В этой статье, переводом которой мы делимся к старту курса о Fullstack-разработке на Python, автор решил рассмотреть некоторые вопросы квантовой химии уровня колледжа для выведения электронных орбиталей. В чём интерес? Волновые функции и вероятности электронов будут визуализироваться при помощи Python.
Уравнение Шрёдингера
В 1926 году Эрвин Шрёдингер вывел знаменитое волновое уравнение, связывающее энергию системы с её волновыми свойствами. Его применение к атому водорода довольно сложно, поэтому сначала воспользуемся волновым уравнением, чтобы решить задачу о «частице в коробке». Выраженное в одномерном пространстве волновое уравнение Шрёдингера имеет вид:
Визуализация частицы в коробке
Теперь для упрощения мы предположим о частице в коробке, что:
Задача о «частице в коробке» не соответствует ни одной реальной химической системе. Её полезность в контексте ситуации заключается в иллюстрировании нескольких квантово-механических особенностей. Потенциальная энергия на барьере по условию бесконечна (т. е. частица не может вырваться), а потенциальная энергия внутри коробки равна 0. В этих условиях классическая механика предсказывает, что частица имеет равную вероятность оказаться в любой точке коробки, а кинетическая энергия частицы может оказаться любой. Принимая во внимание это предположение, мы получаем различные уравнения энергии частицы у барьера и внутри коробки. На барьере V бесконечно, и, следовательно, частица не существует:
Внутри коробки V равно нулю, и, следовательно, волна может иметь любое конечное значение:
Уравнение условий внутри коробки можно переписать так:
Выше видно, что волновая функция окажется такой, что при двойном дифференцировании получится та же функция, умноженную на E. Таким поведением обладает функция синуса:
Теперь нужно вычислить значения констант α и A. В случае воспользуемся волновыми уравнениями на барьерах, где волновые функции равны 0.
Подставляем значение для α:
Требуя нормализации волновой функции можно определить значение A. Это утверждение верно потому, что частица должна существовать где-то в коробке. Следовательно, сумма вероятностей нахождения частицы в коробке равна 1:
Подставляя значения, получаем окончательные уравнения волны и энергии:
Визуализируем энергию и волновые функций при помощи Python:
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np #Constants h = 6.626e-34 m = 9.11e-31 #Values for L and x x_list = np.linspace(0,1,100) L = 1 def psi(n,L,x): return np.sqrt(2/L)*np.sin(n*np.pi*x/L) def psi_2(n,L,x): return np.square(psi(n,L,x)) plt.figure(figsize=(15,10)) plt.suptitle("Wave Functions", fontsize=18) for n in range(1,4): #Empty lists for energy and psi wave psi_2_list = [] psi_list = [] for x in x_list: psi_2_list.append(psi_2(n,L,x)) psi_list.append(psi(n,L,x)) plt.subplot(3,2,2*n-1) plt.plot(x_list, psi_list) plt.xlabel("L", fontsize=13) plt.ylabel("Ψ", fontsize=13) plt.xticks(np.arange(0, 1, step=0.5)) plt.title("n="+str(n), fontsize=16) plt.grid() plt.subplot(3,2,2*n) plt.plot(x_list, psi_2_list) plt.xlabel("L", fontsize=13) plt.ylabel("Ψ*Ψ", fontsize=13) plt.xticks(np.arange(0, 1, step=0.5)) plt.title("n="+str(n), fontsize=16) plt.grid() plt.tight_layout(rect=[0, 0.03, 1, 0.95])
Обратите внимание, что есть области, где одновременно Ψ и Ψ * Ψ равны нулю. Они известны как узлы. Уровни энергии орбиталей не являются непрерывными. Они существуют на разных уровнях, что демонстрируется их расположением. Кроме того, с увеличением значения n плотность волны внутри коробки также увеличивается.
Визуализация орбиталей
Теперь, чтобы получить волновое уравнение относительно квантовых чисел, мы должны привести его в следующий трёхмерный формат:
Разделение переменных зависит от типа атома, и для данной статьи оно слишком сложно. Вместо этого просто запишем решение непосредственно для построения графика. Далее воспользуемся функциями R и Y для атома водорода, не выводя их. Сначала рассмотрим орбиталь 1s:
Волновая функция 1s-орбитали показывает, что вероятность появления электрона по мере удаления от ядра экспоненциально уменьшается. Она также демонстрирует сферическую форму орбитали.
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np #Probability of 1s def prob_1s(x,y,z): r=np.sqrt(np.square(x)+np.square(y)+np.square(z)) #Remember.. probability is psi squared! return np.square(np.exp(-r)/np.sqrt(np.pi)) #Random coordinates x=np.linspace(0,1,30) y=np.linspace(0,1,30) z=np.linspace(0,1,30) elements = [] probability = [] for ix in x: for iy in y: for iz in z: #Serialize into 1D object elements.append(str((ix,iy,iz))) probability.append(prob_1s(ix,iy,iz)) #Ensure sum of probability is 1 probability = probability/sum(probability) #Getting electron coordinates based on probabiliy coord = np.random.choice(elements, size=100000, replace=True, p=probability) elem_mat = [i.split(',') for i in coord] elem_mat = np.matrix(elem_mat) x_coords = [float(i.item()[1:]) for i in elem_mat[:,0]] y_coords = [float(i.item()) for i in elem_mat[:,1]] z_coords = [float(i.item()[0:-1]) for i in elem_mat[:,2]] #Plotting fig = plt.figure(figsize=(10,10)) ax = fig.add_subplot(111, projection='3d') ax.scatter(x_coords, y_coords, z_coords, alpha=0.05, s=2) ax.set_title("Hydrogen 1s density") plt.show()
Разглядеть её на графике электронной плотности выше немного затруднительно, однако сферу в целом увидеть возможно. Плотность уменьшается по мере удаления от центра. Как правило, точкой отсчёта является момент, когда вероятность появления электрона составляет 99 %. Такие же графики плотности возможно получить и для других орбиталей: s, p, d и f.
Статья показывает, как Python может применяться в науке и как визуализация тех или иных данных помогает делать выводы, а значит получать знания. Если вы хотите углубиться в вероятности, анализ данных, но применять его в прикладных задачах, вы можете присмотреться к специализации Аналитик данных, а если вас интересуют возможности и гибкость Python, то можете обратить внимание на курс о Fullstack разработке на Python.
Узнайте, как прокачаться и в других специальностях или освоить их с нуля:
Другие профессии и курсы
ПРОФЕССИИ
КУРСЫ
ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/company/skillfactory/blog/564822/
Добавить комментарий