![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/e8b/a7c/822/e8ba7c82299d5bb7c46103e9d612efdb.png)
animation
, который можно установить из CRAN.install.packages("animation") library(animation)
Стоит отметить, что animation
в процессе обработки изображений использует пакет программ ImageMagick, так что его желательно установить заранее. Под Windows работоспособность этого решения я не проверял.
Для создания анимированного графика нам, в общем-то, понадобится всего одна функция такого вида:
saveGIF({ # Какой-то код, генерирующий последовательность графиков }, movie.name=..., interval=..., ani.width=..., ani.height=...)
Так получилось, что в то время я проходил весьма познавательный курс Introduction to Dynamical Systems and Chaos, и мне было интересно, как от относительно простых математических объектов переходят к весьма причудливым изображениям. Взять хотя бы логистическое отображение такого вида:
![](http://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/b16/780/92a/b1678092a6d03294b1f76b820514005e.gif)
Эту итерационную функцию можно интерпретировать как зависимость численности популяции от ее величины в предыдущий период времени и от параметра r
, который обычно называют скоростью размножения. Собственно, сама по себе функция довольно унылая и имеет весьма банальный график. Интересные вещи проявляются, если рассматривать ее бифуркационную диаграмму: изменяя параметр r
, можно наблюдать «динамику» неподвижных точек уравнения. Запишем логистическое отображение в R в виде такой функции:
logistic.map <- function(r, x0, n, m){ x <- rep(x0, n) for(i in 1:(n-1)) { x[i+1] <- r * x[i] * (1 - x[i]) } return(x[(n-m):n]) }
Зададим некоторые интересные точки и начальные параметры для отображения и построим бифуркационную диаграмму, изменяя масштаб изображения по ходу дела:
nrows <- 6 r.len <- 1500; # Points of interest on the plot R <- matrix(c( seq(2.4, 4, length.out=r.len), seq(3.442420, 3.639398, length.out=r.len), seq(3.562297, 3.572910, length.out=r.len), seq(3.569792, 3.570244, length.out=r.len), seq(3.570005, 3.571369, length.out=r.len), seq(3.631992, 3.633301, length.out=r.len) ), nrow=nrows, byrow=T) X <- matrix(c( 0, 1, 0.8567335, 0.9140401, 0.8887529, 0.8936790, 0.8920580, 0.8925577, 0.8911242, 0.8927333, 0.9066966, 0.9083943 ), nrow=nrows, byrow=T) x0 <- 0.5 n <- 200 m <- 170 saveGIF({ for (i in 1:nrows){ r <- R[i,] x <- as.vector(sapply(r, logistic.map, x0, n, m)) r <- sort(rep(r, (m+1))) del_idx <- unlist(sapply(1:length(x), function(j) if (x[j] < X[i, 1] | x[j] > X[i, 2]) j)) if (length(del_idx > 0)){ x <- x[-del_idx] r <- r[-del_idx] } plot(x ~ r, col="gray66", pch=".", main="Bifurcation Diagram for the Logistic Map") } }, movie.name = "bifur.gif", interval=2.4, ani.width=600, ani.height=500)
В результате получим примерно такую картинку:
![](http://habrastorage.org/files/e57/f1d/e5d/e57f1de5d77c4f4185f95d53260ad017.gif)
Можно заметить, что количество неподвижных точек уравнения удваивается, образуя таким образом каскад бифуркаций и проявляя фрактальную структуру. Тут еще уместно вспомнить о таком феномене, как универсальность. Рассмотрим два уравнения:
![](http://habrastorage.org/files/16d/365/c51/16d365c51b704f4c9854858b5436f293.png)
![](http://habrastorage.org/files/f26/882/3f5/f268823f54674f4a910457ea7909bd01.png)
Первое уравнение определяет расстояние от одной точки бифуркации до следующей в единицах r
. Второе же показывает, насколько ответвление n длиннее ответвления n+1. Так вот, оказывается, что
![](http://habrastorage.org/files/1b5/85a/a79/1b585aa795004ec0ad06ece71404bf41.png)
Число 4.669201… называется универсальной постоянной Фейгенбаума, которая как раз и характеризует скорость перехода динамических систем от порядка к детерминированному хаосу.
