Однажды от своих родственников я услышал такую фразу: «Люди на МехМате МГУ не могут быть нормальными, ведь они могут представить себе 7-ми мерное пространство!»
И когда я это услышал, мне тоже показалось, что это — что-то нереальное, невозможное… Но вот прошли года, и когда я снова услышал эту фразу, меня повергло в шок — я тоже могу представить 7-ми мерное пространство и не сломаться. Или я уже не из тех, кто может спокойно гулять по улицам?
Ответ, казалось бы, так прост и так несложен, но многие просто не задумывались над этим вопросом, и поэтому это кажется чем-то странным и нереальным.
Так вот, в данной статье я хочу задуматься, ответить и рассказать, что же за простой ответ скрывается под таким странным вопросом: «Что такое 7-ми мерное пространство?»
В данной статье я попытаюсь рассказать свое понимание многомерного пространства, как я представляю его в своей голове. Возможно, что-то может показаться немного нестрогим – так оно и есть, понятное дело, я пропускаю некоторые детали и пытаюсь писать максимально научно-популярным языком. Надеюсь, Вам понравится мое видение многомерного пространства и Вы почувствуете ту же красоту математики, которую я вижу в данной иллюстрации чего-то непонятного.
Я постараюсь описать некоторые детали с самых азов, вкратце, чтобы любой желающий мог бы разобраться в моих словах.
Оглавление
Выражаю благодарность @AnnRemi за помощь в редактировании и опускании на землю моих амбиций по статье.
Начало начал, или что такое вектор
Вектор: наверняка каждый сталкивался с таким понятием в школе, это не сложно и очень понятно.
Вектором называется направленный отрезок или просто луч, имеющий конкретную длину.
То есть если луч, как и прямая — понятие бесконечное и простирается вправо и влево в бесконечность, то вектор — понятие ограниченное длиной. Обычная стрелочка, нарисованная на бумаге — вектор. Линейкой мы можем измерить длину этой стрелочки, а направление «этой длины» показывает сама стрелка. Важно понимать, что нам не важно, откуда отложен наш вектор, из какой точки. Нужно знать только длину и направление. Обычно мы изображаем наш вектор в осях координат — так удобно находить его параметры.
Для удобства мы отмечаем на оси Х и на оси У проекции наших точек. Теперь, чтобы посчитать длину нашего вектора достаточно воспользоваться Теоремой Пифагора
Направление, или угол наклона относительно оси Х легко посчитать, например, через тангенс, ведь мы знаем длины обоих катетов треугольника
Понятие радиус-вектора
Как мы уже увидели, в векторе нам важны только две вещи: длина и направление, так зачем его рисовать где-то в середине нашей координатной плоскости. Давайте сместим наш вектор к началу оси координат. Тогда нам надо будет хранить только координаты конца вектора — а координаты начала вектора у нас будут нулевыми.
Так теперь надо будет меньше мучаться — храним в векторе просто координаты его конца.
Такие вектора называются в школе радиус-векторами, но в дальнейшем мы будем все вектора брать радиус-векторами, ведь, как мы помним, все вектора имеющие одно направление и одну длину — одинаковые, один и тот же вектор, так почему бы нам не взять тот, который удобнее всего записывается.
Трехмерный вектор
Если мы уже разобрались, что такое вектор на плоскости — давайте перейдем к вектору в трехмерном пространстве — в объемном мире.
Достаточно просто представить себе стрелку в объеме — достаточно вспомнить, как Вы что-то измеряли рулеткой. Прислонили конец к шкафу, другой к полу, и померили его диагональ. Ну или не шкаф… каждому свое. Но точно можно сказать, что такое трехмерный вектор.
Но давайте немного формулизируем то, что мы поняли. Представим трехмерные координаты и в них наш радиус-вектор AB.
Понятно, что нам теперь совсем не хватит двух координат для описания вектора AB. Так что давайте добавим третью координату, просто дописав ее в конце.
Хммм… интересно, а по какому признаку мы можем вот так просто приписывать координаты? Может, можно просто так добить вектор до семимерного? Ну в принципе, нас никто остановить не может, и мы именно так и поступим, но сначала немного окунемся в линейную алгебру.
Базис в пространстве
Базис — упорядоченный набор векторов в векторном пространстве, такой, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого набора.
Линейная комбинация – это сумма некоторого набора элементов множества с допустимыми коэффициентами.
Также я собираюсь использовать в дальнейшем удобное следствие определения базиса: мы можем расширять наш базис с помощью векторов, линейно независимых с базисными.
Что значит расширить базис? Добавить еще один вектор, тем самым расширяя наше пространство еще в одном направлении.
