Рассмотрим следующую задачу. Найти период дроби 1/81. Уверяю, что для решения не потребуется ни калькулятор, ни деление столбиком. Для начала вспомним чему равно 81*(Период). Пусть длина периода n, тогда исходная дробь запишется как:
Перепишем данное представление в следующем виде:
Последнее выражение можно представить так:
Ну а теперь то соотношение, которое мы искали:
Для нашего случая это тождество будет следующим:
Разделим левую и правую часть на 9, получим:
Первое число, составленное из одних единиц, которое делится на 9 равно 111111111, это следует из признака делимости на 9. Делить будем через сумму цифр исходного числа. Двигаемся слева направо, складываем цифры делимого и на каждом шаге записываем полученную сумму. Результат работы данного алгоритма — число 12345678,9999… Здесь надо пояснить, что когда мы достигаем крайней правой цифры, то ставим запятую и полученную сумму цифр исходного числа дублируем как бесконечную десятичную дробь. Вспоминаем, что 0,999…=1 и получаем ответ, который мы искали 12345679. Если рассмотреть более общую задачу нахождения периода дроби , то окажется, что период такой дроби имеет длину и если известен период для случая n-1, то следующий равен произведению данного периода на число вида 11111… (повторяется раз)22222… (повторяется раз)33333… (повторяется раз). Самая правая секция будет иметь вид 8888..889. Последняя цифра девятка.
Приведу код процедур, которые я использовал для проверки своих выводов.
Function GreatestCommonDivisor(x,y) if x=y then return x; endif; a=min(x,y); if a=1 then return 1; endif; b=x+y-a; while TRUE do c=b%a; if c=0 then return a; endif; b=a; a=c; enddo; EndFunction Function NumeratorFractionPeriod(numerator,denumerator) // дробь a/b a=numerator; b=denumerator; while b%2=0 do b=b/2; a=a*5; enddo; while b%5=0 do b=b/5; a=a*2; enddo; //наименьший общий делитель c=GreatestCommonDivisor(a,b); a=a/c; b=b/c; if b=1 then Period=string(a); return Period; endif; if a>b then Period=string((a-a%b)/b); a=a%b; if a=0 then return Period; endif; Period=Period+"("; else Period="("; endif; while a%10=0 do a=a/10; enddo; i=a; while TRUE do j=0; while i<b do i=i*10; j=j+1; if j>1 then Period=Period+"0"; endif; enddo; check=i-a; if (check%b)=0 then Period=Period+(check)/b; break; else j=i%b; Period=Period+(i-j)/b; i=j; endif; enddo; return Period+")"; EndFunction ссылка на оригинал статьи https://habrahabr.ru/post/326110/
Добавить комментарий