{"id":457674,"date":"2025-04-28T03:17:42","date_gmt":"2025-04-28T03:17:42","guid":{"rendered":"http:\/\/savepearlharbor.com\/?p=457674"},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T21:00:00","slug":"","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/savepearlharbor.com\/?p=457674","title":{"rendered":"Welch’s test: \u043e\u043d \u0432\u0430\u043c \u043d\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430 \u0422-test’a<\/span>"},"content":{"rendered":"
<\/div>\n
\n
\n
\n
\n

\u041f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0442! \u0421 \u0432\u0430\u043c\u0438 \u043a\u043e\u043c\u0430\u043d\u0434\u0430 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0442\u0438\u043a\u043e\u0432 «\u041f\u044f\u0442\u0451\u0440\u043e\u0447\u043a\u0438» X5 Tech. \u0412 \u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u043c\u044b \u0440\u0430\u0441\u0441\u043a\u0430\u0436\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e \u043e\u0434\u0438\u043d \u0438\u0437 \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0442\u0435\u0441\u0442\u043e\u0432 \u0432 \u0441\u0442\u0430\u0442\u0438\u0441\u0442\u0438\u043a\u0435 \u2013 \u0442\u0435\u0441\u0442 \u0423\u044d\u043b\u0447\u0430 (Welch\u2019s Test). \u041f\u043e\u0441\u0442\u0430\u0440\u0430\u0435\u043c\u0441\u044f \u043c\u0430\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0440\u0430\u0441\u043a\u0440\u044b\u0442\u044c, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0438 \u0433\u0434\u0435 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0435\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u0438 \u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043b\u0438 \u043e\u043d \u043d\u0430 \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c \u0434\u0435\u043b\u0435 \u0442\u0435\u0441\u0442\u043e\u043c \u043f\u043e \u0443\u043c\u043e\u043b\u0447\u0430\u043d\u0438\u044e \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e t-test\u2019a.\u00a0<\/p>\n

\u0422-test \u0432 \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0437<\/h2>\n

\u041b\u0435\u0433\u043a\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u0441\u0442\u0430\u0436\u0451\u0440\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c\u0443 \u0432\u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0435 \u0434\u0430\u043b\u0438 \u0440\u0430\u0441\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u044b \u0422-test \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043a, \u0437\u0430\u0440\u0430\u043d\u0435\u0435 \u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u0432, \u0447\u0442\u043e \u0432\u0441\u0435 \u0442\u0440\u0435\u0431\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043a \u0442\u0435\u0441\u0442\u0443 \u0441\u043e\u0431\u043b\u044e\u0434\u0435\u043d\u044b. \u041d\u0435\u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0441\u0430\u043c\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0438\u0441\u043a\u0430 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u043d\u0430\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0435\u0433\u043e \u043d\u0430 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 scipy.stats.ttest_ind, \u0433\u0434\u0435 \u043e\u043f\u0446\u0438\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u0430\u0440\u0433\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442 equal_var \u0441 True \u043d\u0430 False. \u0418 \u044d\u0442\u043e \u043a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0437 \u0442\u043e \u043c\u0435\u0441\u0442\u043e, \u0433\u0434\u0435 \u0432\u0435\u0440\u043e\u044f\u0442\u0435\u043d \u0445\u043e\u0434 (\u0435\u0441\u043b\u0438 \u043d\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0447\u0438\u0442\u0430\u0442\u044c \u0434\u043e\u043a\u0443\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0446\u0438\u044e* \u0438\u043b\u0438 \u043d\u0435 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c \u0435\u0451):\u00a0 equal_var = False. \u041d\u0443 \u0430 \u0447\u0442\u043e? \u0423 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043a \u0436\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438 False.<\/p>\n

\n\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 scipy.stats.ttest_ind<\/summary>\n
\n

\u00a0https:\/\/docs.scipy.org\/doc\/scipy\/reference\/generated\/scipy.stats.ttest_ind.html<\/a><\/p>\n

If True (default), perform a standard independent 2 sample test that assumes equal population variances. If False, perform Welch\u2019s t-test, which does not assume equal population variance<\/p>\n<\/div>\n<\/details>\n

\u041d\u043e \u0432 \u0442\u043e\u043c-\u0442\u043e \u0438 \u0434\u0435\u043b\u043e, \u0447\u0442\u043e \u0441\u043f\u0440\u0430\u0448\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0432\u0430\u0441 \u043e \u0442\u043e\u043c, \u043f\u043e\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043b\u0438 \u0443 \u0432\u0430\u0441 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u044f \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0441\u043e\u0432\u043e\u043a\u0443\u043f\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0438\u043b\u0438 \u043d\u0435\u0442 \u0438\u0437-\u0437\u0430 \u0432\u0430\u0448\u0435\u0433\u043e \u0442\u0440\u0438\u0442\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430. \u0423 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043a \u043e\u043d\u0438 \u0438 \u0431\u0435\u0437 \u0442\u043e\u0433\u043e \u0431\u0443\u0434\u0443\u0442 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u043c\u0438, \u043d\u043e \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0435 \u0434\u0435\u043b\u043e, \u0447\u0442\u043e \u0432 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u043e \u043d\u0435\u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0447\u0438\u0432\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438 \u0438\u0437-\u0437\u0430 \u0442\u0440\u0438\u0442\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430 \u043e\u0431\u0435 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438 \u0431\u0443\u0434\u0443\u0442 \u043e\u0446\u0435\u043d\u043a\u0430\u043c\u0438 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u0442\u043e\u0439 \u0436\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0438\u0445 «\u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u044f\u044e\u0442»* (pooled). \u0412 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0447\u0438\u0432\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0440\u0430\u0437\u0431\u0440\u043e\u0441\u0430 \u0443 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439, \u0442\u0430\u043a \u0441\u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0443\u0436\u0435 \u043d\u0435\u043b\u044c\u0437\u044f. \u0418 \u0432\u043e\u0442 \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043a\u0430\u043a \u0431\u0443\u0434\u0442\u043e \u0438 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0443\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c equal_var = False, \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442 \u0432\u0430\u0448 \u0422-test, \u043d\u0430 \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c \u0434\u0435\u043b\u0435, \u0432 \u0442\u0435\u0441\u0442 Welch\u2019a. \u041d\u043e \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043b\u0438?<\/p>\n

\n\u041f\u043e\u044f\u0441\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e «\u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u044f\u044e\u0442»* (pooled):<\/summary>\n
\n

*\u041d\u0430 \u043c\u043e\u0439 \u0432\u0437\u0433\u043b\u044f\u0434, \u044d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0441\u0430\u043c\u0430\u044f \u0443\u0434\u0430\u0447\u043d\u0430\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u043a\u0430 \u0438\u0437-\u0437\u0430 \u0430\u0441\u0441\u043e\u0446\u0438\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0441\u043e \u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c. \u041b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0447\u0442\u043e-\u0442\u043e \u0432\u0440\u043e\u0434\u0435 «\u0441\u043a\u043e\u043c\u0431\u0438\u043d\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c», «\u0441\u043a\u043e\u043c\u043f\u0438\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c» \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0438\u043b\u0438 \u0432\u0437\u0432\u0435\u0448\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u0435 \u2013 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0439 \u043b\u0438 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043a. \u0423\u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435 \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e: \u0432\u0435\u0434\u044c \u044d\u0442\u0438 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438 \u2013 \u043e\u0446\u0435\u043d\u043a\u0438 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u0442\u043e\u0439 \u0436\u0435 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439, \u043c\u044b \u0431\u0435\u0440\u0451\u043c \u0438\u0437 \u043d\u0438\u0445 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443.<\/p>\n<\/div>\n<\/details>\n

