Математики разрезают фигуры в поисках частей уравнений

Новая работа над задачей о «равносоставленности» объясняет, когда имеется возможность разрезать одну фигуру и собрать из неё другую

Если у вас есть две плоские фигуры из бумаги и ножницы, можете ли вы разрезать одну фигуру и переставить кусочки так, чтобы получить другую? Если можете, тогда две эти фигуры «ножнично конгруэнтны» [равносоставлены].

Однако математиков интересует, можно ли обнаружить такое взаимоотношение у фигур, не используя ножницы? Иначе говоря, есть ли у этих фигур такие характеристики, которые можно было бы измерить заранее и определить, конгруэнтны ли они?

Для двумерных фигур ответ прост. Нужно просто измерить их площади; если они совпадают, то фигуры ножнично конгруэнтны.

Но для фигур в высших измерениях – к примеру, для трёхмерного мяча или одиннадцатимерного пончика, который невозможно себе представить – вопрос разрезания и пересборки в другом виде становится гораздо сложнее. И несмотря на века попыток, математики не могли определить характеристик, подтверждающих равносоставленность для большинства фигур высшей размерности.

Однако этой осенью два математика совершили наиболее значимый прорыв в решении этой задачи за несколько десятилетий. В работе, представленной в Чикагском университете 6 октября, Джонатан Кэмпбел из университета Дьюка и Инна Захаревич из Корнеллского университета совершили значимый шаг по направлению к доказательству ножничной конгруэнтности для форм любых размерностей.

Но не только. Как и большинство важных задач математики, равносоставленность – это кроличья нора: скромное заявление, затягивающее математиков в глубокую нору сложной математики. В попытках понять ножничную конгруэнтность, Кэмпбелл и Захаревич, возможно, показали новый способ рассуждать о совершенно другой области этой науки: об алгебраических уравнениях.

Первый разрез

Равносоставленность может показаться простой задачей. Более 2000 лет назад Евклид догадался, что две двумерные фигуры одной площади можно переставлять из одной в другую. Разумно предположить, что фигуры высших измерений одинакового объёма можно переделывать аналогично.

Но в 1900-м году Давид Гильберт предположил, что эта задача на самом деле не так проста.

В том году, выступая на международном математическом конгрессе в Париже, он определил 23 открытых задачи, которые, по его мнению, будут направлять математическую мысль в ближайшее столетие. Третья из них касалась ножничной конгруэнтности [равносоставленность равновеликих многогранников]. Гильберт предположил, что не все трёхмерные фигуры одного объёма конгруэнтны – и бросил математикам вызов, предложив найти пару фигур, доказывающих это.

Через год после речи ученик Гильберта, Макс Ден, так и сделал. Такой срок показался математикам подозрительным. «Некоторые считают, что Гильберт включил эту задачу в список только потому, что её уже решил его ученик», — сказала Захаревич.

Был ли это заговор или нет, результат Дена перевернул представление математиков о равносоставленности. Он доказал, что тетраэдр единичного объёма не является равносоставленным кубу того же объёма. Неважно, как вы разрежете первый, вы никогда не сможете собрать из кусочков второй.

Кроме демонстрации того, что равенства объёмов недостаточно для определения равносоставленности, Ден предложил новый способ измерения фигур. Он доказал, что любые трёхмерные фигуры, равносоставленные друг другу, должны иметь одинаковый объём, а также совпадать по новой мере.

Ден сконцентрировался на внутренних углах между двумя гранями трёхмерной фигуры. К примеру, внутри куба все грани встречаются под прямыми углами. Но в более сложных формах углы бывают разными и имеют разную важность. Углы между более длинными рёбрами больше влияют на форму фигуры, чем углы между более короткими рёбрами, поэтому Ден присвоил углам веса на основе длин формирующих их рёбер. Он скомбинировал эту информацию в сложную формулу, выдававшую в итоге единственное число – «инвариант Дена» – для заданной фигуры.

Математики хотят знать, когда фигуру можно разрезать и собрать из неё другую.
Двумерные фигуры равносоставлены, если у них одинаковая площадь.
Трёхмерные фигуры равносоставлены, если у них одинаковые объём и инвариант Дена.
Куб и тетраэдр не равносоставлены – у них одинаковый объём, но разный инвариант Дена.
Фигуры можно резать на кусочки, а графики уравнений – на подграфики. Математики ищут аналог инварианта Дена, который показывает, что два уравнения состоят из одинаковых кусочков.

