{"id":377849,"date":"2024-06-02T21:00:05","date_gmt":"2024-06-02T21:00:05","guid":{"rendered":"http:\/\/savepearlharbor.com\/?p=377849"},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T21:00:00","slug":"","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/savepearlharbor.com\/?p=377849","title":{"rendered":"<span>Plane-based \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u0434\u043b\u044f \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u0435\u043b<\/span>"},"content":{"rendered":"<div><!--[--><!--]--><\/div>\n<div id=\"post-content-body\">\n<div>\n<div class=\"article-formatted-body article-formatted-body article-formatted-body_version-2\">\n<div xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1999\/xhtml\">\n<p>\u042d\u0442\u043e\u0442 \u0442\u0435\u043a\u0441\u0442 \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0438\u0437 \u0442\u0440\u0451\u0445 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439. \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043a\u0440\u0430\u0442\u043a\u043e \u0440\u0430\u0441\u0441\u043a\u0430\u0436\u0443 \u043f\u0440\u043e \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0443 \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0437\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0438. \u041f\u043e\u0442\u043e\u043c \u0440\u0430\u0441\u0441\u043a\u0430\u0436\u0443 \u043a\u0430\u043a \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u0437\u044f\u0442\u044c \u043e\u0434\u043d\u0443 \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u0443\u044e \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0443 \u0438 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0435\u0451 \u0434\u043b\u044f \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u0435\u043b. \u0418 \u0432\u0438\u0448\u0435\u043d\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u0442\u043e\u0440\u0442\u0435 &#8212; \u043f\u043e\u043a\u0430\u0436\u0443, \u043a\u0430\u043a \u0431\u0443\u0434\u0443\u0442 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0444\u0438\u0437\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u0441\u0443\u0449\u043d\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439 \u0442\u0438\u043f\u0430 \u0441\u0438\u043b\u044b \u0438 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430, \u0438\u043c\u043f\u0443\u043b\u044c\u0441\u0430, \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430 \u0438\u043d\u0435\u0440\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u0435\u043b.<\/p>\n<p>\u0412 \u0440\u0443\u0441\u0441\u043a\u043e\u044f\u0437\u044b\u0447\u043d\u043e\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043d\u0435\u0442\u0435 \u043d\u0435 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0430 \u044d\u0442\u0443 \u0442\u0435\u043c\u0443, \u0430 \u0442\u0430 \u0447\u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043d\u0430 \u0430\u043d\u0433\u043b\u0438\u0439\u0441\u043a\u043e\u043c &#8212; \u0434\u043e\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e \u0440\u0430\u0437\u0440\u043e\u0437\u043d\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0438 \u0441 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0439 \u0442\u0435\u0440\u043c\u0438\u043d\u043e\u043b\u043e\u0433\u0438\u0435\u0439 \u0432 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0438\u0441\u0442\u043e\u0447\u043d\u0438\u043a\u0430\u0445.<\/p>\n<p>\u0412\u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043e\u043a, \u043c\u0435\u0441\u0442\u0430\u043c\u0438 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0443 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0434\u043b\u044f \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 3\u0434 \u0431\u0435\u0437 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0443\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u043d\u0435 \u0441\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432. \u041d\u0430 \u043c\u043e\u0439 \u0432\u0437\u0433\u043b\u044f\u0434, \u0441\u0430\u043c\u044b\u0439 \u0441\u043e\u043a &#8212; \u0432 \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0441\u043a\u043e\u043c\u0431\u0438\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0435\u043b\u0430 \u0432 \u043e\u0434\u043d\u0443 \u0441\u0443\u0449\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e \u0441\u0433\u0440\u0443\u043f\u043f\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441\u0438\u043b\u0443 \u0438 \u043a\u0440\u0443\u0442\u044f\u0449\u0438\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u044b\u0435 \u0443\u043d\u0438\u0432\u0435\u0440\u0441\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u0432\u0441\u0451.<\/p>\n<p>\u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434 \u0441 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u043e\u0439 \u043a\u0430\u0436\u0435\u0442\u0441\u044f \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0444\u0443\u043d\u0434\u0430\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c: \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u043d\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0432\u044f\u0437\u043d\u0430 \u043a \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443 \u0438\u0437\u043c\u0435\u0440\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0438 \u043e\u043d\u0430 \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u043e \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u043b\u044e\u0431\u043e\u0439 \u043c\u0438\u0440 &#8212; \u0434\u0432\u0443\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0439, \u0442\u0440\u0451\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0439, \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0451\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0439 \u0438 \u0442.\u043f.<\/p>\n<p>\u042f \u0441\u0430\u043c \u043d\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0434\u0443\u043c\u0430\u043b \u043d\u0438\u0447\u0435\u0433\u043e \u043d\u043e\u0432\u043e\u0433\u043e, \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0440\u0430\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u043b\u0441\u044f \u0441 \u0442\u0435\u043c \u0447\u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c. \u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u043c \u0438\u0441\u0442\u043e\u0447\u043d\u0438\u043a\u043e\u043c \u0432\u0434\u043e\u0445\u043d\u043e\u0432\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u0437\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441\u0430\u0439\u0442 <a href=\"https:\/\/bivector.net\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">bivector.net<\/a> &#8212; \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0442\u0430\u043c \u0430\u0432\u0442\u043e\u0440\u044b \u043f\u043e\u0448\u043b\u0438 \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0434\u0430\u043b\u0435\u043a\u043e, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043d\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u043c\u0438\u043d\u0438-\u043a\u043d\u0438\u0436\u043a\u0443 \u043f\u0440\u043e \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0438\u043d\u0435\u0440\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u0435\u043b. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0431\u044b \u043d\u0435 \u043e\u043d\u0438 &#8212; \u043d\u0435 \u0443\u0432\u0435\u0440\u0435\u043d, \u0447\u0442\u043e \u044f \u0441\u043c\u043e\u0433 \u0431\u044b \u0434\u043e\u0434\u0443\u043c\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0434\u043e \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u0441\u0430\u043c.<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u043b\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0433\u043e\u0434\u0430 \u043d\u0430\u0437\u0430\u0434 \u044f \u043d\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u043b <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/articles\/697534\/\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u044e \u043f\u0440\u043e \u0444\u0438\u0437\u0438\u043a\u0443 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f 3\u0434 \u0442\u0435\u043b<\/a> &#8212; \u044d\u0442\u0430 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u044f \u0432\u043e \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e\u043c \u0441 \u043d\u0435\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043a\u043b\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0438 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0432\u0437\u0433\u043b\u044f\u043d\u0443\u0442\u044c \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0435\u0435 \u0441 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u044b.<\/p>\n<h2>\u0413\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0437\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0438<\/h2>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0412\u0430\u043c \u0432\u0441\u0451 \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c\u043e &#8212; \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442\u0435 \u043b\u0438\u0441\u0442\u0430\u0442\u044c \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0438 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u0443 \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u0441\u043f\u0438\u0441\u043e\u043a \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c\u044b\u0445 \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439.<\/p>\n<h3>\u0412\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435<\/h3>\n<p>\u0412 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0435 3\u0434 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0441 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u0430\u043c\u0438 x,y,z \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"v = x e_x + y e_y + z e_z\" alt=\"v = x e_x + y e_y + z e_z\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0\/0f\/0f4\/0f4323b7fab05a21c5e510fca82d4e6c.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0411\u0443\u043a\u043e\u0432\u043a\u043e\u0439 e \u0441 \u0438\u043d\u0434\u0435\u043a\u0441\u043e\u043c \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0441\u044f \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b. \u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f \u0441\u0443\u043c\u043c\u0430 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432.<\/p>\n<p>\u0412 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0435 \u0435\u043c\u0443 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c 1-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0449\u0438\u0439\u0441\u044f \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a \u0436\u0435. \u0421\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0442\u0438\u043f\u0430 \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c 1-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0438\u043b\u0438 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0442\u044c \u043d\u0430 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440 \u043e\u0441\u0442\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0442\u0435\u043c\u0438 \u0436\u0435.<\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0443 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u043d\u0430 \u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b. \u0412 \u043d\u0435\u0439 \u0432\u0432\u043e\u0434\u044f\u0442 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 c \u0442\u0430\u043a\u0438\u043c \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e\u043c:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"e_a \\wedge e_b = -e_b \\wedge e_a\" alt=\"e_a \\wedge e_b = -e_b \\wedge e_a\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d2\/d29\/d29e92f813ce560ebe3ef9da9bd932c2.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u041e\u043d\u043e \u0430\u043d\u0442\u0438\u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e, \u0438 \u0432 \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043d\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043c\u0443\u0442\u0430\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e (ab != ba). \u041d\u043e \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u0438 \u0434\u0430\u043b\u0435\u0435 \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u043e\u0441\u0442\u0430\u043d\u0435\u0442\u0441\u044f \u0438 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0430\u0441\u0441\u043e\u0446\u0438\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c (ab)c = a(bc) \u0438 \u0434\u0438\u0441\u0442\u0440\u0438\u0431\u0443\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c (a+b)c = ac + bc, a(b+c) = ab + ac.<\/p>\n<p>\u0418\u0437 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0441 \u0441\u0430\u043c\u0438\u043c \u0441\u043e\u0431\u043e\u0439 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \u043d\u0443\u043b\u044e.<\/p>\n<p>\u0410 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u0447\u0442\u043e \u043d\u0435\u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u043e\u0435 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0442\u044c \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0435 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0447\u043a\u0438. \u0418 \u044d\u0442\u043e \u0436\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439-\u043d\u0438\u0431\u0443\u0434\u044c \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0447\u0435\u043a \u043b\u0438\u0431\u043e \u043e\u0442\u0441\u0443\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442, \u043b\u0438\u0431\u043e \u043f\u0440\u0438\u0441\u0443\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0432 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u043c \u044d\u043a\u0437\u0435\u043c\u043f\u043b\u044f\u0440\u0435.<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0434\u043b\u044f 2\u0434 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044f \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0435 \u0441\u043e\u0447\u0435\u0442\u0430\u043d\u0438\u044f: \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440, \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 Ex, Ey \u0438 \u0438\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 Ex ^ Ey.  \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0438\u043f\u0430 Ex^Ey \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u0432 \u043d\u0451\u043c \u0443\u0447\u0430\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442 \u0434\u0432\u0430 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430. \u0411\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043d\u0438\u0447\u0435\u0433\u043e \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c.<\/p>\n<p>\u0412 \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435 \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"v = 1a + e_x b + e_y c + e_x \\wedge e_y d\" alt=\"v = 1a + e_x b + e_y c + e_x \\wedge e_y d\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/8b\/8b8\/8b8783e40954eccf1d5a35654dc3174e.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f 3\u0434 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 2^3 = 8 \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442\u043e\u0432 \u0438 \u0441\u0430\u043c\u044b\u043c \u0432\u044b\u0441\u043e\u043a\u043e\u0443\u0440\u043e\u0432\u043d\u0435\u0432\u044b\u043c \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0442\u0440\u0438-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 Ex^Ey^Ez.<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b \u0438\u043d\u0442\u0443\u0438\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e \u043a\u0430\u0436\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u043d\u044b\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0432 \u043e\u0434\u043d\u043e\u043c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440, 1-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0438 \u0442.\u0434.<br \/> \u041d\u043e \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u0442\u0435 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0442\u043e\u0436\u0435 \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u043e\u0439. \u041c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0441\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u0441 \u043c\u043d\u0438\u043c\u044b\u043c \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e: a + bi.<\/p>\n<figure class=\"\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/post_images\/fe8\/8bb\/2d4\/fe88bb2d4dc112db8077bbe1dce24b3e.png\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/post_images\/fe8\/8bb\/2d4\/fe88bb2d4dc112db8077bbe1dce24b3e.png\"\/><\/figure>\n<p>\u0412 \u0446\u0435\u043b\u043e\u043c \u0432\u0441\u044f \u044d\u0442\u0430 \u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0446\u0438\u044f \u0441 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0438\u043c\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438 \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u0430.<\/p>\n<p>\u0412\u0432\u0435\u0440\u0445\u0443 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c n-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432, \u0432\u043d\u0438\u0437\u0443 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a \u0436\u0435 n (n-1)-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0438 \u043e\u0434\u0438\u043d n-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u0437\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043e\u043c.<\/p>\n<p>\u0415\u0449\u0451 \u043f\u0440\u0438 \u0436\u0435\u043b\u0430\u043d\u0438\u0438 \u043f\u0440\u0438 \u0432\u0437\u0433\u043b\u044f\u0434\u0435 \u043d\u0430 \u043a\u0430\u0440\u0442\u0438\u043d\u043a\u0443 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u0434\u043b\u044f 2\u0434 \u0438 \u043a\u0443\u0431 \u0434\u043b\u044f 3\u0434.<\/p>\n<p>\u0418 \u0432 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0446\u0438\u043f\u0435 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u0437\u0432\u0430\u0442\u044c \u043c\u043d\u0438\u043c\u043e\u0439 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0435\u0439, \u0442.\u0435., I. \u0412\u0430\u0436\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 &#8212; \u0435\u0441\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b, \u0432 \u043a\u0430\u043a\u043e\u043c \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0435 \u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430, xy = -yx, \u0438 \u0434\u043b\u044f \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0439 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043c\u043d\u0438\u043c\u0430\u044f \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0430 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0434\u043e\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0430 \u043d\u0430 -1.<\/p>\n<p>\u041a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0443\u0447\u0430\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0445 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0432 \u0430\u043d\u0433\u043b\u0438\u0439\u0441\u043a\u043e\u043c \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 grade. \u0422.\u0435., \u0443 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u0430 grade=0, \u0443 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 grade=1, \u0443 \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 &#8212; \u0434\u0432\u0430. \u0415\u0449\u0451 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u0441\u0442\u0440\u0435\u0442\u0438\u0442\u044c 0-blade, 1-blade, 2-blade, \u0433\u0434\u0435 \u043f\u043e\u0434 n-blade \u043f\u043e\u0440\u0430\u0437\u0443\u043c\u0435\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0443\u044e \u043a\u043e\u043c\u0431\u0438\u043d\u0430\u0446\u0438\u044e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0441 grade=n. \u041c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u0438\u0432\u044b\u0447\u043d\u044b\u0435 \u043d\u0430\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0438\u0437 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b \u044d\u0442\u043e 1-blade \u0438\u043b\u0438 1-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440.<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u044f \u0435\u0441\u0442\u044c \u0440\u0430\u0437\u043d\u0438\u0446\u0430 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c n 1-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c n-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c, \u043f\u043e\u0434 blade \u0438 grade \u043f\u043e\u0434\u0440\u0430\u0437\u0443\u043c\u0435\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 \u0447\u0443\u0442\u044c-\u0447\u0443\u0442\u044c \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043d\u043e \u044f \u043d\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0443 \u0432 \u044d\u0442\u043e \u0443\u0433\u043b\u0443\u0431\u043b\u044f\u0442\u044c\u0441\u044f.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430 \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b &#8212; \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0438\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c m-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0438 n-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 (n+m)-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043b\u0438\u0431\u043e \u043d\u043e\u043b\u044c.<\/p>\n<p>\u0412\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c &#171;\u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c&#187; \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u044b\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c. \u0420\u0430\u0437\u043d\u0438\u0446\u0430 \u0432 \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0438 \u0435\u0433\u043e \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 &#8212; \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0430 \u043d\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440.<\/p>\n<h3>\u0412\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435.<\/h3>\n<p>\u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435. \u041e\u043d\u043e \u043d\u0430\u043e\u0431\u043e\u0440\u043e\u0442 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0443\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0430\u0442\u044c \u0433\u0440\u0435\u0439\u0434 (\u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0442\u044c \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0433\u0440\u0435\u0439\u0434\u043e\u0432 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432). \u0414\u043b\u044f \u0434\u0432\u0443\u0445 1-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u043e\u043d\u043e \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435. \u0412\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u044b\u0442\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u043d\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0435 &#8212; &#171;\u0432\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u0442&#187; \u0435\u0433\u043e.<\/p>\n<p>\u0422.\u0435.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"(e_x \\wedge e_y) \\cdot e_y = e_x\" alt=\"(e_x \\wedge e_y) \\cdot e_y = e_x\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/90\/90c\/90cdb73280f03bb64da1ece08058843c.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0412\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043c\u0443\u0442\u0430\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e.<\/p>\n<p>\u0415\u0449\u0451 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u0441\u0442\u0440\u0435\u0442\u0438\u0442\u044c \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0441\u0442\u0440\u043e\u0433\u0438\u0439 \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u0433\u0440\u0435\u0439\u0434 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0441\u043b\u0435\u0432\u0430 \u0434\u043e\u043b\u0436\u0435\u043d \u0431\u044b\u0442\u044c \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0447\u0435\u043c \u0433\u0440\u0435\u0439\u0434 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0430. \u0418\u043d\u0430\u0447\u0435 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043d\u0443\u043b\u0451\u043c. \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 grade \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0430 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0433\u0440\u0435\u0439\u0434\u043e\u0432 \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0441\u043b\u0435\u0432\u0430 \u0438 \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0430, \u0431\u0435\u0437 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044f. \u0412 \u043e\u0441\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c \u043e\u043d \u0432\u0435\u0434\u0451\u0442 \u0441\u0435\u0431\u044f \u0442\u0430\u043a \u0436\u0435 \u0438 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0442\u0435\u043c \u0436\u0435 \u0441\u0430\u043c\u044b\u043c \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0438\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c.