\u0422\u0443\u0442 \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u0442 \u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0432 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u0445* \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043a (\u0430 \u0432 \u0440\u0430\u043c\u043a\u0430\u0445 \u043a\u0440\u0443\u043f\u043d\u043e\u0433\u043e \u0431\u0438\u0437\u043d\u0435\u0441\u0430 \u0441 \u043f\u043e\u044e\u0437\u0435\u0440\u043d\u044b\u043c\u0438 \u044d\u043a\u0441\u043f\u0435\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u043c\u0438 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e \u044d\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a \u0438 \u0435\u0441\u0442\u044c, \u0447\u0435\u0433\u043e \u043d\u0435 \u0441\u043a\u0430\u0436\u0435\u0448\u044c \u043e \u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u0430\u0445 \u0442\u0435\u0441\u0442\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f, \u043a\u0430\u043a \u043e\u0444\u043b\u0430\u0439\u043d \u043c\u0430\u0433\u0430\u0437\u0438\u043d\u044b, \u0440\u0435\u0441\u0442\u043e\u0440\u0430\u043d\u044b \u0438 \u043f\u0440.), t-test \u0434\u0430\u0451\u0442 \u043e\u0434\u043d\u043e \u0438 \u0442\u043e\u0436\u0435 t-\u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u043a\u043e\u043d\u0442\u0440\u043e\u043b\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0443 1-\u0433\u043e \u0440\u043e\u0434\u0430 \u0432\u043d\u0435 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0442 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0447\u0438\u0432\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0443\u044e \u043c\u043e\u0433 \u0431\u044b \u0434\u0430\u0442\u044c \u0442\u0440\u0438\u0442\u043c\u0435\u043d\u0442.<\/p>\n

\n\u041f\u043e\u044f\u0441\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043c \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043a\u0430\u043c:<\/summary>\n
\n

*\u041a\u0440\u0430\u0442\u043a\u043e: \u0434\u043b\u044f \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f «\u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0439»\/»\u043c\u0430\u043b\u0435\u043d\u044c\u043a\u043e\u0439» \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043a\u0438 \u0441\u043e\u0448\u043b\u044e\u0441\u044c, \u0432\u043e-\u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0445, \u043d\u0430 \u043d\u0435\u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u0411\u0435\u0440\u0440\u0438-\u042d\u0441\u0441\u0435\u0435\u043d\u0430<\/a>. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043e\u043d\u043e \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u043b\u044f \u0442\u043e\u0439 \u0436\u0435 t-\u0441\u0442\u0430\u0442\u0438\u0441\u0442\u0438\u043a\u0438 \u043f\u0440\u0438 \u043d\u0435\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043a\u0435 n, \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \u044d\u0442\u0430 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0430\u044f \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043a\u0430. <\/p>\n

\u0412\u043e-\u0432\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u0439\u0442\u0438 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0441\u0438\u043c\u0443\u043b\u044f\u0446\u0438\u044e: \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0438\u043c \u0440\u044f\u0434 A\/A \u0442\u0435\u0441\u0442\u043e\u0432 ~ 10k \u0434\u043b\u044f \u043e\u0446\u0435\u043d\u043a\u0438 \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u043a\u0440\u0438\u0442\u0435\u0440\u0438\u044f \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043a\u043e\u043d\u0442\u0440\u043e\u043b\u044c \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0438 1-\u0433\u043e \u0440\u043e\u0434\u0430.<\/p>\n<\/div>\n<\/details>\n

\"\u041d\u0430<\/p>\n
\u041d\u0430 \u0440\u0438\u0441\u0443\u043d\u043a\u0435 \u0431\u0440\u0430\u043b\u0438\u0441\u044c \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u0435 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043a\u0438 \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u043c\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u0430 \u0438\u0437 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0430 \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c \u0438\u0437 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 (\u0441 \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u043e\u0439 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u0439); t-\u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0447\u0435\u043c \u0438\u0434\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u043d\u0430\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0434\u0440\u0443\u0433 \u043d\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0430.<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n
\n\u041a\u043e\u0434 \u0434\u043b\u044f \u0432\u043e\u0441\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0433\u0438\u0441\u0442\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0430<\/summary>\n
\n

\u0414\u043b\u044f \u0441\u0430\u043c\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u043e\u0441\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0433\u0438\u0441\u0442\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c<\/p>\n

