u043e\u0434\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 \u0432\u0445\u043e\u0434 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438. \u0420\u0435\u0437\u044e\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u043a \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \u0440\u0430\u0441\u0447\u0435\u0442\u0430 CG + \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f RMP MIP (Performance).<\/p>\n<p><strong>\u0423\u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043a\u0435\u0439\u0441.<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>\u0421\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u0441\u0436\u0430\u0442\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438: 19.5% \u0438\u043b\u0438 39 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u0438\u0437 200;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0412\u0440\u0435\u043c\u044f \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 CG: ~0.565\u0441\u0435\u043a;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0412\u0440\u0435\u043c\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f RMP MIP: ~0.373\u0441\u0435\u043a;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0412\u0440\u0435\u043c\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 MIP: ~2.9\u0441\u0435\u043a.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>Performance: 2.9 \/ (0.565 + 0.373) = x3.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p><strong>\u0420\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043a\u0435\u0439\u0441.<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>\u0421\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u0441\u0436\u0430\u0442\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438: 6.125% \u0438\u043b\u0438 245 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u0438\u0437 4000;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0412\u0440\u0435\u043c\u044f \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 CG: ~90\u0441\u0435\u043a;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0412\u0440\u0435\u043c\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f RMP MIP: ~200\u0441\u0435\u043a;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0412\u0440\u0435\u043c\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 MIP: ~1160\u0441\u0435\u043a.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>Performance: 1160 \/ (200 + 90) = x4.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<h4>\u041a\u043e\u043c\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0440\u0438\u0438<\/h4>\n<p>\u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0443 \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043d\u044e\u0430\u043d\u0441\u044b \u0432 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0435 \u0441 CG. \u041a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e, \u044d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0432\u0441\u0435 \u043d\u044e\u0430\u043d\u0441\u044b. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043e\u043f\u044b\u0442 \u0432 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0445 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441\u043e\u0432, \u043a\u043e\u043c\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0440\u0438\u0438 \u043e\u0442\u043a\u0440\u044b\u0442\u044b.<\/p>\n<p><strong>\u041f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u0430 \u0438\u043d\u0438\u0446\u0438\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438.<\/strong> \u0412 \u043d\u0430\u0448\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435, \u0432 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u0432\u0437\u044f\u043b\u0438 \u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 (<code>selected_keys = [0]<\/code>), \u043d\u043e \u043d\u0430\u0441\u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0431\u0435\u0437\u0434\u0443\u043c\u043d\u043e \u043f\u043e\u0441\u0442\u0443\u043f\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435\u0434\u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u043c\u043e \u043f\u0440\u0438 \u0438\u043d\u0438\u0446\u0438\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430. \u041d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e \u0441\u0444\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0432 \u0441\u043e\u0432\u043e\u043a\u0443\u043f\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043f\u043e\u043a\u0440\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043a\u0430\u0436\u0434\u044b\u0439 \u0438\u0437 \u0440\u0435\u0439\u0441\u043e\u0432 (\u0441\u0442\u0440\u043e\u043a\u0443) \u0445\u043e\u0442\u044f \u0431\u044b \u043e\u0434\u0438\u043d \u0440\u0430\u0437 &#8212; \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b RMP \u0431\u044b\u043b\u0430 \u0440\u0435\u0448\u0430\u0431\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f (feasible). \u0412 \u0441\u0432\u043e\u0435\u0439 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u0438\u043b \u0432 \u0434\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0432\u0435\u0440\u0445\u0443 \u043d\u0430 \u0434\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 (<code>y_vars.append(model.NumVar(0, 2, name=f\"{name}\"))<\/code>). \u042d\u0442\u043e \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u0438\u043b\u043e \u0438\u0437\u0431\u0435\u0436\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 (unbounded) \u0434\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0438 (\u043d\u043e \u043f\u0440\u044f\u043c\u0430\u044f RMP \u043f\u043e-\u043f\u0440\u0435\u0436\u043d\u0435\u043c\u0443 infeasible, \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u0438 \u0432\u044b\u0441\u043e\u043a\u0438\u0445 \u043c\u043e\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0446\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u044f\u0445  \u043d\u0435\u0434\u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u043c\u043e!!!). \u0412 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0438\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 \u043f\u043e\u043a\u0440\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0435\u0441\u044c \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u0440\u0435\u0439\u0441\u043e\u0432 (RMP &#8212; feasible), \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0442\u0440\u044e\u043a \u043d\u0435 \u043f\u043e\u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f.<\/p>\n<p><strong>\u0414\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0433\u0440\u0443\u043f\u043f\u044b \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432.<\/strong> \u0421 \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e\u043c \u0438\u0442\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u0437\u0430\u0442\u0440\u0430\u0442\u043d\u0435\u0435 \u043f\u043e \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438, \u043d\u0435\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u044f \u043d\u0430 \u0442\u043e, \u0447\u0442\u043e \u0440\u0435\u0448\u0430\u0435\u043c LP \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443. \u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u0441\u043e\u043a\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \u043a\u043e\u043b-\u0432\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0434\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447, \u0438\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442 \u0432 RMP \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u0433\u0440\u0443\u043f\u043f\u0443 \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432. \u041c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043e\u0440\u0442\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u044b \u043f\u043e \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0438 \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0442\u044c topN \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u0438\u043b\u0438 \u0432\u0441\u0435 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u044b \u0441 \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e. \u041d\u043e \u044d\u0442\u043e \u0441\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043f\u0440\u0435\u0441\u0441\u0438\u0438 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438. \u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u044d\u0432\u0440\u0438\u0441\u0442\u0438\u043a\u0438 \u0438\u043b\u0438 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435\u043f\u0446\u0438\u044e \u0434\u043e\u043c\u0438\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0444\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0433\u0440\u0443\u043f\u043f\u0443 \u0438\u0437 &#171;\u0440\u0430\u0437\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445&#187; \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u0434\u043b\u044f \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 RMP \u043d\u0430 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0438\u0442\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 CG.<\/p>\n<p><strong>\u041f\u0440\u044f\u043c\u0430\u044f \u0440\u0430\u0441\u0441\u043b\u0430\u0431\u043b\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f RMP.<\/strong> \u0412 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0435\u043c \u0441\u043e\u043b\u0432\u0435\u0440\u044b \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u044e\u0442 \u0438\u0437\u0432\u043b\u0435\u0447\u044c \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u0437 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0438 \u0440\u0435\u0448\u0430\u0442\u044c \u0434\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u044f\u0432\u043d\u043e \u043d\u0435 \u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f. \u041f\u0440\u043e\u0434\u0435\u043c\u043e\u043d\u0441\u0442\u0440\u0438\u0440\u0443\u044e \u043f\u0440\u0438 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438.<\/p>\n<h3>\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f<\/h3>\n<p>\u0412 <a href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%BE%D1%8F\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0432\u0438\u043a\u0438\u043f\u0435\u0434\u0438\u0438<\/a> \u0435\u0441\u0442\u044c \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u0435\u0435 \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432\u043e\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0441\u044c \u0443\u0436\u0435 \u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u044b\u043c \u0442\u0435\u043a\u0441\u0442\u043e\u043c.