<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \u043d\u0443\u043b\u044e:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"e_x \\cdot e_y = 0\" alt=\"e_x \\cdot e_y = 0\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4\/4e\/4ea\/4ea013e1ca583f8d1d19e513db7c8b0a.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0418 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0441 \u0441\u0430\u043c\u0438\u043c \u0441\u043e\u0431\u043e\u0439 \u044d\u0442\u043e \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0430:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"e_y \\cdot e_y = 1\" alt=\"e_y \\cdot e_y = 1\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/72\/72b\/72be301928b2e36b237975dd19a7cb54.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u041d\u043e \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442-\u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0443 \u043d\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 \u0432\u0435\u0440\u043d\u043e. \u0410\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u043a\u0430\u043a \u043c\u044b \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u044b \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0433\u043e \u0438\u0437 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432.<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0434\u043b\u044f \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043e\u0434\u0438\u043d-\u0435\u0434\u0438\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 (\u043d\u0430\u0437\u043e\u0432\u0451\u043c \u0435\u0433\u043e i), \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0432 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u0435 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043c\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0435.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"i^2 = -1\" alt=\"i^2 = -1\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/3\/3f\/3fa\/3fac904df7095c889e89db3415fbf4fd.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0410 \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043c\u044b \u0437\u0430\u0445\u043e\u0442\u0438\u043c \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u041c\u0438\u043d\u043a\u043e\u0432\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e, \u0442\u043e \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0431\u0443\u0434\u0443\u0442<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"e_t^2 = 1, e_x^2 = e_y^2 = e_z^2 = -1\" alt=\"e_t^2 = 1, e_x^2 = e_y^2 = e_z^2 = -1\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/ef\/efe\/efeb840bc57298bccb7a7e9f1ac84d6b.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0418\u043b\u0438, \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0432 plane-based \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u044b \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u044b \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"e_x^2 = e_y^2 = e_z^2 = 1, e_w^2 = 0\" alt=\"e_x^2 = e_y^2 = e_z^2 = 1, e_w^2 = 0\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5\/59\/59c\/59c31950d590bee8c9d3c2c1cf417724.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0435\u0435 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0432\u044b\u0441\u043e\u043a\u043e\u0443\u0440\u043e\u0432\u043d\u0435\u0432\u043e &#8212; \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u0434\u043b\u044f x y z \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u0434\u044f\u0442 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0430 w \u0441 \u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u043c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043e\u043c \u043d\u0443\u0436\u0435\u043d \u0434\u043b\u044f \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u0439. \u0412 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435 \u041c\u0438\u043d\u043a\u043e\u0432\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u044b \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0441 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432\u043e &#171;\u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0438&#187; \u0434\u043b\u044f \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0438 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0442\u0441\u044f \u0433\u0438\u043f\u0435\u0440\u0431\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0438 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441, \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0449\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u041b\u043e\u0440\u0435\u043d\u0446\u0430.<\/p>\n<p>\u041b\u044e\u0431\u043e\u0439 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0442\u0440\u043e\u0439\u043a\u043e\u0439 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b (p, q, r), \u0433\u0434\u0435 p &#8212; \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u043e \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0441 \u0441 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043e\u043c-\u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0435\u0439, q-c \u043c\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0435\u0439 \u0438 r \u0441 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043e\u043c-\u043d\u0443\u043b\u0451\u043c. \u041f\u043e\u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u0435\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c <a href=\"https:\/\/math.stackexchange.com\/questions\/4478664\/what-is-the-difference-between-projective-geometric-clifford-algebra-grassman\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0442\u0443\u0442<\/a><\/p>\n<p>\u041d\u0438\u0436\u0435 \u043c\u044b \u0441\u043e\u0441\u0440\u0435\u0434\u043e\u0442\u043e\u0447\u043c\u0438\u0441\u044f \u043d\u0430 plane based \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0435 \u0434\u043b\u044f 2\u0434 \u0438 \u0434\u043b\u044f 3\u0434, \u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u044b \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 (2, 0, 1) \u0438 (3, 0, 1)<\/p>\n<h3>\u0413\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435<\/h3>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a \u0441\u0443\u043c\u043c\u0430 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0433\u043e \u0438 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0433\u043e. \u0418\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043b\u044e\u0434\u0438 \u043f\u0438\u0448\u0443\u0442 \u0437\u043d\u0430\u0447\u043e\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0438\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043d\u0435\u0442.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"ab = a \u27d1 b = a \\cdot b + a \\wedge b\" alt=\"ab = a \u27d1 b = a \\cdot b + a \\wedge b\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c\/cc\/cc9\/cc9ece9abaac7df74d59fcbd9a56fc9a.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u041a\u0430\u043a \u043d\u0435\u0442\u0440\u0443\u0434\u043d\u043e \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u0438\u0442\u044c, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043d\u0430\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u0441\u0438\u043c\u0432\u043e\u043b \u2227 \u043d\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u22c5, \u0442\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u0441\u044f \u27d1<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u0447\u0451\u043c \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e \u0438 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435 \u0430\u043d\u0442\u0438\u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e. \u0418 \u0432 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0446\u0438\u043f\u0435, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u0442\u044c \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0435 \u0438 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435, \u0430 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u043e\u0431\u043e\u0440\u043e\u0442 &#8212; \u043f\u043e\u0441\u0442\u0443\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u0438\u0437 \u043d\u0435\u0433\u043e \u0432\u044b\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u0435\u0435 \u0438 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"a \\cdot b = \\dfrac{1}{2} (ab + ba)\" alt=\"a \\cdot b = \\dfrac{1}{2} (ab + ba)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/3\/38\/38f\/38fc17a037aae7d836f6e3bb7a0de3ff.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"a \\wedge b = \\dfrac{1}{2} (ab - ba)\" alt=\"a \\wedge b = \\dfrac{1}{2} (ab - ba)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b\/bf\/bff\/bffe98e47a83259373668e86b9efc508.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p><strong>ALARM!<\/strong> a \u0438 b &#8212; \u043a\u0430\u043a\u0438\u0435-\u0442\u043e 1-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b. \u0414\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u044d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0432\u0435\u0440\u043d\u043e!<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0434\u0432\u0443\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044f c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438 e1 \u0438 e2 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0447\u043a\u0430 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<div>\n<div class=\"table\">\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>\n<p align=\"left\">\n<\/th>\n<th>\n<p align=\"left\">1<\/p>\n<\/th>\n<th>\n<p align=\"left\">e_1<\/p>\n<\/th>\n<th>\n<p align=\"left\">e_2<\/p>\n<\/th>\n<th>\n<p align=\"left\">I<\/p>\n<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">1<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">1<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">e_1<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">e_2<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">I<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">e_1<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">e_1<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">1<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">I<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">e_2<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">e_2<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">e_2<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">-I<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">1<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">-e_1<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">I<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">1<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">-e_2<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">e_1<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">-1<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>\u0415\u0449\u0451 \u0435\u0451 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0435\u0439 \u041a\u0435\u0439\u043b\u0438.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/bivector.net\/tools.html?p=3&amp;q=0&amp;r=1\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 \u041a\u0435\u0439\u043b\u0438 \u0434\u043b\u044f 3d PGA<\/a><\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u043d\u0435\u0440\u0430\u0432\u043d\u044b\u0445 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u043c\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044e, \u0430 \u0435\u0449\u0451 \u0438\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043b\u044e\u0434\u0438 \u0433\u0440\u0443\u043f\u043f\u0438\u0440\u0443\u044e\u0442 \u0438\u043d\u0434\u0435\u043a\u0441\u044b \u0434\u043b\u044f \u043a\u0440\u0430\u0442\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0438:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"e_x \\wedge e_y \\wedge e_z = e_x \u27d1 e_y \u27d1 e_z = e_x e_y e_z = e_{xyz}\" alt=\"e_x \\wedge e_y \\wedge e_z = e_x \u27d1 e_y \u27d1 e_z = e_x e_y e_z = e_{xyz}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/dd\/dd7\/dd785130f4ee230fc22de0d0be3575ac.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0436\u0443, \u043a\u0430\u043a \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"(a e_1 + b e_2) (c e_1 + d e_2)\" alt=\"(a e_1 + b e_2) (c e_1 + d e_2)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/71\/71c\/71cc18e9bf7bd9f7d0b1cb99d9b28f4b.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"= (a e_1) (c e_1) + (a e_1) (d e_2) + (b e_2)(c e_1) + (b e_2)(d e_2)  \" alt=\"= (a e_1) (c e_1) + (a e_1) (d e_2) + (b e_2)(c e_1) + (b e_2)(d e_2)  \" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/e8\/e8c\/e8c9284b047c35156302e313575b9dbf.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"= ac e_1 e_1 + a d e_1 e_2 + bc e_2 e_1 + bd e_2 e_2\" alt=\"= ac e_1 e_1 + a d e_1 e_2 + bc e_2 e_1 + bd e_2 e_2\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5\/5b\/5bb\/5bbd9dbd94dd650fd555aeff1cfd6a0c.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"= ac 1 + a d e_1 e_2 + bc ( - e_1 e_2) + bd 1\" alt=\"= ac 1 + a d e_1 e_2 + bc ( - e_1 e_2) + bd 1\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4\/4e\/4ee\/4ee83c467b09f4fb9f59f603b018735f.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"= (ac + bd) + (a d - bc) (e_1 e_2)\" alt=\"= (ac + bd) + (a d - bc) (e_1 e_2)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/75\/755\/755995ffaf08c6fd1bffcf3a122ed7cf.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"= (ac + bd) + (a d - bc) e_{12}\" alt=\"= (ac + bd) + (a d - bc) e_{12}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/71\/711\/71183c3b845159fd439ca28a8595043a.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0412 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043b\u0441\u044f \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440 \u0438 \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440. \u041a\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0443 \u043d\u0438\u0445 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b?<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0442\u044c, a c + b d \u044d\u0442\u043e \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 (a, c) \u0438 (b, d) \u0438\u0437 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b (\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043d\u0430 \u0438\u0445 \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b).<br \/> \u041a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0430 (ad &#8212; bc) &#8212; \u043d\u0430\u043e\u0431\u043e\u0440\u043e\u0442, \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441.<\/p>\n<p>\u041d\u0438\u0436\u0435 \u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0436\u0443, \u043a\u0430\u043a \u0442\u0430\u043a\u0430\u044f \u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0446\u0438\u044f \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0438\u0437\u043c\u0435\u0440\u0435\u043d\u0438\u0439. \u041e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043c\u044b \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0451\u043c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0441 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0434\u043b\u0438\u043d\u043e\u0439.<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u0447\u0451\u043c \u043f\u0440\u0438 \u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u043e\u043c \u0443\u0433\u043b\u0435 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0435, \u0430 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043d\u0443\u043b\u044e \u0438 \u0432\u0441\u0451 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0440\u0430\u0447\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440. \u0418 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043d\u0430 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0443 \u043d\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043d\u0438\u0447\u0435\u0433\u043e \u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c.<\/p>\n<p>\u0412\u0437\u0433\u043b\u044f\u0434 \u0441 \u0435\u0449\u0451 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u044b &#8212; \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043c\u044b \u0445\u043e\u0442\u0438\u043c \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 (x, y) \u043d\u0430 \u0443\u0433\u043e\u043b <code>a<\/code> \u0442\u043e \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0442\u0430\u043a\u0438\u043c:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"(x \\cdot cos(a) + y  \\cdot sin(a), y  \\cdot cos(a) - x  \\cdot sin(a)) = (x, y)  \\cdot cos(a) + (y, -x)  \\cdot sin(a)\" alt=\"(x \\cdot cos(a) + y  \\cdot sin(a), y  \\cdot cos(a) - x  \\cdot sin(a)) = (x, y)  \\cdot cos(a) + (y, -x)  \\cdot sin(a)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0\/00\/004\/00481eaf264a9c747bb786563661bb4e.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0422.\u0435, \u0432 \u0438\u0442\u043e\u0433\u043e\u0432\u043e\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 (\u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043d\u0430 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441) \u0438 \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439-\u0442\u043e \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043d\u0430 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441.<\/p>\n<p>\u0410 \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0434\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435 \u0432\u0435\u0440\u043d\u0451\u043c\u0441\u044f \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e \u043a \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0435 \u0438 \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043d\u0430 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432. \u0412\u0441\u0451 \u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e &#8212; \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0430\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043d\u0430\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0430 \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u0430\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u0443\u044e \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0443. \u0412 \u0441\u0443\u043c\u043c\u0435 \u043e\u043d\u0438 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442.<\/p>\n<p>\u0415\u0449\u0451 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 &#8212; \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b \u0434\u0430\u0441\u0442 \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0434\u043b\u0438\u043d\u0430 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u0442\u043e\u0436\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0435:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"v = cos(a) + sin(a) e_{12}\" alt=\"v = cos(a) + sin(a) e_{12}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2\/21\/210\/210fb7eae564f58ba32dade9fb6e8981.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"|v|^2 = cos(a)^2 + sin(a)^2 = 1\" alt=\"|v|^2 = cos(a)^2 + sin(a)^2 = 1\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b\/b2\/b28\/b2853b04a1cd48c0353adf8fb47ed34b.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p><strong>ALARM<\/strong>: \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0435 \u0443 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043d\u0443\u043b\u044e, \u0430 \u043d\u0435 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0435. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043e\u043d \u0443\u0447\u0430\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0432 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0438, \u0442\u043e \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430 \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u044f\u0442\u044c\u0441\u044f \u043d\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442.<\/p>\n<h3>Cross product<\/h3>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"A \u00d7 B = \\dfrac{AB - BA}{2}\" alt=\"A \u00d7 B = \\dfrac{AB - BA}{2}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/6a\/6a4\/6a4555a4f053bf61dd5684a3bd670c26.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u041e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0438\u0435 \u043e\u0442 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e A \u0438 B &#8212; \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b, \u0430 \u043d\u0435 \u0434\u0432\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430. \u0415\u0449\u0451 \u044d\u0442\u0443 \u0448\u0442\u0443\u043a\u0443 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0430\u043d\u0442\u0438\u043a\u043e\u043c\u043c\u0443\u0442\u0430\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c.<\/p>\n<h3>\u0414\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c<\/h3>\n<figure class=\"\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/post_images\/e4a\/605\/ea4\/e4a605ea43f9036c25b28214e71f40ca.png\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/post_images\/e4a\/605\/ea4\/e4a605ea43f9036c25b28214e71f40ca.png\"\/><\/figure>\n<p>\u041a\u0430\u043a \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u0438\u0442\u044c, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u0442\u044c \u043a\u0430\u0440\u0442\u0438\u043d\u043a\u0443 \u0438 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440 \u0432 \u043f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440, \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0432 (n-1)-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 (\u0438\u043b\u0438 \u0432 \u043f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440) \u0438 \u0442.\u043f.<\/p>\n<p>\u0412 \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u0438\u0441\u0442\u043e\u0447\u043d\u0438\u043a\u0430\u0445 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u044e\u0442 \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u043a\u0430\u043a \u0434\u043e\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 I, \u043d\u043e \u0438\u0437-\u0437\u0430 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u0447\u0442\u043e \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0441 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043e\u043c-\u043d\u0443\u043b\u0451\u043c, \u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0435 \u043f\u043e\u0434\u043e\u0439\u0434\u0451\u0442.<br \/> \u0412 \u043d\u0430\u0448\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u043a\u0430\u043a<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"a a* = I\" alt=\"a a* = I\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0\/0c\/0c7\/0c7ea90523576ec2f85f77cc5f6a960b.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0422\u0443\u0442 \u0442\u043e\u0436\u0435 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 a \u0438 a* \u0432 \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043d\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043c\u0443\u0442\u0438\u0440\u0443\u044e\u0442 \u0438 \u043d\u0430\u0434\u043e \u0440\u0430\u0437\u043b\u0438\u0447\u0430\u0442\u044c \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043b\u0435\u0432\u0430 \u0438 \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0430. \u0412 \u0430\u043d\u0433\u043b\u0438\u0439\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0438\u0441\u0442\u043e\u0447\u043d\u0438\u043a\u0430\u0445 \u0438\u0445 \u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a left complement \u0438 right complement &#8212; \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043b\u0435\u0432\u0430 \u0438 \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0430.<\/p>\n<p>\u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043d\u0430 \u0441\u0430\u0439\u0442\u0435 <a href=\"http:\/\/bivector.net\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">bivector.net<\/a> \u0438 \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a \u043e\u043d\u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u044e\u0442 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441 \u0438 \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c \u043a\u0440\u0430\u0441\u0438\u0432\u0443\u044e \u0448\u0442\u0443\u043a\u0443:<\/p>\n<pre><code class=\"python\">self._base = [\"1\", \"e0\", \"e1\", \"e2\", \"e3\", \"e01\", \"e02\", \"e03\", \"e12\", \"e31\", \"e23\", \"e021\", \"e013\", \"e032\", \"e123\", \"e0123\"]  def Dual(a):         \"\"\"PGA3D.Dual          Poincare duality operator.         \"\"\"         res = a.mvec.copy()         res[0]=a[15]         res[1]=a[14]         res[2]=a[13]         res[3]=a[12]         res[4]=a[11]         res[5]=a[10]         res[6]=a[9]         res[7]=a[8]         res[8]=a[7]         res[9]=a[6]         res[10]=a[5]         res[11]=a[4]         res[12]=a[3]         res[13]=a[2]         res[14]=a[1]         res[15]=a[0]         return PGA3D.fromarray(res) <\/code><\/pre>\n<p>\u0412 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043d\u0438\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u0445 \u043e\u043d\u0438 \u043c\u0435\u043d\u044f\u044e\u0442 \u043f\u0430\u0440\u0443 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 \u043c\u0435\u0441\u0442\u0430\u043c\u0438, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u043e\u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u0437\u043d\u0430\u043a \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432\u043e\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u043d\u044b\u0439. \u0422\u0438\u043f\u0430 e021 = -e012, \u0438 \u0434\u043b\u044f \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0433\u043e \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430 \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043d\u0438\u0439, \u0434\u043b\u044f \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e &#8212; \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043d\u0438\u0439 \u0438 \u0442.\u043f.<br \/> \u0427\u0442\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u043e, \u0432 \u0442\u0430\u043a\u043e\u043c \u0445\u0438\u0442\u0440\u043e\u043c \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u0435 \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u044f\u0435\u0442 \u0432\u0441\u0435 \u0437\u043d\u0430\u043a\u0438 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u0438 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c\u0443 \u0441\u0435\u0431\u0435.<\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u043a\u0430\u0440\u0442\u0438\u043d\u043a\u0435 \u0441\u043c\u0435\u043d\u0443 \u0437\u043d\u0430\u043a\u0430 \u044f \u043e\u0442\u043c\u0435\u0442\u0438\u043b \u0441\u0438\u043d\u0438\u043c \u0446\u0432\u0435\u0442\u043e\u043c.<\/p>\n<p>\u0412 \u043c\u043e\u0451\u043c \u043a\u043e\u0434\u0435 \u0445\u0430\u043a\u0430 \u0441 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u043e\u043c \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u043d\u0435\u0442 \u0438 \u0434\u043b\u044f \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b \u0431\u0443\u0434\u0443\u0442 \u0434\u043e\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u044b \u043d\u0430 -1.<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u0448\u0438 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0442\u0438\u043f\u0430 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0432 \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435. \u0420\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043d\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u043a\u043e \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439, \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u043f\u043e\u0432\u044b\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f grade \u0441\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u0441\u044f \u0435\u0433\u043e \u043f\u043e\u043d\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435.<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u0438 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0430\u043d\u0442\u0438-\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c, \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0438\u043c \u0430\u043d\u0442\u0438-\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0438 \u0442.\u043f. \u0414\u043b\u044f \u043d\u0438\u0445 \u043f\u0440\u0438\u0434\u0443\u043c\u0430\u043b\u0438 \u0437\u0430\u0431\u0430\u0432\u043d\u044b\u0435 \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f, &#171;\u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u0451\u0440\u043d\u0443\u0442\u044b\u0435&#187; \u0434\u043b\u044f \u0430\u043d\u0442\u0438-\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0439: \u0413\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0434\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435: \u27d1, \u0430\u043d\u0442\u0438: \u27c7. \u0412\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u2227, \u0430\u043d\u0442\u0438: \u2228. \u0412\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0435: \u22c5, \u0430\u043d\u0442\u0438: \u25e6<\/p>\n<p>\u041a\u0441\u0442\u0430\u0442\u0438, \u044d\u0442\u043e \u0432\u0441\u0451 \u0441\u0438\u043c\u0432\u043e\u043b\u044b \u044e\u043d\u0438\u043a\u043e\u0434\u0430, \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0439\u0442\u0435 \u043d\u0430 \u0437\u0434\u043e\u0440\u043e\u0432\u044c\u0435, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0434\u0430\u0436\u0435 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0432 \u043a\u043e\u0434\u0435 \u0442\u0430\u043a \u043d\u0430\u0437\u0432\u0430\u0442\u044c, \u0438 \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c \u043d\u0435 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u0441\u0438\u043c\u0432\u043e\u043b \u043d\u0435\u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u043f\u0435\u0447\u0430\u0442\u0430\u0442\u044c.<\/p>\n<h3>Reverse<\/h3>\n<p>\u0412\u0432\u0435\u0434\u0451\u043c \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044e Reverse, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0440\u0438\u0441\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u0440\u0430\u0441\u0438\u0432\u044b\u043c \u043f\u043b\u044e\u0441\u0438\u043a\u043e\u043c \u0438\u043b\u0438 \u043a\u0438\u043d\u0436\u0430\u043b\u044c\u0447\u0438\u043a\u043e\u043c. \u041e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u043a \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0447\u043a\u043e\u0432 \u043d\u0430 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"(e_x e_y e_z)^\u2020 = e_z e_y e_x\" alt=\"(e_x e_y e_z)^\u2020 = e_z e_y e_x\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0\/09\/093\/09316b8321aee84d7fa35b04c3373d33.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a \u0432\u043e\u0442, \u0438\u0434\u0435\u044f \u0432 \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0434\u043b\u0438\u043d\u0430 \u043a\u0430\u043a\u043e\u0433\u043e-\u0442\u043e \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043a\u0435, \u0442\u043e \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u043d\u0430 reverse \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0441\u043d\u043e\u0432\u0430 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0443. \u041f\u0440\u0438\u0447\u0451\u043c \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0442\u044c \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u044b &#8212; \u0438 \u0441\u043b\u0435\u0432\u0430, \u0438 \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0430.<\/p>\n<p>\u041a\u0441\u0442\u0430\u0442\u0438, \u0434\u043b\u0438\u043d\u0443 \u0442\u0430\u043a \u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c &#8212; \u043a\u0430\u043a \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c \u0438\u0437 vv\u2020. \u042d\u0442\u043e \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u0435\u0442 \u0441 \u0438\u043d\u0442\u0438\u0443\u0442\u0438\u0432\u043d\u044b\u043c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b \u0438 \u044f \u0435\u0433\u043e \u0443\u0436\u0435 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043b \u0432\u044b\u0448\u0435, \u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0440\u043e\u0433\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0443\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e \u044f\u0432\u043d\u043e\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435.<\/p>\n<p>\u0417\u0430\u0447\u0435\u043c \u044d\u0442\u043e \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e? \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0434\u043b\u044f \u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"\\dfrac{a}{b} = \\dfrac{a b^\u2020}{b b^\u2020} = a b^\u2020 \\dfrac{1}{scalar}\" alt=\"\\dfrac{a}{b} = \\dfrac{a b^\u2020}{b b^\u2020} = a b^\u2020 \\dfrac{1}{scalar}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1\/1f\/1fe\/1febc48bf75910f3917e791cdaaf8d2e.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0412\u044b \u043d\u0430\u0432\u0435\u0440\u043d\u044f\u043a\u0430 \u0432\u0438\u0434\u0435\u043b\u0438 \u0442\u0430\u043a\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u0434\u043b\u044f \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b.<br \/> \u041d\u043e \u0432 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0435 \u043d\u0430\u0434\u043e \u0431\u044b\u0442\u044c \u0430\u043a\u043a\u0443\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u043c, \u043d\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 <code>a b\u2020<\/code> \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e <code>b\u2020 a<\/code><\/p>\n<p>\u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u043d\u0438\u0436\u0435 \u043f\u043e \u0442\u0435\u043a\u0441\u0442\u0443 \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0431\u0443\u0434\u0443\u0442 \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b, \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0449\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0442\u0438\u043f\u0430 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u043e\u0432, \u043f\u0435\u0440\u0435\u043d\u043e\u0441\u043e\u0432 \u0438 \u0442.\u043f. Reverse \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0434\u0430\u0432\u0430\u0442\u044c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f, \u043e\u0431\u0440\u0430\u0449\u0430\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u044b \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0447\u0435\u0435.<\/p>\n<p><strong>ALARM<\/strong> \u041d\u0435 \u0444\u0430\u043a\u0442 \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0441 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u043c \u0434\u0430\u0441\u0442 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440. \u041d\u0430\u0434\u043e \u0440\u0430\u0437\u043b\u0438\u0447\u0430\u0442\u044c \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0432\u0448\u0438\u0439\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432, \u0438 \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0443 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u043c\u044b \u043d\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u043b\u0438 \u0440\u0430\u043d\u0434\u043e\u043c\u043d\u044b\u0439 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442. \u0423 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043d\u0435\u0433\u043e \u0432\u0441\u0451 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043f\u043b\u043e\u0445\u043e. \u0414\u043b\u044f \u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0432 \u0432 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 &#171;\u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u0430 \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b&#187; \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442.<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f reverse \u043d\u0438\u0447\u0435\u0433\u043e \u043d\u0435 \u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u0442, \u0442\u0430\u043c \u043e\u0441\u043e\u0431\u043e \u043d\u0435\u0447\u0435\u0433\u043e \u043e\u0431\u0440\u0430\u0449\u0430\u0442\u044c: reverse(e_x) = e_x. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b, \u0442\u043e \u043e\u043d \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u043c \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c\u0443 \u0441\u0435\u0431\u0435, \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0441\u0432\u043e\u0440\u0430\u0447\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0432 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0443.<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b reverse \u0434\u043b\u044f i \u0434\u043e\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430 \u043c\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443, \u0447\u0442\u043e i^2 = -1. \u041d\u043e \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043c\u044b \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u0434\u043b\u044f \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043d\u0443\u043b\u044e \u0438\u043b\u0438 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0435, \u0434\u043b\u044f \u043d\u0438\u0445 reverse \u043e\u0442 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e 1-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 &#8212; \u044d\u0442\u043e \u043e\u043d \u0441\u0430\u043c.<\/p>\n<p>\u0418\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 reverse \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u044e\u0442 \u043a\u0430\u043a \u043f\u043e\u0434\u0447\u0451\u0440\u043a\u0438\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0432\u0435\u0440\u0445\u0443:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"A^\u2020 = \\widetilde{A}\" alt=\"A^\u2020 = \\widetilde{A}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2\/23\/230\/23023dcbc23d14c6642170f0e7758a38.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<h4>Projection, Rejection<\/h4>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <code>a<\/code> \u0438 \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <code>B<\/code>, \u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0440\u0430\u0437\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c <code>a<\/code> \u043d\u0430 \u0434\u0432\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b &#8212; \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0446\u0438\u044e \u043d\u0430 B \u0438 \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c.<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u044f \u0432 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 <code>B<\/code> \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u043b\u044e\u0431\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438, \u043d\u043e \u0433\u043b\u0430\u0432\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0432\u0441\u0435\u0445 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442 \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u043b\u0430.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"aB = a_{||B} \\cdot B + a_{\u22a5B} \\wedge B\" alt=\"aB = a_{||B} \\cdot B + a_{\u22a5B} \\wedge B\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2\/23\/23f\/23f20ebb6c0ec41a564c1487f10feb2d.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0421 \u043d\u0438\u043c\u0438 \u0434\u043e\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"a_{\u22a5B} \\cdot B = 0\" alt=\"a_{\u22a5B} \\cdot B = 0\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1\/1a\/1ae\/1aeebbb6a3969d7ddac66312b1520701.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"a_{||B} \\wedge B = 0 \" alt=\"a_{||B} \\wedge B = 0 \" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/83\/833\/8330acb08f6c691979ccc99ec497d6f6.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0418 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"a_{\u22a5B} B = a \\wedge B\" alt=\"a_{\u22a5B} B = a \\wedge B\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4\/46\/46d\/46de47a7cbedd7732f4c3c7aa6fc801d.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"a_{\u22a5B} = (a \\wedge B) B^{-1}\" alt=\"a_{\u22a5B} = (a \\wedge B) B^{-1}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/8f\/8f6\/8f67f73332b4094186c58802a1c35f67.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0410\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"a_{||B} B = a_{||B} \\cdot B\" alt=\"a_{||B} B = a_{||B} \\cdot B\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1\/1b\/1b4\/1b47a945ceefcd99fe4712496057a00c.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"a_{||B} = (a_{||B} \\cdot B) B^{-1}\" alt=\"a_{||B} = (a_{||B} \\cdot B) B^{-1}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b\/bd\/bdf\/bdfde2e3ed9a263304b38a0fba3e2162.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<h3>\u041e\u0442\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438<\/h3>\n<p>\u043f\u0443\u0441\u0442\u044c \u0435\u0441\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 U, \u043a \u043d\u0435\u043c\u0443 \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438 u<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"ua = u(a_{||_{U}} + a_{\u22a5_U}) = u \\cdot a_{||_{U}} + u \\wedge a_{||_{U}} + u \\cdot a_{\u22a5_U} + u \\wedge a_{\u22a5_U}\" alt=\"ua = u(a_{||_{U}} + a_{\u22a5_U}) = u \\cdot a_{||_{U}} + u \\wedge a_{||_{U}} + u \\cdot a_{\u22a5_U} + u \\wedge a_{\u22a5_U}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/78\/78c\/78c72cf745cede9f619bd67f1f995306.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0422\u0443\u0442 \u043d\u0430\u0434\u043e \u043d\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0443\u0442\u0430\u0442\u044c U \u0438 u, \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u0430\u044f \u043a U \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043f\u0430\u0440\u0430\u043b\u0435\u043b\u043b\u044c\u043d\u0430 u.<br \/> \u0412\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438 \u043a\u043e\u043c\u043c\u0443\u0442\u0430\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e, \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435 \u0430\u043d\u0442\u0438\u043a\u043e\u043c\u043c\u0443\u0442\u0430\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"ua = u \\wedge a_{||_{U}} + u \\cdot a_{\u22a5_U} = a_{\u22a5_U} \\cdot u - a_{||_{U}} \\wedge u = (a_{\u22a5_U} - a_{||_{U}}) u\" alt=\"ua = u \\wedge a_{||_{U}} + u \\cdot a_{\u22a5_U} = a_{\u22a5_U} \\cdot u - a_{||_{U}} \\wedge u = (a_{\u22a5_U} - a_{||_{U}}) u\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/84\/842\/84284894b7ee3f591eea754751880568.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"-ua = (a_{||_{U}} - a_{\u22a5_{U}}) u\" alt=\"-ua = (a_{||_{U}} - a_{\u22a5_{U}}) u\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a\/ac\/ac0\/ac06810c8459d800ac6a937ddaf6123b.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"-uau^{-1} = a_{||_{U} - a_{\u22a5_U}}\" alt=\"-uau^{-1} = a_{||_{U} - a_{\u22a5_U}}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/8d\/8df\/8df0b0e16e7f008a0a66f1c363048266.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 u \u0431\u0435\u0440\u0443\u0442 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b, \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0434\u043b\u044f \u043d\u0435\u0433\u043e<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"u^{-1} = u\" alt=\"u^{-1} = u\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/69\/698\/69808552a8378436892c181e679318bd.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0438 \u043e\u0442\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u043e<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"-uau\" alt=\"-uau\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/80\/80f\/80f5abf6de84c263e39f69defce05236.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u041b\u0438\u0431\u043e \u044d\u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"-uau^\u2020\" alt=\"-uau^\u2020\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4\/45\/45c\/45c895422a216c6044be93bde75cddfd.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0415\u0449\u0451 \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044e, \u0447\u0442\u043e \u0432 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0442 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043c\u0438\u043d\u0443\u0441 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c, \u0430 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0438 \u043d\u0435 \u0431\u044b\u0442\u044c.<\/p>\n<p>\u041a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u043e \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0435 \u0434\u043e\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0430\u043d\u0442\u0443 \u0442\u0438\u043f\u0430 \u043c\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u044b \u043d\u0438\u0447\u0435\u0433\u043e \u043d\u0435 \u043f\u043e\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442.<\/p>\n<h3>\u0412\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f<\/h3>\n<p>\u0412\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u043a\u043e\u043c\u0431\u0438\u043d\u0430\u0446\u0438\u044e \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043e\u0442\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439<\/p>\n<figure class=\"\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/post_images\/8c4\/2f9\/86f\/8c42f986fb9b9bec5489511e0f8c838f.png\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/post_images\/8c4\/2f9\/86f\/8c42f986fb9b9bec5489511e0f8c838f.png\"\/><\/figure>\n<p>\u0442.\u0435., \u0435\u0441\u0442\u044c \u043c\u044b \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0451\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b a \u0438 b, \u0442\u043e \u0438\u0445 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u043c.<\/p>\n<p>\u0412 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0442\u0430\u043a<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"v' = q v q^\u2020 = a b v b a = -a(-bvb)a\" alt=\"v' = q v q^\u2020 = a b v b a = -a(-bvb)a\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/3\/30\/302\/3024548ed391b63d40e2b81961444ed6.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0418\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u044e\u0442 &#171;\u0432 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0443\u044e \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u0443&#187; \u0438 reverse \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0441\u043b\u0435\u0432\u0430, \u0432\u0441\u0451 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a\u0438\u043c \u0436\u0435, \u043d\u043e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u043a\u0430\u043f\u0435\u043b\u044c\u043a\u0443 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0435.<\/p>\n<p>\u0421 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0437\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"ab = a \\cdot b + a \\wedge b\" alt=\"ab = a \\cdot b + a \\wedge b\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/da\/da0\/da07732b61d4a1c919e491dbf4f88091.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0412\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0443 \u0443\u0433\u043b\u0430 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438, \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e\u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u043d\u043e \u043d\u0430\u043f\u043e\u043c\u0438\u043d\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u0435\u0433\u043e \u0434\u043b\u0438\u043d\u0430 &#8212; \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0443\u0433\u043b\u0430 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438.<\/p>\n<p>\u0420\u0430\u0437\u043d\u0438\u0446\u0430 \u0441 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u044b\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0432 \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 &#8212; \u0434\u0430\u0451\u0442 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432, \u0430 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 &#8212; \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440.<\/p>\n<h3>Sandwich product<\/h3>\n<p>\u041a\u0430\u043a \u043d\u0435\u0442\u0440\u0443\u0434\u043d\u043e \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u0438\u0442\u044c, \u0438 \u0432 \u043e\u0442\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0438 \u0432\u043e \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043f\u043e\u0434\u043e\u0437\u0440\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0430\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 (\u0441 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0434\u043e \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0430 -1, \u043d\u043e \u044d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e)<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"q a q^\u2020\" alt=\"q a q^\u2020\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/6c\/6c9\/6c9b6212479e448897e9ddbd931d9592.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u041c\u044b \u043d\u0430\u0448 \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u043a\u0430\u043a \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u043a\u0443 \u0441\u0435\u043d\u0434\u0432\u0438\u0447\u0430, \u0437\u0430\u0436\u0438\u043c\u0430\u0435\u043c \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 q \u0438 q\u2020.