Математическая модель злоумышленника и защита физических объектов

Данное литературное произведение представляет собой слабую попытку привлечь
ваше сознание к современной проблеме обеспечения безопасности физических объектов.
В этой истории рассматриваются только стационарные средства физической защиты (далее ФЗ)
и непрерывно передвигающийся нарушитель с переменной скоростью.

Представьте себе, что вам предложили возглавить службу безопасности…

Здесь возможны варианты: вам предложили возглавить службу безопасности президента, олигарха или ядерного объекта, расположенного в городе Ч-70.
Вам поставлена задача: повысить уровень обеспечения безопасности и предотвращения несанкционированного доступа к охраняемому объекту.

С чего бы вы начали свою трудовую деятельность на новом рабочем месте за массивным письменным столом?

Правильно. Вы разложите на этом столе карту охраняемого объекта.

На карте — загородная резиденция высокопоставленного чиновника или ядерный реактор.
И то, и другое расположены на местности, огороженной проволочным забором, именуемым на официальном языке термином «периметр», обозначенный буквой L_D.
На той же карте отображена и характеристика огороженой местности, как то леса, горы и прочие реки и особенности ландшафта.
Условными значками на ту же карту (секретную!) нанесены приборы обнаружения, посты часовых, минные поля и просто закопанные в землю потайные шумовые мины.
Также отмечены все дополнительные постройки, дороги, тропинки и прочие пути сообщения. Охраняемое здание помечено на карте буквой M₀.

Поставьте себя на место человека, которого в дальнейшем будем именовать «нарушитель».
Каким образом нарушителю «удобнее» всего добраться до своей цели, помеченного буквой M₀?

Основные вопросы

Два основных вопроса, которые Вы должны решить, приступая к непосредственному исполнению своих новых обязанностей.

1. Что такое «эффективность системы физической защиты»?
   Неопределённость смысла этого термина приведёт к тому, что, как в сказке, вам придётся найти то, не зная что, и сделать при этом неведомо что
2. Как строили свою работу ваши предшественники на вашем новом посту?
   Какими методами решали возникающие задачи?

На первый вопрос ответ лежит на поверхности- под эффективностью системы ФЗ понимается вероятность обнаружения нарушителя
и пресечения его преступных умыслов.

С точки зрения безопасности вероятность означает, что если из ста (100) нарушителей, независимо друг от друга выбравших свой маршрут к цели, десять (10) благополучно её достигнут, то вероятность достижения цели равна 0.1.

Если из ста нарушителей половина доберётся до домика, помеченного буквой M₀, то это будет уже не вероятность, а проходной дом.
А если без шуток, то вероятность составит в этом случае ровно 0.5.

Правда, при пользовании таким определением возникает вопрос — на каждом возможном пути нарушителя от периметра к намеченной цели такая вероятность разная и не совпадает с только что посчитанной.
Нарушителю может повезти — он не встретит ни одного часового, у него никто не попросит предъявить пропуск.
Напротив, встретив на пути часового и не имея при себе пропуска нарушитель обнаруживает себя мгновенно.
Наступив на мину, нарушитель также мгновенно обнаруживает себя (вернее, часовые обнаруживает его останки).

А избрав для своего движения встреченный по пути овраг, нарушитель долгое время не обнаруживает себя и может подобраться близко к своей цели.
Пересекая систему охраны, снабжённую сигнализацией, нарушителю с какой-то долей вероятности может преодолеть и её
(например, имея в кармане средство нейтрализации электронных систем защиты, или случайно преодолевая систему в момент её ремонта).

Возникают два дополнительных вопроса: как найти вероятность преодоления того или иного препятствия (средства ФЗ), и как перебрать все возможные траектории следования нарушителя, чтобы выбрать ту, на которой вероятность успеха нарушителя максимальна.
Если первую задачу решают создатели средств защиты, и все нужные данные вы можете найти в секретных справочниках,
то перебрать все мыслимые пути просто невозможно.

Основная формула

И вы выписываете первую формулу, чтобы хоть что нибудь написать и придать наукообразный вид вашей проблеме

Лаконичность языка математики не позволяет несведущему что-либо понять в этой записи.
Но у Вас — математическое образование, и вы легко переводите написанное на русский язык:

эффективность системы ФЗ есть минимум из всех возможных вероятностей обнаружения нарушителя на множестве всех возможных траекториях его движения от периметра L_D до цели M₀.

Мы уже говорили, что перебор всех траекторий невозможен и мы плавно перешли ко второму вопросу — как обходили эту невозможность ваши предшественники на посту руководителя службы безопасности?

Изучение этого вопроса заняло также не очень много времени.

Классическая теория ФЗ

Ваши предшественники брали лист бумаги с картой, разбивали всю охраняемую территорию на под-области, каждую под-область заменяли кружком, и затем соединяли нарисованные кружки отрезками прямых.
На полученном рисунке, который в науке называется «граф», отрезки прямых, именуемые «рёбрами графа», снабжали некоторыми числами, означающими вероятности обнаружения при перемещении по этому ребру.
В реальности никаких рёбер не существует. Данный граф является только математической моделью охраняемого объекта, ею удобно пользоваться, поскольку существует развитая теория графов, позволившая, во-первых, свести бесконечное число мыслимых перемещений нарушителя к конечному множеству путей ( рёбра графа) и эффективного нахождения такого пути следования по рёбрам графа, который даёт минимальную из возможных (подчёркиваю- в силу конечности траекторий в модели охраняемого объекта!) вероятностей обнаружения.

Таким образом, мы имеем возможность найти значение эффективности системы ФЗ.
Правда, при этом этом сохраняется большая доля субъективности при замене реальной карты графом, соединении вершин рёбрами, приписывании каждому ребру вероятности обнаружения и много другого.
Субъективность пытаются уменьшить, сводя процедуру замены реальной карты графом к набору стандартных замен, но это только ЕДИНООБРАЗИЕ процедуры, а отнюдь не повышение объективности. Такой ценой досталась вашим предшественникам переход от бесконечности к «конечности».

Вы с удивлением обнаружили, изучая секретную литературу, что так поступают во ВСЁМ МИРЕ!
И вам это, как бывшему студенту мех-мата, категорически не нравится.

Основы непрерывного алгоритма ФЗ

Первое: надо отказаться от навязывания нарушителю маршрутов передвижения, то есть надо отказаться от замены бесконечного множества траекторий их конечным набором.

Каждой точке охраняемой территории M ставится в соответствие «функция распределения» случайной величины, которой является время обнаружения субъекта, неподвижно находящегося в этой точке. Эта функция получается, исходя из характеристики местности, просматриваемости этой точки с постов наблюдения (как часовых, так и приборов) и прочих факторов.
Замечу, эта процедура пока не формализована!

Вместо функции распределения в дальнейшем используется её производная, называемая «плотностью функции распределения»,
и даже не сама эта производная, а её значение при значении аргумента t равного нулю.

Эта функция называется «функцией риска» и, определённая во всех точках области, образует поле риска p(M).
На рисунке представлена территория с определённой таким образом полем риска,
на котором светлым тоном представлены области с минимальным значением этой функции, а темным — максимальным.
На этом же рисунке красной линией изображён один из возможных (их бесконечное множество!) маршрутов нарушителя.

Траектория проходит по точкам и «аккумулирует» все встреченные значения функции риска. Точными математическими средствами удаётся связать термин «эффективность» со следующей формулой

Интеграл представляет собой криволинейный интеграл первого рода по кривой, являющейся траекторией движения нарушителя.
Функция V(M) есть скорость нарушителя. Задав вид кривой, вы без труда найдёте вероятность достижения цели нарушителем, и, одновременно, вероятность его обнаружения. Обе эти величины в сумме равны единице.
Эффективность системы ФЗ приобретает несколько другое, более содержательное, чем прежде, выражение

Перед нами — классическая задача вариационного исчисления.
Правда, классические методы поиска как точного решения, так и приближённого, годятся в задачах безопасности крайне редко.
И поэтому красивое и краткое выражение для эффективности бесполезно до тех пор, пока не появится эффективное средство решения указанной задачи вариационного исчисления.

Эффективное средство решения задачи вариационного исчисления

Глядя на написанный функционал, припомните лекции по физике.
Ничего не напоминает? Именно в разделе «геометрическая оптика» такой интеграл называется «эйконал». Его минимум на всех возможных путях «фотона» даёт время прохождения света от источника до приёмника. В физике это называется «принцип Ферма».

Стало быть, найдена замечательная аналогия между реальным светом и абстрактным понятием «безопасность». Если представить картинку, нарисованную выше как неоднородную оптическую среду с местной скоростью света, то свет ( «фотон»), испущенный одновременно из всех точек периметра L_D, достигнет цели M₀ за время, равное эффективности системы ФЗ, представленной нарисованной картинкой поля риска, а его (света) путь совпадёт с оптимальной траекторией движения нарушителя. Бинго.

Фронт световой волны

Достаточно просто строится фронт световой волны, испущенной точками границы области — принцип Гюйгенса всё той же оптики гласит, что каждая точка фронта световой волны может рассматриваться как источник света.

Стало быть, построив набор окружностей с центрами, лежащими на прежней линии фронта и радиусами, равными, (где достаточно малый промежуток времени), а затем построив огибающую всех построенных таким образом окружностей, мы получим новое положение фронта волны.

Сложнее построить траекторию «нужного фотона», который и определит наиболее безопасный для нарушителя путь и, одновременно, укажет службе охраны наиболее уязвимое место защиты. Я строил такой алгоритм в приложении типа лабиринт под iOS, но он не оптимален и нуждается в модернизации.

Кроме того существует задача переноса полученного алгоритма в трёхмерное пространство, что позволит эффективно решать пространственные задачи безопасности.