Устойчивая красота неприличных моделей

— Не могли бы вы построить нам статистическую модель?
— С удовольствием. Можно посмотреть на ваши исторические данные?
— Данных у нас ещё нет. Но модель всё равно нужна.

Знакомый диалог, не правда ли? Далее возможны два варианта развития событий:

A. «Тогда приходите, когда появятся данные.» Вариант рассматриваться не будет как тривиальный.
Б. «Расскажите, какие факторы по вашему мнению наиболее важны.» Остаток статьи про это.

Под катом рассказ о том, что такое improper model, почему их красота устойчива и чего это стоит. Всё на примере многострадального набора данных о выживании пассажиров Титаника.

Откуда такое странное название

Из статьи The Robust Beauty of Improper Linear Models in Decision Making товарища Robyn M. Dawes, который в свою очередь ссылается на работы предшественников.

Приличные линейные модели (proper linear models) — те, в которых веса назначаются таким образом, чтобы полученная линейная комбинация предсказывала интересующую величину оптимальным образом. Примером может служить обычная линейная регрессия, подогнанная методом наименьших квадратов. […]

Неприличные линейные модели (improper linear models) — те, в которых веса определяются неоптимально. Например, назначаются на основании интуиции, предыдущего опыта или приравниваются единице.

Обычная линейная модель выглядит так:

ŷ = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ +… + β_mx_m

Здесь ŷ — оценка зависимой переменной, β₀ — свободный член, β₁…β_m — коэффициенты регрессии, x₁…x_m — независимые переменные.

По причине отсутствия данных для определения значений β₁…β_m мы поступим волюнтаристски: назначим им значения +1 (влияет положительно), -1 (влияет отрицательно) и 0 (не влияет).

Притянутый за уши пример

Характерными примерами статистических моделей, о которых шёл разговор в начале статьи, являются скоркарты для потребительского кредитования (они предсказывает вероятность глубокой просрочки или невозврата клиентом долга), модели отклика (они предсказывают вероятность того, что клиент ответит на предложение что-то купить или подписаться на продукт), модели оттока (предсказывают вероятность того, что клиент уйдёт к конкуренту) и т.п.

В данной статье будет использован более простой набор данных, скорее всего уже хорошо знакомый всем заинтересованным в теме машинного обучения читателям: список пассажиров Титаника. Ранее на Хабре на него уже смотрели:

• Предсказание выживания пассажиров Титаника при помощи Azure Machine Learning
• Титаник на Kaggle: вы не дочитаете этот пост до конца

Участники состязаний

• ImproperModel — регрессия с единичными весами (тема этой статьи)
• ProperModel — логистическая регрессия с теми же независимыми переменными
• LogisticRegression — логистическая регрессия со всеми независимыми переменными
• RandomForest — один из широко распространённых современных алгоритмов

Как будем сравнивать

Список пассажиров разобьём на две части, на одной будем подгонять модель, на другой проверять качество её работы.

Чудес не бывает и совсем без каких-то знаний толковую модель не построить. В данном случае таким знанием будет галантность — женщин и детей при посадке в шлюпки пропускали вперёд. На основании этого априоргого знания для регрессии с единичными весами назначаем переменной female вес +1, а переменной age вес -1. Кроме того, пассажирам с билетами второго и третьего класса, у которых каюты в трюме, дальше бежать до шлюпок, поэтому переменной pclass назначаем вес -1.

Чтобы два раза не вставать, тут же проведём нормализацию — поделим на стандартное отклонение в обучающей выборке. Это нужно для приведения независимых переменных к сравнимой шкале. Можно было поделить на диапазон и получить похожий результат.

Обратите внимание на то, что в модели с единичными весами мы не использовали информацию о том, кто выжил, а кто утонул, только стандартное отклонение независимых переменных для масштабирования.

Повторим эксперимент тысячу раз и посмотрим на результаты. Качество модели будем измерять с помощью коэффициента Gini (G1).