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 q &#8212; \u043a\u043e\u043c\u0431\u0438\u043d\u0430\u0446\u0438\u044f \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b, \u0442\u043e<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"q q^\u2020 = 1\" alt=\"q q^\u2020 = 1\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/7c\/7c2\/7c2f55991dd3af1aa1dd44cede5c3d21.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u041e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043b\u0435\u0433\u043a\u043e \u0432\u044b\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"q^\u2020 b q = q^\u2020 (q a q^\u2020) q = (q^\u2020 q) a (q^\u2020 q) = a\" alt=\"q^\u2020 b q = q^\u2020 (q a q^\u2020) q = (q^\u2020 q) a (q^\u2020 q) = a\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5\/57\/578\/578df4e235ba03124065bd281f5cc20d.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0438 \u044d\u0442\u043e \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0437 \u043d\u0430\u0448\u0430 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f \u043e\u0431\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u043c \u0434\u0432\u0430 \u043f\u043e\u0432\u0451\u0440\u043d\u0443\u0442\u044b\u0445 \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"(q a q^\u2020) (q b q^\u2020) = q a (q^\u2020 q) b q^\u2020 = q (a b) q^\u2020 \" alt=\"(q a q^\u2020) (q b q^\u2020) = q a (q^\u2020 q) b q^\u2020 = q (a b) q^\u2020 \" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5\/5b\/5bf\/5bfa33761ed6ed0f65fe4ea8c273ff59.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432, \u0430 \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u0442\u044c \u043a\u0430\u0436\u0434\u044b\u0439 \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0438 \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u0438\u0445. \u0420\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0436\u0435! \u042d\u0442\u043e \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e, \u0438 \u043e\u043d\u043e \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0434\u043b\u044f \u0432\u0441\u0435\u0445 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0439 &#8212; \u043e\u0442\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439, \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0439, \u043f\u0435\u0440\u0435\u043d\u043e\u0441\u043e\u0432 \u0438 \u0442.\u043f.<\/p>\n<p>\u041e\u0442\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0442\u043e\u0436\u0435 \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435\u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u043e &#8212; \u044d\u0442\u043e \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043a\u043e\u043c\u0431\u0438\u043d\u0430\u0446\u0438\u044f \u0442\u0440\u0451\u0445 \u043e\u0442\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439, \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u043a\u0430\u044e\u0449\u0438\u0445\u0441\u044f \u0432 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435.<\/p>\n<h2>Plane-based \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430<\/h2>\n<h3>\u041f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u044c<\/h3>\n<p>\u0414\u043e\u0431\u0430\u0432\u0438\u043c \u0435\u0449\u0451 \u043e\u0434\u0438\u043d \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 w, \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043d\u0443\u043b\u044e. \u042d\u0442\u043e \u043a\u043b\u044e\u0447\u0435\u0432\u043e\u0439 \u0448\u0430\u0433, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u0438\u0442 \u0432\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u043d\u0430\u0448 \u0442\u0440\u0451\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0439 \u043c\u0438\u0440. \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e \u043a\u0430\u043a 3\u0434 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u043a\u0435 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0451\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0441 w=1, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u043b\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"v = a e_x + b e_y + c e_z + d e_w\" alt=\"v = a e_x + b e_y + c e_z + d e_w\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/3\/34\/347\/3472af2cc0c7474bcdbf210355332ac5.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u0443\u044e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"ax + by + cz + d = 0\" alt=\"ax + by + cz + d = 0\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c\/ca\/caa\/caa004f9b1339cb52d995210c6ac7e41.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<figure class=\"\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/post_images\/2b0\/ef4\/4c9\/2b0ef44c9484276f0aef644f3c260e62.png\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/post_images\/2b0\/ef4\/4c9\/2b0ef44c9484276f0aef644f3c260e62.png\"\/><\/figure>\n<p>\u0421\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043f\u0440\u0438 \u0442\u0430\u043a\u043e\u043c \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u0435:<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p>\u041f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u044c \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u043b\u044e\u0431\u043e\u0439, \u043e\u043d\u0430 \u043d\u0435 \u043e\u0431\u044f\u0437\u0430\u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442.<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0423 \u043d\u0430\u0441 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043b\u0430\u0441\u044c \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u0430\u044f \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430: \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0434\u043e\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043d\u0430 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0435 \u043d\u0435\u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e (\u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, -1) \u0438 \u043e\u043d \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432\u0441\u0451 \u0442\u0443 \u0436\u0435 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u044c<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f a,b,c \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c \u043a \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0412 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0446\u0438\u043f\u0435, \u044d\u0442\u043e \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0438\u0437\u043c\u0435\u0440\u0435\u043d\u0438\u0439, \u043d\u043e \u043d\u0430\u043c \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e 2\u0434 \u0438 3\u0434.<\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u043c \u0434\u043b\u0438\u043d\u0443 1-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430, \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0449\u0435\u0433\u043e \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u044c:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"|plane|^2 = |plane \u27d1 plane^\u2020| = |a e_x + b e_y + c e_z + d e_w|^2 = a^2 + b^2 + c^2\" alt=\"|plane|^2 = |plane \u27d1 plane^\u2020| = |a e_x + b e_y + c e_z + d e_w|^2 = a^2 + b^2 + c^2\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f\/f8\/f87\/f871bb70b643f4277f766a8c189b35a7.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u041e\u0431\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u0435 \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u043d\u0438\u0435 &#8212; d \u0432 \u0434\u043b\u0438\u043d\u0435 \u043d\u0435 \u0443\u0447\u0430\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442. \u0414\u043b\u0438\u043d\u0430 &#8212; \u044d\u0442\u043e \u0434\u043b\u0438\u043d\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430-\u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438. \u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0434\u043e\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0442\u044c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043d\u0430 \u043b\u0443\u0431\u0443\u044e \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0443\u044e \u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0430\u043d\u0442\u0443, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u0442\u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439 \u0442\u0430\u043a, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0434\u043b\u0438\u043d\u0430 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438 \u0431\u044b\u043b\u0430 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0435.<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u043c\u044b \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u0438\u043c \u043f\u0440\u043e \u0432\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435 \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b, \u043d\u0430\u043c \u043d\u0435 \u043e\u0431\u044f\u0437\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a\u0438\u0435-\u0442\u043e \u0430\u0431\u0441\u0442\u0440\u0430\u043a\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0448\u0442\u0443\u043a\u0438, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c \u0447\u0442\u043e \u043e\u043d\u0438 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u044e\u0442 \u0432 3\u0434. \u0414\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043f\u043e\u0439\u0434\u0443\u0442 \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b:<\/p>\n<h3>\u041b\u0438\u043d\u0438\u044f<\/h3>\n<p>\u0422\u0430\u043a \u0443\u0436 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043b\u043e\u0441\u044c, \u0447\u0442\u043e \u044f \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441\u0435 \u043e\u0441\u0432\u043e\u0432\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u043b \u0441\u0432\u043e\u044e \u0431\u0438\u0431\u0438\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u0447\u043a\u0443 \u0434\u043b\u044f PGA \u0438 \u0432\u0441\u044f\u043a\u0438\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u043f\u0438\u0441\u0430\u043b \u043d\u0435 \u0432\u0440\u0443\u0447\u043d\u0443\u044e, \u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0437\u0430\u0433\u043e\u043d\u044f\u043b \u0432 \u043d\u0435\u0451 \u0438 \u0434\u0435\u043b\u0430\u043b \u0441\u0438\u043c\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041a\u043e\u0434 \u043d\u0438\u0436\u0435 &#8212; \u043e\u0442\u0442\u0443\u0434\u0430.<\/p>\n<p>\u0423\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043b\u0438\u043d\u0438\u0438 \u0438\u0437 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0430 \u0441 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c n<\/p>\n<pre><code class=\"scala\">a v (a + n) == MultiVector(     wx -> (a.y * n.z - a.z * n.y)     wy -> (a.z * n.x - a.x * n.z)     wz -> (a.x * n.y - a.y * n.x)     xy -> n.z     xz -> -n.y     yz -> n.x ) <\/code><\/pre>\n<p>\u043f\u043e-\u0441\u0443\u0442\u0438 \u0432 xy, xz, yz \u043b\u0435\u0436\u0438\u0442 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u0432 wx, wy, wz &#8212; (a x n) &#8212; \u0445\u0438\u0442\u0440\u043e \u0437\u0430\u043a\u043e\u0434\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d \u0441\u0434\u0432\u0438\u0433 \u043e\u0442 \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440\u0430 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0434\u043b\u0438\u043d\u0430 n = 1, \u0430 &#8212; \u0431\u043b\u0438\u0436\u0430\u0439\u0448\u0430\u044f \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439 \u043a \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440\u0443 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442, \u0442\u043e n x a \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e \u043e\u0431\u043e\u0438\u043c \u0438 \u0441 \u0434\u043b\u0438\u043d\u043e\u0439 \u043a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0441\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043e \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440\u0430 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442.<\/p>\n<p>\u041b\u0438\u043d\u0438\u044f \u043a\u0430\u043a \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439:<\/p>\n<pre><code>a ^ c == MultiVector(     wx -> (a.d * c.nx - a.nx * c.d)     wy -> (a.d * c.ny - a.ny * c.d)     wz -> (a.d * c.nz - a.nz * c.d)     xy -> (a.nx * c.ny - a.ny * c.nx)     xz -> (a.nx * c.nz - a.nz * c.nx)     yz -> (a.ny * c.nz - a.nz * c.ny) ) <\/code><\/pre>\n<p>\u041b\u0438\u043d\u0438\u044f \u043a\u0430\u043a \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0438 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f:<\/p>\n<pre><code class=\"scala\">pos = MultiVector(     wxy -> -pos.z     wxz -> pos.y     wyz -> -pos.x     xyz -> 1.0 ) shift = MultiVector(     x -> s.x     y -> s.y     z -> s.z ) pos dot shift = MultiVector(     wx -> (pos.y * s.z - pos.z * s.y)     wy -> (pos.z * s.x - pos.x * s.z)     wz -> (pos.x * s.y - pos.y * s.x)     xy -> s.z     xz -> -s.y     yz -> s.x ) <\/code><\/pre>\n<p>\u041a\u0441\u0442\u0430\u0442\u0438, \u0447\u0442\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u043e &#8212; \u0432 2\u0434 \u0443 \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0442\u0440\u0438 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b &#8212; wx, wy, xy &#8212; \u0434\u0432\u0435 \u0438\u0437 \u043d\u0438\u0445 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u043c \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c, \u043e\u0434\u043d\u0430 &#8212; \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044e.<br \/> \u0412 3\u0434 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0442\u0440\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0442\u0440\u0438 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430, \u0430 \u0432 4\u0434 &#8212; \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0448\u0435\u0441\u0442\u044c \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u043e\u0432! \u0412 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043c\u0430\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u043a\u0440\u0430\u0441\u0438\u0432\u043e, \u0438 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0434\u043b\u044f \u0441\u0438\u043b \u0438 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u0435\u043b \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u044f\u0442\u0441\u044f \u0441 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e.<\/p>\n<p>\u041b\u0438\u043d\u0438\u0438 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a \u0436\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c, \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0434\u043b\u0438\u043d\u043e\u0439 \u043b\u0438\u043d\u0438\u0438 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0434\u043b\u0438\u043d\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430, \u0437\u0430\u0434\u0430\u044e\u0449\u0435\u0433\u043e \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435.<\/p>\n<figure class=\"\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/post_images\/01d\/dd4\/b8f\/01ddd4b8feba91610629d3e830c20a04.png\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/post_images\/01d\/dd4\/b8f\/01ddd4b8feba91610629d3e830c20a04.png\"\/><\/figure>\n<p>\u0414\u043b\u044f 2\u0434 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u044f &#171;\u043b\u0438\u043d\u0438\u0438&#187; \u0438 &#171;\u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438&#187; \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u044e\u0442, \u0434\u043b\u044f n-\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044f \u0440\u0430\u0437\u043d\u0438\u0446\u0430 \u0435\u0441\u0442\u044c.<\/p>\n<p>\u041e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u0434\u043b\u044f \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044f \u0441 3\u0434 \u043b\u044e\u0434\u0438 \u0443\u0445\u043e\u0434\u044f\u0442 \u0432 \u043a\u0430\u043a\u0438\u0435-\u0442\u043e \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438. \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0432\u0432\u043e\u0434\u044f\u0442 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c, \u0430 \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043f\u0440\u043e &#171;\u043f\u0440\u0430\u0432\u044b\u0435&#187; \u0438 &#171;\u043b\u0435\u0432\u044b\u0435&#187; \u0442\u0440\u043e\u0439\u043a\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432. \u0425\u043e\u0442\u044f \u043d\u0430 \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c \u0434\u0435\u043b\u0435 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 &#8212; \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0430 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0434\u043b\u044f 3\u0434. \u0418 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441 &#171;\u043f\u0440\u0430\u0432\u0430\u044f \u0438\u043b\u0438 \u043b\u0435\u0432\u0430\u044f \u0442\u0440\u043e\u0439\u043a\u0430&#187; \u0434\u043b\u044f \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b \u043d\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b\u0430, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0438 \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435.<\/p>\n<p>\u041c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043f\u044b\u0442\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u043b\u0438\u043d\u0438\u044e, \u0437\u0430\u0434\u0430\u044e\u0449\u0443\u044e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043f\u0430\u0440\u0430\u043b\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439 \u0438\u043b\u0438 \u043b\u0438\u043d\u0438\u044e \u043e\u0442 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0410 \u0432 \u0442\u0443 \u0436\u0435 \u0441\u0430\u043c\u0443\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u0410. \u041e \u0442\u043e\u043c \u0447\u0442\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0435, \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u0430\u0433\u0430\u044e \u043f\u043e\u0434\u0443\u043c\u0430\u0442\u044c \u0441\u0430\u043c\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e.<\/p>\n<h3>\u0422\u043e\u0447\u043a\u0430<\/h3>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0435\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0440\u0451\u0445 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439 \u0434\u0430\u0441\u0442 \u043d\u0430\u043c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443.<br \/> \u0422\u043e\u0447\u043a\u0430 \u0441 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u0430\u043c\u0438 x, y, z \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0442\u0440\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"v = 1 e_{xyz} - x e_{yzw} + y e_{xzw} - z e_{xyw}\" alt=\"v = 1 e_{xyz} - x e_{yzw} + y e_{xzw} - z e_{xyw}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/3\/38\/38d\/38d4349b7ef9165e6857e13d62d662e5.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u0447\u0451\u043c \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0442\u0440\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0434\u0443\u0430\u043b\u0435\u043d \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0443 \u0441 w=1 \u0438 x, y, z \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0438\u0432\u044b\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043c\u0435\u0441\u0442\u0430\u0445 \u0438 \u0441 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0437\u043d\u0430\u043a\u0430\u043c\u0438.<\/p>\n<p>\u0412 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0434\u043b\u0438\u043d\u0430 \u044d\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b \u0441 e_xyz, \u043e\u0441\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b \u043d\u0435 \u0432\u043b\u0438\u044f\u044e\u0442 \u0438 \u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u043c\u0438. \u0423 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0430 \u0434\u043b\u044f e_xyz \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0435.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u044b\u0447\u0435\u0441\u0442\u044c \u0438 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0443\u044e, \u0442\u043e \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0430 \u0443 e_xyz \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u043d\u0443\u043b\u044e. \u0422\u0430\u043a\u0443\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u0438\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 &#171;\u0438\u0434\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u043e\u0439&#187; &#8212; \u043e\u043d\u0430 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0441\u0434\u0432\u0438\u0433 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043f\u0430\u0440\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a, \u043d\u043e \u0441\u0430\u043c\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u043e\u0439 \u043d\u0435 \u044f\u0432\u043b\u0435\u0442\u0441\u044f. \u0410 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u0435, \u0447\u0438\u0441\u0442\u044b\u043c \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c.<\/p>\n<p>\u0415\u0449\u0435, \u0447\u0442\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u043e, \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442 &#171;\u0438\u0434\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443&#187;, \u043d\u043e \u043d\u0435 \u0441\u0434\u0432\u0438\u0433\u0430\u0442\u0435\u0442.<\/p>\n<h3>\u0418\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u044f\u0446\u0438\u044f<\/h3>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u043d\u0435\u043e\u0447\u0435\u0432\u0438\u0434\u043d\u043e, \u043d\u043e \u0432\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u044f \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e, \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0441\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u0434\u0432\u0435 \u043b\u0438\u043d\u0438\u0438 \u0434\u0440\u0443\u0433 \u0441 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u043c. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0438\u0445 \u0441 \u0432\u0435\u0441\u0430\u043c\u0438 t \u0438 (1-t) \u0438 \u043f\u043b\u0430\u0432\u043d\u043e \u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c t \u043e\u0442 0 \u0434\u043e 1, \u0442\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u043f\u043b\u0430\u0432\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434 \u0438\u0437 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043b\u0438\u043d\u0438\u0438 \u0432 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439. \u0410\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0438 \u0441 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u044f\u043c\u0438 \u0438 \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u043c\u0438.<\/p>\n<p>\u0415\u0449\u0451 \u043d\u0435\u043e\u0447\u0435\u0432\u0438\u0434\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 &#8212; \u0443 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439 \u0438 \u043b\u0438\u043d\u0438\u0439 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u044f\u0446\u0438\u0438 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \u043d\u0435\u0433\u043e.<\/p>\n<h3>\u0412\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 + \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 = \u041c\u043e\u0442\u043e\u0440<\/h3>\n<p>\u041a\u0430\u043a \u044f \u043f\u0438\u0441\u0430\u043b \u0432\u044b\u0448\u0435, sandwich product \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0438 \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0437\u0435\u0440\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u043e\u0442\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438. \u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u044f\u0442 \u043a\u0430\u043a \u0443\u0433\u043e\u0434\u043d\u043e, \u0430 \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0446\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442, \u0442\u043e \u043a\u043e\u043c\u0431\u0438\u043d\u0430\u0446\u0438\u044f \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043e\u0442\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435.<\/p>\n<figure class=\"\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/post_images\/34d\/4d1\/710\/34d4d17109fce56a059f4a14bf343750.png\" data-src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/post_images\/34d\/4d1\/710\/34d4d17109fce56a059f4a14bf343750.png\"\/><\/figure>\n<p>\u0412\u0441\u0451. \u0412\u043e\u0442 \u0442\u0430\u043a \u0432\u043e\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043c\u044b \u0432\u0442\u0430\u0449\u0438\u043b\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043d\u043e\u0441\u044b \u0432 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0447\u0438\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0443!