{"id":478319,"date":"2026-05-02T14:42:19","date_gmt":"2026-05-02T14:42:19","guid":{"rendered":"https:\/\/savepearlharbor.com\/?p=478319"},"modified":"-0001-11-30T00:00:00","modified_gmt":"-0001-11-29T21:00:00","slug":"","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/savepearlharbor.com\/?p=478319","title":{"rendered":"\u0417\u0430\u043f\u0440\u0435\u0449\u0451\u043d\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0430 \u0432 \u0442\u0432\u043e\u0451\u043c autograd: \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u0435, \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u0438 \u043d\u0435\u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437"},"content":{"rendered":"<div xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1999\/xhtml\">\n<h3>TL;DR<\/h3>\n<p>\u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432\u044b \u043f\u0438\u0448\u0435\u0442\u0435 <code>loss.backward()<\/code>, \u0432\u0430\u0448 autograd \u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u0442 \u0442\u043e, \u0447\u0442\u043e 200 \u043b\u0435\u0442 \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0435\u0440\u0435\u0441\u044c\u044e: \u043e\u043f\u0435\u0440\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u043c\u0438 \u043a\u0430\u043a \u043d\u0430\u0441\u0442\u043e\u044f\u0449\u0438\u043c\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c\u0438. \u0412 1960 \u0433\u043e\u0434\u0443 \u0410\u0431\u0440\u0430\u0445\u0430\u043c \u0420\u043e\u0431\u0438\u043d\u0441\u043e\u043d \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u043b \u044d\u0442\u0443 \u00ab\u0435\u0440\u0435\u0441\u044c\u00bb \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u043d\u0435\u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430. Forward-mode \u0430\u0432\u0442\u043e\u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435, \u043d\u0430 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0442\u0441\u044f JAX, PyTorch \u0438 \u043f\u043e\u043b-\u0438\u043d\u0434\u0443\u0441\u0442\u0440\u0438\u0438 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0435\u0433\u043e \u043e\u0431\u0440\u0435\u0437\u0430\u043d\u043d\u0430\u044f \u0432\u0435\u0440\u0441\u0438\u044f. \u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0440\u0430\u0437\u0431\u0435\u0440\u0451\u043c \u0433\u0438\u043f\u0435\u0440\u0440\u0435\u0430\u043b\u044b \u0438 \u043c\u043e\u043d\u0430\u0434\u044b, \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u0435\u043c \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u0432 \u043a\u043e\u0434\u0435.<\/p>\n<h3>\u041f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u0430, \u043e \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043d\u0435 \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u044f\u0442<\/h3>\n<p>\u041e\u0442\u043a\u0440\u043e\u0439\u0442\u0435 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0439 \u0443\u0447\u0435\u0431\u043d\u0438\u043a \u0442\u0435\u0440\u043c\u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438\u043a\u0438. \u041d\u0430\u0439\u0434\u0438\u0442\u0435 \u0442\u0430\u043c \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0435 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u043e:<\/p>\n<p><strong><em>dU=\u03b4Q\u2212\u03b4A<\/em><\/strong><\/p>\n<p>\u041e\u0434\u0438\u043d \u0437\u043d\u0430\u0447\u043e\u043a \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439, \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u2014 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439. \u0421\u043f\u0440\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435 \u0430\u0432\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0443\u0447\u0435\u0431\u043d\u0438\u043a\u0430, \u0447\u0435\u043c <code>\u03b4Q<\/code> \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0442 <code>dU<\/code> \u2014 \u0432\u0430\u043c \u043d\u0430\u0447\u043d\u0443\u0442 \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u044f\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e \u00ab\u043f\u043e\u043b\u043d\u044b\u0439\u00bb \u0438 \u00ab\u043d\u0435\u043f\u043e\u043b\u043d\u044b\u0439\u00bb \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b. \u0421\u043f\u0440\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0430-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0442\u0438\u043a\u0430, \u0447\u0442\u043e \u0432\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 <code>dx<\/code> \u2014 \u043e\u043d \u043d\u0430\u0447\u043d\u0451\u0442 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u044b.<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u0430 \u0432 \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0437\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u043c\u0430\u0442\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430 <code>dU<\/code> \u0438 <code>\u03b4Q<\/code> \u2014 \u044d\u0442\u043e <strong>\u043e\u0434\u0438\u043d \u0438 \u0442\u043e\u0442 \u0436\u0435 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442<\/strong>. \u041e\u0431\u0430 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b. \u0418 \u0442\u043e\u0442, \u0438 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0440\u0435\u043c\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u043d\u0443\u043b\u044e. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0432 \u0440\u0443\u043a\u0430\u0445 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0430\u043f\u043f\u0430\u0440\u0430\u0442 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u0432, \u043c\u044b \u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0435\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e \u0437\u0430\u043c\u043a\u043d\u0443\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043a\u043e\u043d\u0442\u0443\u0440\u0443 \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0442 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e.<\/p>\n<p>\u0424\u0438\u0437\u0438\u043a \u044d\u0442\u043e \u0438\u043d\u0442\u0443\u0438\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442: <code>\u03b4Q<\/code> \u2014 \u043c\u0430\u043b\u0435\u043d\u044c\u043a\u0438\u0439 \u043a\u0443\u0441\u043e\u0447\u0435\u043a \u0442\u0435\u043f\u043b\u0430, <strong>\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u044f\u0449\u0438\u0439 \u043e\u0442 \u043f\u0443\u0442\u0438<\/strong>. <code>dU<\/code> \u2014 \u043f\u0440\u0438\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u044f, \u043d\u0435 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u044f\u0449\u0438\u0439. \u041d\u043e \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0432 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u043c \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043d\u0438\u0446\u0430 \u0437\u0430\u0442\u0430\u0441\u043a\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0438 \u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430, \u0430 \u043d\u0435 \u0441\u0438\u0434\u0438\u0442 \u0432 \u0441\u0430\u043c\u0438\u0445 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u0430\u0445. \u0414\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044b \u043a\u0430\u043a \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u044b \u0432 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u043c \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0435 \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0443 \u043e\u0442\u0441\u0443\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442 \u2014  \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044b.<\/p>\n<h3>\u041a\u0440\u0430\u0442\u043a\u0430\u044f \u0438\u0441\u0442\u043e\u0440\u0438\u044f \u0437\u0430\u043f\u0440\u0435\u0449\u0451\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0438\u0434\u0435\u0438<\/h3>\n<p>\u041b\u0435\u0439\u0431\u043d\u0438\u0446 \u0432 1684 \u0433\u043e\u0434\u0443 \u0432\u0432\u0451\u043b \u0432 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437 <strong>\u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u0435<\/strong> \u2014 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043d\u0443\u043b\u044f, \u043d\u043e \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e. \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043e\u043d \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u043b \u0431\u0443\u043a\u0432\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e: <code>dy\/dx<\/code>, \u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u0445. \u041d\u044c\u044e\u0442\u043e\u043d \u0434\u0435\u043b\u0430\u043b \u0447\u0442\u043e-\u0442\u043e \u043f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0435\u0435, \u043a\u0441\u0442\u0430\u0442\u0438 \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u044f.<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u043b\u043e. \u0421 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0430\u043f\u043f\u0430\u0440\u0430\u0442\u0430 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440 \u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u043b \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435, \u0447\u0442\u043e \u0434\u043e \u0441\u0438\u0445 \u043f\u043e\u0440 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043e\u0442\u043a\u0440\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442. \u041d\u043e \u0431\u044b\u043b \u043e\u0434\u0438\u043d \u043d\u044e\u0430\u043d\u0441: \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u0435 \u043d\u0435\u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u043e \u043a\u0430\u043a \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c. \u0415\u0441\u043b\u0438 <code>\u03b5 &gt; 0<\/code>, \u043d\u043e <code>\u03b5 &lt; r<\/code> \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e <code>r<\/code> \u2014 \u0442\u043e \u0447\u0442\u043e \u044d\u0442\u043e \u0432\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0437\u0430 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442?<\/p>\n<p>\u0411\u0435\u0440\u043a\u043b\u0438 \u043d\u0430\u043a\u0438\u043d\u0443\u043b\u0441\u044f \u0441 \u0444\u0438\u043b\u043e\u0441\u043e\u0444\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0442\u0438\u043a\u043e\u0439 (\u00ab\u043f\u0440\u0438\u0437\u0440\u0430\u043a\u0438 \u0438\u0441\u0447\u0435\u0437\u043d\u0443\u0432\u0448\u0438\u0445 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u00bb). \u0412 XIX \u0432\u0435\u043a\u0435 \u041a\u043e\u0448\u0438, \u0430 \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0441\u0442\u0440\u043e\u0433\u043e \u0412\u0435\u0439\u0435\u0440\u0448\u0442\u0440\u0430\u0441\u0441 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0438\u043b\u0438 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u0435 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044b \u0438 <code>(\u03b5, \u03b4)<\/code>-\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043b\u043e\u0441\u044c \u0441\u0442\u0440\u043e\u0433\u043e. \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043b\u043e\u0441\u044c \u0442\u044f\u0436\u0435\u043b\u043e. \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043b\u043e\u0441\u044c \u043d\u0435\u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u0444\u0438\u0437\u0438\u043a\u043e\u0432. \u0411\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0438\u0437 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0438 \u0438\u0437\u0433\u043d\u0430\u043b\u0438 \u2014 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a \u0436\u0435, \u043a\u0430\u043a \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430-\u0442\u043e \u0438\u0437\u0433\u043e\u043d\u044f\u043b\u0438 \u043d\u043e\u043b\u044c \u0438 \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430.