SavePearlHarbor

Простое и точное решение задачи про колодец лотоса

—

от автора

admin
Солнце восходит над древнем Египтом, солнечный бог Ра послал править людьми фараона. А у фараона есть помощники по связи с начальством, жрецы, которые вполне могли бы задавать новобранцем какую нибудь хитрую задачку, на отбор. Я точно не знаю, так ли это всё было, но пример задачки существует, и в моём пересказе звучит так.

В «колодце лотоса», круглом, с ровным дном и вертикальными стенками, должен быть уровень воды ровно один древнеегипетский метр. Определяют сколько наливать просто: бросают две жерди, длиной два и три метра, они нижними концами встают напротив друг друга, и пересекаются ровно на нужной высоте. Каков диаметр колодца.

Конечно, можно сразу перевести задачу в плоскость. Построим модель колодца, радиусом в один метр, соответственно, в плоскости шириной в два.
Чтобы изобразить жерди, можно использовать зависимости координат

$n = a(1 - m)$
$n = b(1 + m)$

Где a и b это высота пересечений с осью колодца для длинной и короткой жерди. Для отображения каждой точки жерди n это вертикальная координата, m это горизонтальная. Так можно и оставить дальше, для обозначения координат пересечения, в виде уровня над дном и смещения от оси.

Наш колодец другой ширины, так что и уровень воды будет не метр. Вполне ясен коэффициент масштаба между колодцами — он, так как уровень надо привести к единице, равен $1/n$. Или $L/2$, так как ширину надо привести от 2 к L.
Получается, $n = \frac{2}{L}$.

Так как $a(1 - m) = b(1 + m)$ то $\frac{a}{b} = \frac{1 + m}{1 - m} = \frac{2}{1 - m} - 1$

После «разворота»:
$m = \frac{a - b}{a + b}$

После подстановки:
$n = \frac{2ab}{a + b}$

Для n можно построить ещё одно выражение.
$n^2 = ab(1 - m^2)$
После деления
$n = \frac{(1 - m^2)(a + b)}{2}$

Для m можно получить ещё одну закономерность:
$m(a + b) = a - b$
После умножения
$m(a + b)^2 = a^2 - b^2$

Теперь обозначим условия задачи.
Длина жердей по теореме Пифагора:
$(2a)^2+(2)^2 = (3n)^2$
$(2b)^2+(2)^2 = (2n)^2$

Или проще:
$a^2 = \frac{9}{4}n^2 - 1$
$b^2 = n^2 - 1$

Если убрать из правой части n:
$4 a^2 - 9 b^2 = 5$

Если убрать из правой части константу:
$a^2 - b^2 = \frac{5}{4} n^2$

Это уравнение можно выразить через $m$ и $(a + b)$:
$m(a + b)^2 = \frac{5}{4}\left(\frac{(1 - m^2)(a + b)}{2}\right)^2$
$m(a + b)^2 = \frac{5}{4}\frac{(1 - m^2)^2(a + b)^2}{4}$

И тут $(a + b)^2$ прекрасно сокращается.

$m = \frac{5}{16}(1 - m^2)^2$

Из этого определения m уже можно посчитать без решения уравнений четвертой степени, а просто подставляя значение в формулу по кругу несколько раз.

Но если сделать замену

$r = \frac{m^2}{2}$

то уравнение станет

$\sqrt{2r} = \frac{5}{4}\left(r - \frac{1}{2}\right) ^ 2$

Получается, чтобы решить задачу нужно всего-то пересечь две параболы разного размера, которые друг относительно друга повернуты на прямой угол, и край одной лежит на оси другой.

Как же из r вывести L?

Из $4 a^2 - 9 b^2 = 5$ выводится $4 \frac{a^2}{b ^ 2} - 9 = \frac{5}{b ^ 2}$

$b ^ 2 = \frac{5}{4\left(\frac{a}{b}\right)^2- 9}$

И тогда доступна такая последовательность преобразований:

$r \rightarrow m \rightarrow \frac{a}{b} \rightarrow b^2 \rightarrow n \rightarrow L$

$m = \sqrt{2r}$

$\frac{a}{b} = \frac{2}{1 - m} - 1$

$b^2 = \frac{5}{4\left(\frac{a}{b}\right)^2 - 9}$

$n = \sqrt{b^2 + 1}$

$L = \frac{2}{n}$

В итоге получается

$L = \frac{2}{\sqrt{\frac{5}{4\left(\frac{2}{1-\sqrt{2r}}-1\right)^2-9}+1}}$

Поэтому, простой ответ такой:

$\Large L = \frac{2}{\sqrt{\frac{5}{4\left(\frac{2}{1-\underbrace{\frac{5}{4}\left(r - \frac{1}{2}\right)^2}_{m=\sqrt{2r}}}-1\right)^2-9}+1}}$

$L = 1,2311857...$

Вот и всё, осталось построить, и по древнеегипетской традиции налить…

Впрочем, можно ещё избавиться от рекурсии и найти из уравнения $\sqrt{2r} = \frac{5}{4}\left(r - \frac{1}{2}\right) ^ 2$ нужный нам корень.

Получится

$u =\sqrt[3]{\frac{3}{5} (9+2\sqrt{39})}$

$w =\frac{8}{5}\left(\frac{u}{3}-\frac{1}{u}\right)$

$r = \frac{1 + \sqrt{w} - \sqrt{\frac{64}{25\sqrt{w}}-w}}{2}$

Наверное, новобранцам давали две глиняных таблички, на одну бы не влезло.

ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/post/504428/

Комментарии

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *