Что получим, если основание натурального логарифма возвести в степень равную произведению мнимой единицы на отношение длины окружности к её диаметру и затем прибавить нейтральный элемент относительно операции умножения? Конечно же, нейтральный элемент относительно операции сложения, что же ещё.

Каждый год, в день рождения числа Пи, многим вспоминается знаменитое тождество Эйлера. Гениальная формула, в которой соединены математический анализ, теория чисел, геометрия и арифметика, будоражит умы математиков уже не первое столетие.

Вспомнив благодаря, Хабру, о знаменательной дате, шедевр Эйлера сразу же пришёл на ум. Захотелось в честь праздника уточнить, а как все пять фундаментальных констант (0, 1, e, π, i) выражаются друг через друга? Тут же полез в Google и, каково же было моё изумление, когда выяснилось что сей животрепещущий вопрос никак не освещён в Интернете.

Впрочем, это немудрено, поскольку:
во-первых, всё выводится исключительно элементарно,
во-вторых, все проходили это если не в школе, то в институте на первых курсах (кроме меня, само собой),
в-третьих, это не имеет ни малейшего практического значения,
и в-четвёртых, для наглядности нужно нарисовать формулы, а всем лень.

Тем не менее, праздное любопытство не унималось, пришлось выводить всё самому. На вывод формул у меня ушло 3 минуты и 14 секунд, считая время, затраченное на то чтобы залезть в Википедию и уточнить, что такое логарифм (забыл, каюсь, за последние 12 лет ни разу не пользовался).

Ноль и единица

Даже пояснять лень.

Число «е»

Для начала представим тождество Эйлера в более подходящем виде:

Для середины избавимся от степени в левой части:

И для конца вспомним, что степень 1/n это на самом деле корень n-й степени:

Можно ещё вернуть «потерявшийся» ноль, чтобы созерцать все пять констант в одной формуле. Но это уже на любителя:

Число «Пи» и мнимая единица

Итак, тождество Эйлера нам снова понадобится в таком виде:

Теперь вспоминаем, кто такие логарифмы. Логарифм числа b по основанию a, это такое число, в которое надо возвести a чтобы получить b.

Пользуясь этим определением, представляем тождество Эйлера в таком виде:

Число e настолько примечательно, что для логарифма по его основанию есть даже специальное обозначение:

Оставшиеся две константы — в студию:

Итого

Всё, только теперь в сей поздний час тождеством Эйлера я полностью удовлетворён. Понятно, что 0, 1, e, π, i друг другу родственники, но теперь уже видно, кто кому кум, брат и сват. Да и школьную математику вспомнил, что даже в пятничный вечер полезно.