<\/p>\n<p>\u041b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 &#8212; \u044d\u0442\u043e \u043e\u0442\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0442 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043f\u0430\u0440\u0430\u043b\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439.<\/p>\n<p>\u041c\u043e\u0442\u043e\u0440 \u0434\u043b\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0435\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<pre><code class=\"scala\">MultiVector(     1 -> 1.0     wx -> -0.5 * d.x     wy -> -0.5 * d.y     wz -> -0.5 * d.z ) <\/code><\/pre>\n<p>\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f &#8212; \u043f\u0440\u0438\u0432\u044b\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d:<\/p>\n<pre><code class=\"scala\">q = MultiVector(     1 -> q.cos     xy -> q.xy     xz -> q.xz     yz -> q.yz ) <\/code><\/pre>\n<p>\u0412 \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0432 \u043c\u043e\u0442\u043e\u0440\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0443\u0442 \u043d\u0430\u043c\u0435\u0448\u0430\u043d\u044b \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442.<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 \u0441\u043a\u043e\u043c\u0431\u0438\u043d\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043d\u043e\u0441:<\/p>\n<pre><code class=\"scala\">q = MultiVector(     1 -> q.cos     xy -> q.xy     xz -> q.xz     yz -> q.yz ) tr = MultiVector(     1 -> 1.0     wx -> t.x     wy -> t.y     wz -> t.z ) tr q = MultiVector(     1 -> q.cos     wx -> (q.cos * t.x - q.xy * t.y - q.xz * t.z)     wy -> (q.cos * t.y + q.xy * t.x - q.yz * t.z)     wz -> (q.cos * t.z + q.xz * t.x + q.yz * t.y)     xy -> q.xy     xz -> q.xz     yz -> q.yz     I -> (q.xy * t.z + q.yz * t.x - q.xz * t.y) ) q tr = MultiVector(     1 -> q.cos     wx -> (q.cos * t.x + q.xy * t.y + q.xz * t.z)     wy -> (q.cos * t.y + q.yz * t.z - q.xy * t.x)     wz -> (q.cos * t.z - q.xz * t.x - q.yz * t.y)     xy -> q.xy     xz -> q.xz     yz -> q.yz     I -> (q.xy * t.z + q.yz * t.x - q.xz * t.y) ) <\/code><\/pre>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0435\u043d\u043e\u0441 \u043d\u0435 \u0432\u043b\u0438\u044f\u0435\u0442 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430, \u043d\u043e \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043d\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0432 wx, wy, wz \u0438 I.<\/p>\n<p>\u041c\u043e\u0442\u043e\u0440 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0435\u043b\u0430, \u043d\u043e \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0437\u0430\u0445\u043e\u0442\u0435\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u043e\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0438\u043b\u0438 \u044d\u043a\u0441\u0442\u0440\u0430\u043f\u043e\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c. \u041d\u0430\u043c \u043d\u0430 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c \u043f\u0440\u0438\u0445\u043e\u0434\u044f\u0442 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0430 \u0438 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c (\u0432 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0446\u0438\u043f\u0435, \u043a\u0430\u043a \u0438 \u0434\u043b\u044f \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432).<\/p>\n<p>\u0423\u0433\u043b\u043e\u0432\u0430\u044f \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u0438 \u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0443\u0442 \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"M = exp(\\dfrac{-Bt}{2})\" alt=\"M = exp(\\dfrac{-Bt}{2})\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/97\/973\/973340bac25f732f26abcbc7996c053b.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u0437\u044f\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"M' = \\dfrac{-B}{2} exp(\\dfrac{-Bt}{2}) = \\dfrac{-BM}{2}\" alt=\"M' = \\dfrac{-B}{2} exp(\\dfrac{-Bt}{2}) = \\dfrac{-BM}{2}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b\/b5\/b5d\/b5da54b79ee779b29416c15c73f22062.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u041a\u0441\u0442\u0430\u0442\u0438, \u0441\u0435\u0439\u0447\u0430\u0441 \u044d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e, \u043d\u043e \u0432 \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 &#8212; \u0435\u0441\u0442\u044c \u0440\u0430\u0437\u043d\u0438\u0446\u0430 \u0441 \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u044b \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0442\u044c B \u043d\u0430 M. \u0415\u0441\u043b\u0438 M \u043d\u0435 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u043e\u0439 \u043e\u0442 B, \u0442\u043e \u043e\u043d\u0438 \u043d\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0443\u0442 \u043a\u043e\u043c\u043c\u0443\u0442\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c! \u041f\u0440\u0438 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0441\u043b\u0435\u0432\u0430 B \u043a\u0430\u043a \u0431\u044b \u0432 \u0433\u043b\u043e\u0431\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0435 \u043e\u0442\u0441\u0447\u0451\u0442\u0430 \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u0445 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0435\u0433\u043e \u043c\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430, \u043f\u0440\u0438 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0430 &#8212; \u0432 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 &#8212; \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f &#171;\u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438&#187;, \u0434\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430.<\/p>\n<p>\u041a\u0430\u043a \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0443 \u043e\u0442 \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430? \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0440\u0430\u0437\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u0435\u0451 \u0432 \u0441\u0443\u043c\u043c\u0443 \u0440\u044f\u0434\u0430.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"exp(B) = 1 + B + \\dfrac{B^2}{2!} + \\dfrac{B^3}{3!} + ...\" alt=\"exp(B) = 1 + B + \\dfrac{B^2}{2!} + \\dfrac{B^3}{3!} + ...\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/ef\/ef4\/ef43dcd3c8fe112ba1a48d551429ecac.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0420\u044f\u0434 \u0440\u0430\u043d\u043e \u0438\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0437\u0434\u043d\u043e \u0441\u043e\u0439\u0434\u0451\u0442\u0441\u044f \u0438 \u0432\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0443 \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e. \u041d\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442 \u0447\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a \u043d\u0430\u0434\u043e \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c, \u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u0442\u0435\u0441\u0442\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f &#171;\u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043e\u043f\u0438\u0442\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445&#187; \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u043e\u0432 \u043d\u0430\u0445\u043e\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u0438\u0434\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e.<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a \u0443\u0436 \u0441\u043b\u043e\u0436\u0438\u043b\u043e\u0441\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0443 \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043d\u0443\u043b\u044e, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432\u0441\u0435 \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u0432\u044b\u0448\u0435 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u044b \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043e\u043a\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"exp(B) = 1 + B\" alt=\"exp(B) = 1 + B\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4\/4a\/4ae\/4aeb3aba598fafb7aa485f5e3e00a1c5.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430, \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0449\u0435\u0433\u043e \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043e\u043c  (\u043d\u0430\u0437\u043e\u0432\u0451\u043c \u0435\u0433\u043e -len^2):<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"exp(B) = 1 + B + \\dfrac{B^2}{2!} + \\dfrac{B^2B}{3!} + \\dfrac{B^4}{4!} + ... \" alt=\"exp(B) = 1 + B + \\dfrac{B^2}{2!} + \\dfrac{B^2B}{3!} + \\dfrac{B^4}{4!} + ... \" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/98\/98f\/98fba78f58322fb267b7e15ad60732a4.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"= 1 + B - \\dfrac{len^2}{2!} - \\dfrac{len^2B}{3!} + \\dfrac{len^4}{4!} + ...\" alt=\"= 1 + B - \\dfrac{len^2}{2!} - \\dfrac{len^2B}{3!} + \\dfrac{len^4}{4!} + ...\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/b\/b9\/b9a\/b9a0de6251f8b33c92304f8863622fe3.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"= (1 - \\dfrac{len^2}{2!} + ...) + B(1 - \\dfrac{len^2B}{3!})\" alt=\"= (1 - \\dfrac{len^2}{2!} + ...) + B(1 - \\dfrac{len^2B}{3!})\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5\/55\/554\/5549bbb0ab9ea5779b274febd8a214c0.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"= cos(len) + B \\dfrac{sin(len)}{len} \" alt=\"= cos(len) + B \\dfrac{sin(len)}{len} \" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/e4\/e42\/e420d613d8880dbc31d790e204525e8f.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u043f\u0440\u0438 \u0434\u043b\u0438\u043d\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0441\u0442\u0440\u0435\u043c\u044f\u0449\u0435\u0439\u0441\u044f \u043a \u043d\u0443\u043b\u044e, sin(len) \/ len \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0441\u0442\u0440\u0435\u043c\u0438\u0442\u0441\u044c\u044f \u043a \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0435 \u0438 \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043c \u043f\u0440\u0435\u0434\u044b\u0434\u0443\u0449\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443. \u0412\u0441\u0451 \u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f!<\/p>\n<p>\u041d\u043e \u0435\u0449\u0451 \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u043e\u043c\u0431\u0438\u043d\u0430\u0446\u0438\u044e \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u0434\u043e\u043b\u044c \u043e\u0441\u0438 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u0441\u0443\u043c\u043c\u043e\u0439 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u0430 \u0438 \u043f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u0430, \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u043d\u043e \u0443\u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f. \u042f \u0433\u0434\u0435-\u0442\u043e \u0442\u0440\u0438 \u043b\u0438\u0441\u0442\u0430 \u0431\u0443\u043c\u0430\u0433\u0438 \u043f\u043e\u0442\u0440\u0430\u0442\u0438\u043b \u043f\u0440\u0435\u0436\u0434\u0435 \u0447\u0435\u043c \u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u043b, \u0430 \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u043b \u0441 \u0441\u0443\u043c\u043c\u043e\u0439 \u0440\u044f\u0434\u0430 \u0438 \u044f \u043f\u043e\u043d\u044f\u043b \u0447\u0442\u043e \u043d\u0438\u0433\u0434\u0435 \u043d\u0435 \u043e\u0448\u0438\u0431\u0441\u044f. \u041f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0443 \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 <a href=\"https:\/\/github.com\/Kright\/ScalaGameMath\/blob\/master\/pga3d\/src\/main\/scala\/com\/github\/kright\/pga3d\/Bivector.scala#L193\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u043a\u043e\u0434<\/a><\/p>\n<pre><code class=\"scala\">  def exp(): Motor =     val len = bulkNorm     val cos = Math.cos(len)      val sinDivLen = if (len > 1e-5) {       Math.sin(len) \/ len     } else 1.0 - (len * len) \/ 6.0      val sinMinusCosDivLen2 = if (len > 1e-5) {       (sinDivLen - cos) \/ (len * len)     } else (1.0 \/ 3.0) * (1.0 + 0.8 * len * len)      Motor(       s = cos,       wx = (sinDivLen * wx + sinMinusCosDivLen2 * yz * (wy * xz - wx * yz - wz * xy)),       wy = (sinDivLen * wy + sinMinusCosDivLen2 * xz * (wx * yz + wz * xy - wy * xz)),       wz = (sinDivLen * wz + sinMinusCosDivLen2 * xy * (wy * xz - wx * yz - wz * xy)),       xy = sinDivLen * xy,       xz = sinDivLen * xz,       yz = sinDivLen * yz,       i = sinDivLen * (wx * yz + wz * xy - wy * xz),     ) <\/code><\/pre>\n<p>\u0422\u0443\u0442 \u043f\u0440\u0438\u0448\u043b\u043e\u0441\u044c \u0432\u0441\u043f\u043e\u043c\u043d\u0438\u0442\u044c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u0432 \u0438\u0437 \u0438\u043d\u0441\u0442\u0438\u0442\u0443\u0442\u0430 \u0438 \u0430\u043a\u043a\u0443\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e \u043e\u0431\u043e\u0439\u0442\u0438 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043e\u043a\u043e\u043b\u043e \u043d\u0443\u043b\u044f.<\/p>\n<p>\u0421 \u043b\u043e\u0433\u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u043e\u043c \u043e\u0442 \u043c\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0430\u044f \u0438\u0441\u0442\u043e\u0440\u0438\u044f (\u043f\u0440\u0430\u0432\u0434\u0430, \u0442\u0443\u0442 \u044f \u0443\u0436\u0435 \u043d\u0438\u0447\u0435\u0433\u043e \u043d\u0435 \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434\u0438\u043b, \u0433\u0434\u0435-\u0442\u043e \u043d\u0430\u0448\u0451\u043b \u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u0443\u044e \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0443 \u0438 \u043f\u043e\u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b \u043f\u043e\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u043e\u043a\u0440\u0443\u0433 \u043d\u0443\u043b\u044f:<\/p>\n<pre><code class=\"scala\">  def log(): Bivector =     val scalar = s     val lenXYZ = Math.sqrt(xy * xy + xz * xz + yz * yz)     val angle = Math.atan2(lenXYZ, scalar)      val a = 1.0 \/ (1.0 - scalar * scalar) \/\/ 1 \/ sin^2      val b = if (Math.abs(angle) > 1e-5) { \/\/ angle \/ sin(angle)       angle * Math.sqrt(a)     } else {       1.0 + angle * angle \/ 6.0     }      val c = if (Math.abs(angle) > 1e-5) {       a * i * (1.0 - scalar * b)     } else {       (1.0 + angle * angle \/ 2.0) * i \/ 3.0     }      Bivector(       wx = (b * wx + c * yz),       wy = (b * wy - c * xz),       wz = (b * wz + c * xy),       xy = b * xy,       xz = b * xz,       yz = b * yz,     ) <\/code><\/pre>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c \u0447\u0442\u043e \u043e\u043d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b &#8212; \u044d\u0442\u043e \u0432\u0437\u0430\u0438\u043c\u043d\u043e \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0435 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438.<\/p>\n<h2>\u0424\u0438\u0437\u0438\u043a\u0430<\/h2>\n<p>\u041f\u0440\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043c \u0447\u0442\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u043b\u043e \u0447\u0443\u0432\u0441\u0442\u0432\u043e, \u0447\u0442\u043e \u044f \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0436\u0443 \u043c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u043a\u0443 \u0437\u0430\u043d\u043e\u0432\u043e \u0432 \u0448\u043a\u043e\u043b\u0435 \u0432 \u0448\u0435\u0441\u0442\u043e\u043c \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0435. \u041d\u043e\u0432\u044b\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b, \u043d\u043e\u0432\u044b\u0435 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u0438\u044f&#8230; \u0425\u043e\u0442\u044f \u0441\u0443\u0442\u044c \u0440\u043e\u0432\u043d\u043e \u0442\u0430 \u0436\u0435.<\/p>\n<h3>Force + torque = forque<\/h3>\n<p>\u0412 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0444\u0438\u0437\u0438\u043a\u0435 \u043d\u0435\u043b\u044c\u0437\u044f \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0438\u043b\u044b, \u043d\u0430\u0434\u043e \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0438\u0445 \u043f\u0440\u0438\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0442\u0435\u043b\u043e \u0441\u0432\u0435\u0440\u0445\u0443 \u0442\u044f\u043d\u0443\u0442 \u0432\u043f\u0440\u0430\u0432\u043e, \u0430 \u0441\u043d\u0438\u0437\u0443 &#8212; \u0432\u043b\u0435\u0432\u043e, \u0442\u043e \u043e\u043d\u043e, \u0445\u043e\u0442\u044c \u043d\u0438\u043a\u0443\u0434\u0430 \u0438 \u043d\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0435\u0442\u0438\u0442, \u043d\u0430\u0447\u043d\u0451\u0442 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f.<\/p>\n<p>\u0412 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0435 \u0441\u0438\u043b\u0430 &#8212; \u044d\u0442\u043e \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0432 \u043d\u0451\u043c \u0437\u0430\u043a\u043e\u0434\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u044b \u0438 \u0441\u0438\u043b\u0430 \u0438 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0441\u0438\u043b\u044b. \u042d\u0442\u0438 \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0434\u0440\u0443\u0433 \u0441 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u043c \u0438 \u0432\u0441\u0451 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u043e! \u0422\u0430\u043a\u0443\u044e \u043a\u043e\u043c\u0431\u0438\u043d\u0430\u0446\u0438\u044e \u0441\u0438\u043b\u044b \u0438 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430 (force + torque) \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 forque.<\/p>\n<p>\u041a\u0430\u043a \u0441\u0438\u043b\u0443 \u0441\u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u0442\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c? \u041d\u0430 \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c \u0434\u0435\u043b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e &#8212; \u043a\u0430\u043a \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439. \u0412\u044b\u0448\u0435 \u0443\u0436\u0435 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u0433\u0434\u0435 \u043b\u0438\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 \u0441\u0434\u0432\u0438\u0433. \u0422\u0430\u043a \u0432\u043e\u0442, \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 &#8212; \u044d\u0442\u043e \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0430 \u0441\u0434\u0432\u0438\u0433 &#8212; \u044d\u0442\u043e \u0441\u0438\u043b\u0430.<\/p>\n<p>\u0417\u0430\u043a\u043e\u043d \u041d\u044c\u044e\u0442\u043e\u043d\u0430 \u0442\u043e\u0436\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0434\u0451\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u043a\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"F = ma\" alt=\"F = ma\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a\/a6\/a6c\/a6c7acfc672d8535b8d9d849465f458e.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"F = pos \\cdot ma\" alt=\"F = pos \\cdot ma\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d6\/d60\/d603d901040db0ecb85bd96bc8793269.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<pre><code class=\"scala\">pos = MultiVector(     wxy -> -pos.z     wxz -> pos.y     wyz -> -pos.x     xyz -> 1.0 ) a = MultiVector(     x -> a.x     y -> a.y     z -> a.z ) F = (a dot pos * mass) = MultiVector(     wx -> (mass * pos.y * a.z - mass * pos.z * a.y)     wy -> (mass * pos.z * a.x - mass * pos.x * a.z)     wz -> (mass * pos.x * a.y - mass * pos.y * a.x)     xy -> mass * a.z     xz -> -mass * a.y     yz -> mass * a.x ) F.dual = MultiVector(     wx -> mass * a.x     wy -> mass * a.y     wz -> mass * a.z     xy -> (mass * pos.x * a.y - mass * pos.y * a.x)     xz -> (mass * pos.x * a.z - mass * pos.z * a.x)     yz -> (mass * pos.y * a.z - mass * pos.z * a.y) ) <\/code><\/pre>\n<p>\u0412 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0430\u0445 xy, xz, yz \u0437\u0430\u043a\u043e\u0434\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043c\u043f\u0443\u043b\u044c\u0441, \u0432 wx, wy, wz &#8212; \u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440\u0430 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442.<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u0432 \u043a\u043d\u0438\u0436\u043a\u0435 &#171;May be Forque Be with You&#187;, <a href=\"https:\/\/bivector.net\/PGADYN.html\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u043b\u0435\u0436\u0430\u0449\u0435\u0439 \u043d\u0430 bivector.net<\/a> \u043d\u0430 \u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0438\u0446\u0435 34 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043a\u0440\u0430\u0441\u0438\u0432\u044b\u0435 \u0434\u0438\u0430\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u043a\u0438 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u0447\u0442\u043e \u0447\u0435\u043c\u0443 \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043d\u043e \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0447\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e \u044f \u0438\u0445 \u043d\u0435\u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u043f\u0440\u043e\u0447\u0443\u0432\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u043b. \u0422\u0438\u043f\u0430 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0438 \u0441\u0438\u043b\u0430 \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b \u0443\u0433\u043b\u043e\u0432\u043e\u0439 \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438, \u0430 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440 \u0438\u043d\u0435\u0440\u0446\u0438\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442 \u043e\u0434\u043d\u0443 \u0432 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0435.<\/p>\n<h3>\u041c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u0438\u043c\u043f\u0443\u043b\u044c\u0441<\/h3>\n<p>\u0412 \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0444\u0438\u0437\u0438\u043a\u0435 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0438\u043d\u0435\u0440\u0446\u0438\u0438 \u044d\u0442\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b \u043e\u0442 mr^2, \u0433\u0434\u0435 r &#8212; \u0440\u0430\u0441\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043e \u043e\u0441\u0438, \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0434\u0451\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440 \u043c\u0430\u0441\u0441. \u0412 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0435 \u0442\u043e\u0436\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u0430 \u043a\u0430\u043a\u0430\u044f-\u0442\u043e \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u0430\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430, \u043d\u043e \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0430\u043d\u0442\u0438\u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e \u0438 \u0438\u043d\u0435\u0440\u0446\u0438\u044f \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u0441\u043b\u043e\u0436\u043d\u0435\u0435.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"P = I[B] = \\sum m_i x_i \u2228 (x_i \u00d7 B)\" alt=\"P = I[B] = \\sum m_i x_i \u2228 (x_i \u00d7 B)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/63\/632\/632efd30e6e80bda5bca1f272a4e3e0e.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0418\u043c\u0435\u044f \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u0432 \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439-\u0442\u043e \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0435 \u043e\u0442\u0441\u0447\u0451\u0442\u0430, \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043d\u0430\u0439\u0442\u0438 \u0438\u043c\u043f\u0443\u043b\u044c\u0441. \u0421\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u044c \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u0430 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0432 \u0442\u043e\u0439 \u0436\u0435 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0439 \u0421\u041e, \u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0432 \u043d\u0435\u0439 \u0436\u0435.