5 интересных вероятностных парадоксов

Я постарался выбрать самые интересные парадоксы, и коротко описать их суть и объяснение.

Речь пойдет о таких математических вероятностных парадоксах:
1. Парадокс дней рождения
2. Парадокс мальчика и девочки
3. Парадокс Монти-Холла
4. Парадокс спящей красавицы
5. Парадокс двух конвертов

Парадокс дней рождения

Суть:
Если дана группа из 23 или более человек, то вероятность того, что хотя бы у двух из них дни рождения совпадут, превышает 50%. А для 60 и более человек, вероятность такого совпадения превышает 99%.
(Под днем рождения подразумевается месяц и день рождения).

Пример:
В классе учится 30 учеников, тогда вероятность того, что день рождения хотя бы двух из них совпадут, больше вероятности того, что все ученики класса имеют разные дни рождения.

Пример из личной жизни: в моей академической группе в количестве 15 человек, у двоих дни рождения совпадают.

Я не буду заниматься выводом формул, но скажу только, что в данном примере для расчета вероятности того, что в группе из n человек как минимум у двух дни рождения совпадут, принимается что дни рождения распределены равномерно (нет високосных лет, близнецов, рождаемость не зависит от дня недели и т. д.)
Итак, конечная формула для расчета вероятности совпадения дня рождения, хотя бы у двух человек из n:

где

Таблица уже рассчитанных вероятностей для некоторых значений n:

Парадокс мальчика и девочки

Суть:
У мистера Смита два ребенка, причем покрайней мере один из них — мальчик. Какова вероятность того, что второй — тоже мальчик?

Существует четыре равновероятных возможности:
1. Старший — мальчик, младший — девочка
2. Старшая — девочка, младший — мальчик
3. И старший и младший — мальчики
4. И старшая и младшая — девочки

Задача неоднозначная, так как постановку можно истолковать по разному, поэтому остановимся на конкретном примере.

Пусть старший ребенок — девочка. Тогда какова вероятность того, что оба ребенка — девочки?

Так как, нам известно, что старший ребенок — девочка, то первый и третий варианты не подходят.
Тогда вероятность того, что оба ребенка девочки равна 1/2.

Еще пример:
Имеется 4000 семей с двумя детьми.
В первой группе из 2000 человек первым родился мальчик.
Во второй группе из 2000 семей первой родилась девочка.
В первой группе в 1000 семьях вторым ребенком родился мальчик и 1000 семей, в которых в которых вторым ребенком родился мальчик.
Во второй группе — 1000 семей, у которых вторым ребенком родился мальчик, и 1000 — девочка.

В итоге 1000 семей с двумя мальчиками, 1000 — с двумя девочками, 2000 — где дети разных полов. 1000 семей, в которых обе девочки, нас не интересуют по условию задачи, так как у Смита один из детей — мальчик.
Тогда из 3000 семей, только в 1000 мальчики и в 2000 мальчик и девочка.
Таким образом, с вероятностью 2/3 можем предположить, что дети разных полов.

Парадокс Монти-Холла (задача трех узников)

Суть:
Трое заключенных, A, B и С заключены в одиночные камеры и приговорены к смертной казни. Губернатор случайным образом выбирает одного из них и милует его. Стражник, охраняющий заключенных, знает, кто помилован, но не имеет права сказать этого. Заключенный A просит стражника сказать ему имя того (другого) заключенного, кто точно будет казнен: «если B помилован, скажи мне, что казнен будет C. Если помилован C, скажи мне, что казнен будет B. Если они оба будут казнены, а помилован я, подбрось монету, и скажи любое имя».
Стражник говорит заключенному A, что заключенный B будет казнен. Заключенный A рад это слышать, поскольку он считает, что теперь вероятность его выживания стала 1/2, а не 1/3 как была до этого. Заключенный A тайно говорит заключенному С, что B будет казнен. Заключенный С также рад это слышать, поскольку он все ещё полагает, что вероятность выживания заключенного А — 1/3, а его вероятность выживания возросла до 2/3. Как такое может быть?

Ошибка в рассуждении А состоит в том, что он не перечислил всех возможных событий должным образом. То есть, узник неправильно построил пространство элементарных событий.

Он считает, что опыт имеет три возможных исхода: освобождение пар AB, AC, BC с равными вероятностями. С точки зрения заключенного — это правильно построенное пространство элементарных событий для эксперимента, проводимого администрацией, которая освобождает двух узников из трех. Но эксперимент A включает еще один момент — ответ охранника.

Возможные исходы для такого эксперимента и разумные вероятности для них будут:
1. A и B освобождаются, и охранник говорит B, вероятность 1/3.
2. A и C освобождаются, и охранник говорит C, вероятность 1/3.
3. B и C освобождаются, и охранник говорит B, вероятность 1/6.
4. B и C освобождаются, и охранник говорит C, вероятность 1/6.

Если на вопрос A охранник отвечает B, то апостериорная вероятность освобождения А равна вероятности исхода 1, деленной на сумму вероятностей исходов 1 и 3.

Таким образом, используя теорему Байеса, можем вычислить вероятность освобождения A:


Получается, заключенный А своим вопросом просто узнает тот факт, что один из заключенных B и С будет казнен, что и так ясно из условий задачи.

Парадокс спящей красавицы

Суть:
Испытуемой делается укол снотворного. Бросается симметричная монета.
В случае выпадения орла: её будят, и эксперимент на этом заканчивается.
В случае выпадения решки: её будят, делают второй укол (после чего она забывает о побудке) и будят на следующий день, не бросая монеты (в таком случае эксперимент идёт два дня подряд). Вся эта процедура Красавице известна, однако у неё нет информации, в какой день её разбудили.
Представьте себя на месте Спящей красавицы. Вас разбудили. Какова вероятность того, что монета упала решкой?

Подсчёт вероятностей здесь зависит от того, с какой стороны взглянуть на вопрос – со стороны выпадения монеты или со стороны количества пробуждений. Если предположить, что вас разбудили второй раз, то в этом случае выпала решка.
Парадокс показывает, как можно манипулировать данными статистики, пользуясь неоднозначностью ситуации.

Решение 1. 
У вас нет никакой информации о результате выпадения монеты и предыдущих побудках. Поскольку известно, что монета честная, можно предположить, что вероятность решки 1/2.

Решение 2. 
Проведём эксперимент 1000 раз. Спящую красавицу будят в среднем 500 раз с орлом и 1000 раз с решкой (т.к. в случае решки спящую красавицу спрашивают 2 раза). Поэтому вероятность решки 2/3.

Существуют и другие формы парадокса, такие как парадокс рассеянного водителя например.

Парадокс двух конвертов

Суть:
Есть два неразличимых конверта с деньгами. В одном находится сумма в два раза большая, чем во втором. Величина этой суммы неизвестна. Конверты дают двум игрокам. Каждый из них может открыть свой конверт и пересчитать в нём деньги. После этого игроки должны решить: стоит ли обменять свой конверт на чужой?

Оба игрока рассуждают следующим образом. Я вижу в своём конверте сумму x. В чужом конверте равновероятно может находиться 2x или x/2. Поэтому если я поменяю конверт, то у меня в среднем будет , то есть больше, чем сейчас. Значит, обмен выгоден. Однако обмен не может быть выгоден обоим игрокам. Где в их рассуждениях кроется ошибка?

Решение:
Допустим, в первом конверте игрок обнаруживает сумму Х. Тогда, математическое ожидание суммы во втором конверте будет

Надо всегда брать второй конверт, поскольку такая тактика в среднем дает больший выигрыш.
Вот сейчас абсурдность решения стала еще более очевидна: поскольку нам не важно значение Х, то мы можем и не вскрывать конверт, а просто сразу выбрать второй в котором в среднем лежит 1,25*Х.
Обозначим 1,25*Х за Y и по аналогии находим, что в первом конверте лежит сумма 1,25*Y.
Надо брать первый конверт. Так просто тыкая пальцем в конверты по очереди мы все время увеличиваем наш капитал, пока нам это не надоест!

В чем подвох? В том, что задача сформулирована не полно, она просто не имеет решения в такой формулировке, как не имеет решения система двух линейных уравнений с тремя неизвестными.