''' t-test - \u041d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435,  - \u041e\u0434\u043d\u0430 \u0438 \u0442\u0430 \u0436\u0435 Mu, - \u0420\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438,  - \u041e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043a \u0421\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c t-\u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f '''  import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import scipy.stats from statsmodels.stats.proportion import proportion_confint  mu = 24  sigma = 2 sigma_alt = 20  size = 1000000  population = np.random.default_rng().normal(mu, sigma, size) population_alt_var = np.random.default_rng().normal(mu, sigma_alt, size)  size_a = 500 size_b = 500  alpha = 0.05 trials = 10000  t_stats_h0 = [] for i in range(trials):   a = np.random.choice(population, size=size_a)   b = np.random.choice(population, size=size_b)   t_stat, p_value = scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=True)   t_stats_h0.append(t_stat)  t_stats_hA = [] for i in range(trials):   a = np.random.choice(population, size=size_a)   b = np.random.choice(population_alt_var, size=size_b)   t_stat, p_value = scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=True)   t_stats_hA.append(t_stat)  plt.hist(t_stats_h0, density=True, bins='auto', label='sigma \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u0430\u044f', alpha=0.5); plt.hist(t_stats_hA, density=True, bins='auto', label='sigma \u0440\u0430\u0437\u043d\u0430\u044f', alpha=0.5); plt.title('\u0420\u0430\u0441\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 t-\u0441\u0442\u0430\u0442\u0438\u0441\u0442\u0438\u043a\u0438') plt.xlim([-10, 10]) plt.xlabel('t') plt.legend() plt.show()<\/code><\/pre>\n
\u0414\u043b\u044f \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u043a\u0438 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043e\u043a 1-\u0433\u043e \u0440\u043e\u0434\u0430:<\/p>\n
''' t-test - \u041d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435,  - \u041e\u0434\u043d\u0430 \u0438 \u0442\u0430 \u0436\u0435 Mu, - \u0420\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438,  - \u041e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043a \u0418\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u043c \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0443 1-\u0433\u043e \u0440\u043e\u0434\u0430 '''  import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import scipy.stats from statsmodels.stats.proportion import proportion_confint  mu = 24  sigma = 2 sigma_alt = 20  size = 1000000  population = np.random.default_rng().normal(mu, sigma, size) population_alt_var = np.random.default_rng().normal(mu, sigma_alt, size)  size_a = 500 size_b = 500  alpha = 0.05 trials = 10000  bad_ttest_count = 0 for i in range(trials):   a = np.random.choice(population, size=size_a)   b = np.random.choice(population_alt_var, size=size_b)   t_stat, p_value = scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=True)   if p_value <= alpha:     bad_ttest_count += 1  left_ttest_level, right_ttest_level = proportion_confint(count = bad_ttest_count, nobs = trials, alpha=alpha, method='wilson') print(bad_ttest_count\/trials) print(f\"T-test significance level: {round(bad_ttest_count \/ trials, 4)}, [{round(left_ttest_level, 4)}, {round(right_ttest_level, 4)}]\")<\/code><\/pre>\n
<\/figure>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/details>\n
\u041d\u0430 \u0432\u0441\u044f\u043a\u0438\u0439 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439: \u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u0430\u044f \u043a\u0430\u0440\u0442\u0438\u043d\u0430 \u043d\u0430\u0431\u043b\u044e\u0434\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0435\u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 (\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440\u044b \u043d\u0435 \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0430, \u044d\u0442\u043e \u0441\u043f\u0435\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u0437 \u0440\u0430\u0434\u0438\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439, \u0433\u0434\u0435 \u043b\u0438\u0448\u044c \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u0430\u044f \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u044f\u044f):<\/p>\n
<\/figure>\n
\u0414\u0440\u0443\u0433\u043e\u0435 \u0434\u0435\u043b\u043e, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043a\u0438 \u0437\u0430\u0441\u043f\u043b\u0438\u0442\u043e\u0432\u0430\u043d\u044b \u043d\u0435 50 \u043d\u0430 50, \u0430 \u043a\u0430\u043a-\u0442\u043e \u0438\u043d\u0430\u0447\u0435. \u0427\u0435\u043c \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0434\u0438\u0441\u0431\u0430\u043b\u0430\u043d\u0441, \u0442\u0435\u043c \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043e\u043a \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0433\u043e \u0440\u043e\u0434\u0430, \u0447\u0435\u043c \u043c\u044b \u0431\u044b \u0445\u043e\u0442\u0435\u043b\u0438:<\/p>\n
<\/figure>\n
\n\u041a\u043e\u0434 \u0434\u043b\u044f \u0432\u043e\u0441\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f<\/summary>\n
\n
''' t-test - \u041d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435,  - \u041e\u0434\u043d\u0430 \u0438 \u0442\u0430 \u0436\u0435 Mu, - \u0420\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438,  - \u0420\u0430\u0437\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043a \u0418\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u043c \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0443 1-\u0433\u043e \u0440\u043e\u0434\u0430 '''  import numpy as np import scipy.stats from statsmodels.stats.proportion import proportion_confint  #\u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u044f\u044f mu = 24  #\u043e\u0442\u043a\u043b\u043e\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 sigma = 2 sigma_alt = 20  #\u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043a\u0438 size = 1000000  #\u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 population = np.random.default_rng().normal(mu, sigma, size) population_alt_var = np.random.default_rng().normal(mu, sigma_alt, size)  size_a = 700 size_b = 300  alpha = 0.05 trials = 10000  bad_ttest_count = 0 for i in range(trials):   a = np.random.choice(population, size=size_a)   b = np.random.choice(population_alt_var, size=size_b)   t_stat, p_value = scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=True)   if p_value <= alpha:     bad_ttest_count += 1  left_ttest_level, right_ttest_level = proportion_confint(count = bad_ttest_count, nobs = trials, alpha=alpha, method='wilson') print(bad_ttest_count\/trials) print(f\"T-test significance level: {round(bad_ttest_count \/ trials, 4)}, [{round(left_ttest_level, 4)}, {round(right_ttest_level, 4)}]\")<\/code><\/pre>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/details>\n
\u0418 \u0432\u043e\u0442 \u0432 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0437 \u0442\u0435\u0441\u0442 Welch’a \u0441\u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u043b \u0431\u044b \u043a\u0430\u043a \u043d\u0430\u0434\u043e:<\/p>\n
<\/figure>\n
\n\u041a\u043e\u0434 \u0434\u043b\u044f \u0432\u043e\u0441\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f<\/summary>\n
\n
''' Welch-t - \u041d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435,  - \u041e\u0434\u043d\u0430 \u0438 \u0442\u0430 \u0436\u0435 Mu, - \u0420\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438,  - \u0420\u0430\u0437\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043a \u0418\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u043c \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0443 1-\u0433\u043e \u0440\u043e\u0434\u0430 '''  import numpy as np import scipy.stats from statsmodels.stats.proportion import proportion_confint  mu = 24  sigma = 2 sigma_alt = 20  size = 1000000  population = np.random.default_rng().normal(mu, sigma, size) population_alt_var = np.random.default_rng().normal(mu, sigma_alt, size)  size_a = 700 size_b = 300  alpha = 0.05 trials = 10000  bad_ttest_count = 0 for i in range(trials):   a = np.random.choice(population, size=size_a)   b = np.random.choice(population_alt_var, size=size_b)   t_stat, p_value = scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=False)   if p_value <= alpha:     bad_ttest_count += 1  left_ttest_level, right_ttest_level = proportion_confint(count = bad_ttest_count, nobs = trials, alpha=alpha, method='wilson') print(bad_ttest_count\/trials) print(f\"T-test significance level: {round(bad_ttest_count \/ trials, 4)}, [{round(left_ttest_level, 4)}, {round(right_ttest_level, 4)}]\")<\/code><\/pre>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/details>\n
\u0412\u0435\u0440\u043d\u0435\u043c\u0441\u044f \u043a \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u044e \u0441\u043f\u043b\u0438\u0442\u0430 50 \u043d\u0430 50 \u0438 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043c \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043a\u0430\u043c. \u0412\u0430\u0436\u043d\u043e, \u0447\u0442\u043e \u0432 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043d\u0430\u043b\u0438\u0447\u0438\u044f \u044d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442\u0430 \u0432\u043d\u0435 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0442 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u0441\u0434\u0432\u0438\u0433 \u043b\u0438 \u044d\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u0439 \u0438\u043b\u0438 \u0438 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u0439 \u0438 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438, \u043e\u0431\u0430 \u0442\u0435\u0441\u0442\u0430 \u043e\u0431\u043b\u0430\u0434\u0430\u044e\u0442 \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0437\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0441\u0445\u043e\u0436\u0435\u0439 \u0447\u0443\u0432\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e, \u043d\u043e \u0447\u0443\u0442\u044c \u0447\u0430\u0449\u0435 (~60% \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0432) \u043c\u043e\u0449\u043d\u0435\u0435 \u0431\u044b\u043b t-test. <\/p>\n
