Абстрактная алгебра в действии

В последнее время всё чаще я ощущаю математическое веяние в программировании. Нет, это не про интегралы с производными, а про что-то абстрактное, другое. Про то, что было всегда у нас под носом, но оставалось незамеченным. Наступит день — про это будут говорить на каждом углу. Но не сегодня. Сегодня мы с этим познакомимся.

---

Я думаю, многие из нас были студентами технических ВУЗов и посещали большое количество математических дисциплин, возможно, задаваясь вопросом «зачем». Одной из таких дисциплин, быть может, была алгебра. Нет, это не та книжка Мордковича, переполненная скучными задачами про многочлены и уравнения. Это сложная, объёмная наука с высоким порогом входа, которая требует огромной вовлечённости и погружения. Однако, захватывающая и интересная. Основным предметом этой науки являются так называемые алгебраические структуры. И основной интерес заключается в том, что эти структуры можно строить практически где угодно и из чего угодно. Оказывается, своё применение они могут найти и в создании новых подходов к написанию кода. Прежде чем поговорим о них, небольшое алгебраическое отступление.

Небольшое алгебраическое отступление

Сейчас, мы едва коснёмся абстрактной алгебры. Затронем только основную аксиоматику и определения, которые дадут первоначальные представления о том, что вообще происходит. Здесь даже не будет теорем и доказательств.

Начнём с того, что у нас есть — некоторое произвольное множество. С понятием множества, надеюсь все знакомы. Как и с понятием отображения. Потому что отождествляя некоторое отображение вместе с нашим множеством, мы получаем алгебраическую структуру. То есть, алгебраическая структура — это пара из множества и замкнутой бинарной операции. Например, алгебраической структурой являются целые числа со сложением .

Вот тут начинается самое интересное. Очевидно, что весь сок заключается в задаваемых операциях. Именно они определяют структуру и поведение набора элементов. Конечно, нам не интересны какие-то случайные функции, поэтому нам нужно от них потребовать каких-то свойств. Иными словами, потребовать удовлетворения операции набору аксиом. Пойдём постепенно.

Например, первым естественным ограничением возьмём ассоциативность. Бинарная операция на множестве называется ассоциативной, если верно следующее:

При выполнении этой аксиомы уже становится полугруппой. Чем вообще полезны полугруппы? Если вдуматься в смысл ассоциативности, то это значит ровно то, что группировка для операции не важна, а значит «складывать» элементы полугруппы можно параллельно. При этом, хотелось бы иметь возможность какие-то элементы игнорировать. Перейдём на следующий уровень строгости.

Элемент  называется единичным, если верно следующее:

Наша полугруппа с единицей  — уже моноид. Важно понимать, что в аксиоме не случайно два равенства: бывают единицы справа и единицы слева, но это совсем другая история.

Какие мы знаем моноиды? Опять же, целые числа — . Но что мы всё про числа?

Моноиды на практике

Какие мы можем построить моноиды на практике?

• — строки с конкантенацией;

• — инты с максимизацией вместо сложения;

• ;

И так далее. Для начала, оформим полученные в отступлении знания в коде.

public interface ISemiGroup<T> {     T Plus(T left, T right); }  public interface IMonoid<T> : ISemiGroup<T> {     T Zero { get; } }

Я не случайно обозвал операцию «плюсом», а единичный элемент «нулём», потому что (спойлер) в алгебре есть структуры с двумя операциями, как, например, кольцо, где «сложение» от «умножения» надо отличать. Но, не суть важно. Реализуем, например, полугруппу максимизации.

public class Max<T> : ISemiGroup<T> where T : IComparable<T> {     public T Plus(T left, T right) =>         left.CompareTo(right) > 0             ? left             : right; }

И сделаем под это какую-нибудь dto-шку.

public record Person(string Name, int Money) : IComparable<Person> {     public int CompareTo(Person other) => Money.CompareTo(other.Money); }

И вот тут появляется важная мысль. Я же не буду брать всего два человека и находить богатейшего. Нет. Мне надо обработать много людей. У меня список есть.

var people = new List<Person> {     new("Bob", 1000),     new("Tim", 1239),     new("Jeff", 2000000000) };

То есть, мы структуры можем использовать для разного рода агрегаций например. Поэтому для полугруппы даже можно было бы написать такое расширение.

public static class SemiGroupExtension {     public static T Sum<T>(this ISemiGroup<T> semiGroup, IEnumerable<T> elements) =>         elements.Aggregate(semiGroup.Plus); }

Ну тогда теперь очевидно, что надо делать.

var max = new Max<Person>(); var richest = max.Sum(people);

Магия! Но, какая-то примитивная магия. Пока что. Какая следующая популярная агрегация у нас есть? Среднее! Оказывается его вычисление можно распараллелить. Это не такая очевидная мысль, но если задуматься… Из чего оно складывается: из количества значений и их суммы. То есть эти два параметра нужно разделить и отслеживать. Тогда мы получим структуру аналогичную . Оформим эту мысль.

public class AveragedValue {     private double _sum;     private int _count;      public AveragedValue() : this(0, 0)     {     }      public AveragedValue(double sum, int count = 1)     {         _sum = sum;         _count = count;     }      public double Get() => _sum / _count;      public static AveragedValue operator +(AveragedValue av1, AveragedValue av2)     {         var newCount = av1._count + av2._count;         var newSum = av1._sum + av2._sum;          return new AveragedValue(newSum, newCount);     } }  public class Avg : IMonoid<AveragedValue> {     public AveragedValue Plus(AveragedValue left, AveragedValue right) => left + right;      public AveragedValue Zero => new (); }

Уже неплохо. Но какие-нибудь реальные задачи хотелось бы. И как раз про такую вспомнил. Надо было сделать текстовый фильтр для поля в таблице, но, вот незадача, условий было много и выходило что-то уродливое:

public bool Fits(string text) =>     text ... ||     text ... ||     text ... ||     ...;

А если заказчик захочет другой фильтр на другое поле? Или большей гибкости фильтра? Не хочется плодить что-то в стиле average javascript enjoyer, поэтому посмотрим на задачу под другим углом. Фильтр, вообще говоря, это предикат, то есть булева функция, или, строго говоря, отображение из заданного типа в множество логических значений. И если «складывать» предикаты логическим ИЛИ, то мы получим моноид!

public class Any<T> : IMonoid<Predicate<T>> {     public Predicate<T> Zero => _ => false;      public Predicate<T> Plus(Predicate<T> left, Predicate<T> right) =>         x => left(x) || right(x); }

Тогда, например, можно написать что-то такое. Всё разнести по сервисам, контейнерам и будет красиво.

var predicates = new List<Predicate<char>> {     x => x >= '0' && x <= '9',     x => x >= 'A' && x <= 'Z',     x => x >= 'a' && x <= 'z' }; var anyMonoid = new Any<char>(); var digitOrLetter = anyMonoid.Sum(predicates);

Вообще, мы можем построить более интересный моноид на словарях и операции слияния. Однако, установим, что значения словаря образуют хотя бы полугруппу, поскольку конфликт будет разрешаться сложением элементов. Тогда, получится что-то вроде этого.

public class MapMonoid<K, V> : IMonoid<Dictionary<K, V>> {     private readonly ISemiGroup<V> _valueSemiGroup;      public MapMonoid(ISemiGroup<V> valueSemiGroup)     {         _valueSemiGroup = valueSemiGroup;     }          public Dictionary<K, V> Zero => new();          public Dictionary<K, V> Plus(Dictionary<K, V> left, Dictionary<K, V> right)     {         var result = Zero;         foreach (var (key, value) in left.Concat(right))         {             result[key] = result.ContainsKey(key)                 ? _valueSemiGroup.Plus(result[key], value)                 : value;         }                  return result;     } }

Как это использовать? Например, у нас есть список строк.

var strings = new List<string> {"foo", "foo", "foo", "bar", "bar", "baz", "pipi", "pupu"};

Мы можем с помощью него например сгруппировать строки по их числу вхождений или найти слова одинаковой длины. Или что-нибудь, что вы придумаете.

var dicts = strings     .Select(x => new Dictionary<string, int> {{x, 1}}); var anotherDicts = strings     .Select(x => new Dictionary<int, List<string>>     {         {x.Length, new List<string> {x}}     });

После суммирования с помощью соответствующих полугрупп (числа со сложением, списки с соединением) получим такой вывод.

Итого

Существует огромное количество различных алгебраических структур. Их свойства помогают решать задачи компьютерных наук лаконичным, а может даже и эффективным способом. Про более неочевидные вещи могу написать в ещё одной статье. Мы задействовали только определения, а какой прорыв случится, когда в ход пойдут теоремы, боюсь представить. Когда-нибудь, программисты перестанут говорить: «Математика не нужна».