<\/p>\n<p>&#171;\u041f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0441\u0435\u0431\u0435, \u0447\u0442\u043e \u0432\u044b \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442\u0435 \u043d\u0430 \u0446\u0435\u043b\u043b\u044e\u043b\u043e\u0437\u043d\u043e-\u0431\u0443\u043c\u0430\u0436\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u0440\u0438\u044f\u0442\u0438\u0438, \u0438 \u0443 \u0432\u0430\u0441 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0440\u0443\u043b\u043e\u043d\u043e\u0432 \u0431\u0443\u043c\u0430\u0433\u0438 \u0444\u0438\u043a\u0441\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0448\u0438\u0440\u0438\u043d\u044b, \u043d\u043e \u0440\u0430\u0437\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u043c \u0437\u0430\u043a\u0430\u0437\u0447\u0438\u043a\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u044b \u0440\u0430\u0437\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u0435 \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0440\u0443\u043b\u043e\u043d\u043e\u0432 \u0440\u0430\u0437\u043b\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0448\u0438\u0440\u0438\u043d\u044b. \u041a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0437\u0440\u0435\u0437\u0430\u0442\u044c \u0431\u0443\u043c\u0430\u0433\u0443, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0438\u0437\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043e\u0442\u0445\u043e\u0434\u044b?<\/p>\n<p>\u0421\u043e\u0433\u043b\u0430\u0441\u043d\u043e \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u043c \u041a\u043e\u043d\u0444\u0435\u0434\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0435\u0432\u0440\u043e\u043f\u0435\u0439\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435\u0439 \u0431\u0443\u043c\u0430\u0433\u0438[en][1], \u0432 2012 \u0433\u043e\u0434\u0443 1331 \u0431\u0443\u043c\u0430\u0433\u043e\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0448\u0438\u043d\u0430 \u0432 \u0440\u0435\u0433\u0438\u043e\u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0432 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u043c \u043e\u0442\u0445\u043e\u0434\u043e\u0432 \u043d\u0430 56 \u043c\u043b\u043d \u0435\u0432\u0440\u043e (\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e 73 \u043c\u043b\u043d \u0434\u043e\u043b\u043b\u0430\u0440\u043e\u0432 \u0421\u0428\u0410) \u043a\u0430\u0436\u0434\u0430\u044f. \u042d\u043a\u043e\u043d\u043e\u043c\u0438\u0438 \u0434\u0430\u0436\u0435 1 % \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439.&#187;<\/p>\n<p>\u041e\u0442\u043c\u0435\u0447\u0443, \u0447\u0442\u043e \u043d\u0430 \u0445\u0430\u0431\u0440\u0435 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u044f, \u043f\u043e\u0441\u0432\u044f\u0449\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435 \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0443\u044e \u043e\u043f\u0443\u0431\u043b\u0438\u043a\u043e\u0432\u0430\u043b \u043c\u043e\u0439 \u043a\u043e\u043b\u043b\u0435\u0433\u0430. \u0421 \u043d\u0435\u0439 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442\u0435 \u043e\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/articles\/733804\/\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0437\u0434\u0435\u0441\u044c<\/a>.<\/p>\n<h4>\u041c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0430<\/h4>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"i \\in I\" alt=\"i \\in I\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/6f\/6fa\/6fa78e29473bdce53401e1c2158c3eca.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0437\u0430\u043a\u0430\u0437\u043e\u0432;<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"j \\in J\" alt=\"j \\in J\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/ef\/ef4\/ef49d6708ac0e93b9ccb82e7c29afca1.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0434\u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u043c\u044b\u0445 \u0441\u0445\u0435\u043c \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u043a \u0444\u0438\u043a\u0441\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0448\u0438\u0440\u0438\u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0433\u043e \u0440\u0443\u043b\u043e\u043d\u0430;<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\textbf{a}_j\" alt=\"\\textbf{a}_j\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/65\/65f\/65f412453e6705e88e4b2cc31fec1f84.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; \u0446\u0435\u043b\u043e\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"|I|\" alt=\"|I|\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a\/a3\/a3f\/a3f2c9657247b3e25cb73a65c5e40f5b.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>-\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0430\u043d\u0442, \u0433\u0434\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"i\" alt=\"i\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/86\/865\/865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>-\u0430\u044f \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0430 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u043a\u043e\u043b-\u0432\u0443 \u0440\u0443\u043b\u043e\u043d\u043e\u0432 \u0441 \u0448\u0438\u0440\u0438\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u043a\u0430\u0437\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"i\" alt=\"i\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/86\/865\/865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u043f\u0440\u0438 \u0441\u0445\u0435\u043c\u0435 \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"j\" alt=\"j\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/3\/36\/363\/363b122c528f54df4a0446b6bab05515.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>;<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"q_i\" alt=\"q_i\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/da\/da3\/da326f7200e158a864695985b2e2f095.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; \u0446\u0435\u043b\u043e\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0430\u043d\u0442\u0430, \u043e\u0431\u044a\u0435\u043c \u0437\u0430\u043a\u0430\u0437\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"i\" alt=\"i\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/86\/865\/865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>. \u041a\u043e\u043b-\u0432\u043e \u0440\u0443\u043b\u043e\u043d\u043e\u0432 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0448\u0438\u0440\u0438\u043d\u044b, \u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u0435\u043c\u044b\u0445 \u043f\u043e \u0437\u0430\u043a\u0430\u0437\u0443 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"i\" alt=\"i\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/86\/865\/865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>;<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_j\" alt=\"x_j\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1\/1f\/1f8\/1f89889020cdc84d9e1c35237cb62f65.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; \u0446\u0435\u043b\u043e\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f, \u043a\u043e\u043b-\u0432\u043e \u0440\u0430\u0437 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0445\u0435\u043c\u044b \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"j\" alt=\"j\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/3\/36\/363\/363b122c528f54df4a0446b6bab05515.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>;<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\sum_{j \\in J} a_{ij}x_j \\ge q_i, \\quad \\forall i \\in I\" alt=\"\\sum_{j \\in J} a_{ij}x_j \\ge q_i, \\quad \\forall i \\in I\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2\/2f\/2ff\/2fff08e878ecb029f85fc1d29fd68e94.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u044c \u0432\u0441\u0435 \u0437\u0430\u043a\u0430\u0437\u044b;<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\min \\sum_{j \\in J} x_j\" alt=\"\\min \\sum_{j \\in J} x_j\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4\/4b\/4b3\/4b382d84730b68e8601b9999b2ef225f.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; \u043c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0438\u0437\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043a\u043e\u043b-\u0432\u043e \u0440\u0443\u043b\u043e\u043d\u043e\u0432 \u0444\u0438\u043a\u0441\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0448\u0438\u0440\u0438\u043d\u044b \u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u0441\u0442\u0432\u0443.<\/p>\n<hr\/>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0430, \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0432\u044b\u0448\u0435, \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430\u043b\u0438\u0447\u0438\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0445\u0435\u043c \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f \u0432 \u044f\u0432\u043d\u043e\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435. \u041d\u0430 \u0432\u0445\u043e\u0434\u0435 \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b \u0448\u0438\u0440\u0438\u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0433\u043e \u0440\u0443\u043b\u043e\u043d\u0430 (\u0444\u0438\u043a\u0441\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u0430\u044f \u0448\u0438\u0440\u0438\u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u0441\u0442\u0432\u0430) \u0438 \u0448\u0438\u0440\u0438\u043d\u0430 \u0440\u0443\u043b\u043e\u043d\u0430, \u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u0435\u043c\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e \u0437\u0430\u043a\u0430\u0437\u0443 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"i\" alt=\"i\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/86\/865\/865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>. \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0434\u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u043c\u044b\u0435 \u0441\u0445\u0435\u043c\u044b \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0442\u044c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u043c \u043d\u0435\u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e\u043c:<br \/> <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\sum_{i \\in I} a_{ij} w_i \\le W\" alt=\"\\sum_{i \\in I} a_{ij} w_i \\le W\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c\/c5\/c51\/c511f68d70e2d671a55cfca0b2a6afc7.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>, \u0433\u0434\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"w_i\" alt=\"w_i\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a\/aa\/aa3\/aa38f107289d4d73d516190581397349.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; \u0448\u0438\u0440\u0438\u043d\u0430 \u0440\u0443\u043b\u043e\u043d\u0430 \u043f\u043e \u0437\u0430\u043a\u0430\u0437\u0443 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"i\" alt=\"i\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/86\/865\/865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>, \u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"W\" alt=\"W\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/61\/61e\/61e9c06ea9a85a5088a499df6458d276.