Старинное искусство номографии

Впервые увидел этот странный график в лаборатории университета. Невзрачный листок, ксерокопированный из старой книги, был наклеен на стену рядом с роторным испарителем. Листок, очевидно, использовали часто, но берегли, словно в нём содержалось какое-то древнее могучее заклинание… Впоследствии, схожего рода графики попадались мне и в других лабораториях, словно составляли неотъемлемую часть перегонки с вакуумом. Затем похожие рисунки встречались на страницах разной технической литературы. Их называли номограммы. Научиться ими пользоваться оказалось до смешного просто, но кто и как их в своё время сделал — оставалось загадкой.

Как выглядят номограммы и как они работают

Номограмма, что часто используется при перегонке с вакуумом приведена на рисунке ниже.

Допустим, вы провели реакцию в растворителе, а теперь собираетесь его удалить (выпарить), чтобы собрать продукт реакции. Растворитель улетучивается изнурительно медленно, а чтобы ускорить процесс, вы решаете его нагреть, но вот беда — греть раствор нежелательно, так как продукт реакции от нагревания может испортиться. Создав пониженное давление, вы уменьшите температуру кипения растворителя и сумеете его отделить не причинив вреда растворенному в нем веществу. При нормальном атмосферном давлении 760 мм ртутного столба вода кипит при 100 С, однако, при давлении 40 мм кипит уже при 34 С.

А как быть с гамма-бутиролактоном, который кипит при 204 С? Отмечаем на оси "Температура кипения при 760 мм" точку 204 С, выставляем на кривой оси "Остаточное давление" 5 мм, проводим прямую до пересечения с третьей осью. Ага, значит, в этих условиях наш растворитель начнет выкипать примерно при 70 С.

Это был пример достаточно простой номограммы. Ниже я привожу более сложную. Достоинство номограмм в том, что в них умещаются довольно сложные функциональные зависимости с несколькими переменными. В самом деле, сколько бы понадобилось обычных графиков вида $inline$ для такой задачи?

Второй момент — эмпирические формулы бывают сложны для запоминания и неудобны. Вдруг неохота доставать смартфон, искать соответствующую программу, или же вообще тащить с собой компьютер. А так — вот в заводском помещении висит психрометр для замера влажности воздуха, вот номограмма — по ней легко прикинуть влажность.

Разбираемся и делаем свои номограммы

Основания общей теории номографических построений дал Морис Окань (1884—1891) — в его же работах впервые появился термин «номограмма». Книга Traité de nomographie. Théorie des abaques. Applications pratiques доступна онлайн. Это истоки. Более краткое современное изложение принципов номографии, по которому я учился делать номограммы читайте здесь — The Lost Art of Nomography by Ron Doerfler.

Итак, начнём!

Чтобы сделать номограмму определения температуры кипения при разных давлениях нам понадобится правило Трутона: молярная энтропия испарения разных веществ при нормальной температуре кипения является постоянной величиной. Затем, уравнение Клапейрона — Клаузиуса:

$\frac{d \ln p}{dT} = \frac{\Delta H_{vap}}{RT^2}$

где $\Delta H_{vap}$ — энтальпия испарения, $inline$ — газовая постоянная.

Интегрируя последнее уравнение мы получаем:

$\ln \frac{p}{p^*}=-\frac{\Delta H_{vap}}{R}\left( \frac{1}{T}-\frac{1}{T^*}\right)$

где под $p^{*}$ мы обозначим давление 760 мм ртутного столба, а $T^{*}$ — температуру кипения при этом давлении. Нас интересует температура кипения $inline$ при пониженном давлении $inline$ .

Правило Трутона запишем так:

$\Delta S_{vap} = \frac{\Delta H_{vap}}{T} \approx 10.5R$

Подставив последнее выражение, получим расчётную формулу:

$\ln \frac{p}{p^*} = 10.5\left(1-\frac{T}{T^*}\right)$

Её и следует привести в номограмму.

Построение номограмм с pynomo

Следующий шаг — устанавливаем питон-библиотеку pynomo. Тривиально:

pip install pynomo

Библиотека умеет строить различные номограммы из десяти стандартных блоков.

Нам понадобится стандартный блок номер 2 кодирующий зависимости вида:

$F_1(u_1)=F_2(u_2)\times F_3(u_3)$

где $inline$ — какая-то одномерная функциональная зависимость. Разберём простой пример.

Пусть у нас есть лабораторная центрифуга, для которой мы хотим привести номограмму соответствия числа оборотов ротора в минуту (RPM) с достигаемым центробежным ускорением. Формула следующая:

$a = \omega^2 \times r$

Исходный код номограммы

#!/usr/bin/env python3 # -*- coding: utf-8 -*- """     rpm.py      Simple nomogram of type 2: F1=F2*F3 """ import sys sys.path.insert(0, "..") from pynomo.nomographer import *  N_params_RCF={         'u_min':1000.0,         'u_max':30000.0,         'function':lambda u:u,         'title':r'RCF, $\times g$',         'tick_levels':3,         'tick_text_levels':1,         'tick_side': 'left',         'scale_type':'linear smart',         'text_format': r"$%2.0f$",                 }  N_params_r = {'u_min': 1.0,               'u_max': 5.0,               'function': lambda u:u,               'tick_levels': 3,               'tick_text_levels': 1,               'tick_side': 'left',               'text_format': r"$%2.0f$",               'title':r'R, cm',               'extra_params': [                 {'u_min':  5.0,                  'u_max': 10.0,                                   'tick_levels': 2,                  'tick_text_levels': 1,                  'tick_side': 'right',                  'text_format': r"$%2.0f$",},                 {'u_min': 10.0,                  'u_max': 40.0,                  'scale_type': 'manual line',                  'manual_axis_data': {10.0: r'10',                                       12.0: r'12',                                       14.0: r'14',                                       16.0: r'16',                                       20.0: r'20',                                       24.0: r'24',                                       30.0: r'30',                                       40.0: r'40'},                  },                 ],             }  N_params_RPM={         'u_min': 1000.0,         'u_max':20000.0,         'function':lambda u:u*u*1.1182e-5,         'title':r'RPM',         'tick_levels':3,         'tick_text_levels':1,         'scale_type':'linear smart',         'text_format': r"$%2.0f$",                 }  block_1_params={              'block_type':'type_2',              'mirror_y':True,              'width':10.0,              'height':10.0,              'f1_params':N_params_RCF,              'f2_params':N_params_r,              'f3_params':N_params_RPM,              'isopleth_values':[['x',10.0,15200]],              }  main_params={               'filename':'RPM.pdf',               'paper_height':10.0,               'paper_width':10.0,               'block_params':[block_1_params],               'transformations':[('rotate',0.01),('scale paper',)],               'title_str':r'$a=r\times \omega^2$'               } Nomographer(main_params)

Функция $F_3(u_3) = \omega^2$ записывается строкой:

'function':lambda u:u*u*1.1182e-5,

Программа построит номограмму в файл RPM.pdf, ниже на рисунке.

Пунктирная линия называется изоплета — она показывает, как пользоваться номограммой для расчёта достигаемого ускорения (в единицах g) при данной геометрии ротора (радиус вращения) и числа оборотов в минуту (RPM).

Почему этот график так работает? Смотрите чертеж.

Из него видно, что треугольники ABC и CDE — подобны. Следовательно:

$\frac{AB}{ED} = \frac{BC}{CD} = \frac{BC}{L-BC}$

где L — длина BD, она задана. Пользуясь этим соотношением, можно построить шкалу на L.

Зная этот принцип, мы можем построить номограмму для соотношения

$\ln \frac{p}{p^*}+10.5=\frac{10.5T}{T^*}$

что даст нам номограмму для роторного вакуумного испарителя:

Усложняем номограмму

Теперь, разобравшись с простым примером, перейдем к более сложной зависимости. Воспользуемся уточненным правилом Trouton–Hildebrand–Everett:

$\frac{\Delta H_{vap}}{RT} = (4.5 + \ln T)$

В статье Some calculations for organic chemists: boiling point variation, Boltzmann factors and the Eyring equation. Tetrahedron Letters 41 (2000) 9879–9882 говорится, что для неё не так то просто создать номограмму. Вот и выясним!

Запишем новую зависимость для номограммы:

$\ln \frac{p}{p^*} + T^{*}(4.5 + \ln T^*)\times \frac{1}{T}-(4.5 + \ln T^*) =0$

Она попадает под случай блока типа 10

$display$

Теперь ось в середине номограммы может быть не только прямолинейной. Записываем код.

Более сложная номограмма

from math import log from pynomo.nomographer import * import sys sys.path.insert(0, "..")  Pressure = {     'u_min':  1.0,     'u_max': 760.0,     'function': lambda u: log(u / 760.0),     'title_y_shift': 0.55,     'title': r'Pressure, mmHg',     'tick_levels': 3,     'tick_text_levels': 2,     'scale_type': 'log smart', }  BP_guess = {     'u_min':  0.0,     'u_max': 400.0,     'function': lambda u: 1/(u + 273.15),     'title_y_shift': 0.55,     'title': r'B.P. estimated',     'tick_levels': 4,     'tick_text_levels': 2,     'scale_type': 'linear smart', }  BP_at_atm = {     'u_min':  0.0,     'u_max': 700.0,     'function_3': lambda u: (u + 273.15)*(4.5 + log(u + 273.15)),     'function_4': lambda u: -(4.5 + log(u + 273.15)),     'title_y_shift': 0.55,     'title': r'B.P. at 760 mmHg',     'tick_levels': 4,     'tick_text_levels': 2,     'scale_type': 'linear smart', }  block_1_params = {     'block_type': 'type_10',     'width': 10.0,     'height': 10.0,     'f1_params': Pressure,     'f2_params': BP_guess,     'f3_params': BP_at_atm,     'isopleth_values': [[10, 'x', 204]] }  main_params = {     'filename': 'ex_type10_nomo_1.pdf',     'paper_height': 10.0,     'paper_width': 10.0,     'block_params': [block_1_params],     'transformations': [('rotate', 0.01), ('scale paper',)],     'title_y': 0.55,     'title_str': r'Boiling point estimation, $\Delta S_{vap} = R(4.5 + \ln T)$' }  Nomographer(main_params)

Вуаля!

Заключение

Номограммы, как и работающие по схожему принципу логарифмические линейки и другие аналоговые устройства остались в далеком прошлом. Однако, не стоит о них совсем забывать — возможно, вы найдете им новые применения. Или, по крайней мере, найдете их интересным математическим развлечением. Пишите в комментариях о своем опыте.

Облачные серверы от Маклауд быстрые и безопасные.

Зарегистрируйтесь по ссылке выше или кликнув на баннер и получите 10% скидку на первый месяц аренды сервера любой конфигурации!

ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/company/macloud/blog/562692/