<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a \u043e\u043d\u043e \u0438 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u043b\u043e \u0434\u043e 1960 \u0433\u043e\u0434\u0430.<\/p>\n<p>\u0412 1960-\u043c <strong>\u0410\u0431\u0440\u0430\u0445\u0430\u043c \u0420\u043e\u0431\u0438\u043d\u0441\u043e\u043d<\/strong> \u043e\u043f\u0443\u0431\u043b\u0438\u043a\u043e\u0432\u0430\u043b \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0443, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0440\u043e\u0433\u043e, \u0432 \u0440\u0430\u043c\u043a\u0430\u0445 \u0442\u0435\u043e\u0440\u0438\u0438 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0435\u0439, \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u043b \u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b \u2014 <strong>\u0433\u0438\u043f\u0435\u0440\u0440\u0435\u0430\u043b\u044b<\/strong> <code>*R<\/code> \u2014 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0449\u0435\u0435 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u0435 \u0438 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043a\u0430\u043a \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u043f\u0440\u0430\u0432\u043d\u044b\u0435 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u043f\u043e\u043b\u044f. \u0411\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0442\u0430\u043b\u0438 \u0431\u044b\u0442\u044c \u00ab\u043d\u0435\u0434\u043e\u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c\u0438\u00bb \u0438 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0442\u0438\u043b\u0438\u0441\u044c \u0432 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u0441 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u043c\u0438 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0432\u0441\u0451 \u0442\u043e \u0436\u0435, \u0447\u0442\u043e \u0438 \u0441 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u044b\u043c\u0438.<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f <strong>\u043d\u0435\u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u044b\u043c \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u043c<\/strong>. \u0412 \u0420\u043e\u0441\u0441\u0438\u0438 \u0435\u0433\u043e \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0440\u0430\u0437\u0432\u0438\u0432\u0430\u043b\u0430 \u043d\u043e\u0432\u043e\u0441\u0438\u0431\u0438\u0440\u0441\u043a\u0430\u044f \u0448\u043a\u043e\u043b\u0430 \u041a\u0443\u0442\u0430\u0442\u0435\u043b\u0430\u0434\u0437\u0435 \u2014 \u0441\u0435\u0440\u0438\u044f \u043c\u043e\u043d\u043e\u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u0439, \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u043d\u0430\u044f \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0433\u043b\u0443\u0431\u0438\u043d\u0430, \u0441\u0432\u043e\u0451 \u0432\u0438\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u043a\u0430\u043a \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u0430 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0435\u0442\u044c \u0430\u043a\u0441\u0438\u043e\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0430 \u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<h3>\u0427\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0433\u0438\u043f\u0435\u0440\u0440\u0435\u0430\u043b\u044b<\/h3>\n<p>\u0414\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0437\u043d\u0430\u0442\u044c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0435.<\/p>\n<p><code>*R<\/code> \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043f\u043e\u043b\u0435, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 <code>R<\/code> \u0438 \u043f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p><strong>\u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u0435<\/strong> \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 <code>H<\/code>, \u0442\u0430\u043a\u0438\u0435 \u0447\u0442\u043e <code>H &gt; n<\/code> \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e <code>n<\/code>;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p><strong>\u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u0435<\/strong> \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 <code>\u03b5 = 1\/H<\/code>, \u0442\u0430\u043a\u0438\u0435 \u0447\u0442\u043e <code>0 &lt; |\u03b5| &lt; 1\/n<\/code> \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e <code>n<\/code>.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u0412\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442 \u0432\u0441\u0435 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430. \u041c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0442\u044c, \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c. <code>2\u03b5<\/code> \u2014 \u0442\u043e\u0436\u0435 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u043e\u0435. <code>\u03b5\u00b2<\/code> \u2014 \u0435\u0449\u0451 \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435, \u0447\u0435\u043c <code>\u03b5<\/code>. <code>H + \u03b5<\/code> \u2014 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0435. \u0418 \u0442\u0430\u043a \u0434\u0430\u043b\u0435\u0435.<\/p>\n<p>\u0413\u043b\u0430\u0432\u043d\u043e\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e: \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e <em>\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e<\/em> \u0433\u0438\u043f\u0435\u0440\u0440\u0435\u0430\u043b\u0430 <code>x<\/code> (\u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043d\u0435 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0433\u043e) \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 <strong>\u0435\u0434\u0438\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435<\/strong> \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e <code>st(x)<\/code>, \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u0431\u043b\u0438\u0437\u043a\u043e\u0435 \u043a \u043d\u0435\u043c\u0443. \u042d\u0442\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f <strong>\u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c\u044e<\/strong> <code>x<\/code>. \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, <code>st(2 + \u03b5) = 2<\/code>, \u0430 <code>st(3 + 5\u03b5 - 7\u03b5\u00b2) = 3<\/code>.<\/p>\n<p>\u0412\u043e\u043a\u0440\u0443\u0433 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043a\u043b\u0443\u0431\u0438\u0442\u0441\u044f <strong>\u043e\u0431\u043b\u0430\u043a\u043e<\/strong> \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u0431\u043b\u0438\u0437\u043a\u0438\u0445 \u043a \u043d\u0435\u0439 \u0433\u0438\u043f\u0435\u0440\u0440\u0435\u0430\u043b\u043e\u0432 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0438 \u0435\u0441\u0442\u044c <strong>\u043c\u043e\u043d\u0430\u0434\u0430<\/strong> \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0432 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b\u0435 \u041b\u0435\u0439\u0431\u043d\u0438\u0446\u0430. \u041c\u043e\u043d\u0430\u0434\u0430 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043e\u043a\u0440\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u0449\u0430\u044f \u0438\u0437 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0438 \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u0445 \u043e\u0442\u043a\u043b\u043e\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043e\u0442 \u043d\u0435\u0451. \u0422\u043e\u043f\u043e\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0438\u043d\u0442\u0443\u0438\u0446\u0438\u044f \u0442\u0443\u0442 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0446\u0438\u043f\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0434\u0440\u0443\u0433\u0430\u044f: \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u00ab\u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0441\u043a\u043e\u043b\u044c \u0443\u0433\u043e\u0434\u043d\u043e \u0431\u043b\u0438\u0437\u043a\u043e\u00bb \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u00ab\u0446\u0435\u043b\u043e\u0435 \u043e\u0431\u043b\u0430\u043a\u043e \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a, \u043a\u0430\u0436\u0434\u0430\u044f \u0438\u0437 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u0443\u0436\u0435 \u043d\u0435\u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0438\u043c\u0430 \u043e\u0442 \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440\u0430\u00bb.<\/p>\n<figure class=\"full-width \"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/c76\/1a3\/d82\/c761a3d828f1e5ebf274fd70f82d258c.gif\" width=\"990\" height=\"550\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/c76\/1a3\/d82\/c761a3d828f1e5ebf274fd70f82d258c.gif 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/c76\/1a3\/d82\/c761a3d828f1e5ebf274fd70f82d258c.gif 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/figure>\n<h3>\u0410\u043a\u0441\u0438\u043e\u043c\u0430 \u0410\u0440\u0445\u0438\u043c\u0435\u0434\u0430 \u043d\u0435 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u2014 \u0438 \u044d\u0442\u043e \u0444\u0438\u0447\u0430<\/h3>\n<p>\u0410\u043a\u0441\u0438\u043e\u043c\u0430 \u0410\u0440\u0445\u0438\u043c\u0435\u0434\u0430: \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u044b\u0445 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b <code>a<\/code> \u0438 <code>b<\/code> \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 <code>n<\/code>, \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0447\u0442\u043e <code>n\u00b7a &gt; b<\/code>. \u0412 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0435 \u044d\u0442\u043e \u043e\u0447\u0435\u0432\u0438\u0434\u043d\u043e: \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0439 <code>a<\/code> \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0437 \u2014 \u0440\u0430\u043d\u043e \u0438\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0437\u0434\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0448\u0430\u0433\u043d\u0451\u0448\u044c \u043b\u044e\u0431\u043e\u0435 <code>b<\/code>.