Треугольники, множества и алгебра

Иногда кажется, что некоторые математические темы изучены вдоль и поперек, например, треугольники. Ну что в этих треугольниках может быть нового и интересного? Тем не менее, даже такие, казалось бы, тривиальные объекты могут предстать под неожиданным углом. Давайте возьмем какую-нибудь простенькую задачку и попробуем ее решить. Постараемся найти треугольник с целочисленными сторонами, медианами и площадью. Мало ли, вдруг у нас получится.

Как перечислить все треугольники?

Даже несмотря на то, что некоторые множества содержат бесконечное количество элементов, они являются перечислимыми. Например, множество четных чисел может быть перечислено с помощью очень простого алгоритма — для любого n выдаем 2n и все. Во многом такая простота перечислимости некоторых множеств обусловлена тем, что элементы как-то упорядочены. Фактически, перечислить — значит пронумеровать, например, 2 — это первое четное число, 6 — третье. Но можем ли мы проделать то же самое с треугольниками? Если задавать треугольники с помощью кортежей вида a,b,c, то можем ли мы сказать, что треугольник 1,1,1 является первым, а треугольник 3,2,2 — четвертым или восьмым или еще каким-нибудь номером? Оказывается, можем.

Первое, что нужно придумать — это то как упорядочить множество треугольников. Первое, что приходит в голову — взять треугольник с какой-нибудь одной фиксированной стороной и выписать другие треугольники, стороны которого не меньше заданной. Например, так:

tri = [] a = 3 for b in range(a, 8):     for c in range(b, 10):         if a + b > c:             tri.append([a, b, c]) tri

[[3, 3, 3],  [3, 3, 4],  [3, 3, 5],  [3, 4, 4],  [3, 4, 5],  [3, 4, 6],  [3, 5, 5],  [3, 5, 6],  [3, 5, 7],  [3, 6, 6],  [3, 6, 7],  [3, 6, 8],  [3, 7, 7],  [3, 7, 8],  [3, 7, 9]]

Как видим, первая сторона неизменна, а третья не превосходит суммы двух первых, на графике это будет выглядеть так:

import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt import seaborn as sns sns.set_style('whitegrid') from gmpy2 import is_square  fig, ax = plt.subplots(2, 1, figsize=(11, 7)) tri = np.array(tri) x = np.r_[0: len(tri)]  ax[0].plot(x, tri[:, 1], drawstyle='steps-post') ax[0].set_xticks(x) ax[0].set_title('Сторона $b$') ax[1].plot(x, tri[:, 2], drawstyle='steps-post') ax[1].set_xticks(x) ax[1].set_title('Сторона $c$');

Перед нами две ступенчатые функции, а значит мы можем задать стороны всех таких треугольников следующим образом:

$\begin{align*} & a = 3 \\ & b = \left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor + 3 \\ & c = n + 3 - (3 - 1)\left \lfloor \frac{n}{3} \right \rfloor \end{align*}$

Если заменить тройку на а на , то получим следующее:

$\begin{align*} & a = x \\ & b = \left \lfloor \frac{y}{x} \right \rfloor + x \\ & c = y + x - (x - 1)\left \lfloor \frac{y}{x} \right \rfloor \end{align*}$

Теперь любой треугольник можно изображать в виде точки на координатной плоскости, преобразуя стороны треугольников в координаты по двум простым формулам:

$\begin{align*} & x = a \\ & y = c - a - (a - 1)(b - a) \end{align*}$

Чтобы перейти от координат к номерам достаточно воспользоваться канторовской нумерацией:

$n(x, y) = \frac{(x + y)(x + y + 1)}{2} + x$

Или, если вместо координат использовать стороны треугольника:

$n(a, b, c) = \frac{(c - (a - 1)(b - a))(c - (a - 1)(b - a) + 1)}{2} + a$

Не знаю как вы, а я очень удивился, когда понял, что у каждого треугольника с целыми сторонами может быть свой номер. Есть что-то необычное в том, что подмножества треугольников, например, равнобедренные, могут выглядеть вот так:

isosceles_xy = [] isosceles_n = []  for x in range(1, 20):     for y in range(1, 20):         a = x         b = y//x + x         c = y + x - (x - 1)*(y//x)         if a == b or a == c or b == c:             n = ((x + y)*(x + y + 1))//2 + x             isosceles_xy.append([x, y])             isosceles_n.append(n)         a, b, c = a**2, b**2, c**2  isosceles_xy = np.array(isosceles_xy)  fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(16, 8))  ax[0].scatter(isosceles_xy[:, 0], isosceles_xy[:, 1]) ax[0].set_xticks(np.r_[0:20]) ax[0].set_yticks(np.r_[0:20]) ax[0].set_title('Координаты равнобедренных\nтреугольника',                 fontsize=15) ax[1].scatter(np.r_[0: len(isosceles_n)], isosceles_n) ax[1].set_title('Номера равнобедренных\n треугольника',                 fontsize=15);

Причем тут алгебра?