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; \u0448\u0438\u0440\u0438\u043d\u0430 \u0444\u0438\u043a\u0441\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0443\u043b\u043e\u043d\u0430. \u041d\u0435\u044f\u0432\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0438\u0434 \u0441\u0445\u0435\u043c \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043d\u0430 \u044d\u0442\u0430\u043f\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0447\u0435\u0442\u0430 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 (reduced cost).<\/p>\n<p>\u0412\u044b\u0431\u043e\u0440 \u0441\u0445\u0435\u043c\u044b \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f \u0434\u043b\u044f \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 RMP \u0432 \u044f\u0432\u043d\u043e\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"j_B =  \\text{arg} \\min \\{\\bar{c_j} = 1-u^\\intercal \\textbf{a}_j|j \\in J\\}\" alt=\"j_B =  \\text{arg} \\min \\{\\bar{c_j} = 1-u^\\intercal \\textbf{a}_j|j \\in J\\}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b\/b9\/b96\/b96c1e19faaa1ffdccf9d3b2e6b0d6e6.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>.<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 (\u0441\u0445\u0435\u043c\u0443 \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f) <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\textbf{a}_j\" alt=\"\\textbf{a}_j\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/65\/65f\/65f412453e6705e88e4b2cc31fec1f84.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u044c \u043f\u043e \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c\u0443 \u043a\u0440\u0438\u0442\u0435\u0440\u0438\u044e, \u0430 \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e, \u043c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0438\u0437\u0438\u0440\u0443\u044f \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c.  <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"z_i\" alt=\"z_i\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5\/5a\/5a5\/5a5ae0760dc3dac91e546c0ea25586b0.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> &#8212; \u0446\u0435\u043b\u043e\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u043a\u043e\u043b-\u0432\u0443 \u0440\u0443\u043b\u043e\u043d\u043e\u0432 \u043f\u043e \u0437\u0430\u043a\u0430\u0437\u0443 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"i\" alt=\"i\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/86\/865\/865c0c0b4ab0e063e5caa3387c1a8741.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>, \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f \u0434\u043b\u044f \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 RMP \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"\\begin{align}\\min 1-\\sum_{i\\in I} u_i z_i \\\\\\sum_i w_i z_i \\leqslant W &amp; &amp; \\\\z_i \\in \\mathbb{Z}  \\quad \\forall i \\in I &amp; \\\\\\end{align}\" alt=\"\\begin{align}\\min 1-\\sum_{i\\in I} u_i z_i \\\\\\sum_i w_i z_i \\leqslant W &amp; &amp; \\\\z_i \\in \\mathbb{Z}  \\quad \\forall i \\in I &amp; \\\\\\end{align}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d1\/d14\/d14687ee1238a73f2947a47d34c7f880.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<figure class=\"\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/post_images\/1e9\/da8\/b05\/1e9da8b05cd4b1579c2e8c8b5641afa4.png\" alt=\"\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 \u0441\u0445\u0435\u043c \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/post_images\/1e9\/da8\/b05\/1e9da8b05cd4b1579c2e8c8b5641afa4.png\"\/><\/p>\n<div><figcaption>\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 \u0441\u0445\u0435\u043c \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<p>\u041e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\bar{z}\" alt=\"\\bar{z}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c\/cc\/ccc\/cccd1eb617987b3ab1ca63b7cfb6dad7.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0442\u0435\u043c \u0441\u0430\u043c\u044b\u043c \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u043c <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\textbf{a}_j\" alt=\"\\textbf{a}_j\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/65\/65f\/65f412453e6705e88e4b2cc31fec1f84.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u0434\u043b\u044f \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c RMP. \u041e\u0442\u043c\u0435\u0447\u0443, \u0447\u0442\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435\u0439 \u043e \u0440\u044e\u043a\u0437\u0430\u043a\u0435.<\/p>\n<h4>Python \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f<\/h4>\n<p>\u041d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u0432\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0434\u043b\u044f \u044d\u043a\u0441\u043f\u0435\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430 \u0432\u0437\u044f\u0442 \u0438\u0437 <a href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%BE%D1%8F\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0432\u0438\u043a\u0438\u043f\u0435\u0434\u0438\u0438<\/a>. \u041d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u043d\u0435\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0439, \u043d\u043e \u0432 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430 \u043f\u043e\u0439\u0434\u0435\u0442.<\/p>\n<p>\u0412 \u043a\u043e\u043c\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0440\u0438\u0438 \u043a \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0435\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435 \u0443\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u043b, \u0447\u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0440\u0435\u0448\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u044f\u043c\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443, \u0430 \u0438\u0437 \u0441\u043e\u043b\u0432\u0435\u0440\u0430 \u0438\u0437\u0432\u043b\u0435\u0447\u044c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445. \u0412 \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0440\u0430\u0437 \u0442\u0430\u043a \u0438 \u043f\u043e\u0441\u0442\u0443\u043f\u0438\u043c.<\/p>\n<details class=\"spoiler\">\n<summary>\u0418\u043d\u0438\u0446\u0438\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f \u0432\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445.<\/summary>\n<div class=\"spoiler__content\">\n<pre><code class=\"python\"># \u0418\u043c\u043f\u043e\u0440\u0442\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u044b\u0435 \u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a\u0438 from ortools.linear_solver import pywraplp import pandas as pd import numpy as np import random import time  # \u0412\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 W = 5600  # \u0424\u0438\u043a\u0441\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u0430\u044f \u0448\u0438\u0440\u0438\u043d\u0430 \u0440\u0443\u043b\u043e\u043d\u0430, \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u044b \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u0441\u0442\u0432\u0430 # \u0428\u0438\u0440\u0438\u043d\u0430 \u0440\u0443\u043b\u043e\u043d\u0430 \u043f\u043e \u0437\u0430\u043a\u0430\u0437\u0430\u043c \u0438 \u0438\u0445 \u043a\u043e\u043b-\u0432\u043e data = [(1380, 22),         (1520, 25),         (1560, 12),         (1710, 14),         (1820, 18),         (1880, 18),         (1930, 20),         (2000, 10),         (2050, 12),         (2100, 14),         (2140, 16),         (2150, 18),         (2200, 20)]  data_df = pd.DataFrame(data, columns=['w', 'q']) w = np.array(data_df['w'])  # \u0428\u0438\u0440\u0438\u043d\u0430 \u0440\u0443\u043b\u043e\u043d\u0430 \u043f\u043e \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u043c\u0443 \u0438\u0437 \u0437\u0430\u043a\u0430\u0437\u043e\u0432 q = np.array(data_df['q'])  # \u041a\u043e\u043b-\u0432\u043e \u0440\u0443\u043b\u043e\u043d\u043e\u0432 \u043f\u043e \u0437\u0430\u043a\u0430\u0437\u0430\u043c <\/code><\/pre>\n<\/div>\n<\/details>\n<details class=\"spoiler\">\n<summary>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043b\u0430\u0431\u043b\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043f\u0440\u044f\u043c\u0430\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 RMP.<\/summary>\n<div class=\"spoiler__content\">\n<pre><code class=\"python\"># \u0420\u0430\u0441\u0441\u043b\u0430\u0431\u043b\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 RMP def cutting_stock_relaxed(A, q, is_relaxed=True):     \"\"\"       A - \u0442\u0435\u043a\u0443\u0449\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u0441\u0445\u0435\u043c \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f       q - \u043a\u043e\u043b-\u0432\u043e \u0440\u0443\u043b\u043e\u043d\u043e\u0432  \u043f\u043e \u0437\u0430\u043a\u0430\u0437\u0430\u043c       is_relaxed - \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 LP \u0438 MIP \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u043c\u0438     \"\"\"     m, n = A.shape      if is_relaxed:       model = pywraplp.Solver.CreateSolver('GLOP')     else:       model = pywraplp.Solver.CreateSolver('SCIP')  # \u041d\u0430 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439 RMP MIP      # \u0418\u043d\u0438\u0446\u0438\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445     x_vars = []     for i in range(n):         if is_relaxed:           x_vars.append(model.NumVar(0, model.infinity(), name=f\"x_{i}\"))         else:           x_vars.append(model.IntVar(0, 100, name=f\"x_{i}\"))      # \u0414\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0432 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c     constraints = []     for i in range(m):         constr = model.Add(A[i] @ x_vars >= q[i])         constraints.append(constr)      # \u0426\u0435\u043b\u0435\u0432\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f     model.Minimize(sum(x_vars))     model_str = model.ExportModelAsLpFormat(False)      status = model.Solve()      print('\u0417\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 = %f' % model.Objective().Value())      solution = {f\"x_{i}\": var.solution_value()                 for i, var in enumerate(x_vars)                if var.solution_value() }      print(solution)     solution_vect = np.array([var.solution_value() for var in x_vars])     if is_relaxed:       dual_solution_vect = np.array([constr.dual_value() for constr in constraints])     else:        dual_solution_vect = []     return solution_vect, dual_solution_vect, model_str <\/code><\/pre>\n<\/div>\n<\/details>\n<details class=\"spoiler\">\n<summary>\u041e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f \u0441\u0445\u0435\u043c\u044b \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u0430.<\/summary>\n<div class=\"spoiler__content\">\n<pre><code class=\"python\"># \u041e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f \u0441\u0445\u0435\u043c\u044b \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f \u0434\u043b\u044f \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c def pricing_problem(u, w, W):     \"\"\"       u - \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0434\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445       w - \u0448\u0438\u0440\u0438\u043d\u0430 \u0440\u0443\u043b\u043e\u043d\u043e\u0432 \u0432 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0442 \u0437\u0430\u043a\u0430\u0437\u0430       W - \u0448\u0438\u0440\u0438\u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0433\u043e \u0440\u0443\u043b\u043e\u043d\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f     \"\"\"     m = len(w)      model = pywraplp.Solver.CreateSolver('SCIP')      # \u0418\u043d\u0438\u0446\u0438\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445     z_vars = []     for i in range(m):         z_vars.append(model.IntVar(0, model.infinity(), name=f\"z_{i}\"))      # \u0414\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0432 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c     model.Add(w @ z_vars &lt;= W)      # \u0426\u0435\u043b\u0435\u0432\u0430\u044f \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f     model.Minimize(1 - u @ z_vars)      status = model.Solve()      print('\u0417\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 = %f' % model.Objective().Value())      solution = {f\"z_{i}\": var.solution_value()                 for i, var in enumerate(z_vars)                if var.solution_value() }     print(solution)     solution_vect = np.array([var.solution_value() for var in z_vars])     return solution_vect, model.Objective().Value() <\/code><\/pre>\n<\/div>\n<\/details>\n<details class=\"spoiler\">\n<summary>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432.<\/summary>\n<div class=\"spoiler__content\">\n<pre><code class=\"python\"># \u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u0434\u043b\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f \u0432 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0433\u043e \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0438\u044f \u0441\u0445\u0435\u043c \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f def cutting_stock_col_gen(q, w, W):     # \u0418\u043d\u0438\u0446\u0438\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f     m = q.shape[0]  # \u043a\u043e\u043b-\u0432\u043e \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439     # \u0418\u043d\u0438\u0446\u0438\u0430\u043b\u0438\u0437\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u0441\u0445\u0435\u043c: \u043e\u0434\u043d\u0430 \u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 - \u043e\u0434\u0438\u043d \u0437\u0430\u043a\u0430\u0437     A = np.eye(m, dtype=int)      iter_count = 0     while True:         iter_count += 1         print('\u0418\u0442\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f', iter_count)          sol, dual_sol, m_str = cutting_stock_relaxed(A, q)         new_pattern, obj = pricing_problem(dual_sol, w, W)         if obj >= 0:             break         new_pattern = new_pattern.astype(int)         print('\u041d\u043e\u0432\u0430\u044f \u0441\u0445\u0435\u043c\u0430: ', new_pattern)          new_pattern_matr = new_pattern.reshape((-1, 1))         A = np.hstack((A, new_pattern_matr))      return A <\/code><\/pre>\n<\/div>\n<\/details>\n<details class=\"spoiler\">\n<summary>\u041e\u0431\u0449\u0438\u0439 \u0437\u0430\u043f\u0443\u0441\u043a \u0441\u0446\u0435\u043d\u0430\u0440\u0438\u044f \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f.<\/summary>\n<div class=\"spoiler__content\">\n<pre><code class=\"python\">A_schemes = cutting_stock_col_gen(q, w, W) res_vec, _, _ = cutting_stock_relaxed(A_schemes, q, is_relaxed=False) <\/code><\/pre>\n<\/div>\n<\/details>\n<p>\u0412 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0435 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 <code>A_schemes<\/code>, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442 \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0435 \u043a\u043e\u043b-\u0432\u043e \u0441\u0445\u0435\u043c \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438.<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0432\u0435\u043b\u0438 \u0441\u0430\u043c\u0443\u044e \u043e\u0447\u0435\u0432\u0438\u0434\u043d\u0443\u044e \u0438\u043d\u0438\u0446\u0438\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044e \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430: \u0432 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u0441\u0445\u0435\u043c \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u0438\u043b\u0438 \u0441\u0445\u0435\u043c\u0443 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0437\u0440\u0435\u0437\u0430, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432\u0435\u0441\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0443\u043b\u043e\u043d \u043e\u0442\u0434\u0430\u0435\u043c \u043f\u043e\u0434 \u043e\u0434\u0438\u043d \u0437\u0430\u043a\u0430\u0437. \u041a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e, \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0443\u043c\u043d\u0430\u044f \u044d\u0432\u0440\u0438\u0441\u0442\u0438\u043a\u0430 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u0438\u0442 \u0441\u043e\u043a\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u0438 \u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0438\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<p><strong>\u041f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u0438 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430:<\/strong><\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>\u041a\u043e\u043b-\u0432\u043e \u0438\u0442\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439 CG: 37\u0448\u0442;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0412\u0440\u0435\u043c\u044f \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b CG: ~1.42\u0441\u0435\u043a;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0412\u0440\u0435\u043c\u044f \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 RMP: ~0.05\u0441\u0435\u043a;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u041e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u043a\u043e\u043b-\u0432\u043e \u0440\u0443\u043b\u043e\u043d\u043e\u0432: 73\u0448\u0442.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u0418\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u043a\u0430 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041f\u043e \u0437\u0430\u043a\u0430\u0437\u0430\u043c \u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\sum_{i \\in I} w_iq_i=407160\" alt=\"\\sum_{i \\in I} w_iq_i=407160\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b\/b3\/b3f\/b3fa56281e83c2220b5e302310e5efcc.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/>\u043c \u0431\u0443\u043c\u0430\u0433\u0438, \u0437\u0430\u043f\u043b\u0430\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043e \u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u0441\u0442\u0432\u0443 5600*73=408800\u043c, \u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u043a 1640\u043c \u0438\u043b\u0438 \u0432 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u043c 1640 \/ 73 ~ 22.47\u043c \u0441 \u0440\u0443\u043b\u043e\u043d\u0430. \u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e, \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0441 <a href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D1%80%D0%B0%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%BE%D1%8F\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0432\u0438\u043a\u0438\u043f\u0435\u0434\u0438\u0435\u0439<\/a>.<\/p>\n<p>\u0412\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442\u0435 \u0443\u0431\u0435\u0434\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u0432 \u0434\u043e\u0441\u0442\u043e\u0432\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0443\u0442\u0435\u043c \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0432\u043e\u0435\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f \u0438\u043b\u0438 \u044d\u0432\u0440\u0438\u0441\u0442\u0438\u043a\u0438 \u0438\u043d\u0438\u0446\u0438\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 CG. \u041f\u0438\u0448\u0438\u0442\u0435 \u0432 \u043a\u043e\u043c\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0440\u0438\u044f\u0445, \u043e\u0431\u0441\u0443\u0434\u0438\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c!<\/p>\n<h2>\u0424\u0438\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0432\u043e<\/h2>\n<p>\u0410\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 (Column Generation) &#8212; \u0438\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0443\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438. \u0421\u0438\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u043e\u043c \u043a \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044e \u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432\u044b\u0442\u044f\u043d\u0443\u0442\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"A\" alt=\"A\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/7f\/7fc\/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/> \u043f\u043e \u043a\u043e\u043b-\u0432\u0443 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432.<\/p>\n<p>\u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u043a\u0440\u0430\u0442\u043a\u043e \u0438\u0437\u043b\u043e\u0436\u0438\u043b \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043e\u0431\u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u0430. \u0421\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u043f\u043e\u0437\u0430\u0438\u043c\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u043d\u0430 \u0443 \u0441\u0438\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0441\u0443\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f \u0441\u0438\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430.<\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0434\u0435\u043c\u043e\u043d\u0441\u0442\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043b \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u044b \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0434\u043b\u044f \u044f\u0432\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438 \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0433\u043e \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0438\u044f \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432. \u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043b  \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u043f\u043b\u0430\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 \u0441\u043c\u0435\u043d \u044d\u043a\u0438\u043f\u0430\u0436\u0435\u0439 \u0432 \u0436\u0434 \u043f\u0430\u0441\u0441\u0430\u0436\u0438\u0440\u043e\u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e\u0437\u043a\u0430\u0445 \u0438 \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f.