<\/p>\n<h3>\u0423\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f<\/h3>\n<p>\u0412 \u043a\u043d\u0438\u0436\u043a\u0435 \u0432\u0441\u0435 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0435\u043b\u0430\u043b\u0438 \u0432 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0435 \u043e\u0442\u0441\u0447\u0451\u0442\u0430. \u041d\u044e\u0430\u043d\u0441 \u0432 \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0443 \u043d\u0438\u0445 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0430 \u043e\u0442\u0441\u0447\u0451\u0442\u0430 \u043d\u0435\u043f\u043e\u0434\u0432\u0438\u0436\u043d\u0430\u044f, \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u0435\u0442 \u0441 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0442\u0435\u043b\u0430, \u043d\u043e \u043d\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0434\u0432\u0438\u0433\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0438 \u0442\u0435\u043b\u043e \u0441\u043f\u043e\u043a\u043e\u0439\u043d\u043e \u0443\u043b\u0435\u0442\u0438\u0442 \u0438\u0437 \u043d\u0435\u0451. \u0412 \u043a\u043d\u0438\u0436\u043a\u0435 \u043d\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u043e \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043f\u043e\u0434\u0431\u0440\u043e\u0431\u043d\u043e, \u0447\u0435\u043c \u0432 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 &#8212; \u0434\u0435\u0442\u0430\u043b\u0438 \u0438 \u043d\u044e\u0430\u043d\u0441\u044b \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u0438\u0441\u043a\u0430\u0442\u044c \u0442\u0430\u043c. \u042f \u0438\u0445 \u043f\u043e\u0432\u0442\u043e\u0440\u0438\u043b \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u043a\u043e\u0434\u0430 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u043b \u0447\u0442\u043e \u043e\u043d\u0438 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u044e\u0442 \ud83d\ude42<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441 \u0438\u043d\u0434\u0435\u043a\u0441\u043e\u043c w &#8212; \u0432 \u0433\u043b\u043e\u0431\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0435 \u043e\u0442\u0441\u0451\u0442\u0447\u0430, \u0441 \u0438\u043d\u0434\u0435\u043a\u0441\u043e\u043c b &#8212; \u0432 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439.<\/p>\n<p>\u041e\u043d\u0438 \u0431\u0435\u0440\u0443\u0442 \u0437\u0430\u043a\u043e\u043d \u041d\u044c\u044e\u0442\u043e\u043d\u0430 \u0438 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u0443\u044e\u0442 \u0435\u0433\u043e (\u043f\u0440\u044f\u043c \u0432 \u0442\u0435\u0440\u043c\u0438\u043d\u0430\u0445 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b)<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"\\dfrac{d}{dt} P = F\" alt=\"\\dfrac{d}{dt} P = F\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5\/58\/587\/587697b81b2ac134973396fe56a63298.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"M (I_b[B_b] \u00d7 B + I_b[B'_b]) M^\u2020 = F_w \" alt=\"M (I_b[B_b] \u00d7 B + I_b[B'_b]) M^\u2020 = F_w \" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4\/4f\/4f8\/4f8c92f26eab55095b662558ec152a13.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"I_b[B_b] \u00d7 B + I_b[B'_b] = F_b \" alt=\"I_b[B_b] \u00d7 B + I_b[B'_b] = F_b \" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/83\/83a\/83a44b1d1ffcaabc44c54792c2e08fe9.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"I_b[B'_b]) = F_b - I_b[B_b] \u00d7 B\" alt=\"I_b[B'_b]) = F_b - I_b[B_b] \u00d7 B\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/6d\/6da\/6da69682061b9acd77ed00970737896e.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"I_b[B'_b]) = F_b + B \u00d7 I_b[B_b]\" alt=\"I_b[B'_b]) = F_b + B \u00d7 I_b[B_b]\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/94\/94f\/94f9ee717b5262107d6b9b43960538e0.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"B'_b = I_b^{-1}[F_b + B \u00d7 I_b[B_b]] \" alt=\"B'_b = I_b^{-1}[F_b + B \u00d7 I_b[B_b]] \" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/87\/87b\/87bbaf13faf54c7183641a1b8d4b0ece.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0413\u043b\u043e\u0431\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0438\u0434\u0435\u044f \u0432 \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440 \u0438\u043d\u0435\u0440\u0446\u0438\u0438 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u043a \u0434\u0438\u0430\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0432\u0438\u0434\u0443, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0432\u044b\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0443 \u043e\u0442\u0441\u0447\u0451\u0442\u0430. \u0412 \u043c\u043e\u0451\u043c \u043a\u043e\u0434\u0435 \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441 \u0434\u043b\u044f \u0438\u043d\u0435\u0440\u0446\u0438\u0438 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 <a href=\"https:\/\/github.com\/Kright\/ScalaGameMath\/blob\/master\/pga3d\/src\/main\/scala\/com\/github\/kright\/pga3d\/Inertia.scala\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0442\u0430\u043a<\/a><\/p>\n<p>\u0412 \u0438\u0442\u043e\u0433\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0431\u0443\u0434\u0443\u0442 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0435\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"B_b' = I_b^{-1}[B_b \u00d7 I[B_b] + F_b]\" alt=\"B_b' = I_b^{-1}[B_b \u00d7 I[B_b] + F_b]\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4\/46\/46d\/46d2f33f1d181fb19d7200cb46ab8369.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"M' = \\dfrac{1}{2}MB_b\" alt=\"M' = \\dfrac{1}{2}MB_b\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/69\/693\/6939f8597370bb89f27b1ae2a22e0f1f.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u0447\u0451\u043c \u0432 \u043d\u0438\u0445 \u0437\u0430\u043a\u043e\u0434\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043e \u0438 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0435 \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0438 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435! \u0412\u0441\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u0447\u0451\u0442\u044b \u043f\u0440\u043e\u0432\u043e\u0434\u044f\u0442\u0441\u044f \u0432 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0435 \u043e\u0442\u0441\u0447\u0451\u0442\u0430, \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e\u0434\u044b \u0432 \u043d\u0435\u0451 \u0438 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043c\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430 M.<\/p>\n<p>\u0424\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u0441\u0442\u0440\u0430\u0448\u043d\u043e\u0432\u0430\u0442\u043e &#8212; \u043f\u043e \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0438\u043c\u043f\u0443\u043b\u044c\u0441, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u0435\u0446\u0435\u0441\u0441\u0438\u044f \u0438 \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u044f\u044f \u0441\u0438\u043b\u0430, \u0430 \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c \u0432\u0441\u0451 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0442\u043e\u0439 \u0436\u0435 \u0438\u043d\u0435\u0440\u0446\u0438\u0438 \u043a\u043e\u043d\u0432\u0435\u0440\u0442\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e \u0432 \u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u0438\u0435.<br \/> \u041d\u043e \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0435\u0451 \u0441\u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u0442\u044c \u0432 \u043a\u043e\u043c\u043f\u0430\u043a\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0438\u0434 \u0438 \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0435\u0440\u0442\u044c \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 c \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0430\u043c\u0438 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432, \u0442\u043e \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0435\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439 \u043d\u0435 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0443\u0436 \u0438 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0435:<\/p>\n<pre><code class=\"scala\">case class Inertia(mass: Double,                    mryz: Double,                    mrxz: Double,                    mrxy: Double):   ...   def getAcceleration(localB: Bivector, localForque: Bivector): Bivector =     Bivector(       wx = localForque.yz \/ mass + localB.wy * localB.xy + localB.wz * localB.xz,       wy = -localForque.xz \/ mass + localB.wz * localB.yz - localB.wx * localB.xy,       wz = localForque.xy \/ mass - localB.wx * localB.xz - localB.wy * localB.yz,       xy = (localForque.wz + localB.xz * localB.yz * mrxz - localB.xz * localB.yz * mryz) \/ mrxy,       xz = (-localForque.wy + localB.xy * localB.yz * mryz - localB.xy * localB.yz * mrxy) \/ mrxz,       yz = (localForque.wx + localB.xy * localB.xz * mrxy - localB.xy * localB.xz * mrxz) \/ mryz,     ) <\/code><\/pre>\n<p>\u0412 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0440\u0430 \u043c\u043e\u0442\u043e\u0440 M \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0443\u043f\u043e\u043b\u0437\u0430\u0442\u044c \u043e\u0442 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0438\u0434\u0430 \u0438 \u043d\u0435\u043f\u043b\u043e\u0445\u043e \u0431\u044b \u0435\u0433\u043e \u0432\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0442\u044c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e. (MM\u2020) \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u043e \u0431\u044b\u0442\u044c \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0435. \u041d\u0430\u0432\u0435\u0440\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b \u0434\u043e\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0430\u043d\u0442\u0443 \u043d\u0435 \u0444\u0430\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043d\u043e \u043c\u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0449\u0435 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043c\u043e\u0442\u043e\u0440, \u0447\u0435\u043c \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c \u0437\u0430\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0435\u0439 \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u0442\u043e\u0433\u043e, \u0447\u0442\u043e \u044f \u043d\u0430 \u043d\u0435\u0433\u043e \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0443. \u041c\u0430\u043b\u043e \u043b\u0438 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0443\u0434\u0440\u0435\u0439\u0444\u0443\u0435\u0442 \u043a\u0443\u0434\u0430-\u043d\u0438\u0431\u0443\u0434\u044c \u0432 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0438\u043b\u0438 \u043a \u043d\u0443\u043b\u044e \u0438 \u0432\u0441\u0451 \u0440\u0430\u0437\u0432\u0430\u043b\u0438\u0442\u0441\u044f.<\/p>\n<h3>\u041a\u0438\u043d\u0435\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u044d\u043d\u0435\u0440\u0433\u0438\u044f<\/h3>\n<p>\u041c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e (\u0435\u0449\u0451 \u0440\u0430\u0437 \u043d\u0430\u043f\u043e\u043c\u043d\u044e, \u0447\u0442\u043e \u0432\u0441\u0451 \u0432 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0421\u041e)<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"P_b = I_b[B_b]\" alt=\"P_b = I_b[B_b]\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1\/11\/117\/1172220268a3aae37b2d043485264592.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0412 \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0444\u0438\u0437\u0438\u043a\u0435 \u044d\u043d\u0435\u0440\u0433\u0438\u044e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u0442\u044c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"P = mv, E = \\dfrac{mv^2}{2} = \\dfrac{Pv}{2}\" alt=\"P = mv, E = \\dfrac{mv^2}{2} = \\dfrac{Pv}{2}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2\/21\/217\/21714cbc4d98b246efe6604f26742604.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<p>\u0412 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u0433\u043b\u0435\u0431\u0440\u0435 \u043f\u043e\u0447\u0442\u0438 \u0442\u0430\u043a \u0436\u0435:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula\" source=\"E = \\dfrac{B_b \u2228 I_b[B_b]}{2}\" alt=\"E = \\dfrac{B_b \u2228 I_b[B_b]}{2}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/dd\/ddc\/ddce37730dc0f45024ba8b4cdf1280f4.svg\" width=\"auto\" height=\"auto\"\/><\/p>\n<h2>\u0425\u043e\u0447\u0435\u0448\u044c \u0440\u0430\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f &#8212; \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0439 \u0441\u0430\u043c<\/h2>\n<p>\u042f \u043d\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u043b <a href=\"https:\/\/github.com\/Kright\/ScalaGameMath\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0441\u0432\u043e\u044e \u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a\u0443<\/a> \u0434\u043b\u044f \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b, \u0438 \u043a\u0430\u0436\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u043d\u044f\u043b \u0432 \u0447\u0451\u043c \u043f\u043e\u0434\u0432\u043e\u0445 \u0438 \u043f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443 \u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a\u0438 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u044f\u0442 \u0441\u0442\u0440\u0430\u0448\u043d\u043e\u0432\u0430\u0442\u043e.<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f PGA \u0432 3d \u0443 \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f 16 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442, \u0445\u0440\u0430\u043d\u0438\u0442\u044c \u0438\u0445 \u0432\u0441\u0435 \u0438 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438 &#8212; \u043d\u0435\u044d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e. \u0412\u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043e\u043a, \u043d\u0435\u043f\u043e\u0434\u0433\u043e\u0442\u043e\u0432\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0447\u0435\u043b\u043e\u0432\u0435\u043a, \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0432 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430, \u0432\u0440\u044f\u0434 \u043b\u0438 \u0441\u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0436\u0435 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u043e\u043d \u0442\u0430\u043c \u0432\u0438\u0434\u0438\u0442. \u0418 \u0431\u043e\u043d\u0443\u0441\u043e\u043c \u0432 \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0430\u0445 \u043c\u043e\u0433\u0443\u0442 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u043d\u0443\u043b\u0435\u0439 \u043f\u043e\u0432\u044b\u043b\u0430\u0437\u0438\u0442\u044c \u043c\u0435\u043b\u043a\u0438\u0435 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0438 \u0442\u0438\u043f\u0430 1e-15.<\/p>\n<p>\u041c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u0439\u0442\u0438 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u043c \u043f\u0443\u0442\u0451\u043c \u0438 \u043f\u0440\u0438\u0434\u0443\u043c\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a\u0438\u0435-\u0442\u043e \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u044b\u0435 \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u044b (\u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430, \u043c\u043e\u0442\u043e\u0440, \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d, \u043f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440 &#8230; ). \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0434\u043b\u044f \u0445\u0440\u0430\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439 \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0451\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b, \u0430 \u0434\u043b\u044f \u043c\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430 &#8212; \u0432\u043e\u0441\u044c\u043c\u0438. \u041d\u043e \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043f\u0440\u0438\u0434\u0451\u0442\u0441\u044f \u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c (\u0438\u043b\u0438 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c) \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0438\u0437\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438 \u0434\u043b\u044f \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0441\u043e\u0447\u0435\u0442\u0430\u043d\u0438\u0439 \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u043e\u0432.<\/p>\n<p>\u042f \u0432 \u0438\u0442\u043e\u0433\u0435 \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u043e\u0432\u0430\u043b \u0438 \u0442\u043e\u0442 \u0438 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434:<br \/> \u041d\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u043b \u043d\u0435\u044d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u0443\u044e, \u043d\u043e \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043a\u043e\u043c\u043f\u0430\u043a\u0442\u043d\u0443\u044e \u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a\u0443 \u0434\u043b\u044f \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 (\u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c ga).<\/p>\n<p>\u0421 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0439 \u0431\u0438\u0431\u043b\u0438\u043e\u0442\u0435\u043a\u0438 \u0438 \u0441\u0430\u043c\u043e\u043f\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0438\u043c\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043d\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u043b \u043a\u043e\u0434\u043e\u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u044e \u0434\u043b\u044f 3d \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044f (pga3CodeGen \u0438 pga3).<\/p>\n<p>\u0412\u043e \u0438\u043c\u044f \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u044b \u043a\u043e\u0434\u0430 (\u0435\u0433\u043e \u0438 \u0442\u0430\u043a \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043d\u0430\u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c) \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u043b \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u044b \u043d\u0435\u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c\u044b\u043c\u0438, \u043a\u0430\u0436\u0435\u0442\u0441\u044f escape analysis \u0432 JVM \u0441 \u043d\u0438\u043c\u0438 \u043d\u0435\u043f\u043b\u043e\u0445\u043e \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f.<\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e \u043a\u0440\u0443\u0442\u043e, \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0435\u0441\u043b\u0438 \u044f \u043d\u0430\u043f\u0438\u0448\u0443 \u043a\u043e\u0434 \u0442\u0438\u043f\u0430 <code>point.dot(plane)<\/code>, \u0442\u043e IDE \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0436\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u043e\u043c \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440. \u0418 \u0432\u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043e\u043a \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043f\u0440\u044b\u0433\u043d\u0443\u0442\u044c \u043a <a href=\"https:\/\/github.com\/Kright\/ScalaGameMath\/blob\/master\/pga3d\/src\/main\/scala\/com\/github\/kright\/pga3d\/Point.scala#L424\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u043e\u043c\u0443 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0443<\/a> \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043d\u0430 \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u044c \u0438 \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u043e\u043d \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f.<\/p>\n<p>\u0423 \u043c\u0435\u043d\u044f \u0432 \u043a\u043e\u0434\u0435 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0442\u0435\u0441\u0442\u044b, <a href=\"https:\/\/github.com\/Kright\/ScalaGameMath\/blob\/master\/pga3d\/src\/test\/scala\/com\/github\/kright\/pga3d\/PGA3DInertiaTest.scala\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0441\u0438\u043c\u0443\u043b\u0438\u0440\u0443\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0435\u043b<\/a> \u0438 \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u044e\u0449\u0438\u0435 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0443. \u0412\u0440\u043e\u0434\u0435 \u0431\u044b \u0432\u0441\u0451 \u043e\u043a. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0434\u043b\u044f \u0434\u0438\u0444\u0444\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435-\u041a\u0443\u0442\u0442\u044b \u0447\u0435\u0442\u0432\u0451\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430, \u0442\u043e \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0430 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0438\u043b\u043b\u0438\u0430\u0440\u0434\u043d\u043e\u0439.<\/p>\n<p>\u0412 \u043c\u043e\u0435\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u043f\u0440\u043e \u0444\u0438\u0437\u0438\u043a\u0443 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u0435\u043b \u0431\u044b\u043b\u0438 \u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u044b\u0435 \u044d\u043a\u0441\u043f\u0435\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u0438 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u043a \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0436\u0435.<\/p>\n<p>\u041e\u0434\u0438\u043d \u0448\u0430\u0433 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f (\u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u0449\u0438\u0439 \u0438\u0437 \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0451\u0445 \u043c\u0438\u043a\u0440\u043e-\u0448\u0430\u0433\u043e\u0432 \u0441 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u043e\u043c \u0420\u0443\u043d\u0433\u0435-\u041a\u0443\u0442\u0442\u044b) \u043d\u0430 \u043c\u043e\u0451\u043c \u0436\u0435\u043b\u0435\u0437\u0435 \u0437\u0430\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 0.4\u043c\u043a\u0441 &#8212; \u043d\u0435 \u043e\u0431\u0435\u0449\u0430\u044e \u0447\u0442\u043e \u0432\u0441\u0451 \u043f\u043e\u043c\u0435\u0440\u044f\u043d\u043e \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u043e, \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u043d\u0430\u044f \u043e\u0446\u0435\u043d\u043a\u0430 \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b.<\/p>\n<h2>\u0421\u0441\u044b\u043b\u043a\u0438<\/h2>\n<p><a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/articles\/697534\/\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\"><strong>\u0424\u0438\u0437\u0438\u043a\u0430 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u0435\u043b<\/strong><\/a> &#8212; \u0442\u043e \u0436\u0435 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0435, \u043d\u043e \u0432 \u0442\u0435\u0440\u043c\u0438\u043d\u0430\u0445 \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0444\u0438\u0437\u0438\u043a\u0438.<\/p>\n<p><strong>\u041f\u0440\u043e \u0440\u0430\u0437\u043d\u0438\u0446\u0443 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u043c\u0438<\/strong>: <a href=\"https:\/\/math.stackexchange.com\/questions\/4478664\/what-is-the-difference-between-projective-geometric-clifford-algebra-grassman\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">https:\/\/math.stackexchange.com\/questions\/4478664\/what-is-the-difference-between-projective-geometric-clifford-algebra-grassman<\/a><\/p>\n<p>\u0421\u0430\u0439\u0442 \u043f\u0440\u043e PGA \u0438 \u043a\u043d\u0438\u0436\u043a\u0430 \u0441 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438 \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u0435\u043b\u0430 (\u0438 \u0432\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u0442\u0430\u043c \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0435\u0433\u043e \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u043e\u0433\u043e, \u0432\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u044f \u0441\u0441\u044b\u043b\u043a\u0438 \u043d\u0430 \u0432\u0438\u0434\u0435\u043e, \u0442\u0435\u043a\u0441\u0442 \u0438 \u043a\u043e\u0434):<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p>\u0441\u0430\u0439\u0442 <a href=\"https:\/\/bivector.net\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">https:\/\/bivector.net<\/a><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u0448\u043f\u0430\u0440\u0433\u0430\u043b\u043a\u0430: <a href=\"https:\/\/bivector.net\/3DPGA.pdf\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">https:\/\/bivector.net\/3DPGA.pdf<\/a><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u043a\u043d\u0438\u0433\u0430 &#171;May the Forque Be with You&#187; <a href=\"https:\/\/bivector.net\/PGADYN.html\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">https:\/\/bivector.net\/PGADYN.html<\/a>, <a href=\"https:\/\/bivector.net\/PGAdyn.pdf\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">https:\/\/bivector.net\/PGAdyn.pdf<\/a><\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p>\u0412\u0438\u0434\u0435\u043e \u043d\u0430 \u044e\u0442\u0443\u0431\u0435:<\/p>\n<ol>\n<li>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=2AKt6adG_OI\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=2AKt6adG_OI<\/a><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=0i3ocLhbxJ4\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=0i3ocLhbxJ4<\/a><\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><a href=\"https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=LQyKb0Flm3w&amp;list=PLsSPBzvBkYjxrsTOr0KLDilkZaw7UE2Vc&amp;index=3\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">SIBGRAPI2021 \u043f\u0440\u043e \u0441\u0438\u043b\u044b, \u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0438\u043d\u0435\u0440\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u0442.