От калькулятора до турбулентности один шаг, и этот шаг — константа Фейгенбаума. К старту флагманского курса о Data Science делимся переводом статьи, её автор рассказывает о двух удивительных константах, первая из которых была открыта индийским школьным учителем Д. Капрекаром с бумагой и ручкой в руках, а вторая — при помощи программируемого калькулятора. Есть в этих константах нечто мистическое. Давайте спокойно сядем и прочувствуем их волшебство.
В апрельских головоломных озарениях я попробую провести читателей по пути, о котором можно сказать, что он — экспериментальная математика. Цель путешествия — заново открыть две константы, повторяя простые математические операции. Исследователи обнаружили, что эти константы заканчиваются повторяющимися циклом из одного или двух чисел.
Загадка первая — константа Капрекара
Чтобы больше узнать о ней, посмотрим видео на 4 минуты:
Первое число в скобках получится перестановкой цифр числа без скобок в порядке от большего к меньшему, а второе — при расстановке в порядке от меньшего к большему. Следующее число последовательности — это разность чисел в скобках.
Числа в скобках после 8352 — это (8532, 2358), а значит следующее число последовательности — это 6174 (7641, 1467), 6174 (7641, 1467), иными словами 1674 всегда повторяются.
1. Давайте посмотрим на последовательность для числа 5634.
5634, 3087, 83522. Вычитайте числа и смотрите на новые до тех пор, пока не произойдёт кое-что интересное:
I. 6372, 5265, 3996, 6264, 4176, 6174 II. 8956, 4176, 6174 III. 5058, 7992, 7173, 6354, 3087, 8352, 6174 IV. 7191, 8532, 6174 V. 5355, 1998, 8082, 8532, 61743. Следующий вопрос исследования: почему такое происходит? Можете ли вы найти исключения? Или числа, которые потребуют больше процедур, чем в наших примерах? Сначала ответим на первый вопрос: не приведут к 1674 числа 0000, 1111, 2222, а число 1040 приведёт к 1674 спустя 7 процедур Капрекара — и это самое большое их число.
4. А вот криптарифм (подстановка цифр), который может помочь. Между прочим, все эти слова допустимы в игре скрэббл. Как много решений вы ожидаете увидеть?
Обратите внимание: задача на вычитание выше отражает процедуру, которую мы также выполняли выше. East образует вычитание seta − ates, чтобы снова получить east. Порядок цифр совпадает с порядком цифр 1674, поэтому ожидается, что решением окажется 6174.
Зная, что другая строка, из которой после операции получается та же строка — 0000 (но она исключение), мы ожидаем, что единственное решение — 6174. Дуглас Феликс подробно описал один из методов решения, то есть вы также можете решить криптарифм обычными методами, подтвердив, что 6174 — его единственное решение.
Но это только часть ответа на вопрос о причине происходящего. Мы показали: последние четыре цифры через процедуру Капрекара отображают сами себя, но, возможно, есть и другие числа. Упорядочить 4 числа можно 24 способами, каждый из них даёт одно и то же вычитание Капрекара; нам пришлось бы решить 23 криптарифма, чтобы доказать, что они не имеют решения.
Мало того, нужно показать, что не имеют решений и другие четырёхзначные с двумя или тремя повторяющимися цифрами. Очевидно, что это так, но даже если 6174 окажется единственным нетривиальным решением, это не значит, что процедура должна на нём заканчиваться.
Ниже мы увидим, что она могла закончиться повторяющимся циклом, где переходила бы между двумя, тремя или большим количеством цифр. Иногда такое происходит, если цифр больше четырёх. Это не относится к четырём знакам, и факт можно изучать дальше, но в конце концов придётся списать его на милое, немного загадочное совпадение.
5.
Можете ли вы добавить больше (или меньше) Z — и соответствующих E — к числу EAST? Что это значит в контексте первого открытия?
Есть и задача сложнее: означает ли это, что восьмизначные числа обладают свойством четырёхзначных?
Оказывается, число 3 прекрасно вписывается в 6174: в случаях, когда количество цифр чётное либо больше 4, получаются дальнейшие решения. Причину понять легко: Z должна быть равна 2 или 3, потому что находится между 1(A) и 4(T). Чтобы вычесть десятки, мы должны запомнить 1, поэтому 3 в верхнем числе даст 6 в ответе. Это уравновешивается на другом конце, где нет необходимости переносить 1, а потому 6 − 3 = 3, как и должно быть.
Чтобы равновесие сохранялось, количество шестёрок и троек в цифрах должно совпадать, поэтому возможно добавить любое количество Z при условии, что вы добавите столько же E.