<\/p>\n<p>\u0412 <code>*R<\/code> \u044d\u0442\u043e <strong>\u043d\u0435 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442<\/strong>. \u0415\u0441\u043b\u0438 <code>\u03b5<\/code> \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u043e, \u0430 <code>b = 1<\/code>, \u0442\u043e <code>n\u00b7\u03b5<\/code> \u043e\u0441\u0442\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u043c \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e <code>n<\/code>. \u041d\u0438\u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043d\u0435 \u0434\u043e\u0442\u044f\u043d\u0435\u0442 \u0434\u043e \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u044b. \u042d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0431\u0430\u0433 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0431\u0430\u0437\u043e\u0432\u043e\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e \u043d\u0435\u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u043d\u0442\u0438\u043d\u0443\u0443\u043c\u0430.<\/p>\n<figure class=\"full-width \"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/47e\/581\/003\/47e5810036931a58b236d196972b4faa.gif\" width=\"1430\" height=\"605\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/47e\/581\/003\/47e5810036931a58b236d196972b4faa.gif 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/47e\/581\/003\/47e5810036931a58b236d196972b4faa.gif 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/figure>\n<p>\u0418, \u043a\u0441\u0442\u0430\u0442\u0438, \u044d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0442\u0430\u043a\u0430\u044f \u0443\u0436 \u044d\u043a\u0437\u043e\u0442\u0438\u043a\u0430. \u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432 \u0444\u0438\u0437\u0438\u043a\u0435 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u044e\u0442 <code>dt \u2192 0<\/code> \u0438 <code>t \u2192 \u221e<\/code>, \u0438 \u0432\u043e\u043b\u043d\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f, \u043a\u0430\u043a \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u044d\u0442\u0438 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044b \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d\u044b \u2014 \u0444\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441 \u043f\u0440\u043e \u043d\u0435-\u0430\u0440\u0445\u0438\u043c\u0435\u0434\u043e\u0432\u0443 \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443.<\/p>\n<h3>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0431\u0435\u0437 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u0432<\/h3>\n<p>\u0412 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u043c \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0435:<\/p>\n<figure class=\"\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/455\/a7b\/7ca\/455a7b7cae9239ff8c60db971f11d4f1.png\" width=\"282\" height=\"66\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w780\/getpro\/habr\/upload_files\/455\/a7b\/7ca\/455a7b7cae9239ff8c60db971f11d4f1.png 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/455\/a7b\/7ca\/455a7b7cae9239ff8c60db971f11d4f1.png 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/figure>\n<p>\u0412 \u043d\u0435\u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u043c \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0435:<\/p>\n<figure class=\"\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/51a\/5f5\/38b\/51a5f538ba125865f95565acb51acc5b.png\" width=\"238\" height=\"68\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w780\/getpro\/habr\/upload_files\/51a\/5f5\/38b\/51a5f538ba125865f95565acb51acc5b.png 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/getpro\/habr\/upload_files\/51a\/5f5\/38b\/51a5f538ba125865f95565acb51acc5b.png 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/figure>\n<p>\u0433\u0434\u0435\u00a0<em>\u03b5<\/em>\u00a0\u2014 \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u043e\u0435, \u0430\u00a0st(\u2026)\u00a0\u0431\u0435\u0440\u0451\u0442 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c.<\/p>\n<p>\u041d\u0438\u043a\u0430\u043a\u0438\u0445 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u0432. \u041d\u0438\u043a\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0434\u0435\u043b\u044c\u0442\u0430-\u044d\u043f\u0441\u0438\u043b\u043e\u043d<\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f <code>f(x) = x\u00b2<\/code>:<\/p>\n<pre><code>(f(x + \u03b5) - f(x)) \/ \u03b5  = ((x + \u03b5)\u00b2 - x\u00b2) \/ \u03b5  = (x\u00b2 + 2x\u03b5 + \u03b5\u00b2 - x\u00b2) \/ \u03b5  = (2x\u03b5 + \u03b5\u00b2) \/ \u03b5  = 2x + \u03b5<\/code><div class=\"code-explainer\"><a href=\"https:\/\/sourcecraft.dev\/\" class=\"tm-button code-explainer__link\" style=\"visibility: hidden;\"><img style=\"width:87px;height:14px;object-fit:cover;object-position:left;\"\/><\/a><\/div><\/pre>\n<p><code>st(2x + \u03b5) = 2x<\/code>. \u0413\u043e\u0442\u043e\u0432\u043e. \u041d\u0438\u043a\u0430\u043a\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0430 \u043d\u0435 \u0431\u0440\u0430\u043b\u0438 \u2014 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u0432 \u0433\u0438\u043f\u0435\u0440\u0440\u0435\u0430\u043b\u0430\u0445 \u043f\u043b\u044e\u0441 \u0432\u0437\u044f\u0442\u0438\u0435 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438. \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0438\u0433\u0440\u0430\u0435\u0442 \u0440\u043e\u043b\u044c \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u0430.<\/p>\n<h3>\u0414\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430: \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u0435, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u043b \u0438\u043d\u0436\u0435\u043d\u0435\u0440<\/h3>\n<p>\u041f\u043e\u043b\u043d\u044b\u0439 \u043d\u0435\u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437 \u2014 \u0448\u0442\u0443\u043a\u0430 \u0441 \u0441\u0435\u0440\u044c\u0451\u0437\u043d\u043e\u0439 \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u0442\u0438\u043a\u043e-\u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u043a\u043e\u0439, \u0438 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043c\u043f\u044c\u044e\u0442\u0435\u0440\u0435 \u0446\u0435\u043b\u0438\u043a\u043e\u043c \u043d\u0435\u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e. \u041d\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e <strong>\u043e\u0431\u0440\u0435\u0437\u0430\u043d\u043d\u0430\u044f<\/strong> \u0432\u0435\u0440\u0441\u0438\u044f, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043f\u0440\u0435\u043a\u0440\u0430\u0441\u043d\u043e \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0438 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0431\u0443\u043a\u0432\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0432\u0441\u044f \u0438\u043d\u0434\u0443\u0441\u0442\u0440\u0438\u044f.<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e <strong>\u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430<\/strong>.<\/p>\n<p>\u0414\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043f\u0430\u0440\u0430 <code>(a, b)<\/code>, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0443\u044e \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043a\u0430\u043a <code>a + b\u03b5<\/code>, \u0433\u0434\u0435 <code>\u03b5\u00b2 = 0<\/code>, \u043d\u043e <code>\u03b5 \u2260 0<\/code>.<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u043a\u0430\u043a \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e <code>i\u00b2 = -1<\/code> \u043c\u044b \u043f\u043e\u0441\u0442\u0443\u043b\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c <code>\u03b5\u00b2 = 0<\/code>. \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u043e\u043c\u043c\u0443\u0442\u0430\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u0435 \u043a\u043e\u043b\u044c\u0446\u043e (\u043d\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0435, \u043d\u043e \u043d\u0430\u043c \u0438 \u043d\u0435 \u043d\u0430\u0434\u043e).<\/p>\n<p>\u0421\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u044e\u0442 \u043f\u043e \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430\u043c:<\/p>\n<pre><code>(a + b\u03b5) + (c + d\u03b5) = (a + c) + (b + d)\u03b5(a + b\u03b5) \u00b7 (c + d\u03b5) = ac + (ad + bc)\u03b5 + bd\u00b7\u03b5\u00b2                    = ac + (ad + bc)\u03b5        \u2190 \u03b5\u00b2 = 0<\/code><div class=\"code-explainer\"><a href=\"https:\/\/sourcecraft.dev\/\" class=\"tm-button code-explainer__link\" style=\"visibility: hidden;\"><img style=\"width:14px;height:14px;object-fit:cover;object-position:left;\"\/><\/a><\/div><\/pre>\n<p>\u0418 \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0444\u043e\u043a\u0443\u0441. \u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c <code>x + \u03b5<\/code> \u0432 \u043b\u044e\u0431\u0443\u044e \u0433\u043b\u0430\u0434\u043a\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0438 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0440\u0430\u0437\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c \u0432 \u0440\u044f\u0434 \u0422\u0435\u0439\u043b\u043e\u0440\u0430:<\/p>\n<pre><code>f(x + \u03b5) = f(x) + f'(x)\u00b7\u03b5 + \u00bd f''(x)\u00b7\u03b5\u00b2 + ...         = f(x) + f'(x)\u00b7\u03b5                   \u2190 \u0432\u0441\u0451, \u0447\u0442\u043e \u0441 \u03b5\u00b2, \u043e\u0431\u043d\u0443\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f<\/code><div class=\"code-explainer\"><a href=\"https:\/\/sourcecraft.dev\/\" class=\"tm-button code-explainer__link\" style=\"visibility: hidden;\"><img style=\"width:14px;height:14px;object-fit:cover;object-position:left;\"\/><\/a><\/div><\/pre>\n<p>\u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0435\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0432 \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u2014 \u043d\u0430 \u0432\u044b\u0445\u043e\u0434\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u043f\u0430\u0440\u0443 <code>(\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f)<\/code> <strong>\u0431\u0435\u0441\u043f\u043b\u0430\u0442\u043d\u043e<\/strong>. \u041d\u0438\u043a\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0445\u0435\u043c, \u043d\u0438 \u043f\u043e\u0442\u0435\u0440\u0438 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0438\u0437-\u0437\u0430 \u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u0430\u043b\u0435\u043d\u044c\u043a\u043e\u0433\u043e \u043d\u0430 \u043c\u0430\u043b\u0435\u043d\u044c\u043a\u043e\u0435. \u0422\u043e\u0447\u043d\u0430\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f, \u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d\u043d\u0430\u044f \u043e\u0434\u043d\u0438\u043c \u043f\u0440\u043e\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430.<\/p>\n<figure class=\"full-width \"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/643\/921\/21d\/64392121d83f726a80db9b39a3e699e2.gif\" width=\"1210\" height=\"715\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/643\/921\/21d\/64392121d83f726a80db9b39a3e699e2.gif 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/upload_files\/643\/921\/21d\/64392121d83f726a80db9b39a3e699e2.gif 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/figure>\n<h3>\u0420\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f \u0432 NumPy <\/h3>\n<p>\u0414\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441 \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b:<\/p>\n<pre><code class=\"python\">import numpy as npclass Dual:    \"\"\"\u0414\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e: real + dual\u00b7\u03b5, \u0433\u0434\u0435 \u03b5\u00b2 = 0.