Ден доказал, что любые трёхмерные фигуры, равносоставленные друг другу, должны иметь одинаковый объём и инвариант Дена. Но он не смог ответить на более сложный вопрос: если у трёхмерных фигур одинаковый объём и инвариант Дена, значит ли это, что они обязательно равносоставлены? Жан-Пьер Сидлер, наконец, доказал это в 1965. Через три года Бьёрг Джессен показал, что эти же две характеристики определяют равносоставленность в четырёх измерениях.

Результаты Сидлера и Джессена были серьёзными шагами вперёд, но математики – народ жадный: достаточно ли объёма и инварианта Дена для определения равносоставленности фигур во всех измерениях? Достаточно ли этих измерений в других геометрических пространствах, кроме Евклидового – в сферической геометрии (представьте себе широту и долготу на поверхности Земли) или седловидной вселенной гиперболической геометрии?

В конце XX века математик Александр Борисович Гончаров предложил подход, который, по его мнению, мог решить всю задачу раз и навсегда – и при этом связать равносоставленность с совершенно другой областью математики.

Странные связи

Математика полна неожиданных связей. Захаревич говорит, что заниматься математикой – это как наткнуться на нечто странное в природе, и попытаться понять, почему оно такое.

«Если вы встретите в лесу кольцо из грибов, и не будете знать, как грибы растут, вы задумаетесь, откуда им известно, как расти кругом? – сказала она. – Причина же в том, что грибы имеют грибницу, растущую под землёй».

В 1996 году Гончаров сформулировал набор гипотез, говорящих о существовании математической структуры, также скрытой под поверхностью. Если эта структура существует, она сможет объяснить, почему некоторые математические явления – включая равносоставленность – работают именно так.

Одна из гипотез утверждает, что объёма фигуры и её инварианта Дена достаточно для определения равносоставленности фигур любой размерности и в любом пространстве.

«Гончаров сказал, что те же принципы, что применяются в трёх измерениях, применимы во всех», — сказал Чарльз Вейбель из университета Рутгерса.

Но Гончаров, ныне работающий в Йельском университете, также предсказал, что эта скрытая структура объяснит гораздо больше этого. Он сказал, что равносоставленность – это концепция более универсальная, и что она применима не только к разрезанию геометрических фигур, но и к разрезанию форм, порождаемых решениями алгебраических уравнений – к примеру, графика уравнения x² + y² + z² = 1. А информация, необходимая для классификации по равносоставленности, отражает информацию, необходимую для классификации алгебраических уравнений – такую, при которой уравнения одного класса будут составлены из одинаковых кусочков.

Связь была шокирующей, будто бы принцип, подходящий для систематизации животных каким-то образом позволял бы вам систематизировать ещё и химические элементы. Многие математики считают эту идею настолько же странной, насколько она кажется на первый взгляд.

«Это совершенно загадочно. На первый взгляд, эти вещи вообще не должны быть связаны», — сказал Кэмпбелл.

Разрезая уравнения

Чтобы понять, как могут быть аналогичными геометрические фигуры и алгебраические уравнения, сначала полезно будет понять, как можно разбить решения уравнений на части. Для этого давайте вернёмся к нашему предыдущему примеру и нарисуем график уравнения x² + y² + z² = 1.

Это будет сфера. Однако эта поверхность является не только набором решений этого уравнения: это также набор множества более мелких графиков, или подграфиков, решений других уравнений. К примеру, на поверхности сферы можно нарисовать окружность на манер земного экватора. Это один подграфик, представляющий решения алгебраического уравнения x² + y² = 1. Или можно изолировать единственную точку на северном полюсе сферы, соответствующую уравнению z = 1. Изучая различные подграфики, которые можно нарисовать в рамках более крупного графика – нечто вроде его составных частей – вы можете узнать какие-то свойства более крупного графика.

Более 50 лет математики разрабатывали теорию подграфиков алгебраических уравнений. Как обычная материя состоит из атомов, так и, по мнению математиков, алгебраические уравнения состоят из фундаментальных частей под названием «мотивы». Термин происходит от французского слова motif, обозначающего базовые элементы мелодии.

Инна Захаревич из Корнеллского университета

«Мотивы – это фундаментальные составные части. Они расскажут обо всём, из чего состоят алгебраические уравнения, как мелодия, состоит из различных составных частей», — сказала Захаревич. Сфера, к примеру, состоит из окружностей, точек и плоскостей. Каждая из них состоит из составных частей (проявляющихся в результате математических действий над ними), и так далее, всё ниже и ниже, пока мы не придём к мотивам, предполагаемому фундаменту алгебраических уравнений.

