Эпидемиологическая модель Covid-19

Последнее время было достаточно различных моделей развития эпидемии, в том числе и на Хабре. Не обошла эта тема стороной и меня. Я вряд ли бы написал здесь, но учитывая то, что удалось найти, важность обнаруженных зависимостей и их влияние на нашу жизнь, не могу не поделиться находкой. Будет много формул, графиков и мало текста. Основная информация и графики для Германии, где я и проживаю.

Итак, эпидемиологическая модель в первом приближении описывается формулой роста инфицированных.

Минутка заботы от НЛО

В мире официально объявлена пандемия COVID-19 — потенциально тяжёлой острой респираторной инфекции, вызываемой коронавирусом SARS-CoV-2 (2019-nCoV). На Хабре много информации по этой теме — всегда помните о том, что она может быть как достоверной/полезной, так и наоборот.

Мы призываем вас критично относиться к любой публикуемой информации

Официальные источники

• Cайт Министерства здравоохранения РФ
• Cайт Роспотребнадзора
• Сайт ВОЗ (англ)
• Сайт ВОЗ
• Сайты и официальные группы оперативных штабов в регионах

Если вы проживаете не в России, обратитесь к аналогичным сайтам вашей страны.

Мойте руки, берегите близких, по возможности оставайтесь дома и работайте удалённо.

Читать публикации про: коронавирус | удалённую работу

$$

где $$ — время удвоения инфицированных в нашем случае в днях, $$ количество дней, $$ количество инфицированных в определенный момент времени и $$ — количество заболевших через $$ дней. Если разделить обе части формулы на общее население региона, то получим ту же формулу, но в частях от популяции $$.

$$

Проблема этой формулы в том, что формула не учитывает ограниченность населения и $$ вскоре будет больше 1. Этого в реальной жизни не случается.

Существует эпидемиологический фактор говорящий нам о том, до какого уровня может расти количество заболевших. Он рассчитывается на основе базового числа репродукции $$. Это число говорит нам о том скольких людей примерно заражает один инфицированный, является константой и специфична для каждого конкретного региона в зависимости от плотности населения и других особенностей региона. Его можно определить только в начале эпидемии, когда нет никаких ограничивающих факторов. Сама формула выглядит так:

$$

Также есть эффективное число репродукции $$, которое также говорит нам о том, скольких людей заражает больной. В отличие от базового числа, эффективное меняется постоянно. Определить это значение можно используя формулу выше и зная количество зараженных в определенный момент времени:

$$

Если взять упрощенную SEIR^[1] модель эпидемии, то можно обнаружить дополнительные факторы описывающие характеристики эпидемии, как например коэффициент роста $$ или время заразности больного $$. Следующие формулы показывают взаимосвязь между величинами.

$$

$$

Используя вышеприведенные формулы мы можем вывести следующую зависимость

$$

и подставив ее в (1) получим:

$$

или после упрощения

$$

Если нам нужно определить значение на следующий день, то $$

$$

Эффективное число репродукции для конкретного времени $$ может быть вычислено из формулы (2) и тогда зная только базовое число репродукции $$ и количество зараженных в текущий момент $$ мы с легкостью можем вычислить процент зараженных на следующий день.

$$

В этой формуле всего один параметр $$, который можно вычислить из времени удвоения в начале эпидемии. Приняв например $$ и сделав n шагов мы получим эпидемиологическое состояние через n дней. Время, форма кривой, значение насыщения, количество заболевших в определенный момент времени и прочие параметры выскакивают из формулы «как чертик из табакерки».

Как быть с карантином и прочими факторами влияющими на течение эпидемии?

Каждая из принятых мер корректирует базовое число репродукции на некоторый фактор (множитель) $$ следующим образом:

$$

Можно даже для простоты определить «ограничивающее» базовое репродукционное число:

$$

Далее в каких-то временных точках можно просто менять одно репродукционное число на другое, меняя условия распространения эпидемии.

В модели нет других параметров и возможностей коррекции, а также дополнительных степеней свободы. В качестве времени заразности больного $$ было взято значение 10^[2], что подтвердило данное исследование.

Как же с проверкой?

Дальше будут графики на основе данных из Германии.

Было всего 3 точки интервенции, указанные в следующей таблице:

Что привело к следующим результатам.

Видно, что количество переболевших в Германии около 40% и коэффициент детектированных случаев к фактически инфицированным равен 1:200.

Точки интервенции и сравнение данных модели с фактическими величинами извлеченными из публичных данных видны на графике изменения эффективного числа репродукции.

Совпадение данных и качество модели можно проверить на графиках регрессии:

Предвосхищая вопрос: А что же в России? Выложу графики роста и эффективного числа репродукции. Они были сделаны вчера на скорую руку.

В России около 16% заражено или переболели. Отношение детектированных случаев к инфицированным 1:205.

Модель и расчеты для Германии выложены на GitHub. Там не только эти данные, но и исследования по смертельным случаям.

Вчера я послал письма в центры занимающиеся развитием эпидемии в Германии и пока жду от них ответа.

Фактически это первое публичное место куда я официально выложил результаты. Учитывая важность результата и влияние на нашу повседневную жизнь, не стал терять времени на написание симуляционной модели и выложил все результаты в обычном Excel. Просьба при упоминании исследования ссылаться на эту статью.

Я прошу прощения, но не смогу отвечать на все вопросы и отслеживать ответы. Многие ответы есть на форуме в Германии, где и велась разработка этой модели. Я надеюсь, модераторы простят мне эту вольность, но оставляю это решение на их усмотрение.

References
[1] J. M. Heffernan et al. Perspectives on the basic reproductive ratio. doi.org/10.1098/rsif.2005.0042 J. R. Soc. Interface 2005 2, 281–293 (2005)

[2] Xi He, Eric H. Y. Lau et al. Temporal dynamics in viral shedding and transmissibility of COVID-19. www.nature.com/articles/s41591-020-0869-5 Nature (2020)