{"id":498915,"date":"2026-10-16T11:18:34","date_gmt":"2026-10-16T08:18:34","guid":{"rendered":"https:\/\/savepearlharbor.com\/?p=498915"},"modified":"2026-10-16T11:18:34","modified_gmt":"2026-10-16T08:18:34","slug":"","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/savepearlharbor.com\/?p=498915","title":{"rendered":"\u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0438\u0437\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0438\u043d\u0444\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043d\u0435\u0439\u0440\u043e\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0435\u0442\u0435\u0439 (PINN) \u0432 \u043f\u0443\u0447\u043a\u043e\u0432\u044b\u0445 \u043d\u0435\u0439\u0440\u043e\u0441\u0435\u0442\u044f\u0445 \u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0430\u0445"},"content":{"rendered":"<div xmlns=\"http:\/\/www.w3.org\/1999\/xhtml\">\n<figure class=\"full-width \"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/extt\/3d\/a9\/64\/3da964e0288e6da54a0d94e6ab0e1a38.jpg\" width=\"1280\" height=\"720\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w780\/extt\/3d\/a9\/64\/3da964e0288e6da54a0d94e6ab0e1a38.jpg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/extt\/3d\/a9\/64\/3da964e0288e6da54a0d94e6ab0e1a38.jpg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/figure>\n<p>\u041f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0442, \u0425\u0430\u0431\u0440! \u041c\u044b \u0441\u0442\u0443\u0434\u0435\u043d\u0442\u044b \u043c\u0430\u0441\u0442\u0435\u0440\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043f\u043e \u0441\u0435\u0440\u0432\u0438\u0441\u0430\u043c \u0438 \u043f\u043b\u0430\u0442\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u043c \u0418\u0418 \u0418\u043d\u0436\u0435\u043d\u0435\u0440\u043d\u043e-\u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0448\u043a\u043e\u043b\u044b \u041d\u0418\u0423 \u0412\u0428\u042d \u0438 VK: \u041a\u0441\u0435\u043d\u0438\u044f \u0411\u0435\u043b\u044c\u043a\u043e\u0432\u0430, \u0422\u0438\u043c\u0443\u0440 \u041b\u0438\u0434\u0436\u0438\u0435\u0432 \u0438 \u041c\u0430\u0440\u0438\u044f \u0421\u0442\u0435\u0431\u043b\u0438\u0439. \u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0445\u043e\u0442\u0438\u043c \u0440\u0430\u0441\u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c \u043e\u0431 \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u0438\u0437\u0443\u0447\u0430\u043b\u0438, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043b\u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u0444\u0438\u0437\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0438\u043d\u0444\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043d\u0435\u0439\u0440\u043e\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0435\u0442\u0438 (PINN) \u0434\u043b\u044f \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441\u043e\u0432 \u0432 \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432\u044b\u0445 \u043d\u0435\u0439\u0440\u043e\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0435\u0442\u044f\u0445 \u043d\u0430 \u043f\u0443\u0447\u043a\u0430\u0445.<\/p>\n<p>\u0418\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043c\u044b \u043f\u0440\u043e\u0432\u043e\u0434\u0438\u043b\u0438 \u0441\u043e\u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e \u0441 \u0410\u043b\u0435\u043a\u0441\u0430\u043d\u0434\u0440\u043e\u043c \u0422\u0430\u0440\u0430\u043a\u0430\u043d\u043e\u0432\u044b\u043c, \u0438\u043d\u0436\u0435\u043d\u0435\u0440\u043e\u043c \u043c\u0430\u0448\u0438\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f AI VK \u0438 \u0434\u043e\u0446\u0435\u043d\u0442\u043e\u043c \u0424\u041a\u041d \u041d\u0418\u0423 \u0412\u0428\u042d. \u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043a\u0430\u0436\u0435\u043c \u043e \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u0435, \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u044d\u043a\u0441\u043f\u0435\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0445 \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0430\u0445.<\/p>\n<p>\u0412 \u044d\u043a\u0441\u043f\u0435\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0445 PINN \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043b \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043d\u0430 \u0443\u0440\u043e\u0432\u043d\u0435 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0445 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u043e\u0432 \u0438 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u0438\u043b \u0441\u043e\u043a\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f \u0438\u043d\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0441\u0430. \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, PINN \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u0435\u043d \u0434\u043b\u044f \u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0435\u0439, \u043d\u043e \u0435\u0433\u043e \u0432\u043b\u0438\u044f\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0438\u0437\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e.<\/p>\n<p>\u0411\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432\u044b\u0445 \u043d\u0435\u0439\u0440\u043e\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0435\u0442\u0435\u0439 \u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 \u043c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u0437\u043c\u0435 message passing. \u041d\u0430 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u043c \u0441\u043b\u043e\u0435 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442 \u0438\u043d\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0446\u0438\u044e \u043e\u0442 \u0441\u043e\u0441\u0435\u0434\u043d\u0438\u0445 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d, \u0430\u0433\u0440\u0435\u0433\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u0435\u0451 \u0438 \u043e\u0431\u043d\u043e\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043f\u043e \u043d\u0435\u0439 \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435.<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"h_v^t\" alt=\"h_v^t\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f7\/53\/68\/f75368e4f252dddfa4a89391a74327d3.svg\" width=\"19\" height=\"21\" data-width=\"2.267\" data-height=\"2.512\" data-vertical-align=\"-0.576\" style=\"width: 2.267ex; height: 2.512ex; vertical-align: -0.576ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f7\/53\/68\/f75368e4f252dddfa4a89391a74327d3.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f7\/53\/68\/f75368e4f252dddfa4a89391a74327d3.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u044b <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"v\" alt=\"v\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/05\/c6\/9c\/05c69c6d0181bb03a12075f079f440e7.svg\" width=\"9\" height=\"9\" data-width=\"1.097\" data-height=\"1.027\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 1.097ex; height: 1.027ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/05\/c6\/9c\/05c69c6d0181bb03a12075f079f440e7.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/05\/c6\/9c\/05c69c6d0181bb03a12075f079f440e7.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u043d\u0430 \u0441\u043b\u043e\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"t\" alt=\"t\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/77\/8c\/c2\/778cc20fd7f7719d2305e9e39d0da0eb.svg\" width=\"7\" height=\"12\" data-width=\"0.817\" data-height=\"1.441\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 0.817ex; height: 1.441ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/77\/8c\/c2\/778cc20fd7f7719d2305e9e39d0da0eb.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/77\/8c\/c2\/778cc20fd7f7719d2305e9e39d0da0eb.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>. \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432 \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435 message passing \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{aligned}m_v^{t+1} &amp;= \\operatorname{AGGR}\\left(\\left\\{h_u^t \\mid u \\in \\mathcal{N}(v)\\right\\}\\right),\\\\h_v^{t+1} &amp;= \\sigma\\left(W^{t+1} \\operatorname{CONCAT}\\left(m_v^{t+1}, h_v^t\\right)\\right). \\end{aligned}\" alt=\"\\begin{aligned}m_v^{t+1} &amp;= \\operatorname{AGGR}\\left(\\left\\{h_u^t \\mid u \\in \\mathcal{N}(v)\\right\\}\\right),\\\\h_v^{t+1} &amp;= \\sigma\\left(W^{t+1} \\operatorname{CONCAT}\\left(m_v^{t+1}, h_v^t\\right)\\right). \\end{aligned}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/b3\/d6\/ff\/b3d6ff90c33d81212af03bcb3d16645d.svg\" width=\"324\" height=\"53\" data-width=\"38.439\" data-height=\"6.26\" data-vertical-align=\"-2.564\" style=\"width: 38.439ex; height: 6.26ex; vertical-align: -2.564ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/b3\/d6\/ff\/b3d6ff90c33d81212af03bcb3d16645d.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/b3\/d6\/ff\/b3d6ff90c33d81212af03bcb3d16645d.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<p>\u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0441\u043b\u043e\u0451\u0432 \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435, \u0443 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u0430 \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u044e\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u044b \u2014 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, over-smoothing \u0438 over-squashing. \u0412 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d \u043f\u043e\u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u043e \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u044f\u0442\u0441\u044f \u0441\u043b\u0438\u0448\u043a\u043e\u043c \u043f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0438\u043c\u0438 \u0434\u0440\u0443\u0433 \u043d\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0430. \u0412\u043e \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0438\u043d\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0446\u0438\u044e \u043e\u0442 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u0443\u0434\u0430\u043b\u0451\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d \u043f\u0440\u0438\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434\u0430\u0432\u0430\u0442\u044c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439.<\/p>\n<figure class=\"\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/extt\/e1\/a2\/90\/e1a2908cbafe2f31c716a4ed57f9bab6.png\" alt=\"\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 1. \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0430 \u0441 \u043f\u044f\u0442\u044c\u044e \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438 \u0438 \u0441\u0432\u044f\u0437\u044f\u043c\u0438 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043d\u0438\u043c\u0438.\" title=\"\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 1. \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0430 \u0441 \u043f\u044f\u0442\u044c\u044e \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438 \u0438 \u0441\u0432\u044f\u0437\u044f\u043c\u0438 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043d\u0438\u043c\u0438.\" width=\"284\" height=\"286\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w780\/extt\/e1\/a2\/90\/e1a2908cbafe2f31c716a4ed57f9bab6.png 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/extt\/e1\/a2\/90\/e1a2908cbafe2f31c716a4ed57f9bab6.png 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<div><figcaption>\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 1. \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0430 \u0441 \u043f\u044f\u0442\u044c\u044e \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438 \u0438 \u0441\u0432\u044f\u0437\u044f\u043c\u0438 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043d\u0438\u043c\u0438.<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<p>\u0412 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u044b\u0445 GNN \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434\u0430\u0447\u0443 \u0438\u043d\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0441\u043e\u0441\u0435\u0434\u043d\u0438\u043c\u0438 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u0437\u0430\u0434\u0430\u044e\u0442 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439, \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0435. \u041e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u0434\u043b\u044f \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432, \u0433\u0434\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u0438 \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d \u0441\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u0440\u0430\u0437\u043b\u0438\u0447\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f, \u0442\u0430\u043a\u043e\u0433\u043e \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u043d\u0435\u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e. \u041e\u0434\u0438\u043d \u0438\u0437 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u043e\u0432 \u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0437\u0430\u0438\u043c\u043e\u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0439 \u2014 <em>\u043a\u043b\u0435\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0443\u0447\u043a\u0438 (cellular sheaves)<\/em>. \u041e\u043d\u0438 \u0437\u0430\u0434\u0430\u044e\u0442 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c\u0438, \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0440\u0451\u0431\u0440\u0430\u043c\u0438 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0430.<\/p>\n<p>\u041d\u0430 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0435 \u043f\u0443\u0447\u043a\u0430 (sheaf) \u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u0441\u044f <em>sheaf Laplacian<\/em> \u2014 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440, \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0430\u044e\u0449\u0438\u0439 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432\u044b\u0439 \u043b\u0430\u043f\u043b\u0430\u0441\u0438\u0430\u043d. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043b\u0430\u043f\u043b\u0430\u0441\u0438\u0430\u043d \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0432\u0437\u0430\u0438\u043c\u043e\u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 \u0441\u043e\u0441\u0435\u0434\u043d\u0438\u0445 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d, \u0442\u043e sheaf Laplacian \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u0435 <em>restriction maps<\/em>, \u0441\u0432\u044f\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0449\u0438\u0435 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441 \u0441 \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u043e\u0439 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0439 (<a href=\"https:\/\/arxiv.org\/abs\/2202.04579\">Bodnar et al. 2022<\/a>, <a href=\"https:\/\/arxiv.org\/abs\/2206.08702\">Barbero et al. 2022<\/a>).<\/p>\n<p>\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\frac{\\partial u(t)}{\\partial t}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0=\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0-L_{\\mathrm{sheaf}}u(t),\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\qquad\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0u(0)=u_0,\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\frac{\\partial u(t)}{\\partial t}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0=\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0-L_{\\mathrm{sheaf}}u(t),\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\qquad\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0u(0)=u_0,\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/93\/c5\/eb\/93c5eb391126e5107862aae2c648aa5e.svg\" width=\"301\" height=\"41\" data-width=\"35.793\" data-height=\"4.905\" data-vertical-align=\"-1.602\" style=\"width: 35.793ex; height: 4.905ex; vertical-align: -1.602ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/93\/c5\/eb\/93c5eb391126e5107862aae2c648aa5e.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/93\/c5\/eb\/93c5eb391126e5107862aae2c648aa5e.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<p>\u0433\u0434\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"L_{\\mathrm{sheaf}}\" alt=\"L_{\\mathrm{sheaf}}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/03\/d8\/f9\/03d8f914fb4f46dd612d68bf3bd53e17.svg\" width=\"45\" height=\"16\" data-width=\"5.354\" data-height=\"1.902\" data-vertical-align=\"-0.357\" style=\"width: 5.354ex; height: 1.902ex; vertical-align: -0.357ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/03\/d8\/f9\/03d8f914fb4f46dd612d68bf3bd53e17.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/03\/d8\/f9\/03d8f914fb4f46dd612d68bf3bd53e17.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u2014 sheaf Laplacian, \u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"u_0\" alt=\"u_0\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/ab\/ed\/df\/abeddf526a2990e9d5c1d32fb9440a31.svg\" width=\"19\" height=\"12\" data-width=\"2.282\" data-height=\"1.375\" data-vertical-align=\"-0.375\" style=\"width: 2.282ex; height: 1.375ex; vertical-align: -0.375ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/ab\/ed\/df\/abeddf526a2990e9d5c1d32fb9440a31.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/ab\/ed\/df\/abeddf526a2990e9d5c1d32fb9440a31.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u2014 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435. \u0412 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0435 sheaf Laplacian \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0437\u0430\u0438\u043c\u043e\u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 \u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0435, \u043d\u043e \u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043d\u0435\u043f\u0440\u0435\u0440\u044b\u0432\u043d\u0443\u044e \u0432\u043e \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u0443\u044e \u0434\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438\u043a\u0443.<\/p>\n<p>\u041c\u044b \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c Physics-Informed Neural Network (PINN) \u0434\u043b\u044f \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438. \u0412\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u0442\u043e\u0433\u043e \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043d\u0430\u043f\u0440\u044f\u043c\u0443\u044e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e, \u043d\u0435\u0439\u0440\u043e\u043d\u043d\u0430\u044f \u0441\u0435\u0442\u044c \u043e\u0431\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b \u0432 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0442 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438, \u0430 \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043a\u043e\u043d\u0442\u0440\u043e\u043b\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u043d\u0435\u0432\u044f\u0437\u043a\u0430 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f (<a href=\"https:\/\/doi.org\/10.1016\/j.jcp.2018.10.045\">Raissi et al. 2019<\/a>). \u0414\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u044b\u0441\u0442\u0443\u043f\u0430\u0435\u0442 \u043a\u0430\u043a \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0438 \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438.<\/p>\n<p>\u0414\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u0430 \u2014 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u041a\u0440\u044b\u043b\u043e\u0432\u0430. \u041c\u044b \u043d\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434\u0430\u0451\u043c \u0432 \u043d\u0435\u0439\u0440\u043e\u043d\u043d\u0443\u044e \u0441\u0435\u0442\u044c \u043f\u043b\u043e\u0442\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"L_{\\mathrm{sheaf}}\" alt=\"L_{\\mathrm{sheaf}}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/5d\/7c\/d3\/5d7cd3b75d661d642e7aa2a823544c55.svg\" width=\"45\" height=\"16\" data-width=\"5.354\" data-height=\"1.902\" data-vertical-align=\"-0.357\" style=\"width: 5.354ex; height: 1.902ex; vertical-align: -0.357ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/5d\/7c\/d3\/5d7cd3b75d661d642e7aa2a823544c55.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/5d\/7c\/d3\/5d7cd3b75d661d642e7aa2a823544c55.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u0430 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043a \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u044e:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0u_0,\\;\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0L_{\\mathrm{sheaf}}u_0,\\;\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0L_{\\mathrm{sheaf}}^2u_0,\\;\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\ldots,\\;\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0L_{\\mathrm{sheaf}}^K u_0.\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0u_0,\\;\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0L_{\\mathrm{sheaf}}u_0,\\;\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0L_{\\mathrm{sheaf}}^2u_0,\\;\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\ldots,\\;\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0L_{\\mathrm{sheaf}}^K u_0.\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/e3\/37\/62\/e3376213c7c60a00c301289ea2932c6d.svg\" width=\"298\" height=\"22\" data-width=\"35.386\" data-height=\"2.645\" data-vertical-align=\"-0.618\" style=\"width: 35.386ex; height: 2.645ex; vertical-align: -0.618ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/e3\/37\/62\/e3376213c7c60a00c301289ea2932c6d.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/e3\/37\/62\/e3376213c7c60a00c301289ea2932c6d.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u044f\u0435\u0442 \u0438\u043d\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0446\u0438\u044e \u043e \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0438 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043d\u0430 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0440\u0430\u0437\u0440\u0435\u0436\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432\u043e\u0433\u043e \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u0430 (<a href=\"https:\/\/doi.org\/10.1137\/0729014\">Saad 1992<\/a>).<\/p>\n<p>\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u044f\u0435\u0442 \u043e\u0431\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c\u043e\u0435 sheaf-\u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0430 \u0438 PINN, \u0438 \u0438\u0445 \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u044b \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0438\u0437\u0438\u0440\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u0441\u043e\u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e. Sheaf Laplacian \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u0443\u044e \u0434\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438\u043a\u0443, Krylov-\u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a \u043a\u043e\u043c\u043f\u0430\u043a\u0442\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u044f \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u0430, \u0430 PINN \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u044f\u0449\u0435\u0435 \u043e\u0442 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b. \u041e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0435 \u0438 \u043d\u0435\u0432\u044f\u0437\u043a\u0443 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<p>\u0426\u0435\u043b\u044c \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u2014 \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a PINN \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u0434\u043b\u044f \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441\u043e\u0432 \u0432 \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432\u044b\u0445 \u043d\u0435\u0439\u0440\u043e\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0435\u0442\u044f\u0445.<\/p>\n<p>\u041c\u044b \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0435\u043c \u0434\u0432\u0430 \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442\u0430:\u00a0<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>\u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u044f sheaf diffusion \u0441 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c Krylov-\u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0432\u0430\u0440\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 PINN \u0434\u043b\u044f \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 Bundle Neural Networks<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<h2>\u0422\u0435\u043e\u0440\u0438\u044f<\/h2>\n<h3>\u0413\u0440\u0430\u0444<\/h3>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d \u0433\u0440\u0430\u0444 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"G=(V,E)\" alt=\"G=(V,E)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/9e\/9e9\/9e9992d6bf50b7580f971487c466a8cb.svg\" width=\"88\" height=\"18\" data-width=\"11.03\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 11.03ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/9e\/9e9\/9e9992d6bf50b7580f971487c466a8cb.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/9e\/9e9\/9e9992d6bf50b7580f971487c466a8cb.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u0433\u0434\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"V\" alt=\"V\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a7\/ab\/ae\/a7abaea829d8d6681a9afbc07f1dd3ef.svg\" width=\"15\" height=\"13\" data-width=\"1.74\" data-height=\"1.595\" data-vertical-align=\"-0.05\" style=\"width: 1.74ex; height: 1.595ex; vertical-align: -0.05ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a7\/ab\/ae\/a7abaea829d8d6681a9afbc07f1dd3ef.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a7\/ab\/ae\/a7abaea829d8d6681a9afbc07f1dd3ef.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u2014 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d, \u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"E\" alt=\"E\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/91\/26\/ec\/9126ec9f946734478bc13c8dd5adaee6.svg\" width=\"15\" height=\"13\" data-width=\"1.729\" data-height=\"1.538\" style=\"width: 1.729ex; height: 1.538ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/91\/26\/ec\/9126ec9f946734478bc13c8dd5adaee6.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/91\/26\/ec\/9126ec9f946734478bc13c8dd5adaee6.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u2014 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0440\u0451\u0431\u0435\u0440.<\/p>\n<p>\u041a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"v\\in V\" alt=\"v\\in V\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/60\/11\/4f\/60114fa47f0205eb4981570c86f8505c.svg\" width=\"47\" height=\"14\" data-width=\"5.603\" data-height=\"1.636\" data-vertical-align=\"-0.09\" style=\"width: 5.603ex; height: 1.636ex; vertical-align: -0.09ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/60\/11\/4f\/60114fa47f0205eb4981570c86f8505c.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/60\/11\/4f\/60114fa47f0205eb4981570c86f8505c.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0441\u043e\u043f\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_v \\in \\mathbb{R}^d\" alt=\"x_v \\in \\mathbb{R}^d\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/eb\/2f\/aa\/eb2faa9ba04e71485f5ab2f656398d62.svg\" width=\"65\" height=\"20\" data-width=\"7.677\" data-height=\"2.402\" data-vertical-align=\"-0.357\" style=\"width: 7.677ex; height: 2.402ex; vertical-align: -0.357ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/eb\/2f\/aa\/eb2faa9ba04e71485f5ab2f656398d62.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/eb\/2f\/aa\/eb2faa9ba04e71485f5ab2f656398d62.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/p>\n<p>\u0412\u0441\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u0438 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0442\u044c \u0432 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0x =\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\begin{bmatrix}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0x_1 \\\\\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\vdots \\\\\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0x_{|V|}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\end{bmatrix}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\in \\mathbb{R}^{|V| d}.\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0x =\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\begin{bmatrix}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0x_1 \\\\\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\vdots \\\\\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0x_{|V|}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\end{bmatrix}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\in \\mathbb{R}^{|V| d}.\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d8\/d86\/d86c91d962869df0926690db64d9ae0b.svg\" width=\"153\" height=\"81\" data-width=\"19.099\" data-height=\"10.074\" data-vertical-align=\"-4.471\" style=\"width: 19.099ex; height: 10.074ex; vertical-align: -4.471ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d8\/d86\/d86c91d962869df0926690db64d9ae0b.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d8\/d86\/d86c91d962869df0926690db64d9ae0b.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0438\u0445 \u043a\u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"X\\in\\mathbb{R}^{|V|d\\times f}\" alt=\"X\\in\\mathbb{R}^{|V|d\\times f}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/13\/85\/79\/138579cf3637065c40add168ce84de4b.svg\" width=\"98\" height=\"19\" data-width=\"11.591\" data-height=\"2.224\" data-vertical-align=\"-0.09\" style=\"width: 11.591ex; height: 2.224ex; vertical-align: -0.09ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/13\/85\/79\/138579cf3637065c40add168ce84de4b.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/13\/85\/79\/138579cf3637065c40add168ce84de4b.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/p>\n<h3>\u041a\u043b\u0435\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0443\u0447\u043e\u043a<\/h3>\n<p>\u041a\u043b\u0435\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0443\u0447\u043e\u043a <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\mathcal{F}\" alt=\"\\mathcal{F}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/70\/e7\/6c\/70e76c67984854a4255afcbe7ea8885c.svg\" width=\"16\" height=\"14\" data-width=\"1.876\" data-height=\"1.618\" data-vertical-align=\"-0.072\" style=\"width: 1.876ex; height: 1.618ex; vertical-align: -0.072ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/70\/e7\/6c\/70e76c67984854a4255afcbe7ea8885c.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/70\/e7\/6c\/70e76c67984854a4255afcbe7ea8885c.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u043d\u0430\u0434 \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u043c <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"G\" alt=\"G\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/e5\/b6\/68\/e5b6685d8b23ee39c89544a8ba824093.svg\" width=\"15\" height=\"14\" data-width=\"1.778\" data-height=\"1.645\" data-vertical-align=\"-0.05\" style=\"width: 1.778ex; height: 1.645ex; vertical-align: -0.05ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/e5\/b6\/68\/e5b6685d8b23ee39c89544a8ba824093.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/e5\/b6\/68\/e5b6685d8b23ee39c89544a8ba824093.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0441\u043e\u043f\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"v\" alt=\"v\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/6a\/ed\/03\/6aed039d7c264d5fe29a311411ec3529.svg\" width=\"9\" height=\"9\" data-width=\"1.097\" data-height=\"1.027\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 1.097ex; height: 1.027ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/6a\/ed\/03\/6aed039d7c264d5fe29a311411ec3529.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/6a\/ed\/03\/6aed039d7c264d5fe29a311411ec3529.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\mathcal{F}(v)\" alt=\"\\mathcal{F}(v)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/d7\/58\/7c\/d7587c1c67ee2baa2d400edb1a35a4c1.svg\" width=\"40\" height=\"19\" data-width=\"4.733\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 4.733ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/d7\/58\/7c\/d7587c1c67ee2baa2d400edb1a35a4c1.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/d7\/58\/7c\/d7587c1c67ee2baa2d400edb1a35a4c1.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u043c\u0443 \u0440\u0435\u0431\u0440\u0443 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"e\" alt=\"e\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/6a\/30\/59\/6a30595e85f52430b5980b328e8aceb7.svg\" width=\"9\" height=\"9\" data-width=\"1.054\" data-height=\"1.025\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 1.054ex; height: 1.025ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/6a\/30\/59\/6a30595e85f52430b5980b328e8aceb7.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/6a\/30\/59\/6a30595e85f52430b5980b328e8aceb7.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\mathcal{F}(e)\" alt=\"\\mathcal{F}(e)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/e3\/e38\/e38240c1bb9122fac2858589d3899e44.svg\" width=\"38\" height=\"18\" data-width=\"4.69\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 4.69ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/e3\/e38\/e38240c1bb9122fac2858589d3899e44.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/e3\/e38\/e38240c1bb9122fac2858589d3899e44.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u0430 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u043f\u0430\u0440\u0435 \u00ab\u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0430 \u2014 \u0438\u043d\u0446\u0438\u0434\u0435\u043d\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0431\u0440\u043e\u00bb \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0435 \u043e\u0442\u043e\u0431\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\mathcal{F}_{v\\subset e}:\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\mathcal{F}(v)\\rightarrow\\mathcal{F}(e),\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\mathcal{F}_{v\\subset e}:\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\mathcal{F}(v)\\rightarrow\\mathcal{F}(e),\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/3\/30\/300\/30050155330381f3f9c04f7ac4823986.svg\" width=\"160\" height=\"18\" data-width=\"20.038\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 20.038ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/3\/30\/300\/30050155330381f3f9c04f7ac4823986.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/3\/30\/300\/30050155330381f3f9c04f7ac4823986.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>\u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c\u043e\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\textit{restriction map}\" alt=\"\\textit{restriction map}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/c5\/c9\/a3\/c5c9a33a53e28b0a459cb8712aa710bd.svg\" width=\"132\" height=\"16\" data-width=\"15.672\" data-height=\"1.934\" data-vertical-align=\"-0.439\" style=\"width: 15.672ex; height: 1.934ex; vertical-align: -0.439ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/c5\/c9\/a3\/c5c9a33a53e28b0a459cb8712aa710bd.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/c5\/c9\/a3\/c5c9a33a53e28b0a459cb8712aa710bd.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u0441\u0430 \u0440\u0435\u0431\u0440\u0430 sheaf \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0432\u0430\u0442\u044c \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c\u0438 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432.<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0432\u0441\u0435 stalk \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"d\" alt=\"d\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/86\/9b\/f2\/869bf2e33ca084ddbeae424f2036742c.svg\" width=\"10\" height=\"13\" data-width=\"1.176\" data-height=\"1.593\" data-vertical-align=\"-0.023\" style=\"width: 1.176ex; height: 1.593ex; vertical-align: -0.023ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/86\/9b\/f2\/869bf2e33ca084ddbeae424f2036742c.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/86\/9b\/f2\/869bf2e33ca084ddbeae424f2036742c.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 restriction maps \u2014 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"d\\times d\" alt=\"d\\times d\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/8f\/cb\/0c\/8fcb0cae2b4013a144b3673a0ddd1285.svg\" width=\"43\" height=\"13\" data-width=\"5.119\" data-height=\"1.593\" data-vertical-align=\"-0.023\" style=\"width: 5.119ex; height: 1.593ex; vertical-align: -0.023ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/8f\/cb\/0c\/8fcb0cae2b4013a144b3673a0ddd1285.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/8f\/cb\/0c\/8fcb0cae2b4013a144b3673a0ddd1285.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/p>\n<figure class=\"full-width \"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/extt\/af\/0e\/ec\/af0eeceeb099ba26248025b7a2a86061.jpg\" alt=\"image\" title=\"\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 2. \u0421\u0445\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u043b\u0435\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0443\u0447\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0435.