\u0427\u0442\u043e \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e, \u0442\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a \u0443 Welch’a degrees of freedom, d, \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0445\u043e\u0442\u044c \u043d\u0435\u043c\u043d\u043e\u0433\u043e, \u043d\u043e \u0437\u0430\u043d\u0438\u0436\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0438\u0437-\u0437\u0430 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043e\u0432 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043a\u0438 \u0438 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438 (\u0432 \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443\u043b\u044b \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434\u043d\u0430 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c d \u043e\u0442 \u044d\u0442\u0438\u0445 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u043e\u0432). \u0422\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u0440\u0438 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0439 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043a\u0435 Welch \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u044f\u043b\u0441\u044f \u0431\u044b \u0441 t-test.<\/p>\n
1.\u0421\u0434\u0432\u0438\u0433 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u0439:<\/p>\n
<\/figure>\n
\"\"<\/figure>\n
\"\"<\/figure>\n
\n\u041a\u043e\u0434 \u0434\u043b\u044f \u0432\u043e\u0441\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f<\/summary>\n
\n
''' t-test - \u041d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435, - \u0420\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0438\u0435  - \u041e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438,  - O\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043a \u0418\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u043c \u043c\u043e\u0449\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c '''  import numpy as np import scipy.stats from statsmodels.stats.proportion import proportion_confint  mu = 24 mu_alt = 24.2  sigma = 5  size = 5000000  population = np.random.default_rng().normal(mu, sigma, size) population_alt = np.random.default_rng().normal(mu_alt, sigma, size)  size_a = 10000 size_b = 10000  alpha = 0.05 trials = 50000  good_ttest_count = 0 for i in range(trials):   a = np.random.choice(population, size=size_a)   b = np.random.choice(population_alt, size=size_b)   t_stat, p_value = scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=True)   if p_value <= alpha:     good_ttest_count += 1  left_ttest_level, right_ttest_level = proportion_confint(count = good_ttest_count, nobs = trials, alpha=alpha, method='wilson') print(good_ttest_count\/trials) print(f\"T-test significance level: {round(good_ttest_count \/ trials, 4)}, [{round(left_ttest_level, 4)}, {round(right_ttest_level, 4)}]\")<\/code><\/pre>\n
''' Welch's test - \u041d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435, - \u0420\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0438\u0435  - \u041e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438,  - O\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043a \u0418\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u043c \u043c\u043e\u0449\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c '''  import numpy as np import scipy.stats from statsmodels.stats.proportion import proportion_confint  mu = 24 mu_alt = 24.2  sigma = 5  size = 5000000  population = np.random.default_rng().normal(mu, sigma, size) population_alt = np.random.default_rng().normal(mu_alt, sigma, size)  size_a = 10000 size_b = 10000  alpha = 0.05 trials = 50000  good_ttest_count = 0 for i in range(trials):   a = np.random.choice(population, size=size_a)   b = np.random.choice(population_alt, size=size_b)   t_stat, p_value = scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=False)   if p_value <= alpha:     good_ttest_count += 1  left_ttest_level, right_ttest_level = proportion_confint(count = good_ttest_count, nobs = trials, alpha=alpha, method='wilson') print(good_ttest_count\/trials) print(f\"Welch-test significance level: {round(good_ttest_count \/ trials, 4)}, [{round(left_ttest_level, 4)}, {round(right_ttest_level, 4)}]\") <\/code><\/pre>\n
\u0421\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 t-test’a \u0438 Welch’s test \u043f\u043e \u043c\u043e\u0449\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438. T-test \u0443\u043f\u043e\u0440\u043d\u043e \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u043b \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u044b \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0448\u0435.<\/p>\n
''' \u041b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u043b\u0438 t-test, \u0447\u0435\u043c Welch ? - \u041d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435, - \u0420\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0438\u0435  - \u041e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438,  - O\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043a  \u041f\u0440\u0438\u0434\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u0434\u043e\u0436\u0430\u0442\u044c. '''  import numpy as np import scipy.stats from statsmodels.stats.proportion import proportion_confint  mu = 24 mu_alt = 24.2  sigma = 5  size = 5000000  population = np.random.default_rng().normal(mu, sigma, size) population_alt = np.random.default_rng().normal(mu_alt, sigma, size)  size_a = 10000 size_b = 10000  alpha = 0.05  series = 100 trials = 10000  ttest_better = 0 for s in range(series):    good_ttest_count = 0   for i in range(trials):     a = np.random.choice(population, size=size_a)     b = np.random.choice(population_alt, size=size_b)     _, p_value = scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=True)     if p_value <= alpha:       good_ttest_count += 1    good_welch_count = 0   for i in range(trials):     a = np.random.choice(population, size=size_a)     b = np.random.choice(population_alt, size=size_b)     _, p_value = scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=False)     if p_value <= alpha:       good_welch_count += 1    if good_ttest_count\/trials > good_welch_count\/trials:     ttest_better += 1  print(f\"T-test \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u0432 {ttest_better\/series} \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0432\")<\/code><\/pre>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/details>\n
2.\u0421\u0434\u0432\u0438\u0433 \u0438 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u0439 \u0438 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438. <\/em>\u0420\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 \u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439:<\/p>\n
<\/figure>\n
<\/figure>\n
\"\u0418<\/p>\n
\u0418 \u044d\u0442\u043e \u0442\u043e\u0436\u0435 \u043d\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u0447\u0442\u043e t-test \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 — \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0438\u0442\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439)<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n
\n\u041a\u043e\u0434 \u0434\u043b\u044f \u0432\u043e\u0441\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f<\/summary>\n
\n
''' t-test - \u041d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435, - \u0420\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0438\u0435  - \u0420\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438,  - O\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043a \u0418\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u043c \u043c\u043e\u0449\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c '''  import numpy as np import scipy.stats from statsmodels.stats.proportion import proportion_confint  mu = 24 mu_alt = 24.2  sigma = 5 sigma_alt = 10  size = 1000000  population = np.random.default_rng().normal(mu, sigma, size) population_alt = np.random.default_rng().normal(mu_alt, sigma_alt, size)  size_a = 10000 size_b = 10000  alpha = 0.05 trials = 10000  good_ttest_count = 0 for i in range(trials):   a = np.random.choice(population, size=size_a)   b = np.random.choice(population_alt, size=size_b)   t_stat, p_value = scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=True)   if p_value <= alpha:     good_ttest_count += 1  left_ttest_level, right_ttest_level = proportion_confint(count = good_ttest_count, nobs = trials, alpha=alpha, method='wilson') print(good_ttest_count\/trials) print(f\"T-test significance level: {round(good_ttest_count \/ trials, 4)}, [{round(left_ttest_level, 4)}, {round(right_ttest_level, 4)}]\")<\/code><\/pre>\n
''' Welch's test - \u041d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435, - \u0420\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0438\u0435  - \u0420\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438,  - O\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043a \u0418\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u043c \u043c\u043e\u0449\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c '''  import numpy as np import scipy.stats from statsmodels.stats.proportion import proportion_confint  mu = 24 mu_alt = 24.2  sigma = 5 sigma_alt = 10  size = 1000000  population = np.random.default_rng().normal(mu, sigma, size) population_alt = np.random.default_rng().normal(mu_alt, sigma_alt, size)  size_a = 10000 size_b = 10000  alpha = 0.05 trials = 10000  good_ttest_count = 0 for i in range(trials):   a = np.random.choice(population, size=size_a)   b = np.random.choice(population_alt, size=size_b)   t_stat, p_value = scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=False)   if p_value <= alpha:     good_ttest_count += 1  left_ttest_level, right_ttest_level = proportion_confint(count = good_ttest_count, nobs = trials, alpha=alpha, method='wilson') print(good_ttest_count\/trials) print(f\"Welch-test significance level: {round(good_ttest_count \/ trials, 4)}, [{round(left_ttest_level, 4)}, {round(right_ttest_level, 4)}]\")<\/code><\/pre>\n
\u0421\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0442\u0435\u0441\u0442\u043e\u0432 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0441\u0435\u0440\u0438\u0438:<\/p>\n
