Разрезание на две равные части, часть вторая

Итак, дорогие друзья, вчера мы с вами поговорили о параллельном переносе, а сегодня займёмся поворотом. Это будет интересно. Сейчас быстренько вспомним терминологию — и вперёд.

Случай 2: поворот

Поворот, как известно, характеризуется двумя параметрами: точкой, вокруг которой всё вертится (центром поворота), и углом, на который поворот происходит. Мы начнём с поиска возможного центра поворота. Для начала творчески переработаем терминологию, введённую в первой части.

Секущими теперь будут окружности с центром в центре поворота (пардоньте за тавтологию). Сечениями — пересечения этих окружностей с фигурой. Границами — окружности, относительно которых фигура за вычетом сечения находится либо целиком внутри, либо целиком снаружи. В первом случае это будет внешняя граница, во втором — внутренняя граница. Отметим, что внутренняя граница существует тогда и только тогда, когда центр поворота находится вне фигуры (если считать фигуру замкнутой, добавил бы дотошный математик).

В этих условиях остаются справедливыми леммы 1 и 2 из первой части, чем мы невозбранно воспользуемся.

Случай 2.1: центр поворота вне фигуры

Сейчас я нарисую красивую разноцветную картинку. Каждый цвет обозначает геометрическое место точек, для которых, будь они центром поворота, дальнее граничное сечение состояло бы из одной конкретной вершины фигуры A₀ (каждой вершине соответствует свой цвет, это показано на картинке). Поскольку граничное, да и любое другое сечение не может состоять из единственной точки (см. лемму 1), центр поворота может находиться лишь на чёрных линиях между цветными областями. Если кому интересно, откуда мы берём чёрные линии — это срединные перпендикуляры к соответствующим отрезкам.

Потом я нарисую другую разноцветную картинку, на этот раз — для ближних границ. Обратите внимание на то, что ближайшая точка к центру поворота, в отличие от дальней, не обязана быть вершиной — она может также лежать на стороне (области, соответствующие сторонам, раскрашены оттенками серого). Границы между областями, соответствующими стороне и вершине при этой стороне, не подходят для размещения центра поворота (при этом ближнее граничное сечение всё равно состояло бы из одной точки), ввиду чего я нарисовал их пунктиром. Толстая чёрно-жёлто-чёрная граница представляет собой кусок параболы (именно такую форму имеет граница между областью при стороне и областью при вершине, не принадлежащей этой стороне ). Я бы хотел сказать, что жёлтая полоса посередине параболической дуги — это фича, но на самом деле это непонятный неустранимый артефакт, возникший на стыке двух криволинейных областей.

Из этой картинки (все сходства с кислотным приходом случайны и непредумышленны) видно, что ограничение, накладываемое на ближнюю границу, оставляет не так много мест, где мог бы располагаться центр поворота: луч внизу и сложная хреновина (отрезок, переходящий в дугу параболы, которая затем переходит в луч) вверху. Теперь осталось лишь наложить картинки друг на друга и посмотреть, какие точки являются «допустимыми» и на той, и на другой.

Нетрудно заметить, что таких точек только две (я обозначил их O₁ и O₂). Однако могут ли они на самом деле быть центрами поворота, переводящего друг в друга гипотетические равные куски фигуры A₀? Очевидно, нет. Тогда дуги между парами точек на ближней и дальней границе имели бы одинаковую угловую меру, поскольку угол поворота не зависит от расстояния до центра. В то же время угловые меры всех четырёх дуг (см. рисунок) различны. Таким образом, случай центра вне фигуры можно считать закрытым.

Вывод

Если фигура А₀ и может быть разрезана на две равные фигуры В и С, то движение, переводящее В в С не может быть не только параллельным переносом, но и поворотом, центр которого находится вне фигуры. Случай поворота с центром внутри фигуры я решил вынести в отдельную статью: из-за незамеченных ранее технических трудностей объём доказательства для этого случая изрядно раздулся. Продолжение следует.