SavePearlHarbor

Общего между фракталами и голографией

—

от автора

admin
Продолжим тему бильярдных фракталов.

В статье присутствуют Gif (трафик!) и контрастные картинки. У эпилептиков может случиться эпилептический припадок.

Предыдущие части: 0, 1, 2.

Для начала вспомним, что за «бильярдные фракталы».

Бильярдные фракталы.

Есть у нас некоторая прямоугольная область («бильярд»), в которой движется бильярдный шар (или луч света).

Шар упруго отражается от стенок по законам оптики (угол отражения равен углу падения). При этом шар бесконечно мал (абстрактная «материальная точка» из физики) и при движении и отражении скорости не меняет (скорость нас вообще не интересует).

Когда шар касается одной из выбранных стенок (не важно, какую стенку выбирать, но для примера выберем верхнюю) — фиксируем, в какую сторону движется шар — в левую или в правую:

Для бильряда, соотношение сторон которого — иррациональное число, последовательность отражений — фрактальная (насколько этот термин применим к двоичным последовательностям). Или фракталообразующая. Если визуализировать такую последовательность с помощью черепашьей графики, мы получим фрактал.

В качестве примера можем использовать последовательность для бильярда, соотношение сторон которого равно $\sqrt {2}$.

Строить такие последовательность очень легко:

$Q_x=\lfloor x\sqrt {2} \rfloor \; (\textrm{mod} \; 2); \quad x=0,1,2,…$

Берем поочередно каждое целое число $x$, умножаем на $\sqrt {2}$, отбрасываем дробную часть и отмечаем четные целые части единицами, а нечетные — нулями.

JavaScript 

let a=[]; for(let x=0;x<100;x++) a[x]=Math.floor(x*Math.sqrt(2))%2; console.log(a.join(''));

Первые 100 элементов этой последовательности:

0100110110010011001001101100110110010011011001101100100110010011011001001100100110110011011001001100

Визуализация этой последовательности с помощью черепашьей графики дает нам следующую фигуру:

Более подробно о том, откуда взялась эта формула и о визуализации последовательностей с помощью черепашьей графики, можно почитать во второй части — Фракталы в иррациональных числах

В реальном мире.

В реальном мире, такие последовательности встречаются гораздо чаще, чем может показаться на первый взгляд. Два примера.

Пример 1. Есть у нас два человека. Один побольше, второй — поменьше:

Эти два человека идут по улице. У высокого шире шаг, чем у низкого. Чтобы успевать за высоким, низкому приходится быстрее ногами двигать и больше шагов делать. В каждый момент времени, когда низкий ставит правую ногу на асфальт, фиксируем какая нога высокого находится в воздухе — левая или правая. Если частоты шагов низкого и высокого несинхронизированные — получим фрактальную последовательность.

Пример 2. Вокруг некоторой планеты вращается спутник:

Выбираем временной интервал $t$ произвольной длинны. Фиксируем в каком полушарии находится спутник в момент времени $t, 2t, 3t, ...$ — в южном или северном. Последовательность этих положений будет фрактальной, если соотношение длинны выбранного интервала с длинной интервала, за который спутник совершает полный оборот вокруг оси — иррациональное число.

Для наглядности, посмотрим на геометрическую интерпретацию бильярдных последовательностей.

Дискретизация линейной функции.

Для бильярда, соотношение сторон которого равно $k$, строим график функции $y=kx$. Целые числа, отмеченные на оси $y$, делят плоскость на чередующиеся полосы (поочередно помечаем полосы единицами и нулями). Целыми числами на оси $x$ отмечаем, через какую полосу проходит график функции — через полосу помеченную единицей или нулем.

Фактически, все что мы сделали, чтобы получить фрактальную последовательность — дискретизировали линейную функцию с иррациональным коэффициентом $k$. Если фрактальную последовательность можно получить дискретизацией линейной функции, первым делом напрашивается вопрос — а какую последовательность можно получить дискретизацией нелинейной функции?

Но прежде, чем переходить к нелинейным функциям, хотелось бы упомянуть об одном интересном наблюдении, сделанном в процессе написания статьи.

Об одном интересном наблюдении.

Дабы не нарушать структуру статьи…

Черепашья графика — не единственный способ визуализации двоичных последовательностей. Существует еще один способ, которому посвящена отдельная статья Фракталы в иррациональных числах. Часть 2. Вспомним этот способ.

Возьмем нашу последовательность:

$Q_x=\lfloor x\sqrt {2} \rfloor \; (\textrm{mod} \; 2); \quad x=0,1,2,…$

И построим из нее другую последовательность:

$a_x=\begin{cases}a_{x-1}+1, & \text{for } Q_x=1;\\a_{x-1}-1, & \text{for } Q_x=0;\end{cases}\; \quad x=0,1,2,…$

Первый элемент последовательности — произвольное число. Каждый следующий элемент — увеличиваем предыдущий элемент на 1, если соответствующий элемент первой последовательности ($Q$) равен 1, или уменьшаем на 1 — если соответствующий элемент равен 0.

