Дискретное преобразование Фурье фрактального броуновского движения

Фрактальное броуновское движение (ФБД) относится к классу рассматриваемых функций, заданные на конечном интервале и равные нулю вне его, которые включают кусочно непрерывные функции, удовлетворяющие условию роста:
,
где функция , удовлетворяет условию:

Преобразование Фурье
Для ФБД будем интерпретировать процесс как временной процесс. Существует частотная область, в которой функция — сумма составляющих, имеющих определенную частоту. Функция может быть разложена как .
Составляющая с частотой имеет вид:

, где .

Функция называется преобразованием Фурье.

Спектральная плотность
Полная энергия исходного процесса равна .
По теореме Планшереля: .
Средняя мощность функции на отрезке определяется как .
Тогда спектральная плотность мощности равна:

Если длина отрезка стремиться к бесконечности, то:
.
Т.к. функция описывает ФБД с параметром Хёрста, то:

Дискретное преобразование Фурье ФБД
Процесс моделирования ФБД можно упростить через аппроксимацию преобразования Фурье с помощью рядов Фурье с учетом сохранения свойств спектральной плотности. После этого, использовав обратное преобразование Фурье, получим ФБД.

Если

то функция вещественнозначная.
Таким образом, приведенный ниже алгоритм использует это условие сопряженной симметрии.

Алгоритм построения кривой ФБД:
— нормально-распределенная случайная величина с нулевым мат ожиданием и единичным стандартным отклонением.
— равномерно-распределенная случайная величина на единичном отрезке.

1. 
2. Для значения преобразования Фурье
3. Для —
4. Для каждого рассчитываем: амплитуду (абсолютная величина комплексного числа ), фазу (значение аргумента комплексного числа , т.е. угол, выраженный в радианах)
5. Рассчитываем значения ФБД:

На рисунке изображены некоторые вариации ФБД для различных показателей Хёрста.

ссылка на оригинал статьи http://habrahabr.ru/post/257409/