''' \u041b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u043b\u0438 t-test, \u0447\u0435\u043c Welch ? - \u041d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435, - \u0420\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0438\u0435  - \u0420\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438,  - O\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043a  \u041f\u0440\u0438\u0434\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u0434\u043e\u0436\u0430\u0442\u044c. '''  import numpy as np import scipy.stats from statsmodels.stats.proportion import proportion_confint  mu = 24 mu_alt = 24.2  sigma = 5 sigma_alt = 10  size = 5000000  population = np.random.default_rng().normal(mu, sigma, size) population_alt = np.random.default_rng().normal(mu_alt, sigma_alt, size)  size_a = 10000 size_b = 10000  alpha = 0.05  series = 100 trials = 10000  ttest_better = 0 for s in range(series):    good_ttest_count = 0   for i in range(trials):     a = np.random.choice(population, size=size_a)     b = np.random.choice(population_alt, size=size_b)     _, p_value = scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=True)     if p_value <= alpha:       good_ttest_count += 1    good_welch_count = 0   for i in range(trials):     a = np.random.choice(population, size=size_a)     b = np.random.choice(population_alt, size=size_b)     _, p_value = scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=False)     if p_value <= alpha:       good_welch_count += 1    if good_ttest_count\/trials > good_welch_count\/trials:     ttest_better += 1  print(f\"T-test \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u0432 {ttest_better\/series} \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0432\")<\/code><\/pre>\n
\u041f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u043c \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435, \u0447\u0442\u043e t-test \u043d\u0430 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043a\u0435 10\u043a \u0438 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0439 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438 \u0441\u043e\u0431\u043b\u044e\u0434\u0430\u0435\u0442 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0443 1-\u0433\u043e \u0440\u043e\u0434\u0430:<\/p>\n
#\u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u043a\u0430, \u0447\u0442\u043e \u0441\u043e\u0431\u043b\u044e\u0434\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0430 1-\u0433\u043e \u0440\u043e\u0434\u0430  ''' t-test - \u041d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435, - \u0420\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0438\u0435  - \u0420\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438,  - O\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043a \u041e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0430 1-\u0433\u043e \u0440\u043e\u0434\u0430 '''  import numpy as np import scipy.stats from statsmodels.stats.proportion import proportion_confint  mu = 24 mu_alt = 24  sigma = 5 sigma_alt = 10  size = 1000000  population = np.random.default_rng().normal(mu, sigma, size) population_alt = np.random.default_rng().normal(mu_alt, sigma_alt, size)  size_a = 10000 size_b = 10000  alpha = 0.05 trials = 10000  bad_ttest_count = 0 for i in range(trials):   a = np.random.choice(population, size=size_a)   b = np.random.choice(population_alt, size=size_b)   t_stat, p_value = scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=True)   if p_value <= alpha:     bad_ttest_count += 1  left_ttest_level, right_ttest_level = proportion_confint(count = bad_ttest_count, nobs = trials, alpha=alpha, method='wilson') print(bad_ttest_count\/trials) print(f\"T-test significance level: {round(bad_ttest_count \/ trials, 4)}, [{round(left_ttest_level, 4)}, {round(right_ttest_level, 4)}]\")<\/code><\/pre>\n
<\/figure>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/details>\n
\u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u0432 \u0441\u0446\u0435\u043d\u0430\u0440\u0438\u0438 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u0445 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043a \u0438 \u0441\u043f\u043b\u0438\u0442\u0430 50 \u043d\u0430 50 \u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c t-test \u043d\u0430 \u0442\u0435\u0441\u0442\u0430 Welch\u2019a \u043d\u0435\u0442 \u043d\u0435\u043e\u0431\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438. \u041e\u0442\u0441\u044e\u0434\u0430 \u0438 \u0432 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0435 scipy.stats.ttest_ind \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440 equal_val \u2013 \u0432\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435 \u043e\u0431\u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e \u043f\u043e \u0443\u043c\u043e\u043b\u0447\u0430\u043d\u0438\u044e = True.<\/p>\n
\u0415\u0441\u043b\u0438 \u0441\u043f\u043b\u0438\u0442 \u043f\u043b\u0430\u043d\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0438\u043d\u043e\u0439, \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \u044d\u0442\u043e \u043f\u0435\u0440\u0432\u0430\u044f \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u044f, \u0433\u0434\u0435 \u0432\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435 \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0437\u0430\u0434\u0443\u043c\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u043e \u0442\u043e\u043c, \u043a\u0430\u043a \u0432\u0430\u0448\u0435 \u0432\u043e\u0437\u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435 \u0441\u043a\u0430\u0436\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438.\u00a0<\/p>\n
\u0410 \u0447\u0442\u043e, \u0435\u0441\u043b\u0438\u2026 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043a\u0438 \u043c\u0430\u043b\u0435\u043d\u044c\u043a\u0438\u0435?<\/h2>\n
\u0410 \u0432\u043e\u0442 \u0435\u0441\u043b\u0438 \u043e\u043d\u0438 \u043c\u0430\u043b\u0435\u043d\u044c\u043a\u0438\u0435 \u0438 \u0432\u0430\u0448\u0435 \u0432\u043e\u0437\u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u044e, \u043d\u043e \u043f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043d\u0435 \u043f\u043e\u0432\u043b\u0438\u044f\u0435\u0442 \u043d\u0430 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u0435, \u0442\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 t-test\u2019a \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u0436\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0430 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0438 1-\u0433\u043e \u0440\u043e\u0434\u0430 (\u0434\u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u043c, \u0432 0.05), \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0434\u0430\u0432\u0430\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043e\u043a \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435.\u00a0<\/p>\n
\u042d\u0442\u043e \u0432\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u044f, \u0433\u0434\u0435, \u043a\u0430\u0437\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c \u0431\u044b, \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043d\u0430\u0447\u0430\u0442\u044c \u0434\u0443\u043c\u0430\u0442\u044c \u043d\u0430\u0434 \u0442\u0440\u0438\u0442\u043c\u0435\u0442\u043e\u043c \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438.\u00a0<\/p>\n
\"\u0421\u043b\u0435\u0432\u0430<\/p>\n
\u0421\u043b\u0435\u0432\u0430 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 (\u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u044b), \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0430 \u0441\u043e\u0431\u0440\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0442 \u0441\u0446\u0435\u043d\u0430\u0440\u0438\u044f \u043e\u0442\u0431\u043e\u0440\u0430 t-\u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n
\u0421\u043b\u0435\u0432\u0430 \u043d\u0430 \u0440\u0438\u0441\u0443\u043d\u043a\u0435, \u043a\u0430\u043a \u0438 \u0434\u043e \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e, \u043d\u0430\u0448\u0438 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435. \u0421\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 (1) \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e\u043a\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e \u0431\u0440\u0430\u0442\u044c \u0434\u0432\u0435 \u043c\u0430\u043b\u044b\u0435 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043a\u0438 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 2 \u0438\u0437\u043c\u0435\u0440\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0432 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0438\u0437 \u0441\u0438\u043d\u0435\u0433\u043e \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043f\u0440\u043e\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u044c A\/A \u0442\u0435\u0441\u0442, \u0441\u043e\u0431\u0438\u0440\u0430\u044f t-\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f; \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c (2) \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0431\u0440\u0430\u0442\u044c \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043a\u0438 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0433\u043e \u0436\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u0430 \u0438\u0437 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0443\u0436\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0437\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445. \u0418\u0442\u043e\u0433\u043e \u0441\u043f\u0440\u0430\u0432\u0430 \u043d\u0430 \u0440\u0438\u0441\u0443\u043d\u043a\u0435 \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u0432\u0430 t-\u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n
\n\u041a\u043e\u0434 \u0434\u043b\u044f \u0432\u043e\u0441\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f \u0433\u0438\u0441\u0442\u043e\u0433\u0440\u0430\u043c\u043c\u044b \u0441\u043b\u0435\u0432\u0430<\/summary>\n
\n
''' t-test - \u041d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435,  - \u0420\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438, - \u041c\u0430\u043b\u0435\u043d\u044c\u043a\u0438\u0435 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043a\u0438 - \u041e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043a \u0421\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c t-\u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f '''  import numpy as np import scipy.stats import matplotlib.pyplot as plt from statsmodels.stats.proportion import proportion_confint  mu = 24  sigma = 2 sigma_alt = 20  size = 1000000  population = np.random.default_rng().normal(mu, sigma, size) population_alt_var = np.random.default_rng().normal(mu, sigma_alt, size)  size_a = 2 size_b = 2  alpha = 0.05 trials = 10000  t_stats_h0 = [] for i in range(trials):   a = np.random.choice(population, size=size_a)   b = np.random.choice(population, size=size_b)   t_stat, p_value = scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=True)   t_stats_h0.append(t_stat)  t_stats_hA = [] for i in range(trials):   a = np.random.choice(population, size=size_a)   b = np.random.choice(population_alt_var, size=size_b)   t_stat, p_value = scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=True)   t_stats_hA.append(t_stat)  plt.hist(t_stats_h0, density=True, bins='auto', label='sigma \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u0430\u044f', alpha=0.5); plt.hist(t_stats_hA, density=True, bins='auto', label='sigma \u0440\u0430\u0437\u043d\u0430\u044f', alpha=0.5); plt.title('\u0420\u0430\u0441\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 t-\u0441\u0442\u0430\u0442\u0438\u0441\u0442\u0438\u043a\u0438') plt.xlim([-10, 10]) plt.xlabel('t') plt.legend() plt.show()<\/code><\/pre>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/details>\n