Математикам нужно классифицировать алгебраические уравнения по их мотивам, чтобы получить полную и систематическую картину уравнений, принадлежащих к важнейшим математическим объектам. Это сложная и незаконченная задача. Но в 1996 году Гончаров предположил, что сортировка фигур по равносоставленности и сортировка алгебраических уравнений по мотивам являются двумя сторонами одной задачи – то есть, классификация одной даст вам принцип, по которому можно классифицировать и другую.

Он предположил, что эта связь имеет в основе аналог инварианта Дена. Только вместо того, чтобы появляться из простейших геометрических подсчётов, этот аналог должен возникнуть из похожего расчёта мотивов алгебраических уравнений («мотивное копроизведение»).

«Идея в том, что задача инварианта Дена параллельна другой задаче, связанной с мотивами», — сказал Вейбель.

Но чтобы обнаружить такую связь, математикам сначала нужно доказать, что инвариант Дена действительно сортирует фигуры по равносоставленным группам. Сам Ден показал, что любые равносоставленные трёхмерные фигуры имеют равные объёмы и инвариант Дена. Однако Ден, и все остальные после него, не опровергли возможность того, что существуют некие фигуры высших измерений одинакового объёма и с одинаковым инвариантом Дена, не являющиеся при этом равносоставленными. В своей новой работе Кэмпбелл и Захаревич попытались навсегда закрыть эту возможность.

Два по цене одного

В июне 2018 года Кэмпбелл и Захаревич три недели работали вместе в Институте передовых исследований в Принстоне, Нью-Джерси. Они давно интересовались равносоставленностью, но Захаревич считала, что гипотезы Гончарова были слишком сложными, чтобы с ними можно было разобраться за такое короткое время. А Кэмпбелл всё равно хотел попытаться, и Захаревич не пришлось долго уговаривать.

«Джонатан сказал: ’У нас есть три недели, давай попробуем подступиться к этому и посмотрим, что у нас получилось, к концу первой’», — сказала Захаревич. Через две недели они разработали многие ключевые идеи, лежащие в основе их новой работы.

В работе они проводят контринтуитивный мысленный эксперимент. Чтобы понять его представьте, что у вас есть гостиница со множеством комнат. Вам нужно расположить все равносоставленные друг с другом фигуры в одной комнате. Нам неизвестно, как определять, что фигуры являются равносоставленными – в этом и есть корень проблемы. Однако для нашего мысленного эксперимента давайте представим, что это возможно. Или, как говорит Захаревич, «Мы притворимся, что существует некая всезнающая личность, которой известно, равносоставлены две фигуры или нет».

Рассортировав фигуры по комнатам, мы проверим, что у всех фигур в одной комнате одинаковый объём и одинаковый инвариант Дена. Также важно проверить, что все фигуры одинакового объёма и с одинаковым инвариантом Дена оказались в нужной комнате – что в баре гостиницы не ошиваются отбившиеся от коллектива фигуры. Цель мысленного эксперимента доказать наличие идеального взаимно однозначного соответствия между группами равносоставленных фигур и группами фигур, имеющих одинаковый объём и одинаковый инвариант Дена. Существование такого соответствия докажет, что для определения равносоставленности фигур вам действительно будет достаточно только объёма и инварианта Дена.

Гончаров предсказал существование такого соответствия, и Кэмпбелл с Захаревич доказали его наличие – при выполнении одного условия. Соответствие существует, если верен ещё один недоказанный результат, связанный с гипотезами Бейлинсона.

Две гипотезы Гончарова – классификация равносоставленных фигур по объёму и инварианту Дена, а также классификация алгебраических уравнений по аналогу инварианта Дена – не доказываются работой Кэмпбелла и Захаревич полностью. Однако их работа всё же обеспечивает математиков более чётким представлением о том, как доказать их все: если у вас получится доказать гипотезы Бейлинсона, тогда, благодаря работе Кэмпбелла и Захаревич, вы бесплатно получите в придачу и равносоставленность.

«Их работа действительно переосмысливает эту задачу, — сказал Вейбель. – Когда вы связываете таким образом две гипотезы, это проливает свет на структуру изучаемого объекта».

Кэмпбелл и Захаревич сейчас работают ещё с одним математиком, Даниилом Руденко из Чикагского университета, пытаясь определить связь между разрезанием фигур и разбором на части уравнений, предложенным Гончаровом. Руденко до этого уже несколько продвинулся в этом направлении. Теперь, совместно с Кэмпбеллом и Захаревич, он надеется продвинуться гораздо дальше.

«Думаю, у нас есть все шансы достичь значительного прогресса. Может быть, таким способом даже получится доказать гипотезы Гончарова», — сказал Руденко.