<\/p>\n<p>\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u043f\u0440\u0435\u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0448\u0438\u0440\u043e\u043a\u0438\u0435 \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u044d\u0432\u0440\u0438\u0441\u0442\u0438\u043a: \u0438\u043d\u0438\u0446\u0438\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430, \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440 \u0431\u0430\u0442\u0447\u0435\u0439 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u0434\u043b\u044f \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 RMP, \u043e\u0442\u0431\u043e\u0440 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u043e \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438, \u043d\u043e \u0438 \u0441 \u0443\u0447\u0435\u0442\u043e\u043c \u0434\u043e\u043c\u0438\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f, \u0441\u0442\u0430\u0431\u0438\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u0438 \u0434\u0440.<\/p>\n<p>\u0421\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0441\u043f\u0435\u0446\u0438\u0444\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043c\u043e\u0434\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430, \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440: \u0441\u0442\u0440\u043e\u043a\u043e-\u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432\u0430\u044f \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f; \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u044b\u0445 \u043e\u0442 \u0441\u0442\u0440\u043e\u043a; \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u044d\u0442\u0430\u043f\u0435 branch-and-bound.<\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435 \u043c\u043d\u0435 \u0434\u043e\u0432\u043e\u0434\u0438\u043b\u043e\u0441\u044c \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0440\u0430\u0437 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434 (\u0432 BIA Technologies, Huawei \u0438 \u041f\u0413\u041a). \u0412\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 \u0432\u0441\u043f\u043b\u044b\u0432\u0430\u043b\u0438 \u0441\u0432\u043e\u0438 \u043d\u044e\u0430\u043d\u0441\u044b. \u041d\u0435\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u044f \u043d\u0430 \u044d\u0442\u043e, \u043a\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0440\u043e\u0441\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u043e\u0432 \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043e\u043f\u0440\u0430\u0432\u0434\u044b\u0432\u0430\u043b \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432.<\/p>\n<h2>\u0421\u0441\u044b\u043b\u043a\u0438<\/h2>\n<ul>\n<li>\n<p>\u0421\u0441\u044b\u043b\u043a\u0430 \u043d\u0430 <a href=\"https:\/\/github.com\/Lozkins\/mos\/blob\/master\/07_Column_Generation_Algorithm.ipynb\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">Jupyter Notebook<\/a>;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u041e\u0431\u0437\u043e\u0440 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 <a href=\"https:\/\/www.sciencedirect.com\/science\/article\/abs\/pii\/S0377221719304916\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">CSP<\/a>;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/articles\/733804\/\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f<\/a>;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u041e\u0431\u0437\u043e\u0440 \u043f\u043e <a href=\"https:\/\/pubsonline.informs.org\/doi\/10.1287\/opre.1050.0234?cookieSet=1\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0443 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432<\/a>;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0424\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e\u0435 \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0438\u0435 <a href=\"https:\/\/optimization.cbe.cornell.edu\/index.php?title=Column_generation_algorithms#:~:text=Column%20generation%20is%20a%20way,the%20entire%20problem%20is%20achieved\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430<\/a>.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<h2>\u0421\u043c. \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435<\/h2>\n<ul>\n<li>\n<p>\u041c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0435\u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u0445 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0439 &#8212; <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/articles\/765116\/\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u043e\u0431\u0437\u043e\u0440<\/a>.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p><!----><!----><\/div>\n<p><!----><!----><br \/> \u0441\u0441\u044b\u043b\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u043e\u0440\u0438\u0433\u0438\u043d\u0430\u043b \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438 <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/articles\/800527\/\"> https:\/\/habr.com\/ru\/articles\/800527\/<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<div><!--[--><!--]--><\/div>\n<div id=\"post-content-body\">\n<div>\n<div class=\"article-formatted-body article-formatted-body article-formatted-body_version-2\">\n<div xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1999\/xhtml\">\n<figure class=\"\"><\/figure>\n<p>\u0413\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 &#8212; \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434 \u043a \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447 \u0441\u043c\u0435\u0448\u0430\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f (MIP) \u0441 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043c \u043a\u043e\u043b-\u0432\u043e\u043c \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0438\u043b\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432.<\/p>\n<p>\u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043b \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u0441\u044b\u043b\u043a\u0443, \u0441\u0445\u0435\u043c\u0443 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0438 python \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044e \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u0430. \u0412 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043b \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447: \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u043f\u043b\u0430\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0440\u0430\u0441\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f.<\/p>\n<h2>\u041c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0431\u0430\u0437\u0430<\/h2>\n<p>\u041f\u043e\u0433\u0440\u0443\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u043d\u0430\u0447\u043d\u0435\u043c \u0441 \u0441\u0438\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430. \u041e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/articles\/474286\/\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0441\u0438\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430<\/a> \u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044e \u0437\u0430 \u0440\u0430\u043c\u043a\u0430\u043c\u0438 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438, \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0435\u0433\u043e \u044d\u0442\u0430\u043f &#8212; \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0435\u0434\u0443\u0449\u0435\u0433\u043e \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441 (pricing problem).<\/p>\n<h3>\u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 (reduced cost)<\/h3>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0432 \u043a\u0430\u043d\u043e\u043d\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0435. \u0414\u043b\u044f \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u043c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438:<\/p>\n<p>\u0433\u0434\u0435  &#8212; \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 ,  &#8212; \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 ,  \u0438  &#8212; \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430  \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 \u043f\u0440\u0438 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445 \u0438 -\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u0447\u043b\u0435\u043d\u043e\u0432 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e.<\/p>\n<p><strong>\u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/strong> \u041f\u0443\u0441\u0442\u044c  &#8212; \u0440\u0430\u0437\u0431\u0438\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b  \u0442\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e  \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c  \u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0435\u043d \u043e\u0442 \u043d\u0443\u043b\u044f. \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430  \u0438  &#8212; \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0435\u0435 \u0440\u0430\u0437\u0431\u0438\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043b\u044f  \u0438 . \u0411\u0443\u0434\u0435\u043c \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0434\u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u043c\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435  &#8212; <strong>\u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u043c (\u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u043c)<\/strong>, \u0435\u0441\u043b\u0438 . \u041f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435  \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f <strong>\u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u043c\u0438 (\u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u043c\u0438) \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438<\/strong>, \u0430  &#8212; <strong>\u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u044b\u043c\u0438<\/strong>.<\/p>\n<p>\u0412 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f, \u043d\u0430 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0438\u0442\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0438\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u043e\u0446\u0435\u043d\u043a\u0430 (pricing) \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0438 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440 \u043d\u043e\u0432\u043e\u0433\u043e \u043a\u0430\u043d\u0434\u0438\u0434\u0430\u0442\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441 (\u0432\u0435\u0434\u0443\u0449\u0438\u0439 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0435\u0446). \u042d\u0442\u043e\u0442 \u0448\u0430\u0433 \u0438\u0433\u0440\u0430\u0435\u0442 \u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u0432\u0443\u044e \u0440\u043e\u043b\u044c \u0432 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0435 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432, \u043a\u0430\u043a \u0438 \u0432 \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c \u0441\u0438\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0435.