\" width=\"676\" height=\"474\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w780\/extt\/af\/0e\/ec\/af0eeceeb099ba26248025b7a2a86061.jpg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/extt\/af\/0e\/ec\/af0eeceeb099ba26248025b7a2a86061.jpg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<div><figcaption>\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 2. \u0421\u0445\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u043b\u0435\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0443\u0447\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0435.<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<p>\u041d\u0430 \u0440\u0438\u0441\u0443\u043d\u043a\u0435 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u043e, \u0447\u0442\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0430\u0445 \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0430\u0434\u043b\u0435\u0436\u0430\u0442 \u0441\u0432\u043e\u0438\u043c \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\mathcal{F}(v)\" alt=\"\\mathcal{F}(v)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/11\/f6\/99\/11f699e84381b084a3e1990baaa1382d.svg\" width=\"40\" height=\"19\" data-width=\"4.733\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 4.733ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/11\/f6\/99\/11f699e84381b084a3e1990baaa1382d.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/11\/f6\/99\/11f699e84381b084a3e1990baaa1382d.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u0430 restriction maps \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e\u0434\u044f\u0442 \u0438 \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0435\u0433\u043e \u0440\u0435\u0431\u0440\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\mathcal{F}(e)\" alt=\"\\mathcal{F}(e)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/10\/82\/a1\/1082a1cf1c38ed43f5ae3e6475e2875a.svg\" width=\"39\" height=\"19\" data-width=\"4.69\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 4.69ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/10\/82\/a1\/1082a1cf1c38ed43f5ae3e6475e2875a.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/10\/82\/a1\/1082a1cf1c38ed43f5ae3e6475e2875a.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u0438 \u0441\u043e\u0441\u0435\u0434\u043d\u0438\u0445 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0438\u0445 \u043e\u0442\u043e\u0431\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u043e\u0431\u0449\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e.<\/p>\n<h3>0- \u0438 1-\u043a\u043e\u0446\u0435\u043f\u0438<\/h3>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043d\u0430 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0430\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0C^0(G,\\mathcal{F})\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0=\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\bigoplus_{v\\in V}\\mathcal{F}(v),\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0C^0(G,\\mathcal{F})\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0=\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\bigoplus_{v\\in V}\\mathcal{F}(v),\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2\/27\/277\/27764c2f5dbefa911fea871b12d03743.svg\" width=\"171\" height=\"39\" data-width=\"21.42\" data-height=\"4.924\" data-vertical-align=\"-1.896\" style=\"width: 21.42ex; height: 4.924ex; vertical-align: -1.896ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2\/27\/277\/27764c2f5dbefa911fea871b12d03743.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2\/27\/277\/27764c2f5dbefa911fea871b12d03743.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<p>\u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043d\u0430 \u0440\u0451\u0431\u0440\u0430\u0445: <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0C^1(G,\\mathcal{F})\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0=\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\bigoplus_{e\\in E}\\mathcal{F}(e)\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0C^1(G,\\mathcal{F})\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0=\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\bigoplus_{e\\in E}\\mathcal{F}(e)\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/3d\/f0\/82\/3df0829aed07ff375985631fb2983d58.svg\" width=\"175\" height=\"41\" data-width=\"20.748\" data-height=\"4.919\" data-vertical-align=\"-2.772\" style=\"width: 20.748ex; height: 4.919ex; vertical-align: -2.772ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/3d\/f0\/82\/3df0829aed07ff375985631fb2983d58.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/3d\/f0\/82\/3df0829aed07ff375985631fb2983d58.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x\\in C^0(G,\\mathcal{F})\" alt=\"x\\in C^0(G,\\mathcal{F})\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/3b\/b3\/70\/3bb370ee18c179728bcd9f5190024cf6.svg\" width=\"112\" height=\"22\" data-width=\"13.305\" data-height=\"2.565\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 13.305ex; height: 2.565ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/3b\/b3\/70\/3bb370ee18c179728bcd9f5190024cf6.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/3b\/b3\/70\/3bb370ee18c179728bcd9f5190024cf6.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_v\" alt=\"x_v\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/ca\/79\/79\/ca7979f9dbd85b7f8d00c2126c5b9f61.svg\" width=\"19\" height=\"11\" data-width=\"2.258\" data-height=\"1.357\" data-vertical-align=\"-0.357\" style=\"width: 2.258ex; height: 1.357ex; vertical-align: -0.357ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/ca\/79\/79\/ca7979f9dbd85b7f8d00c2126c5b9f61.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/ca\/79\/79\/ca7979f9dbd85b7f8d00c2126c5b9f61.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u043f\u043e \u043e\u0434\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0434\u043b\u044f \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u044b.<\/p>\n<h3>Coboundary operator<\/h3>\n<p>\u0412\u044b\u0431\u0435\u0440\u0435\u043c \u043e\u0440\u0438\u0435\u043d\u0442\u0430\u0446\u0438\u044e \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0431\u0440\u0430. \u0414\u043b\u044f \u0440\u0435\u0431\u0440\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"e=(u,v)\" alt=\"e=(u,v)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/ea\/ea8\/ea8df6b884d1bead6aa69af7be3dabbd.svg\" width=\"74\" height=\"18\" data-width=\"9.229\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 9.229ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/ea\/ea8\/ea8df6b884d1bead6aa69af7be3dabbd.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/ea\/ea8\/ea8df6b884d1bead6aa69af7be3dabbd.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\delta:\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0C^0(G,\\mathcal{F})\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\rightarrow\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0C^1(G,\\mathcal{F})\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\delta:\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0C^0(G,\\mathcal{F})\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\rightarrow\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0C^1(G,\\mathcal{F})\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f7\/d4\/49\/f7d4491b3bbd012213e4739b7889c7a0.svg\" width=\"210\" height=\"22\" data-width=\"24.901\" data-height=\"2.565\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 24.901ex; height: 2.565ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f7\/d4\/49\/f7d4491b3bbd012213e4739b7889c7a0.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f7\/d4\/49\/f7d4491b3bbd012213e4739b7889c7a0.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u043a\u0430\u043a <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(\\delta x)_e\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0=\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\mathcal{F}_{v\\subset e}x_v\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0-\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\mathcal{F}_{u\\subset e}x_u\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(\\delta x)_e\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0=\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\mathcal{F}_{v\\subset e}x_v\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0-\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\mathcal{F}_{u\\subset e}x_u\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/0b\/94\/e3\/0b94e3d216560471dc42f09a7b34a924.svg\" width=\"208\" height=\"19\" data-width=\"24.73\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 24.73ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/0b\/94\/e3\/0b94e3d216560471dc42f09a7b34a924.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/0b\/94\/e3\/0b94e3d216560471dc42f09a7b34a924.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>. \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\delta\" alt=\"\\delta\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/c7\/f6\/85\/c7f6858a942851e4b31db1370c13a8d0.svg\" width=\"8\" height=\"14\" data-width=\"1.005\" data-height=\"1.645\" data-vertical-align=\"-0.023\" style=\"width: 1.005ex; height: 1.645ex; vertical-align: -0.023ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/c7\/f6\/85\/c7f6858a942851e4b31db1370c13a8d0.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/c7\/f6\/85\/c7f6858a942851e4b31db1370c13a8d0.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0430\u0445 \u0440\u0435\u0431\u0440\u0430 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0438\u0445 \u043e\u0442\u043e\u0431\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u043e\u0431\u0449\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\mathcal{F}(e)\" alt=\"\\mathcal{F}(e)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/9b\/73\/0e\/9b730e80e6cf20418abf6d9ffc64af7b.svg\" width=\"39\" height=\"19\" data-width=\"4.69\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 4.69ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/9b\/73\/0e\/9b730e80e6cf20418abf6d9ffc64af7b.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/9b\/73\/0e\/9b730e80e6cf20418abf6d9ffc64af7b.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/p>\n<h3>Sheaf Laplacian<\/h3>\n<p>Sheaf Laplacian \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0L_{\\mathcal{F}}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0=\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\delta^{\\top}\\delta.\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0L_{\\mathcal{F}}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0=\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\delta^{\\top}\\delta.\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/00\/6e\/a0\/006ea05c0f159acaf95041de79b45d40.svg\" width=\"85\" height=\"20\" data-width=\"10.142\" data-height=\"2.394\" data-vertical-align=\"-0.391\" style=\"width: 10.142ex; height: 2.394ex; vertical-align: -0.391ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/00\/6e\/a0\/006ea05c0f159acaf95041de79b45d40.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/00\/6e\/a0\/006ea05c0f159acaf95041de79b45d40.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>\u0414\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x\\in C^0(G,\\mathcal{F})\" alt=\"x\\in C^0(G,\\mathcal{F})\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f3\/7f\/03\/f37f03db69d41ea3b81b473084627a21.svg\" width=\"112\" height=\"22\" data-width=\"13.305\" data-height=\"2.565\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 13.305ex; height: 2.565ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f3\/7f\/03\/f37f03db69d41ea3b81b473084627a21.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f3\/7f\/03\/f37f03db69d41ea3b81b473084627a21.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0x^{\\top}L_{\\mathcal{F}}x\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0=\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\|\\delta x\\|^2\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\geq 0\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0x^{\\top}L_{\\mathcal{F}}x\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0=\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\|\\delta x\\|^2\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\geq 0\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/83\/52\/47\/8352478914d8bbc136f0352898462e93.svg\" width=\"167\" height=\"22\" data-width=\"19.79\" data-height=\"2.569\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 19.79ex; height: 2.569ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/83\/52\/47\/8352478914d8bbc136f0352898462e93.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/83\/52\/47\/8352478914d8bbc136f0352898462e93.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"L_{\\mathcal{F}}\" alt=\"L_{\\mathcal{F}}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/cb\/ec\/12\/cbec1209348ef13c61e65567ac7eb7e5.svg\" width=\"26\" height=\"16\" data-width=\"3.055\" data-height=\"1.936\" data-vertical-align=\"-0.391\" style=\"width: 3.055ex; height: 1.936ex; vertical-align: -0.391ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/cb\/ec\/12\/cbec1209348ef13c61e65567ac7eb7e5.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/cb\/ec\/12\/cbec1209348ef13c61e65567ac7eb7e5.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u2014 \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0451\u043d\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430.<\/p>\n<p>\u0414\u0438\u0430\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0431\u043b\u043e\u043a, \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"v\" alt=\"v\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/ab\/72\/4f\/ab724f05a21e5326a497a94d486298fe.svg\" width=\"9\" height=\"9\" data-width=\"1.097\" data-height=\"1.027\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 1.097ex; height: 1.027ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/ab\/72\/4f\/ab724f05a21e5326a497a94d486298fe.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/ab\/72\/4f\/ab724f05a21e5326a497a94d486298fe.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0L_{\\mathcal{F}}(v,v)\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0=\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\sum_{e\\ni v}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\mathcal{F}_{v\\subset e}^{\\top}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\mathcal{F}_{v\\subset e}\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0L_{\\mathcal{F}}(v,v)\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0=\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\sum_{e\\ni v}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\mathcal{F}_{v\\subset e}^{\\top}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\mathcal{F}_{v\\subset e}\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/98\/6e\/5a\/986e5a4dc7b94cb514d2022de3c2c00f.svg\" width=\"201\" height=\"41\" data-width=\"23.838\" data-height=\"4.815\" data-vertical-align=\"-2.666\" style=\"width: 23.838ex; height: 4.815ex; vertical-align: -2.666ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/98\/6e\/5a\/986e5a4dc7b94cb514d2022de3c2c00f.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/98\/6e\/5a\/986e5a4dc7b94cb514d2022de3c2c00f.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>. \u0414\u043b\u044f \u0441\u043e\u0441\u0435\u0434\u043d\u0438\u0445 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"u\" alt=\"u\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/ee\/15\/77\/ee1577d97462e7707f3befb851650d41.svg\" width=\"11\" height=\"9\" data-width=\"1.294\" data-height=\"1.025\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 1.294ex; height: 1.025ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/ee\/15\/77\/ee1577d97462e7707f3befb851650d41.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/ee\/15\/77\/ee1577d97462e7707f3befb851650d41.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"v\" alt=\"v\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/9e\/9e3\/9e3669d19b675bd57058fd4664205d2a.svg\" width=\"12\" height=\"12\" data-width=\"1.097\" data-height=\"1.027\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 1.097ex; height: 1.027ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/9e\/9e3\/9e3669d19b675bd57058fd4664205d2a.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/9e\/9e3\/9e3669d19b675bd57058fd4664205d2a.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u0441\u043e\u0435\u0434\u0438\u043d\u0451\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0435\u0431\u0440\u043e\u043c <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"e\" alt=\"e\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/28\/79\/13\/287913530c4f6b63aa2be077bc380826.svg\" width=\"9\" height=\"9\" data-width=\"1.054\" data-height=\"1.025\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 1.054ex; height: 1.025ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/28\/79\/13\/287913530c4f6b63aa2be077bc380826.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/28\/79\/13\/287913530c4f6b63aa2be077bc380826.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0L_{\\mathcal{F}}(v,u)\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0=\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0-\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\mathcal{F}_{v\\subset e}^{\\top}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\mathcal{F}_{u\\subset e}\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0L_{\\mathcal{F}}(v,u)\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0=\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0-\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\mathcal{F}_{v\\subset e}^{\\top}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\mathcal{F}_{u\\subset e}\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/9e\/84\/95\/9e8495b2cc5820fea81950e3642b91f8.svg\" width=\"188\" height=\"22\" data-width=\"22.29\" data-height=\"2.626\" data-vertical-align=\"-0.623\" style=\"width: 22.29ex; height: 2.626ex; vertical-align: -0.623ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/9e\/84\/95\/9e8495b2cc5820fea81950e3642b91f8.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/9e\/84\/95\/9e8495b2cc5820fea81950e3642b91f8.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>. \u0412 \u0442\u0440\u0438\u0432\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432\u0441\u0435 stalk \u043e\u0434\u043d\u043e\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b, \u0430 restriction maps \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b, \u044d\u0442\u0430 \u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0446\u0438\u044f \u0441\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432\u043e\u043c\u0443 \u043b\u0430\u043f\u043b\u0430\u0441\u0438\u0430\u043d\u0443.<\/p>\n<h3>Sheaf diffusion<\/h3>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u0433\u0440\u0430\u0444\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\dot{X}(t) = -LX(t)\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\dot{X}(t) = -LX(t)\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/e9\/e92\/e92f66bf663394925bb576a51b88fd5f.svg\" width=\"123\" height=\"23\" data-width=\"15.327\" data-height=\"2.846\" data-vertical-align=\"-0.857\" style=\"width: 15.327ex; height: 2.846ex; vertical-align: -0.857ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/e9\/e92\/e92f66bf663394925bb576a51b88fd5f.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/e9\/e92\/e92f66bf663394925bb576a51b88fd5f.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u0433\u0434\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"L\" alt=\"L\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/dd\/60\/b2\/dd60b2c37b7f829b1595179374912971.svg\" width=\"13\" height=\"13\" data-width=\"1.541\" data-height=\"1.545\" style=\"width: 1.541ex; height: 1.545ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/dd\/60\/b2\/dd60b2c37b7f829b1595179374912971.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/dd\/60\/b2\/dd60b2c37b7f829b1595179374912971.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u2014 \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432\u044b\u0439 \u043b\u0430\u043f\u043b\u0430\u0441\u0438\u0430\u043d. \u042d\u0442\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0441\u043e\u0441\u0435\u0434\u043d\u0438\u043c\u0438 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438. \u041e\u043d\u043e \u0441\u043b\u0443\u0436\u0438\u0442 \u0434\u0438\u0441\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u044b\u043c \u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u043e\u043c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u0435\u043f\u043b\u043e\u043f\u0440\u043e\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438.<\/p>\n<p>Sheaf Laplacian \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0430\u0435\u0442 \u044d\u0442\u0443 \u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0446\u0438\u044e: \u043e\u043d \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432\u044b\u0439 \u043b\u0430\u043f\u043b\u0430\u0441\u0438\u0430\u043d \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u044b\u043c \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c, \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u044e\u0449\u0438\u043c restriction maps. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\dot{X}(t)\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0=\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0-\\Delta_{\\mathcal{F}}X(t)\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\dot{X}(t)\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0=\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0-\\Delta_{\\mathcal{F}}X(t)\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f\/f7\/f78\/f786b86ccba1532ac9900d08d10972e6.svg\" width=\"137\" height=\"23\" data-width=\"17.185\" data-height=\"2.846\" data-vertical-align=\"-0.857\" style=\"width: 17.185ex; height: 2.846ex; vertical-align: -0.857ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f\/f7\/f78\/f786b86ccba1532ac9900d08d10972e6.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f\/f7\/f78\/f786b86ccba1532ac9900d08d10972e6.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/p>\n<p>\u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f<em> sheaf diffusion<\/em>. \u0412 \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0438\u0435 \u043e\u0442 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432\u043e\u0439 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u0438, \u043e\u043d \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443 \u0441\u0432\u044f\u0437\u0435\u0439 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438, \u043d\u043e \u0438 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0438\u0445 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c\u0438.<\/p>\n<h3>Bundle Neural Networks<\/h3>\n<p>\u042d\u0442\u0443 \u0438\u0434\u0435\u044e \u0440\u0430\u0437\u0432\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442 Bundle Neural Networks (BuNN), \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0435 <a href=\"https:\/\/arxiv.org\/abs\/2405.15540\">Bamberger et al.<\/a> \u0412 BuNN \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0435 \u0441\u043e\u043f\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e, \u0430 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c\u0438 \u0441\u043e\u0441\u0435\u0434\u043d\u0438\u0445 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d \u0437\u0430\u0434\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c. \u0414\u043b\u044f \u0441\u043e\u0441\u0435\u0434\u043d\u0438\u0445 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"u\" alt=\"u\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/45\/03\/ca\/4503cada3d8fe84475c03026428b4bdd.svg\" width=\"11\" height=\"9\" data-width=\"1.294\" data-height=\"1.025\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 1.294ex; height: 1.025ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/45\/03\/ca\/4503cada3d8fe84475c03026428b4bdd.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/45\/03\/ca\/4503cada3d8fe84475c03026428b4bdd.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"v\" alt=\"v\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/50\/5b\/4e\/505b4ec453738b2bbbac54e5f8250ffc.svg\" width=\"9\" height=\"9\" data-width=\"1.097\" data-height=\"1.027\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 1.097ex; height: 1.027ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/50\/5b\/4e\/505b4ec453738b2bbbac54e5f8250ffc.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/50\/5b\/4e\/505b4ec453738b2bbbac54e5f8250ffc.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0435\u0433\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a<img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}O_{vu}=\\mathcal{F}_{v \\trianglelefteq e}^{\\top}\\mathcal{F}_{u \\trianglelefteq e}\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}O_{vu}=\\mathcal{F}_{v \\trianglelefteq e}^{\\top}\\mathcal{F}_{u \\trianglelefteq e}\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/26\/c2\/03\/26c203900f721cb8652821db478c6d4b.svg\" width=\"134\" height=\"23\" data-width=\"15.922\" data-height=\"2.783\" data-vertical-align=\"-0.78\" style=\"width: 15.922ex; height: 2.783ex; vertical-align: -0.78ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/26\/c2\/03\/26c203900f721cb8652821db478c6d4b.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/26\/c2\/03\/26c203900f721cb8652821db478c6d4b.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u043f\u0440\u0438\u0447\u0451\u043c <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}O_{vu}\\in O(d),\\qquad O_{vu}^{\\top}O_{vu}=I\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}O_{vu}\\in O(d),\\qquad O_{vu}^{\\top}O_{vu}=I\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/da\/59\/98\/da599821673cd1ffba09bd0b122d32d2.svg\" width=\"235\" height=\"22\" data-width=\"27.932\" data-height=\"2.579\" data-vertical-align=\"-0.576\" style=\"width: 27.932ex; height: 2.579ex; vertical-align: -0.576ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/da\/59\/98\/da599821673cd1ffba09bd0b122d32d2.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/da\/59\/98\/da599821673cd1ffba09bd0b122d32d2.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>. \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043b\u044f \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u044b <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"v\" alt=\"v\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/1e\/6d\/95\/1e6d95cea0616b93ba6f231f34b5c210.svg\" width=\"9\" height=\"9\" data-width=\"1.097\" data-height=\"1.027\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 1.097ex; height: 1.027ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/1e\/6d\/95\/1e6d95cea0616b93ba6f231f34b5c210.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/1e\/6d\/95\/1e6d95cea0616b93ba6f231f34b5c210.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}m_v^t =\\operatorname{AGGR}_{u\\in\\mathcal{N}(v)}\\left(h_v^t-O_{vu}h_u^t\\right)\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}m_v^t =\\operatorname{AGGR}_{u\\in\\mathcal{N}(v)}\\left(h_v^t-O_{vu}h_u^t\\right)\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/c9\/f2\/a5\/c9f2a5d1259bb3851216d03410a9b8de.svg\" width=\"271\" height=\"24\" data-width=\"32.131\" data-height=\"2.798\" data-vertical-align=\"-0.862\" style=\"width: 32.131ex; height: 2.798ex; vertical-align: -0.862ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/c9\/f2\/a5\/c9f2a5d1259bb3851216d03410a9b8de.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/c9\/f2\/a5\/c9f2a5d1259bb3851216d03410a9b8de.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/p>\n<figure class=\"full-width \"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/extt\/93\/51\/78\/9351785864be06b57f587c658451a4ac.jpg\" alt=\"\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 3. \u041b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434\u0430\u0447\u0430 \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0430\u0445 \u0432 \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0441 \u0433\u043b\u043e\u0431\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u0435\u0439 \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043d\u0430 \u043f\u0443\u0447\u043a\u0430\u0445.\" title=\"\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 3. \u041b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434\u0430\u0447\u0430 \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0430\u0445 \u0432 \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0441 \u0433\u043b\u043e\u0431\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u0435\u0439 \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043d\u0430 \u043f\u0443\u0447\u043a\u0430\u0445.\" width=\"544\" height=\"338\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w780\/extt\/93\/51\/78\/9351785864be06b57f587c658451a4ac.jpg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/extt\/93\/51\/78\/9351785864be06b57f587c658451a4ac.jpg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<div><figcaption>\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 3. \u041b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434\u0430\u0447\u0430 \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0430\u0445 \u0432 \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0441 \u0433\u043b\u043e\u0431\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 <a href=\"https:\/\/arxiv.org\/abs\/2405.15540\">\u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u0435\u0439 \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043d\u0430 \u043f\u0443\u0447\u043a\u0430\u0445<\/a>.<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<p>\u0412 \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0438\u0435 \u043e\u0442 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e message passing, \u0432 BuNN \u0434\u043b\u044f \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u044f. \u042d\u0442\u043e \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0438\u043d\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0446\u0438\u044e \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043e\u0442 \u0441\u043e\u0441\u0435\u0434\u0435\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u044b.<\/p>\n<h3>\u0414\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u044f \u0432 BuNN<\/h3>\n<p>\u041a\u0430\u043a \u0438 \u0432 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 sheaf diffusion, \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 \u0432 BuNN \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441. \u0414\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u044e \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\\frac{d\\mathbf{u}}{dt}=-L\\mathbf{u}\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\\frac{d\\mathbf{u}}{dt}=-L\\mathbf{u}\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/e0\/bb\/9f\/e0bb9f11963b43dcf3ce17e811c6107a.svg\" width=\"96\" height=\"39\" data-width=\"11.381\" data-height=\"4.676\" data-vertical-align=\"-1.577\" style=\"width: 11.381ex; height: 4.676ex; vertical-align: -1.577ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/e0\/bb\/9f\/e0bb9f11963b43dcf3ce17e811c6107a.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/e0\/bb\/9f\/e0bb9f11963b43dcf3ce17e811c6107a.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u0433\u0434\u0435 $L$ \u2014 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440 \u041b\u0430\u043f\u043b\u0430\u0441\u0430. \u0414\u043b\u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"L\" alt=\"L\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d2\/d20\/d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.svg\" width=\"12\" height=\"12\" data-width=\"1.541\" data-height=\"1.545\" style=\"width: 1.541ex; height: 1.545ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d2\/d20\/d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d2\/d20\/d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\\mathbf{u}(t)=e^{-tL}\\mathbf{u}(0)\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\\mathbf{u}(t)=e^{-tL}\\mathbf{u}(0)\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/6d\/6d8\/6d814423bca6855efa8ac16c1ef18195.svg\" width=\"124\" height=\"21\" data-width=\"15.531\" data-height=\"2.593\" data-vertical-align=\"-0.731\" style=\"width: 15.531ex; height: 2.593ex; vertical-align: -0.731ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/6d\/6d8\/6d814423bca6855efa8ac16c1ef18195.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/6d\/6d8\/6d814423bca6855efa8ac16c1ef18195.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/p>\n<p>\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u044e, \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"e^{-tL}\" alt=\"e^{-tL}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/b6\/54\/62\/b65462cb203292812237c1f6bd1cb2d6.svg\" width=\"35\" height=\"17\" data-width=\"4.154\" data-height=\"2.052\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 4.154ex; height: 2.052ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/b6\/54\/62\/b65462cb203292812237c1f6bd1cb2d6.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/b6\/54\/62\/b65462cb203292812237c1f6bd1cb2d6.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u043d\u0430 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432.<\/p>\n<figure class=\"full-width \"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/extt\/63\/4c\/b9\/634cb9bc84344d862f41deb4a69e54b8.jpg\" alt=\"\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 4. \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u0437\u043c\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u0438 \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0435 \u0441 \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u044c\u043c\u044f \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438 \u0438 \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u044c\u043c\u044f \u0440\u0451\u0431\u0440\u0430\u043c\u0438.\" title=\"\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 4. \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u0437\u043c\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u0438 \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0435 \u0441 \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u044c\u043c\u044f \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438 \u0438 \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u044c\u043c\u044f \u0440\u0451\u0431\u0440\u0430\u043c\u0438.\" width=\"1102\" height=\"298\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w780\/extt\/63\/4c\/b9\/634cb9bc84344d862f41deb4a69e54b8.jpg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/extt\/63\/4c\/b9\/634cb9bc84344d862f41deb4a69e54b8.jpg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<div><figcaption>\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 4. \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 <a href=\"https:\/\/arxiv.org\/pdf\/2405.15540\">\u043c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u0437\u043c\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u0438 \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0435<\/a> \u0441 \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u044c\u043c\u044f \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438 \u0438 \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u044c\u043c\u044f \u0440\u0451\u0431\u0440\u0430\u043c\u0438.<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<h2>\u041e\u0431\u0437\u043e\u0440 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0445 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u043e\u0432<\/h2>\n<p>\u0421\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0435 sheaf-based \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u044b \u0432 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u043e\u043c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 sheaf Laplacian \u043a\u0430\u043a \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0443 \u0434\u043b\u044f \u0434\u0438\u0441\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432. \u0412 <a href=\"https:\/\/arxiv.org\/abs\/2202.04579\">Neural Sheaf Diffusion<\/a> sheaf \u043e\u0431\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \u0441 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c\u044e \u0438 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0435\u0442 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u044e \u043d\u0430 \u0433\u0435\u0442\u0435\u0440\u043e\u0444\u0438\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0430\u0445. \u0412 <a href=\"https:\/\/proceedings.mlr.press\/v196\/barbero22a\/barbero22a.pdf\">Sheaf Neural Networks with Connection Laplacians<\/a>\u00a0 restriction maps \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0437\u0430\u0440\u0430\u043d\u0435\u0435 \u043d\u0430 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0435 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432, \u0447\u0442\u043e \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0441\u043d\u0438\u0437\u0438\u0442\u044c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0437\u0430\u0442\u0440\u0430\u0442\u044b. \u0414\u0440\u0443\u0433\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442 <a href=\"https:\/\/arxiv.org\/abs\/2407.20597\">\u0441\u043e\u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441\u044b<\/a> \u0438 <a href=\"https:\/\/doi.org\/10.1609\/aaai.v40i25.39193\">\u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044e \u0441\u043f\u0435\u043a\u0442\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432 sheaf Laplacian<\/a>.