Об одной особенности теоремы Котельникова

Написать данную статью меня вдохновила следующая задача:

Как известно из теоремы Котельникова, для того, чтобы аналоговый сигнал мог быть оцифрован а затем восстановлен, необходимо и достаточно, чтобы частота дискретизации была больше или равна удвоенной верхней частоте аналогого сигнала. Предположим, у нас есть синус с периодом 1 секунда. Тогда f = 1∕T = 1 герц, sin((2 ∗ π∕T) ∗ t) = sin(2 ∗ π ∗ t), частота дискретизации 2 герца, период дискретизации 0,5 секунды. Подставляем значения, кратные 0,5 секунды в формулу для синуса sin(2 ∗ π ∗ 0) = sin(2 ∗ π ∗ 0,5) = sin(2 ∗ π ∗ 1) = 0
Везде получаются нули. Как же тогда можно восстановить этот синус?

Поиск в интернете ответа на данный вопрос не дал, максимум того, что удалось найти — это различные дискуссии на форумах, где приводились довольно причудливые аргументы за и против вплодь до ссылок на эксперименты с различными фильтрами. Следует указать, что теорема Котельникова — это математическая теорема и доказывать или опровергать ее следует только математическими методами. Чем я и занялся. Оказалось, что доказательств этой теоремы в различных учебниках и монографиях достаточно много, но найти, где возникает данное противоречие мне долгое время не удавалось, поскольку доказательства приводились без многих тонкостей и деталей. Скажу также, что и сама формулировка теоремы в разных источниках была различной. Поэтому в первом разделе я приведу детальное доказательство этой теоремы, следуя оригинальной работе самого академика (В.А.Котельников ‘О пропускной способности «эфира»и проволоки в электросвязи.’ Материалы к I Всесоюзному съезду по вопросам технической реконструкции дела связи и развития слаботочной промышленности. 1933 г.)

Сформулируем теорему, как она дана в первоисточнике:
Любую функцию F(t), состоящую из частот от 0 до f1 периодов в секунду, можно представить рядом

где k — целое число; ω = 2πf1; Dk — постоянные, зависящие от F(t).

Доказательство: Любая функция F(t), удовлетворяющая условиям Дирихле (конечное число максимумов, минимумов и точек разрыва на любом конечном отрезке) и интегрируемая в пределах от −∞ до +∞, что вседа в электротехнике имеет место, может быть представлена интегралом Фурье:

т.е. как сумма бесконечного количества синусоидальных колебаний с частотами от 0 до +∞ и амплитудами C(ω)dω и S(ω)dω, зависящими от частоты. Причем

В нашем случае, когда F(t) состоит лишь из частот от 0 до f1, очевидно

при

и поэтому F(t) может быть представлена так:

функции же C(ω) и S(ω), как и всякие другие на участке

могут быть представлены всегда рядами Фурье, причем эти ряды могут, по нашему желанию состоять из одних косинусов или одних синусов, если мы возьмем за период двойную длину участка, т.е. 2ω1.

Примечание автора: здесь надо дать пояснение. Котельников использует возможность дополнить функции C(ω) и S(ω) таким образом, чтобы C(ω) стала четной, а S(ω) нечетной функцией на двойном участке относительно ω1. Соответственно на второй половине участка значения этих функций будут C(2∗ω1 −ω) и −S(2∗ω1 −ω). Эти функции отражаются относительно вертикальной оси с координатой ω1, а функция S(ω) еще и меняет знак

Таким образом

Введем следующие обозначения

Тогда

Подставляя получаем:

Преобразуем

Еще преобразуем

Интегрируем и заменяем ω1 на 2πf1:

Неточность в теореме Котельникова

Все доказательство выглядит строгим. В чем же проблема? Для понимания этого обратимся к одному не очень широко известному свойству обратного преобразования Фурье. Оно гласит, что при обратном преобразовании из суммы синусов и косинусов в исходную функцию, значение этой функции будет равно

то есть восстановленная функция равна полусумме значений пределов. К чему это приводит? Если наша функция непрерывная, то ни к чему. Но если в нашей функции есть конечный разрыв, то значения функции после прямого и обратного преобразования Фурье будут несовпадать с исходным значением. Вспомним теперь шаг в доказательстве теоремы, где интервал удваивается. Функция S(ω) дополняется функцией −S(2 ∗ ω1 − ω). Если S(ω1) (значение в точке ω1) равно нулю, ничего плохого не происходит. Однако если значение S(ω1) не равно нулю, восстановленная функция не будет равна исходной, поскольку в этой точке возникает разрыв равный 2S(ω1).
Вернемся теперь к исходной задаче про синус. Как известно, синус — нечетная функция, образ которой после преобразования Фурье есть δ(ω − Ω0) — дельта функция. То есть в нашем случае, если синус имеет частоту ω1, получаем:

Очевидно, что в точке ω1 суммируюся две дельта-функции от S(ω) и −S(ω) образуя ноль, что мы и наблюдаем.

Заключение

Теорема Котельникова, безусловно, великая теорема. Однако она должна быть дополнена еще одним условием, а именно

В такой формулировке исключаются граничные случаи, в частности случай с синусом у которого частота равна граничной частоте ω1, поскольку для него использовать теорему Котельникова с приведенным выше условием нельзя.