Другой интересный и не менее известный объект — аттрактор Лоренца. На Хабре ему даже посвящена отдельная статья. Для описания движения воздушных потоков Эдвард Лоренц использовал систему из трех обыкновенных дифференциальных уравнений, известных теперь как уравнения Лоренца:
![](http://habrastorage.org/files/74b/fed/e4d/74bfede4d17c4e029d3cf9898416cefa.png)
Не будем изголяться и решим эту систему численно — методом Эйлера:
lorenz.solution <- function(sigma=10, r=28, beta=8/3, x=0.01, y=0.01, z=0.01, dt=0.001, n=30000){ sol <- array(0, dim=c(n,3)) t <- 0 for(i in 1:n){ x0 <- x; y0 <- y; z0 <- z x <- x0 + (y0 - x0) * sigma * dt y <- y0 + ((r - z0) * x0 - y0) * dt z <- z0 + (x0 * y0 - beta * z0) * dt t <- t + dt sol[i,] <- c(x, y, z) } return(sol) }
Решение системы для параметров, заданных по умолчанию, выглядит так:
![](http://habrastorage.org/files/cbb/d24/cbb/cbbd24cbb2804f189989d0ae04263af4.png)
Изменяя параметр r, можно получить серию изображений, на которых видно, как происходит эволюция системы от начальных условий и неподвижной точки к, собственно, странному аттрактору.
library(scatterplot3d) saveGIF({ for (r in 2:34){ sol <- lorenz.solution(r=r) s3d<-scatterplot3d(sol[,1], sol[,2], sol[,3], color="gray66", angle=15, box=F, grid=F, axis=F, pch=".", main=paste0("Lorenz Attractor with rho=", r)) } }, movie.name = "lorenz.gif", interval=.3, ani.width=500, ani.height=500)
![](http://habrastorage.org/files/3d7/07d/a4a/3d707da4ac2345a39c8f01388143a633.gif)
Аттрактора Лоренца не единственный в своем роде. Например, аттрактор Чена описывается так:
![](http://habrastorage.org/files/42e/75d/1f3/42e75d1f390a4bcc8b6933221427d93c.png)
chen.solution <- function(a=40, c=28, b=3, x=-0.1, y=0.5, z=-0.6, dt=0.001, n=30000){ sol <- array(0, dim=c(n,3)) t <- 0 for(i in 1:n){ x0 <- x; y0 <- y; z0 <- z x <- x0 + (y0 - x0) * a * dt y <- y0 + ((c - a) * x0 - x0 * z0 + c * y0) * dt z <- z0 + (x0 * y0 - b * z0) * dt t <- t + dt sol[i,] <- c(x, y, z) } return(sol) } saveGIF({ for (a in 32:45){ sol <- chen.solution(a=a) s3d<-scatterplot3d(sol[,1], sol[,2], sol[,3], color="gray66", angle=15, box=F, grid=F, axis=F, pch=".", main=paste0("Chen Attractor with a=", a)) } }, movie.name = "chen.gif", interval=.25, ani.width=500, ani.height=500)
![](http://habrastorage.org/files/e23/ecc/c98/e23eccc988c44cbb92280a1b6fd15a2b.gif)
Орбиты, по которым происходит движение, «стягиваются» к аттрактору; это движение хаотично и чувствительно к начальным условиям, в то же время оно стабильно в глобальном плане. Дэвид Фельдман, который ведет курс «Introduction to Dynamical Systems and Chaos», говорит, что, хотя в хаотичных системах трудно предсказать состояние какой-то конкретной точки, статистические же параметры таких систем вполне точно определены. Таким образом, можно утверждать о статистической предсказуемости системы. Например, погода в конкретную минуту, строго говоря, непредсказуема, зато климат имеет вполне себе определенные параметры. И в этом нет никакого противоречия.
ссылка на оригинал статьи http://habrahabr.ru/post/215789/
Добавить комментарий