Облик странных аттракторов необычен и притягателен даже в двумерном измерении. Plotly позволяет строить их в трех измерениях, причем он дает возможность очень легко получить именно 3D-модель, которую можно «вертеть» и сквозь которую можно «пролетать» — ощущение «прикосновения».
С чего все началось
Все началось очень давно, где-то в 2007 году в университете я познакомился с теорией самоорганизации и впервые увидел аттрактор Лоренца, его черно-белую иллюстрацию в какой-то книге. Тогда мне показалось слишком странным, что нечто может двигаться по столь необычной траектории. Еще более странным мне казалась сама идея того, что практически все на свете может быть описано одной-единственной теорией.
В общем, все как обычно — мое мировоззрение поменялось, жизнь продолжалась, время шло. И вот, совсем недавно я натыкаюсь на ссылку и вижу вот это:
Изображение взято с сайта chaoticatmospheres.com
«Красиво.» — подумал я. Мысль о том, что все это можно построить в Matplotlib тоже промелькнула, но я уже заранее знал, что ничего впечатляющего не получится. И вот совсем недавно, буквально две недели назад, я познакомился с Plotly и сразу понял, что из этого может что-то получиться.
Первая попытка построения сразу же провалилась. Оказалось, что формулы на некоторых изображениях «Галереи странных аттракторов» содержат ошибки. Впрочем, автор галереи, честно предупреждает о том, что не является математиком, как и автор этой статьи.
Недолгое «гугление» позволило найти вот этот код, который оказался чрезвычайно полезен, а создал его Michael Tyka. Этот замечательный человек сделал целый плагин для Blender-а, позволяющий строить модели (!) 60-ти аттракторов. Фактически, их можно распечатать на 3D-принтере, а учитывая, что есть технологии печати воском, то можно довольно легко получить форму для отливки в бронзе.
Код для визуализации
Что ж, помимо, того что я являюсь математиком-любителем, я так же являюсь любителем-программистом. Так что не судите строго за качество кода.
################################ ### ИМПОРТИРУЕМ БИБЛИОТЕКИ ### ################################ import numpy as np from scipy.integrate import odeint import plotly.graph_objects as go ################################## ### РЕШАЕМ СИСТЕМУ УРАВНЕНИЙ ### ################################## # Система уравнений: def LorenzMod1(XYZ, t, alpha, beta, xi, delta): x, y, z = XYZ x_dt = -alpha*x + y*y - z*z + alpha*xi y_dt = x*(y - beta*z) + delta z_dt = -z + x*(beta*y + z) return x_dt, y_dt, z_dt # Параметры системы и начальные условия: alpha = 0.1 beta = 4 xi = 14 delta = 0.08 x_0, y_0, z_0 = 0, 1, 0 # Максимальное время и общее количество # временных точек: tmax, n = 100, 50000 # Интегрируем систему уравнений в каждой точке # временного интервала t: t = np.linspace(0, tmax, n) f = odeint(LorenzMod1, (x_0, y_0, z_0), t, args=(alpha, beta, xi, delta)) X, Y, Z = f.T ####################### ### ВИЗУАЛИЗИРУЕМ ### ####################### # Массив, отвечающий за изменение цвета: c = np.linspace(0, 1, n) # Готовим данные для отрисовки: DATA = go.Scatter3d(x=X, y=Y, z=Z, line=dict(color= c, width=3, # Выбираем цветовую палитру: # Greys,YlGnBu,Greens,YlOrRd,Bluered,RdBu, # Reds,Blues,Picnic,Rainbow,Portland,Jet, # Hot,Blackbody,Earth,Electric,Viridis,Cividis. colorscale="Cividis"), # Рисуем только линии: mode='lines') fig = go.Figure(data=DATA) # Задаем параметры отрисовки: fig.update_layout(width=1000, height=1000, margin=dict(r=10, l=10, b=10, t=10), # Устанавливаем цвет фона: paper_bgcolor='rgb(0,0,0)', scene=dict(camera=dict(up=dict(x=0, y=0, z=1), eye=dict(x=0, y=1, z=1)), # Устанавливаем пропорциональное # соотношение осей друг к другу: aspectratio = dict(x=1, y=1, z=1), # Отображаем, как указано в "aspectratio" aspectmode = 'manual', # Скрываем оси: xaxis=dict(visible=False), yaxis=dict(visible=False), zaxis=dict(visible=False) ) ) ###################### #!! ВОСТОРГАЕМСЯ !!# ###################### fig.show() В результате должна появиться 3D-модель странного аттрактора, называемого Lorenz Mod 1:
Нужно сразу отметить, что для решения систем дифференциальных уравнений была выбрана функция odeint из модуля SciPy, которая показалась мне самым простым и быстрым выходом для создания работающего кода. Однако, все уравнения могут решаться обычным методом Эйлера.