<\/p>\n<p> } x_B = B^{-1}b.&#187; alt=&#187;Ax = (B \\quad N)\\begin{pmatrix}  x_B \\\\  0\\end{pmatrix} = b, \\text{ => } x_B = B^{-1}b.&#187; src=&#187;https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/66\/662\/662847e18f4209ee09290683ec7465f2.svg&#187; width=&#187;auto&#187; height=&#187;auto&#187;\/><\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438  \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u043c\u044b\u043c \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c, \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 (\u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c) \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442:<\/p>\n<p>\u041a\u0443\u0434\u0430 \u0443\u0439\u0442\u0438 \u0441 \u0442\u0435\u043a\u0443\u0449\u0435\u0439 \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 (\u0442\u0435\u043a\u0443\u0449\u0435\u0433\u043e \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f), \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0443\u043b\u0443\u0447\u0448\u0438\u0442\u044c \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e? \u041f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435 \u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 , \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430<\/p>\n<p>\u0414\u043e\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u043c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0443\u044e \u0438 \u043b\u0435\u0432\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043d\u0430 <\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430  \u0432 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e:<\/p>\n<p>\u0422\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043f\u0440\u0438 \u0434\u043e\u043f\u0443\u0449\u0435\u043d\u0438\u0438, \u0447\u0442\u043e \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043d\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u044b \u043d\u0443\u043b\u044e. \u0417\u0430\u043f\u0438\u0448\u0435\u043c \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043a\u0430\u043a , \u0447\u0442\u043e \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c<\/p>\n<p>\u041c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0435\u0441\u043b\u0438  \u0443\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f (), \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f  \u0437\u0430\u0442\u0440\u0430\u0442 \u0440\u0430\u0441\u0442\u0435\u0442 \u0438\u043b\u0438 \u0443\u0431\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0432 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0442 \u0437\u043d\u0430\u043a\u0430<\/p>\n<p>\u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440  \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e (reduced cost). \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0430 \u0432 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0435 , \u0442\u043e \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0430\u044f \u0435\u0439 \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0443\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0438\u0442\u044c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438; \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u0435\u0451 \u0432 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441.<\/p>\n<p>\u0412 \u0441\u0438\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0435 \u0432 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441 \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0434\u043d\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0441 \u043d\u0430\u0438\u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u043e\u0439 , \u0442.\u043a. \u043e\u043d\u0430 \u043e\u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043d\u0430\u0438\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u0439\u0448\u0435\u0435 \u0443\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0435  \u043d\u0435\u0442 \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442, \u0442\u043e \u043c\u044b \u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0443\u043b\u0443\u0447\u0448\u0438\u0442\u044c \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e, \u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043c\u044b \u043d\u0430\u0448\u043b\u0438 \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435.<\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0437\u0430\u043a\u043e\u043d\u0447\u0438\u043c \u043f\u043e\u0433\u0440\u0443\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0441\u0438\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0439\u0434\u0435\u043c \u043a \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0443 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432.<\/p>\n<h3>\u0423\u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u0438 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432<\/h3>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u0441\u043c\u0435\u0448\u0430\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f (MIP) \u0432 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0435 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0433\u043e \u0432\u0438\u0434\u0430:<\/p>\n<p>\u0411\u0443\u0434\u0435\u043c \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 (2) \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u043e\u0439 (\u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0438\u0440\u0443\u044e\u0449\u0435\u0439) \u0441\u043e\u043a\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u043d\u043e MP (Master Problem). \u0420\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438  \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 (\u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445) \u0438  \u0441\u0442\u0440\u043e\u043a (\u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439). \u041f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e \u043a\u043e\u043b-\u0432\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435  \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043a\u043e\u043b-\u0432\u0430 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439  (). \u0417\u0434\u0435\u0441\u044c  &#8212; \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u044b \u043f\u0440\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0432 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438,  &#8212; \u0440\u0435\u0448\u0430\u044e\u0449\u0438\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435, \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 \u043f\u0440\u0438 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445   \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u0447\u043b\u0435\u043d\u043e\u0432 .<\/p>\n<p><strong>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043b\u0430\u0431\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435\u0439<\/strong> \u043a \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435 (2) \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u0441 \u043e\u0441\u043b\u0430\u0431\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043d\u0430 \u0446\u0435\u043b\u043e\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445, \u0442.\u0435. \u0432 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435 \u0432\u0441\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438. <strong>\u0414\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430<\/strong> \u043a \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043b\u0430\u0431\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435 (2) \u0437\u0430\u043f\u0438\u0448\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c:<\/p>\n<p>\u0437\u0434\u0435\u0441\u044c  &#8212; \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0434\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 .<\/p>\n<h4>\u041f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0434\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435<\/h4>\n<p>\u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043e\u0431\u0441\u0443\u0436\u0434\u0430\u043b\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0443\u0436\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u043b\u0438 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435  \u0434\u043b\u044f \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445. \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0441\u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0443\u044e \u0434\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443: . \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044e \u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u043f\u043e\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043a \u043f\u0440\u0430\u0432\u043e\u0439 \u0438 \u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u044f\u043c \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430, \u0434\u043e\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u043c \u043d\u0430  \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0430: . \u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u0440\u0430\u0441\u0447\u0435\u0442\u0430 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 (reduced cost), \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c:<\/p>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c  &#8212; \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0438\u043d\u0434\u0435\u043a\u0441\u043e\u0432 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b , \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442 \u0438\u043d\u0434\u0435\u043a\u0441\u0430\u043c \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0438 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 . \u041f\u043e \u0441\u0438\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0443 \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u0432 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0441\u0430\u043c\u0443\u044e \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0443  \u0438\u0437 \u043d\u0435\u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445, \u0442.\u0435.