Квадратичное уравнение с комплексными числами в 3D

Всем привет! Со школы, решая квадратичные уравнения ( КУ ), например $\$inline\$x^2+x+1=0\$inline\$$, получал корни обладающие мнимой составляющей, $\$inline\$x=-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash pm\; i\; \backslash frac\{\backslash sqrt3\}\{2\}\$inline\$$, и при желании увидеть как график пересекает ось $\$inline\$Y\$inline\$$ в точках $\$inline\$x=-\backslash frac\{1\}\{2\}\backslash pm\; i\; \backslash frac\{\backslash sqrt3\}\{2\}\$inline\$$, в интернете находил графики вроде:

Как график с мнимой частью выглядит ( по моим размышлениям ) в 3D ($\$inline\$X\backslash bot\; Y\backslash bot\; I\$inline\$$), и есть тема данной статьи.

PS: Под катом тяжёлые анимации

Как обычно, график ф-кции состоит из точек, а точки строятся по пересечению осей $\$inline\$X\$inline\$$ и $\$inline\$Y\$inline\$$.
График ф-ции с комплексной составляющей $\$inline\$Y\_\{complex\}=F(X\_\{complex\})\$inline\$$,

где $\$inline\$X\_\{complex\}=X\_\{re\}+X\_\{im\}=\$inline\$$ $\$inline\$\backslash begin\{bmatrix\}X\_\{re\}\; \backslash \backslash X\_\{im\}\backslash end\{bmatrix\}\$inline\$$ — вектор

$\$inline\$Y\_\{complex\}=Y\_\{re\}+Y\_\{im\}=\backslash begin\{bmatrix\}Y\_\{re\}\; \backslash \backslash Y\_\{im\}\backslash end\{bmatrix\}\$inline\$$ — вектор

$\$inline\$X\_\{complex\}\$inline\$$ можно представить в виде 3-х мерного вектора $\$inline\$\backslash begin\{bmatrix\}X\_\{re\}\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash X\_\{im\}\backslash end\{bmatrix\}\$inline\$$
$\$inline\$[X\_\{re\}]\; —\; ось\; X\$inline\$$
$\$inline\$[0]\; —\; ось\; Y\$inline\$$
$\$inline\$[X\_\{im\}]\; —\; ось\; I\$inline\$$
Аналогично $\$inline\$Y\_\{complex\}\backslash begin\{bmatrix\}0\backslash \backslash \; Y\_\{re\}\; \backslash \backslash Y\_\{im\}\backslash end\{bmatrix\}\$inline\$$
$\$inline\$[0]\; —\; ось\; X\$inline\$$
$\$inline\$[Y\_\{re\}]\; —\; ось\; Y\$inline\$$
$\$inline\$[Y\_\{im\}]\; —\; ось\; I\$inline\$$

Точка пересечения $\$inline\$X\_\{complex\}\$inline\$$ и $\$inline\$Y\_\{complex\}\$inline\$$ будет равна сумме векторов $\$inline\$X\_\{complex\}\$inline\$$ и $\$inline\$Y\_\{complex\}\$inline\$$

$\$inline\$\backslash begin\{bmatrix\}X\_\{re\}\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash X\_\{im\}\backslash end\{bmatrix\}\$inline\$$+$\$inline\$\backslash begin\{bmatrix\}0\backslash \backslash \; Y\_\{re\}\; \backslash \backslash Y\_\{im\}\backslash end\{bmatrix\}\$inline\$$=$\$inline\$\backslash begin\{bmatrix\}X\_\{re\}\; \backslash \backslash \; Y\_\{re\}\; \backslash \backslash X\_\{im\}+Y\_\{im\}\backslash end\{bmatrix\}\$inline\$$

С пересечением разобрался.

Далее для построения графика нужно определиться с изменением $\$inline\$X\_\{re\}\$inline\$$ и $\$inline\$X\_\{im\}\$inline\$$ вдоль оси $\$inline\$X\_\{complex\}\$inline\$$, для этого нужен корень КУ. Есть два варианта:

1. Сделать $\$inline\$X\_\{im\}\$inline\$$ константой и изменять только $\$inline\$X\_\{re\}\$inline\$$ из корня КУ;
2. Получить угол между $\$inline\$X\_\{re\}\$inline\$$ и $\$inline\$X\_\{im\}\$inline\$$ из корня КУ и перемещаться вдоль $\$inline\$X\_\{complex\}\$inline\$$, наращивая $\$inline\$X\_\{re\}\$inline\$$, $\$inline\$X\_\{im\}\$inline\$$ вычислять с учётом угла и $\$inline\$X\_\{re\}\$inline\$$.

Я выбрал второй вариант. Возьмём, для примера:

$\$inline\$x^2+x+1=0\$inline\$$

Корни КУ

$\$inline\$X\_\{1\}=-0.5\; +\; 0.866\; i\$inline\$$
$\$inline\$angle=300°\$inline\$$
$\$inline\$X\_\{2\}=-0.5\; —\; 0.866\; i\$inline\$$
$\$inline\$angle=60°\$inline\$$

Когда $\$inline\$angle=300°\$inline\$$

Когда угол равен 0, то график выглядит как привычно выглядел в школе:

Меняя угол, видим как меняется график:

PS: Представленные графики и их анимации были созданы в приложении «Quadratic Complex 3D Graph» из Google Apps.
ссылка на оригинал статьи https://habrahabr.ru/post/329672/