Для обозначения коэффициентов в коде я по привычке использовал названия греческих букв принятых в LaTeX-е. В работе с блокнотами Jupyter это иногда бывает очень полезно, так-как формулы могут быстро стать кодом, а код может быстро превратиться в формулы.
Если вы новичок в экосистеме Python, но хотите, что бы код гарантированно выполнился, то лучше всего установите последнюю версию дистрибутива Python Anaconda, а пакет Plotly через conda — встроенный менеджер пакетов дистрибутива.
Учитывая огромное количество странных аттракторов, построить их все, мне не представляется возможным. Поэтому, в этой статье я приведу лишь самые интересные из тех, что мне удалось построить.
The Chen-Lee Attractor
# Система уравнений: def ChenLee(XYZ, t, alpha, beta, delta): x, y, z = XYZ x_dt = alpha*x - y*z y_dt = beta*y + x*z z_dt = delta*z + x*y/3 return x_dt, y_dt, z_dt # Параметры системы и начальные условия: alpha = 5 beta = -10 delta = -0.38 x_0, y_0, z_0 = 1, 1, 1 # Максимальное время и общее количество # временных точек: tmax, n = 200, 30000 # Интегрируем систему уравнений в каждой точке # временного интервала t: t = np.linspace(0, tmax, n) f = odeint(ChenLee, (x_0, y_0, z_0), t, args=(alpha, beta, delta)) 
The Chua Attractor
# Система уравнений: def ChuaAttractor(XYZ, t, alpha, beta, zeta, delta): x, y, z = XYZ h = zeta*x + (0.5*(delta - zeta))*(np.abs(x + 1) - np.abs(x - 1)) x_dt = alpha*(-x + y - h) y_dt = x - y + z z_dt = -beta*y return x_dt, y_dt, z_dt # Параметры системы и начальные условия: alpha = 15.6 beta = 25.58 zeta = -5/7 delta = -8/7 x_0, y_0, z_0 = 1.8, -0.7, -2.85 # Максимальное время и общее количество # временных точек: tmax, n = 200, 10000 # Интегрируем систему уравнений в каждой точке # временного интервала t: t = np.linspace(0, tmax, n) f = odeint(ChuaAttractor, (x_0, y_0, z_0), t, args=(alpha, beta, zeta, delta)) 
The Coullet Attractor
# Система уравнений: def Coullet(XYZ, t, alpha, beta, zeta, delta): x, y, z = XYZ x_dt = y y_dt = z z_dt = alpha*x + beta*y + zeta*z + delta*x**3 return x_dt, y_dt, z_dt # Параметры системы и начальные условия: alpha = 0.8 beta = -1.1 zeta = -0.4 delta = -1 x_0, y_0, z_0 = 0.1, 0, 0 # Максимальное время и общее количество # временных точек: tmax, n = 200, 20000 # Интегрируем систему уравнений в каждой точке # временного интервала t: t = np.linspace(0, tmax, n) f = odeint(Coullet, (x_0, y_0, z_0), t, args=(alpha, beta, zeta, delta)) 
The Dadras Attractor
# Система уравнений: def DadrasAttractor(XYZ, t, rho, sigma, tau, zeta, epsilon): x, y, z = XYZ x_dt = y - rho*x + sigma*y*z y_dt = tau*y - x*z + z z_dt = zeta*x*y - epsilon*z return x_dt, y_dt, z_dt # Параметры системы и начальные условия: rho = 3 sigma = 2.7 tau = 1.7 zeta = 2 epsilon = 9 x_0, y_0, z_0 = 0.1, 0.03, 0 # Максимальное время и общее количество # временных точек: tmax, n = 220, 40000 # Интегрируем систему уравнений в каждой точке # временного интервала t: t = np.linspace(0, tmax, n) f = odeint(DadrasAttractor, (x_0, y_0, z_0), t, args=(rho, sigma, tau, zeta, epsilon)) 
The Dequan Li Attractor