Очень похоже, что номера равнобедренных треугольников представляют собой множество парабол, нарисованных на одном графике. Так и есть, каждая из них может быть задана уравнением вида:

$n = \frac{i}{2}(ij^{2} + (i+2)j + i + 3), \;\; i \in N^{*}, \;\; j \in N$

То же самое можно сказать и про многие другие подмножества треугольников. Например, вот так будут выглядеть треугольники с целыми, четными сторонами и одной целой медианой, проведенной к стороне :

one_m_xy = [] one_m_n = [] for x in range(2, 50, 2):     for y in range(35000):         a = x         b = y//x + x         c = y + x - (x - 1)*(y//x)         m_c = 2*(a**2 + b**2) - c**2         if m_c%4 == 0 and is_square(m_c):             n = ((x + y)*(x + y + 1))//2 + x             one_m_xy.append([x, y])             one_m_n.append(n)              one_m_xy = np.array(one_m_xy)  fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(16, 8))  ax[0].scatter(one_m_xy[:, 0], one_m_xy[:, 1]) ax[0].set_title('Координаты', fontsize=15) ax[1].scatter(np.r_[0: len(one_m_n)], one_m_n) ax[1].set_title('Номера', fontsize=15);

На графике с координатами расположено множество кубических функций вида:

$y = f_{1}(j)x^{3} + f_{2}(j)x^{2} + f_{3}(j)x + f_{4}(j), \;\; j \in N^{*}$

Не знаю, можно ли задать функции $f_{1}(j), f_{2}(j), f_{3}(j), f_{4}(j)$ для всех кубических функций, но некоторые из них могут быть заданы, например, так:

$\begin{align*} & y = 2(8i^{3}+4(6j - 5)i^{2}-4(4j^{2}-6j+1)i- 2j - 1) \\ & x = 4i + 4j + 6 \\ & i \in N^{*}, \;\; j \in N \end{align*}$

Можно взять какую-то отдельную из них, например при j=0 и получить следующие формулы для координат треугольников:

$\begin{align*} & y = 2(8i^{3}+4i^{2}-4i-1) \\ & x = 4i + 6 \\ & i \in N^{*} \end{align*}$

Используя данные координаты можем задать функции для сторон и медианы:

$\begin{align*} & a = 4i + 2 \\ & b = 4i^{2} + 4i \\ & c = 4i^{2} + 4i + 2 \\ & m_{c} = 2i^{2} + 2i + 1 \end{align*}$

Мы можем попробовать провернуть то же самое для треугольников, у которых две целые медианы:

two_m_xy = [] two_m_n = [] for x in range(2, 100, 2):     for y in range(100000):         a = x         b = y//x + x         c = y + x - (x - 1)*(y//x)         m_b = 2*(a**2 + c**2) - b**2         m_c = 2*(a**2 + b**2) - c**2         if m_b%4 == 0 and m_c%4 == 0 and is_square(m_b) and is_square(m_c):             n = ((x + y)*(x + y + 1))//2 + x             two_m_xy.append([x, y])             two_m_n.append(n)              two_m_xy = np.array(two_m_xy)  fig, ax = plt.subplots(1, 2, figsize=(16, 8)) ax[0].scatter(two_m_xy[:, 0], two_m_xy[:, 1]) ax[0].set_title('Координаты', fontsize=15) ax[1].scatter(np.r_[0: len(two_m_n)], two_m_n) ax[1].set_title('Номера', fontsize=15);

Хоть этого и не видно на графике, но координаты треугольников с двумя целыми медианами задаются кубическими, квадратичными и линейными функциями. К сожалению, не могу привести все выкладки куда−то потерялись записи.

Если мы нарисуем график для треугольников с тремя целыми медианами, то получим следующее:

Таких треугольников очень мало, они очень сильно разрежены, но любопытно, что если найти хотя бы один такой треугольник, то все последующие могут быть заданы как:

$\begin{align*} & a_{i} = a_{0}i \\ & b_{i} = b_{0}i \\ & c_{i} = c_{0}i \end{align*}$

Например, если взять треугольник 136, 170, 172 и умножить его стороны на 5, то мы снова получим треугольник с целыми сторонами и медианами.

Почему это все бесполезно?

Сначала кажется, что нумерация треугольников это шажок в сторону создания системы диофантовых уравнений, которые определяли бы стороны треугольников с целыми сторонами и медианами. Затем эти уравнения можно было бы подставить в формулу Герона и потом попытаться доказать возможность получения или неполучения треугольников с целой площадью. Но, к сожалению, нумерация треугольников абсолютно бесполезна в этом направлении. Все дело в том, что сама задача поиска треугольников с целыми сторонами и медианами связана с простыми числами. Сначала это кажется не совсем очевидным, но если следующее тождество является верным

$\frac{a^{2}+b^{2}}{2} + \frac{c^{2}}{4} \equiv 3\pmod{7}$

то медиана не может быть целым числом. А это значит, что сама задача поиска треугольников с целыми сторонами и медианами наверняка может быть переведена на язык теории чисел, правда не знаю как.

В заключение

Сама идея того, что можно навести какой-никакой порядок в неупорядоченных множествах, очень любопытна. Например, можно попытаться каким-нибудь образом упорядочить матрицы из натуральных чисел, или графы определенного типа. Можно ли извлечь какую-то пользу от такого упорядочивания, это уже другой вопрос.

ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/post/563480/

Треугольники, множества и алгебра

Как перечислить все треугольники?

Причем тут алгебра?

Почему это все бесполезно?

В заключение

Комментарии

Добавить комментарий Отменить ответ