RS-анализ (анализ фрактальной структуры временных рядов)

Стандартная гауссова статистика работает на основе следующих предположений. Центральная предельная теорема утверждает, что при увеличении числа испытаний, предельное распределение случайной системы будет нормальным распределением. События должны быть независимыми и идентично распределены (т.е. не должны влиять друг на друга и должны иметь одинаковую вероятность наступления). При исследовании крупных комплексных систем обычно предполагают гипотезу о нормальности системы, чтобы далее мог быть применен стандартный статистический анализ.

Часто на практике изучаемые системы (от солнечных пятен, среднегодовых значений выпадения осадков и до финансовых рынков, временных рядов экономических показателей) не являются нормально-распределенными или близкими к ней. Для анализа таких систем Херстом [1] был предложен метод Нормированного размаха (RS-анализ). Главным образом данный метод позволяет различить случайный и фрактальный временные ряды, а также делать выводы о наличии непериодических циклов, долговременной памяти и т.д.

Алгоритм RS-анализа

1. Дан исходный ряд . Рассчитаем логарифмические отношения:

   

2. Разделим ряд на смежных периодов длиной . Отметим каждый период как , где . Определим для каждого среднее значение:

   

3. Рассчитаем отклонения от среднего значения для каждого периода :

   

4. Рассчитаем размах в пределах каждого периода:

   

5. Рассчитаем стандартное отклонения для каждого периода :

   

6. Каждый делим на . Далее рассчитываем среднее значение R/S:

   

7. Увеличиваем и повторяем шаги 2-6 до тех пор, пока
8. Строим график зависимости от и с помощью МНК находим регрессию вида: , где H – показатель Херста (см. рисунок).

Проверка значимости

Далее проверяем полученный результат на значимость. Для этого проверяем гипотезу о том, что анализируемая структура является нормально-распределенной. R/S являются случайными переменными, нормально распределенными, тогда можно предположить, что H также распределены нормально. Асимптотическим пределом для независимого процесса является показатель Херста равный 0.5. Энис и Ллойд [2], а также Петерс [3] предложили использовать следующие ожидаемые показатели R/S:

Для n наблюдений находим ожидаемый показатель Херста: .

Ожидаемая дисперсия будет следующей: , где T — количество наблюдений в выборке.

Выборочная статистика: .
Сравниваем ее с критическим значением нормированного нормального распределения.

Если выборочное значение меньше критического, то гипотезу о нормальном распределении системы не отвергаем на данном уровне значимости. Структура случайна и имеет нормальный закон распределения.

Список литературы:

1. Херст, Г. Э., 1951. «Долгосрочная вместимость водохранилищ». Труды Американского общества гражданских инженеров, 116, 770-808.
2. Anis, A.A., Lloyd, E.H. (1976) The expected value of the adjusted rescaled Hurst range of independent normal summands. Biometrica 63: 283-298.
3. Peters, E.E. (1994) Fractal Market Analysis. Wiley, New York. ISBN 0-471-58524-6.

ссылка на оригинал статьи http://habrahabr.ru/post/256381/