# Система уравнений: def DequanLi(XYZ, t, alpha, beta, delta, epsilon, rho, xi): x, y, z = XYZ x_dt = alpha*(y - x) + delta*x*z y_dt = rho*x + xi*y -x*z z_dt = beta*z + x*y - epsilon*x*x return x_dt, y_dt, z_dt # Параметры системы и начальные условия: alpha = 40 beta = 1.833 delta = 0.16 epsilon = 0.65 rho = 55 xi = 20 x_0, y_0, z_0 = 0.01, 0, 0 # Максимальное время и общее количество # временных точек: tmax, n = 50, 40000 # Интегрируем систему уравнений в каждой точке # временного интервала t: t = np.linspace(0, tmax, n) f = odeint(DequanLi, (x_0, y_0, z_0), t, args=(alpha, beta, delta, epsilon, rho, xi)) 
The Finance Attractor
# Система уравнений: def FinanceAttractor(XYZ, t, alpha, beta, zeta): x, y, z = XYZ x_dt = (1/beta - alpha)*x + x*y + z y_dt = -beta*y - x**2 z_dt = -x - zeta*z return x_dt, y_dt, z_dt # Параметры системы и начальные условия: alpha = 0.001 beta = 0.2 zeta = 1.1 x_0, y_0, z_0 = 0.1, 0, 0 # Максимальное время и общее количество # временных точек: tmax, n = 300, 40000 # Интегрируем систему уравнений в каждой точке # временного интервала t: t = np.linspace(0, tmax, n) f = odeint(FinanceAttractor, (x_0, y_0, z_0), t, args=(alpha, beta, zeta)) 
The Four-Wing Attractor
# Система уравнений: def FourWing(XYZ, t, alpha, beta, zeta): x, y, z = XYZ x_dt = alpha*x + y + y*z y_dt = -x*z + y*z z_dt = -z - zeta*x*y + beta return x_dt, y_dt, z_dt # Параметры системы и начальные условия: alpha = 5 beta = 16 zeta = 2 x_0, y_0, z_0 = 1, -1, 1 # Максимальное время и общее количество # временных точек: tmax, n = 100, 60000 # Интегрируем систему уравнений в каждой точке # временного интервала t: t = np.linspace(0, tmax, n) f = odeint(FourWing, (x_0, y_0, z_0), t, args=(alpha, beta, zeta)) 
The Hadley Attractor
# Система уравнений: def HadleyAttractor(XYZ, t, alpha, beta, xi, delta): x, y, z = XYZ x_dt = -y*y - z*z - alpha*x + alpha*xi y_dt = x*y - beta*x*z - y + delta z_dt = beta*x*y + x*z-z return x_dt, y_dt, z_dt # Параметры системы и начальные условия: alpha = 0.2 beta = 4 xi = 8 delta = 1 x_0, y_0, z_0 = 0.39, -1, 0 # Максимальное время и общее количество # временных точек: tmax, n = 100, 10000 # Интегрируем систему уравнений в каждой точке # временного интервала t: t = np.linspace(0, tmax, n) f = odeint(HadleyAttractor, (x_0, y_0, z_0), t, args=(alpha, beta, xi, delta)) 
The Halvorsen Attractor
# Система уравнений: def HalvorsenAttractor(XYZ, t, alpha): x, y, z = XYZ x_dt = -alpha*x - 4*y - 4*z - y*y y_dt = -alpha*y - 4*z - 4*x - z*z z_dt = -alpha*z - 4*x - 4*y - x*x return x_dt, y_dt, z_dt # Параметры системы и начальные условия: alpha = 1.4 x_0, y_0, z_0 = -5, 0, 0 # Максимальное время и общее количество # временных точек: tmax, n = 100, 10000 # Интегрируем систему уравнений в каждой точке # временного интервала t: t = np.linspace(0, tmax, n) f = odeint(HalvorsenAttractor, (x_0, y_0, z_0), t, args=(alpha,)) 
The Liu-Chen Attractor
