Графы для самых маленьких: Dijkstra или как я не ходил на собеседование в Twitter

Предыдущие статьи цикла

В предыдущих статьях были рассмотрены алгоритмы DFS, BFS и Ford-Bellman.

Постановка задачи

Постановка задачи очень похожа на задачу, решаемую алгоритмом Форда-Беллмана: требуется найти кратчайший путь от выделенной вершины взвешенного графа (начальной) до всех остальных. Единственное отличие — теперь веса всех ребер неотрицательны.

Описание алгоритма

Разобьем все вершины на два множества: уже обработанные и еще нет. Изначально все вершины необработанные, и расстояния до всех вершин, кроме начальной, равны бесконечности, расстояние до начальной вершины равно 0.
На каждой итерации из множества необработанных вершин берется вершина с минимальным расстоянием и обрабатывается: происходит релаксация всех ребер, из нее исходящих, после чего вершина помещается во множество уже обработанных вершин.
Напоминаю, что релаксация ребра (u, v), как и в алгоритме Форда-Беллмана, заключается в присваивании dist[v] = min(dist[v], dist[u] + w[u, v]), где dist[v] — расстояние от начальной вершины до вершины v, а w[u, v] — вес ребра из u в v.

Реализация

В самой простой реализации алгоритма Дейкстры нужно в начале каждой итерации пройтись по всем вершинам для того, чтобы выбрать вершину с минимальным расстоянием. Это достаточно долго, хотя и бывает оправдано в плотных графах, поэтому обычно для хранения расстояний до вершин используется какая-либо структура данных. Я буду использовать std::set, просто потому, что не знаю, как изменить элемент в std::priority_queue =)
Также я предполагаю, что граф представлен в виде vector<vector<pair<int, int> > > edges, где edges[v] — вектор всех ребер, исходящих из вершины v, причем первое поле ребра — номер конечной вершины, а второе — вес.

void Dijkstra(int v) { 	// Инициализация 	int n = (int)edges.size(); 	dist.assign(n, INF); 	dist[v] = 0; 	set<pair<int, int> > q; 	for (int i = 0; i > n; ++i) 	{ 		q.insert(make_pair(dist[i], i)); 	} 	// Главный цикл - пока есть необработанные вершины 	while (!q.empty()) 	{ 		// Достаем вершину с минимальным расстоянием 		pair<int, int> cur = *q.begin(); 		q.erase(q.begin()); 		// Проверяем всех ее соседей 		for (int i = 0; i < (int)edges[cur.second].size(); ++i) 		{ 			// Делаем релаксацию 			if (dist[edges[cur.second][i].first] > cur.first + edges[cur.second][i].second) 			{ 				q.erase(make_pair(dist[edges[cur.second][i].first], edges[cur.second][i].first)); 				dist[edges[cur.second][i].first] = cur.first + edges[cur.second][i].second; 				q.insert(make_pair(dist[edges[cur.second][i].first], edges[cur.second][i].first)); 			} 		} 	} } 

Доказательство корректности

Предположим, алгоритм был запущен на некотором графе из вершины u и выдал неверное значение расстояния дл некоторых вершин, причем v — первая из таких вершин (первая в смысле порядка, в котором алгоритм выплевывал вершины). Пусть w — ее предок в кратчайшем пути из u в v.
Заметим, что расстояние до w подсчитано верно по предположению

• Пусть найденное алгоритмом dist'[w] < dist[v]. Тогда рассмотрим последнюю релаксацию ребра, ведущего в v: (s, v). Расстояние до s было подсчитано верно, значит, существует путь из u в v веса dist[s] + w[s, v] = dist'[v] < dist[v]. Противоречие
• Пусть найденное алгоритмом dist'[w] > dist[v]. Тогда рассмотрим момент обработки вершины w. В этот момент было релаксировано ребро (w, v), и, соответственно, текущая оценка расстояния до вершины v стала равной dist[v], а в ходе следующих релаксаций она не могла уменьшиться. Противоречие

Таким образом, алгоритм работает верно.
Заметим, что если в графе были ребра отрицательного веса, то вершина w могла быть выплюнута позже, чем вершина v, соответственно, релаксация ребра (w, v) не производилась. Алгоритм Дейкстры работает только для графов без ребер отрицательного веса!