\"\"\"    __slots__ = (\"real\", \"dual\")    def __init__(self, real, dual=0.0):        self.real = np.asarray(real, dtype=float)        self.dual = np.asarray(dual, dtype=float)    def __repr__(self):        return f\"Dual({self.real}, {self.dual}\u03b5)\"    def __add__(self, other):        other = other if isinstance(other, Dual) else Dual(other)        return Dual(self.real + other.real, self.dual + other.dual)    def __radd__(self, other):        return self + other    def __sub__(self, other):        other = other if isinstance(other, Dual) else Dual(other)        return Dual(self.real - other.real, self.dual - other.dual)    def __rsub__(self, other):        return Dual(other) - self    def __mul__(self, other):        other = other if isinstance(other, Dual) else Dual(other)        return Dual(            self.real * other.real,            self.real * other.dual + self.dual * other.real,        )    def __rmul__(self, other):        return self * other    def __truediv__(self, other):        other = other if isinstance(other, Dual) else Dual(other)        return Dual(            self.real \/ other.real,            (self.dual * other.real - self.real * other.dual) \/ (other.real ** 2),        )    def __pow__(self, n):        # n \u2014 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e        return Dual(self.real ** n, n * self.real ** (n - 1) * self.dual)    def __neg__(self):        return Dual(-self.real, -self.dual)<\/code><div class=\"code-explainer\"><a href=\"https:\/\/sourcecraft.dev\/\" class=\"tm-button code-explainer__link\" style=\"visibility: hidden;\"><img style=\"width:14px;height:14px;object-fit:cover;object-position:left;\"\/><\/a><\/div><\/pre>\n<p>\u0414\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u2014 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0440\u043d\u044b\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438. \u0414\u043b\u044f \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u043c\u044b \u0432\u0440\u0443\u0447\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c \u0435\u0451 \u0440\u0430\u0437\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0435\u0442\u0438\u043a\u0435, \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044f \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e:<\/p>\n<pre><code class=\"python\">def sin(x):    if isinstance(x, Dual):        return Dual(np.sin(x.real), np.cos(x.real) * x.dual)    return np.sin(x)def cos(x):    if isinstance(x, Dual):        return Dual(np.cos(x.real), -np.sin(x.real) * x.dual)    return np.cos(x)def exp(x):    if isinstance(x, Dual):        e = np.exp(x.real)        return Dual(e, e * x.dual)    return np.exp(x)def log(x):    if isinstance(x, Dual):        return Dual(np.log(x.real), x.dual \/ x.real)    return np.log(x)<\/code><div class=\"code-explainer\"><a href=\"https:\/\/sourcecraft.dev\/\" class=\"tm-button code-explainer__link\" style=\"visibility: hidden;\"><img style=\"width:14px;height:14px;object-fit:cover;object-position:left;\"\/><\/a><\/div><\/pre>\n<p>\u0418 \u043e\u0431\u0451\u0440\u0442\u043a\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439:<\/p>\n<pre><code class=\"python\">def derivative(f, x):    \"\"\"\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f f \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 x \u2014 \u043e\u0434\u043d\u0438\u043c \u043f\u0440\u043e\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c.\"\"\"    return f(Dual(x, 1.0)).dual<\/code><div class=\"code-explainer\"><a href=\"https:\/\/sourcecraft.dev\/\" class=\"tm-button code-explainer__link\" style=\"visibility: hidden;\"><img style=\"width:14px;height:14px;object-fit:cover;object-position:left;\"\/><\/a><\/div><\/pre>\n<p>\u0422\u0435\u0441\u0442\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043d\u0430 \u0447\u0451\u043c-\u043d\u0438\u0431\u0443\u0434\u044c \u043d\u0435\u0442\u0440\u0438\u0432\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c:<\/p>\n<pre><code class=\"python\">def f(x):    return sin(x ** 2) * exp(-x) + log(1 + x ** 2)x0 = 1.3print(\"f'(1.3) \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430:    \", derivative(f, x0))<\/code><div class=\"code-explainer\"><a href=\"https:\/\/sourcecraft.dev\/\" class=\"tm-button code-explainer__link\" style=\"visibility: hidden;\"><img style=\"width:14px;height:14px;object-fit:cover;object-position:left;\"\/><\/a><\/div><\/pre>\n<p>\u0421\u0432\u0435\u0440\u044f\u0435\u043c \u0441 \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e:<\/p>\n<pre><code class=\"python\">h = 1e-6fd = (f(x0 + h) - f(x0 - h)) \/ (2 * h)print(\"f'(1.3) \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c:\", fd)<\/code><div class=\"code-explainer\"><a href=\"https:\/\/sourcecraft.dev\/\" class=\"tm-button code-explainer__link\" style=\"visibility: hidden;\"><img style=\"width:14px;height:14px;object-fit:cover;object-position:left;\"\/><\/a><\/div><\/pre>\n<p>\u0427\u0438\u0441\u043b\u0430 \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0443\u0442 \u0434\u043e \u043f\u043b\u0430\u0432\u0430\u044e\u0449\u0435\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438. \u0422\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0432\u0435\u0440\u0441\u0438\u044f \u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u043b\u0430 <strong>\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e<\/strong> (\u0434\u043e \u043e\u0448\u0438\u0431\u043e\u043a \u043e\u043a\u0440\u0443\u0433\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0430\u043c\u043e\u0439 \u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0435\u0442\u0438\u043a\u0438), \u0430 \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u2014 \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0451\u043d\u043d\u043e, \u0441 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u043e\u0439 <code>O(h\u00b2)<\/code> \u043f\u043b\u044e\u0441 \u0447\u0443\u0432\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u043a \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u0443 <code>h<\/code>.<\/p>\n<h3>\u0413\u0434\u0435 \u044d\u0442\u043e \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u043e \u0437\u0430 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0430\u043c\u0438 \u00ab\u0432\u0430\u0443-\u0444\u0430\u043a\u0442\u0430\u00bb<\/h3>\n<p>\u041d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043c\u0435\u0441\u0442, \u0433\u0434\u0435 \u0433\u0438\u043f\u0435\u0440\u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f (\u0438\u043b\u0438 \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f) \u0438\u043d\u0442\u0443\u0438\u0446\u0438\u044f \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435.<\/p>\n<p><strong>\u0427\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u044b.<\/strong> \u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432\u044b \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442\u0435 \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0441 \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c\u0438, \u043e\u043d\u0438 \u0434\u0430\u044e\u0442 \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0439 \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0438 \u0441\u043e\u043f\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u2014 \u043d\u043e \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u043d\u0430\u044f \u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u043b\u043e\u043c\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f\u0445, \u0447\u0443\u0432\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043a \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0430\u043c \u043e\u043a\u0440\u0443\u0433\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f (\u0432\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0431\u043b\u0438\u0437\u043a\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b \u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435). \u0414\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043d\u0435 \u043b\u043e\u043c\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f. \u042d\u0442\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u0432 CFD-\u0441\u0438\u043c\u0443\u043b\u044f\u0446\u0438\u044f\u0445 \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0438\u044f \u044f\u043a\u043e\u0431\u0438\u0430\u043d\u0430 \u0438 \u0432 \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438, \u0433\u0434\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u044b \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0434\u0438\u0435\u043d\u0442\u044b.<\/p>\n<p><strong>\u0427\u0443\u0432\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437.<\/strong> \u0412 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044f\u0445 \u0441 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e\u043c \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u043e\u0432 \u0438\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0445\u043e\u0447\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u043e\u0434\u043d\u043e\u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043f\u043e \u043e\u0434\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0432\u044b\u0431\u0440\u0430\u043d\u043d\u043e\u043c\u0443 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u2014 \u0431\u0435\u0437 \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0433\u043e \u0433\u0440\u0430\u0434\u0438\u0435\u043d\u0442\u0430. Forward-mode AD \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0440\u043e\u0432\u043d\u043e \u043e\u043d\u043e, \u0438 \u043e\u043d \u0434\u0435\u0448\u0435\u0432\u043b\u0435 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0436\u0438\u043c\u0430, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432\u044b\u0445\u043e\u0434\u043e\u0432 \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e, \u0430 \u0432\u0445\u043e\u0434\u043e\u0432 \u043c\u0430\u043b\u043e.<\/p>\n<p><strong>\u0413\u0435\u0441\u0441\u0438\u0430\u043d\u044b \u0438 \u0432\u044b\u0441\u0448\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435.<\/strong> \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u0441\u0430\u043c\u0438 \u0432 \u0441\u0435\u0431\u044f \u2014 <code>Dual(Dual(...))<\/code> \u2014 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043c\u0430\u0448\u0438\u043d\u0435\u0440\u0438\u044f \u0434\u043b\u044f \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439. \u0420\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u00ab\u043c\u043d\u043e\u0433\u043e\u0443\u0440\u043e\u0432\u043d\u0435\u0432\u044b\u0435 \u03b5\u00bb  \u0434\u0430\u0451\u0442 \u0432\u044b\u0441\u0448\u0438\u0435 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0438. \u041f\u043e \u0441\u0443\u0442\u0438 \u044d\u0442\u043e \u0432\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u044f \u043d\u0435\u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430.