\u0412\u043e \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 (2) t-\u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 (\u0436\u0451\u043b\u0442\u043e\u0435) \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0448\u0438\u0440\u043e\u043a\u0438\u0435 \u0442\u043e\u043b\u0441\u0442\u044b\u0435 \u0445\u0432\u043e\u0441\u0442\u044b, \u043d\u043e \u0442\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a \u043c\u044b \u0434\u0443\u043c\u0430\u0435\u043c<\/em>, \u0447\u0442\u043e \u043e\u043f\u0435\u0440\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u0441\u0438\u043d\u0438\u043c t-\u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c (1) \u0438 \u0435\u0433\u043e \u043a\u0440\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u043c\u0438 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c\u0438, \u043c\u044b \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043e\u043a 1-\u0433\u043e \u0440\u043e\u0434\u0430, \u0447\u0435\u043c \u0445\u043e\u0442\u0435\u043b\u0438 \u0431\u044b. \u0427\u0442\u043e \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e, \u0442\u0430\u043a \u043a\u0430\u043a t \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u043e \u0441\u043e\u0433\u043b\u0430\u0441\u043d\u043e (2), \u0442\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0443\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0432 \u043a\u0440\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u043e\u0431\u043b\u0430\u0441\u0442\u044c!<\/p>\n
<\/figure>\n
\n\u041a\u043e\u0434 \u0434\u043b\u044f \u0432\u043e\u0441\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u044f<\/summary>\n
\n
''' t-test - \u041d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435,  - \u0420\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438, - \u041c\u0430\u043b\u0435\u043d\u044c\u043a\u0438\u0435 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043a\u0438 - \u041e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043a \u0418\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u043c \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0443 1-\u0433\u043e \u0440\u043e\u0434\u0430 '''  import numpy as np import scipy.stats from statsmodels.stats.proportion import proportion_confint  mu = 24  sigma = 2 sigma_alt = 20  size = 1000000  population = np.random.default_rng().normal(mu, sigma, size) population_alt_var = np.random.default_rng().normal(mu, sigma_alt, size)  size_a = 2 size_b = 2  alpha = 0.05 trials = 10000  alpha = 0.05 trials = 10000  bad_ttest_count = 0 for i in range(trials):   a = np.random.choice(population, size=size_a)   b = np.random.choice(population_alt_var, size=size_b)   t_stat, p_value = scipy.stats.ttest_ind(a, b, equal_var=True)   if p_value <= alpha:     bad_ttest_count += 1  left_ttest_level, right_ttest_level = proportion_confint(count = bad_ttest_count, nobs = trials, alpha=alpha, method='wilson') print(bad_ttest_count\/trials) print(f\"T-test significance level: {round(bad_ttest_count \/ trials, 4)}, [{round(left_ttest_level, 4)}, {round(right_ttest_level, 4)}]\")<\/code><\/pre>\n<\/p>\n<\/div>\n<\/details>\n
\u0422\u0443\u0442 \u0431\u044b \u0438 \u043f\u0440\u0438\u0433\u043e\u0434\u0438\u043b\u0441\u044f \u0442\u0435\u0441\u0442 Welch\u2019a: \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0433\u043e \u0440\u043e\u0434\u0430 \u0431\u044b\u043b\u0430 \u0431\u044b \u0432 \u043d\u0443\u0436\u043d\u044b\u0445 \u043d\u0430\u043c \u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0446\u0430\u0445. \u041d\u043e \u0432\u0441\u0451 \u0440\u0430\u0432\u043d\u043e \u0432\u0441\u0451 \u043d\u0435 \u0442\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e. \u0418 \u0445\u043e\u0442\u044f \u0434\u043e\u0432\u043e\u043b\u044c\u043d\u043e \u0440\u0430\u0437\u0443\u043c\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u0432\u0430\u0448 \u0442\u0440\u0438\u0442\u043c\u0435\u043d\u0442 \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442 \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u044e\u044e, \u043d\u043e \u0438 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u044e, \u0442\u0443\u0442 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0442\u0440\u0443\u0434\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0440\u0430\u0437\u0443\u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u0430\u043b\u043e \u0434\u043b\u044f \u0442\u043e\u0433\u043e, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0442\u0435\u0441\u0442 Welch\u2019a \u043f\u043e \u0443\u043c\u043e\u043b\u0447\u0430\u043d\u0438\u044e.<\/p>\n
\u041f\u043e\u0447\u0435\u043c\u0443? \u041f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0442\u043e, \u043a\u0430\u043a \u0432\u044b \u043c\u043e\u0433\u043b\u0438 \u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c, \u0442\u0435\u0441\u0442 Welch\u2019a \u0441\u0440\u043e\u0434\u043d\u0438 \u043f\u043e\u043f\u0440\u0430\u0432\u043a\u0435 \u043d\u0430 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0442\u0435\u0441\u0442\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435: \u043e\u043d \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442 t-\u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0437\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u0438 \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u044b \u0432 \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0443\u044e \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u0443 \u043a\u0430\u043a \u043f\u0440\u0438 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u044f\u0445, \u0442\u0430\u043a \u0438 \u043f\u0440\u0438 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u043c \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u0435 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043a. \u0412 \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0443\u044e \u0441\u0442\u043e\u0440\u043e\u043d\u0443 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u0447\u0442\u043e (\u043e\u0447\u0435\u043d\u044c-\u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u043d\u043e, \u0438\u0441\u043a\u043b\u044e\u0447\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f) \u0432 \u0440\u0430\u043c\u043a\u0430\u0445 t-test\u2019a \u044d\u0442\u043e \u043c\u043e\u0433\u043b\u043e \u0431\u044b\u0442\u044c t-\u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 c df = 1000, \u0433\u0434\u0435 \u0440\u0443\u043a\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0434\u0430\u0442\u044c \u0434\u043e \u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0441 \u0431\u0430\u0437\u043e\u0439 \u0426\u041f\u0422 \u2013 z-\u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c.\u00a0\u0410 \u0432 \u0440\u0430\u043c\u043a\u0430\u0445 Welch\u2019a df ~ 3, \u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0431\u044b \u0432\u044b \u0434\u0435\u043b\u0430\u043b\u0438 \u0442\u0435\u0441\u0442 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435 \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e\u0441\u0442\u0435\u0439, \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043a\u0438 \u043f\u043e 2, \u043e\u043f\u0435\u0440\u0438\u0440\u0443\u044f t-\u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0441 \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0442\u043e\u043b\u0441\u0442\u044b\u043c\u0438 \u0445\u0432\u043e\u0441\u0442\u0430\u043c\u0438.<\/p>\n
\u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043d\u043e\u0432\u044b\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0431\u0443\u0434\u0443\u0442 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043f\u043e \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044e, \u0447\u0435\u043c \u0443 \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e t-test’a, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0447\u0443\u0432\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0442\u0435\u0441\u0442\u0430 Welch’a \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043d\u0438\u0436\u0435, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0432\u0430\u0448\u0435 \u0432\u043e\u0437\u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435 \u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442, \u043d\u0430 \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c \u0434\u0435\u043b\u0435, \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e<\/em> \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u0435. \u0414\u0430, \u043a\u0430\u043a \u0438 \u0432 \u043f\u043e\u043f\u0440\u0430\u0432\u043a\u0430\u0445, \u0432\u044b \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u0438\u0442\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0443\u0440\u043e\u0432\u0435\u043d\u044c \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438, \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u0434\u0432\u0435\u0440\u0433\u043b\u0438\u0441\u044c \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044e, \u043d\u043e \u043f\u0440\u0438 \u0444\u0438\u043a\u0441\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0430\u0443\u0434\u0438\u0442\u043e\u0440\u0438\u0438 \u0446\u0435\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435\u0439 \u043c\u043e\u0449\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 (\u0438\u043b\u0438 \u0443\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f MDE), \u0435\u0441\u043b\u0438 \u044d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0442\u0430\u043a.\u00a0<\/p>\n
