Я знаю, что ты знаешь, что я знаю, что ты знаешь…

Вопрос

Иногда в жизни бывают ситуации, которые описываются предложениями типа: «я знаю, что ты знаешь, что я знаю… что-то». Представьте себе, что вы испекли вишневый пирог и положили его остывать на подоконнике, а я потом втихаря его съел. Приведем список все более и более сложных предложений, которые все ближе и ближе подводят нас к полному знанию о происходящем. Например,

: «Я знаю, что вы испекли пирог и положили его остывать на подоконник; но вы не знаете, что я знаю». В таком случае, если я съем пирог, то об этом скорее всего никто и не узнает.

: «Я знаю, что вы испекли пирог и положили его остывать на подоконник; вы знаете, что я знаю; но я не знаю, что вы знаете, что я знаю». Если я съем пирог, то это может привести к довольно к щекотливой ситуации для меня.

: «Я знаю, что вы испекли пирог и положили его остывать на подоконник; вы знаете, что я знаю; я знаю, что вы знаете, что я знаю; но вы не знаете, что я знаю. что вы знаете, что я знаю». В таком случае после того как я съем пирог у меня останется надежда вывернуть ситуацию так, что вы не узнаете о моем преступлении.
…

Для маленьких значений , я еще могу вообразить, как при переходе от предложения к действительно меняется суть происходящего. Но я совершенно не могу вообразить, как, скажем, переход от к может повлиять на мою стратегию действий после того, как я съем пирог.

Есть ли какие-либо ситуации в жизни, будь-то реальные или искусственные, где переход от к для больших значений может реально повлиять на стратегию действий? А что насчет ? Как такие ситуации моделируются в математике?

Ответ

У меня с женой есть договоренность, что я всегда забираю со школы нашего сына Горация, а она забирает нашу дочь Гипатию. В один день так получилось, что я зная, что буду близко к школе дочери, написал имэйл своей жене: «Сегодня я заберу Гипатию, а ты забери Горация. Пожалуйста подтверди, что ты прочитала сообщение. Иначе действуем как обычно». Жена ответила мне по смске: «ОК, давай так и сделаем, но подтверди, что ты прочитал сообщение, чтобы я точно знала мы действительно меняемся». Тогда я ей оставил голосовое сообщение: «Да, мы определенно меняемся, как только я узнаю, что ты получила это сообщение». Тогда она написала мне имейл: «Я получила твое сообщение. Мы меняемся. Но дай мне знать, что ты прочитал мое письмо, чтобы я могла рассчитывать на тебя». Видите ли, без подтверждения она не могла быть уверена, что я получил подтверждение ее подтверждения моего первого сообщения. Без него она могла бы заключить, что план поменяться обязанностями придется отменить. И так до бесконечности…

Как же нам было обидно, что ни на одной из стадий нашего «разговора» мы не могли быть уверенными, что второй из нас обладает всей необходимой информацией, чтобы следовать предложенному мною плану. В результате, из-за того, что у нас была возможность обменяться лишь конечным числом сообщений, мы приняли решение — отказаться от предложенного мною плана. Мы оба независимо друг от друга пришли к такому, единственно правильному, решению.

Действительно, мое первое сообщение требовало подтверждения, чтобы предложенный мною план мог бы вступить в силу. Более того, если мы на секундочку представим, что -ое сообщение не требует подтверждения, то отсюда сразу же следует, что совершенно неважно оно будет прочитано или нет. Значит его и не надо посылать. По индукции мы получаем, что никакое количество подтверждений недостаточно, чтобы воплотить мой план.

P.S. Дополнительно можете посмотреть задачу двух генералов.