<\/p>\n<p><strong>\u0414\u0438\u0441\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u044b\u0435 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430-\u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438.<\/strong> \u0412 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u0430\u0445 \u0441 \u043c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0434\u043b\u0438\u043d\u043e\u0439 (\u043f\u0435\u0442\u043b\u0435\u0432\u0430\u044f \u043a\u0432\u0430\u043d\u0442\u043e\u0432\u0430\u044f \u0433\u0440\u0430\u0432\u0438\u0442\u0430\u0446\u0438\u044f, \u043f\u0440\u0438\u0447\u0438\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u0430, \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u044b\u0435 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438) \u043d\u0435-\u0430\u0440\u0445\u0438\u043c\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430 \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0430 \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u0435\u0442 \u0435\u0441\u0442\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e. \u0413\u0438\u043f\u0435\u0440\u0440\u0435\u0430\u043b\u044b \u0434\u0430\u044e\u0442 \u044f\u0437\u044b\u043a, \u043d\u0430 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u044d\u0442\u043e \u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0431\u0435\u0437 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u0430 \u043a \u00ab\u0432\u0441\u0451-\u0442\u0430\u043a\u0438 \u0432 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435 \u043d\u0435\u043f\u0440\u0435\u0440\u044b\u0432\u043d\u043e\u00bb.<\/p>\n<p><strong>\u041f\u0430\u0440\u0430\u0434\u043e\u043a\u0441\u044b \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0442\u0435\u043e\u0440\u0438\u0438 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432.<\/strong> \u041f\u0430\u0440\u0430\u0434\u043e\u043a\u0441 \u0411\u0430\u043d\u0430\u0445\u0430\u2013\u0422\u0430\u0440\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u2014 \u043a\u0430\u043a \u0440\u0430\u0437\u0440\u0435\u0437\u0430\u0442\u044c \u0448\u0430\u0440 \u043d\u0430 \u043f\u044f\u0442\u044c \u043a\u0443\u0441\u043a\u043e\u0432 \u0438 \u0441\u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u044c \u0438\u0437 \u043d\u0438\u0445 \u0434\u0432\u0430 \u0442\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0436\u0435 \u0448\u0430\u0440\u0430 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b, \u0447\u0442\u043e \u0441 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0430\u043a\u0441\u0438\u043e\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u043e\u0439 \u043d\u0435 \u0432\u0441\u0451 \u0431\u043b\u0430\u0433\u043e\u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u043d\u043e \u043d\u0430 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438. \u0410\u043b\u044c\u0442\u0435\u0440\u043d\u0430\u0442\u0438\u0432\u043d\u044b\u0435 \u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0432\u0435\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439 \u2014 \u043f\u043e\u0432\u043e\u0434 \u0437\u0430\u0434\u0443\u043c\u0430\u0442\u044c\u0441\u044f, \u043a\u0430\u043a\u0430\u044f \u0438\u0437 \u043d\u0438\u0445 \u0432\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0444\u0438\u0437\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0430 \u043d\u0435 \u0438\u0434\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043a\u043e\u043d\u0442\u0438\u043d\u0443\u0443\u043c.<\/p>\n<h3>\u041a \u0447\u0435\u043c\u0443 \u044d\u0442\u043e \u0432\u0441\u0435?<\/h3>\n<p>\u0411\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u0435 \u0434\u0432\u0430 \u0441 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0432\u0438\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0430 \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u043b\u0438\u0441\u044c \u043b\u0438\u0431\u043e \u043c\u0435\u0442\u0430\u0444\u043e\u0440\u043e\u0439, \u043b\u0438\u0431\u043e \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u043e\u0439. \u0424\u0438\u0437\u0438\u043a\u0438 \u0438\u043c\u0438 \u0442\u0438\u0445\u043e \u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043b\u0438\u0441\u044c, \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0438 \u0434\u0435\u043b\u0430\u043b\u0438 \u0432\u0438\u0434, \u0447\u0442\u043e \u0438\u0445 \u043d\u0435 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442, \u0438 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u043b\u0438 \u0432\u0441\u0451 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044b. \u0412 1960 \u0433\u043e\u0434\u0443 \u0420\u043e\u0431\u0438\u043d\u0441\u043e\u043d \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043b, \u0447\u0442\u043e \u043e\u043d\u0438 \u043d\u0435 \u043c\u0435\u0442\u0430\u0444\u043e\u0440\u0430. \u042d\u0442\u043e \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u0432 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c \u043f\u043e\u043b\u0435, \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e \u0432 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435\u043c, \u0447\u0435\u043c <code>R<\/code>.<\/p>\n<p>\u0410 \u0432 2026-\u043c \u0432\u0430\u0448 autograd \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430 \u0438\u0445 \u043e\u0431\u0440\u0435\u0437\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438 \u0433\u0440\u0430\u0434\u0438\u0435\u043d\u0442\u044b \u0434\u043b\u044f \u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0444\u043e\u0440\u043c\u0435\u0440\u043e\u0432.<\/p>\n<p>\u0418\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0430 \u0432\u043e\u0437\u0432\u0440\u0430\u0449\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441 \u0442\u043e\u0433\u043e \u0441\u0432\u0435\u0442\u0430 \u043d\u0435\u043e\u0436\u0438\u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c.<\/p>\n<\/div>\n<p>\u0441\u0441\u044b\u043b\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u043e\u0440\u0438\u0433\u0438\u043d\u0430\u043b \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438 <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/articles\/1030680\/\">https:\/\/habr.com\/ru\/articles\/1030680\/<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>TL;DR\u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432\u044b \u043f\u0438\u0448\u0435\u0442\u0435 loss.backward(), \u0432\u0430\u0448 autograd \u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u0442 \u0442\u043e, \u0447\u0442\u043e 200 \u043b\u0435\u0442 \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u043b\u043e\u0441\u044c \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0435\u0440\u0435\u0441\u044c\u044e: \u043e\u043f\u0435\u0440\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u043c\u0438 \u043a\u0430\u043a \u043d\u0430\u0441\u0442\u043e\u044f\u0449\u0438\u043c\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c\u0438. \u0412 1960 \u0433\u043e\u0434\u0443 \u0410\u0431\u0440\u0430\u0445\u0430\u043c \u0420\u043e\u0431\u0438\u043d\u0441\u043e\u043d \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u043b \u044d\u0442\u0443 \u00ab\u0435\u0440\u0435\u0441\u044c\u00bb \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u043d\u0435\u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430. Forward-mode \u0430\u0432\u0442\u043e\u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435, \u043d\u0430 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0442\u0441\u044f JAX, PyTorch \u0438 \u043f\u043e\u043b-\u0438\u043d\u0434\u0443\u0441\u0442\u0440\u0438\u0438 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0435\u0433\u043e \u043e\u0431\u0440\u0435\u0437\u0430\u043d\u043d\u0430\u044f \u0432\u0435\u0440\u0441\u0438\u044f. \u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0440\u0430\u0437\u0431\u0435\u0440\u0451\u043c \u0433\u0438\u043f\u0435\u0440\u0440\u0435\u0430\u043b\u044b \u0438 \u043c\u043e\u043d\u0430\u0434\u044b, \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u0435\u043c \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u0432 \u043a\u043e\u0434\u0435.\u041f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u0430, \u043e \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043d\u0435 \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u044f\u0442\u041e\u0442\u043a\u0440\u043e\u0439\u0442\u0435 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0439 \u0443\u0447\u0435\u0431\u043d\u0438\u043a \u0442\u0435\u0440\u043c\u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438\u043a\u0438. \u041d\u0430\u0439\u0434\u0438\u0442\u0435 \u0442\u0430\u043c \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0435 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u043e:dU=\u03b4Q\u2212\u03b4A\u041e\u0434\u0438\u043d \u0437\u043d\u0430\u0447\u043e\u043a \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439, \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u2014 \u043a\u0440\u0438\u0432\u043e\u0439. \u0421\u043f\u0440\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435 \u0430\u0432\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0443\u0447\u0435\u0431\u043d\u0438\u043a\u0430, \u0447\u0435\u043c \u03b4Q \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0442 dU \u2014 \u0432\u0430\u043c \u043d\u0430\u0447\u043d\u0443\u0442 \u043e\u0431\u044a\u044f\u0441\u043d\u044f\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e \u00ab\u043f\u043e\u043b\u043d\u044b\u0439\u00bb \u0438 \u00ab\u043d\u0435\u043f\u043e\u043b\u043d\u044b\u0439\u00bb \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b. \u0421\u043f\u0440\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0430-\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0442\u0438\u043a\u0430, \u0447\u0442\u043e \u0432\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 dx \u2014 \u043e\u043d \u043d\u0430\u0447\u043d\u0451\u0442 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434\u044b.\u041f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u0430 \u0432 \u0442\u043e\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0437\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u043c\u0430\u0442\u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430 dU \u0438 \u03b4Q \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043e\u0434\u0438\u043d \u0438 \u0442\u043e\u0442 \u0436\u0435 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442. \u041e\u0431\u0430 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b. \u0418 \u0442\u043e\u0442, \u0438 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0440\u0435\u043c\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u043d\u0443\u043b\u044e. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0443 \u043d\u0430\u0441 \u0432 \u0440\u0443\u043a\u0430\u0445 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0430\u043f\u043f\u0430\u0440\u0430\u0442 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u0432, \u043c\u044b \u043d\u0435 \u043c\u043e\u0436\u0435\u043c \u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0435\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e \u0437\u0430\u043c\u043a\u043d\u0443\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043a\u043e\u043d\u0442\u0443\u0440\u0443 \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0442 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0433\u043e.\u0424\u0438\u0437\u0438\u043a \u044d\u0442\u043e \u0438\u043d\u0442\u0443\u0438\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e \u043f\u043e\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442: \u03b4Q \u2014 \u043c\u0430\u043b\u0435\u043d\u044c\u043a\u0438\u0439 \u043a\u0443\u0441\u043e\u0447\u0435\u043a \u0442\u0435\u043f\u043b\u0430, \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u044f\u0449\u0438\u0439 \u043e\u0442 \u043f\u0443\u0442\u0438. dU \u2014 \u043f\u0440\u0438\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u044f, \u043d\u0435 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u044f\u0449\u0438\u0439. \u041d\u043e \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0432 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u043c \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043d\u0438\u0446\u0430 \u0437\u0430\u0442\u0430\u0441\u043a\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443 \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0438 \u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043b\u0430, \u0430 \u043d\u0435 \u0441\u0438\u0434\u0438\u0442 \u0432 \u0441\u0430\u043c\u0438\u0445 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u0430\u0445. \u0414\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044b \u043a\u0430\u043a \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u044b \u0432 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u043c \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0435 \u043f\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0443 \u043e\u0442\u0441\u0443\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442 \u2014  \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044b.\u041a\u0440\u0430\u0442\u043a\u0430\u044f \u0438\u0441\u0442\u043e\u0440\u0438\u044f \u0437\u0430\u043f\u0440\u0435\u0449\u0451\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0438\u0434\u0435\u0438\u041b\u0435\u0439\u0431\u043d\u0438\u0446 \u0432 1684 \u0433\u043e\u0434\u0443 \u0432\u0432\u0451\u043b \u0432 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u0435 \u2014 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435 \u043d\u0443\u043b\u044f, \u043d\u043e \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e. \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043e\u043d \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u043b \u0431\u0443\u043a\u0432\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e: dy\/dx, \u043e\u0442\u043d\u043e\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u0445. \u041d\u044c\u044e\u0442\u043e\u043d \u0434\u0435\u043b\u0430\u043b \u0447\u0442\u043e-\u0442\u043e \u043f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0435\u0435, \u043a\u0441\u0442\u0430\u0442\u0438 \u0433\u043e\u0432\u043e\u0440\u044f.\u042d\u0442\u043e \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u043b\u043e. \u0421 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0430\u043f\u043f\u0430\u0440\u0430\u0442\u0430 \u042d\u0439\u043b\u0435\u0440 \u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u043b \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435, \u0447\u0442\u043e \u0434\u043e \u0441\u0438\u0445 \u043f\u043e\u0440 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043e\u0442\u043a\u0440\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442. \u041d\u043e \u0431\u044b\u043b \u043e\u0434\u0438\u043d \u043d\u044e\u0430\u043d\u0441: \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u0435 \u043d\u0435\u043f\u043e\u043d\u044f\u0442\u043d\u043e \u043a\u0430\u043a \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u03b5 &gt; 0, \u043d\u043e \u03b5 &lt; r \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e r \u2014 \u0442\u043e \u0447\u0442\u043e \u044d\u0442\u043e \u0432\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0437\u0430 \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442?\u0411\u0435\u0440\u043a\u043b\u0438 \u043d\u0430\u043a\u0438\u043d\u0443\u043b\u0441\u044f \u0441 \u0444\u0438\u043b\u043e\u0441\u043e\u0444\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043a\u0440\u0438\u0442\u0438\u043a\u043e\u0439 (\u00ab\u043f\u0440\u0438\u0437\u0440\u0430\u043a\u0438 \u0438\u0441\u0447\u0435\u0437\u043d\u0443\u0432\u0448\u0438\u0445 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u00bb). \u0412 XIX \u0432\u0435\u043a\u0435 \u041a\u043e\u0448\u0438, \u0430 \u043f\u043e\u0442\u043e\u043c \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0441\u0442\u0440\u043e\u0433\u043e \u0412\u0435\u0439\u0435\u0440\u0448\u0442\u0440\u0430\u0441\u0441 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0438\u043b\u0438 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u0435 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044b \u0438 (\u03b5, \u03b4)-\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043b\u043e\u0441\u044c \u0441\u0442\u0440\u043e\u0433\u043e. \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043b\u043e\u0441\u044c \u0442\u044f\u0436\u0435\u043b\u043e. \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u043b\u043e\u0441\u044c \u043d\u0435\u0443\u0434\u043e\u0431\u043d\u043e \u0434\u043b\u044f \u0444\u0438\u0437\u0438\u043a\u043e\u0432. \u0411\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u0435 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0438\u0437 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0438 \u0438\u0437\u0433\u043d\u0430\u043b\u0438 \u2014 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0442\u0430\u043a \u0436\u0435, \u043a\u0430\u043a \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430-\u0442\u043e \u0438\u0437\u0433\u043e\u043d\u044f\u043b\u0438 \u043d\u043e\u043b\u044c \u0438 \u043e\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430.\u0422\u0430\u043a \u043e\u043d\u043e \u0438 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e\u0432\u0430\u043b\u043e \u0434\u043e 1960 \u0433\u043e\u0434\u0430.\u0412 1960-\u043c \u0410\u0431\u0440\u0430\u0445\u0430\u043c \u0420\u043e\u0431\u0438\u043d\u0441\u043e\u043d \u043e\u043f\u0443\u0431\u043b\u0438\u043a\u043e\u0432\u0430\u043b \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0443, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0440\u043e\u0433\u043e, \u0432 \u0440\u0430\u043c\u043a\u0430\u0445 \u0442\u0435\u043e\u0440\u0438\u0438 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0435\u0439, \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u043b \u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b \u2014 \u0433\u0438\u043f\u0435\u0440\u0440\u0435\u0430\u043b\u044b *R \u2014 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0430\u0449\u0435\u0435 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u0435 \u0438 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u043a\u0430\u043a \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u043f\u0440\u0430\u0432\u043d\u044b\u0435 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u043f\u043e\u043b\u044f. \u0411\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0441\u0442\u0430\u043b\u0438 \u0431\u044b\u0442\u044c \u00ab\u043d\u0435\u0434\u043e\u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c\u0438\u00bb \u0438 \u043f\u0440\u0435\u0432\u0440\u0430\u0442\u0438\u043b\u0438\u0441\u044c \u0432 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u0441 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u043c\u0438 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0434\u0435\u043b\u0430\u0442\u044c \u0432\u0441\u0451 \u0442\u043e \u0436\u0435, \u0447\u0442\u043e \u0438 \u0441 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u044b\u043c\u0438.\u042d\u0442\u043e \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u044b\u043c \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u043c. \u0412 \u0420\u043e\u0441\u0441\u0438\u0438 \u0435\u0433\u043e \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0440\u0430\u0437\u0432\u0438\u0432\u0430\u043b\u0430 \u043d\u043e\u0432\u043e\u0441\u0438\u0431\u0438\u0440\u0441\u043a\u0430\u044f \u0448\u043a\u043e\u043b\u0430 \u041a\u0443\u0442\u0430\u0442\u0435\u043b\u0430\u0434\u0437\u0435 \u2014 \u0441\u0435\u0440\u0438\u044f \u043c\u043e\u043d\u043e\u0433\u0440\u0430\u0444\u0438\u0439, \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u043d\u0430\u044f \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0433\u043b\u0443\u0431\u0438\u043d\u0430, \u0441\u0432\u043e\u0451 \u0432\u0438\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u043a\u0430\u043a \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u0430 \u0432\u044b\u0433\u043b\u044f\u0434\u0435\u0442\u044c \u0430\u043a\u0441\u0438\u043e\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0430 \u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f.\u0427\u0442\u043e \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0433\u0438\u043f\u0435\u0440\u0440\u0435\u0430\u043b\u044b\u0414\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0437\u043d\u0430\u0442\u044c \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0435.*R \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043f\u043e\u043b\u0435, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 R \u0438 \u043f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442:\u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 H, \u0442\u0430\u043a\u0438\u0435 \u0447\u0442\u043e H &gt; n \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e n;\u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u03b5 = 1\/H, \u0442\u0430\u043a\u0438\u0435 \u0447\u0442\u043e 0 &lt; |\u03b5| &lt; 1\/n \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e n.\u0412\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0442 \u0432\u0441\u0435 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430. \u041c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u0442\u044c, \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c. 2\u03b5 \u2014 \u0442\u043e\u0436\u0435 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u043e\u0435. \u03b5\u00b2 \u2014 \u0435\u0449\u0451 \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435, \u0447\u0435\u043c \u03b5. H + \u03b5 \u2014 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0435. \u0418 \u0442\u0430\u043a \u0434\u0430\u043b\u0435\u0435.\u0413\u043b\u0430\u0432\u043d\u043e\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e: \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u0433\u0438\u043f\u0435\u0440\u0440\u0435\u0430\u043b\u0430 x (\u0442\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043d\u0435 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0433\u043e) \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0435\u0434\u0438\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e st(x), \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u0431\u043b\u0438\u0437\u043a\u043e\u0435 \u043a \u043d\u0435\u043c\u0443. \u042d\u0442\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c\u044e x. \u041d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, st(2 + \u03b5) = 2, \u0430 st(3 + 5\u03b5 &#8212; 7\u03b5\u00b2) = 3.