<\/p>\n<p>\u0411\u043b\u0438\u0437\u043a\u0438\u0439 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434 \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430 <a href=\"https:\/\/arxiv.org\/pdf\/2405.15540\">Bundle Neural Networks for Message Diffusion on Graphs<\/a>. \u0414\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u044e \u043d\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0443\u0447\u043a\u0430\u0445 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043a\u0440\u0435\u0442\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u0440\u0435\u0442\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439 SNN.<\/p>\n<p>\u0421\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0435 sheaf-based \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u044b \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u043d\u043e \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430 \u0434\u0432\u0435 \u0433\u0440\u0443\u043f\u043f\u044b:<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>\u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u044b, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u044f \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u0438\u0441\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u043e \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 sheaf Laplacian<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438 \u0442\u0438\u043f\u0430 BuNN, \u0433\u0434\u0435 \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u043f\u0440\u0435\u0440\u044b\u0432\u043d\u044b\u043c \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u044b\u043c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043d\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0443\u0447\u043a\u0430\u0445, \u043d\u043e \u043f\u0440\u0438 \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0434\u0438\u0441\u043a\u0440\u0435\u0442\u0438\u0437\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<p>\u041c\u044b \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u2014 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e <a href=\"https:\/\/doi.org\/10.1016\/j.jcp.2018.10.045\">Physics-Informed Neural Network (PINN)<\/a>.<\/p>\n<h2>Physics-Informed Neural Network<\/h2>\n<p>\u0412\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u043d\u0435\u043f\u043e\u0441\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\\dot{u}(t) = -Lu(t),\\qquad u(0)=u_0\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\\dot{u}(t) = -Lu(t),\\qquad u(0)=u_0\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/26\/7e\/04\/267e0486df6be278858a8cd56be68903.svg\" width=\"245\" height=\"19\" data-width=\"29.075\" data-height=\"2.301\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 29.075ex; height: 2.301ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/26\/7e\/04\/267e0486df6be278858a8cd56be68903.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/26\/7e\/04\/267e0486df6be278858a8cd56be68903.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0435\u0439\u0440\u043e\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0435\u0442\u044c\u044e <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\\hat{u}(t) = f_{\\theta}(t, X, u_0)\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\\hat{u}(t) = f_{\\theta}(t, X, u_0)\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5\/5b\/5bb\/5bbbd204f22bc4357569bc8f1c58c653.svg\" width=\"142\" height=\"19\" data-width=\"17.733\" data-height=\"2.398\" data-vertical-align=\"-0.633\" style=\"width: 17.733ex; height: 2.398ex; vertical-align: -0.633ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5\/5b\/5bb\/5bbbd204f22bc4357569bc8f1c58c653.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5\/5b\/5bb\/5bbbd204f22bc4357569bc8f1c58c653.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u0433\u0434\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\theta\" alt=\"\\theta\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2\/25\/255\/2554a2bb846cffd697389e5dc8912759.svg\" width=\"12\" height=\"18\" data-width=\"1.061\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 1.061ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2\/25\/255\/2554a2bb846cffd697389e5dc8912759.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2\/25\/255\/2554a2bb846cffd697389e5dc8912759.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u2014 \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u044b \u0441\u0435\u0442\u0438, <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"X\" alt=\"X\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0\/02\/021\/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.svg\" width=\"15\" height=\"12\" data-width=\"1.928\" data-height=\"1.545\" style=\"width: 1.928ex; height: 1.545ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0\/02\/021\/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0\/02\/021\/02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0437\u0430\u0434\u0430\u0451\u0442 \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u0430, \u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"u_0\" alt=\"u_0\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d5\/d52\/d526fcdf9b10529b54820f729dbb25f4.svg\" width=\"18\" height=\"12\" data-width=\"2.282\" data-height=\"1.375\" data-vertical-align=\"-0.375\" style=\"width: 2.282ex; height: 1.375ex; vertical-align: -0.375ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d5\/d52\/d526fcdf9b10529b54820f729dbb25f4.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d5\/d52\/d526fcdf9b10529b54820f729dbb25f4.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u2014 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435.<\/p>\n<p>\u041a\u043b\u044e\u0447\u0435\u0432\u0430\u044f \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c PINN \u2014 \u0441\u0435\u0442\u044c \u043e\u0431\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u043e \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044e, \u043d\u043e \u0438 \u0441 \u0443\u0447\u0451\u0442\u043e\u043c \u0441\u0430\u043c\u043e\u0433\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0432\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u0432\u044f\u0437\u043a\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}r_{\\theta}(t)=\\frac{\\partial \\hat{u}(t)}{\\partial t}+L\\hat{u}(t)\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}r_{\\theta}(t)=\\frac{\\partial \\hat{u}(t)}{\\partial t}+L\\hat{u}(t)\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5\/55\/552\/5528b01861ac70e7de6a350f4377ac14.svg\" width=\"175\" height=\"40\" data-width=\"21.877\" data-height=\"5.041\" data-vertical-align=\"-1.955\" style=\"width: 21.877ex; height: 5.041ex; vertical-align: -1.955ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5\/55\/552\/5528b01861ac70e7de6a350f4377ac14.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5\/55\/552\/5528b01861ac70e7de6a350f4377ac14.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u0430 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0431\u043b\u0438\u0437\u043a\u0430 \u043a \u043d\u0443\u043b\u044e.<\/p>\n<p>\u0412 \u043d\u0430\u0448\u0435\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"L\" alt=\"L\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d2\/d20\/d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.svg\" width=\"12\" height=\"12\" data-width=\"1.541\" data-height=\"1.545\" style=\"width: 1.541ex; height: 1.545ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d2\/d20\/d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d2\/d20\/d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0432 \u043d\u0435\u0432\u044f\u0437\u043a\u0443 \u0432\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 sheaf Laplacian. \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, PINN \u043d\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438, \u0430 \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<p>\u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u043c\u044b \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0434\u0432\u0435 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0435\u0439\u0440\u043e\u0441\u0435\u0442\u0435\u0432\u043e\u0439 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438 \u0434\u043b\u044f \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d \u0433\u0440\u0430\u0444\u0430. \u0412 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0439 PINN \u043e\u0431\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u043e\u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e \u0441\u043e \u0432\u0441\u0435\u043c\u0438 \u0441\u043b\u043e\u044f\u043c\u0438 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0434 \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443. \u0412\u043e \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434, \u0433\u0434\u0435 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u0435\u0434\u0432\u0430\u0440\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0441\u0435\u0442\u044c (pre-trained PINN). \u0412\u0435\u0441\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438 \u0438\u043d\u0438\u0446\u0438\u0430\u043b\u0438\u0437\u0438\u0440\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0430\u043c\u0438 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0432\u0430\u0440\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0447\u0435\u0433\u043e \u0437\u0430\u043c\u043e\u0440\u0430\u0436\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f.<\/p>\n<h3>\u041f\u0440\u0435\u0434\u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f PINN \u0434\u043b\u044f \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b<\/h3>\n<p>\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043f\u043e\u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u0435\u0435, \u043a\u0430\u043a \u0443\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0430 \u0438 \u043e\u0431\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f PINN, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0432\u043e \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"e^{-tX}u_0\" alt=\"e^{-tX}u_0\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/e3\/e31\/e31c225391ef8cce0f18d46ca117abff.svg\" width=\"54\" height=\"19\" data-width=\"6.709\" data-height=\"2.402\" data-vertical-align=\"-0.375\" style=\"width: 6.709ex; height: 2.402ex; vertical-align: -0.375ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/e3\/e31\/e31c225391ef8cce0f18d46ca117abff.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/e3\/e31\/e31c225391ef8cce0f18d46ca117abff.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 BuNN. \u041d\u0438\u0436\u0435 \u2014 \u0435\u0451 \u0443\u043f\u0440\u043e\u0449\u0451\u043d\u043d\u043e\u0435 \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0438\u0435.<\/p>\n<h3>\u041a\u0430\u043a\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u0440\u0435\u0448\u0430\u0435\u0442 \u0441\u0435\u0442\u044c<\/h3>\n<p>\u0421\u0435\u0442\u044c \u043e\u0431\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435 \u0434\u043b\u044f \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b, \u0430 \u0434\u043b\u044f \u0446\u0435\u043b\u043e\u0433\u043e \u0441\u0435\u043c\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0430 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447 \u041a\u043e\u0448\u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\dot u(t) = -A\\,u(t), \\qquad u(0)=u_0\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\dot u(t) = -A\\,u(t), \\qquad u(0)=u_0\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4\/4a\/4a6\/4a68f9c4fb9287aa6941bc5e273505f5.svg\" width=\"237\" height=\"18\" data-width=\"29.609\" data-height=\"2.301\" data-vertical-align=\"-0.585\" style=\"width: 29.609ex; height: 2.301ex; vertical-align: -0.585ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4\/4a\/4a6\/4a68f9c4fb9287aa6941bc5e273505f5.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/4\/4a\/4a6\/4a68f9c4fb9287aa6941bc5e273505f5.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u0433\u0434\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"A\\in\\mathbb{R}^{n\\times n}\" alt=\"A\\in\\mathbb{R}^{n\\times n}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a5\/e5\/23\/a5e523d6ac9bff40d894c5c64f521167.svg\" width=\"80\" height=\"15\" data-width=\"9.448\" data-height=\"1.81\" data-vertical-align=\"-0.09\" style=\"width: 9.448ex; height: 1.81ex; vertical-align: -0.09ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a5\/e5\/23\/a5e523d6ac9bff40d894c5c64f521167.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a5\/e5\/23\/a5e523d6ac9bff40d894c5c64f521167.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u2014 \u043a\u043e\u0441\u043e\u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u0430\u044f (<img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"A^{\\top}=-A\" alt=\"A^{\\top}=-A\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/93\/0b\/90\/930b901385f5c91990bc6a55e38d8ecd.svg\" width=\"81\" height=\"18\" data-width=\"9.603\" data-height=\"2.189\" data-vertical-align=\"-0.186\" style=\"width: 9.603ex; height: 2.189ex; vertical-align: -0.186ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/93\/0b\/90\/930b901385f5c91990bc6a55e38d8ecd.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/93\/0b\/90\/930b901385f5c91990bc6a55e38d8ecd.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>) \u043b\u0435\u043d\u0442\u043e\u0447\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 \u0441 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"k\" alt=\"k\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/8c\/8ce\/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.svg\" width=\"12\" height=\"13\" data-width=\"1.179\" data-height=\"1.595\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 1.179ex; height: 1.595ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/8c\/8ce\/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/8c\/8ce\/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u043d\u0435\u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u043c\u0438 \u043d\u0430\u0434\u0434\u0438\u0430\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044f\u043c\u0438. \u0422\u043e\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"u(t)=e^{-tA}u_0\" alt=\"u(t)=e^{-tA}u_0\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/9d\/b4\/7c\/9db47ce84f1eed5ce6ee5034e745ad3e.svg\" width=\"113\" height=\"22\" data-width=\"13.434\" data-height=\"2.645\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 13.434ex; height: 2.645ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/9d\/b4\/7c\/9db47ce84f1eed5ce6ee5034e745ad3e.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/9d\/b4\/7c\/9db47ce84f1eed5ce6ee5034e745ad3e.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/p>\n<p>\u042d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0430 \u043a\u043e\u0441\u043e\u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\|u(t)\\| = \\|u_0\\|\" alt=\"\\|u(t)\\| = \\|u_0\\|\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a4\/f4\/9e\/a4f49e1703750ef7a827a4162404c98f.svg\" width=\"115\" height=\"19\" data-width=\"13.695\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 13.695ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a4\/f4\/9e\/a4f49e1703750ef7a827a4162404c98f.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a4\/f4\/9e\/a4f49e1703750ef7a827a4162404c98f.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u043f\u0440\u0438 \u043b\u044e\u0431\u043e\u043c <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"t\" alt=\"t\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/e3\/e35\/e358efa489f58062f10dd7316b65649e.svg\" width=\"12\" height=\"12\" data-width=\"0.817\" data-height=\"1.441\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 0.817ex; height: 1.441ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/e3\/e35\/e358efa489f58062f10dd7316b65649e.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/e3\/e35\/e358efa489f58062f10dd7316b65649e.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>: \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430, \u043d\u043e \u043d\u0435 \u0435\u0433\u043e \u0434\u043b\u0438\u043d\u0443. \u041c\u044b \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u044d\u0442\u043e \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u043e \u043f\u0440\u0438 \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u0438 PINN: \u043e\u043d\u043e \u0434\u0430\u0451\u0442 \u0443\u0441\u0442\u043e\u0439\u0447\u0438\u0432\u0443\u044e \u0434\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438\u043a\u0443 \u0438 \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u044f\u0435\u0442 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0443 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<p>\u041e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b, \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u044e\u0449\u0438\u0435 \u043a\u0430\u043a \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b \u043a\u043e\u0441\u043e\u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446 \u043f\u0440\u0438 \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u0438 PINN, \u2014 \u043d\u0435 \u0442\u043e \u0436\u0435 \u0441\u0430\u043c\u043e\u0435, \u0447\u0442\u043e \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0432 BuNN. \u0412 BuNN \u0442\u0430\u043a\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u0438 \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0438\u0438 bundle Laplacian, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441.<\/p>\n<p>\u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0442\u043e\u0433\u043e, \u0434\u043b\u044f \u043a\u043e\u0441\u043e\u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"A\" alt=\"A\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/7f\/7fc\/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.svg\" width=\"14\" height=\"13\" data-width=\"1.697\" data-height=\"1.62\" style=\"width: 1.697ex; height: 1.62ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/7f\/7fc\/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/7f\/7fc\/7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\langle e, Ae\\rangle = 0\" alt=\"\\langle e, Ae\\rangle = 0\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/87\/b9\/b1\/87b9b1e60a75780d9b9663b631e309b6.svg\" width=\"90\" height=\"19\" data-width=\"10.72\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 10.72ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/87\/b9\/b1\/87b9b1e60a75780d9b9663b631e309b6.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/87\/b9\/b1\/87b9b1e60a75780d9b9663b631e309b6.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432 \u044d\u043d\u0435\u0440\u0433\u0435\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043e\u0446\u0435\u043d\u043a\u0435 \u044d\u0442\u043e\u0442 \u0447\u043b\u0435\u043d \u043d\u0435 \u0432\u043b\u0438\u044f\u0435\u0442 \u043d\u0430 \u0438\u0437\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u043e\u0440\u043c\u044b \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0438. \u0410\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u0443\u044e \u043e\u0446\u0435\u043d\u043a\u0443 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043d\u0435\u0432\u044f\u0437\u043a\u0443 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0438 \u0434\u043b\u044f \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0435\u043c\u043e\u0439 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b.<\/p>\n<p>\u0414\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"e^{-tA}\" alt=\"e^{-tA}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/df\/d2\/42\/dfd242beb9e09a50525dcf95483f185b.svg\" width=\"36\" height=\"18\" data-width=\"4.264\" data-height=\"2.105\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 4.264ex; height: 2.105ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/df\/d2\/42\/dfd242beb9e09a50525dcf95483f185b.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/df\/d2\/42\/dfd242beb9e09a50525dcf95483f185b.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u043d\u0430 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0442\u044c \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430\u043c\u0438. \u0412 \u044d\u043a\u0441\u043f\u0435\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0442\u0435 \u043d\u0438\u0436\u0435 \u0431\u0430\u0437\u043e\u0432\u044b\u0439 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u2014 \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0443\u0441\u0435\u0447\u0451\u043d\u043d\u044b\u043c \u0440\u044f\u0434\u043e\u043c \u0422\u0435\u0439\u043b\u043e\u0440\u0430 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 16. \u0418\u0434\u0435\u044f PINN-\u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u0430 \u2014 \u043f\u0435\u0440\u0435\u043d\u0435\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0443\u044e \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043d\u0430 \u044d\u0442\u0430\u043f \u043f\u0440\u0435\u0434\u0432\u0430\u0440\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0430 \u043d\u0430 \u0438\u043d\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0441\u0435 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0442\u044c \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u0430 \u043d\u0435\u0439\u0440\u043e\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0435\u0442\u0438.<\/p>\n<h3>\u0412\u0445\u043e\u0434 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438<\/h3>\n<p>\u041f\u043b\u043e\u0442\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"A\" alt=\"A\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/c2\/ef\/ce\/c2efced06d0e2fcfec738c88add7b343.svg\" width=\"14\" height=\"14\" data-width=\"1.697\" data-height=\"1.62\" style=\"width: 1.697ex; height: 1.62ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/c2\/ef\/ce\/c2efced06d0e2fcfec738c88add7b343.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/c2\/ef\/ce\/c2efced06d0e2fcfec738c88add7b343.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0441\u043e\u0434\u0435\u0440\u0436\u0438\u0442 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"n^2\" alt=\"n^2\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a9\/eb\/35\/a9eb354180dce953d37f3d6d48581e30.svg\" width=\"20\" height=\"17\" data-width=\"2.345\" data-height=\"2.025\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 2.345ex; height: 2.025ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a9\/eb\/35\/a9eb354180dce953d37f3d6d48581e30.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a9\/eb\/35\/a9eb354180dce953d37f3d6d48581e30.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432, \u043d\u043e \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u044b\u0445 \u0441\u0440\u0435\u0434\u0438 \u043d\u0438\u0445 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"O(kn)\" alt=\"O(kn)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/8c\/47\/1a\/8c471a4a84b685e6ad4c762f18761076.svg\" width=\"51\" height=\"19\" data-width=\"6.023\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 6.023ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/8c\/47\/1a\/8c471a4a84b685e6ad4c762f18761076.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/8c\/47\/1a\/8c471a4a84b685e6ad4c762f18761076.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043d\u0430 \u0432\u0445\u043e\u0434 \u043f\u043e\u0434\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"k\" alt=\"k\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/8c\/8ce\/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.svg\" width=\"12\" height=\"13\" data-width=\"1.179\" data-height=\"1.595\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 1.179ex; height: 1.595ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/8c\/8ce\/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/8c\/8ce\/8ce4b16b22b58894aa86c421e8759df3.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u043d\u0430\u0434\u0434\u0438\u0430\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u0435\u0439 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"a^{(1)},\\dots,a^{(k)}\" alt=\"a^{(1)},\\dots,a^{(k)}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a6\/42\/b8\/a642b89d25b5364063c772ac4c9abca6.svg\" width=\"100\" height=\"22\" data-width=\"11.933\" data-height=\"2.573\" data-vertical-align=\"-0.439\" style=\"width: 11.933ex; height: 2.573ex; vertical-align: -0.439ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a6\/42\/b8\/a642b89d25b5364063c772ac4c9abca6.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a6\/42\/b8\/a642b89d25b5364063c772ac4c9abca6.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> (\u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043d\u0443\u043b\u044f\u043c\u0438 \u0434\u043e \u0434\u043b\u0438\u043d\u044b <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"n\" alt=\"n\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/59\/0b\/4d\/590b4db29ebfb913f6d84bad5a122038.svg\" width=\"11\" height=\"9\" data-width=\"1.357\" data-height=\"1.025\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 1.357ex; height: 1.025ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/59\/0b\/4d\/590b4db29ebfb913f6d84bad5a122038.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/59\/0b\/4d\/590b4db29ebfb913f6d84bad5a122038.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>) \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \u0441 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435\u043c <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"u_0\" alt=\"u_0\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/19\/ef\/a4\/19efa48b33e604efab7e3f009c748d92.svg\" width=\"19\" height=\"12\" data-width=\"2.282\" data-height=\"1.375\" data-vertical-align=\"-0.375\" style=\"width: 2.282ex; height: 1.375ex; vertical-align: -0.375ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/19\/ef\/a4\/19efa48b33e604efab7e3f009c748d92.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/19\/ef\/a4\/19efa48b33e604efab7e3f009c748d92.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u2014 \u043a\u0430\u043a <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"(k+1)\" alt=\"(k+1)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/2e\/1c\/86\/2e1c8628df041e1e67b61f6a5ee16b94.svg\" width=\"58\" height=\"19\" data-width=\"6.836\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 6.836ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/2e\/1c\/86\/2e1c8628df041e1e67b61f6a5ee16b94.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/2e\/1c\/86\/2e1c8628df041e1e67b61f6a5ee16b94.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u043a\u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432 \u043e\u0434\u043d\u043e\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u0441\u0438\u0433\u043d\u0430\u043b\u0430: <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0x_{\\text{matrix}} =\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\bigl[a^{(1)};\\,\\dots;\\,a^{(k)};\\,u_0\\bigr]\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\in \\mathbb{R}^{(k+1)\\times n}\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0x_{\\text{matrix}} =\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\bigl[a^{(1)};\\,\\dots;\\,a^{(k)};\\,u_0\\bigr]\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\in \\mathbb{R}^{(k+1)\\times n}\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c\/ce\/cee\/ceea521a4056706070b51431a8916dba.svg\" width=\"307\" height=\"23\" data-width=\"38.326\" data-height=\"2.925\" data-vertical-align=\"-0.897\" style=\"width: 38.326ex; height: 2.925ex; vertical-align: -0.897ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c\/ce\/cee\/ceea521a4056706070b51431a8916dba.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c\/ce\/cee\/ceea521a4056706070b51431a8916dba.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>. <\/p>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u0442\u0440\u0451\u0445\u0434\u0438\u0430\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u0438\u0437 BuNN (<img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"k=1\" alt=\"k=1\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/0e\/b7\/40\/0eb740bddf3e21f226d213e94bab8af5.svg\" width=\"45\" height=\"15\" data-width=\"5.327\" data-height=\"1.756\" data-vertical-align=\"-0.186\" style=\"width: 5.327ex; height: 1.756ex; vertical-align: -0.186ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/0e\/b7\/40\/0eb740bddf3e21f226d213e94bab8af5.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/0e\/b7\/40\/0eb740bddf3e21f226d213e94bab8af5.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>) \u044d\u0442\u043e \u0432\u0441\u0435\u0433\u043e \u0434\u0432\u0430 \u043a\u0430\u043d\u0430\u043b\u0430.<\/p>\n<h4>\u0410\u0440\u0445\u0438\u0442\u0435\u043a\u0442\u0443\u0440\u0430 FiLM-PINN<\/h4>\n<p>\u041e\u0431\u0449\u0430\u044f \u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u0430 \u043d\u0430 \u0440\u0438\u0441.\u00a05. \u0421\u0435\u0442\u044c \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0438\u0437 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043f\u043e\u0442\u043e\u043a\u043e\u0432, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0435 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0431\u0430\u0442\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f \u0438 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 \u043f\u043e \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438, \u0438 \u0431\u043b\u043e\u043a\u043e\u0432 \u0441\u043b\u0438\u044f\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<figure class=\"full-width \"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/extt\/0c\/25\/14\/0c25141ad2af2e76aa67e48772453b10.png\" alt=\"\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 5. \u0410\u0440\u0445\u0438\u0442\u0435\u043a\u0442\u0443\u0440\u0430 FiLM-PINN \u0438 \u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0435\u0451 \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0421\u0432\u0435\u0440\u0445\u0443 \u2014 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434 \u0441\u0435\u0442\u0438, \u0441\u043d\u0438\u0437\u0443 \u2014 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043f\u043e\u0442\u0435\u0440\u044c.\" title=\"\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 5. \u0410\u0440\u0445\u0438\u0442\u0435\u043a\u0442\u0443\u0440\u0430 FiLM-PINN \u0438 \u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0435\u0451 \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0421\u0432\u0435\u0440\u0445\u0443 \u2014 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434 \u0441\u0435\u0442\u0438, \u0441\u043d\u0438\u0437\u0443 \u2014 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043f\u043e\u0442\u0435\u0440\u044c.\" width=\"583\" height=\"355\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w780\/extt\/0c\/25\/14\/0c25141ad2af2e76aa67e48772453b10.png 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/extt\/0c\/25\/14\/0c25141ad2af2e76aa67e48772453b10.png 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<div><figcaption>\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 5. \u0410\u0440\u0445\u0438\u0442\u0435\u043a\u0442\u0443\u0440\u0430 FiLM-PINN \u0438 \u0441\u0445\u0435\u043c\u0430 \u0435\u0451 \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0421\u0432\u0435\u0440\u0445\u0443 \u2014 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434 \u0441\u0435\u0442\u0438, \u0441\u043d\u0438\u0437\u0443 \u2014 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043f\u043e\u0442\u0435\u0440\u044c.<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<p><strong>\u0412\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0442\u043e\u043a.<\/strong> \u041e\u0431\u044b\u0447\u043d\u044b\u0439 MLP \u043f\u043b\u043e\u0445\u043e \u0432\u044b\u0443\u0447\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0432\u044b\u0441\u043e\u043a\u043e\u0447\u0430\u0441\u0442\u043e\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 (\u044d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442 <a href=\"https:\/\/arxiv.org\/abs\/1806.08734\">spectral bias<\/a>), \u0430 \u043d\u0430 \u0434\u043b\u0438\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0432\u0430\u043b\u0430\u0445 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u0441\u0446\u0438\u043b\u043b\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0435 \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 <a href=\"https:\/\/arxiv.org\/abs\/2006.10739\">\u043e\u0442\u043e\u0431\u0440\u0430\u0436\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f<\/a> <a href=\"https:\/\/arxiv.org\/abs\/2006.10739\">\u0432 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u0438 \u0424\u0443\u0440\u044c\u0435<\/a> <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\gamma(t) = \\bigl[\\cos(2\\pi B t),\\ \\sin(2\\pi B t)\\bigr],\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\qquad B_i \\sim \\mathcal{N}(0,\\sigma^2)\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\gamma(t) = \\bigl[\\cos(2\\pi B t),\\ \\sin(2\\pi B t)\\bigr],\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\qquad B_i \\sim \\mathcal{N}(0,\\sigma^2)\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/3a\/61\/95\/3a61959435304543a3ded2ccfbe6f934.svg\" width=\"415\" height=\"24\" data-width=\"49.29\" data-height=\"2.791\" data-vertical-align=\"-0.791\" style=\"width: 49.29ex; height: 2.791ex; vertical-align: -0.791ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/3a\/61\/95\/3a61959435304543a3ded2ccfbe6f934.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/3a\/61\/95\/3a61959435304543a3ded2ccfbe6f934.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u0430 \u0437\u0430\u0442\u0435\u043c \u0434\u0432\u0443\u0445\u0441\u043b\u043e\u0439\u043d\u044b\u043c MLP \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u0432 \u044d\u043c\u0431\u0435\u0434\u0434\u0438\u043d\u0433 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"z_t\\in\\mathbb{R}^{d_h}\" alt=\"z_t\\in\\mathbb{R}^{d_h}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d5\/d59\/d59234cbc3c67da3e5e141d6644434a5.svg\" width=\"64\" height=\"21\" data-width=\"8.021\" data-height=\"2.61\" data-vertical-align=\"-0.74\" style=\"width: 8.021ex; height: 2.61ex; vertical-align: -0.74ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d5\/d59\/d59234cbc3c67da3e5e141d6644434a5.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d5\/d59\/d59234cbc3c67da3e5e141d6644434a5.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/p>\n<p><strong>\u041c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043f\u043e\u0442\u043e\u043a.<\/strong> \u0412\u0445\u043e\u0434 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"x_{\\text{matrix}}\" alt=\"x_{\\text{matrix}}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/c6\/5a\/03\/c65a032f413438d53c20747573163ad3.svg\" width=\"52\" height=\"11\" data-width=\"6.153\" data-height=\"1.357\" data-vertical-align=\"-0.357\" style=\"width: 6.153ex; height: 1.357ex; vertical-align: -0.357ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/c6\/5a\/03\/c65a032f413438d53c20747573163ad3.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/c6\/5a\/03\/c65a032f413438d53c20747573163ad3.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u0441\u0432\u0451\u0440\u0442\u043a\u0443 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"1\\times1\" alt=\"1\\times1\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/bc\/4d\/66\/bc4d66de21d7f42b4dc979f5565966ed.svg\" width=\"42\" height=\"13\" data-width=\"5.028\" data-height=\"1.507\" style=\"width: 5.028ex; height: 1.507ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/bc\/4d\/66\/bc4d66de21d7f42b4dc979f5565966ed.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/bc\/4d\/66\/bc4d66de21d7f42b4dc979f5565966ed.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> (\u043f\u043e\u0434\u043d\u044f\u0442\u0438\u0435 \u0434\u043e <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"d_h\" alt=\"d_h\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/5e\/9b\/e0\/5e9be01ab585ff46ca65d2a5abf8d103.svg\" width=\"19\" height=\"16\" data-width=\"2.286\" data-height=\"1.927\" data-vertical-align=\"-0.357\" style=\"width: 2.286ex; height: 1.927ex; vertical-align: -0.357ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/5e\/9b\/e0\/5e9be01ab585ff46ca65d2a5abf8d103.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/5e\/9b\/e0\/5e9be01ab585ff46ca65d2a5abf8d103.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u043a\u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432) \u0438 \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0431\u043b\u043e\u043a\u043e\u0432 \u0438\u0437 \u043e\u0434\u043d\u043e\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0432\u0451\u0440\u0442\u043e\u043a. <\/p>\n<p>\u0412\u044b\u0431\u043e\u0440 \u0441\u0432\u0451\u0440\u0442\u043e\u043a \u043e\u0431\u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u043b\u0435\u043d \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438: <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"i\" alt=\"i\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a8\/8e\/11\/a88e1181593d37e16d80cb315c382b65.svg\" width=\"7\" height=\"13\" data-width=\"0.781\" data-height=\"1.52\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 0.781ex; height: 1.52ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a8\/8e\/11\/a88e1181593d37e16d80cb315c382b65.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a8\/8e\/11\/a88e1181593d37e16d80cb315c382b65.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>-\u044f \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"Au\" alt=\"Au\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/c2\/be\/e9\/c2bee9bcf215b18eb06fde3f9ce397d0.svg\" width=\"25\" height=\"14\" data-width=\"2.991\" data-height=\"1.645\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 2.991ex; height: 1.645ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/c2\/be\/e9\/c2bee9bcf215b18eb06fde3f9ce397d0.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/c2\/be\/e9\/c2bee9bcf215b18eb06fde3f9ce397d0.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043e\u0442 \u0441\u043e\u0441\u0435\u0434\u043d\u0438\u0445 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"u\" alt=\"u\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/38\/81\/98\/38819809cdfc2b7063b6b33906bb8cfa.svg\" width=\"11\" height=\"9\" data-width=\"1.294\" data-height=\"1.025\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 1.294ex; height: 1.025ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/38\/81\/98\/38819809cdfc2b7063b6b33906bb8cfa.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/38\/81\/98\/38819809cdfc2b7063b6b33906bb8cfa.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0438 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0445 \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 \u0434\u0438\u0430\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u0435\u0439. \u0422\u043e \u0435\u0441\u0442\u044c \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u0435\u043d \u2014 \u0438 \u044d\u0442\u043e \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0441\u0432\u0451\u0440\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0444\u0438\u043b\u044c\u0442\u0440. \u0427\u0438\u0441\u043b\u043e \u0432\u0435\u0441\u043e\u0432 \u0441\u0432\u0451\u0440\u0442\u043e\u043a \u043d\u0435 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u0442 \u043e\u0442 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"n\" alt=\"n\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/cb\/5b\/ae\/cb5bae5a6cc0c07ada1a6ef517e17e2e.svg\" width=\"11\" height=\"9\" data-width=\"1.357\" data-height=\"1.025\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 1.357ex; height: 1.025ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/cb\/5b\/ae\/cb5bae5a6cc0c07ada1a6ef517e17e2e.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/cb\/5b\/ae\/cb5bae5a6cc0c07ada1a6ef517e17e2e.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043e\u0434\u043d\u0430 \u0438 \u0442\u0430 \u0436\u0435 \u0441\u0435\u0442\u044c \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0434\u043b\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446 \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u0430.<\/p>\n<p><strong>\u0421\u043b\u0438\u044f\u043d\u0438\u0435 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 FiLM.<\/strong> \u0421\u0430\u043c\u043e\u0435 \u0432\u0430\u0436\u043d\u043e\u0435 \u2014 \u043a\u0430\u043a \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f \u0432\u043b\u0438\u044f\u0435\u0442 \u043d\u0430 \u043e\u0431\u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u043a\u0443 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b. \u0412\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u043e\u0439 \u043a\u043e\u043d\u043a\u0430\u0442\u0435\u043d\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f <a href=\"https:\/\/arxiv.org\/abs\/1709.07871\">Feature-wise Linear Modulation<\/a>: \u044d\u043c\u0431\u0435\u0434\u0434\u0438\u043d\u0433 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \u0433\u0435\u043d\u0435\u0440\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u0434\u043b\u044f \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0433\u043e \u0431\u043b\u043e\u043a\u0430 \u043f\u043e\u043a\u0430\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u044b \u043c\u0430\u0441\u0448\u0442\u0430\u0431\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\gamma_l(z_t)\" alt=\"\\gamma_l(z_t)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/b8\/5f\/9b\/b85f9b2c3233f88d734281d2de436a75.svg\" width=\"46\" height=\"19\" data-width=\"5.414\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 5.414ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/b8\/5f\/9b\/b85f9b2c3233f88d734281d2de436a75.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/b8\/5f\/9b\/b85f9b2c3233f88d734281d2de436a75.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0438 \u0441\u0434\u0432\u0438\u0433\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\beta_l(z_t)\" alt=\"\\beta_l(z_t)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/b1\/bd\/d0\/b1bdd0445d9668e9330b1590ec901ce9.svg\" width=\"47\" height=\"19\" data-width=\"5.523\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 5.523ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/b1\/bd\/d0\/b1bdd0445d9668e9330b1590ec901ce9.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/b1\/bd\/d0\/b1bdd0445d9668e9330b1590ec901ce9.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0h_{l+1} = h_l + \\operatorname{Conv}_2\\!\\Bigl(\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\sigma\\bigl((1+\\gamma_l(z_t))\\odot\\operatorname{Conv}_1(\\sigma(h_l))\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0+ \\beta_l(z_t)\\bigr)\\Bigr)\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0h_{l+1} = h_l + \\operatorname{Conv}_2\\!\\Bigl(\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\sigma\\bigl((1+\\gamma_l(z_t))\\odot\\operatorname{Conv}_1(\\sigma(h_l))\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0+ \\beta_l(z_t)\\bigr)\\Bigr)\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/1c\/cb\/d6\/1ccbd6d48b4f68764fa1500f30cd24f2.svg\" width=\"495\" height=\"34\" data-width=\"58.765\" data-height=\"4.07\" data-vertical-align=\"-1.469\" style=\"width: 58.765ex; height: 4.07ex; vertical-align: -1.469ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/1c\/cb\/d6\/1ccbd6d48b4f68764fa1500f30cd24f2.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/1c\/cb\/d6\/1ccbd6d48b4f68764fa1500f30cd24f2.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/p>\n<p>\u0424\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u044d\u043d\u043a\u043e\u0434\u0435\u0440 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u043a\u0430\u043a \u0433\u0438\u043f\u0435\u0440\u0441\u0435\u0442\u044c, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u043d\u0430\u0441\u0442\u0440\u0430\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0441\u0432\u0451\u0440\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0444\u0438\u043b\u044c\u0442\u0440\u044b \u043f\u043e\u0434 \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u044b\u0439 \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438.<\/p>\n<p>\u041f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"1+\\gamma_l\" alt=\"1+\\gamma_l\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/b1\/99\/66\/b199669c5033714637d7418e6cad0fc2.svg\" width=\"48\" height=\"17\" data-width=\"5.733\" data-height=\"1.995\" data-vertical-align=\"-0.489\" style=\"width: 5.733ex; height: 1.995ex; vertical-align: -0.489ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/b1\/99\/66\/b199669c5033714637d7418e6cad0fc2.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/b1\/99\/66\/b199669c5033714637d7418e6cad0fc2.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0434\u0435\u043b\u0430\u0435\u0442 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044f\u0446\u0438\u044e \u0431\u043b\u0438\u0437\u043a\u043e\u0439 \u043a \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0435 \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<figure class=\"\"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/extt\/0e\/9d\/aa\/0e9daaaf1ef87ca251a7fa803a0946f5.png\" alt=\"\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 6. \u041e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0431\u043b\u043e\u043a \u0441 FiLM-\u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044f\u0446\u0438\u0435\u0439: \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u044b \u00a0\u0438  \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e \u044d\u043c\u0431\u0435\u0434\u0434\u0438\u043d\u0433\u0443 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 .\" title=\"\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 6. \u041e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0431\u043b\u043e\u043a \u0441 FiLM-\u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044f\u0446\u0438\u0435\u0439: \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u044b \u00a0\u0438  \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e \u044d\u043c\u0431\u0435\u0434\u0434\u0438\u043d\u0433\u0443 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 .\" width=\"457\" height=\"152\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w780\/extt\/0e\/9d\/aa\/0e9daaaf1ef87ca251a7fa803a0946f5.png 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/extt\/0e\/9d\/aa\/0e9daaaf1ef87ca251a7fa803a0946f5.png 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<div><figcaption>\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 6. \u041e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0431\u043b\u043e\u043a \u0441 FiLM-\u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u044f\u0446\u0438\u0435\u0439: \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442\u044b <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\gamma_l\" alt=\"\\gamma_l\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/7f\/2b\/d4\/7f2bd41b9276838f379576ebddd2d841.svg\" width=\"15\" height=\"13\" data-width=\"1.836\" data-height=\"1.486\" data-vertical-align=\"-0.489\" style=\"width: 1.836ex; height: 1.486ex; vertical-align: -0.489ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/7f\/2b\/d4\/7f2bd41b9276838f379576ebddd2d841.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/7f\/2b\/d4\/7f2bd41b9276838f379576ebddd2d841.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>\u00a0\u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\beta_l\" alt=\"\\beta_l\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/5c\/8a\/54\/5c8a548115f133930458f64868ace36d.svg\" width=\"16\" height=\"17\" data-width=\"1.945\" data-height=\"2.034\" data-vertical-align=\"-0.439\" style=\"width: 1.945ex; height: 2.034ex; vertical-align: -0.439ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/5c\/8a\/54\/5c8a548115f133930458f64868ace36d.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/5c\/8a\/54\/5c8a548115f133930458f64868ace36d.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e \u044d\u043c\u0431\u0435\u0434\u0434\u0438\u043d\u0433\u0443 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"z_t\" alt=\"z_t\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/27\/26\/f7\/2726f7e4d4073404a8ad561ac0a7552e.svg\" width=\"15\" height=\"11\" data-width=\"1.817\" data-height=\"1.357\" data-vertical-align=\"-0.357\" style=\"width: 1.817ex; height: 1.357ex; vertical-align: -0.357ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/27\/26\/f7\/2726f7e4d4073404a8ad561ac0a7552e.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/27\/26\/f7\/2726f7e4d4073404a8ad561ac0a7552e.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<p><strong>\u0416\u0451\u0441\u0442\u043a\u043e\u0435 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0435.<\/strong> \u041f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043d\u044f\u044f \u0441\u0432\u0451\u0440\u0442\u043a\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"1\\times1\" alt=\"1\\times1\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f4\/1c\/1b\/f41c1bed3e749b30a337b3af409a9d58.svg\" width=\"42\" height=\"13\" data-width=\"5.028\" data-height=\"1.507\" style=\"width: 5.028ex; height: 1.507ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f4\/1c\/1b\/f41c1bed3e749b30a337b3af409a9d58.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f4\/1c\/1b\/f41c1bed3e749b30a337b3af409a9d58.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0432\u044b\u0434\u0430\u0451\u0442 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\Delta_\\theta\\in\\mathbb{R}^n\" alt=\"\\Delta_\\theta\\in\\mathbb{R}^n\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/05\/f0\/56\/05f0563a3dfb51a233163e4de7844429.svg\" width=\"70\" height=\"17\" data-width=\"8.37\" data-height=\"1.997\" data-vertical-align=\"-0.355\" style=\"width: 8.37ex; height: 1.997ex; vertical-align: -0.355ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/05\/f0\/56\/05f0563a3dfb51a233163e4de7844429.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/05\/f0\/56\/05f0563a3dfb51a233163e4de7844429.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u2014 \u043d\u0435 \u0441\u0430\u043c\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435, \u0430 \u0435\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u0440\u0430\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435. \u0412\u0440\u0435\u043c\u044f \u043d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043e\u043a <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"[-1,1]\" alt=\"[-1,1]\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/e0\/74\/c8\/e074c8dda57ec1b8354fbded78ece55d.svg\" width=\"53\" height=\"19\" data-width=\"6.287\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 6.287ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/e0\/74\/c8\/e074c8dda57ec1b8354fbded78ece55d.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/e0\/74\/c8\/e074c8dda57ec1b8354fbded78ece55d.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u043f\u0440\u0438\u0447\u0451\u043c <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"t_{\\min}=-1\" alt=\"t_{\\min}=-1\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/03\/50\/5d\/03505d2e03640fdf270148a824308702.svg\" width=\"81\" height=\"16\" data-width=\"9.58\" data-height=\"1.846\" data-vertical-align=\"-0.339\" style=\"width: 9.58ex; height: 1.846ex; vertical-align: -0.339ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/03\/50\/5d\/03505d2e03640fdf270148a824308702.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/03\/50\/5d\/03505d2e03640fdf270148a824308702.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"t=0\" alt=\"t=0\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f7\/f7\/aa\/f7f7aadd2d13c0b3bf4f3bff41b4d27c.svg\" width=\"42\" height=\"14\" data-width=\"4.965\" data-height=\"1.692\" data-vertical-align=\"-0.186\" style=\"width: 4.965ex; height: 1.692ex; vertical-align: -0.186ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f7\/f7\/aa\/f7f7aadd2d13c0b3bf4f3bff41b4d27c.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f7\/f7\/aa\/f7f7aadd2d13c0b3bf4f3bff41b4d27c.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u0438 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\hat u_{\\text{raw}} = u_0 + (t-t_{\\min})\\,\\Delta_\\theta(t, x_{\\text{matrix}}),\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\qquad\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\hat u = \\hat u_{\\text{raw}}\\,\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\frac{\\|u_0\\|}{\\|\\hat u_{\\text{raw}}\\|+\\epsilon}\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\hat u_{\\text{raw}} = u_0 + (t-t_{\\min})\\,\\Delta_\\theta(t, x_{\\text{matrix}}),\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\qquad\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\hat u = \\hat u_{\\text{raw}}\\,\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\frac{\\|u_0\\|}{\\|\\hat u_{\\text{raw}}\\|+\\epsilon}\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/2e\/aa\/62\/2eaa624889bc085e72c35f72468e97e2.svg\" width=\"500\" height=\"47\" data-width=\"59.369\" data-height=\"5.611\" data-vertical-align=\"-2.308\" style=\"width: 59.369ex; height: 5.611ex; vertical-align: -2.308ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/2e\/aa\/62\/2eaa624889bc085e72c35f72468e97e2.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/2e\/aa\/62\/2eaa624889bc085e72c35f72468e97e2.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/p>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0435 \u0440\u0430\u0432\u0435\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u0433\u0430\u0440\u0430\u043d\u0442\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\hat{u}(0)=u_0\" alt=\"\\hat{u}(0)=u_0\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/1f\/a4\/1b\/1fa41b9171f3093da615d0ebd9db32de.svg\" width=\"80\" height=\"20\" data-width=\"9.484\" data-height=\"2.398\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 9.484ex; height: 2.398ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/1f\/a4\/1b\/1fa41b9171f3093da615d0ebd9db32de.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/1f\/a4\/1b\/1fa41b9171f3093da615d0ebd9db32de.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u043f\u043e \u043f\u043e\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0438\u044e (<a href=\"https:\/\/arxiv.org\/abs\/2102.04626\">hard constraint<\/a>), \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0441\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u043e\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\mathcal{L}_{IC}\" alt=\"\\mathcal{L}_{IC}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/d2\/9e\/7c\/d29e7c6a5dc5fdfb326a74e5d23a101c.svg\" width=\"32\" height=\"17\" data-width=\"3.771\" data-height=\"1.97\" data-vertical-align=\"-0.375\" style=\"width: 3.771ex; height: 1.97ex; vertical-align: -0.375ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/d2\/9e\/7c\/d29e7c6a5dc5fdfb326a74e5d23a101c.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/d2\/9e\/7c\/d29e7c6a5dc5fdfb326a74e5d23a101c.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0432 \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043f\u043e\u0442\u0435\u0440\u044c \u043d\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e. \u041d\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u043a\u0430 \u044f\u0432\u043d\u043e \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u044f\u0435\u0442 \u043d\u043e\u0440\u043c\u0443 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043a\u0430\u043a \u0438 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u043e \u0434\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438\u043a\u0435 \u0441 \u043a\u043e\u0441\u043e\u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0435\u0439 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"A\" alt=\"A\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f9\/2a\/85\/f92a859ad6a9b2d2c69a691a3bc7365e.svg\" width=\"14\" height=\"14\" data-width=\"1.697\" data-height=\"1.62\" style=\"width: 1.697ex; height: 1.62ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f9\/2a\/85\/f92a859ad6a9b2d2c69a691a3bc7365e.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f9\/2a\/85\/f92a859ad6a9b2d2c69a691a3bc7365e.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/p>\n<h4>\u041e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435<\/h4>\n<p>\u0421\u0445\u0435\u043c\u0430 \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u0430 \u0432 \u043d\u0438\u0436\u043d\u0435\u0439 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u0440\u0438\u0441.\u00a05.<\/p>\n<p><strong>\u0414\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435.<\/strong> \u042d\u0442\u0430\u043b\u043e\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u043b\u044f \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0435 \u043d\u0443\u0436\u043d\u044b. \u042d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u0434\u0438\u0430\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u0435\u0439 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"A\" alt=\"A\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/ca\/4a\/86\/ca4a8612225131036ed848764bdb44ab.svg\" width=\"14\" height=\"14\" data-width=\"1.697\" data-height=\"1.62\" style=\"width: 1.697ex; height: 1.62ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/ca\/4a\/86\/ca4a8612225131036ed848764bdb44ab.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/ca\/4a\/86\/ca4a8612225131036ed848764bdb44ab.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0438 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u044f <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"u_0\" alt=\"u_0\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/41\/00\/d4\/4100d4ff1f742eb86dd8c5af67c0ab54.svg\" width=\"19\" height=\"12\" data-width=\"2.282\" data-height=\"1.375\" data-vertical-align=\"-0.375\" style=\"width: 2.282ex; height: 1.375ex; vertical-align: -0.375ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/41\/00\/d4\/4100d4ff1f742eb86dd8c5af67c0ab54.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/41\/00\/d4\/4100d4ff1f742eb86dd8c5af67c0ab54.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0441\u0435\u043c\u043f\u043b\u0438\u0440\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u0438\u0437 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\mathcal{N}(0,1)\" alt=\"\\mathcal{N}(0,1)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/da\/2b\/79\/da2b79b7ca0702e8f64d837af153be72.svg\" width=\"61\" height=\"20\" data-width=\"7.244\" data-height=\"2.351\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 7.244ex; height: 2.351ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/da\/2b\/79\/da2b79b7ca0702e8f64d837af153be72.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/da\/2b\/79\/da2b79b7ca0702e8f64d837af153be72.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \u2014 \u0438\u0437 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\mathcal{U}(0,T)\" alt=\"\\mathcal{U}(0,T)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/5f\/ec\/85\/5fec85f62120ac68082a81e1f2eb1e7f.svg\" width=\"59\" height=\"19\" data-width=\"7.044\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 7.044ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/5f\/ec\/85\/5fec85f62120ac68082a81e1f2eb1e7f.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/5f\/ec\/85\/5fec85f62120ac68082a81e1f2eb1e7f.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>. \u0422\u043e\u0447\u043d\u044b\u0435 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"e^{-tA}u_0\" alt=\"e^{-tA}u_0\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/89\/8e\/1c\/898e1c39776aebf2c118b31fc9d57c25.svg\" width=\"55\" height=\"21\" data-width=\"6.546\" data-height=\"2.454\" data-vertical-align=\"-0.375\" style=\"width: 6.546ex; height: 2.454ex; vertical-align: -0.375ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/89\/8e\/1c\/898e1c39776aebf2c118b31fc9d57c25.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/89\/8e\/1c\/898e1c39776aebf2c118b31fc9d57c25.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043d\u0430 \u0432\u0430\u043b\u0438\u0434\u0430\u0446\u0438\u0438.<\/p>\n<p><strong>\u041d\u0435\u0432\u044f\u0437\u043a\u0430.<\/strong> \u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435 \u0430\u0432\u0442\u043e\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u043c \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c, \u0430 \u0446\u0435\u043d\u0442\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c\u044e \u0441 \u0448\u0430\u0433\u043e\u043c <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\varepsilon=10^{-3}\" alt=\"\\varepsilon=10^{-3}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/54\/23\/af\/5423af15b888bebbf9c07c6a636dd2dd.svg\" width=\"72\" height=\"18\" data-width=\"8.566\" data-height=\"2.184\" data-vertical-align=\"-0.186\" style=\"width: 8.566ex; height: 2.184ex; vertical-align: -0.186ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/54\/23\/af\/5423af15b888bebbf9c07c6a636dd2dd.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/54\/23\/af\/5423af15b888bebbf9c07c6a636dd2dd.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0R_\\theta(t) =\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\frac{\\hat u_\\theta(t+\\varepsilon)-\\hat u_\\theta(t-\\varepsilon)}{2\\varepsilon}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0+ A\\,\\hat u_\\theta(t)\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0R_\\theta(t) =\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\frac{\\hat u_\\theta(t+\\varepsilon)-\\hat u_\\theta(t-\\varepsilon)}{2\\varepsilon}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0+ A\\,\\hat u_\\theta(t)\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/03\/1a\/fb\/031afb74e598b503bb167cff99d53b00.svg\" width=\"328\" height=\"42\" data-width=\"38.918\" data-height=\"5.041\" data-vertical-align=\"-1.602\" style=\"width: 38.918ex; height: 5.041ex; vertical-align: -1.602ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/03\/1a\/fb\/031afb74e598b503bb167cff99d53b00.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/03\/1a\/fb\/031afb74e598b503bb167cff99d53b00.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/p>\n<p>\u042d\u0442\u043e \u0441\u0442\u043e\u0438\u0442 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u044f\u043c\u044b\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u043e\u0432, \u043d\u043e \u0434\u0435\u0448\u0435\u0432\u043b\u0435 \u0438 \u0441\u0442\u0430\u0431\u0438\u043b\u044c\u043d\u0435\u0435, \u0447\u0435\u043c \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e \u0432\u0445\u043e\u0434\u0443 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043c\u043e\u0434\u0443\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0441\u043b\u043e\u0438. \u0410\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0433\u0438\u0431\u0440\u0438\u0434\u043d\u044b\u0439 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432 <a href=\"https:\/\/doi.org\/10.1016\/j.cma.2022.114909\">Chiu et al. 2022<\/a>.<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u0438\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"A\\hat u_\\theta\" alt=\"A\\hat u_\\theta\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/fa\/5d\/fe\/fa5dfe5b0ac4b81f9dd0b5bdf62d0827.svg\" width=\"33\" height=\"18\" data-width=\"3.929\" data-height=\"2.188\" data-vertical-align=\"-0.355\" style=\"width: 3.929ex; height: 2.188ex; vertical-align: -0.355ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/fa\/5d\/fe\/fa5dfe5b0ac4b81f9dd0b5bdf62d0827.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/fa\/5d\/fe\/fa5dfe5b0ac4b81f9dd0b5bdf62d0827.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u0434\u0432\u0438\u0433\u0430\u043c\u0438 \u043f\u043e \u0434\u0438\u0430\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044f\u043c \u0431\u0435\u0437 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u043b\u043e\u0442\u043d\u043e\u0439 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b: <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(A u)_i = \\sum_{j=1}^{k}\\Bigl(a^{(j)}_i\\,u_{i+j} - a^{(j)}_{i-j}\\,u_{i-j}\\Bigr)\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0(A u)_i = \\sum_{j=1}^{k}\\Bigl(a^{(j)}_i\\,u_{i+j} - a^{(j)}_{i-j}\\,u_{i-j}\\Bigr)\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2\/21\/216\/21665fa2271edb275229a04feb4d7160.svg\" width=\"264\" height=\"56\" data-width=\"33.001\" data-height=\"6.952\" data-vertical-align=\"-2.911\" style=\"width: 33.001ex; height: 6.952ex; vertical-align: -2.911ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2\/21\/216\/21665fa2271edb275229a04feb4d7160.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2\/21\/216\/21665fa2271edb275229a04feb4d7160.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u0433\u0434\u0435 \u0432\u044b\u0445\u043e\u0434\u044f\u0449\u0438\u0435 \u0437\u0430 \u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0446\u044b \u0438\u043d\u0434\u0435\u043a\u0441\u044b \u0441\u0447\u0438\u0442\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u043d\u0443\u043b\u0435\u0432\u044b\u043c\u0438.<\/p>\n<p><strong>\u041f\u0440\u0438\u0447\u0438\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0432\u0437\u0432\u0435\u0448\u0438\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435. <\/strong>\u0412 \u044d\u0432\u043e\u043b\u044e\u0446\u0438\u043e\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f\u0445 PINN \u0441\u043a\u043b\u043e\u043d\u043d\u0430 \u043f\u043e\u0434\u0433\u043e\u043d\u044f\u0442\u044c \u043d\u0435\u0432\u044f\u0437\u043a\u0443 \u043d\u0430 \u043f\u043e\u0437\u0434\u043d\u0438\u0445 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0430\u0445 \u0440\u0430\u043d\u044c\u0448\u0435, \u0447\u0435\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u044b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043e \u043d\u0430 \u0440\u0430\u043d\u043d\u0438\u0445. \u0418\u0437-\u0437\u0430 \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043e\u043d\u0430 \u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u043d\u0435\u0432\u0435\u0440\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044e. \u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0438\u0437\u0431\u0435\u0436\u0430\u0442\u044c, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c <a href=\"https:\/\/arxiv.org\/abs\/2203.07404\">causal weighting<\/a>: \u0431\u0430\u0442\u0447 \u0441\u043e\u0440\u0442\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"t\" alt=\"t\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/cc\/a0\/0f\/cca00fa2c233418b4a270aa990c52826.svg\" width=\"7\" height=\"12\" data-width=\"0.817\" data-height=\"1.441\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 0.817ex; height: 1.441ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/cc\/a0\/0f\/cca00fa2c233418b4a270aa990c52826.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/cc\/a0\/0f\/cca00fa2c233418b4a270aa990c52826.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0438 \u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"C\" alt=\"C\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f4\/a0\/64\/f4a0641d71fcb346e9ba4231ed667aee.svg\" width=\"14\" height=\"14\" data-width=\"1.719\" data-height=\"1.645\" data-vertical-align=\"-0.05\" style=\"width: 1.719ex; height: 1.645ex; vertical-align: -0.05ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f4\/a0\/64\/f4a0641d71fcb346e9ba4231ed667aee.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f4\/a0\/64\/f4a0641d71fcb346e9ba4231ed667aee.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0431\u043b\u043e\u043a\u043e\u0432 \u0441 \u043d\u0435\u0432\u044f\u0437\u043a\u0430\u043c\u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"Lc\" alt=\"Lc\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/29\/cc\/67\/29cc6714472329c3a997d842598d71ea.svg\" width=\"21\" height=\"13\" data-width=\"2.52\" data-height=\"1.57\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 2.52ex; height: 1.57ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/29\/cc\/67\/29cc6714472329c3a997d842598d71ea.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/29\/cc\/67\/29cc6714472329c3a997d842598d71ea.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u0430 \u0438\u0442\u043e\u0433\u043e\u0432\u0430\u044f \u043f\u043e\u0442\u0435\u0440\u044f \u0440\u0430\u0432\u043d\u0430<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\mathcal{L}_{\\text{PDE}} = \\frac{1}{C}\\sum_{c=1}^{C} w_c\\,\\mathcal{L}_c,\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\qquad\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0w_c = \\exp\\Bigl(-\\varepsilon_{\\text{causal}}\\sum_{j&lt;c}\\mathcal{L}_j\\Bigr)\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\mathcal{L}_{\\text{PDE}} = \\frac{1}{C}\\sum_{c=1}^{C} w_c\\,\\mathcal{L}_c,\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0\\qquad\u00a0\u00a0\u00a0\u00a0w_c = \\exp\\Bigl(-\\varepsilon_{\\text{causal}}\\sum_{j&lt;c}\\mathcal{L}_j\\Bigr)\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/62\/05\/c7\/6205c7070dbd5973bf6992ec80d42ce7.svg\" width=\"431\" height=\"59\" data-width=\"51.136\" data-height=\"6.962\" data-vertical-align=\"-3.006\" style=\"width: 51.136ex; height: 6.962ex; vertical-align: -3.006ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/62\/05\/c7\/6205c7070dbd5973bf6992ec80d42ce7.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/62\/05\/c7\/6205c7070dbd5973bf6992ec80d42ce7.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u043a\u0430 \u043d\u0435\u0432\u044f\u0437\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u0440\u0430\u043d\u043d\u0438\u0445 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0430\u0445 \u0432\u0435\u043b\u0438\u043a\u0430, \u043f\u043e\u0437\u0434\u043d\u0438\u0435 \u0431\u043b\u043e\u043a\u0438 \u043f\u043e\u0447\u0442\u0438 \u043d\u0435 \u0432\u043b\u0438\u044f\u044e\u0442 \u043d\u0430 \u043f\u043e\u0442\u0435\u0440\u044e, \u0438 \u0441\u0435\u0442\u044c \u0443\u0447\u0438\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0443 \u2014 \u043e\u0442 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"t=0\" alt=\"t=0\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/10\/c2\/77\/10c27750a9f49ab3daba09ab672b4558.svg\" width=\"42\" height=\"14\" data-width=\"4.965\" data-height=\"1.692\" data-vertical-align=\"-0.186\" style=\"width: 4.965ex; height: 1.692ex; vertical-align: -0.186ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/10\/c2\/77\/10c27750a9f49ab3daba09ab672b4558.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/10\/c2\/77\/10c27750a9f49ab3daba09ab672b4558.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0432\u043f\u0435\u0440\u0451\u0434, \u043a\u0430\u043a \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440.<\/p>\n<p><strong>\u041e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f.<\/strong> \u0418\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f Adam \u0441 \u043a\u043e\u0441\u0438\u043d\u0443\u0441\u043d\u044b\u043c \u0440\u0430\u0441\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c \u0441\u043a\u043e\u0440\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f (<img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"2,5\\cdot10^{6}\" alt=\"2,5\\cdot10^{6}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/11\/b2\/da\/11b2da0deb1c9c39cb0f5505ecf70aa2.svg\" width=\"69\" height=\"21\" data-width=\"8.153\" data-height=\"2.439\" data-vertical-align=\"-0.439\" style=\"width: 8.153ex; height: 2.439ex; vertical-align: -0.439ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/11\/b2\/da\/11b2da0deb1c9c39cb0f5505ecf70aa2.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/11\/b2\/da\/11b2da0deb1c9c39cb0f5505ecf70aa2.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0438\u0442\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439) \u0438 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u0437\u044f\u0449\u0438\u043c \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0438\u043c \u0432\u0435\u0441\u043e\u0432 (EMA, \u043a\u043e\u044d\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043d\u0442 0,999), \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u0435 \u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 \u0438\u043d\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0441\u0435. \u0420\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0441\u043a\u0440\u044b\u0442\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"d_h=32\" alt=\"d_h=32\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/3a\/4d\/e6\/3a4de6dd366c14446d26e8583dfce626.svg\" width=\"64\" height=\"16\" data-width=\"7.565\" data-height=\"1.927\" data-vertical-align=\"-0.357\" style=\"width: 7.565ex; height: 1.927ex; vertical-align: -0.357ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/3a\/4d\/e6\/3a4de6dd366c14446d26e8583dfce626.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/3a\/4d\/e6\/3a4de6dd366c14446d26e8583dfce626.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/p>\n<h4>\u0422\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0438 \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435<\/h4>\n<p>\u0412 \u0442\u0430\u0431\u043b.\u00a0<a href=\"https:\/\/docs.google.com\/document\/d\/1h4yaUn5KXzS3rB7dOk_137bGtFsGbgMu\/edit#bookmark=id.y28zdw8yyw5n\">1<\/a> \u0435\u0441\u0442\u044c \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 FiLM \u0441 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u044b\u043c\u0438 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u0430\u043c\u0438 \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0442\u043e\u043a\u043e\u0432 \u043f\u0440\u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"n=128\" alt=\"n=128\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/fa\/5b\/f9\/fa5bf91391e13c4f497aafbdd8028a30.svg\" width=\"65\" height=\"14\" data-width=\"7.768\" data-height=\"1.692\" data-vertical-align=\"-0.186\" style=\"width: 7.768ex; height: 1.692ex; vertical-align: -0.186ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/fa\/5b\/f9\/fa5bf91391e13c4f497aafbdd8028a30.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/fa\/5b\/f9\/fa5bf91391e13c4f497aafbdd8028a30.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"t\\in[0,1]\" alt=\"t\\in[0,1]\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/02\/63\/c3\/0263c3a24ee1356e9e2d7cc51219b7aa.svg\" width=\"68\" height=\"19\" data-width=\"8.109\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 8.109ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/02\/63\/c3\/0263c3a24ee1356e9e2d7cc51219b7aa.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/02\/63\/c3\/0263c3a24ee1356e9e2d7cc51219b7aa.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>: \u043a\u043e\u043d\u043a\u0430\u0442\u0435\u043d\u0430\u0446\u0438\u0435\u0439 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 (Baseline) \u0438 \u0430\u0434\u0434\u0438\u0442\u0438\u0432\u043d\u044b\u043c \u0434\u043e\u0431\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u044d\u043c\u0431\u0435\u0434\u0434\u0438\u043d\u0433\u0430 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 \u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u0445 \u0431\u043b\u043e\u043a\u043e\u0432 (ResNet).<\/p>\n<p><em>\u0422\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 1. \u041e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0430 <\/em><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"L_2\" alt=\"L_2\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/cc\/4c\/ed\/cc4ced16c21789a5fdc85f003689a1fd.svg\" width=\"21\" height=\"16\" data-width=\"2.528\" data-height=\"1.885\" data-vertical-align=\"-0.339\" style=\"width: 2.528ex; height: 1.885ex; vertical-align: -0.339ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/cc\/4c\/ed\/cc4ced16c21789a5fdc85f003689a1fd.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/cc\/4c\/ed\/cc4ced16c21789a5fdc85f003689a1fd.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><em> \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 <\/em><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"e^{-tA}u_0\" alt=\"e^{-tA}u_0\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/1b\/a3\/46\/1ba346ca40de4ba3e858dab0b5eb55e6.svg\" width=\"55\" height=\"21\" data-width=\"6.546\" data-height=\"2.454\" data-vertical-align=\"-0.375\" style=\"width: 6.546ex; height: 2.454ex; vertical-align: -0.375ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/1b\/a3\/46\/1ba346ca40de4ba3e858dab0b5eb55e6.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/1b\/a3\/46\/1ba346ca40de4ba3e858dab0b5eb55e6.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><em> \u043d\u0430 <\/em><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"t\\in[0,1]\" alt=\"t\\in[0,1]\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/b6\/7c\/15\/b67c15cb8ccf236117db398f2dd68adc.svg\" width=\"68\" height=\"19\" data-width=\"8.109\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 8.109ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/b6\/7c\/15\/b67c15cb8ccf236117db398f2dd68adc.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/b6\/7c\/15\/b67c15cb8ccf236117db398f2dd68adc.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><em>, <\/em><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"n=128\" alt=\"n=128\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/b2\/c4\/e3\/b2c4e32694ebccb4170f1362113b770c.svg\" width=\"65\" height=\"14\" data-width=\"7.768\" data-height=\"1.692\" data-vertical-align=\"-0.186\" style=\"width: 7.768ex; height: 1.692ex; vertical-align: -0.186ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/b2\/c4\/e3\/b2c4e32694ebccb4170f1362113b770c.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/b2\/c4\/e3\/b2c4e32694ebccb4170f1362113b770c.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><em>, \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u0435 \u043f\u043e \u043f\u044f\u0442\u0438 \u0437\u0430\u043f\u0443\u0441\u043a\u0430\u043c.<\/em><\/p>\n<div>\n<div class=\"table\">\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th data-colwidth=\"154\" width=\"154\">\n<p>\u041c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c<\/p>\n<\/th>\n<th data-colwidth=\"155\" width=\"155\">\n<p>\u041f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u044b<\/p>\n<\/th>\n<th data-colwidth=\"154\" width=\"154\">\n<p>Rel.\u00a0L_2, k=1<\/p>\n<\/th>\n<th data-colwidth=\"155\" width=\"155\">\n<p>Rel.L_2, k=2<\/p>\n<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td data-colwidth=\"154\" width=\"154\">\n<p align=\"left\">Baseline (\u043a\u043e\u043d\u043a\u0430\u0442\u0435\u043d\u0430\u0446\u0438\u044f)<\/p>\n<\/td>\n<td data-colwidth=\"155\" width=\"155\">\n<p align=\"left\">13,76 \u0442\u044b\u0441.<\/p>\n<\/td>\n<td data-colwidth=\"154\" width=\"154\">\n<p align=\"left\"><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"1,7\\cdot10^{-3}\" alt=\"1,7\\cdot10^{-3}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/26\/29\/d2\/2629d2cdbfbb7bd633d6d8f617b6d2b2.svg\" width=\"79\" height=\"21\" data-width=\"9.398\" data-height=\"2.437\" data-vertical-align=\"-0.439\" style=\"width: 9.398ex; height: 2.437ex; vertical-align: -0.439ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/26\/29\/d2\/2629d2cdbfbb7bd633d6d8f617b6d2b2.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/26\/29\/d2\/2629d2cdbfbb7bd633d6d8f617b6d2b2.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<\/td>\n<td data-colwidth=\"155\" width=\"155\">\n<p align=\"left\"><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"8,3\\cdot10^{-2}\" alt=\"8,3\\cdot10^{-2}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1\/1c\/1c0\/1c0a931c90cb83147fa898eaf3bbae9d.svg\" width=\"75\" height=\"21\" data-width=\"9.398\" data-height=\"2.565\" data-vertical-align=\"-0.717\" style=\"width: 9.398ex; height: 2.565ex; vertical-align: -0.717ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1\/1c\/1c0\/1c0a931c90cb83147fa898eaf3bbae9d.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1\/1c\/1c0\/1c0a931c90cb83147fa898eaf3bbae9d.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td data-colwidth=\"154\" width=\"154\">\n<p align=\"left\">ResNet (\u0441\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435)<\/p>\n<\/td>\n<td data-colwidth=\"155\" width=\"155\">\n<p align=\"left\">29,25 \u0442\u044b\u0441.<\/p>\n<\/td>\n<td data-colwidth=\"154\" width=\"154\">\n<p align=\"left\"><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"1,6\\cdot10^{-4}\" alt=\"1,6\\cdot10^{-4}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/ec\/8d\/59\/ec8d59315feffbc99f7c37a05c712e80.svg\" width=\"79\" height=\"21\" data-width=\"9.398\" data-height=\"2.456\" data-vertical-align=\"-0.439\" style=\"width: 9.398ex; height: 2.456ex; vertical-align: -0.439ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/ec\/8d\/59\/ec8d59315feffbc99f7c37a05c712e80.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/ec\/8d\/59\/ec8d59315feffbc99f7c37a05c712e80.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<\/td>\n<td data-colwidth=\"155\" width=\"155\">\n<p align=\"left\"><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"5,0\\cdot10^{-3}\" alt=\"5,0\\cdot10^{-3}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/42\/95\/07\/429507154389737ae20e9ad379d7edb6.svg\" width=\"79\" height=\"21\" data-width=\"9.398\" data-height=\"2.437\" data-vertical-align=\"-0.439\" style=\"width: 9.398ex; height: 2.437ex; vertical-align: -0.439ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/42\/95\/07\/429507154389737ae20e9ad379d7edb6.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/42\/95\/07\/429507154389737ae20e9ad379d7edb6.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td data-colwidth=\"154\" width=\"154\">\n<p align=\"left\">FiLM Small<\/p>\n<\/td>\n<td data-colwidth=\"155\" width=\"155\">\n<p align=\"left\">8,54 \u0442\u044b\u0441.<\/p>\n<\/td>\n<td data-colwidth=\"154\" width=\"154\">\n<p align=\"left\"><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"8,3\\cdot10^{-2}\" alt=\"8,3\\cdot10^{-2}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/11\/3d\/0f\/113d0fe627cfc0288ecbc0e97de35aa5.svg\" width=\"79\" height=\"21\" data-width=\"9.398\" data-height=\"2.456\" data-vertical-align=\"-0.439\" style=\"width: 9.398ex; height: 2.456ex; vertical-align: -0.439ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/11\/3d\/0f\/113d0fe627cfc0288ecbc0e97de35aa5.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/11\/3d\/0f\/113d0fe627cfc0288ecbc0e97de35aa5.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<\/td>\n<td data-colwidth=\"155\" width=\"155\">\n<p align=\"left\">\u2014<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td data-colwidth=\"154\" width=\"154\">\n<p align=\"left\">FiLM<\/p>\n<\/td>\n<td data-colwidth=\"155\" width=\"155\">\n<p align=\"left\">32,42 \u0442\u044b\u0441.<\/p>\n<\/td>\n<td data-colwidth=\"154\" width=\"154\">\n<p align=\"left\"><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"1,2\\cdot10^{-4}\" alt=\"1,2\\cdot10^{-4}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a0\/00\/a4\/a000a493c2bd0feb62b87470c631819e.svg\" width=\"79\" height=\"21\" data-width=\"9.398\" data-height=\"2.456\" data-vertical-align=\"-0.439\" style=\"width: 9.398ex; height: 2.456ex; vertical-align: -0.439ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a0\/00\/a4\/a000a493c2bd0feb62b87470c631819e.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a0\/00\/a4\/a000a493c2bd0feb62b87470c631819e.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<\/td>\n<td data-colwidth=\"155\" width=\"155\">\n<p align=\"left\"><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"4,6\\cdot10^{-3}\" alt=\"4,6\\cdot10^{-3}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/64\/98\/f4\/6498f42de1542bcdbb39d6b92ad6543c.svg\" width=\"79\" height=\"21\" data-width=\"9.398\" data-height=\"2.437\" data-vertical-align=\"-0.439\" style=\"width: 9.398ex; height: 2.437ex; vertical-align: -0.439ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/64\/98\/f4\/6498f42de1542bcdbb39d6b92ad6543c.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/64\/98\/f4\/6498f42de1542bcdbb39d6b92ad6543c.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>\u0414\u0430\u0436\u0435 \u0443 FiLM Small, \u0433\u0434\u0435 \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u043e\u0432 \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435, \u0447\u0435\u043c \u0443 Baseline, \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0430 \u043f\u043e\u0447\u0442\u0438 \u043d\u0430 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043e\u043a \u043d\u0438\u0436\u0435. \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, \u0432\u044b\u0438\u0433\u0440\u044b\u0448 \u0434\u0430\u0451\u0442 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431 \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f, \u0430 \u043d\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438. \u041d\u0430 \u043a\u043e\u0440\u043e\u0442\u043a\u043e\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0432\u0430\u043b\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u0438\u0435 FiLM-PINN \u0432\u0438\u0437\u0443\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u0435\u0442 \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c (\u0440\u0438\u0441.\u00a07).<\/p>\n<figure class=\"full-width \"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/extt\/9c\/79\/8b\/9c798b5528aad26d06763be8931d9740.png\" alt=\"\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 7. \u0422\u043e\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435  (\u0441\u043f\u043b\u043e\u0448\u043d\u0430\u044f \u043b\u0438\u043d\u0438\u044f) \u0438 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u0438\u0435 FiLM-PINN (\u043f\u0443\u043d\u043a\u0442\u0438\u0440) \u043d\u0430 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0432\u0430\u043b\u0435  \u0434\u043b\u044f \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0451\u0445 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0430\u0440 , , . \u041f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u044b \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0435 \u0438 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0440\u0438 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 .\" title=\"\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 7. \u0422\u043e\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435  (\u0441\u043f\u043b\u043e\u0448\u043d\u0430\u044f \u043b\u0438\u043d\u0438\u044f) \u0438 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u0438\u0435 FiLM-PINN (\u043f\u0443\u043d\u043a\u0442\u0438\u0440) \u043d\u0430 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0432\u0430\u043b\u0435  \u0434\u043b\u044f \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0451\u0445 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0430\u0440 , , . \u041f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u044b \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0435 \u0438 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0440\u0438 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 .\" width=\"1389\" height=\"719\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w780\/extt\/9c\/79\/8b\/9c798b5528aad26d06763be8931d9740.png 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/extt\/9c\/79\/8b\/9c798b5528aad26d06763be8931d9740.png 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<div><figcaption>\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 7. \u0422\u043e\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"e^{-tA}u_0\" alt=\"e^{-tA}u_0\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/23\/6c\/39\/236c39ab064017c2ab8a1a68d15f08d0.svg\" width=\"55\" height=\"21\" data-width=\"6.546\" data-height=\"2.454\" data-vertical-align=\"-0.375\" style=\"width: 6.546ex; height: 2.454ex; vertical-align: -0.375ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/23\/6c\/39\/236c39ab064017c2ab8a1a68d15f08d0.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/23\/6c\/39\/236c39ab064017c2ab8a1a68d15f08d0.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> (\u0441\u043f\u043b\u043e\u0448\u043d\u0430\u044f \u043b\u0438\u043d\u0438\u044f) \u0438 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u0438\u0435 FiLM-PINN (\u043f\u0443\u043d\u043a\u0442\u0438\u0440) \u043d\u0430 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0432\u0430\u043b\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"t\\in[0,1]\" alt=\"t\\in[0,1]\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/43\/c0\/9a\/43c09ae2545ef8f436fef6a0d18da570.svg\" width=\"68\" height=\"19\" data-width=\"8.109\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 8.109ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/43\/c0\/9a\/43c09ae2545ef8f436fef6a0d18da570.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/43\/c0\/9a\/43c09ae2545ef8f436fef6a0d18da570.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0434\u043b\u044f \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u0451\u0445 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0430\u0440 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"(A,u_0)\" alt=\"(A,u_0)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/17\/ff\/d5\/17ffd562453bbe97bef21562128de64b.svg\" width=\"57\" height=\"19\" data-width=\"6.745\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 6.745ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/17\/ff\/d5\/17ffd562453bbe97bef21562128de64b.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/17\/ff\/d5\/17ffd562453bbe97bef21562128de64b.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"n=128\" alt=\"n=128\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/fd\/be\/6f\/fdbe6fb3cc01819f217db32405208d03.svg\" width=\"65\" height=\"14\" data-width=\"7.768\" data-height=\"1.692\" data-vertical-align=\"-0.186\" style=\"width: 7.768ex; height: 1.692ex; vertical-align: -0.186ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/fd\/be\/6f\/fdbe6fb3cc01819f217db32405208d03.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/fd\/be\/6f\/fdbe6fb3cc01819f217db32405208d03.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"k=1\" alt=\"k=1\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c\/ce\/cee\/ceef78b61bf01306cc7e80344c92c19d.svg\" width=\"43\" height=\"14\" data-width=\"5.327\" data-height=\"1.756\" data-vertical-align=\"-0.186\" style=\"width: 5.327ex; height: 1.756ex; vertical-align: -0.186ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c\/ce\/cee\/ceef78b61bf01306cc7e80344c92c19d.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c\/ce\/cee\/ceef78b61bf01306cc7e80344c92c19d.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>. \u041f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u044b \u043f\u0435\u0440\u0432\u044b\u0435 \u0438 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043d\u0438\u0435 \u0442\u0440\u0438 \u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"u(t)\" alt=\"u(t)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/e8\/a6\/d6\/e8a6d6b37c89533fb08f8bcc0d586224.svg\" width=\"33\" height=\"19\" data-width=\"3.871\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 3.871ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/e8\/a6\/d6\/e8a6d6b37c89533fb08f8bcc0d586224.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/e8\/a6\/d6\/e8a6d6b37c89533fb08f8bcc0d586224.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<p><strong>\u0414\u043b\u0438\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0432\u0430\u043b\u044b.<\/strong> \u041f\u0440\u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"T=10\" alt=\"T=10\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c\/c6\/c6e\/c6e4eab0c0d4890fb18d9f2a76d1438b.svg\" width=\"55\" height=\"14\" data-width=\"6.872\" data-height=\"1.717\" data-vertical-align=\"-0.186\" style=\"width: 6.872ex; height: 1.717ex; vertical-align: -0.186ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c\/c6\/c6e\/c6e4eab0c0d4890fb18d9f2a76d1438b.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c\/c6\/c6e\/c6e4eab0c0d4890fb18d9f2a76d1438b.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u0441\u0446\u0438\u043b\u043b\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442, \u0438 \u043e\u0431\u0443\u0447\u0430\u0442\u044c \u0441\u0435\u0442\u044c \u043d\u0430 \u043d\u0435\u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u044b\u0445 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439\u043d\u044b\u0445 \u0442\u043e\u0447\u043a\u0430\u0445 \u043c\u0430\u043b\u043e: \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"t&gt;2\" alt=\"t&gt;2\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f\/f3\/f3e\/f3ef1b86828f2972f82e8e0582213f27.svg\" width=\"40\" height=\"13\" data-width=\"4.965\" data-height=\"1.597\" data-vertical-align=\"-0.09\" style=\"width: 4.965ex; height: 1.597ex; vertical-align: -0.09ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f\/f3\/f3e\/f3ef1b86828f2972f82e8e0582213f27.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f\/f3\/f3e\/f3ef1b86828f2972f82e8e0582213f27.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>. \u041b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u0441\u0435\u043c\u043f\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0431\u0430\u0442\u0447 \u043f\u043e\u043b\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0442\u0440\u0430\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0438\u044f\u043c\u0438 (\u043c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043c\u043e\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"t\" alt=\"t\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/e3\/e35\/e358efa489f58062f10dd7316b65649e.svg\" width=\"12\" height=\"12\" data-width=\"0.817\" data-height=\"1.441\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 0.817ex; height: 1.441ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/e3\/e35\/e358efa489f58062f10dd7316b65649e.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/e3\/e35\/e358efa489f58062f10dd7316b65649e.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0434\u043b\u044f \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u043f\u0430\u0440\u044b <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"(A,u_0)\" alt=\"(A,u_0)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2\/21\/21f\/21f569320f40d349789b5fe078a8f859.svg\" width=\"54\" height=\"18\" data-width=\"6.745\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 6.745ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2\/21\/21f\/21f569320f40d349789b5fe078a8f859.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2\/21\/21f\/21f569320f40d349789b5fe078a8f859.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>). \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0441\u0435\u0442\u044c \u0432 \u0446\u0435\u043b\u043e\u043c \u0432\u043e\u0441\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0443 \u0438 \u0444\u0430\u0437\u0443 \u043a\u043e\u043b\u0435\u0431\u0430\u043d\u0438\u0439. \u041d\u043e \u043a \u043a\u043e\u043d\u0446\u0443 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0432\u0430\u043b\u0430 \u043d\u0430\u043a\u0430\u043f\u043b\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f \u0437\u0430\u043c\u0435\u0442\u043d\u044b\u0435 \u043e\u0442\u043a\u043b\u043e\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u043e \u0430\u043c\u043f\u043b\u0438\u0442\u0443\u0434\u0435 \u0438 \u0444\u0430\u0437\u0435 (\u0440\u0438\u0441.\u00a08).<\/p>\n<figure class=\"full-width \"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/extt\/77\/aa\/64\/77aa64343d0fa4f10f5329a494248e3b.png\" alt=\"\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 8. \u041f\u0440\u044f\u043c\u0430\u044f \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u044f \u043d\u0430 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0432\u0430\u043b\u0435 : FiLM-PINN, \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043d\u0430 \u043f\u043e\u043b\u043d\u044b\u0445 \u0442\u0440\u0430\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0438\u044f\u0445 \u043f\u0440\u0438  (, ).\" title=\"\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 8. \u041f\u0440\u044f\u043c\u0430\u044f \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u044f \u043d\u0430 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0432\u0430\u043b\u0435 : FiLM-PINN, \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043d\u0430 \u043f\u043e\u043b\u043d\u044b\u0445 \u0442\u0440\u0430\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0438\u044f\u0445 \u043f\u0440\u0438  (, ).\" width=\"1389\" height=\"719\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w780\/extt\/77\/aa\/64\/77aa64343d0fa4f10f5329a494248e3b.png 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/extt\/77\/aa\/64\/77aa64343d0fa4f10f5329a494248e3b.png 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<div><figcaption>\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 8. \u041f\u0440\u044f\u043c\u0430\u044f \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u044f \u043d\u0430 \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0432\u0430\u043b\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"t\\in[0,10]\" alt=\"t\\in[0,10]\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/d3\/fa\/f2\/d3faf25372050f161cf8e4324fff93b8.svg\" width=\"78\" height=\"19\" data-width=\"9.24\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 9.24ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/d3\/fa\/f2\/d3faf25372050f161cf8e4324fff93b8.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/d3\/fa\/f2\/d3faf25372050f161cf8e4324fff93b8.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>: FiLM-PINN, \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043d\u0430 \u043f\u043e\u043b\u043d\u044b\u0445 \u0442\u0440\u0430\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0438\u044f\u0445 \u043f\u0440\u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"T=10\" alt=\"T=10\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/bc\/e9\/6d\/bce96d9618d55a66ca7a4709d8c97f73.svg\" width=\"58\" height=\"14\" data-width=\"6.872\" data-height=\"1.717\" data-vertical-align=\"-0.186\" style=\"width: 6.872ex; height: 1.717ex; vertical-align: -0.186ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/bc\/e9\/6d\/bce96d9618d55a66ca7a4709d8c97f73.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/bc\/e9\/6d\/bce96d9618d55a66ca7a4709d8c97f73.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> (<img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"n=128\" alt=\"n=128\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/67\/678\/67867156a2c0bd96ffa18c82a212324e.svg\" width=\"62\" height=\"14\" data-width=\"7.768\" data-height=\"1.692\" data-vertical-align=\"-0.186\" style=\"width: 7.768ex; height: 1.692ex; vertical-align: -0.186ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/67\/678\/67867156a2c0bd96ffa18c82a212324e.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/6\/67\/678\/67867156a2c0bd96ffa18c82a212324e.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"k=1\" alt=\"k=1\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/e8\/bd\/b3\/e8bdb35148971d577a074cd02a76ecac.svg\" width=\"45\" height=\"15\" data-width=\"5.327\" data-height=\"1.756\" data-vertical-align=\"-0.186\" style=\"width: 5.327ex; height: 1.756ex; vertical-align: -0.186ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/e8\/bd\/b3\/e8bdb35148971d577a074cd02a76ecac.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/e8\/bd\/b3\/e8bdb35148971d577a074cd02a76ecac.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>).<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<p>\u0413\u043e\u0440\u0430\u0437\u0434\u043e \u043b\u0443\u0447\u0448\u0435 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u043f\u0440\u0438\u0451\u043c: \u043e\u0431\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u0441\u0435\u0442\u044c \u043d\u0430 \u043a\u043e\u0440\u043e\u0442\u043a\u043e\u043c \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u0432\u0430\u043b\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"[0,1]\" alt=\"[0,1]\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/2e\/d3\/e0\/2ed3e0369edcd725566776ad911ad333.svg\" width=\"38\" height=\"19\" data-width=\"4.526\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 4.526ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/2e\/d3\/e0\/2ed3e0369edcd725566776ad911ad333.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/2e\/d3\/e0\/2ed3e0369edcd725566776ad911ad333.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u0435\u0451 \u0430\u0432\u0442\u043e\u0440\u0435\u0433\u0440\u0435\u0441\u0441\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e. \u041f\u0440\u0435\u0434\u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u0438\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\hat u(1)\" alt=\"\\hat u(1)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/58\/62\/e2\/5862e297bbab1e07800aeffede2e23cd.svg\" width=\"35\" height=\"20\" data-width=\"4.186\" data-height=\"2.398\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 4.186ex; height: 2.398ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/58\/62\/e2\/5862e297bbab1e07800aeffede2e23cd.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/58\/62\/e2\/5862e297bbab1e07800aeffede2e23cd.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u043d\u043e\u0432\u044b\u043c \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0435\u043c \u0434\u043b\u044f \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u044e\u0449\u0435\u0433\u043e \u043e\u0442\u0440\u0435\u0437\u043a\u0430. \u042d\u0442\u043e \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u043e \u0431\u043b\u0430\u0433\u043e\u0434\u0430\u0440\u044f \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432\u0443 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"e^{-(t+s)A}=e^{-sA}e^{-tA}\" alt=\"e^{-(t+s)A}=e^{-sA}e^{-tA}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a0\/92\/8a\/a0928a4764dc866351df84c3d7e2a360.svg\" width=\"162\" height=\"20\" data-width=\"19.222\" data-height=\"2.32\" data-vertical-align=\"-0.186\" style=\"width: 19.222ex; height: 2.32ex; vertical-align: -0.186ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a0\/92\/8a\/a0928a4764dc866351df84c3d7e2a360.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a0\/92\/8a\/a0928a4764dc866351df84c3d7e2a360.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>. \u041e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"L_2\" alt=\"L_2\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/8b\/49\/45\/8b4945d5346f120837ae4443e03f7ec2.svg\" width=\"21\" height=\"16\" data-width=\"2.528\" data-height=\"1.885\" data-vertical-align=\"-0.339\" style=\"width: 2.528ex; height: 1.885ex; vertical-align: -0.339ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/8b\/49\/45\/8b4945d5346f120837ae4443e03f7ec2.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/8b\/49\/45\/8b4945d5346f120837ae4443e03f7ec2.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u043d\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"[0,10]\" alt=\"[0,10]\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/58\/28\/60\/58286032d8bb2558ac600826039acde5.svg\" width=\"48\" height=\"19\" data-width=\"5.658\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 5.658ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/58\/28\/60\/58286032d8bb2558ac600826039acde5.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/58\/28\/60\/58286032d8bb2558ac600826039acde5.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u043f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442 0,0009 \u043f\u0440\u043e\u0442\u0438\u0432 0,37 \u043f\u0440\u0438 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439 \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438. \u0410\u0432\u0442\u043e\u0440\u0435\u0433\u0440\u0435\u0441\u0441\u0438\u043e\u043d\u043d\u0430\u044f \u0442\u0440\u0430\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u0438\u044f \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0441\u043e\u0432\u043f\u0430\u0434\u0430\u0435\u0442 \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c (\u0440\u0438\u0441.\u00a09).<\/p>\n<figure class=\"full-width \"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/extt\/c6\/ff\/fb\/c6fffbac91a4bd81d44726c80aa76c6f.png\" alt=\"\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 9. \u0421\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439 \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0430  (\u0437\u0435\u043b\u0451\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0443\u043d\u043a\u0442\u0438\u0440) \u0438 \u0430\u0432\u0442\u043e\u0440\u0435\u0433\u0440\u0435\u0441\u0441\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438, \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0430  (\u043a\u0440\u0430\u0441\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0443\u043d\u043a\u0442\u0438\u0440), \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c (\u0441\u0438\u043d\u044f\u044f \u043b\u0438\u043d\u0438\u044f).\" title=\"\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 9. \u0421\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439 \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0430  (\u0437\u0435\u043b\u0451\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0443\u043d\u043a\u0442\u0438\u0440) \u0438 \u0430\u0432\u0442\u043e\u0440\u0435\u0433\u0440\u0435\u0441\u0441\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438, \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0430  (\u043a\u0440\u0430\u0441\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0443\u043d\u043a\u0442\u0438\u0440), \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c (\u0441\u0438\u043d\u044f\u044f \u043b\u0438\u043d\u0438\u044f).\" width=\"1469\" height=\"680\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w780\/extt\/c6\/ff\/fb\/c6fffbac91a4bd81d44726c80aa76c6f.png 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/extt\/c6\/ff\/fb\/c6fffbac91a4bd81d44726c80aa76c6f.png 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<div><figcaption>\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 9. \u0421\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439 \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"[0,10]\" alt=\"[0,10]\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/8a\/5b\/3a\/8a5b3ad6e97ac297448df6735fdaa794.svg\" width=\"48\" height=\"19\" data-width=\"5.658\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 5.658ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/8a\/5b\/3a\/8a5b3ad6e97ac297448df6735fdaa794.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/8a\/5b\/3a\/8a5b3ad6e97ac297448df6735fdaa794.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> (\u0437\u0435\u043b\u0451\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0443\u043d\u043a\u0442\u0438\u0440) \u0438 \u0430\u0432\u0442\u043e\u0440\u0435\u0433\u0440\u0435\u0441\u0441\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438, \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"[0,1]\" alt=\"[0,1]\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/7a\/ad\/d0\/7aadd0441016ad3362c3e1401921847f.svg\" width=\"38\" height=\"19\" data-width=\"4.526\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 4.526ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/7a\/ad\/d0\/7aadd0441016ad3362c3e1401921847f.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/7a\/ad\/d0\/7aadd0441016ad3362c3e1401921847f.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> (\u043a\u0440\u0430\u0441\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0443\u043d\u043a\u0442\u0438\u0440), \u0441 \u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u043c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c (\u0441\u0438\u043d\u044f\u044f \u043b\u0438\u043d\u0438\u044f).<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<p>\u0411\u043b\u0430\u0433\u043e\u0434\u0430\u0440\u044f \u0441\u0432\u0451\u0440\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0430\u0440\u0445\u0438\u0442\u0435\u043a\u0442\u0443\u0440\u0435 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c \u043f\u0435\u0440\u0435\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 \u0431\u0435\u0437 \u0434\u043e\u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0421\u0435\u0442\u044c, \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u043f\u0440\u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"n=128\" alt=\"n=128\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/b4\/6a\/b0\/b46ab0534434dc1d696e337d7487ad0a.svg\" width=\"65\" height=\"14\" data-width=\"7.768\" data-height=\"1.692\" data-vertical-align=\"-0.186\" style=\"width: 7.768ex; height: 1.692ex; vertical-align: -0.186ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/b4\/6a\/b0\/b46ab0534434dc1d696e337d7487ad0a.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/b4\/6a\/b0\/b46ab0534434dc1d696e337d7487ad0a.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u043d\u0430 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430\u0445 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u0430 \u043e\u0442 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"n=32\" alt=\"n=32\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/94\/0c\/f2\/940cf298fb6c0021fece00202c373aa5.svg\" width=\"56\" height=\"14\" data-width=\"6.637\" data-height=\"1.692\" data-vertical-align=\"-0.186\" style=\"width: 6.637ex; height: 1.692ex; vertical-align: -0.186ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/94\/0c\/f2\/940cf298fb6c0021fece00202c373aa5.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/94\/0c\/f2\/940cf298fb6c0021fece00202c373aa5.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0434\u043e <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"n=1024\" alt=\"n=1024\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/c3\/2e\/0d\/c32e0d045d2958abc39ddb6fc5652c42.svg\" width=\"75\" height=\"14\" data-width=\"8.899\" data-height=\"1.717\" data-vertical-align=\"-0.186\" style=\"width: 8.899ex; height: 1.717ex; vertical-align: -0.186ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/c3\/2e\/0d\/c32e0d045d2958abc39ddb6fc5652c42.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/c3\/2e\/0d\/c32e0d045d2958abc39ddb6fc5652c42.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u044f\u0435\u0442 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0443 \u043d\u0430 \u0443\u0440\u043e\u0432\u043d\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"1,2\\text{--}1,25\\cdot10^{-4}\" alt=\"1,2\\text{--}1,25\\cdot10^{-4}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/15\/ed\/1c\/15ed1c0af58c07ef3ff96338ee1e72ee.svg\" width=\"129\" height=\"21\" data-width=\"15.304\" data-height=\"2.456\" data-vertical-align=\"-0.439\" style=\"width: 15.304ex; height: 2.456ex; vertical-align: -0.439ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/15\/ed\/1c\/15ed1c0af58c07ef3ff96338ee1e72ee.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/15\/ed\/1c\/15ed1c0af58c07ef3ff96338ee1e72ee.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>. \u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u044d\u0442\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c \u0441 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"k=1\" alt=\"k=1\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a9\/0d\/7d\/a90d7d51f4549d878f420ab5688f3140.svg\" width=\"45\" height=\"15\" data-width=\"5.327\" data-height=\"1.756\" data-vertical-align=\"-0.186\" style=\"width: 5.327ex; height: 1.756ex; vertical-align: -0.186ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a9\/0d\/7d\/a90d7d51f4549d878f420ab5688f3140.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a9\/0d\/7d\/a90d7d51f4549d878f420ab5688f3140.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> (\u0442\u0440\u0451\u0445\u0434\u0438\u0430\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043a\u043e\u0441\u043e\u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430) \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u0430\u043b\u044c\u0448\u0435 \u0432 \u044d\u043a\u0441\u043f\u0435\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0442\u0435 \u0441 BuNN. \u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0435\u0451 \u0432\u0435\u0441\u0430 \u0437\u0430\u043c\u043e\u0440\u0430\u0436\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f. PINN \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u043b\u044f \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"e^{-tX}\" alt=\"e^{-tX}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/02\/8e\/ce\/028ece05e019c08add6c58477c991c67.svg\" width=\"37\" height=\"17\" data-width=\"4.427\" data-height=\"2.052\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 4.427ex; height: 2.052ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/02\/8e\/ce\/028ece05e019c08add6c58477c991c67.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/02\/8e\/ce\/028ece05e019c08add6c58477c991c67.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u043d\u0430 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"u_0\" alt=\"u_0\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/e1\/cd\/1a\/e1cd1ab78e8844817bba655e1ad97a91.svg\" width=\"19\" height=\"12\" data-width=\"2.282\" data-height=\"1.375\" data-vertical-align=\"-0.375\" style=\"width: 2.282ex; height: 1.375ex; vertical-align: -0.375ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/e1\/cd\/1a\/e1cd1ab78e8844817bba655e1ad97a91.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/e1\/cd\/1a\/e1cd1ab78e8844817bba655e1ad97a91.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u2014 \u0432 \u0431\u0430\u0437\u043e\u0432\u043e\u043c \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442\u0435 \u0435\u0433\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u044e\u0442 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u0443\u0441\u0435\u0447\u0451\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u044f\u0434\u0430 \u0422\u0435\u0439\u043b\u043e\u0440\u0430.<\/p>\n<h2>\u041e\u0431\u0437\u043e\u0440 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u043e\u0432<\/h2>\n<h3>\u041c\u043e\u0442\u0438\u0432\u0430\u0446\u0438\u044f \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u0441 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u041a\u0440\u044b\u043b\u043e\u0432\u0430<\/h3>\n<p>\u0414\u043b\u044f \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0433\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f<img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\\frac{\\partial u(t)}{\\partial t}=-Lu(t),\\qquadu(0)=u_0\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\\frac{\\partial u(t)}{\\partial t}=-Lu(t),\\qquadu(0)=u_0\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5\/54\/542\/5422cb50a04af8cae3f1b7013c5b6fc9.svg\" width=\"272\" height=\"39\" data-width=\"33.958\" data-height=\"4.905\" data-vertical-align=\"-1.887\" style=\"width: 33.958ex; height: 4.905ex; vertical-align: -1.887ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5\/54\/542\/5422cb50a04af8cae3f1b7013c5b6fc9.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/5\/54\/542\/5422cb50a04af8cae3f1b7013c5b6fc9.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}u(t)=e^{-tL}u_0\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}u(t)=e^{-tL}u_0\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/5e\/d4\/fd\/5ed4fd6b5e4f9e673445f75ca1b4c863.svg\" width=\"112\" height=\"22\" data-width=\"13.324\" data-height=\"2.593\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 13.324ex; height: 2.593ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/5e\/d4\/fd\/5ed4fd6b5e4f9e673445f75ca1b4c863.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/5e\/d4\/fd\/5ed4fd6b5e4f9e673445f75ca1b4c863.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>. \u041e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u0430\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0430 \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d\u0430 \u0441 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435\u043c \u0444\u0443\u043d\u043a\u0446\u0438\u0438 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"e^{-tL}\" alt=\"e^{-tL}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/89\/48\/58\/894858df1c36ab0a2f9768eb97d92ee9.svg\" width=\"35\" height=\"17\" data-width=\"4.154\" data-height=\"2.052\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 4.154ex; height: 2.052ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/89\/48\/58\/894858df1c36ab0a2f9768eb97d92ee9.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/89\/48\/58\/894858df1c36ab0a2f9768eb97d92ee9.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u043d\u0430 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435. \u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u044d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a\u043e\u0435 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435, \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 \u041a\u0440\u044b\u043b\u043e\u0432\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\\mathcal{K}_K(L,u_0)=\\operatorname{span}\\left\\{u_0,Lu_0,\\ldots,L^{K-1}u_0\\right\\}\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\\mathcal{K}_K(L,u_0)=\\operatorname{span}\\left\\{u_0,Lu_0,\\ldots,L^{K-1}u_0\\right\\}\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c\/cd\/cd9\/cd99c1d45635ec5095cad4d34eda19c9.svg\" width=\"321\" height=\"23\" data-width=\"40.121\" data-height=\"2.818\" data-vertical-align=\"-0.843\" style=\"width: 40.121ex; height: 2.818ex; vertical-align: -0.843ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c\/cd\/cd9\/cd99c1d45635ec5095cad4d34eda19c9.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c\/cd\/cd9\/cd99c1d45635ec5095cad4d34eda19c9.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>. Krylov-\u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u044b \u0448\u0438\u0440\u043e\u043a\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u044e\u0442, \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0430\u0442\u044c \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b \u0438 \u0440\u0435\u0448\u0430\u0442\u044c \u044d\u0432\u043e\u043b\u044e\u0446\u0438\u043e\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438. \u041e\u043d\u0438 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u044e\u0442 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u0438\u0442\u044c \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0443 \u0441 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u043c \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u043d\u0430 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0432 \u043f\u043e\u0434\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0435, \u043f\u043e\u0440\u043e\u0436\u0434\u0451\u043d\u043d\u043e\u043c \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043a \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u044e (<a href=\"https:\/\/doi.org\/10.1137\/0729014\">Saad 1992<\/a>).<\/p>\n<p>\u0412 \u043d\u0430\u0448\u0435\u0439 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u044d\u0442\u0430 \u0438\u0434\u0435\u044f \u2014 \u043d\u0435 \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u0440\u0435\u0448\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c, \u0430 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u044f L \u0434\u043b\u044f \u043d\u0435\u0439\u0440\u043e\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0435\u0442\u0438. \u0412 PINN \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}u_0,\\ L_{\\mathrm{sheaf}}u_0,\\ L_{\\mathrm{sheaf}}^2u_0,\\ldots,\\ L_{\\mathrm{sheaf}}^K u_0\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}u_0,\\ L_{\\mathrm{sheaf}}u_0,\\ L_{\\mathrm{sheaf}}^2u_0,\\ldots,\\ L_{\\mathrm{sheaf}}^K u_0\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/d3\/d1\/1c\/d3d11c627ea555b63cfa31f1d6047711.svg\" width=\"286\" height=\"22\" data-width=\"33.938\" data-height=\"2.645\" data-vertical-align=\"-0.618\" style=\"width: 33.938ex; height: 2.645ex; vertical-align: -0.618ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/d3\/d1\/1c\/d3d11c627ea555b63cfa31f1d6047711.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/d3\/d1\/1c\/d3d11c627ea555b63cfa31f1d6047711.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>. \u042d\u0442\u043e \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u044f\u0442\u044c \u0440\u0430\u0437\u0440\u0435\u0436\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0438 \u043d\u0435 \u043f\u043e\u0434\u0430\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432 \u0441\u0435\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u043f\u043b\u043e\u0442\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435.<\/p>\n<p>\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"u_n(t)\" alt=\"u_n(t)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2\/28\/283\/283d6b69b1f6db1849ac80fd05dc0650.svg\" width=\"40\" height=\"18\" data-width=\"5.019\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 5.019ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2\/28\/283\/283d6b69b1f6db1849ac80fd05dc0650.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/2\/28\/283\/283d6b69b1f6db1849ac80fd05dc0650.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u2014 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f <\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\\frac{\\partial u_n(t)}{\\partial t}+L_nu_n(t)=0,\\qquad u_n(0)=u_0\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\\frac{\\partial u_n(t)}{\\partial t}+L_nu_n(t)=0,\\qquad u_n(0)=u_0\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/15\/34\/61\/15346173454ead92f452f454abf8bf9d.svg\" width=\"321\" height=\"41\" data-width=\"38.079\" data-height=\"4.905\" data-vertical-align=\"-1.602\" style=\"width: 38.079ex; height: 4.905ex; vertical-align: -1.602ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/15\/34\/61\/15346173454ead92f452f454abf8bf9d.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/15\/34\/61\/15346173454ead92f452f454abf8bf9d.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"u_\\theta(t)\" alt=\"u_\\theta(t)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0\/04\/04b\/04b794e6e8ff07f77a489dcf67020cfe.svg\" width=\"38\" height=\"18\" data-width=\"4.809\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 4.809ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0\/04\/04b\/04b794e6e8ff07f77a489dcf67020cfe.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/0\/04\/04b\/04b794e6e8ff07f77a489dcf67020cfe.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u2014 \u0435\u0433\u043e \u043d\u0435\u0439\u0440\u043e\u0441\u0435\u0442\u0435\u0432\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435. \u041e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u043d\u0435\u0432\u044f\u0437\u043a\u0443 PINN:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}r_\\theta(t)=\\frac{\\partial u_\\theta(t)}{\\partial t}+L_nu_\\theta(t)\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}r_\\theta(t)=\\frac{\\partial u_\\theta(t)}{\\partial t}+L_nu_\\theta(t)\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/72\/72a\/72aea246e9f8af1108236d5c8ba9203b.svg\" width=\"199\" height=\"39\" data-width=\"24.901\" data-height=\"4.905\" data-vertical-align=\"-1.887\" style=\"width: 24.901ex; height: 4.905ex; vertical-align: -1.887ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/72\/72a\/72aea246e9f8af1108236d5c8ba9203b.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/7\/72\/72a\/72aea246e9f8af1108236d5c8ba9203b.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/p>\n<p>\u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0443 \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}e_\\theta(t)=u_\\theta(t)-u_n(t)\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}e_\\theta(t)=u_\\theta(t)-u_n(t)\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/82\/82a\/82af488af340a28995112d0492928da9.svg\" width=\"161\" height=\"18\" data-width=\"20.18\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 20.18ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/82\/82a\/82af488af340a28995112d0492928da9.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/82\/82a\/82af488af340a28995112d0492928da9.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>. \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0438\u0437 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 \u0434\u043b\u044f <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"u_\\theta\" alt=\"u_\\theta\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/92\/928\/9289b5573e49074225f6cddaf92ced0f.svg\" width=\"18\" height=\"18\" data-width=\"2.232\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 2.232ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/92\/928\/9289b5573e49074225f6cddaf92ced0f.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/92\/928\/9289b5573e49074225f6cddaf92ced0f.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"u_n\" alt=\"u_n\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/e3\/e30\/e301b858ad29df0b2122b1109658cbfe.svg\" width=\"20\" height=\"12\" data-width=\"2.442\" data-height=\"1.357\" data-vertical-align=\"-0.357\" style=\"width: 2.442ex; height: 1.357ex; vertical-align: -0.357ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/e3\/e30\/e301b858ad29df0b2122b1109658cbfe.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/e3\/e30\/e301b858ad29df0b2122b1109658cbfe.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0441\u043b\u0435\u0434\u0443\u0435\u0442<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\\frac{\\partial e_\\theta(t)}{\\partial t}+L_ne_\\theta(t)=r_\\theta(t).\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\\frac{\\partial e_\\theta(t)}{\\partial t}+L_ne_\\theta(t)=r_\\theta(t).\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a\/ac\/acf\/acf75c8c775075df235e3b5321abe917.svg\" width=\"200\" height=\"39\" data-width=\"25.05\" data-height=\"4.905\" data-vertical-align=\"-1.887\" style=\"width: 25.05ex; height: 4.905ex; vertical-align: -1.887ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a\/ac\/acf\/acf75c8c775075df235e3b5321abe917.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a\/ac\/acf\/acf75c8c775075df235e3b5321abe917.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<p>\u0415\u0441\u043b\u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"L_n\" alt=\"L_n\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/8d\/8d7\/8d751f9b8b67ade962e0501cc251255e.svg\" width=\"22\" height=\"15\" data-width=\"2.688\" data-height=\"1.902\" data-vertical-align=\"-0.357\" style=\"width: 2.688ex; height: 1.902ex; vertical-align: -0.357ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/8d\/8d7\/8d751f9b8b67ade962e0501cc251255e.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/8\/8d\/8d7\/8d751f9b8b67ade962e0501cc251255e.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u2014 \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0451\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440, \u0442\u043e, \u0443\u043c\u043d\u043e\u0436\u0430\u044f \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043d\u0435\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e \u043d\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"e_\\theta(t)\" alt=\"e_\\theta(t)\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/9e\/9e1\/9e1bd6ea11a6b0a7668ceb6fe677ad88.svg\" width=\"37\" height=\"18\" data-width=\"4.569\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 4.569ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/9e\/9e1\/9e1bd6ea11a6b0a7668ceb6fe677ad88.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/9e\/9e1\/9e1bd6ea11a6b0a7668ceb6fe677ad88.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c \u043e\u0446\u0435\u043d\u043a\u0443<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\\frac{1}{2}\\frac{d}{dt}|e_\\theta(t)|^2+\\langle e_\\theta(t),L_ne_\\theta(t)\\rangle=\\langle e_\\theta(t),r_\\theta(t)\\rangle.\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\\frac{1}{2}\\frac{d}{dt}|e_\\theta(t)|^2+\\langle e_\\theta(t),L_ne_\\theta(t)\\rangle=\\langle e_\\theta(t),r_\\theta(t)\\rangle.\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d2\/d22\/d2244bf70bfd958049a89a4dadb411e3.svg\" width=\"358\" height=\"37\" data-width=\"44.806\" data-height=\"4.676\" data-vertical-align=\"-1.773\" style=\"width: 44.806ex; height: 4.676ex; vertical-align: -1.773ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d2\/d22\/d2244bf70bfd958049a89a4dadb411e3.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d2\/d22\/d2244bf70bfd958049a89a4dadb411e3.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0443 \u0434\u043b\u044f \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0451\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u043f\u043e\u043b\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\\langle e_\\theta,L_ne_\\theta\\rangle\\geq0,\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\\langle e_\\theta,L_ne_\\theta\\rangle\\geq0,\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f\/fd\/fdd\/fdd8d09054cf2a6403539da92a682d7c.svg\" width=\"114\" height=\"18\" data-width=\"14.217\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 14.217ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f\/fd\/fdd\/fdd8d09054cf2a6403539da92a682d7c.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/f\/fd\/fdd\/fdd8d09054cf2a6403539da92a682d7c.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>\u0432\u0435\u0440\u043d\u0430 \u043e\u0446\u0435\u043d\u043a\u0430 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}|e_\\theta(t)|\\leq|e_\\theta(0)|+\\int_0^t|r_\\theta(s)|,ds.\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}|e_\\theta(t)|\\leq|e_\\theta(0)|+\\int_0^t|r_\\theta(s)|,ds.\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/50\/ba\/d9\/50bad98cb19228e4307b8b7898b59c91.svg\" width=\"262\" height=\"47\" data-width=\"31.097\" data-height=\"5.526\" data-vertical-align=\"-2.063\" style=\"width: 31.097ex; height: 5.526ex; vertical-align: -2.063ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/50\/ba\/d9\/50bad98cb19228e4307b8b7898b59c91.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/50\/ba\/d9\/50bad98cb19228e4307b8b7898b59c91.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<p>\u0422\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f PINN \u043a\u043e\u043d\u0442\u0440\u043e\u043b\u0438\u0440\u0443\u044e\u0442 \u0434\u0432\u0435 \u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043d\u044b: \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0430 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u044f \u0438 \u043d\u0435\u0432\u044f\u0437\u043a\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043c\u0438\u043d\u0438\u043c\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\\mathcal{L}_{\\mathrm{PDE}}=\\frac{1}{T}\\int_0^T|r_\\theta(t)|^2,dt\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\\mathcal{L}_{\\mathrm{PDE}}=\\frac{1}{T}\\int_0^T|r_\\theta(t)|^2,dt\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c\/cb\/cb6\/cb62061ff2b6663edad9ef495ca85029.svg\" width=\"199\" height=\"45\" data-width=\"24.897\" data-height=\"5.608\" data-vertical-align=\"-2.238\" style=\"width: 24.897ex; height: 5.608ex; vertical-align: -2.238ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c\/cb\/cb6\/cb62061ff2b6663edad9ef495ca85029.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/c\/cb\/cb6\/cb62061ff2b6663edad9ef495ca85029.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0441\u043e\u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e \u0441 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\\mathcal{L}_{\\mathrm{IC}}=|u_\\theta(0)-u_0|^2\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\\mathcal{L}_{\\mathrm{IC}}=|u_\\theta(0)-u_0|^2\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1\/1a\/1a3\/1a31f8c0cfd9b174d275815e9f521a75.svg\" width=\"151\" height=\"21\" data-width=\"18.915\" data-height=\"2.565\" data-vertical-align=\"-0.717\" style=\"width: 18.915ex; height: 2.565ex; vertical-align: -0.717ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1\/1a\/1a3\/1a31f8c0cfd9b174d275815e9f521a75.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1\/1a\/1a3\/1a31f8c0cfd9b174d275815e9f521a75.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u043d\u0430\u043f\u0440\u044f\u043c\u0443\u044e \u0443\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0430\u0435\u0442 \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0443 \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<figure class=\"full-width \"><img decoding=\"async\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/extt\/f5\/1e\/a6\/f51ea644c40242eba104e7f1ffa77c0c.png\" alt=\"\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 10. \u0410\u0440\u0445\u0438\u0442\u0435\u043a\u0442\u0443\u0440\u0430 Krylov-based \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438.\" title=\"\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 10. \u0410\u0440\u0445\u0438\u0442\u0435\u043a\u0442\u0443\u0440\u0430 Krylov-based \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438.\" width=\"1312\" height=\"785\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/r\/w780\/extt\/f5\/1e\/a6\/f51ea644c40242eba104e7f1ffa77c0c.png 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/r\/w1560\/extt\/f5\/1e\/a6\/f51ea644c40242eba104e7f1ffa77c0c.png 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<div><figcaption>\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 10. \u0410\u0440\u0445\u0438\u0442\u0435\u043a\u0442\u0443\u0440\u0430 Krylov-based \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438.<\/figcaption><\/div>\n<\/figure>\n<h3>PINN \u0434\u043b\u044f \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b \u0441 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u041a\u0440\u044b\u043b\u043e\u0432\u0430<\/h3>\n<p>\u041c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u044f\u0435\u0442 \u043e\u0431\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c\u043e\u0435 sheaf-\u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0430, \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0432 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0435 <a href=\"https:\/\/doi.org\/10.1609\/aaai.v40i25.39193\">Y. Choi, J. Choi, T. Ko, J. Kim \u0438 C.-K. Kim \u00abSheaf Graph Neural Networks via PAC-Bayes Spectral Optimization\u00bb,<\/a> \u0441 \u0444\u0438\u0437\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0438\u043d\u0444\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u043e\u0439 \u043d\u0435\u0439\u0440\u043e\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0435\u0442\u044c\u044e (PINN), \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0438\u0440\u0443\u044e\u0449\u0435\u0439 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u0438.\u00a0<\/p>\n<p>\u0412 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0435 <a href=\"https:\/\/doi.org\/10.1609\/aaai.v40i25.39193\">Choi et al. (2026<\/a>) \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u0430\u044f \u0432\u0435\u0442\u0432\u044c \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0430 \u043d\u0430 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0435 \u0441\u043b\u043e\u044f <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\textit{SVR+AFM}\" alt=\"\\textit{SVR+AFM}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/81\/e5\/37\/81e537a3b076a17b4c0245af7d1e707b.svg\" width=\"97\" height=\"15\" data-width=\"11.505\" data-height=\"1.749\" data-vertical-align=\"-0.129\" style=\"width: 11.505ex; height: 1.749ex; vertical-align: -0.129ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/81\/e5\/37\/81e537a3b076a17b4c0245af7d1e707b.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/81\/e5\/37\/81e537a3b076a17b4c0245af7d1e707b.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0439 \u0441\u043e\u0432\u043c\u0435\u0449\u0430\u0435\u0442 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u044e \u0441\u043e \u0441\u0442\u043e\u0445\u0430\u0441\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438\u043c \u0443\u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u0434\u0438\u0441\u043f\u0435\u0440\u0441\u0438\u0438 (Stochastic Variance Reduced, SVR) \u0438 \u0430\u0434\u0430\u043f\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0430\u0441\u0442\u043e\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0441\u043c\u0435\u0448\u0438\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 (Adaptive Frequency Mixing, AFM). \u0412 \u043d\u0430\u0448\u0435\u0439 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438 SVR-\u043a\u043e\u043c\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u0430 \u0443\u0441\u0442\u0443\u043f\u0430\u0435\u0442 \u043c\u0435\u0441\u0442\u043e PINN, \u0430 \u043a\u043e\u043d\u0444\u0438\u0433\u0443\u0440\u0430\u0446\u0438\u044f \u043e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0430 \u043a\u0430\u043a <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\textit{PINN+AFM}\" alt=\"\\textit{PINN+AFM}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/8a\/8b\/76\/8a8b76e59a4b03090bf61b8283a4047c.svg\" width=\"111\" height=\"15\" data-width=\"13.163\" data-height=\"1.749\" data-vertical-align=\"-0.129\" style=\"width: 13.163ex; height: 1.749ex; vertical-align: -0.129ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/8a\/8b\/76\/8a8b76e59a4b03090bf61b8283a4047c.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/8a\/8b\/76\/8a8b76e59a4b03090bf61b8283a4047c.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\\frac{\\partial u_\\theta(t)}{\\partial t}+L_{\\mathrm{sheaf}}u_\\theta(t)= 0.\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\\frac{\\partial u_\\theta(t)}{\\partial t}+L_{\\mathrm{sheaf}}u_\\theta(t)= 0.\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/c8\/3a\/95\/c83a951f1b66753eda64f6bbb3e849f2.svg\" width=\"209\" height=\"41\" data-width=\"24.791\" data-height=\"4.905\" data-vertical-align=\"-1.602\" style=\"width: 24.791ex; height: 4.905ex; vertical-align: -1.602ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/c8\/3a\/95\/c83a951f1b66753eda64f6bbb3e849f2.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/c8\/3a\/95\/c83a951f1b66753eda64f6bbb3e849f2.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<p>\u041e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"L_{\\mathrm{sheaf}}\" alt=\"L_{\\mathrm{sheaf}}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f2\/18\/3d\/f2183d4c789889cfe0859da584164485.svg\" width=\"45\" height=\"16\" data-width=\"5.354\" data-height=\"1.902\" data-vertical-align=\"-0.357\" style=\"width: 5.354ex; height: 1.902ex; vertical-align: -0.357ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f2\/18\/3d\/f2183d4c789889cfe0859da584164485.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f2\/18\/3d\/f2183d4c789889cfe0859da584164485.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u0441\u044f \u0438\u0437 \u043e\u0431\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c\u044b\u0445 sheaf-\u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0435\u0433\u043e \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u044b \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0438\u0437\u0438\u0440\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u0441\u043e\u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e \u0441 \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u0430\u043c\u0438 PINN. \u041d\u0430 \u0432\u0445\u043e\u0434 PINN \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"u_0\" alt=\"u_0\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d5\/d52\/d526fcdf9b10529b54820f729dbb25f4.svg\" width=\"18\" height=\"12\" data-width=\"2.282\" data-height=\"1.375\" data-vertical-align=\"-0.375\" style=\"width: 2.282ex; height: 1.375ex; vertical-align: -0.375ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d5\/d52\/d526fcdf9b10529b54820f729dbb25f4.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/d\/d5\/d52\/d526fcdf9b10529b54820f729dbb25f4.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"L_{\\mathrm{sheaf}}\" alt=\"L_{\\mathrm{sheaf}}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a\/ac\/ac2\/ac2b7c6093b5626bd80de15db4b02ab8.svg\" width=\"43\" height=\"18\" data-width=\"5.354\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 5.354ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a\/ac\/ac2\/ac2b7c6093b5626bd80de15db4b02ab8.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/a\/ac\/ac2\/ac2b7c6093b5626bd80de15db4b02ab8.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0438 \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"t\" alt=\"t\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/e3\/e35\/e358efa489f58062f10dd7316b65649e.svg\" width=\"12\" height=\"12\" data-width=\"0.817\" data-height=\"1.441\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 0.817ex; height: 1.441ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/e3\/e35\/e358efa489f58062f10dd7316b65649e.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/e\/e3\/e35\/e358efa489f58062f10dd7316b65649e.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>. \u0414\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 <a href=\"https:\/\/doi.org\/10.1137\/0729014\">Krylov-\u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435<\/a> <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}u_0, L_{\\mathrm{sheaf}}u_0,L_{\\mathrm{sheaf}}^2u_0,\\ldots,L_{\\mathrm{sheaf}}^K u_0\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}u_0, L_{\\mathrm{sheaf}}u_0,L_{\\mathrm{sheaf}}^2u_0,\\ldots,L_{\\mathrm{sheaf}}^K u_0\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/49\/78\/0d\/49780d506daad3c5d6a0363efbcdac2a.svg\" width=\"272\" height=\"22\" data-width=\"32.241\" data-height=\"2.645\" data-vertical-align=\"-0.618\" style=\"width: 32.241ex; height: 2.645ex; vertical-align: -0.618ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/49\/78\/0d\/49780d506daad3c5d6a0363efbcdac2a.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/49\/78\/0d\/49780d506daad3c5d6a0363efbcdac2a.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>. \u042d\u0442\u043e \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0442\u044c \u0441 \u0440\u0430\u0437\u0440\u0435\u0436\u0435\u043d\u043d\u044b\u043c \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u0431\u0435\u0437 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0435\u0433\u043e \u043f\u043b\u043e\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<p>\u0424\u0438\u0437\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043d\u0435\u0432\u044f\u0437\u043a\u0443 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}R_\\theta(t)=\\frac{\\partial u_\\theta(t)}{\\partial t}+L_{\\mathrm{sheaf}}u_\\theta(t),\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}R_\\theta(t)=\\frac{\\partial u_\\theta(t)}{\\partial t}+L_{\\mathrm{sheaf}}u_\\theta(t),\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/95\/959\/959934d246c5ba733a75c0d4a920b98f.svg\" width=\"231\" height=\"39\" data-width=\"28.892\" data-height=\"4.905\" data-vertical-align=\"-1.887\" style=\"width: 28.892ex; height: 4.905ex; vertical-align: -1.887ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/95\/959\/959934d246c5ba733a75c0d4a920b98f.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/9\/95\/959\/959934d246c5ba733a75c0d4a920b98f.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0430 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0435 \u043a\u043e\u043d\u0442\u0440\u043e\u043b\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e: <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\\mathcal{L}_{\\mathrm{IC}}=\\operatorname{MSE}(u_\\theta(0),u_0).\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\\mathcal{L}_{\\mathrm{IC}}=\\operatorname{MSE}(u_\\theta(0),u_0).\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/3b\/0e\/a0\/3b0ea0843f5f10e3b599b768def76768.svg\" width=\"187\" height=\"19\" data-width=\"22.172\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 22.172ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/3b\/0e\/a0\/3b0ea0843f5f10e3b599b768def76768.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/3b\/0e\/a0\/3b0ea0843f5f10e3b599b768def76768.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<p>\u041e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u043a\u043b\u044e\u0447\u0430\u0435\u0442 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0438 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0437\u0430\u0434\u0430\u0432\u0430\u0435\u043c\u044b\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u044b\u043c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c: <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\begin{equation}\\mathcal{L}=\\mathcal{L}_{\\mathrm{cls}}+\\lambda_{\\mathrm{PDE}}\\mathcal{L}_{\\mathrm{PDE}}+\\lambda_{\\mathrm{IC}}\\mathcal{L}_{\\mathrm{IC}}.\\end{equation}\" alt=\"\\begin{equation}\\mathcal{L}=\\mathcal{L}_{\\mathrm{cls}}+\\lambda_{\\mathrm{PDE}}\\mathcal{L}_{\\mathrm{PDE}}+\\lambda_{\\mathrm{IC}}\\mathcal{L}_{\\mathrm{IC}}.\\end{equation}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/3b\/95\/cf\/3b95cf8fdd7e2d9b6de6a4b994350eae.svg\" width=\"262\" height=\"17\" data-width=\"31.052\" data-height=\"1.968\" data-vertical-align=\"-0.373\" style=\"width: 31.052ex; height: 1.968ex; vertical-align: -0.373ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/3b\/95\/cf\/3b95cf8fdd7e2d9b6de6a4b994350eae.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/3b\/95\/cf\/3b95cf8fdd7e2d9b6de6a4b994350eae.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><\/p>\n<p><em>\u0420\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u044b \u043d\u0430 \u0442\u0435\u0441\u0442\u043e\u0432\u043e\u0439 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043a\u0435 \u0438 \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f \u0438\u043d\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0441\u0430. \u0417\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u044b \u043a\u0430\u043a \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u0435 \u00b1 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u0435 \u043e\u0442\u043a\u043b\u043e\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e \u043f\u044f\u0442\u0438 \u0437\u0430\u043f\u0443\u0441\u043a\u0430\u043c \u0441 \u0440\u0430\u0437\u043b\u0438\u0447\u043d\u044b\u043c\u0438 random seed. \u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 SVR+AFM \u043f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0434\u0451\u043d \u0438\u0437 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b <\/em><a href=\"https:\/\/doi.org\/10.1609\/aaai.v40i25.39193\"><em>Choi et al. 2026<\/em><\/a><em>. \u041c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438 \u043c\u044b \u043e\u0442\u0431\u0438\u0440\u0430\u043b\u0438 \u043f\u043e \u0432\u0430\u043b\u0438\u0434\u0430\u0446\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432\u044b\u0431\u043e\u0440\u043a\u0435.<\/em><\/p>\n<p><em>\u0422\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 2. \u0412\u0440\u0435\u043c\u044f \u0434\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u043c\u044b \u0437\u0430\u043c\u0435\u0440\u044f\u043b\u0438 \u043d\u0430 GPU NVIDIA GeForce RTX 4060, \u0430 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0437\u0430\u043f\u0443\u0441\u043a\u0430\u043b\u0438 \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 CUDA. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0445\u0430\u0440\u0430\u043a\u0442\u0435\u0440\u0438\u0441\u0442\u0438\u043a\u0438 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \u0432 \u0442\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430\u0445 2, 4 \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u044f\u0442\u0441\u044f \u0438\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u043a \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c \u043d\u0430 GPU, \u0430 \u043d\u0435 \u043a CPU.<\/em><\/p>\n<div>\n<div class=\"table\">\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>\n<p><strong>Dataset<\/strong><\/p>\n<\/th>\n<th>\n<p><strong>Method<\/strong><\/p>\n<\/th>\n<th>\n<p><strong>Test Accuracy (%)<\/strong><\/p>\n<\/th>\n<th>\n<p><strong>Inference Time (ms)<\/strong><\/p>\n<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">Cora<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">PINN+AFM<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">81,42 \u00b1 1,25<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">3,76 \u00b1 0,02<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">SVR+AFM<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">81,26 \u00b1 1,27<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">6,17 \u00b1 0,05<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">Citeseer<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">PINN+AFM<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">71,30 \u00b1 0,88<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">4,14 \u00b1 0,02<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">SVR+AFM<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">71,36 \u00b1 0,83<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">6,51 \u00b1 0,12<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">Pubmed<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">PINN+AFM<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">75,46 \u00b1 2,38<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">8,16 \u00b1 0,16<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">SVR+AFM<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">77,36 \u00b1 0,50<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">11,61 \u00b1 0,02<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">Chameleon<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">PINN+AFM<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">49,34 \u00b1 1,28<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">3,43 \u00b1 0,31<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">SVR+AFM<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">50,31 \u00b1 1,43<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">10,26 \u00b1 0,18<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">Squirrel<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">PINN+AFM<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">34,49 \u00b1 1,47<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">7,22 \u00b1 0,11<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">SVR+AFM<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">34,70 \u00b1 0,87<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">15,96 \u00b1 0,46<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">Actor<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">PINN+AFM<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">37,42 \u00b1 0,98<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">2,95 \u00b1 0,06<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">SVR+AFM<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">36,39 \u00b1 0,49<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">9,85 \u00b1 0,22<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">Cornell<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">PINN+AFM<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">76,76 \u00b1 2,42<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">2,64 \u00b1 0,40<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">SVR+AFM<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">78,38 \u00b1 1,91<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">4,30 \u00b1 0,64<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">Texas<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">PINN+AFM<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">79,46 \u00b1 1,48<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">2,65 \u00b1 0,14<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">SVR+AFM<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">82,16 \u00b1 4,10<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">3,11 \u00b1 0,14<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">Wisconsin<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">PINN+AFM<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">80,39 \u00b1 1,39<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">2,61 \u00b1 0,04<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">SVR+AFM<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">80,78 \u00b1 1,64<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">5,05 \u00b1 0,70<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<h3>PINN \u0434\u043b\u044f \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b \u0432 BuNN<\/h3>\n<p>\u041a\u0440\u043e\u043c\u0435 \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 sheaf diffusion \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 Krylov-\u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435, \u043c\u044b \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043b\u0438 \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f PINN \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 Bundle Neural Networks. \u0417\u0434\u0435\u0441\u044c \u043c\u044b \u0431\u0435\u0440\u0451\u043c \u0437\u0430\u0440\u0430\u043d\u0435\u0435 \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u0443\u044e PINN, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b: <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"f_{\\theta}(t,X,u_0)\\approx e^{-tX}u_0\" alt=\"f_{\\theta}(t,X,u_0)\\approx e^{-tX}u_0\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/59\/18\/54\/591854129ae000c23491b5284bdbdbee.svg\" width=\"173\" height=\"22\" data-width=\"20.571\" data-height=\"2.593\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 20.571ex; height: 2.593ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/59\/18\/54\/591854129ae000c23491b5284bdbdbee.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/59\/18\/54\/591854129ae000c23491b5284bdbdbee.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0432\u0430\u0440\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u044b PINN \u0437\u0430\u043c\u043e\u0440\u0430\u0436\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f. \u041f\u0440\u0438 \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438 PINN \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u043b\u044f \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b \u043d\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u043e\u0445\u043e\u0434\u0430 \u043d\u0435\u0439\u0440\u043e\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0435\u0442\u0438. \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u043e\u043d\u0430 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u044b\u0439 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u044f.<\/p>\n<p>\u0412 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435 baseline \u043c\u044b \u0432\u0437\u044f\u043b\u0438 \u043f\u0440\u0438\u0431\u043b\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b \u0443\u0441\u0435\u0447\u0451\u043d\u043d\u044b\u043c \u0440\u044f\u0434\u043e\u043c \u0422\u0435\u0439\u043b\u043e\u0440\u0430 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 16:<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"e^A\\approx I+A+\\frac{A^2}{2!}+\\ldots+\\frac{A^{16}}{16!}\" alt=\"e^A\\approx I+A+\\frac{A^2}{2!}+\\ldots+\\frac{A^{16}}{16!}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/ec\/ff\/41\/ecff41e891b47156ce9df2a9a236b33d.svg\" width=\"254\" height=\"42\" data-width=\"30.17\" data-height=\"5.018\" data-vertical-align=\"-1.602\" style=\"width: 30.17ex; height: 5.018ex; vertical-align: -1.602ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/ec\/ff\/41\/ecff41e891b47156ce9df2a9a236b33d.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/ec\/ff\/41\/ecff41e891b47156ce9df2a9a236b33d.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/p>\n<p>\u0412 \u044d\u043a\u0441\u043f\u0435\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0442\u0435 \u043c\u044b \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0432\u0430\u0435\u043c \u0434\u0432\u0430 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u0430 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u044f \u043e\u0434\u043d\u043e\u0439 \u0438 \u0442\u043e\u0439 \u0436\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b \u043d\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440:\u00a0<\/p>\n<ul>\n<li>\n<p>\u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u044f \u0443\u0441\u0435\u0447\u0451\u043d\u043d\u044b\u043c \u0440\u044f\u0434\u043e\u043c \u0422\u0435\u0439\u043b\u043e\u0440\u0430 \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0430 16;<\/p>\n<\/li>\n<li>\n<p>\u043f\u0440\u0435\u0434\u0432\u0430\u0440\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f PINN.<\/p>\n<\/li>\n<\/ul>\n<h4>\u041d\u0438\u0437\u043a\u043e\u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u0430\u044f \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044f<\/h4>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0451\u0442 \u043a\u043e\u0441\u043e\u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u0430\u044f \u0442\u0440\u0451\u0445\u0434\u0438\u0430\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"X =\\begin{pmatrix}0\u00a0 \u00a0 \u00a0 &amp; a_1\u00a0 \u00a0 &amp; 0\u00a0 \u00a0 \u00a0 &amp; \\cdots &amp; 0 \\\\-a_1 \u00a0 &amp; 0\u00a0 \u00a0 \u00a0 &amp; a_2\u00a0 \u00a0 &amp; \\ddots &amp; \\vdots \\\\0\u00a0 \u00a0 \u00a0 &amp; -a_2 \u00a0 &amp; 0\u00a0 \u00a0 \u00a0 &amp; \\ddots &amp; 0 \\\\\\vdots &amp; \\ddots &amp; \\ddots &amp; \\ddots &amp; a_{n-1} \\\\0\u00a0 \u00a0 \u00a0 &amp; \\cdots &amp; 0\u00a0 \u00a0 \u00a0 &amp; -a_{n-1} &amp; 0\\end{pmatrix}\" alt=\"X =\\begin{pmatrix}0\u00a0 \u00a0 \u00a0 &amp; a_1\u00a0 \u00a0 &amp; 0\u00a0 \u00a0 \u00a0 &amp; \\cdots &amp; 0 \\\\-a_1 \u00a0 &amp; 0\u00a0 \u00a0 \u00a0 &amp; a_2\u00a0 \u00a0 &amp; \\ddots &amp; \\vdots \\\\0\u00a0 \u00a0 \u00a0 &amp; -a_2 \u00a0 &amp; 0\u00a0 \u00a0 \u00a0 &amp; \\ddots &amp; 0 \\\\\\vdots &amp; \\ddots &amp; \\ddots &amp; \\ddots &amp; a_{n-1} \\\\0\u00a0 \u00a0 \u00a0 &amp; \\cdots &amp; 0\u00a0 \u00a0 \u00a0 &amp; -a_{n-1} &amp; 0\\end{pmatrix}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/d7\/85\/2a\/d7852a1382292ff5e7173c866c7206b1.svg\" width=\"331\" height=\"170\" data-width=\"39.282\" data-height=\"20.158\" data-vertical-align=\"-9.514\" style=\"width: 39.282ex; height: 20.158ex; vertical-align: -9.514ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/d7\/85\/2a\/d7852a1382292ff5e7173c866c7206b1.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/d7\/85\/2a\/d7852a1382292ff5e7173c866c7206b1.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/p>\n<p>\u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434\u0430\u0447\u0438 \u0432\u0441\u0435\u0445 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"n^2\" alt=\"n^2\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/d3\/0a\/25\/d30a257385d8cf004c3455b1ee264d91.svg\" width=\"20\" height=\"17\" data-width=\"2.345\" data-height=\"2.025\" data-vertical-align=\"-0.025\" style=\"width: 2.345ex; height: 2.025ex; vertical-align: -0.025ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/d3\/0a\/25\/d30a257385d8cf004c3455b1ee264d91.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/d3\/0a\/25\/d30a257385d8cf004c3455b1ee264d91.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0442\u044c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"a=(a_1,\\ldots,a_{n-1})\" alt=\"a=(a_1,\\ldots,a_{n-1})\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/34\/d2\/50\/34d2503a817a0f885a8da18840998986.svg\" width=\"148\" height=\"19\" data-width=\"17.588\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 17.588ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/34\/d2\/50\/34d2503a817a0f885a8da18840998986.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/34\/d2\/50\/34d2503a817a0f885a8da18840998986.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/p>\n<p>\u0412 \u043d\u0430\u0448\u0438\u0445 \u044d\u043a\u0441\u043f\u0435\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0445 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"n=64\" alt=\"n=64\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/03\/a3\/18\/03a318292d86ae73ff2dd8302e1f8c97.svg\" width=\"56\" height=\"14\" data-width=\"6.637\" data-height=\"1.717\" data-vertical-align=\"-0.186\" style=\"width: 6.637ex; height: 1.717ex; vertical-align: -0.186ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/03\/a3\/18\/03a318292d86ae73ff2dd8302e1f8c97.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/03\/a3\/18\/03a318292d86ae73ff2dd8302e1f8c97.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u044e\u0442 63 \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u0430.<\/p>\n<h3>\u042d\u043a\u0441\u043f\u0435\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0442 \u0441 BuNN<\/h3>\n<p>\u0412\u0441\u0435 \u044d\u043a\u0441\u043f\u0435\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0442\u044b \u043f\u0440\u043e\u0432\u043e\u0434\u0438\u043b\u0438\u0441\u044c \u043d\u0430 CPU MacBook Air \u0441 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441\u043e\u0440\u043e\u043c Apple M4 \u0431\u0435\u0437 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f GPU. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u043d\u0438\u0436\u0435 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f\u043c \u043d\u0430 CPU.<\/p>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0435\u0434 \u0437\u0430\u043f\u0443\u0441\u043a\u043e\u043c \u044d\u043a\u0441\u043f\u0435\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 \u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432\u044b\u0445 \u0434\u0430\u0442\u0430\u0441\u0435\u0442\u0430\u0445 \u043c\u044b \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0440\u0438\u043b\u0438, \u043d\u0430\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0445\u043e\u0440\u043e\u0448\u043e PINN \u0432\u043e\u0441\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b, \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e Taylor-16.<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u0435 \u0431\u0430\u0442\u0447\u0430 2708 \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e 263,19 \u043c\u0441 \u0434\u043b\u044f PINN \u0438 438,18 \u043c\u0441 \u0434\u043b\u044f Taylor-16, \u0447\u0442\u043e \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u0435\u0442 \u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u0438\u044e \u0432 1,66 \u0440\u0430\u0437\u0430.<\/p>\n<p>\u041f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0430 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 undefined<img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\mathrm{CosineSimilarity}=0,999999\" alt=\"\\mathrm{CosineSimilarity}=0,999999\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/9f\/4c\/e3\/9f4ce3238f1a334b8eedeaa8d057ea7e.svg\" width=\"195\" height=\"17\" data-width=\"23.191\" data-height=\"2.009\" data-vertical-align=\"-0.439\" style=\"width: 23.191ex; height: 2.009ex; vertical-align: -0.439ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/9f\/4c\/e3\/9f4ce3238f1a334b8eedeaa8d057ea7e.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/9f\/4c\/e3\/9f4ce3238f1a334b8eedeaa8d057ea7e.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u0430 cosine similarity \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0430\u043c\u0438 \u0434\u0432\u0443\u0445 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u043e\u0432: <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\mathrm{CosineSimilarity}=0,999999\" alt=\"\\mathrm{CosineSimilarity}=0,999999\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1\/15\/15e\/15e812b17d490b11a681acdd46160eef.svg\" width=\"226\" height=\"18\" data-width=\"28.24\" data-height=\"2.262\" data-vertical-align=\"-0.566\" style=\"width: 28.24ex; height: 2.262ex; vertical-align: -0.566ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1\/15\/15e\/15e812b17d490b11a681acdd46160eef.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/getpro\/habr\/formulas\/1\/15\/15e\/15e812b17d490b11a681acdd46160eef.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>.<\/p>\n<p>\u0412 \u044d\u0442\u043e\u043c \u0442\u0435\u0441\u0442\u0435 PINN \u043f\u0440\u0430\u043a\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0432\u043e\u0441\u043f\u0440\u043e\u0438\u0437\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442 Taylor-16, \u043d\u043e \u0442\u0440\u0435\u0431\u0443\u0435\u0442 \u043c\u0435\u043d\u044c\u0448\u0435 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \u043d\u0430 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435.<\/p>\n<p><em>\u0422\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 3. \u0421\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 PINN \u0438 Taylor-16 \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 BuNN.<\/em><\/p>\n<div>\n<div class=\"table\">\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>\n<p>Dataset<\/p>\n<\/th>\n<th>\n<p>PINN acc.<\/p>\n<\/th>\n<th>\n<p>Taylor acc.<\/p>\n<\/th>\n<th>\n<p>PINN, ms<\/p>\n<\/th>\n<th>\n<p>Taylor, ms<\/p>\n<\/th>\n<th>\n<p>Speedup<\/p>\n<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">Cora<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">0,455<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">0,312<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">360,5<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">484,5<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">1,34<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">CiteSeer<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">0,388<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">0,192<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">400,1<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">595,1<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">1,49<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">PubMed<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">0,627<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">0,632<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">3361,7<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">5357,8<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">1,59<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<h2>\u0420\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u044b \u0438 \u0432\u044b\u0432\u043e\u0434\u044b<\/h2>\n<p>\u041c\u044b \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434 \u043a \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044e sheaf diffusion \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e Physics-Informed Neural Network. \u0412 \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0438\u0435 \u043e\u0442 \u0434\u0438\u0441\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u0430, \u043d\u0430\u0448\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u044f\u0449\u0435\u0435 \u043e\u0442 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f. \u041a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043a\u043e\u043d\u0442\u0440\u043e\u043b\u0438\u0440\u0443\u044e\u0442 \u043d\u0435\u0432\u044f\u0437\u043a\u0430 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0438 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0435.<\/p>\n<p>\u0412\u0430\u0436\u043d\u0430\u044f \u0447\u0430\u0441\u0442\u044c \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u0430 \u2014 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 Krylov-\u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c PINN \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 sheaf Laplacian \u043a \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u044e. \u042d\u0442\u043e \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434\u0430\u0432\u0430\u0442\u044c \u0438\u043d\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0446\u0438\u044e \u043e \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0438 \u0440\u0430\u0437\u0440\u0435\u0436\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u0430 \u0431\u0435\u0437 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u0435\u0433\u043e \u043f\u043b\u043e\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f.<\/p>\n<p>PINN \u043d\u0435 \u0443\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u043d\u043e \u043d\u0430 \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0435\u043c\u044b\u0445 \u0434\u0430\u0442\u0430\u0441\u0435\u0442\u0430\u0445. \u041d\u0430 \u0447\u0430\u0441\u0442\u0438 \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440\u043e\u0432 \u0434\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u044b \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u043e\u0432 \u0431\u043b\u0438\u0437\u043a\u0438, \u043d\u043e \u043d\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0445 \u0435\u0441\u0442\u044c \u0440\u0430\u0437\u043b\u0438\u0447\u0438\u044f \u0432 \u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443 \u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u0438\u0437 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u043e\u0432. \u0422\u0430\u043a \u0447\u0442\u043e \u043f\u043e \u044d\u0442\u0438\u043c \u044d\u043a\u0441\u043f\u0435\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u043c \u043d\u0435\u043b\u044c\u0437\u044f \u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c, \u0447\u0442\u043e PINN \u0443\u043d\u0438\u0432\u0435\u0440\u0441\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e \u0443\u043b\u0443\u0447\u0448\u0430\u0435\u0442 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438.<\/p>\n<p>\u0417\u0430\u0442\u043e \u0438\u0437\u043c\u0435\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \u0438\u043d\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0441\u0430 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0431\u043e\u043b\u0435\u0435 \u0443\u0441\u0442\u043e\u0439\u0447\u0438\u0432\u043e\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043b\u0438\u0447\u0438\u0435 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0434\u0432\u0443\u043c\u044f \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u0430\u043c\u0438. \u0414\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u0430\u044f \u0432\u0435\u0442\u043a\u0430 PINN \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u0435\u0435 \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0435\u0439 SVR-\u0432\u0435\u0442\u043a\u0438 \u043d\u0430 \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0434\u0430\u0442\u0430\u0441\u0435\u0442\u0430\u0445.<\/p>\n<p>\u0420\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u044b \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442, \u0447\u0442\u043e PINN \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u0430\u043b\u044c\u0442\u0435\u0440\u043d\u0430\u0442\u0438\u0432\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 sheaf diffusion \u0432 \u043e\u0431\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c\u043e\u0439 \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432\u043e\u0439 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438. \u0413\u043b\u0430\u0432\u043d\u044b\u0439 \u044d\u0444\u0444\u0435\u043a\u0442 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u0430 \u0432 \u043d\u0430\u0448\u0438\u0445 \u044d\u043a\u0441\u043f\u0435\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0445 \u2014 \u0441\u043d\u0438\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0437\u0430\u0442\u0440\u0430\u0442 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u0442\u043a\u0438 \u043f\u0440\u0438 \u0441\u043e\u043f\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c\u043e\u043c \u043f\u043e\u0440\u044f\u0434\u043a\u0435 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438. \u041d\u043e \u0432\u043b\u0438\u044f\u043d\u0438\u0435 PINN \u043d\u0430 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043d\u0430 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435\u043c \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435 \u043a\u043e\u043d\u0444\u0438\u0433\u0443\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439 \u0438 \u0434\u0430\u0442\u0430\u0441\u0435\u0442\u043e\u0432.<\/p>\n<p>\u0422\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043c\u044b \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043b\u0438 \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442, \u0433\u0434\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0432\u0430\u0440\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f PINN \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 Bundle Neural Networks. \u041e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0442\u0435\u0441\u0442 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043b, \u0447\u0442\u043e \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u044b PINN \u0438 Taylor-16 \u0431\u043b\u0438\u0437\u043a\u0438: \u043e\u0442\u043d\u043e\u0441\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043e\u0448\u0438\u0431\u043a\u0430 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043b\u0430 0,001261, \u0430 cosine Similarity \u2014 0,999999.<\/p>\n<p>\u0412\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 BuNN PINN \u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043b\u0441\u044f \u0431\u044b\u0441\u0442\u0440\u0435\u0435 Taylor-16 \u043d\u0430 \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0442\u0440\u0451\u0445 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0434\u0430\u0442\u0430\u0441\u0435\u0442\u0430\u0445. \u041f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043b\u043e \u043e\u0442 1,34 \u0434\u043e 1,59 \u0440\u0430\u0437\u0430. \u041f\u0440\u0438 \u044d\u0442\u043e\u043c accuracy \u043d\u0430 \u0432\u0441\u0435\u0445 \u0442\u0440\u0451\u0445 \u0434\u0430\u0442\u0430\u0441\u0435\u0442\u0430\u0445 \u043e\u0441\u0442\u0430\u043b\u0430\u0441\u044c \u0441\u043e\u043f\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c\u043e\u0439 \u043b\u0438\u0431\u043e \u0443\u0432\u0435\u043b\u0438\u0447\u0438\u043b\u0430\u0441\u044c.<\/p>\n<p>\u0414\u0432\u0435 \u0441\u0435\u0440\u0438\u0438 \u044d\u043a\u0441\u043f\u0435\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0442\u043e\u0432 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0442, \u0447\u0442\u043e PINN \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0434\u043b\u044f \u043f\u0440\u044f\u043c\u043e\u0439 \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 sheaf diffusion. \u041e\u043d\u0430 \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b \u0432 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 Bundle Neural Networks.<\/p>\n<p>\u041f\u0435\u0440\u0441\u043f\u0435\u043a\u0442\u0438\u0432\u043d\u043e\u0435 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043b\u044f \u0434\u0430\u043b\u044c\u043d\u0435\u0439\u0448\u0435\u0439 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u2014 \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0432\u043b\u0438\u044f\u043d\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438 Krylov-\u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f, \u0432\u0435\u0441\u043e\u0432 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\lambda_{\\mathrm{PDE}}\" alt=\"\\lambda_{\\mathrm{PDE}}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/bb\/d4\/b8\/bbd4b871e75a32a9275ff809ba2b4e16.svg\" width=\"41\" height=\"16\" data-width=\"4.908\" data-height=\"1.91\" data-vertical-align=\"-0.339\" style=\"width: 4.908ex; height: 1.91ex; vertical-align: -0.339ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/bb\/d4\/b8\/bbd4b871e75a32a9275ff809ba2b4e16.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/bb\/d4\/b8\/bbd4b871e75a32a9275ff809ba2b4e16.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/> \u0438 <img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\lambda_{\\mathrm{IC}}\" alt=\"\\lambda_{\\mathrm{IC}}\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f2\/63\/04\/f263041abf1d1b8288d80ccb1cb7b937.svg\" width=\"27\" height=\"16\" data-width=\"3.239\" data-height=\"1.943\" data-vertical-align=\"-0.373\" style=\"width: 3.239ex; height: 1.943ex; vertical-align: -0.373ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f2\/63\/04\/f263041abf1d1b8288d80ccb1cb7b937.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/f2\/63\/04\/f263041abf1d1b8288d80ccb1cb7b937.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/>, \u0430 \u0442\u0430\u043a\u0436\u0435 \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u043e\u0432 PINN \u043d\u0430 \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0438 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0443\u044e \u0441\u0442\u043e\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u044c \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438.<\/p>\n<p><em>\u0422\u0430\u0431\u043b\u0438\u0446\u0430 4. \u0412\u0440\u0435\u043c\u044f \u0438\u043d\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0441\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0432\u0435\u0442\u043a\u0438 \u0434\u043b\u044f PINN \u0438 SVR. \u0417\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u044b \u043a\u0430\u043a \u0441\u0440\u0435\u0434\u043d\u0435\u0435 <\/em><img decoding=\"async\" class=\"formula inline\" source=\"\\pm\" alt=\"\\pm\" src=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a9\/5b\/c6\/a95bc61e90b62fe9ad257cee891f839a.svg\" width=\"15\" height=\"13\" data-width=\"1.76\" data-height=\"1.507\" style=\"width: 1.76ex; height: 1.507ex\" sizes=\"auto, (max-width: 780px) 100vw, 50vw\" srcset=\"https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a9\/5b\/c6\/a95bc61e90b62fe9ad257cee891f839a.svg 780w,&#10;       https:\/\/habrastorage.org\/extt\/a9\/5b\/c6\/a95bc61e90b62fe9ad257cee891f839a.svg 781w\" loading=\"lazy\" decode=\"async\"\/><em> \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u043e\u0435 \u043e\u0442\u043a\u043b\u043e\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u043e \u043f\u044f\u0442\u0438 \u0437\u0430\u043f\u0443\u0441\u043a\u0430\u043c \u0438 \u0443\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u044b \u0432 \u043c\u0438\u043b\u043b\u0438\u0441\u0435\u043a\u0443\u043d\u0434\u0430\u0445<\/em><\/p>\n<div>\n<div class=\"table\">\n<table>\n<tbody>\n<tr>\n<th>\n<p><strong>Dataset<\/strong><\/p>\n<\/th>\n<th>\n<p><strong>PINN Diffusion (ms)<\/strong><\/p>\n<\/th>\n<th>\n<p><strong>SVR Diffusion (ms)<\/strong><\/p>\n<\/th>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">Cora<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">0,671 \u00b1 0,006<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">3,152 \u00b1 0,032<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">Citeseer<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">0,684 \u00b1 0,006<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">3,098 \u00b1 0,042<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">Pubmed<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">1,674 \u00b1 0,046<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">5,225 \u00b1 0,021<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">Chameleon<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">0,567 \u00b1 0,088<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">7,558 \u00b1 0,126<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">Squirrel<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">0,595 \u00b1 0,014<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">9,354 \u00b1 0,317<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">Actor<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">0,795 \u00b1 0,013<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">7,764 \u00b1 0,153<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">Cornell<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">0,633 \u00b1 0,092<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">2,497 \u00b1 0,644<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">Texas<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">0,631 \u00b1 0,050<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">1,320 \u00b1 0,135<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<tr>\n<td>\n<p align=\"left\">Wisconsin<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">0,615 \u00b1 0,020<\/p>\n<\/td>\n<td>\n<p align=\"left\">3,232 \u00b1 0,708<\/p>\n<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<p>\u0441\u0441\u044b\u043b\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u043e\u0440\u0438\u0433\u0438\u043d\u0430\u043b \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0438 <a href=\"https:\/\/habr.com\/ru\/articles\/1095072\/\">https:\/\/habr.com\/ru\/articles\/1095072\/<\/a><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>\u041f\u0440\u0438\u0432\u0435\u0442, \u0425\u0430\u0431\u0440! \u041c\u044b \u0441\u0442\u0443\u0434\u0435\u043d\u0442\u044b \u043c\u0430\u0441\u0442\u0435\u0440\u0441\u043a\u043e\u0439 \u043f\u043e \u0441\u0435\u0440\u0432\u0438\u0441\u0430\u043c \u0438 \u043f\u043b\u0430\u0442\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u043c \u0418\u0418 \u0418\u043d\u0436\u0435\u043d\u0435\u0440\u043d\u043e-\u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0439 \u0448\u043a\u043e\u043b\u044b \u041d\u0418\u0423 \u0412\u0428\u042d \u0438 VK: \u041a\u0441\u0435\u043d\u0438\u044f \u0411\u0435\u043b\u044c\u043a\u043e\u0432\u0430, \u0422\u0438\u043c\u0443\u0440 \u041b\u0438\u0434\u0436\u0438\u0435\u0432 \u0438 \u041c\u0430\u0440\u0438\u044f \u0421\u0442\u0435\u0431\u043b\u0438\u0439. \u0412 \u044d\u0442\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0445\u043e\u0442\u0438\u043c \u0440\u0430\u0441\u0441\u043a\u0430\u0437\u0430\u0442\u044c \u043e\u0431 \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0438, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u0438\u0437\u0443\u0447\u0430\u043b\u0438, \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043b\u0438 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u0444\u0438\u0437\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0438 \u0438\u043d\u0444\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043d\u0435\u0439\u0440\u043e\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0441\u0435\u0442\u0438 (PINN) \u0434\u043b\u044f \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441\u043e\u0432 \u0432 \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432\u044b\u0445 \u043d\u0435\u0439\u0440\u043e\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0435\u0442\u044f\u0445 \u043d\u0430 \u043f\u0443\u0447\u043a\u0430\u0445.\u0418\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043c\u044b \u043f\u0440\u043e\u0432\u043e\u0434\u0438\u043b\u0438 \u0441\u043e\u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e \u0441 \u0410\u043b\u0435\u043a\u0441\u0430\u043d\u0434\u0440\u043e\u043c \u0422\u0430\u0440\u0430\u043a\u0430\u043d\u043e\u0432\u044b\u043c, \u0438\u043d\u0436\u0435\u043d\u0435\u0440\u043e\u043c \u043c\u0430\u0448\u0438\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f AI VK \u0438 \u0434\u043e\u0446\u0435\u043d\u0442\u043e\u043c \u0424\u041a\u041d \u041d\u0418\u0423 \u0412\u0428\u042d. \u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043a\u0430\u0436\u0435\u043c \u043e \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u0435, \u043f\u0440\u043e\u0432\u0435\u0434\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u044d\u043a\u0441\u043f\u0435\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0445 \u0438 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0430\u0445.\u0412 \u044d\u043a\u0441\u043f\u0435\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0442\u0430\u0445 PINN \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043b \u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043d\u0430 \u0443\u0440\u043e\u0432\u043d\u0435 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0445 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u043e\u0432 \u0438 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u0438\u043b \u0441\u043e\u043a\u0440\u0430\u0442\u0438\u0442\u044c \u0432\u0440\u0435\u043c\u044f \u0438\u043d\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0441\u0430. \u0417\u043d\u0430\u0447\u0438\u0442, PINN \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u043f\u043e\u043b\u0435\u0437\u0435\u043d \u0434\u043b\u044f \u0443\u0441\u043a\u043e\u0440\u0435\u043d\u0438\u044f \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0435\u0439, \u043d\u043e \u0435\u0433\u043e \u0432\u043b\u0438\u044f\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430 \u043a\u0430\u0447\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0438\u0437\u0443\u0447\u0438\u0442\u044c \u043e\u0442\u0434\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e.\u0411\u043e\u043b\u044c\u0448\u0438\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432\u044b\u0445 \u043d\u0435\u0439\u0440\u043e\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0435\u0442\u0435\u0439 \u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u0441\u044f \u043d\u0430 \u043c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u0437\u043c\u0435 message passing. \u041d\u0430 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u043c \u0441\u043b\u043e\u0435 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0430 \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442 \u0438\u043d\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0446\u0438\u044e \u043e\u0442 \u0441\u043e\u0441\u0435\u0434\u043d\u0438\u0445 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d, \u0430\u0433\u0440\u0435\u0433\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u0435\u0451 \u0438 \u043e\u0431\u043d\u043e\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043f\u043e \u043d\u0435\u0439 \u0441\u043e\u0431\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435.