\u0410 \u0432\u0435\u0434\u044c \u043c\u043e\u0449\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0441\u0442\u043e\u043b\u044c \u0436\u0435 \u0432\u0430\u0436\u043d\u0430, \u043a\u0430\u043a \u0438 \u0430\u043b\u044c\u0444\u0430, \u043c\u044b \u043d\u0435 \u0445\u043e\u0442\u0438\u043c \u0443\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u0442\u044c \u044d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442 \u0442\u0430\u043a \u0436\u0435 \u0441\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043a\u0430\u043a \u0445\u043e\u0442\u0438\u043c \u043d\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u043b\u043e\u0436\u043d\u043e\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442. \u0412 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0435 \u043a\u043e\u043d\u0446\u043e\u0432, \u0435\u0449\u0451 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0439 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441 \u0432 \u0440\u0430\u043c\u043a\u0430\u043c \u0431\u0438\u0437\u043d\u0435\u0441\u0430: \u0447\u0442\u043e \u0445\u0443\u0436\u0435 \u2013 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0433\u043e \u0440\u043e\u0434\u0430 \u0438\u043b\u0438 \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e? \u0422\u0435\u043c \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435, \u0447\u0442\u043e \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442 \u0432 \u0438\u043d\u0434\u0443\u0441\u0442\u0440\u0438\u0438 \u2013 \u044d\u0442\u043e \u043c\u043e\u0449\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c = 0.8, \u0447\u0442\u043e \u0434\u0430\u0451\u0442 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0443 \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e \u0440\u043e\u0434\u0430 = 0.2. \u041d\u0430 \u0441\u0430\u043c\u043e\u043c \u0434\u0435\u043b\u0435, \u043d\u0435 \u0442\u0430\u043a \u0443\u0436 \u0438 \u043c\u0430\u043b\u043e<\/abbr>!<\/p>\n
\u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043e\u0431 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438, \u043f\u043e-\u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u0435\u043c\u0443, \u043d\u0430\u0434\u043e \u043f\u043e\u0434\u0443\u043c\u0430\u0442\u044c \u0435\u0449\u0451 \u043d\u0430 \u044d\u0442\u0430\u043f\u0435 \u0434\u0438\u0437\u0430\u0439\u043d\u0430 \u0438 \u0437\u0430\u0444\u0438\u043a\u0441\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0442\u0435\u0441\u0442 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u2013 t-test \u0438\u043b\u0438 Welch’s test, \u0430 \u0442\u043e \u043f\u0440\u0438 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0435 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u043e\u0432 \u0441\u043c\u0435\u043d\u0430<\/abbr> \u043a\u0440\u0438\u0442\u0435\u0440\u0438\u044f \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442\u044c \u0432\u0430\u043c \u043c\u043e\u0449\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438.<\/p>\n
\u041d\u043e, \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442, \u043f\u043e\u0441\u0442\u0443\u043f\u0438\u0442\u044c \u0432\u0437\u0432\u0435\u0448\u0435\u043d\u043d\u0435\u0435?<\/p>\n
\u0414\u043b\u044f \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u0437\u0430\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u0432 \u0434\u0438\u0437\u0430\u0439\u043d\u0435 \u0441\u0440\u0430\u0437\u0443 \u043d\u0430 \u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u0440\u0438\u0442\u0435\u0440\u0438\u044f Welch’a: \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043a\u0438 \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u043e\u0441\u0442\u0440\u043e, \u0442\u043e \u0446\u0435\u043d\u043e\u0439 \u0443\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e MDE. \u0410 \u0432 \u0440\u0430\u043c\u043a\u0430\u0445 \u0443\u0436\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0447\u0451\u0442\u043e\u0432 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u0440\u0430\u0437\u0443\u043c\u043d\u044b\u0445 (\u043d\u043e \u043d\u0435 \u043f\u043e\u0434\u043a\u0440\u0435\u043f\u043b\u0451\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0444\u0430\u043a\u0442\u0430\u043c\u0438) \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043e \u0442\u043e\u043c, \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0438\u043b\u0438 \u043c\u044b \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u044e \u0438\u043b\u0438 \u043d\u0435\u0442, \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439-\u043d\u0438\u0431\u0443\u0434\u044c \u0441\u0442\u0430\u0442. \u0442\u0435\u0441\u0442 \u0434\u043b\u044f \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0439. \u0414\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e, \u043a\u0430\u0436\u0435\u0442\u0441\u044f, \u0447\u0442\u043e \u043c\u044b \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u0442\u044c \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438 \u043d\u0430 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0440\u043e\u0434\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0438 \u0443\u0436\u0435 \u0434\u0430\u043b\u0435\u0435 \u043f\u0440\u0438\u043d\u044f\u0442\u044c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e \u0442\u043e\u043c, \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0442\u0435\u0441\u0442 \u0432 \u0438\u0442\u043e\u0433\u0435 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c: \u0442\u0435\u043c \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435, \u043d\u0430\u043c \u044d\u0442\u043e \u0434\u0430\u0436\u0435 \u0432\u044b\u0433\u043e\u0434\u043d\u043e, \u0432\u0435\u0434\u044c \u0435\u0441\u043b\u0438 \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0444\u0438\u043a\u0441\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u0430\u044f \u0430\u0443\u0434\u0438\u0442\u043e\u0440\u0438\u044f, \u0442\u043e \u043f\u0440\u0438 \u0433\u043e\u043c\u043e\u0433\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0439 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c\u0441\u044f \u043d\u0430 t-test, \u043f\u043e\u0432\u044b\u0448\u0430\u044f \u0447\u0443\u0432\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c. <\/p>\n
\u041d\u043e, \u0443\u0432\u044b, \u0437\u0434\u0435\u0441\u044c \u0442\u043e\u0436\u0435 \u043d\u0435 \u0432\u0441\u0451 \u0442\u0430\u043a \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0438\u0437-\u0437\u0430 \u0443\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0433\u043e \u0440\u043e\u0434\u0430 \u0432 \u0441\u0435\u0440\u0438\u0438 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0442\u0435\u0441\u0442\u043e\u0432: \u043e\u0434\u0438\u043d \u043d\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u043a\u0443 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0439, \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u0438\u0437 \u0441\u0435\u043c\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 t-test\u2019\u043e\u0432.<\/p>\n
\u0420\u0430\u0437 \u0441\u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043d\u044e\u0430\u043d\u0441\u043e\u0432, \u0442\u043e, \u043f\u043e\u0436\u0430\u043b\u0443\u0439, \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0441\u0430\u043c\u043e\u0435 \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f \u0440\u0430\u0437\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f \u043f\u043e\u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u0435\u0435 \u043a\u0430\u043a \u0432 \u043c\u043e\u0434\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438 t-test\u2019a, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0443\u044e \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u043e\u0436\u0438\u043b Welch, \u0442\u0430\u043a \u0438 \u0432 \u0442\u043e\u043c, \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u043b\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u043a\u0438 \u043d\u0430 \u0433\u043e\u043c\u043e\u0433\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0439, \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u043b\u0438 \u043f\u043e\u043f\u0440\u0430\u0432\u043a\u0438 \u043d\u0430 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0442\u0435\u0441\u0442\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c, \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043b\u0438 \u043d\u0430\u0434\u043e \u043f\u043e \u0443\u043c\u043e\u043b\u0447\u0430\u043d\u0438\u044e \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u0430\u0433\u0430\u0442\u044c \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438 \u0438 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043b\u0438 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0433\u0434\u0435-\u0442\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u0430\u0433\u0430\u0442\u044c \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0447\u0438\u0432\u043e\u0441\u0442\u044c \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438?<\/p>\n
Welch\u2019s Test<\/h2>\n
\u041a \u0441\u043e\u0436\u0430\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e, \u0442\u0443\u0442 \u043d\u0435\u0442 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0433\u043e \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442\u0430, \u043a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u043a\u0430\u043a \u043d\u0435 \u0441\u043f\u0435\u0448\u0430 \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432\u044b\u0432\u0435\u0441\u0442\u0438 \u0435\u0433\u043e, \u0440\u0430\u0437\u0431\u0438\u0440\u0430\u044f \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434 \u0448\u0430\u0433 \u0437\u0430 \u0448\u0430\u0433\u043e\u043c.\u00a0<\/p>\n
\u0421 \u0447\u0435\u043c \u0432\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u043c\u044b \u0438\u043c\u0435\u0435\u043c \u0434\u0435\u043b\u043e? \u041d\u0430\u0448\u0430 \u0441\u0438\u0442\u0443\u0430\u0446\u0438\u044f \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0438\u0445 \u043f\u0440\u0438 \u0437\u043d\u0430\u043d\u0438\u0438, \u0447\u0442\u043e \u043c\u044b \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0438\u043b\u0438 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u044e, \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0430\u044f:<\/p>\n
\"(1)<\/p>\n