JavaScript 

let a=[50]; for(let x=1;x<size;x++){ if(Math.floor(x*Math.sqrt(2))%2==1) a[x]=a[x-1]+1; else a[x]=a[x-1]-1; }

После чего можем построить фрактальную кривую, отметив на графике точки с координатами $(x, a_x)$:

JavaScript 

for(let x=0;x<size;x++){ context.fillRect(x, a[x], 1, 1); }

Из этой же кривой можем получить фрактальную поверхность. Для каждой точки $(x, y)$ считаем $z=a_x+a_y$.

Дальше можем сделать срез плоскости по оси $z$:

Или отметить такие точки, для которых $z(\textrm{mod} \; 4)=0;$ или $z(\textrm{mod} \; 4)=1;$

Следующая картинка — чем больше $z$, тем ярче пиксель:

Можем немного изменить последовательность:

$a_x=\begin{cases}a_{x-1}+\{x\sqrt {2}\}, & \text{for } Q_x=1;\\a_{x-1}-(1-\{x\sqrt {2} \}), & \text{for } Q_x=0;\end{cases}\; \quad x=0,1,2,…$

Раскрыв скобки, получим:

$a_x=\begin{cases}a_{x-1}+\{x\sqrt {2}\}, & \text{for } Q_x=1;\\a_{x-1}+\{x\sqrt {2} \}-1, & \text{for } Q_x=0;\end{cases}\; \quad x=0,1,2,…$

Здесь $\{x\sqrt {2}\}$ — дробная часть, которую мы ранее отбрасывали.

Как это выглядит в бильярдной модели? Мы увеличиваем предыдущий элемент последовательности на расстояние (по оси $x$) между правой границей и точкой касания шара верхней границы, если шар двигался влево. Или же уменьшаем на расстояние между левой границей и точкой касания шара верхней границы, если шар двигался вправо:

JavaScript 

let c, arr=[0]; for(let i=1;i<size;i++){ c=i*Math.sqrt(2); if(Math.floor(c)%2){ arr[i]=arr[i-1]+(c-Math.floor(c)); }else{ arr[i]=arr[i-1]-(1-(c-Math.floor(c))); } }

После раскрытия скобок: 

let c, arr=[0]; for(let i=1;i<size;i++){ c=i*Math.sqrt(2); arr[i]=arr[i-1]+(c-Math.floor(c)); if(Math.floor(c)%2!=1){ arr[i]--; } }
На самом деле…

Достаточно: 

let c, arr=[0]; for(let i=1;i<size;i++){ c=i*Math.sqrt(2); arr[i]=arr[i-1]+(c-Math.floor(c)); }

В этом случае поверхность получится гладкой, а не фрактальной.

Делаем визуализацию тем же способом, который использовали выше. Для каждой точки $(x, y)$ считаем $z=a_x+a_y$. Получили поверхность. Раскрашиваем. Чем больше $z$, тем ярче пиксель:

До того, как мы изменили последовательность, все $z$ были целыми числами. Теперь — иррациональные. Сделать $z(\textrm{mod} \; 4)$ не получится. Но можем найти некоторую плоскость, которая находится на одинаковом расстоянии от максимальной и миниальной $z$ и посмотреть на точки, которые лежат ниже и выше этой плоскости:

Самое интересное получится, если мы отметим пиксели, для которых $\lfloor zk \rfloor \; (\textrm{mod} \; 2) =1;$. Другими словами, отмасштабируем $z$, умножив на некоторое число $k$, после чего отбросим дробную часть и проверим четность целой части. Для некоторых $k$:

478:

338:

Получаем замечательные круги. Примечательно, что круги получаем для $k$ равных числителю или знаменателю дроби, дающей приближенное значение $\sqrt{2}$

$\frac{478}{338}\approx\sqrt{2}$

Для других $k$:

144:

354:

Замечательные круги не получаем.

Здесь можно посмотреть в динамике, поводив мышкой по экрану.

Вернемся к дискретизации нелинейных функций.

Дискретизация нелинейной функции.

Например $y=kx^b$, где $b$ — действительное число. Самый простой пример — парабола ($y=kx^2$).

Строим последовательность:

$Q_x=\lfloor x^{2}\sqrt {2} \rfloor \; (\textrm{mod} \; 2); \quad x=0,1,2,…$

JavaScript 

let a=[]; for(let x=0;x<100;x++) a[x]=Math.floor(x*x*Math.sqrt(2))%2; console.log(a.join(''));

Для целых аргументов $x$, записываем четность целой части (отбросив дробную) значения функции.

Первые 100 элементов этой последовательности:

0110010100111110000011000100010100000001010011010110001100101001010011111000000000100110111111111000

Визуализация этой последовательности с помощью черепашьей графики дает такую кривую:

Эта последовательность выглядит немного более хаотичной, чем последовательность, полученная дискретизацией линейной функции. Но это не так. Если где-то не видим закономерность — значит плохо смотрим. Можем сделать очень простую визуализацию. Запишем первые 1000 элементов последовательности в блокнот, включим перенос строк.

Можно разглядеть паттерн.

Для того, чтобы лучше разглядеть, единички заменяем на █, нолики — на ░:

Построим двухмерный график этой последовательности. На каждой следующей строчке $y$ последовательность сдвигается на $ky$ (где $k$ — целое число, константа) позиций влево. Перепишем $x^2$ как $(x+ky)^2$.

Для некоторых $ky$:

35:

661:

Больше примеров

64:

257:

274:

303:

443:

467:

468:

547:

548:

Мышкой по экрану

Для $(x+ky)^2$ можем раскрыть скобки, получим $x^2+2kxy+(ky)^2$. Получили уравнение поверхности.

Дискретизация поверхностей с ненулевой кривизной.

Для дальнейших экспериментов запишем уравнение в более общем виде:

$z=a(x^2+bxy+cy^2)^d$

Точно так же, как мы дискретизировали линейную функцию, мы можем дискретизировать поверхности второго порядка. Для этого считаем $z$ для каждого $x$ и $y$, после чего умножаем $z$ на иррациональное число, отбрасываем дробную часть, проверяем четность целой части — $\lfloor z\sqrt {2} \rfloor \; (\textrm{mod} \; 2)$

Для $b=0, c=1, d=1$ наше уравнение принимает вид:

$z=a(x^2+y^2)$

Это уравнение элиптического параболоида. Коэффициент $a$ определяет, насколько параболоид вытянут по оси $z$. Для $a=1$:

JavaScript 

for(var x=0;x<canvas.width;x++){ xx=x-canvas.width/2; for(var y=0;y<canvas.height;y++){ yy=y-canvas.height/2; z=a*(xx**2+b*xx*yy+c*(yy**2))**(d); if(Math.floor(z*Math.sqrt(2))%2) context.fillRect(x, y, 1, 1);  } }

Для $a=1/512$ получаем такой паттерн:

Можем этот же паттерн нарисовать недискретным. Вместо $\lfloor z\sqrt {2} \rfloor \; (\textrm{mod} \; 2)$ считаем $\sin(z\pi \sqrt {2})$. Значение функции масштабируем (прибавляем 1, умножаем на 128) и используем в качестве яркости пикселя:

Для $a=1/128$, дискретный и недискретный варианты:

При чем тут голография?

Паттерн, который мы получили — самая простая голограмма. Такой же паттерн мы получим, если сделаем срез сферической волны плоскостью. Или же срез плоской волны сферической поверхностью.

Коэффициент $c$ сжимает или растягивает паттерн по оси $y$. Для $c=2$ и $c=0.2$:

Коэффициент $b$ сжимает или растягивает паттерн по диагонали. Для $b=1.5$ и $b=-1.5$:

Дальше. Для $b=0, c=-1, d=1$ наше уравнение принимает вид:

$z=a(x^2-y^2)$

Это гиперболический параболоид — поверхность с отрицательной гауссовой кривизной:

Для $a=1/512$:

Для $a=1/128$:

Попробуем поменять степень $d$. Для $b=0, c=1, d=1/2$ наше уравнение принимает вид:

$z=a\sqrt{x^2+y^2}$

Для $a=1/4$:

Для $a=2$:

Для $b=0, c=1, d=1/5$ наше уравнение принимает вид:

$z=a(x^2+y^2)^{1/5}$

Для $a=10$:

Для $a=100$:

Для $a=1000$:

Самые интересные паттерны получаются, если взять такое $d$, которое незначительно отличается от 1. Например для $b=0, c=1, d=1.01$:

Для $a=1/512$ паттерн похож на тот, что мы видели для элиптического параболоида:

Для $a=511/323$:

Еще несколько примеров:

$b=0, c=1, d=1.01, a=508/325$:

$b=0, c=1, d=1.01, a=389/489$:

$b=0, c=1, d=0.999, a=500/357$:

$b=0.01, c=1.01, d=1.01, a=159/202$:

$b=1.01, c=1.01, d=1.01, a=511/328$:

$b=1, c=1, d=1.01, a=459/291$:

Поиграться

В динамике — дискретные паттерны. Двигаем мышкой по экрану. Параметры $b, c, d$ вводим вручную. Параметр $a=x/y$ вычисляется из координат мышки.
В статике — можем посмотреть дискретный и недискретный паттерны.

Подводя итоги…

Мы попробовали дискретизировать линейную функцию и получили фрактал. Если сделать срез трехмерной плоской волны поверхностью с ненулевой кривизной — получим голографический паттерн. Интересно, что мы получим, если сделаем срез четырехмерной плоской волны пространством с ненулевой кривизной? Об этом поговорим в другой раз.


ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/post/595433/

Комментарии

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *