О критерии Лебега, или В чем была ошибка Кэрролла

Прочитав пост «Ломаем спички», я равнодушно пожал плечами. Это ж тривиальная задачка о непрерывности функций, мелкое развлекалово для третьего курса матфака. Есть и более весёлые её варианты, к примеру, тот, что на картинке слева.

К моему удивлению, обсуждение перевалило за 200 комментов, а слова «критерий Лебега» так и не прозвучали. Ну что же, придётся исправлять это недоразумение.

Disclaimer: т.к. набирать с клавиатуры математические формулы чудовищно неудобно, я буду писать пределы вот так: lim_{n → ∞} f(x), а интегралы вот так _a∫^bf(x)dx. Уж извините.

Итак, для начала нам нужно ввести понятие плотности вероятности. Кэрролл, вообще-то, неявно предполагает, что вероятность сломать спичку в любой точке одинаковая, т.е. f(x) = 1 (здесь x — точка разлома — изменяется от 0 до 1), хотя, по-хорошему, следовало задаться какой-то более реальной функцией. Впрочем, как будет показано ниже, вероятность сломать спичку ровно пополам равна нулю для любой непрерывной функции плотности распределения.

Если мы имеем некоторую функцию плотности, то из неё мы можем получить вероятность попадания в отрезок [a, b]:

g(a <= x <= b) = _a∫^bf(x)dx

Если же нам нужно попасть ровно в точку 0.5, то нам нужно посчитать вот такой предел:

lim_{δ → 0}(_{0.5 — δ}∫^{0.5 + δ}f(x)dx)

Если наша функция f(x) непрерывна в окрестности 0.5, то такой предел попросту равен разности первообразных:

lim_{δ → 0}(_{0.5 — δ}∫^{0.5 + δ}f(x)dx) = lim_{δ → 0} (F(0.5 + δ) — F(0.5 — δ)).

А так как первообразная непрерывной функции непрерывна, то такой предел попросту равен F(0.5) — F(0.5) = 0.

Таким образом, для всех распределений места разлома с непрерывной функцией плотности вероятности, вероятность сломать спичку ровно пополам всегда равна нулю.

Осталось выяснить, в чем была ошибка Кэрролла. Ну и троллфэйса с заглавной картинки.

Кэрролл строит своё распределение следующим образом: пусть изначально мы зададимся не непрерывным, а дискретным распределением. Вот таким, примерно:

F(x) =
1/n при 0 <= x < 1/n,
2/n при 1/n <= x < 2/n,
…
1 при (n-1)/n <= x < 1,

Плотность такого распределения равна: δ(x)/n при x = m/n; 0 для всех других x. Т.е. плотность разрывна в точках вида m/n.

Но, тем не менее, пользоваться формулой расчета вероятности попадания в отрезок через плотность вероятности мы можем. Почему? Потому что критерий Лебега интегрируемости функций гласит, что интеграл функции существует тогда и только тогда, когда функция под интегралом непрерывна почти всюду в смысле Лебега — т.е., непрерывна везде, кроме, быть может, не более чем счетного количества точек (множества нулевой меры в смысле Лебега).

Т.е. пока точек m/n конечное количество, всё ок, и рассуждения Кэрролла верны. Но вот если мы устремлям n → ∞, то происходит следующее.

Наша функция по-прежнему разрывна во всех точках вида m/n. Это, само по себе, не страшно — см. критерий, точек m/n счетное количество.

Однако, если мы рассмотрим любую другую точку, то заметим, что в любой окрестности любой точки отрезка обязательно найдутся точки вида m/n — а значит, функция f(x) стала разрывной ВО ВСЕХ точках отрезка [0, 1]. А значит, интеграл плотности вероятности попросту не существует. Ну а дальше путём каких-нибудь лёгких манипуляций можно получить любое наперёд заданное число, как было показано в исходном посте.

На закуску можете попробовать расстроить троллфейса и доказать, что пи не равно 4. Подсказка: длина кривой — это вот такой интеграл:

P.S. Я честно попытался объяснить попонятнее — что, кажется, у меня не очень-то получилось. Спрашивайте, где непонятно, не стесняйтесь.