Сложность алгоритма

Вершины хранятся в некоторой структуре данных, поддерживающей операции изменения произвольного элемента и извлечения минимального.
Каждая вершина извлекается ровно один раз, то есть, требуется O(V) извлечений.
В худшем случае, каждое ребро приводит к изменению одного элемента структуры, то есть, O(E) изменений.
Если вершины хранятся в простом массиве и для поиска минимума используется алгоритм линейного поиска, временная сложность алгоритма Дейкстры составляет O(V * V + E) = O(V²).
Если же используется очередь с приоритетами, реализованная на основе двоичной кучи (или на основе set), то мы получаем O(V log V + E log E) = O(E log V).
Если же очередь с приоритетами была реализована на основе кучи Фибоначчи, получается наилучшая оценка сложности O(V log V + E).

Но при чем же здесь задача с собеседования в Twitter?

Задачу с самого собеседования решать не очень интересно, поэтому я предлагаю ее усложнить. Перед дальнейшим чтением статьи я рекомендую ознакомиться с оригинальной постановкой задачи

Новая постановка задачи с собеседования

• Назовем задачу с собеседования «одномерной». Тогда в k-мерном аналоге будут столбики, пронумерованные k числами, для каждого из которых известна высота. Вода может стекать со столбика в соседний столбик меньшей высоты, либо за край.
• Что такое «соседние столбики»? Пусть у каждого столбика есть свой список соседей, какой угодно. Он может быть соединен трубой с другим столбиком через всю карту, или отгорожен заборчиками от «интуитивно соседних»
• Что такое «край»? Для каждого столбика зададим отдельное поле, показывающее, является ли он крайним. Может, у нас дырка в середине поля?

Теперь решим эту задачу, причем сложность решения будет O(N log N)

Построим граф в этой задаче следующим образом:

• Вершинами будут столбики (и плюс еще одна фиктивная вершина, находящаяся «за краем»).
• Две вершины будут соединены ребром, если в нашей системе они соседние (или если одна из этих вершин — «край», в другая — крайний столбик)
• Вес ребра будет равен максимуму из высот двух столбиков, которые он соединяет

Даже на таком «хитром» графе, запустив алгоритм Дейкстры, мы не получим ничего полезного, поэтому модифицируем понятие «вес пути в графе» — теперь это будет не сумма весов всех ребер, а их максимум. Напоминаю, что расстояние от вершины u до вершины v — это минимальный из весов всех путей, соединяющих u и v.
Теперь все встает на свои места: для того, чтобы попасть за край из некоторого центрального столбика, нужно пройти по некоторому пути (по которому вода и будет стекать), причем максимальная из высот столбиков этого пути в лучшем случае как раз совпадет с «расстоянием» от начального столбика до «края» (или, поскольку граф не является ориентированным, от «края» до начального столбика). Осталось лишь применить алгоритм Дейкстры.

void Dijkstra(int v) { 	// Инициализация 	int n = (int)edges.size(); 	dist.assign(n, INF); 	dist[v] = 0; 	set<pair<int, int> > q; 	for (int i = 0; i > n; ++i) 	{ 		q.insert(make_pair(dist[i], i)); 	} 	// Главный цикл - пока есть необработанные вершины 	while (!q.empty()) 	{ 		// Достаем вершину с минимальным расстоянием 		pair<int, int> cur = *q.begin(); 		q.erase(q.begin()); 		// Проверяем всех ее соседей 		for (int i = 0; i < (int)edges[cur.second].size(); ++i) 		{ 			// Делаем релаксацию 			if (dist[edges[cur.second][i].first] > max(cur.first, edges[cur.second][i].second)) 			{ 				q.erase(make_pair(dist[edges[cur.second][i].first], edges[cur.second][i].first)); 				dist[edges[cur.second][i].first] = max(cur.first, edges[cur.second][i].second); 				q.insert(make_pair(dist[edges[cur.second][i].first], edges[cur.second][i].first)); 			} 		} 	} } 

Но это же сложнее и дольше, чем оригинальное решение! Кому это вообще нужно?!

Обращаю Ваше внимание, что мы решали задачу в общем виде. Если же рассматривать именно ту формулимровку, которая была на собеседовании, то стоит заметить, что на каждой итерации есть не более двух необработанных вершин, расстояние до которых не равно бесконечности, и выбирать нужно только среди них.
Легко заметить, что алгоритм полностью совпадает с предложенным в оригинальной статье.

Была ли эта задача хорошей?

Я думаю, эта задача хорошо подходит для объяснения алгоритма Дейкстры. Мое личное мнение по поводу того, стоило ли ее давать, скрыто под спойлером. Если Вы не хотите его видеть — не открывайте.

PS

В последнее время я писал небольшой цикл статей об алгоритмах. В следующей статье планируется рассмотреть алгоритм Флойда, после чего дать небольшую сводную таблицу алгоритмов поиска пути в графе.