\u0412\u043e\u043a\u0440\u0443\u0433 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u043a\u043b\u0443\u0431\u0438\u0442\u0441\u044f \u043e\u0431\u043b\u0430\u043a\u043e \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u0431\u043b\u0438\u0437\u043a\u0438\u0445 \u043a \u043d\u0435\u0439 \u0433\u0438\u043f\u0435\u0440\u0440\u0435\u0430\u043b\u043e\u0432 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0438 \u0435\u0441\u0442\u044c \u043c\u043e\u043d\u0430\u0434\u0430 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0432 \u0441\u043c\u044b\u0441\u043b\u0435 \u041b\u0435\u0439\u0431\u043d\u0438\u0446\u0430. \u041c\u043e\u043d\u0430\u0434\u0430 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043e\u043a\u0440\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c, \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u0449\u0430\u044f \u0438\u0437 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0438 \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u0445 \u043e\u0442\u043a\u043b\u043e\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043e\u0442 \u043d\u0435\u0451. \u0422\u043e\u043f\u043e\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0430\u044f \u0438\u043d\u0442\u0443\u0438\u0446\u0438\u044f \u0442\u0443\u0442 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0446\u0438\u043f\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0434\u0440\u0443\u0433\u0430\u044f: \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u00ab\u0442\u043e\u0447\u043a\u0438 \u0441\u043a\u043e\u043b\u044c \u0443\u0433\u043e\u0434\u043d\u043e \u0431\u043b\u0438\u0437\u043a\u043e\u00bb \u043f\u043e\u044f\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u00ab\u0446\u0435\u043b\u043e\u0435 \u043e\u0431\u043b\u0430\u043a\u043e \u0442\u043e\u0447\u0435\u043a, \u043a\u0430\u0436\u0434\u0430\u044f \u0438\u0437 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u0443\u0436\u0435 \u043d\u0435\u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0438\u043c\u0430 \u043e\u0442 \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440\u0430\u00bb.\u0410\u043a\u0441\u0438\u043e\u043c\u0430 \u0410\u0440\u0445\u0438\u043c\u0435\u0434\u0430 \u043d\u0435 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u2014 \u0438 \u044d\u0442\u043e \u0444\u0438\u0447\u0430\u0410\u043a\u0441\u0438\u043e\u043c\u0430 \u0410\u0440\u0445\u0438\u043c\u0435\u0434\u0430: \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u044b\u0445 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b a \u0438 b \u043d\u0430\u0439\u0434\u0451\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 n, \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0447\u0442\u043e n\u00b7a &gt; b. \u0412 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u043a\u0435 \u044d\u0442\u043e \u043e\u0447\u0435\u0432\u0438\u0434\u043d\u043e: \u0441\u043a\u043b\u0430\u0434\u044b\u0432\u0430\u0439 a \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0437 \u2014 \u0440\u0430\u043d\u043e \u0438\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0437\u0434\u043d\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0448\u0430\u0433\u043d\u0451\u0448\u044c \u043b\u044e\u0431\u043e\u0435 b.\u0412 *R \u044d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u03b5 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u043e, \u0430 b = 1, \u0442\u043e n\u00b7\u03b5 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u043c \u0434\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u043d\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e n. \u041d\u0438\u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u043d\u0435 \u0434\u043e\u0442\u044f\u043d\u0435\u0442 \u0434\u043e \u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0446\u044b. \u042d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0431\u0430\u0433 \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0431\u0430\u0437\u043e\u0432\u043e\u0435 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e \u043d\u0435\u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u043a\u043e\u043d\u0442\u0438\u043d\u0443\u0443\u043c\u0430.\u0418, \u043a\u0441\u0442\u0430\u0442\u0438, \u044d\u0442\u043e \u043d\u0435 \u0442\u0430\u043a\u0430\u044f \u0443\u0436 \u044d\u043a\u0437\u043e\u0442\u0438\u043a\u0430. \u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432 \u0444\u0438\u0437\u0438\u043a\u0435 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u044e\u0442 dt \u2192 0 \u0438 t \u2192 \u221e, \u0438 \u0432\u043e\u043b\u043d\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f, \u043a\u0430\u043a \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u044d\u0442\u0438 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044b \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d\u044b \u2014 \u0444\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0432\u043e\u043f\u0440\u043e\u0441 \u043f\u0440\u043e \u043d\u0435-\u0430\u0440\u0445\u0438\u043c\u0435\u0434\u043e\u0432\u0443 \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443.\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0431\u0435\u0437 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u0432\u0412 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u043c \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0435:\u0412 \u043d\u0435\u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u043c \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437\u0435:\u0433\u0434\u0435\u00a0\u03b5\u00a0\u2014 \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u043e\u0435, \u0430\u00a0st(\u2026)\u00a0\u0431\u0435\u0440\u0451\u0442 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c.\u041d\u0438\u043a\u0430\u043a\u0438\u0445 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u043e\u0432. \u041d\u0438\u043a\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0434\u0435\u043b\u044c\u0442\u0430-\u044d\u043f\u0441\u0438\u043b\u043e\u043d\u0414\u043b\u044f f(x) = x\u00b2:(f(x + \u03b5) &#8212; f(x)) \/ \u03b5  = ((x + \u03b5)\u00b2 &#8212; x\u00b2) \/ \u03b5  = (x\u00b2 + 2x\u03b5 + \u03b5\u00b2 &#8212; x\u00b2) \/ \u03b5  = (2x\u03b5 + \u03b5\u00b2) \/ \u03b5  = 2x + \u03b5st(2x + \u03b5) = 2x. \u0413\u043e\u0442\u043e\u0432\u043e. \u041d\u0438\u043a\u0430\u043a\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0430 \u043d\u0435 \u0431\u0440\u0430\u043b\u0438 \u2014 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0430\u043b\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u0432 \u0433\u0438\u043f\u0435\u0440\u0440\u0435\u0430\u043b\u0430\u0445 \u043f\u043b\u044e\u0441 \u0432\u0437\u044f\u0442\u0438\u0435 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438. \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u0438\u0433\u0440\u0430\u0435\u0442 \u0440\u043e\u043b\u044c \u043e\u0431\u044a\u0435\u043a\u0442\u0430.\u0414\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430: \u0431\u0435\u0441\u043a\u043e\u043d\u0435\u0447\u043d\u043e \u043c\u0430\u043b\u044b\u0435, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043f\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u043b \u0438\u043d\u0436\u0435\u043d\u0435\u0440\u041f\u043e\u043b\u043d\u044b\u0439 \u043d\u0435\u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437 \u2014 \u0448\u0442\u0443\u043a\u0430 \u0441 \u0441\u0435\u0440\u044c\u0451\u0437\u043d\u043e\u0439 \u0442\u0435\u043e\u0440\u0435\u0442\u0438\u043a\u043e-\u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0430\u0447\u0438\u043d\u043a\u043e\u0439, \u0438 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043c\u043f\u044c\u044e\u0442\u0435\u0440\u0435 \u0446\u0435\u043b\u0438\u043a\u043e\u043c \u043d\u0435\u0432\u043e\u0437\u043c\u043e\u0436\u043d\u043e. \u041d\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u043e\u0431\u0440\u0435\u0437\u0430\u043d\u043d\u0430\u044f \u0432\u0435\u0440\u0441\u0438\u044f, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043f\u0440\u0435\u043a\u0440\u0430\u0441\u043d\u043e \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0438 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0431\u0443\u043a\u0432\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0432\u0441\u044f \u0438\u043d\u0434\u0443\u0441\u0442\u0440\u0438\u044f.\u042d\u0442\u043e \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430.\u0414\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043f\u0430\u0440\u0430 (a, b), \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0443\u044e \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u043a\u0430\u043a a + b\u03b5, \u0433\u0434\u0435 \u03b5\u00b2 = 0, \u043d\u043e \u03b5 \u2260 0.\u042d\u0442\u043e \u043a\u0430\u043a \u043a\u043e\u043c\u043f\u043b\u0435\u043a\u0441\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430, \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e i\u00b2 = -1 \u043c\u044b \u043f\u043e\u0441\u0442\u0443\u043b\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u03b5\u00b2 = 0. \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u043e\u043c\u043c\u0443\u0442\u0430\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u0435 \u043a\u043e\u043b\u044c\u0446\u043e (\u043d\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0435, \u043d\u043e \u043d\u0430\u043c \u0438 \u043d\u0435 \u043d\u0430\u0434\u043e).\u0421\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u044e\u0442 \u043f\u043e \u043f\u0440\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430\u043c:(a + b\u03b5) + (c + d\u03b5) = (a + c) + (b + d)\u03b5(a + b\u03b5) \u00b7 (c + d\u03b5) = ac + (ad + bc)\u03b5 + bd\u00b7\u03b5\u00b2                    = ac + (ad + bc)\u03b5        \u2190 \u03b5\u00b2 = 0\u0418 \u0442\u0435\u043f\u0435\u0440\u044c \u0444\u043e\u043a\u0443\u0441. \u041f\u043e\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c x + \u03b5 \u0432 \u043b\u044e\u0431\u0443\u044e \u0433\u043b\u0430\u0434\u043a\u0443\u044e \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0438 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0440\u0430\u0437\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c \u0432 \u0440\u044f\u0434 \u0422\u0435\u0439\u043b\u043e\u0440\u0430:f(x + \u03b5) = f(x) + f'(x)\u00b7\u03b5 + \u00bd f&#187;(x)\u00b7\u03b5\u00b2 + &#8230;         = f(x) + f'(x)\u00b7\u03b5                   \u2190 \u0432\u0441\u0451, \u0447\u0442\u043e \u0441 \u03b5\u00b2, \u043e\u0431\u043d\u0443\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f\u0412\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0435\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044e \u0432 \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 \u2014 \u043d\u0430 \u0432\u044b\u0445\u043e\u0434\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u043f\u0430\u0440\u0443 (\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f) \u0431\u0435\u0441\u043f\u043b\u0430\u0442\u043d\u043e. \u041d\u0438\u043a\u0430\u043a\u0438\u0445 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0445\u0435\u043c, \u043d\u0438 \u043f\u043e\u0442\u0435\u0440\u0438 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0438\u0437-\u0437\u0430 \u0434\u0435\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u0430\u043b\u0435\u043d\u044c\u043a\u043e\u0433\u043e \u043d\u0430 \u043c\u0430\u043b\u0435\u043d\u044c\u043a\u043e\u0435. \u0422\u043e\u0447\u043d\u0430\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f, \u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d\u043d\u0430\u044f \u043e\u0434\u043d\u0438\u043c \u043f\u0440\u043e\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c \u0430\u043b\u0433\u043e\u0440\u0438\u0442\u043c\u0430.