<\/p>\n<p>\u0412\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u043e\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u043c \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u0437\u0432\u0430\u0442\u044c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e  \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 . \u042d\u0442\u043e \u043e\u043f\u0440\u0430\u0432\u0434\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0442\u0435\u043c, \u0447\u0442\u043e reduced cost \u0434\u043b\u044f \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043d\u0443\u043b\u044e: . \u041e\u0442\u0432\u044f\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u043e\u0442 \u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b  \u043d\u0430 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u0443\u044e \u0438 \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c:<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u0430\u0433\u0430\u043b\u0438, \u0447\u0442\u043e \u043a\u043e\u043b-\u0432\u043e \u0441\u0442\u0440\u043e\u043a \u0432 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0435  \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435 \u043a\u043e\u043b-\u0432\u0430 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432. \u0413\u0440\u043e\u043c\u043e\u0437\u0434\u043a\u043e\u0441\u0442\u044c \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u0443\u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044f\u0435\u0442 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435 \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0440\u0435\u0448\u0438\u0442\u044c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u043e\u0433\u043e \u0436\u0435 \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<h4>\u0418\u0434\u0435\u044f \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432<\/h4>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0443\u044e \u043f\u043e\u0434\u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 (Restricted Master Problem, RMP) \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438  \u043f\u0440\u0438 (), \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0441\u043e\u0431\u043e\u0439 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043a\u043e\u043b-\u0432\u043e\u043c \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u0432 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0435 . \u0412\u043e\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c\u0441\u044f \u0438\u0434\u0435\u0435\u0439 \u0441\u0438\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u0435\u0434\u0443\u0449\u0435\u0433\u043e \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u0430 \u0432 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441 (pricing problem), \u043d\u043e \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0442\u044c \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0435\u0446 \u0432 RMP. \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0434\u043b\u044f \u0432\u0441\u0435\u0445 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0448\u0438\u0445\u0441\u044f \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c (reduced cost) , \u0442\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 RMP \u0443\u043b\u0443\u0447\u0448\u0438\u0442\u044c \u043d\u0435\u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430 \u0441\u0447\u0435\u0442 \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432. \u042d\u0442\u043e \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0432 \u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e\u0434\u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 RMP \u0438 \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 MP \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u044e\u0442.<\/p>\n<p><strong>\u041a\u043e\u043c\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0440\u0438\u0439:<\/strong> \u0414\u043b\u044f \u0440\u0430\u0441\u0447\u0435\u0442\u0430  \u0432 RMP \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c  &#8212; \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0434\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043b\u0430\u0431\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 RMP.<\/p>\n<h4>\u042f\u0432\u043d\u043e\u0435 \u0438 \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432<\/h4>\n<p>\u041e\u0431\u0440\u0430\u0442\u0438\u043c \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 , \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u0440\u0430\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u0430\u0433\u0430\u043b\u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0442\u044c \u0432 \u044f\u0432\u043d\u043e\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435 &#8212; \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432. \u0412 \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430\u0445 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0431\u0435\u0437\u0443\u043c\u043d\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043c \u0438\u043b\u0438 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u044b\u043c (\u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u044b \u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432\u0441\u0435 \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u044b\u0435 \u043c\u0430\u0440\u0448\u0440\u0443\u0442\u044b, \u043f\u0430\u0442\u0442\u0435\u0440\u043d\u044b, \u043f\u043e\u0434\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0438\u043b\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0438). \u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u0438\u0431\u0435\u0433\u043d\u0443\u0442\u044c \u043a \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u0443 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0438\u044f \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 . \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u043e\u0438\u0441\u043a \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u0430 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0441\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435:<\/p>\n<p>\u0411\u0430\u0437\u043e\u0432\u044b\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043e\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u0430\u043a\u043e\u0433\u043e \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439  \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f, \u0433\u0434\u0435  \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0441\u043e\u0431\u043e\u0439 \u043f\u0430\u0442\u0442\u0435\u0440\u043d \u0440\u0430\u0437\u0440\u0435\u0437\u0430, \u0430 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f  \u0441 \u0446\u0435\u043b\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0435\u0439 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442 \u0441\u043e\u0431\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u043e \u0440\u044e\u043a\u0437\u0430\u043a\u0435. \u041d\u0430 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0438\u0442\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u0440\u0435\u0448\u0430\u0435\u043c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u043e \u0440\u044e\u043a\u0437\u0430\u043a\u0435 \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0430\u0442\u0442\u0435\u0440\u043d\u0430. \u0417\u0430\u0442\u0435\u043c \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043f\u0430\u0442\u0442\u0435\u0440\u043d \u0432 RMP.<\/p>\n<h4>\u0421\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430<\/h4>\n<p>\u0417\u0430\u0444\u0438\u043a\u0441\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u0435 \u044d\u0442\u0430\u043f\u044b \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432. \u041f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0443 \u0434\u043b\u044f \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044f \u044f\u0432\u043d\u043e\u0433\u043e \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u0438\u044f \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432:<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p>\u0424\u0438\u043a\u0441\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432  \u0434\u043b\u044f \u0438\u043d\u0438\u0446\u0438\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0440\u0430\u0441\u0441\u043b\u0430\u0431\u043b\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 RMP. \u0412 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0435  \u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0435  \u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u044b, \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0437\u0430\u0444\u0438\u043a\u0441\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e\u043c\u0443 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440\u0443 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 ;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0421\u0442\u0440\u043e\u0438\u043c \u0434\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u043a RMP \u0438 \u0440\u0435\u0448\u0430\u0435\u043c \u0435\u0435;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>Pricing problem. \u0420\u0430\u0441\u0441\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c (reduced cost) \u0438 \u0432\u044b\u0431\u0438\u0440\u0430\u0435\u043c \u043a\u0430\u043d\u0434\u0438\u0434\u0430\u0442\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 RMP. \u041a\u0440\u0438\u0442\u0435\u0440\u0438\u0439: <\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u044f\u0435\u043c \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f:<br \/> 5.1. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c (reduced cost) \u0434\u043b\u044f \u043a\u0430\u043d\u0434\u0438\u0434\u0430\u0442\u0430 \u0438\u0437 \u043f.4 &#8212; \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f, \u0442\u043e \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u043c \u0435\u0433\u043e \u0432  \u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c \u0432 \u043f.2.;<br \/> 5.2. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c \u0434\u043b\u044f  \u043d\u0435\u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f, \u0442\u043e \u043e\u0441\u0442\u0430\u043d\u0430\u0432\u043b\u0438\u0432\u0430\u0435\u043c \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c (stop). \u041e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 RMP \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u0442\u044c \u0441 \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 MP;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0420\u0435\u0448\u0430\u0435\u043c \u043f\u0440\u044f\u043c\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 RMP (\u043d\u0430 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 ) \u0441 \u0443\u0447\u0435\u0442\u043e\u043c \u0446\u0435\u043b\u043e\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445. \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<figure class=\"\">\n<div><figcaption>\u0421\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<p>\u0414\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u043a\u0440\u0438\u0442\u0435\u0440\u0438\u0435\u043c \u043e\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0438 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0440\u0435\u043a\u043e\u043c\u0435\u043d\u0434\u0443\u044e \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0442\u044c \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0435 . \u0412 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432\u0441\u0435 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u044b \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u044b \u0432 RMP, \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u043f\u043e\u043b\u043d\u0443\u044e \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443. \u042d\u0442\u043e\u0442 \u0441\u0446\u0435\u043d\u0430\u0440\u0438\u0439 \u0434\u043e\u043b\u0436\u0435\u043d \u0432\u044b\u0437\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441\u043e\u043c\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0438\u043b\u0438 \u0435\u0433\u043e \u043d\u0435\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043a \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0432 \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c.