Выше мы уже научились строить трехмерное пространство — просто объемный мир, в котором мы живем. Давайте попробуем расширить наш базис. Самым очевидным расширением базиса будет добавление времени, как еще одного параметра. То есть четырехмерное измерение — это объемная жизнь с привязкой ко времени. Ну разве это не похоже на обычную жизнь человека? То есть все это время мы жили в четырехмерном пространстве, а не трехмерном?…
И, как не сложно заметить, время линейно независимо от объема, то есть наше расширение базиса вполне корректно.
7ми мерное пространство и почему только 7ми?
Как нам представить 5ти мерное пространство? Но мы же уже сказали, что на самом деле пространство — это то, что его задает — базис. То есть давайте теперь мыслить о пространстве, как о наборе параметров каждой его точки. Например для трехмерного объекта мы помним 3 координаты в пространстве — по x, y, z. И у нас это не вызывает диссонанса.
Давайте к координатам припишем еще и время, в которое у нас наблюдалась данное расположение тел. Например, у нас катится шар и мы следим за положением его центра. В момент времени 0 шар покоился. В 0,0…01 он уже сместился. В момент времени 9…9,0 он уже находится в совершенно другом месте. Но зачем нам так думать? Пусть эта точка шара существует одновременно везде, где проехался шар, только мы будем помнить, что в каждой точке мы еще приписываем время, когда шар был именно в данной позиции. Вот Вам и 4х мерное пространство — не сложно.
Казалось, так можно навесить еще какие-то параметры, такие как скорость ветра, влажность воздуха, сила трения и так далее, но давайте не будем извращаться и перейдем к более жизненному понятию.
Допустим у нас есть разные гаечки (прошу прощения, если я ошибусь в параметрах или названиях, я совсем не инженер). Для удобной фасовки и продажи гаек надо распределить их на группы одинаковых. Но как мы будем их отличать? Давайте запишем какой-то набор параметров (не претендующий на правильность):
-
Сплав метала гайки
-
Внутреннее сечение гайки
-
Внешняя форма гайки
-
Направление резьбы гайки
-
Максимальная нагрузка на гайку
-
Самозажимающаяся ли гайка?
-
Максимальная температура, при которой гайка выдерживает достаточную нагрузку
-
…
Понятно, что таких параметров может быть сколь угодно много. Но мы остановимся на 7ми — именно столько заявлено в заголовке статьи. Важно помнить! каждый параметр обязан быть независим от любого предыдущего. В нашем случае это условие выполняется: направление резьбы никак не зависит от сплава метала или от внутреннего сечения гайки… И так с каждым из параметров.
То есть только что мы создали свой, очень странный базис, где элементами нашего пространства выступают гайки, и мы их можем удобно расфасовать. Это и есть элементарное представление нашего 7ми и не только 7ми, но и большего, пространства.
Пространство — не куб!
В заголовке статьи я обещал куб, но пока говорил только о пространстве. Давайте определим, что же такое куб.
Например, в 2х мерном пространстве куб, очевидно,- это квадрат. То есть объект с точками вершинами:
В трехмерном пространстве куб — есть куб. С координатами:
Как мы заметили, в двумерном пространстве у куба 4 = 2^2 вершин, в трехмерном 8 = 2^3. Совпадение? Маловероятно. Ну и правильно, ведь из простейшей комбинаторики мы помним, что количество вершин равно 2^n для n-мерного куба. Ведь мы либо берем каждый из базисных n векторов, либо нет.
Тогда для построение 7ми или n-мерного куба нам достаточно взять точки с фиксированными координатами (0 или a) по каждой из осей.
Интересный факт
Именно из-за удобства понимания и описания n-мерного куба мы меряем любую n-мерную поверхность таким способом. Площадь квартиры с помощью квадратных метров, длину прямой в метрах, объем в кубических метрах. Это все кубы разной размерности. И в математике нам очень удобно оперировать именно такими понятиями. Примерно так мы определяем меру множества, которая очень важна для теории интегралов, теории вероятностей, теории меры и очень много где еще.
Послесловие
Как Вы, наверное, заметили, я привожу совсем иное понимание многомерного куба, в отличие от общепринятого.
Не то, чтобы красивые картинки многомерных кубов не вызывали у меня восхищения – совсем нет, но в этом есть что-то нереальное, непонятное и неприложимое. Я совсем не претендую на прикладное значение сортировки гаек, но мне кажется довольно захватывающим такое представление многомерности: как что-то такое далекое может быть таким емким.
На самом деле я просто не имею настолько развитого пространственного воображения: я не понимаю, как можно визуализировать 4х, 5ти и более мерный куб на 2D картинке.
Также такая иллюстрация не позволяет представить, как увеличить пространство еще в одном направлении. Так что именно данная тема не рассматривается в моей статье, но, если Вас заинтересовал Тессеракт, есть огромная куча других, очень интересных, статей, описывающих его построение и даже расширение.
ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/post/542450/
Добавить комментарий