\u0420\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f \u0432 NumPy \u0414\u0435\u043b\u0430\u0435\u043c \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441 \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b:import numpy as npclass Dual:    &#171;&#187;&#187;\u0414\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e: real + dual\u00b7\u03b5, \u0433\u0434\u0435 \u03b5\u00b2 = 0.&#187;&#187;&#187;    __slots__ = (&#171;real&#187;, &#171;dual&#187;)    def __init__(self, real, dual=0.0):        self.real = np.asarray(real, dtype=float)        self.dual = np.asarray(dual, dtype=float)    def __repr__(self):        return f&#187;Dual({self.real}, {self.dual}\u03b5)&#187;    def __add__(self, other):        other = other if isinstance(other, Dual) else Dual(other)        return Dual(self.real + other.real, self.dual + other.dual)    def __radd__(self, other):        return self + other    def __sub__(self, other):        other = other if isinstance(other, Dual) else Dual(other)        return Dual(self.real &#8212; other.real, self.dual &#8212; other.dual)    def __rsub__(self, other):        return Dual(other) &#8212; self    def __mul__(self, other):        other = other if isinstance(other, Dual) else Dual(other)        return Dual(            self.real * other.real,            self.real * other.dual + self.dual * other.real,        )    def __rmul__(self, other):        return self * other    def __truediv__(self, other):        other = other if isinstance(other, Dual) else Dual(other)        return Dual(            self.real \/ other.real,            (self.dual * other.real &#8212; self.real * other.dual) \/ (other.real ** 2),        )    def __pow__(self, n):        # n \u2014 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e        return Dual(self.real ** n, n * self.real ** (n &#8212; 1) * self.dual)    def __neg__(self):        return Dual(-self.real, -self.dual)\u0414\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u2014 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0440\u043d\u044b\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438. \u0414\u043b\u044f \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u043c\u044b \u0432\u0440\u0443\u0447\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c \u0435\u0451 \u0440\u0430\u0437\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432 \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0435\u0442\u0438\u043a\u0435, \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044f \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e:def sin(x):    if isinstance(x, Dual):        return Dual(np.sin(x.real), np.cos(x.real) * x.dual)    return np.sin(x)def cos(x):    if isinstance(x, Dual):        return Dual(np.cos(x.real), -np.sin(x.real) * x.dual)    return np.cos(x)def exp(x):    if isinstance(x, Dual):        e = np.exp(x.real)        return Dual(e, e * x.dual)    return np.exp(x)def log(x):    if isinstance(x, Dual):        return Dual(np.log(x.real), x.dual \/ x.real)    return np.log(x)\u0418 \u043e\u0431\u0451\u0440\u0442\u043a\u0430 \u0434\u043b\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0439:def derivative(f, x):    &#171;&#187;&#187;\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f f \u0432 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0435 x \u2014 \u043e\u0434\u043d\u0438\u043c \u043f\u0440\u043e\u0433\u043e\u043d\u043e\u043c.&#187;&#187;&#187;    return f(Dual(x, 1.0)).dual\u0422\u0435\u0441\u0442\u0438\u0440\u0443\u0435\u043c \u043d\u0430 \u0447\u0451\u043c-\u043d\u0438\u0431\u0443\u0434\u044c \u043d\u0435\u0442\u0440\u0438\u0432\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c:def f(x):    return sin(x ** 2) * exp(-x) + log(1 + x ** 2)x0 = 1.3print(&#171;f'(1.3) \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430:    &#171;, derivative(f, x0))\u0421\u0432\u0435\u0440\u044f\u0435\u043c \u0441 \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e:h = 1e-6fd = (f(x0 + h) &#8212; f(x0 &#8212; h)) \/ (2 * h)print(&#171;f'(1.3) \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c:&#187;, fd)\u0427\u0438\u0441\u043b\u0430 \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0443\u0442 \u0434\u043e \u043f\u043b\u0430\u0432\u0430\u044e\u0449\u0435\u0439 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438. \u0422\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0432\u0435\u0440\u0441\u0438\u044f \u043f\u043e\u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u043b\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e (\u0434\u043e \u043e\u0448\u0438\u0431\u043e\u043a \u043e\u043a\u0440\u0443\u0433\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u0430\u043c\u043e\u0439 \u0430\u0440\u0438\u0444\u043c\u0435\u0442\u0438\u043a\u0438), \u0430 \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u2014 \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0451\u043d\u043d\u043e, \u0441 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u043e\u0439 O(h\u00b2) \u043f\u043b\u044e\u0441 \u0447\u0443\u0432\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u043a \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u0443 h.\u0413\u0434\u0435 \u044d\u0442\u043e \u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u043d\u043e \u0437\u0430 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0430\u043c\u0438 \u00ab\u0432\u0430\u0443-\u0444\u0430\u043a\u0442\u0430\u00bb\u041d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043c\u0435\u0441\u0442, \u0433\u0434\u0435 \u0433\u0438\u043f\u0435\u0440\u0440\u0435\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f (\u0438\u043b\u0438 \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f) \u0438\u043d\u0442\u0443\u0438\u0446\u0438\u044f \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430 \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u043a\u0435.\u0427\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u044b. \u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432\u044b \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442\u0435 \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0441 \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430\u043c\u0438, \u043e\u043d\u0438 \u0434\u0430\u044e\u0442 \u043e\u0434\u0438\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432\u044b\u0439 \u043e\u0442\u0432\u0435\u0442 \u043f\u0440\u0438 \u0441\u043e\u043f\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c\u043e\u0439 \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u2014 \u043d\u043e \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u043d\u0430\u044f \u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u043b\u043e\u043c\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u044f\u0445, \u0447\u0443\u0432\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043a \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0430\u043c \u043e\u043a\u0440\u0443\u0433\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f (\u0432\u044b\u0447\u0438\u0442\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0431\u043b\u0438\u0437\u043a\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043b \u0432 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u0435). \u0414\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043d\u0435 \u043b\u043e\u043c\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f. \u042d\u0442\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u0432 CFD-\u0441\u0438\u043c\u0443\u043b\u044f\u0446\u0438\u044f\u0445 \u0434\u043b\u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0438\u044f \u044f\u043a\u043e\u0431\u0438\u0430\u043d\u0430 \u0438 \u0432 \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438, \u0433\u0434\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u044b \u043e\u0447\u0435\u043d\u044c \u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0434\u0438\u0435\u043d\u0442\u044b.\u0427\u0443\u0432\u0441\u0442\u0432\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0430\u043d\u0430\u043b\u0438\u0437. \u0412 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044f\u0445 \u0441 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e\u043c \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u043e\u0432 \u0438\u043d\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0445\u043e\u0447\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u043e\u0434\u043d\u043e\u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u0435\u0451 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0443\u044e \u043f\u043e \u043e\u0434\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0432\u044b\u0431\u0440\u0430\u043d\u043d\u043e\u043c\u0443 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044e \u2014 \u0431\u0435\u0437 \u043f\u043e\u043b\u043d\u043e\u0433\u043e \u0433\u0440\u0430\u0434\u0438\u0435\u043d\u0442\u0430. Forward-mode AD \u2014 \u044d\u0442\u043e \u0440\u043e\u0432\u043d\u043e \u043e\u043d\u043e, \u0438 \u043e\u043d \u0434\u0435\u0448\u0435\u0432\u043b\u0435 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0436\u0438\u043c\u0430, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432\u044b\u0445\u043e\u0434\u043e\u0432 \u043c\u043d\u043e\u0433\u043e, \u0430 \u0432\u0445\u043e\u0434\u043e\u0432 \u043c\u0430\u043b\u043e.\u0413\u0435\u0441\u0441\u0438\u0430\u043d\u044b \u0438 \u0432\u044b\u0441\u0448\u0438\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u044b\u0435. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u0432\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u044c \u0434\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u0441\u0430\u043c\u0438 \u0432 \u0441\u0435\u0431\u044f \u2014 Dual(Dual(&#8230;)) \u2014 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043c\u0430\u0448\u0438\u043d\u0435\u0440\u0438\u044f&#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[],"tags":[],"class_list":["post-478319","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/478319","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=478319"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/478319\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=478319"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=478319"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=478319"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}