\u043f.<\/a><\/p>\n<\/li>\n<\/ol>\n<p>\u0414\u043e\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0430\u044f \u043a\u043d\u0438\u0436\u043a\u0430 \u043f\u0440\u043e \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u044b: <a href=\"http:\/\/www.jaapsuter.com\/geometric-algebra.pdf\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">Geometric Algebra Primer<\/a><\/p>\n<p>\u0427\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c \u043d\u0435 \u0441\u043e\u0432\u0435\u0442\u0443\u044e: \u043a\u043d\u0438\u0433\u0430 Hestenes &#8212; New Foundations for Classical Mechanics (geometric algebra). \u041d\u0435 \u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u044f \u043d\u0430 \u043d\u0430\u0437\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435, \u0430\u0432\u0442\u043e\u0440 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442 GA \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0434\u043b\u044f \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u043d\u0430 \u043c\u043e\u0439 \u0432\u0437\u0433\u043b\u044f\u0434 \u043a\u043d\u0438\u0436\u043a\u0430 \u0437\u0430\u0441\u0442\u0440\u044f\u043b\u0430 \u0433\u0434\u0435-\u0442\u043e \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0444\u0438\u0437\u0438\u043a\u043e\u0439 \u0438 \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u044f\u043c\u0438 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b.<\/p>\n<p>\u0427\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c \u0441 \u043e\u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e, \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f: <a href=\"https:\/\/projectivegeometricalgebra.org\/\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">https:\/\/projectivegeometricalgebra.org\/<\/a> \u041d\u0430 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u0430\u0439\u0442\u0435 &#171;\u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435&#187; \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u0438 \u043d\u0430\u043e\u0431\u043e\u0440\u043e\u0442. \u0418\u0437-\u0437\u0430 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043c\u043d\u043e\u0433\u0438\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b &#171;\u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u0451\u0440\u043d\u0443\u0442\u044b&#187; &#8212; \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0430\u043d\u0442\u0438-\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u0430 &#8212; \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d, \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u043f\u043b\u043e\u0441\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438 &#8212; \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430 \u0438 \u0442.\u043f. \u0412\u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043e\u043a, \u043d\u0430 <a href=\"http:\/\/bivector.net\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">bivector.net<\/a> \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441 wxyz, \u0430 \u0443 \u043d\u0438\u0445 &#8212; xyzw, \u0438\u0437-\u0437\u0430 \u0447\u0435\u0433\u043e I = -I \u0438 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u044b \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u044f\u0442 \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u043d\u043e \u0438\u043d\u0430\u0447\u0435.<\/p>\n<p>wikipedia: <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Geometric_algebra\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">geometric algebra<\/a>, <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Geometric_algebra\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">exterior algebra<\/a><\/p>\n<p>arxiv: <a href=\"https:\/\/arxiv.org\/abs\/1901.05873\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">Projective geometric algebra: A new framework for doing euclidean geometry<\/a> &#8212; \u0434\u043e\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e \u0432\u044b\u0441\u043e\u043a\u0440\u043e\u0443\u0440\u043e\u0432\u043d\u0435\u0432\u044b\u0439 \u0432\u0437\u0433\u043b\u044f\u0434 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0435\u0435<\/p>\n<p>habr: <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/articles\/732926\/\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u041e \u0441\u043f\u0438\u043d\u043e\u0440\u0430\u0445 \u0447\u0435\u043b\u043e\u0432\u0435\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u043c \u044f\u0437\u044b\u043a\u043e\u043c<\/a> &#8212; \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u044f \u0434\u043b\u044f \u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f \u043a\u0440\u0443\u0433\u043e\u0437\u043e\u0440\u0430 \u043e \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0435\u0449\u0451 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0432 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0435.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p><!----><!----><\/div>\n<p><!----><!----><br \/> \u0441\u0441\u044b\u043b\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u043e\u0440\u0438\u0433\u0438\u043d\u0430\u043b \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438 <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/articles\/818933\/\"> https:\/\/habr.com\/ru\/articles\/818933\/<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<div><!--[--><!--]--><\/div>\n<div id=\"post-content-body\">\n<div>\n<div class=\"article-formatted-body article-formatted-body article-formatted-body_version-2\">\n<div xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1999\/xhtml\">\n<p>\u042d\u0442\u043e\u0442 \u0442\u0435\u043a\u0441\u0442 \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0438\u0437 \u0442\u0440\u0451\u0445 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0435\u0439. \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043a\u0440\u0430\u0442\u043a\u043e \u0440\u0430\u0441\u0441\u043a\u0430\u0436\u0443 \u043f\u0440\u043e \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0443 \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0437\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0438. \u041f\u043e\u0442\u043e\u043c \u0440\u0430\u0441\u0441\u043a\u0430\u0436\u0443 \u043a\u0430\u043a \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u0437\u044f\u0442\u044c \u043e\u0434\u043d\u0443 \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u0443\u044e \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0443 \u0438 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0435\u0451 \u0434\u043b\u044f \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u0435\u043b. \u0418 \u0432\u0438\u0448\u0435\u043d\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u0442\u043e\u0440\u0442\u0435 &#8212; \u043f\u043e\u043a\u0430\u0436\u0443, \u043a\u0430\u043a \u0431\u0443\u0434\u0443\u0442 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0444\u0438\u0437\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u0441\u0443\u0449\u043d\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439 \u0442\u0438\u043f\u0430 \u0441\u0438\u043b\u044b \u0438 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430, \u0438\u043c\u043f\u0443\u043b\u044c\u0441\u0430, \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430 \u0438\u043d\u0435\u0440\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u0435\u043b.<\/p>\n<p>\u0412 \u0440\u0443\u0441\u0441\u043a\u043e\u044f\u0437\u044b\u0447\u043d\u043e\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043d\u0435\u0442\u0435 \u043d\u0435 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u043d\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0430 \u044d\u0442\u0443 \u0442\u0435\u043c\u0443, \u0430 \u0442\u0430 \u0447\u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043d\u0430 \u0430\u043d\u0433\u043b\u0438\u0439\u0441\u043a\u043e\u043c &#8212; \u0434\u043e\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e \u0440\u0430\u0437\u0440\u043e\u0437\u043d\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0438 \u0441 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0439 \u0442\u0435\u0440\u043c\u0438\u043d\u043e\u043b\u043e\u0433\u0438\u0435\u0439 \u0432 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0438\u0441\u0442\u043e\u0447\u043d\u0438\u043a\u0430\u0445.<\/p>\n<p>\u0412\u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043e\u043a, \u043c\u0435\u0441\u0442\u0430\u043c\u0438 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0443 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0434\u043b\u044f \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 3\u0434 \u0431\u0435\u0437 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0438 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0443\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u043d\u0435 \u0441\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0442\u0435\u0440\u043d\u0438\u043e\u043d\u043e\u0432. \u041d\u0430 \u043c\u043e\u0439 \u0432\u0437\u0433\u043b\u044f\u0434, \u0441\u0430\u043c\u044b\u0439 \u0441\u043e\u043a &#8212; \u0432 \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0441\u043a\u043e\u043c\u0431\u0438\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0435\u043b\u0430 \u0432 \u043e\u0434\u043d\u0443 \u0441\u0443\u0449\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e \u0441\u0433\u0440\u0443\u043f\u043f\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441\u0438\u043b\u0443 \u0438 \u043a\u0440\u0443\u0442\u044f\u0449\u0438\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u044b\u0435 \u0443\u043d\u0438\u0432\u0435\u0440\u0441\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0449\u0438\u0435 \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u0432\u0441\u0451.<\/p>\n<p>\u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434 \u0441 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u043e\u0439 \u043a\u0430\u0436\u0435\u0442\u0441\u044f \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0444\u0443\u043d\u0434\u0430\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c: \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u043d\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0432\u044f\u0437\u043d\u0430 \u043a \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443 \u0438\u0437\u043c\u0435\u0440\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0438 \u043e\u043d\u0430 \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u043e \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u043b\u044e\u0431\u043e\u0439 \u043c\u0438\u0440 &#8212; \u0434\u0432\u0443\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0439, \u0442\u0440\u0451\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0439, \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0451\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0439 \u0438 \u0442.\u043f.<\/p>\n<p>\u042f \u0441\u0430\u043c \u043d\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0434\u0443\u043c\u0430\u043b \u043d\u0438\u0447\u0435\u0433\u043e \u043d\u043e\u0432\u043e\u0433\u043e, \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0440\u0430\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u043b\u0441\u044f \u0441 \u0442\u0435\u043c \u0447\u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c. \u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u044b\u043c \u0438\u0441\u0442\u043e\u0447\u043d\u0438\u043a\u043e\u043c \u0432\u0434\u043e\u0445\u043d\u043e\u0432\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u0437\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441\u0430\u0439\u0442 <a href=\"https:\/\/bivector.net\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">bivector.net<\/a> &#8212; \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0442\u0430\u043c \u0430\u0432\u0442\u043e\u0440\u044b \u043f\u043e\u0448\u043b\u0438 \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0434\u0430\u043b\u0435\u043a\u043e, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043d\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u043c\u0438\u043d\u0438-\u043a\u043d\u0438\u0436\u043a\u0443 \u043f\u0440\u043e \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0438\u043d\u0435\u0440\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0432\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u0435\u043b. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0431\u044b \u043d\u0435 \u043e\u043d\u0438 &#8212; \u043d\u0435 \u0443\u0432\u0435\u0440\u0435\u043d, \u0447\u0442\u043e \u044f \u0441\u043c\u043e\u0433 \u0431\u044b \u0434\u043e\u0434\u0443\u043c\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0434\u043e \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u0441\u0430\u043c.<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u043b\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0433\u043e\u0434\u0430 \u043d\u0430\u0437\u0430\u0434 \u044f \u043d\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u043b <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/articles\/697534\/\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u044e \u043f\u0440\u043e \u0444\u0438\u0437\u0438\u043a\u0443 \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u044f 3\u0434 \u0442\u0435\u043b<\/a> &#8212; \u044d\u0442\u0430 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u044f \u0432\u043e \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e\u043c \u0441 \u043d\u0435\u0439 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043a\u043b\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0438 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0432\u0437\u0433\u043b\u044f\u043d\u0443\u0442\u044c \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0435\u0435 \u0441 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u044b.<\/p>\n<h2>\u0413\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0437\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0438<\/h2>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0412\u0430\u043c \u0432\u0441\u0451 \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c\u043e &#8212; \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442\u0435 \u043b\u0438\u0441\u0442\u0430\u0442\u044c \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0438 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u044d\u0442\u0443 \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u0441\u043f\u0438\u0441\u043e\u043a \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c\u044b\u0445 \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439.<\/p>\n<h3>\u0412\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435<\/h3>\n<p>\u0412 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0435 3\u0434 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0441 \u043a\u043e\u043e\u0440\u0434\u0438\u043d\u0430\u0442\u0430\u043c\u0438 x,y,z \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p>\u0411\u0443\u043a\u043e\u0432\u043a\u043e\u0439 e \u0441 \u0438\u043d\u0434\u0435\u043a\u0441\u043e\u043c \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0441\u044f \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b. \u0412\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0430\u044f \u0441\u0443\u043c\u043c\u0430 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432.<\/p>\n<p>\u0412 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0435 \u0435\u043c\u0443 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c 1-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0449\u0438\u0439\u0441\u044f \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a \u0436\u0435. \u0421\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0442\u0438\u043f\u0430 \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c 1-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0438\u043b\u0438 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0442\u044c \u043d\u0430 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440 \u043e\u0441\u0442\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0442\u0435\u043c\u0438 \u0436\u0435.<\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0443 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u043d\u0430 \u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b. \u0412 \u043d\u0435\u0439 \u0432\u0432\u043e\u0434\u044f\u0442 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 c \u0442\u0430\u043a\u0438\u043c \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e\u043c:<\/p>\n<p>\u041e\u043d\u043e \u0430\u043d\u0442\u0438\u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e, \u0438 \u0432 \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043d\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043c\u0443\u0442\u0430\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e (ab != ba). \u041d\u043e \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u0438 \u0434\u0430\u043b\u0435\u0435 \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u043e\u0441\u0442\u0430\u043d\u0435\u0442\u0441\u044f \u0438 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0430\u0441\u0441\u043e\u0446\u0438\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c (ab)c = a(bc) \u0438 \u0434\u0438\u0441\u0442\u0440\u0438\u0431\u0443\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c (a+b)c = ac + bc, a(b+c) = ab + ac.<\/p>\n<p>\u0418\u0437 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0441 \u0441\u0430\u043c\u0438\u043c \u0441\u043e\u0431\u043e\u0439 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \u043d\u0443\u043b\u044e.<\/p>\n<p>\u0410 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u0447\u0442\u043e \u043d\u0435\u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u043e\u0435 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0442\u044c \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0435 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0447\u043a\u0438. \u0418 \u044d\u0442\u043e \u0436\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u0447\u0442\u043e \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439-\u043d\u0438\u0431\u0443\u0434\u044c \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0447\u0435\u043a \u043b\u0438\u0431\u043e \u043e\u0442\u0441\u0443\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442, \u043b\u0438\u0431\u043e \u043f\u0440\u0438\u0441\u0443\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0432 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u043c \u044d\u043a\u0437\u0435\u043c\u043f\u043b\u044f\u0440\u0435.<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0434\u043b\u044f 2\u0434 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044f \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0435 \u0441\u043e\u0447\u0435\u0442\u0430\u043d\u0438\u044f: \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440, \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 Ex, Ey \u0438 \u0438\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 Ex ^ Ey.  \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0438\u043f\u0430 Ex^Ey \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u0432 \u043d\u0451\u043c \u0443\u0447\u0430\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442 \u0434\u0432\u0430 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430. \u0411\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043d\u0438\u0447\u0435\u0433\u043e \u043c\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c.<\/p>\n<p>\u0412 \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435 \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f 3\u0434 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 2^3 = 8 \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442\u043e\u0432 \u0438 \u0441\u0430\u043c\u044b\u043c \u0432\u044b\u0441\u043e\u043a\u043e\u0443\u0440\u043e\u0432\u043d\u0435\u0432\u044b\u043c \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0442\u0440\u0438-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 Ex^Ey^Ez.<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b \u0438\u043d\u0442\u0443\u0438\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e \u043a\u0430\u0436\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u043d\u044b\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0432 \u043e\u0434\u043d\u043e\u043c \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440, 1-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0438 \u0442.\u0434.<br \/> \u041d\u043e \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u0442\u0435 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0442\u043e\u0436\u0435 \u044f\u0432\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u043e\u0439. \u041c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0441\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u0441 \u043c\u043d\u0438\u043c\u044b\u043c \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e: a + bi.<\/p>\n<figure class=\"\"><\/figure>\n<p>\u0412 \u0446\u0435\u043b\u043e\u043c \u0432\u0441\u044f \u044d\u0442\u0430 \u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0446\u0438\u044f \u0441 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0438\u043c\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438 \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u0430.<\/p>\n<p>\u0412\u0432\u0435\u0440\u0445\u0443 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c n-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432, \u0432\u043d\u0438\u0437\u0443 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a \u0436\u0435 n (n-1)-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0438 \u043e\u0434\u0438\u043d n-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u0437\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043e\u043c.<\/p>\n<p>\u0415\u0449\u0451 \u043f\u0440\u0438 \u0436\u0435\u043b\u0430\u043d\u0438\u0438 \u043f\u0440\u0438 \u0432\u0437\u0433\u043b\u044f\u0434\u0435 \u043d\u0430 \u043a\u0430\u0440\u0442\u0438\u043d\u043a\u0443 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0443\u0432\u0438\u0434\u0435\u0442\u044c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u0434\u043b\u044f 2\u0434 \u0438 \u043a\u0443\u0431 \u0434\u043b\u044f 3\u0434.<\/p>\n<p>\u0418 \u0432 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0446\u0438\u043f\u0435 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u0437\u0432\u0430\u0442\u044c \u043c\u043d\u0438\u043c\u043e\u0439 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0435\u0439, \u0442.\u0435., I. \u0412\u0430\u0436\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 &#8212; \u0435\u0441\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b, \u0432 \u043a\u0430\u043a\u043e\u043c \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0435 \u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430, xy = -yx, \u0438 \u0434\u043b\u044f \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0439 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043c\u043d\u0438\u043c\u0430\u044f \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0430 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0434\u043e\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0430 \u043d\u0430 -1.<\/p>\n<p>\u041a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0443\u0447\u0430\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0445 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0432 \u0430\u043d\u0433\u043b\u0438\u0439\u0441\u043a\u043e\u043c \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 grade. \u0422.\u0435., \u0443 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u0430 grade=0, \u0443 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 grade=1, \u0443 \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 &#8212; \u0434\u0432\u0430. \u0415\u0449\u0451 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u0441\u0442\u0440\u0435\u0442\u0438\u0442\u044c 0-blade, 1-blade, 2-blade, \u0433\u0434\u0435 \u043f\u043e\u0434 n-blade \u043f\u043e\u0440\u0430\u0437\u0443\u043c\u0435\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u0443\u044e \u043a\u043e\u043c\u0431\u0438\u043d\u0430\u0446\u0438\u044e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0441 grade=n. \u041c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u0438\u0432\u044b\u0447\u043d\u044b\u0435 \u043d\u0430\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0438\u0437 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b \u044d\u0442\u043e 1-blade \u0438\u043b\u0438 1-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440.