Это означает, что восьмизначные числа имеют не меньше одной константы, которая приводит к самой себе, но по объяснённой в пункте 4 причине нет гарантии уникальности константы. Сначала нужно исключить множество других возможных чисел, которые могут обладать тем же свойством, а среди шестизначных чисел есть другие такие числа — это 549945 и 97508421. Больше того, в шести- и восьмизначном случаях процедура Капрекара может приводить к повторяющимся циклам, как в III 6.
6. Попробуйте применить ту же процедуру, что в первых двух частях головоломки, к следующим числам. Продолжайте, пока не произойдёт кое-что интересное:
I. 53955: 53955 → 59994 → 53955 … повтор через каждые два числа II. 62964: 62964 → 71973 → 83952 → 74943 → 62964 … четыре III. 420876: 420876 → 851742 → 750843 → 840852 → 860832 → 862632 → 642654 → 420876 … семьКапрекар рассказывал, что “пьян цифрами». В свободное время проводил масштабные арифметические исследования — и обнаружил среди чисел целую россыпь жемчужин.
Загадка вторая — константа Фейгенбаума
Чтобы понять, откуда произошла и как применяется константа Фейгенбаума (∂ = 4.6692016…), посмотрите эти видео. Первое об основах — о том, как она связана с теорией хаоса и бифуркации:
Второе видео даёт реальные примеры и показывает различные приложения константы, а также её связь с множеством Мандельброта. Каждый ролик длится около 20 минут, но, как только вы запустите их, есть шанс, что вас зацепит.
Вернёмся к головоломкам, которые отражают ситуации из видео:
1. Начнём с числа (x), равного 0,5. Вычтем его из 1 и получим 0,5. Умножим это число на новое число на x, а затем умножим произведение на константу (k), например, 2,4, чтобы вычислить выражение kx(1 − x). Получим 0,6. Это наше новое начальное число. Проделаем то же самое ещё раз. Вычтем 0,6 из 1, чтобы получить 0,4. Умножим 0,6 на 0,4 и снова умножим произведение на 2,4, чтобы получить новое число, и так далее. Выполните операции выше, начиная с 0,5, для следующих констант. Продолжайте, пока не увидите нечто интересное.
I. Постоянная 2,4 даст 0,5833. II. Постоянная 3.3 даст цикл через два значения: **0,8236** → 0,4794 → **0,8236**. III. С 3.5 возникает бифуркация и цикл через четыре значения: **0,8750** → 0,3828 → 0,8269 → 0,5009 → **0,8750.** IV. С 3,55 другая бифуркация превращается в цикл из восьми значений:**0,8278** → 0,5060 → 0,8874 → 0,3548 → 0,8127 → 0,5405 → 0,8817 → 0,3703 → **0,8278**.
2. На каждом из перечисленных шагов поведение меняется: константа k увеличивается с 2,4 до 3,55. Обратите внимание, что поведение, подобно k. изменяется всё быстрее. На самом деле, вы видите значения константы для случаев с I по IV, а поведение меняется на наблюдаемое выше.
I. 1 II. 3 III. 3.44949 IV. 3.54409k изменяется в такой манере:
V. 3.5644043 VI. 3.5687594 VII. 3.5696916 VIII. 3.56989125Мы видим, что последовательность значений k сходится к пределу. Сходятся к пределу и отношение между последовательными разностями, например, (3 − 1)/(3,44949 − 3). Соотношения указанных выше значений показаны ниже:
4,449 4,751 4,657 4,664 4,672 4,669Пределом этого отношения оказывается постоянной Фейгенбаума:
4,6692016...Как уже говорилось, удивительно здесь, что оно справедливо для всех квадратичных выражений, функция которых имеет один минимум или максимум; оно универсально. В природе хаоса и таинственной постоянной Фейгенбаума, для которой у нас всё ещё нет выражения в закрытой форме, скрыто ещё много интересного. Есть любопытная точка зрения на Фейгенбаума; статья по ссылке написана после смерти физика его другом Стивеном Вольфрамом, вундеркиндом и основателем Mathematica и Wolfram Alpha.
Если вы тоже хотите находить разнообразные закономерности среди чисел, делать выводы и извлекать из них пользу, то можете обратить внимание на наш флагманский курс о Data Science, а если хотите управлять тем, как закономерности ищут машины, то можете присмотреться к программе курса о машинном и глубоком обучении.
Узнайте, как прокачаться и в других специальностях или освоить их с нуля:
Другие профессии и курсы
ПРОФЕССИИ
КУРСЫ
ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/company/skillfactory/blog/567050/
Добавить комментарий