install.packages("pROC") install.packages("randomForest") library(pROC) library(randomForest) 

data <- read.csv('~/habr/unit_weights/titanic3.csv') 

data$survived <- as.factor(data$survived) 

data$name <- NULL data$ticket <- NULL data$cabin <- NULL data$home.dest <- NULL data$embarked <- NULL 

data$boat <- NULL data$body <- NULL 

data$age[is.na(data$age)] <- mean(data$age, na.rm=TRUE) data$fare[is.na(data$fare)] <- mean(data$fare, na.rm=TRUE) 

data$female <- 0 data$female[which(data$sex == 'female')] <- 1 data$sex <- NULL 

 survived     pclass           age              sibsp         0:809    Min.   :1.000   Min.   : 0.1667   Min.   :0.0000    1:500    1st Qu.:2.000   1st Qu.:22.0000   1st Qu.:0.0000             Median :3.000   Median :29.8811   Median :0.0000             Mean   :2.295   Mean   :29.8811   Mean   :0.4989             3rd Qu.:3.000   3rd Qu.:35.0000   3rd Qu.:1.0000             Max.   :3.000   Max.   :80.0000   Max.   :8.0000        parch            fare             female       Min.   :0.000   Min.   :  0.000   Min.   :0.000    1st Qu.:0.000   1st Qu.:  7.896   1st Qu.:0.000    Median :0.000   Median : 14.454   Median :0.000    Mean   :0.385   Mean   : 33.295   Mean   :0.356    3rd Qu.:0.000   3rd Qu.: 31.275   3rd Qu.:1.000    Max.   :9.000   Max.   :512.329   Max.   :1.000 

im.gini = NULL pm.gini = NULL lr.gini = NULL rf.gini = NULL set.seed(42) for (i in 1:1000) { 

  data$random_number <- runif(nrow(data),0,1)   development <- data[ which(data$random_number > 0.3), ]   holdout     <- data[ which(data$random_number <= 0.3), ]   development$random_number <- NULL   holdout$random_number <- NULL 

  beta_pclass <- -1/sd(development$pclass)   beta_age    <- -1/sd(development$age   )   beta_female <-  1/sd(development$female)   im.score <- beta_pclass*holdout$pclass + beta_age*holdout$age + beta_female*holdout$female    im.roc <- roc(holdout$survived, im.score)   im.gini[i] <- 2*im.roc$auc-1 

  pm.model = glm(survived~pclass+age+female, family=binomial(logit), data=development)   pm.score <- predict(pm.model, holdout, type="response")   pm.roc <- roc(holdout$survived, pm.score)   pm.gini[i] <- 2*pm.roc$auc-1 

  lr.model = glm(survived~., family=binomial(logit), data=development)   lr.score <- predict(lr.model, holdout, type="response")   lr.roc <- roc(holdout$survived, lr.score)   lr.gini[i] <- 2*lr.roc$auc-1 

  rf.model <- randomForest(survived~., development)   rf.score <- predict(rf.model, holdout, type = "prob")   rf.roc <- roc(holdout$survived, rf.score[,1])   rf.gini[i] <- 2*rf.roc$auc-1 } 

bpd<-data.frame(ImproperModel=im.gini, ProperModel=pm.gini, LogisticRegression=lr.gini, RandomForest=rf.gini) png('~/habr/unit_weights/auc_comparison.png', height=700, width=400, res=120, units='px') boxplot(bpd, las=2, ylab="Gini", ylim=c(0,1), par(mar=c(9,5,1,1)+ 0.1), col=c("red","green","royalblue2","brown")) dev.off() mean(im.gini) mean(pm.gini) mean(lr.gini) mean(rf.gini) mean(im.gini)/mean(rf.gini) mean(pm.gini)/mean(rf.gini) mean(lr.gini)/mean(rf.gini) mean(rf.gini)/mean(rf.gini) 

Результаты

Далекоидущие выводы

Пессимист скажет, что модель с единичными весами в этом сравнении заняла последнее место, и это верно. Но так же верно, что она набрала 90% от лучшего результата без использования исторических данных, и отстала от обычной логистической регрессии с теми же независимыми переменными всего на 4%.

Почему так происходит

В статье с необычным названием Estimating Coefficients in Linear Models: It Don’t Make No Nevermind её автор (Ховард Вайнер) приводит такую теорему равных весов:

Если k линейно независимых переменных x_i (i = 1, …, k) с нулевым средним значением и единичной дисперсией используются для предсказания переменной y, которая также отмасштабирована до нулевого среднего и единичной дисперсии, и стандартизованные значения коэффициентов регрессии по методу наименьших квадратов β_i (i = 1, …, k) равномерно распределены на интервале [0.25, 0.75], то при переходе к равным весам (0.5) матожидание уменьшения доли дисперсии зависимой переменной, объясняемой моделью, будет меньше k/96. Потери ещё меньше, если x_i коррелированы между собой.

В приведённом выше примере регрессия логистическая, но эффект всё равно виден.
Далее в той же статье автор отмечает, что модели с единичными весами устойчивы в частности потому, что они не подвержены влиянию выбросов в обучающей выборке и их невозможно перетренировать.

ссылка на оригинал статьи http://habrahabr.ru/post/272201/