# Система уравнений: def LiuChen(XYZ, t, alpha, beta, sigma, delta, epsilon, xi): x, y, z = XYZ x_dt = alpha*y + beta*x + sigma*y*z y_dt = delta*y - z + epsilon*x*z z_dt = xi*z - x*y return x_dt, y_dt, z_dt # Параметры системы и начальные условия: alpha = 2.4 beta = -3.75 sigma = 14 delta = -11 epsilon = 4 xi = 5.58 x_0, y_0, z_0 = 1, 3, 5 # Максимальное время и общее количество # временных точек: tmax, n = 55, 50000 # Интегрируем систему уравнений в каждой точке # временного интервала t: t = np.linspace(0, tmax, n) f = odeint(LiuChen, (x_0, y_0, z_0), t, args=(alpha, beta, sigma, delta, epsilon, xi)) 
The Lorenz Mod 2 Attractor
# Система уравнений: def LorenzMod2(XYZ, t, alpha, beta, xi, delta): x, y, z = XYZ x_dt = -alpha*x + y**2 -z**2 + alpha*xi y_dt = x*(y - beta*z) + delta z_dt = -z + x*(beta*y + z) return x_dt, y_dt, z_dt # Параметры системы и начальные условия: alpha = 0.9 beta = 5 xi = 9.9 delta = 1 x_0, y_0, z_0 = 5, 5, 5 # Максимальное время и общее количество # временных точек: tmax, n = 50, 50000 # Интегрируем систему уравнений в каждой точке # временного интервала t: t = np.linspace(0, tmax, n) f = odeint(LorenzMod2, (x_0, y_0, z_0), t, args=(alpha, beta, xi, delta)) 
The Modified Chua Chaotic Attractor
# Система уравнений: def ChuaModified(XYZ, t, alpha, beta, gamma, delta, zeta): x, y, z = XYZ h = -delta*np.sin((np.pi*x)/(2*gamma)) x_dt = alpha*(y - h) y_dt = x - y + z z_dt = -beta*y return x_dt, y_dt, z_dt # Параметры системы и начальные условия: alpha = 10.82 beta = 14.286 gamma = 1.3 delta = 0.11 zeta = 7 x_0, y_0, z_0 = 1, 1, 0 # Максимальное время и общее количество # временных точек: tmax, n = 200, 10000 # Интегрируем систему уравнений в каждой точке # временного интервала t: t = np.linspace(0, tmax, n) f = odeint(ChuaModified, (x_0, y_0, z_0), t, args=(alpha, beta, gamma, delta, zeta)) 
The Newton Leipnik Attractor
# Система уравнений: def NewtonLeipnik(XYZ, t, alpha, beta): x, y, z = XYZ x_dt = -alpha*x + y + 10*y*z y_dt = -x - 0.4*y + 5*x*z z_dt = beta*z - 5*x*y return x_dt, y_dt, z_dt # Параметры системы и начальные условия: alpha = 0.4 beta = 0.175 x_0, y_0, z_0 = 0.349, 0, -0.16 # Максимальное время и общее количество # временных точек: tmax, n = 300, 50000 # Интегрируем систему уравнений в каждой точке # временного интервала t: t = np.linspace(0, tmax, n) f = odeint(NewtonLeipnik, (x_0, y_0, z_0), t, args=(alpha, beta)) 
The Nose-Hoover Attractor
# Система уравнений: def NoseHoover(XYZ, t, alpha): x, y, z = XYZ x_dt = y y_dt = -x + y*z z_dt = alpha - y*y return x_dt, y_dt, z_dt # Параметры системы и начальные условия: alpha = 1.5 x_0, y_0, z_0 = 1, 0, 0 # Максимальное время и общее количество # временных точек: tmax, n = 150, 10000 # Интегрируем систему уравнений в каждой точке # временного интервала t: t = np.linspace(0, tmax, n) f = odeint(NoseHoover, (x_0, y_0, z_0), t, args=(alpha,)) 
The Roessler Attractor
# Система уравнений: def Roessler(XYZ, t, alpha, beta, sigma): x, y, z = XYZ x_dt = -(y + z) y_dt = x + alpha*y z_dt = beta + z*(x - sigma) return x_dt, y_dt, z_dt # Параметры системы и начальные условия: alpha = 0.2 beta = 0.2 sigma = 5.7 x_0, y_0, z_0 = 1, 1, 1 # Максимальное время и общее количество # временных точек: tmax, n = 300, 50000 # Интегрируем систему уравнений в каждой точке # временного интервала t: t = np.linspace(0, tmax, n) f = odeint(Roessler, (x_0, y_0, z_0), t, args=(alpha, beta, sigma)) 
The Sakarya Attractor
