Так чему все-таки равна сумма 1+2+3+4+…

Чему будет в итоге равняться число, если бесконечно складывать натуральные числа? Очевидно, что бесконечности или…

Пусть $sum = 0$ . Последовательно будем прибавлять все числа, начиная с 1. Мы знаем, что множество натуральных чисел счетно, поэтому каждому числу можно приписать номер. Этот номер будет совпадать с самим числом. Таким образом имеем $N = \{1,2,3,4,5,...\}$ .

Возьмем первые три числа. Их сумма будет равняться 6, верно? Если прибавить к имеющейся сумме 4, то получим 10. Но какое число мы получим, если бесконечно прибавлять числа? Я уже задавал этот вопрос в самом начале. На самом деле, я акцентирую внимание на нем(вопросе), так как получается действительно интересное число. Рассмотрим всю эту магию подробней.

Пусть у нас есть 3 числовых ряда

$S_1 = 1-1+1-1+1-1+1-1+...$

$S_2 = 1-2+3-4+5-6+7-8+...$

$S = 1+2+3+4+5+6+7+8+...$

Из курса математики мы знаем, что $S_1 = 1/2$ . Можно доказать это точно, а можно рассуждать логически. Результат зависит от того, на каком элементе мы оборвем суммирование. Если на $1$ , то сумма равна единице. Если на $-1$ , то сумма равна нулю. Берем среднее и получаем $1/2$ .

Теперь узнаем чему равна сумма $S_2$ . Для этого проведем пару манипуляций. Возьмем и узнаем чему равна сумма $S_2 + S_2$ . Я запишу сумму в столбик, но с небольшим смещением.