\u041e\u0431\u043e\u0437\u043d\u0430\u0447\u0438\u043c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437  \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u044b  \u043d\u0430 \u0441\u043b\u043e\u0435 . \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432 \u043e\u0431\u0449\u0435\u043c \u0432\u0438\u0434\u0435 message passing \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0442\u0430\u043a:\u041a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0441\u043b\u043e\u0451\u0432 \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u0438\u0442\u0441\u044f \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u0435, \u0443 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u0430 \u0432\u043e\u0437\u043d\u0438\u043a\u0430\u044e\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0431\u043b\u0435\u043c\u044b \u2014 \u043d\u0430\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440, over-smoothing \u0438 over-squashing. \u0412 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u0440\u0430\u0437\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d \u043f\u043e\u0441\u0442\u0435\u043f\u0435\u043d\u043d\u043e \u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u044f\u0442\u0441\u044f \u0441\u043b\u0438\u0448\u043a\u043e\u043c \u043f\u043e\u0445\u043e\u0436\u0438\u043c\u0438 \u0434\u0440\u0443\u0433 \u043d\u0430 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0430. \u0412\u043e \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 \u0438\u043d\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0446\u0438\u044e \u043e\u0442 \u0431\u043e\u043b\u044c\u0448\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0430 \u0443\u0434\u0430\u043b\u0451\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d \u043f\u0440\u0438\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434\u0430\u0432\u0430\u0442\u044c \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u043e \u043f\u0440\u043e\u043c\u0435\u0436\u0443\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0439.\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 1. \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0430 \u0441 \u043f\u044f\u0442\u044c\u044e \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438 \u0438 \u0441\u0432\u044f\u0437\u044f\u043c\u0438 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043d\u0438\u043c\u0438.\u0412 \u0441\u0442\u0430\u043d\u0434\u0430\u0440\u0442\u043d\u044b\u0445 GNN \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434\u0430\u0447\u0443 \u0438\u043d\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0441\u043e\u0441\u0435\u0434\u043d\u0438\u043c\u0438 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e \u0437\u0430\u0434\u0430\u044e\u0442 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0446\u0438\u0439, \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0435. \u041e\u0434\u043d\u0430\u043a\u043e \u0434\u043b\u044f \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432, \u0433\u0434\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u0438 \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d \u0441\u0438\u043b\u044c\u043d\u043e \u0440\u0430\u0437\u043b\u0438\u0447\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f, \u0442\u0430\u043a\u043e\u0433\u043e \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u043d\u0438\u044f \u043c\u043e\u0436\u0435\u0442 \u0431\u044b\u0442\u044c \u043d\u0435\u0434\u043e\u0441\u0442\u0430\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e. \u041e\u0434\u0438\u043d \u0438\u0437 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431\u043e\u0432 \u0440\u0430\u0441\u0448\u0438\u0440\u0438\u0442\u044c \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0432\u0437\u0430\u0438\u043c\u043e\u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0439 \u2014 \u043a\u043b\u0435\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0443\u0447\u043a\u0438 (cellular sheaves). \u041e\u043d\u0438 \u0437\u0430\u0434\u0430\u044e\u0442 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c\u0438, \u0441\u0432\u044f\u0437\u0430\u043d\u043d\u044b\u043c\u0438 \u0440\u0451\u0431\u0440\u0430\u043c\u0438 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0430.\u041d\u0430 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0435 \u043f\u0443\u0447\u043a\u0430 (sheaf) \u0441\u0442\u0440\u043e\u0438\u0442\u0441\u044f sheaf Laplacian \u2014 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440, \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0430\u044e\u0449\u0438\u0439 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432\u044b\u0439 \u043b\u0430\u043f\u043b\u0430\u0441\u0438\u0430\u043d. \u0415\u0441\u043b\u0438 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043b\u0430\u043f\u043b\u0430\u0441\u0438\u0430\u043d \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0432\u0437\u0430\u0438\u043c\u043e\u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 \u0441\u043e\u0441\u0435\u0434\u043d\u0438\u0445 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d, \u0442\u043e sheaf Laplacian \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u044b\u0435 restriction maps, \u0441\u0432\u044f\u0437\u044b\u0432\u0430\u044e\u0449\u0438\u0435 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441 \u0441 \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u043e\u0439 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0439 (Bodnar et al. 2022, Barbero et al. 2022).\u0417\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443 \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f\u0433\u0434\u0435  \u2014 sheaf Laplacian, \u0430  \u2014 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435. \u0412 \u0442\u0430\u043a\u043e\u0439 \u043f\u043e\u0441\u0442\u0430\u043d\u043e\u0432\u043a\u0435 sheaf Laplacian \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0437\u0430\u0438\u043c\u043e\u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 \u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0435, \u043d\u043e \u0438 \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043d\u0435\u043f\u0440\u0435\u0440\u044b\u0432\u043d\u0443\u044e \u0432\u043e \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u0443\u044e \u0434\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438\u043a\u0443.\u041c\u044b \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c Physics-Informed Neural Network (PINN) \u0434\u043b\u044f \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0438. \u0412\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u0442\u043e\u0433\u043e \u0447\u0442\u043e\u0431\u044b \u043d\u0430\u043f\u0440\u044f\u043c\u0443\u044e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e, \u043d\u0435\u0439\u0440\u043e\u043d\u043d\u0430\u044f \u0441\u0435\u0442\u044c \u043e\u0431\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u043a\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b \u0432 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u0438\u043c\u043e\u0441\u0442\u0438 \u043e\u0442 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438, \u0430 \u043a\u043e\u0440\u0440\u0435\u043a\u0442\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043f\u043e\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u043a\u043e\u043d\u0442\u0440\u043e\u043b\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u043d\u0435\u0432\u044f\u0437\u043a\u0430 \u0438\u0441\u0445\u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f (Raissi et al. 2019). \u0414\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0435 \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0432\u044b\u0441\u0442\u0443\u043f\u0430\u0435\u0442 \u043a\u0430\u043a \u043e\u0433\u0440\u0430\u043d\u0438\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0438 \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u0438 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438.\u0414\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c\u043e\u0433\u043e \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u0430 \u2014 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f \u041a\u0440\u044b\u043b\u043e\u0432\u0430. \u041c\u044b \u043d\u0435 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434\u0430\u0451\u043c \u0432 \u043d\u0435\u0439\u0440\u043e\u043d\u043d\u0443\u044e \u0441\u0435\u0442\u044c \u043f\u043b\u043e\u0442\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u0430 , \u0430 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u043c \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043a \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u044e:\u0422\u0430\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043e\u0445\u0440\u0430\u043d\u044f\u0435\u0442 \u0438\u043d\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0446\u0438\u044e \u043e \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0438 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u0430 \u043d\u0430 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435 \u0438 \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0440\u0430\u0437\u0440\u0435\u0436\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432\u043e\u0433\u043e \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u0430 (Saad 1992).\u041c\u0435\u0442\u043e\u0434 \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u044f\u0435\u0442 \u043e\u0431\u0443\u0447\u0430\u0435\u043c\u043e\u0435 sheaf-\u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0430 \u0438 PINN, \u0438 \u0438\u0445 \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u044b \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0438\u0437\u0438\u0440\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u0441\u043e\u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e. Sheaf Laplacian \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u0443\u044e \u0434\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438\u043a\u0443, Krylov-\u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a \u043a\u043e\u043c\u043f\u0430\u043a\u0442\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u044f \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u0430, \u0430 PINN \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u0437\u0430\u0432\u0438\u0441\u044f\u0449\u0435\u0435 \u043e\u0442 \u0432\u0440\u0435\u043c\u0435\u043d\u0438 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435 \u0441\u0438\u0441\u0442\u0435\u043c\u044b. \u041e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043e\u043f\u043e\u043b\u043d\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u0438\u0435 \u0438 \u043d\u0435\u0432\u044f\u0437\u043a\u0443 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f.\u0426\u0435\u043b\u044c \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u2014 \u0438\u0441\u0441\u043b\u0435\u0434\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c, \u043a\u0430\u043a PINN \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0442\u044c \u0434\u043b\u044f \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441\u043e\u0432 \u0432 \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432\u044b\u0445 \u043d\u0435\u0439\u0440\u043e\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0435\u0442\u044f\u0445.\u041c\u044b \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0435\u043c \u0434\u0432\u0430 \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442\u0430:\u00a0\u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u044f sheaf diffusion \u0441 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c Krylov-\u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u044f\u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0432\u0430\u0440\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u043e\u0439 PINN \u0434\u043b\u044f \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 Bundle Neural Networks\u0422\u0435\u043e\u0440\u0438\u044f\u0413\u0440\u0430\u0444\u041f\u0443\u0441\u0442\u044c \u0437\u0430\u0434\u0430\u043d \u0433\u0440\u0430\u0444 , \u0433\u0434\u0435  \u2014 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d, \u0430  \u2014 \u043c\u043d\u043e\u0436\u0435\u0441\u0442\u0432\u043e \u0440\u0451\u0431\u0435\u0440.\u041a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0435  \u0441\u043e\u043f\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u043c \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 .\u0412\u0441\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u0438 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u0431\u044a\u0435\u0434\u0438\u043d\u0438\u0442\u044c \u0432 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u0414\u043b\u044f \u043d\u0435\u0441\u043a\u043e\u043b\u044c\u043a\u0438\u0445 \u043a\u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0432 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 \u0431\u0443\u0434\u0435\u043c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0443 .\u041a\u043b\u0435\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0443\u0447\u043e\u043a\u041a\u043b\u0435\u0442\u043e\u0447\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0443\u0447\u043e\u043a  \u043d\u0430\u0434 \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u043c  \u0441\u043e\u043f\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0435  \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e , \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u043c\u0443 \u0440\u0435\u0431\u0440\u0443  \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e , \u0430 \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u043f\u0430\u0440\u0435 \u00ab\u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0430 \u2014 \u0438\u043d\u0446\u0438\u0434\u0435\u043d\u0442\u043d\u043e\u0435 \u0440\u0435\u0431\u0440\u043e\u00bb \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0435 \u043e\u0442\u043e\u0431\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u043c\u043e\u0435 .\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u043e\u0434\u043d\u043e\u0433\u043e \u0441\u043a\u0430\u043b\u044f\u0440\u043d\u043e\u0433\u043e \u0432\u0435\u0441\u0430 \u0440\u0435\u0431\u0440\u0430 sheaf \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0432\u0430\u0442\u044c \u043b\u0438\u043d\u0435\u0439\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c\u0438 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432.\u041f\u0440\u0435\u0434\u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u043c, \u0447\u0442\u043e \u0432\u0441\u0435 stalk \u0438\u043c\u0435\u044e\u0442 \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c , \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 restriction maps \u2014 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u044b \u0440\u0430\u0437\u043c\u0435\u0440\u0430 .\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 2. \u0421\u0445\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0435 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043a\u043b\u0435\u0442\u043e\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u043f\u0443\u0447\u043a\u0430 \u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0435.\u041d\u0430 \u0440\u0438\u0441\u0443\u043d\u043a\u0435 \u043f\u043e\u043a\u0430\u0437\u0430\u043d\u043e, \u0447\u0442\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0430\u0445 \u0441\u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u0430 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0430\u0434\u043b\u0435\u0436\u0430\u0442 \u0441\u0432\u043e\u0438\u043c \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c , \u0430 restriction maps \u043f\u0435\u0440\u0435\u0432\u043e\u0434\u044f\u0442 \u0438 \u0432 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0435\u0433\u043e \u0440\u0435\u0431\u0440\u0430 . \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u0438 \u0441\u043e\u0441\u0435\u0434\u043d\u0438\u0445 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0438\u0445 \u043e\u0442\u043e\u0431\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u043e\u0431\u0449\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e.0- \u0438 1-\u043a\u043e\u0446\u0435\u043f\u0438\u041f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043d\u0430 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0430\u0445 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a \u0430 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043d\u0430 \u0440\u0451\u0431\u0440\u0430\u0445: .\u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, \u044d\u043b\u0435\u043c\u0435\u043d\u0442  \u2014 \u044d\u0442\u043e \u043d\u0430\u0431\u043e\u0440 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043e\u0432 , \u043f\u043e \u043e\u0434\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0434\u043b\u044f \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u044b.Coboundary operator\u0412\u044b\u0431\u0435\u0440\u0435\u043c \u043e\u0440\u0438\u0435\u043d\u0442\u0430\u0446\u0438\u044e \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0431\u0440\u0430. \u0414\u043b\u044f \u0440\u0435\u0431\u0440\u0430  \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0438\u043c \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440  \u043a\u0430\u043a . \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c,  \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0437\u043d\u0430\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f \u043d\u0430 \u043a\u043e\u043d\u0446\u0430\u0445 \u0440\u0435\u0431\u0440\u0430 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0438\u0445 \u043e\u0442\u043e\u0431\u0440\u0430\u0436\u0435\u043d\u0438\u044f \u0432 \u043e\u0431\u0449\u0435\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e .Sheaf LaplacianSheaf Laplacian \u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043a\u0430\u043a \u0414\u043b\u044f \u043b\u044e\u0431\u043e\u0433\u043e , \u043f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443  \u2014 \u0441\u0438\u043c\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u0430\u044f \u043f\u043e\u043b\u043e\u0436\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043f\u043e\u043b\u0443\u043e\u043f\u0440\u0435\u0434\u0435\u043b\u0451\u043d\u043d\u0430\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0446\u0430.\u0414\u0438\u0430\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0431\u043b\u043e\u043a, \u0441\u043e\u043e\u0442\u0432\u0435\u0442\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0435 , \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434 . \u0414\u043b\u044f \u0441\u043e\u0441\u0435\u0434\u043d\u0438\u0445 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d  \u0438 , \u0441\u043e\u0435\u0434\u0438\u043d\u0451\u043d\u043d\u044b\u0445 \u0440\u0435\u0431\u0440\u043e\u043c , . \u0412 \u0442\u0440\u0438\u0432\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u043c \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435, \u043a\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0432\u0441\u0435 stalk \u043e\u0434\u043d\u043e\u043c\u0435\u0440\u043d\u044b, \u0430 restriction maps \u0442\u043e\u0436\u0434\u0435\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u044b, \u044d\u0442\u0430 \u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0446\u0438\u044f \u0441\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043a \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432\u043e\u043c\u0443 \u043b\u0430\u043f\u043b\u0430\u0441\u0438\u0430\u043d\u0443.Sheaf diffusion\u0414\u043b\u044f \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u0433\u0440\u0430\u0444\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c , \u0433\u0434\u0435  \u2014 \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432\u044b\u0439 \u043b\u0430\u043f\u043b\u0430\u0441\u0438\u0430\u043d. \u042d\u0442\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0441\u043e\u0441\u0435\u0434\u043d\u0438\u043c\u0438 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438. \u041e\u043d\u043e \u0441\u043b\u0443\u0436\u0438\u0442 \u0434\u0438\u0441\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u044b\u043c \u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u043e\u043c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u0442\u0435\u043f\u043b\u043e\u043f\u0440\u043e\u0432\u043e\u0434\u043d\u043e\u0441\u0442\u0438.Sheaf Laplacian \u043e\u0431\u043e\u0431\u0449\u0430\u0435\u0442 \u044d\u0442\u0443 \u043a\u043e\u043d\u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0446\u0438\u044e: \u043e\u043d \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432\u044b\u0439 \u043b\u0430\u043f\u043b\u0430\u0441\u0438\u0430\u043d \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u044b\u043c \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c, \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u044e\u0449\u0438\u043c restriction maps. \u041f\u043e\u044d\u0442\u043e\u043c\u0443 \u0430\u043d\u0430\u043b\u043e\u0433\u0438\u0447\u043d\u044b\u0439 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441 \u043f\u0440\u0438\u043d\u0438\u043c\u0430\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434 .\u0418\u043c\u0435\u043d\u043d\u043e \u044d\u0442\u043e\u0442 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441 \u043d\u0430\u0437\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f sheaf diffusion. \u0412 \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0438\u0435 \u043e\u0442 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0439 \u0433\u0440\u0430\u0444\u043e\u0432\u043e\u0439 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u0438, \u043e\u043d \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442 \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443 \u0441\u0432\u044f\u0437\u0435\u0439 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438, \u043d\u043e \u0438 \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u0438\u0445 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c\u0438.Bundle Neural Networks\u042d\u0442\u0443 \u0438\u0434\u0435\u044e \u0440\u0430\u0437\u0432\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442 Bundle Neural Networks (BuNN), \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u043e\u0436\u0435\u043d\u043d\u044b\u0435 \u0432 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0435 Bamberger et al. \u0412 BuNN \u043a\u0430\u0436\u0434\u043e\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0435 \u0441\u043e\u043f\u043e\u0441\u0442\u0430\u0432\u043b\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u043e\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u043e, \u0430 \u043f\u0435\u0440\u0435\u0445\u043e\u0434 \u043c\u0435\u0436\u0434\u0443 \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c\u0438 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432\u0430\u043c\u0438 \u0441\u043e\u0441\u0435\u0434\u043d\u0438\u0445 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d \u0437\u0430\u0434\u0430\u0451\u0442\u0441\u044f \u043e\u0440\u0442\u043e\u0433\u043e\u043d\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u043c \u043f\u0440\u0435\u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u0432\u0430\u043d\u0438\u0435\u043c. \u0414\u043b\u044f \u0441\u043e\u0441\u0435\u0434\u043d\u0438\u0445 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d  \u0438  \u0435\u0433\u043e \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0437\u0430\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a, \u043f\u0440\u0438\u0447\u0451\u043c . \u0422\u043e\u0433\u0434\u0430 \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u043b\u044f \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u044b  \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043f\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u0438\u0442\u044c \u0432 \u0432\u0438\u0434\u0435 .\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 3. \u041b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u0430\u044f \u043f\u0435\u0440\u0435\u0434\u0430\u0447\u0430 \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0430\u0445 \u0432 \u0441\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0441 \u0433\u043b\u043e\u0431\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0439 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u0435\u0439 \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043d\u0430 \u043f\u0443\u0447\u043a\u0430\u0445.\u0412 \u043e\u0442\u043b\u0438\u0447\u0438\u0435 \u043e\u0442 \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e message passing, \u0432 BuNN \u0434\u043b\u044f \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u044f. \u042d\u0442\u043e \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0443\u0447\u0438\u0442\u044b\u0432\u0430\u0442\u044c \u0438\u043d\u0444\u043e\u0440\u043c\u0430\u0446\u0438\u044e \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043e\u0442 \u0441\u043e\u0441\u0435\u0434\u0435\u0439 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u044b.\u0414\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u044f \u0432 BuNN\u041a\u0430\u043a \u0438 \u0432 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0435 sheaf diffusion, \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 \u0432 BuNN \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u044b\u0439 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441. \u0414\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u044e \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u043e\u043f\u0438\u0441\u0430\u0442\u044c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c , \u0433\u0434\u0435 $L$ \u2014 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440 \u041b\u0430\u043f\u043b\u0430\u0441\u0430. \u0414\u043b\u044f \u043f\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e  \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0438\u043c\u0435\u0435\u0442 \u0432\u0438\u0434 .\u0427\u0442\u043e\u0431\u044b \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u044e, \u043d\u0443\u0436\u043d\u043e \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u044c \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u0435 \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b  \u043d\u0430 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0439 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440 \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432.\u0420\u0438\u0441\u0443\u043d\u043e\u043a 4. \u041f\u0440\u0438\u043c\u0435\u0440 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043c\u0435\u0445\u0430\u043d\u0438\u0437\u043c\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u0438 \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043d\u0430 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0435 \u0441 \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u044c\u043c\u044f \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d\u0430\u043c\u0438 \u0438 \u0447\u0435\u0442\u044b\u0440\u044c\u043c\u044f \u0440\u0451\u0431\u0440\u0430\u043c\u0438.\u041e\u0431\u0437\u043e\u0440 \u0441\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0445 \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u043e\u0432\u0421\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0435 sheaf-based \u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u044b \u0432 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u043d\u043e\u043c \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u044e\u0442 sheaf Laplacian \u043a\u0430\u043a \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0443 \u0434\u043b\u044f \u0434\u0438\u0441\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u043f\u0440\u0438\u0437\u043d\u0430\u043a\u043e\u0432. \u0412 Neural Sheaf Diffusion sheaf \u043e\u0431\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u0435 \u0441 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u044c\u044e \u0438 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0433\u0430\u0435\u0442 \u0444\u043e\u0440\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u044e \u043d\u0430 \u0433\u0435\u0442\u0435\u0440\u043e\u0444\u0438\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0433\u0440\u0430\u0444\u0430\u0445. \u0412 Sheaf Neural Networks with Connection Laplacians\u00a0 restriction maps \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u044f\u044e\u0442\u0441\u044f \u0437\u0430\u0440\u0430\u043d\u0435\u0435 \u043d\u0430 \u043e\u0441\u043d\u043e\u0432\u0435 \u0433\u0435\u043e\u043c\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u043e\u0433\u043e \u0432\u044b\u0440\u0430\u0432\u043d\u0438\u0432\u0430\u043d\u0438\u044f \u043b\u043e\u043a\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0441\u0442\u0432, \u0447\u0442\u043e \u043f\u043e\u0437\u0432\u043e\u043b\u044f\u0435\u0442 \u0441\u043d\u0438\u0437\u0438\u0442\u044c \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u044b\u0435 \u0437\u0430\u0442\u0440\u0430\u0442\u044b. \u0414\u0440\u0443\u0433\u0438\u0435 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u044b \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442 \u0441\u043e\u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043d\u044b\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u044b\u0435 \u043f\u0440\u043e\u0446\u0435\u0441\u0441\u044b \u0438 \u043e\u043f\u0442\u0438\u043c\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u044e \u0441\u043f\u0435\u043a\u0442\u0440\u0430\u043b\u044c\u043d\u044b\u0445 \u0441\u0432\u043e\u0439\u0441\u0442\u0432 sheaf Laplacian.\u0411\u043b\u0438\u0437\u043a\u0438\u0439 \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434 \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u0442 \u0440\u0430\u0431\u043e\u0442\u0430 Bundle Neural Networks for Message Diffusion on Graphs. \u0414\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u044e \u043d\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0443\u0447\u043a\u0430\u0445 \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0434\u0438\u0441\u043a\u0440\u0435\u0442\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0438\u043d\u0442\u0435\u0440\u043f\u0440\u0435\u0442\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u043a\u0430\u043a \u0447\u0430\u0441\u0442\u043d\u044b\u0439 \u0441\u043b\u0443\u0447\u0430\u0439 SNN.\u0421\u0443\u0449\u0435\u0441\u0442\u0432\u0443\u044e\u0449\u0438\u0435 sheaf-based \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434\u044b \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0443\u0441\u043b\u043e\u0432\u043d\u043e \u0440\u0430\u0437\u0434\u0435\u043b\u0438\u0442\u044c \u043d\u0430 \u0434\u0432\u0435 \u0433\u0440\u0443\u043f\u043f\u044b:\u043c\u0435\u0442\u043e\u0434\u044b, \u0432 \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u044b\u0445 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u044f \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u0434\u0438\u0441\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u043e \u0447\u0435\u0440\u0435\u0437 sheaf Laplacian\u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438 \u0442\u0438\u043f\u0430 BuNN, \u0433\u0434\u0435 \u0440\u0430\u0441\u043f\u0440\u043e\u0441\u0442\u0440\u0430\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0441\u043e\u043e\u0431\u0449\u0435\u043d\u0438\u0439 \u043e\u043f\u0438\u0441\u044b\u0432\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u043f\u0440\u0435\u0440\u044b\u0432\u043d\u044b\u043c \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u044b\u043c \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u0435\u043c \u043d\u0430 \u0432\u0435\u043a\u0442\u043e\u0440\u043d\u044b\u0445 \u043f\u0443\u0447\u043a\u0430\u0445, \u043d\u043e \u043f\u0440\u0438 \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u0438 \u0434\u0438\u0441\u043a\u0440\u0435\u0442\u0438\u0437\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f\u041c\u044b \u043f\u0440\u0435\u0434\u043b\u0430\u0433\u0430\u0435\u043c \u0434\u0440\u0443\u0433\u043e\u0439 \u0441\u043f\u043e\u0441\u043e\u0431 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f \u2014 \u0441 \u043f\u043e\u043c\u043e\u0449\u044c\u044e Physics-Informed Neural Network (PINN).Physics-Informed Neural Network\u0412\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u043d\u0435\u043f\u043e\u0441\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0432\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044f \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f , \u043c\u043e\u0436\u043d\u043e \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0438\u0440\u043e\u0432\u0430\u0442\u044c \u0435\u0433\u043e \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u043d\u0435\u0439\u0440\u043e\u043d\u043d\u043e\u0439 \u0441\u0435\u0442\u044c\u044e , \u0433\u0434\u0435  \u2014 \u043f\u0430\u0440\u0430\u043c\u0435\u0442\u0440\u044b \u0441\u0435\u0442\u0438,  \u0437\u0430\u0434\u0430\u0451\u0442 \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443 \u043e\u043f\u0435\u0440\u0430\u0442\u043e\u0440\u0430, \u0430  \u2014 \u043d\u0430\u0447\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0435 \u0441\u043e\u0441\u0442\u043e\u044f\u043d\u0438\u0435.\u041a\u043b\u044e\u0447\u0435\u0432\u0430\u044f \u043e\u0441\u043e\u0431\u0435\u043d\u043d\u043e\u0441\u0442\u044c PINN \u2014 \u0441\u0435\u0442\u044c \u043e\u0431\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435 \u0442\u043e\u043b\u044c\u043a\u043e \u043f\u043e \u0438\u0437\u0432\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e\u043c\u0443 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u044e, \u043d\u043e \u0438 \u0441 \u0443\u0447\u0451\u0442\u043e\u043c \u0441\u0430\u043c\u043e\u0433\u043e \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043d\u0446\u0438\u0430\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f. \u0414\u043b\u044f \u044d\u0442\u043e\u0433\u043e \u0432\u0432\u043e\u0434\u0438\u0442\u0441\u044f \u043d\u0435\u0432\u044f\u0437\u043a\u0430 , \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0434\u043e\u043b\u0436\u043d\u0430 \u0431\u044b\u0442\u044c \u0431\u043b\u0438\u0437\u043a\u0430 \u043a \u043d\u0443\u043b\u044e.\u0412 \u043d\u0430\u0448\u0435\u0439 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0435 \u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043e \u043e\u0431\u044b\u0447\u043d\u043e\u0433\u043e  \u0432 \u043d\u0435\u0432\u044f\u0437\u043a\u0443 \u0432\u0445\u043e\u0434\u0438\u0442 sheaf Laplacian. \u0422\u0430\u043a\u0438\u043c \u043e\u0431\u0440\u0430\u0437\u043e\u043c, PINN \u043d\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442 \u043c\u0430\u0442\u0435\u043c\u0430\u0442\u0438\u0447\u0435\u0441\u043a\u0443\u044e \u0441\u0442\u0440\u0443\u043a\u0442\u0443\u0440\u0443 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438, \u0430 \u0430\u043f\u043f\u0440\u043e\u043a\u0441\u0438\u043c\u0438\u0440\u0443\u0435\u0442 \u0440\u0435\u0448\u0435\u043d\u0438\u0435 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0443\u0437\u0438\u043e\u043d\u043d\u043e\u0433\u043e \u0443\u0440\u0430\u0432\u043d\u0435\u043d\u0438\u044f.\u0412 \u0441\u0442\u0430\u0442\u044c\u0435 \u043c\u044b \u0440\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u0434\u0432\u0435 \u0440\u0435\u0430\u043b\u0438\u0437\u0430\u0446\u0438\u0438 \u043d\u0435\u0439\u0440\u043e\u0441\u0435\u0442\u0435\u0432\u043e\u0439 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438 \u0434\u043b\u044f \u043a\u043b\u0430\u0441\u0441\u0438\u0444\u0438\u043a\u0430\u0446\u0438\u0438 \u0432\u0435\u0440\u0448\u0438\u043d \u0433\u0440\u0430\u0444\u0430. \u0412 \u043f\u0435\u0440\u0432\u043e\u0439 PINN \u043e\u0431\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f \u0441\u043e\u0432\u043c\u0435\u0441\u0442\u043d\u043e \u0441\u043e \u0432\u0441\u0435\u043c\u0438 \u0441\u043b\u043e\u044f\u043c\u0438 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438 \u043f\u043e\u0434 \u043a\u043e\u043d\u043a\u0440\u0435\u0442\u043d\u0443\u044e \u0437\u0430\u0434\u0430\u0447\u0443. \u0412\u043e \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u0439 \u043f\u0440\u0438\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u043e\u0434\u0445\u043e\u0434, \u0433\u0434\u0435 \u0438\u0441\u043f\u043e\u043b\u044c\u0437\u0443\u0435\u0442\u0441\u044f \u043f\u0440\u0435\u0434\u0432\u0430\u0440\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f \u0441\u0435\u0442\u044c (pre-trained PINN). \u0412\u0435\u0441\u0430 \u043c\u043e\u0434\u0435\u043b\u0438 \u0438\u043d\u0438\u0446\u0438\u0430\u043b\u0438\u0437\u0438\u0440\u0443\u044e\u0442\u0441\u044f \u0440\u0435\u0437\u0443\u043b\u044c\u0442\u0430\u0442\u0430\u043c\u0438 \u043f\u0440\u0435\u0434\u0432\u0430\u0440\u0438\u0442\u0435\u043b\u044c\u043d\u043e\u0433\u043e \u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u0438\u044f, \u043f\u043e\u0441\u043b\u0435 \u0447\u0435\u0433\u043e \u0437\u0430\u043c\u043e\u0440\u0430\u0436\u0438\u0432\u0430\u044e\u0442\u0441\u044f.\u041f\u0440\u0435\u0434\u043e\u0431\u0443\u0447\u0435\u043d\u043d\u0430\u044f PINN \u0434\u043b\u044f \u0434\u0435\u0439\u0441\u0442\u0432\u0438\u044f \u043c\u0430\u0442\u0440\u0438\u0447\u043d\u043e\u0439 \u044d\u043a\u0441\u043f\u043e\u043d\u0435\u043d\u0442\u044b\u0420\u0430\u0441\u0441\u043c\u043e\u0442\u0440\u0438\u043c \u043f\u043e\u0434\u0440\u043e\u0431\u043d\u0435\u0435, \u043a\u0430\u043a \u0443\u0441\u0442\u0440\u043e\u0435\u043d\u0430 \u0438 \u043e\u0431\u0443\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044f PINN, \u043a\u043e\u0442\u043e\u0440\u0430\u044f \u0432\u043e \u0432\u0442\u043e\u0440\u043e\u043c \u0432\u0430\u0440\u0438\u0430\u043d\u0442\u0435 \u0437\u0430\u043c\u0435\u043d\u044f\u0435\u0442 \u0432\u044b\u0447\u0438\u0441\u043b\u0435\u043d\u0438\u0435  \u0432\u043d\u0443\u0442\u0440\u0438 BuNN. \u041d\u0438\u0436\u0435 \u2014 &#8230;<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"footnotes":""},"categories":[],"tags":[],"class_list":["post-498915","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/498915","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=498915"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/498915\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=498915"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=498915"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/savepearlharbor.com\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=498915"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}