# Система уравнений: def SakaryaAttractor(XYZ, t, alpha, beta): x, y, z = XYZ x_dt = -x + y + y*z y_dt = -x - y + alpha*x*z z_dt = z - beta*x*y return x_dt, y_dt, z_dt # Параметры системы и начальные условия: alpha = 0.4 beta = 0.3 x_0, y_0, z_0 = 1, -1, 1 # Максимальное время и общее количество # временных точек: tmax, n = 100, 10000 # Интегрируем систему уравнений в каждой точке # временного интервала t: t = np.linspace(0, tmax, n) f = odeint(SakaryaAttractor, (x_0, y_0, z_0), t, args=(alpha, beta)) 
The Thomas Attractor
# Система уравнений: def Thomas(XYZ, t, beta): x, y, z = XYZ x_dt = -beta*x + np.sin(y) y_dt = -beta*y + np.sin(z) z_dt = -beta*z + np.sin(x) return x_dt, y_dt, z_dt # Параметры системы и начальные условия: beta = 0.19 x_0, y_0, z_0 = 0.1, 0, 0 # Максимальное время и общее количество # временных точек: tmax, n = 185, 10000 # Интегрируем систему уравнений в каждой точке # временного интервала t: t = np.linspace(0, tmax, n) f = odeint(Thomas, (x_0, y_0, z_0), t, args=(beta,)) 
The Three-Scroll Unified Chaotic System Attractor (TSUCS1)
# Система уравнений: def TSUCS1(XYZ, t, alpha, beta, delta, epsilon, xi): x, y, z = XYZ x_dt = alpha*(y - x) + delta*x*z y_dt = xi*y - x*z z_dt = beta*z + x*y - epsilon*x*x return x_dt, y_dt, z_dt # Параметры системы и начальные условия: alpha = 40 beta = 0.833 delta = 0.5 epsilon = 0.65 xi = 20 x_0, y_0, z_0 = 0.01, 0, 0 # Максимальное время и общее количество # временных точек: tmax, n = 70, 50000 # Интегрируем систему уравнений в каждой точке # временного интервала t: t = np.linspace(0, tmax, n) f = odeint(TSUCS1, (x_0, y_0, z_0), t, args=(alpha, beta, delta, epsilon, xi)) 
The Wang-Sun Attractor
# Система уравнений: def WangSunAttractor(XYZ, t, alpha, beta, zeta, delta, epsilon, xi): x, y, z = XYZ x_dt = alpha*x + zeta*y*z y_dt = beta*x + delta*y - x*z z_dt = epsilon*z + xi*x*y return x_dt, y_dt, z_dt # Параметры системы и начальные условия: alpha = 0.2 beta = -0.01 zeta = 1 delta = -0.4 epsilon = -1 xi = -1 x_0, y_0, z_0 = 0.5, 0.1, 0.1 # Максимальное время и общее количество # временных точек: tmax, n = 500, 30000 # Интегрируем систему уравнений в каждой точке # временного интервала t: t = np.linspace(0, tmax, n) f = odeint(WangSunAttractor, (x_0, y_0, z_0), t, args=(alpha, beta, zeta, delta, epsilon, xi)) 
В заключение
Огонь, вода, земля, небо, солнце, луна, звезды — все это самые древние поэтические сущности. Очень часто мне удается найти в математике что-то такое же прекрасное. Но гораздо чаще я даже не понимаю, как обо всем этом говорить на математическом языке и языке обычном. Не понимаю, но хочется научиться.
Но вот что я осознал на все 100%, так это то, что современные инструменты визуализации дают фантастическую возможность выразить свое отношение к тому чем ты сейчас занят, возможность показать, как это важно для тебя и как тебе это интересно. Сделать все это без слов.
ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/post/480660/
Добавить комментарий