<\/p>\n<h2>\u041f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f<\/h2>\n<p>\u0412 \u0442\u0435\u0445\u043d\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c 2 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044f \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432. \u0412 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u044f\u0432\u043d\u043e\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435, \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0441\u0442\u0438\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430 \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0440\u0435\u0448\u0430\u0442\u044c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u043f\u043b\u0430\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 \u044d\u043a\u0438\u043f\u0430\u0436\u0435\u0439 \u043f\u043e\u0435\u0437\u0434\u043e\u0432 \u0432 \u043f\u0430\u0441\u0441\u0430\u0436\u0438\u0440\u043e\u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e\u0437\u043a\u0430\u0445. \u0412\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439: \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u044b \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u044b \u0432 \u043d\u0435\u044f\u0432\u043d\u043e\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439, \u0440\u0435\u0447\u044c \u043f\u043e\u0439\u0434\u0435\u0442 \u043e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435 \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u043e\u044f.<\/p>\n<p>\u041f\u043e \u0441\u0442\u0435\u043a\u0443 \u0442\u0435\u0445\u043d\u043e\u043b\u043e\u0433\u0438\u0439: python, ortools, \u0441\u043e\u043b\u0432\u0435\u0440\u044b SCIP \u0438 GLOP, \u0434\u043b\u044f \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u0441 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438 &#8212; numpy.<\/p>\n<h3>\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u043f\u043b\u0430\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0441\u043c\u0435\u043d \u044d\u043a\u0438\u043f\u0430\u0436\u0435\u0439 \u0432 \u043f\u0430\u0441\u0441\u0430\u0436\u0438\u0440\u043e\u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e\u0437\u043a\u0430\u0445<\/h3>\n<p>\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432 \u0448\u0438\u0440\u043e\u043a\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u043b\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u043f\u043b\u0430\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0441\u043c\u0435\u043d \u044d\u043a\u0438\u043f\u0430\u0436\u0435\u0439 (<a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Crew_scheduling\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">Crew Scheduling Problem<\/a>, CSP), \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e \u0430\u043a\u0442\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0432 \u0441\u0444\u0435\u0440\u0435 \u0416\u0414 \u043f\u0430\u0441\u0441\u0430\u0436\u0438\u0440\u043e\u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e\u0437\u043a\u043e\u043a. \u041a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e, \u044d\u0442\u043e \u0434\u0430\u043b\u0435\u043a\u043e \u043d\u0435 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430, \u0433\u0434\u0435 \u0443\u043c\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u0442\u043e\u043b\u0431\u0446\u043e\u0432. \u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u0441 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043c \u0443\u0441\u043f\u0435\u0445\u043e\u043c \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0442\u044c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u043e \u043d\u0430\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445, \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u043f\u043e\u043a\u0440\u044b\u0442\u0438\u044f, \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u043c\u0430\u0440\u0448\u0440\u0443\u0442\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0438\u043b\u0438 \u0434\u0440.<\/p>\n<p>\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u0437\u0430\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043f\u043b\u0430\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u044d\u043a\u0438\u043f\u0430\u0436\u0435\u0439 \u043d\u0430 \u0437\u0430\u0440\u0430\u043d\u0435\u0435 \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e\u043c \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440\u0435 \u0440\u0435\u0439\u0441\u043e\u0432. \u041d\u0430 \u0432\u0445\u043e\u0434\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u043f\u043b\u0430\u043d \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442 \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u0443\u0447\u0430\u0441\u0442\u043a\u043e\u0432 \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u0435\u0437\u0434\u043e\u0432 \u043e\u0442\u043a\u0443\u0434\u0430-\u043a\u0443\u0434\u0430, \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e \u0443\u0447\u0430\u0441\u0442\u043a\u0443, \u0442\u0440\u0435\u0431\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043a \u043a\u0432\u0430\u043b\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438 \u044d\u043a\u0438\u043f\u0430\u0436\u0430 \u0438\u043b\u0438 \u0435\u0433\u043e \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0443 \u0438 \u0442.\u0434. \u0426\u0435\u043b\u044c \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 &#8212; \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u044d\u043a\u0438\u043f\u0430\u0436\u0435\u0439, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043e\u0431\u0435\u0441\u043f\u0435\u0447\u0438\u0442 \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0437\u0430\u043f\u043b\u0430\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0435\u0439\u0441\u043e\u0432.<\/p>\n<p>\u041e\u0434\u043d\u0438\u043c \u0438\u0437 \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442\u043e\u0432 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0435\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 <a href=\"https:\/\/ru.wikipedia.org\/wiki\/%D0%97%D0%B0%D0%B4%D0%B0%D1%87%D0%B0_%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D0%BA%D1%80%D1%8B%D1%82%D0%B8%D0%B8_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B6%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B0\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438 \u043f\u043e\u043a\u0440\u044b\u0442\u0438\u044f<\/a>. \u041d\u0430 \u0432\u0445\u043e\u0434 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0434\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u044b\u0435 \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442\u044b \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u044d\u043a\u0438\u043f\u0430\u0436\u0435\u0439 (\u0434\u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u043c\u044b\u0435), \u0430 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u043e\u043c \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440 \u043c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u043b-\u0432\u0430 \u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 (\u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u043a\u043e\u043b-\u0432\u0443 \u044d\u043a\u0438\u043f\u0430\u0436\u0435\u0439), \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043f\u043e\u043a\u0440\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0432\u0441\u0435 \u0440\u0435\u0439\u0441\u044b.<\/p>\n<figure class=\"\">\n<div><figcaption>\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432 \u044d\u043a\u0438\u043f\u0430\u0436\u0435\u0439<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<p>\u041a\u043e\u043b-\u0432\u043e \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432  \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043a\u043e\u043b-\u0432\u0430 \u0440\u0435\u0439\u0441\u043e\u0432 , \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0438 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u0442 \u0438\u0437 \u0440\u0430\u0437\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0434\u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u043c\u044b\u0445 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0440\u0435\u0439\u0441\u043e\u0432.<\/p>\n<h4>\u041c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0430<\/h4>\n<p> &#8212; \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0437\u0430\u043f\u043b\u0430\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0435\u0439\u0441\u043e\u0432;<\/p>\n<p> &#8212; \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0434\u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u043c\u044b\u0445 \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u043e\u0432, \u043a\u0430\u0436\u0434\u044b\u0439 \u0438\u0437 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u044c \u043e\u0434\u0438\u043d \u044d\u043a\u0438\u043f\u0430\u0436;<\/p>\n<p> &#8212; \u0431\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u0439 -\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0430\u043d\u0442, \u0433\u0434\u0435 -\u0430\u044f \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0430 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 1, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0440\u0435\u0439\u0441 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u043c \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0435 . \u0412 \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 &#8212; 0. \u0422\u043e\u0442 \u0441\u0430\u043c\u044b\u0439 \u0441\u043c\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a \u0432 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0439 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0435;<\/p>\n<p> &#8212; \u0431\u0438\u043d\u0430\u0440\u043d\u0430\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f, \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 1, \u0435\u0441\u043b\u0438<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[],"tags":[],"class_list":["post-370920","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/370920","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=370920"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/370920\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=370920"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=370920"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=370920"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}