\u041d\u0430\u0448\u0438 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438\u00a0\u2014 \u044d\u0442\u043e \u043e\u0446\u0435\u043d\u043a\u0438 \u00ab\u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445\u00bb. \u0418 \u0440\u0430\u0437 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0422\u2011test \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u044f\u0435\u0442<\/abbr> (pool) \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438, \u0430\u00a0\u0442\u043e\u0447\u043d\u0435\u0435 \u0443\u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u044f\u0435\u0442, \u0434\u0435\u043b\u0430\u044f \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435, \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442 t\u2011\u0441\u0442\u0430\u0442\u0438\u0441\u0442\u0438\u043a\u0430 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0430\u0448\u0438\u0441\u0442\u043e\u0439. \u041d\u043e\u00a0\u0432\u00a0\u0442\u043e\u043c\u2011\u0442\u043e \u0438 \u0434\u0435\u043b\u043e, \u0447\u0442\u043e\u00a0\u0440\u0430\u0437 \u043e\u0446\u0435\u043d\u043a\u0438 \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445, \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442 \u0438 \u0443\u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u044f\u0442\u044c \u043c\u044b \u043d\u0435\u00a0\u043c\u043e\u0436\u0435\u043c, \u0430\u00a0\u044d\u0442\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u0447\u0442\u043e\u00a0t\u2011\u0441\u0442\u0430\u0442\u0438\u0441\u0442\u0438\u043a\u0430 \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u0430 \u0431\u044b\u0442\u044c \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435.\u00a0<\/p>\n
\u0414\u043b\u044f \u043d\u0430\u0433\u043b\u044f\u0434\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438: \u043f\u0443\u0441\u043a\u0430\u0439 \u0432\u0430\u0448\u0438 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438 \u0440\u0430\u0432\u043d\u044b [4, 4] (\u0437\u0430\u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0442\u0443\u0442 \u043e\u00a0\u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u0435 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043a, \u0432\u044b\u043a\u0438\u043d\u0435\u043c \u0438\u0445 \u0438\u0437\u00a0\u043a\u043e\u0440\u043d\u044f). \u0421\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u0435 \u0434\u0430\u0441\u0442 \u0432\u0430\u043c 4, \u043a\u0432\u0430\u0434\u0440\u0430\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c \u0438\u0437\u00a0\u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u0433\u043e = 2. \u0410\u00a0\u0435\u0441\u043b\u0438 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a\u00a0\u0435\u0441\u0442\u044c, \u0442\u043e \u0442\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043c\u044b \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c 4-\u043a\u0438 = 8. \u041a\u043e\u0440\u0435\u043d\u044c = 2.82. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043e\u0434\u043d\u0443 \u0438 \u0442\u0443\u00a0\u0436\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043d\u0438\u0446\u0443 (\u0434\u043e\u043f\u0443\u0441\u0442\u0438\u043c, 10)\u00a0\u043f\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430 2\u00a0\u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432 2.82, \u0442\u043e \u00abt\u00bb \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 5\u00a0\u0438 3.84 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e.<\/p>\n
\u041e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u043f\u0440\u043e \u044d\u0442\u043e \u00ab\u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u0430\u00a0\u0431\u044b\u0442\u044c \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435\u00bb t\u2011test \u043d\u0438\u0447\u0435\u0433\u043e \u043d\u0435\u00a0\u0437\u043d\u0430\u0435\u0442: \u0443\u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u044f\u0435\u0442 \u0438 \u0432\u0441\u0451 \u0442\u0443\u0442\u00a0\u2014 \u0447\u0442\u043e \u0438 \u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u0442 t-\u0441\u0442\u0430\u0442\u0438\u0441\u0442\u0438\u043a\u0443 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e\u0439, \u0430 \u044d\u0442\u043e \u0438 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0438\u0441\u0442\u043e\u0447\u043d\u0438\u043a \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0433\u043e \u0440\u043e\u0434\u0430 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0430 \u0430\u043b\u044c\u0444\u044b. \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u044b t-test’a \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u043a\u0430\u043a-\u0442\u043e \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c, \u043d\u043e \u043a\u0430\u043a?\u00a0<\/p>\n
\u0412\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u044b \u0434\u0432\u0430 \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442\u0430: \u043b\u0438\u0431\u043e \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0442\u044c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e t-\u0441\u0442\u0430\u0442\u0438\u0441\u0442\u0438\u043a\u0443 \u043d\u0430 \u043a\u0430\u043a\u043e\u0439-\u0442\u043e \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442, \u043b\u0438\u0431\u043e \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u0441\u0430\u043c\u043e t-\u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043d\u0430 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u0431\u0443\u0434\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0438\u0437\u0435\u043c\u043b\u044f\u0442\u044c\u0441\u044f \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f t-\u0441\u0442\u0430\u0442\u0438\u0441\u0442\u0438\u043a\u0430.\u00a0\u041f\u043e \u0441\u0443\u0442\u0438, \u043e\u0431\u0430 \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442\u0430 \u043f\u0440\u043e \u043e\u0434\u043d\u043e \u0438 \u0442\u043e\u0436\u0435 \u2014 \u0443\u0432\u0438\u0434\u0438\u0442\u0435 \u0434\u0430\u043b\u0435\u0435.<\/p>\n
\u0418\u0437\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u0441\u0430\u043c\u043e \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0430\u0435\u0442, \u0432\u00a0\u0441\u0443\u0449\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438, \u043f\u043e\u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u044c \u0441\u0432\u043e\u0431\u043e\u0434\u044b \u0443\u00a0t\u2011\u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u043f\u043e\u0434\u0440\u0430\u0437\u0443\u043c\u0435\u0432\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c\u00a0\u0431\u044b \u0443\u00a0\u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e t\u2011test’a. \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043d\u0430\u043c \u043d\u0443\u0436\u043d\u0430 \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0446\u0438\u044f d\u00a0\u2014 degrees of freedom.<\/p>\n
\u0414\u0443\u043c\u0430\u044e, Welch, \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e, \u0438\u043c\u0435\u043b \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e \u043f\u043e\u043f\u0440\u0430\u0432\u043a\u0430\u0445 \u043d\u0430 \u0432\u0441\u044f\u043a\u0438\u0435 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0442\u0435\u0441\u0442\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f, \u0430 \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435 \u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u043e \u0431\u044b\u043b\u043e \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0437 \u043f\u043e\u0439\u0442\u0438 \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u043c \u043f\u0443\u0442\u0451\u043c, \u043d\u043e \u0441\u0430\u043c \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434 \u0432\u044b\u0432\u0435\u043b, \u043a\u0430\u0436\u0435\u0442\u0441\u044f, \u043d\u0435\u043e\u0436\u0438\u0434\u0430\u043d\u043d\u043e \u043d\u0430 \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439. <\/p>\n
\u0412\u044b\u0432\u043e\u0434 \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0446\u0438\u0438. \u041f\u043e\u043f\u044b\u0442\u043a\u0430 \u0432\u044b\u0439\u0442\u0438 \u043d\u0430 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442<\/h3>\n
\u0414\u043b\u044f \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434\u0430 \u0431\u0443\u0434\u0443 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0440\u044f\u0434 \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0445 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432 \u043e\u0436\u0438\u0434\u0430\u0435\u043c\u043e\u0433\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438:<\/p>\n
\"E(X+Y)=E(X)+E(Y)\"\"E(Const)=Const\"\"Var(aX)=a^2Var(X)\"\"Var(\u0421onst)=0\"\"Var(X)<\/p>\n
\u0418 \u0434\u043b\u044f \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u044b\u0445 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d:<\/p>\n
\"Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)\"<\/p>\n
\u0418\u0442\u0430\u043a, \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0431\u0443\u0435\u043c \u0441\u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c t-\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0438\u043c \u043e\u0431\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043d\u0430 \u0438\u0441\u0442\u0438\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0439 \u043f\u043e\u043f\u0443\u043b\u044f\u0446\u0438\u0438 (\u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043c\u044b \u043d\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0435\u043c, \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e, \u043d\u043e \u043d\u0430 \u0443\u0440\u043e\u0432\u043d\u0435 \u043d\u0435\u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0435\u0439 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e):<\/p>\n
\"(2)<\/p>\n
\u041f\u043e\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u043c \u043c\u0435\u0441\u0442\u0430\u043c\u0438 \u043a\u043e\u0440\u043d\u0438 \u0432 \u0437\u043d\u0430\u043c\u0435\u043d\u0430\u0442\u0435\u043b\u0435:<\/p>\n
\"(3)<\/p>\n
\u0412 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0438 \u043c\u044b \u0441\u0432\u0435\u043b\u0438 \u043d\u0430\u0448\u0435 \u0432\u044b\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u00a0\u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0422\u2011\u0442\u0435\u0441\u0442\u0443 \u0441\u00a0\u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0446\u0438\u0435\u0439 \u043d\u0430 \u00ab\u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u00bb (\u0434\u0440\u0443\u0433\u0443\u044e \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439\u043d\u0443\u044e \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u0443) \u0441\u00a0\u0442\u0435\u043c\u00a0\u043b\u0438\u0448\u044c \u043a\u043e\u043c\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0440\u0438\u0435\u043c, \u0447\u0442\u043e\u00a0\u044d\u0442\u043e \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u0445 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043e\u043a:\u00a0<\/p>\n