Разложение матрицы афинного преобразования

Не так давно в процессе разработки редактора 2D-графики возникла задача разложить матрицу афинного преобразования на плоскости, на произведение матриц простых преобразований с тем, чтобы отобразить их пользователю и предложить какую-то более-менее адекватную интерпретацию того, что произошло с объектом на канвасе. Честно говоря, эта задача вызвала у меня определенные трудности. Университет я закончил уже давно, и мне было непонятно, а возможно ли это сделать в принципе, учитывая, что исходная матрица могла быть результатом произвольной последовательности сдвигов, масштабов, поворотов, и переносов, причем каждое преобразование могло иметь свой произвольный центр. И, во-вторых, непонятно было, как найти семь параметров, имея всего шесть коэффициентов матрицы. Ключом к решению этой задачи оказалась статья "Разложение матрицы центроаффинного преобразования для нормализации изображения"¹, в которой рассматривается такая же задача, но без учета преобразования переноса и для преобразований относительно центра координат. Далее я фактически просто адаптирую результаты этой статьи с учетом переноса и для произвольного центра преобразований.

Итак, пусть матрица, задающая произвольное преобразование на плоскости, имеет вид:

    ┌           ┐     │ a11 a12 0 │ M = │ a21 a22 0 │.     │ a31 a32 1 │     └           ┘

Ее определитель

det = a11⋅a22 - a12⋅a21, det ≠ 0.

Пусть точка на плоскости задается вектор-строкой вида (x, y, 1), а ее преобразование – умножением справа на матрицу преобразования:

                            ┌           ┐               ┌         ┐   │ a11 a12 0 │ p1 = p0 • M = │ x0 y0 1 │ • │ a21 a22 0 │               └         ┘   │ a31 a32 1 │                             └           ┘

В упомятнутой выше статье¹ утверждается, что произвольная матрица M центроафинного преобразования может быть представлена как произведение матриц R поворота, матрицы Hx сдвига вдоль оси X и матрицы S масштабирования:

Mc = R • Hx • S

Здесь

    ┌                  ┐     │  cos(α) sin(α) 0 │ R = │ -sin(α) cos(α) 0 │,     │     0      0   1 │     └                  ┘      ┌         ┐      │ 1  hx 0 │ Hx = │ 0  1  0 │,      │ 0  0  1 │      └         ┘     ┌         ┐     │ sx 0  0 │ S = │ 0  sy 0 │,     │ 0  0  1 │     └         ┘

При разложении произвольной матрица афинного преобразования необходимо привести центр трансформации к центру координат, а также учесть преобразование переноса:

M = T0 • S • H • R • T0⁻¹ • T,      ┌             ┐      │ 1    0    0 │ T0 = │ 0    1    0 │,      │ -tx0 -ty0 1 │      └             ┘        ┌           ┐         │ 1   0   0 │ T0⁻¹ = │ 0   1   0 │,        │ tx0 ty0 1 │        └           ┘     ┌         ┐      │ 1  0  0 │ T = │ 0  1  0 │.     │ tx ty 1 │     └         ┘

Подставив выражения для матриц простых преобразований получим следующие выражения для коэффициентов M:

a11 = sx⋅cos(α) - sx⋅hx⋅sin(α) a12 = sx⋅hx⋅cos(α) + sx⋅sin(α) a21 = -sy⋅sin(α) a22 = sy⋅cos(α) a31 = tx + tx0⋅(1 - (sx⋅cos(α) - sx⋅hx⋅sin(α))) + ty0⋅sy⋅sin(α)      = tx + tx0⋅(1 - a11) - ty0⋅a21 a32 = ty + ty0⋅(1 - cos(α)⋅sy) - tx0⋅(sx⋅hx⋅cos(α) + sx⋅sin(α))     = ty + ty0⋅(1 - a22) - tx0⋅a12

Решая данные уравнения относительно sx, sy, α, hx, tx, ty, после некоторых упрощений, получим выражения для искомых параметров:

if a22=0    α = π/2,    sy = -a21 else    α = atan(-a21/a22),    sy = a22/cos(α),  sx = det(M)/sy, hx = (a11⋅a21 + a12⋅a22)/det,  tx = a31 + ty0⋅a21 + tx0⋅(a11 - 1), ty = a32 + tx0⋅a12 + ty0⋅(a22 - 1).

Выражения для α, sx, sy, hx сооветствуют аналогичным в статье¹, хотя и несколько отличаются от них по форме. Кроме того мы получили формулы расчета параметров преобразования переноса tx и ty. Хочется также заметить, что даже если в оригинальной последовательности присутствовали сдвиги вдоль обеих осей, в разложении достаточно лишь сдвига вдоль одной из осей (здесь – вдоль оси X). Кроме того, поскольку угол поворота определен как результат функиции арктангенса, он принципиально ограничен значениями от -90˚ до +90˚. Учитывая также, что угол поворота на 180˚ соответсвует sx=-1 и sx=-1, мы имеем здесь некоторую неоднозначность. Например, изначально имея поворот на 120˚ при разложении по данному алгоритму мы получим -60˚ и sx=sy=-1.

¹) Путятин Е.П., Яковлева Е.В., Любченко В.А. «Разложение матрицы центроаффинного преобразования для нормализации изображения»

ссылка на оригинал статьи https://habrahabr.ru/post/278597/