<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u044f \u0435\u0441\u0442\u044c \u0440\u0430\u0437\u043d\u0438\u0446\u0430 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c n 1-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0438 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c n-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c, \u043f\u043e\u0434 blade \u0438 grade \u043f\u043e\u0434\u0440\u0430\u0437\u0443\u043c\u0435\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 \u0447\u0443\u0442\u044c-\u0447\u0443\u0442\u044c \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043d\u043e \u044f \u043d\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0443 \u0432 \u044d\u0442\u043e \u0443\u0433\u043b\u0443\u0431\u043b\u044f\u0442\u044c\u0441\u044f.<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430 \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b &#8212; \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0438\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c m-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0438 n-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 (n+m)-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043b\u0438\u0431\u043e \u043d\u043e\u043b\u044c.<\/p>\n<p>\u0412\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c &#171;\u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c&#187; \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u044b\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c. \u0420\u0430\u0437\u043d\u0438\u0446\u0430 \u0432 \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0438 \u0435\u0433\u043e \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 &#8212; \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0430 \u043d\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440.<\/p>\n<h3>\u0412\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435.<\/h3>\n<p>\u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435. \u041e\u043d\u043e \u043d\u0430\u043e\u0431\u043e\u0440\u043e\u0442 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0443\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0430\u0442\u044c \u0433\u0440\u0435\u0439\u0434 (\u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0442\u044c \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044c \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0433\u0440\u0435\u0439\u0434\u043e\u0432 \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432). \u0414\u043b\u044f \u0434\u0432\u0443\u0445 1-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u043e\u043d\u043e \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435. \u0412\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u044b\u0442\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u043d\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0435 &#8212; &#171;\u0432\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u0442&#187; \u0435\u0433\u043e.<\/p>\n<p>\u0422.\u0435.<\/p>\n<p>\u0412\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043c\u0443\u0442\u0430\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e.<\/p>\n<p>\u0415\u0449\u0451 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u0441\u0442\u0440\u0435\u0442\u0438\u0442\u044c \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0441\u0442\u0440\u043e\u0433\u0438\u0439 \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u0433\u0440\u0435\u0439\u0434 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0441\u043b\u0435\u0432\u0430 \u0434\u043e\u043b\u0436\u0435\u043d \u0431\u044b\u0442\u044c \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0447\u0435\u043c \u0433\u0440\u0435\u0439\u0434 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0430. \u0418\u043d\u0430\u0447\u0435 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043d\u0443\u043b\u0451\u043c. \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 grade \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0430 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0433\u0440\u0435\u0439\u0434\u043e\u0432 \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0441\u043b\u0435\u0432\u0430 \u0438 \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0430, \u0431\u0435\u0437 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044f. \u0412 \u043e\u0441\u0442\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c \u043e\u043d \u0432\u0435\u0434\u0451\u0442 \u0441\u0435\u0431\u044f \u0442\u0430\u043a \u0436\u0435 \u0438 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0442\u0435\u043c \u0436\u0435 \u0441\u0430\u043c\u044b\u043c \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0438\u043c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c.<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \u043d\u0443\u043b\u044e:<\/p>\n<p>\u0418 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0441 \u0441\u0430\u043c\u0438\u043c \u0441\u043e\u0431\u043e\u0439 \u044d\u0442\u043e \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0430:<\/p>\n<p>\u041d\u043e \u0443\u0442\u0432\u0435\u0440\u0436\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442-\u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0443 \u043d\u0435 \u0432\u0441\u0435\u0433\u0434\u0430 \u0432\u0435\u0440\u043d\u043e. \u0410\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u043a\u0430\u043a \u043c\u044b \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u044b \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0433\u043e \u0438\u0437 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432.<\/p>\n<p>\u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0434\u043b\u044f \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043e\u0434\u0438\u043d-\u0435\u0434\u0438\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 (\u043d\u0430\u0437\u043e\u0432\u0451\u043c \u0435\u0433\u043e i), \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0432 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u0435 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043c\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0435.<\/p>\n<p>\u0410 \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043c\u044b \u0437\u0430\u0445\u043e\u0442\u0438\u043c \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u041c\u0438\u043d\u043a\u043e\u0432\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e, \u0442\u043e \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0431\u0443\u0434\u0443\u0442<\/p>\n<p>\u0418\u043b\u0438, \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, \u0432 plane-based \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0435 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u044b \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u044b \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0435\u0435 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0432\u044b\u0441\u043e\u043a\u043e\u0443\u0440\u043e\u0432\u043d\u0435\u0432\u043e &#8212; \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b \u0434\u043b\u044f x y z \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u0434\u044f\u0442 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0430 w \u0441 \u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u043c \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043e\u043c \u043d\u0443\u0436\u0435\u043d \u0434\u043b\u044f \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043c\u0435\u0449\u0435\u043d\u0438\u0439. \u0412 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435 \u041c\u0438\u043d\u043a\u043e\u0432\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u044b \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0441 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u043c, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432\u043e &#171;\u0432\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0438&#187; \u0434\u043b\u044f \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u0438 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0442\u0441\u044f \u0433\u0438\u043f\u0435\u0440\u0431\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0438 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441, \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0449\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u041b\u043e\u0440\u0435\u043d\u0446\u0430.<\/p>\n<p>\u041b\u044e\u0431\u043e\u0439 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0442\u0440\u043e\u0439\u043a\u043e\u0439 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b (p, q, r), \u0433\u0434\u0435 p &#8212; \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u043e \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0441 \u0441 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043e\u043c-\u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0435\u0439, q-c \u043c\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0435\u0439 \u0438 r \u0441 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043e\u043c-\u043d\u0443\u043b\u0451\u043c. \u041f\u043e\u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u0435\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c <a href=\"https:\/\/math.stackexchange.com\/questions\/4478664\/what-is-the-difference-between-projective-geometric-clifford-algebra-grassman\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0442\u0443\u0442<\/a><\/p>\n<p>\u041d\u0438\u0436\u0435 \u043c\u044b \u0441\u043e\u0441\u0440\u0435\u0434\u043e\u0442\u043e\u0447\u043c\u0438\u0441\u044f \u043d\u0430 plane based \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0435 \u0434\u043b\u044f 2\u0434 \u0438 \u0434\u043b\u044f 3\u0434, \u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u044b \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 (2, 0, 1) \u0438 (3, 0, 1)<\/p>\n<h3>\u0413\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435<\/h3>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a \u0441\u0443\u043c\u043c\u0430 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0433\u043e \u0438 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0433\u043e. \u0418\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043b\u044e\u0434\u0438 \u043f\u0438\u0448\u0443\u0442 \u0437\u043d\u0430\u0447\u043e\u043a \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0438\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043d\u0435\u0442.<\/p>\n<p>\u041a\u0430\u043a \u043d\u0435\u0442\u0440\u0443\u0434\u043d\u043e \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u0438\u0442\u044c, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043d\u0430\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u0441\u0438\u043c\u0432\u043e\u043b \u2227 \u043d\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0443 \u22c5, \u0442\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u0441\u044f \u27d1<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u0447\u0451\u043c \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e \u0438 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435 \u0430\u043d\u0442\u0438\u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e. \u0418 \u0432 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0446\u0438\u043f\u0435, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0437\u0438\u0442\u044c \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u0435\u0435 \u0438 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435, \u0430 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043d\u0430\u043e\u0431\u043e\u0440\u043e\u0442 &#8212; \u043f\u043e\u0441\u0442\u0443\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u0438\u0437 \u043d\u0435\u0433\u043e \u0432\u044b\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0435\u043d\u0435\u0435 \u0438 \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0435.<\/p>\n<p><strong>ALARM!<\/strong> a \u0438 b &#8212; \u043a\u0430\u043a\u0438\u0435-\u0442\u043e 1-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b. \u0414\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u044d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0432\u0435\u0440\u043d\u043e!<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0434\u0432\u0443\u0445\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044f c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438 e1 \u0438 e2 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0447\u043a\u0430 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0438\u0442 \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<div>\n<div class=\"table\">\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>\n<p align=\"left\">\n<\/th>\n<th>\n<p align=\"left\">1<\/p>\n<\/th>\n<th>\n<p align=\"left\">e_1<\/p>\n<\/th>\n<th>\n<p align=\"left\">e_2<\/p>\n<\/th>\n<th>\n<p align=\"left\">I<\/p>\n<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">1<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">1<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">e_1<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">e_2<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">I<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">e_1<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">e_1<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">1<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">I<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">e_2<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">e_2<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">e_2<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">-I<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">1<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">-e_1<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">I<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">1<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">-e_2<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">e_1<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">-1<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>\u0415\u0449\u0451 \u0435\u0451 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0435\u0439 \u041a\u0435\u0439\u043b\u0438.<\/p>\n<p><a href=\"https:\/\/bivector.net\/tools.html?p=3&amp;q=0&amp;r=1\" rel=\"noopener noreferrer nofollow\">\u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 \u041a\u0435\u0439\u043b\u0438 \u0434\u043b\u044f 3d PGA<\/a><\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u043d\u0435\u0440\u0430\u0432\u043d\u044b\u0445 \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u043c\u0443 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044e, \u0430 \u0435\u0449\u0451 \u0438\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043b\u044e\u0434\u0438 \u0433\u0440\u0443\u043f\u043f\u0438\u0440\u0443\u044e\u0442 \u0438\u043d\u0434\u0435\u043a\u0441\u044b \u0434\u043b\u044f \u043a\u0440\u0430\u0442\u043a\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0438:<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u0430 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0436\u0443, \u043a\u0430\u043a \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432:<\/p>\n<p>\u0412 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043b\u0441\u044f \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440 \u0438 \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440. \u041a\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0443 \u043d\u0438\u0445 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b?<\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u043d\u0438\u043c\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u0442\u044c, a c + b d \u044d\u0442\u043e \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 (a, c) \u0438 (b, d) \u0438\u0437 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u044b (\u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430\u043c\u0438, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043d\u0430 \u0438\u0445 \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b).<br \/> \u041a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0430 (ad &#8212; bc) &#8212; \u043d\u0430\u043e\u0431\u043e\u0440\u043e\u0442, \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441.<\/p>\n<p>\u041d\u0438\u0436\u0435 \u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0436\u0443, \u043a\u0430\u043a \u0442\u0430\u043a\u0430\u044f \u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0446\u0438\u044f \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442 \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u043b\u0438\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0438\u0437\u043c\u0435\u0440\u0435\u043d\u0438\u0439. \u041e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043c\u044b \u0432\u043e\u0437\u044c\u043c\u0451\u043c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0441 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0434\u043b\u0438\u043d\u043e\u0439.<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u0447\u0451\u043c \u043f\u0440\u0438 \u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u043e\u043c \u0443\u0433\u043b\u0435 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442\u0430 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0435, \u0430 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043d\u0443\u043b\u044e \u0438 \u0432\u0441\u0451 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0440\u0430\u0447\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440. \u0418 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043d\u0430 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0443 \u043d\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043d\u0438\u0447\u0435\u0433\u043e \u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c.<\/p>\n<p>\u0412\u0437\u0433\u043b\u044f\u0434 \u0441 \u0435\u0449\u0451 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u044b &#8212; \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043c\u044b \u0445\u043e\u0442\u0438\u043c \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 (x, y) \u043d\u0430 \u0443\u0433\u043e\u043b <code>a<\/code> \u0442\u043e \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0442\u0430\u043a\u0438\u043c:<\/p>\n<p>\u0422.\u0435, \u0432 \u0438\u0442\u043e\u0433\u043e\u0432\u043e\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 (\u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043d\u0430 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441) \u0438 \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439-\u0442\u043e \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043d\u0430 \u0441\u0438\u043d\u0443\u0441.<\/p>\n<p>\u0410 \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0434\u0430\u0432\u0430\u0439\u0442\u0435 \u0432\u0435\u0440\u043d\u0451\u043c\u0441\u044f \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e \u043a \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0435 \u0438 \u043f\u043e\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043d\u0430 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432. \u0412\u0441\u0451 \u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e &#8212; \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u0430\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442, \u043d\u0430\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0430 \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u0430\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043f\u0435\u0440\u043f\u0435\u043d\u0434\u0438\u043a\u0443\u043b\u044f\u0440\u043d\u0443\u044e \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0443. \u0412 \u0441\u0443\u043c\u043c\u0435 \u043e\u043d\u0438 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0440\u043e\u0442.<\/p>\n<p>\u0415\u0449\u0451 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0435\u0441\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 &#8212; \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0431\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b \u0434\u0430\u0441\u0442 \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440, \u0434\u043b\u0438\u043d\u0430 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u0442\u043e\u0436\u0435 \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0435:<\/p>\n<p><strong>ALARM<\/strong>: \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u0439 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0435 \u0443 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u0431\u0430\u0437\u0438\u0441\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d \u043d\u0443\u043b\u044e, \u0430 \u043d\u0435 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u0435. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043e\u043d \u0443\u0447\u0430\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0432 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0438, \u0442\u043e \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430 \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u044f\u0442\u044c\u0441\u044f \u043d\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442.<\/p>\n<h3>Cross product<\/h3>\n<p>\u041e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0438\u0435 \u043e\u0442 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u043d\u0435\u0448\u043d\u0435\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e A \u0438 B &#8212; \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043c\u0443\u043b\u044c\u0442\u0438\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u044b, \u0430 \u043d\u0435 \u0434\u0432\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430. \u0415\u0449\u0451 \u044d\u0442\u0443 \u0448\u0442\u0443\u043a\u0443 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0430\u043d\u0442\u0438\u043a\u043e\u043c\u043c\u0443\u0442\u0430\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c.<\/p>\n<h3>\u0414\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c<\/h3>\n<figure class=\"\"><\/figure>\n<p>\u041a\u0430\u043a \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u0438\u0442\u044c, \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u0435\u0440\u043d\u0443\u0442\u044c \u043a\u0430\u0440\u0442\u0438\u043d\u043a\u0443 \u0438 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440 \u0432 \u043f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440, \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0432 (n-1)-\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 (\u0438\u043b\u0438 \u0432 \u043f\u0441\u0435\u0432\u0434\u043e\u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440) \u0438 \u0442.\u043f.<\/p>\n<p>\u0412 \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u0438\u0441\u0442\u043e\u0447\u043d\u0438\u043a\u0430\u0445 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u044e\u0442 \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u043a\u0430\u043a \u0434\u043e\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 I, \u043d\u043e \u0438\u0437-\u0437\u0430 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u0447\u0442\u043e \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0441 \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043e\u043c-\u043d\u0443\u043b\u0451\u043c, \u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0435 \u043f\u043e\u0434\u043e\u0439\u0434\u0451\u0442.<br \/> \u0412 \u043d\u0430\u0448\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u043a\u0430\u043a<\/p>\n<p>\u0422\u0443\u0442 \u0442\u043e\u0436\u0435 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u043b, \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 a \u0438 a* \u0432 \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043d\u0435 \u043a\u043e\u043c\u043c\u0443\u0442\u0438\u0440\u0443\u044e\u0442 \u0438 \u043d\u0430\u0434\u043e \u0440\u0430\u0437\u043b\u0438\u0447\u0430\u0442\u044c \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043b\u0435\u0432\u0430 \u0438<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[],"tags":[],"class_list":["post-377849","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/377849","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=377849"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/377849\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=377849"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=377849"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=377849"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}