Привлекательные структуры данных

В процессе изучения разных алгоритмов и структур данных приходит понимание, что не все они применимы в прикладных задачах (в отличие от задач про Васю и Петю/Алису и Боба). Но тот факт, что алгоритм/структура данных не является полезной на практике, не означает, что идеи в них содержащиеся не привлекают пытливые умы хотя бы из чистого любопытства. Потому речь пойдёт о красивых (субъективно) и, что важно, простых с точки зрения концепции структурах данных. И помните: если что-то не компилируется, это псевдокод.

Skiplist

Скиплист на уровне идеи очень интересный субъект мироздания: тут и объекты упорядочены, и вероятности прикрутили, и всё это делает его аналогом бинарного дерева поиска.

Построим его. Изначально имеем обычный односвязный отсортированный список. Пройдёмся по этому списку и выберем каждый элемент с некоторой вероятностью (обычно 0.5) во второй список. Крайние для удобства можно брать всегда. Проведём связи между соседями во втором списке и между выбранными копиями и оригинальными объектами. Получим что-то такое:

Повторим такую операцию, пока не решим, что достаточно. Ограничением можем считать конкретное ограничение на кол-во элементов в самом верхнем списке или просто закончить на ом уровне. Теперь у нас вот такая картина:

Что мы получили? Во-первых, умеем легко обходить все элементы скиплиста в отсортированном порядке. Во-вторых, умеем искать примерно за нужный элемент: начинаем с самого верхнего уровня и спускаемся по мере необходимости (смотрим на следующий элемент; если он больше искомого, двигаемся на уровень вниз):

Раз уж мы взялись использовать списки, давайте использовать до конца: хочется быстро вставлять значение в такую структуру. Для вставки элемента найдём место, куда должен встать новый элемент, вставим его в изначальный список и с опять с какой-то вероятностью пропушим до некоторого уровня, пока рандом не решит, что пора остановиться. Аналогично можем удалять.

Теперь мы можем обходить все элементы за (и не как в bst с хранением предков и разбором случаев, а просто и понятно) + поиск элемента и его вставка/удаление за в среднем. Только что памяти больше тратится, и эти вероятности нет-нет да и могут в какой-то вырожденный случай привести, но бог с ними.

Говорят, что скиплисты — очень хорошее решение, когда нужно что-то вроде thread-safe ordered set/map. Есть вот реализации для java и плюсов в folly.

Sideways heap

Sideways heap (кособокая куча?) – неявная куча, которая задаётся от самого левого листа:

Потом добавляется родитель и брат вершины (или сестра; no sexism):

Развивая эту идею, получим что-то подобное:

Если сделать проекцию кучи на числовую прямую, получим последовательность натуральных чисел.

Заметим, что все листья – это нечётные числа. Все числа на втором уровне – произведение двойки на нечётные числа. Все числа на третьем уровне – четвёрки на нечётные. И т.д. Ещё у этой кучи нет корня и бесконечно много листьев.

Попробуем по номеру вершины узнать всё её окружение. Пусть номер вершины k. Для начала научимся получать соседнюю вершину (для 1 (1 в бинарном виде) это 3 (11) и наоборот, для 2 (10) – 6 (110), для 4 (100) – 12 (1100), …, 2018 (11111100010) – 2022 (11111100110)). То есть нам нужно получить младший бит числа (k & -k), сдвинуть его влево и сделать xor c самим собой, i.e. получается как-то так:

int Sibling(int k) { return k ^ ((k & -k) << 1); }

Для родителя и детей можно вывести следующие формулки:

int Parent(int k) { int j = k & -k; return (k - j) | (j << 1); } pair<int, int> Childrens(int k) { int j = k & -k; return ( k - (j >> 1), k + (j >> 1) ); // если j == 1, то получаем обратно k }

Конечно это очень специфическая структура данных, которая тем не менее позволяет делать какие-то интересные вещи. Например такие кучи используются как основа для других (имхо не сильно более полезных) структур данных. Но как по мне гораздо интереснее алгоритм нахождения наименьшего общего предка для вершин в дереве с на препроцессинг и честным на запрос. Чуть подробнее о кучах и самом алгоритме можно посмотреть в лекции Кнута.

XOR-фильтр

XOR-фильтр предлагается как замена фильтрам Блума для случаев, когда множество ключей известно заранее, что позволяет быть более эффективным по времени и памяти.

XOR-фильтр есть множество ячеек по L бит (в отличие от фильтра Блума, в котором каждый отдельный бит независим). Например он может выглядеть так:

Теперь нам нужно выбрать три хеш-функции h1, h2 и h3 (на практике это одна и та же хеш-функция с тремя разными инициализирующими значениями), которые будут отображать наше значение x в ячейку массива. После того, как мы получаем по трём значениям h1(x), h2(x) и h3(x) L-битные значения (например нулевая, вторая и третья ячейки), посчитаем их xor:

$11011 \oplus 10000 \oplus 00101 = 01110$

Число 01110 называется кодом (table code) x. Тут ещё вводится четвёртая функция f, которая вычисляет f(x) – L-битный fingerprint числа x. Чтобы проверить, находится ли x в нашем множестве, мы сравниваем его код c его фингерпринтом. Если они равны, можем утверждать, что x почти наверняка в нашем множестве. Если не равны – точно не в нём.

Меняя значение L, мы можем повлиять на вероятность ошибки. Утверждается, что вероятность совпадения кода и фингерпринта примерно равна $2^{-L}$ , потому если вы хотите допускать ошибку в $\varepsilon$ случаях, то можно брать $L=\log_2{\varepsilon^{-1}}$ .

Самая интересная часть – это заполнить такую структуру. Процедура довольно крупная (в среднем занимает 100+ строк), потому опишем её в общих чертах.

Для хранения элементов создадим структуру объёмом ячейки и будем следовать следующему алгоритму:

Если во множестве значений никого не осталось, мы закончили.
Выберем такой ключ , что он хешируется в такую ячейку (ячейка ) в которую не хешируется никакой другой ключ.
Удаляем из множества необработанных ключей и рекурсивно переходим к шагу 1.
Ячейке нужно подобрать такое значение, чтобы f(x) совпадал с результатом xor всех значений для (используем факт, что $h3(x) = f(x) \oplus h1(x) \oplus h2(x)$ ).

Есть некоторая вероятность потерпеть неудачу на шаге 2, но авторы запруфали, что при указанном выше размере xor-фильтра она не очень большая. Если же у вас всё-таки не получилось найти подходящую ячейку, меняем seed у наших хеш-функций и начинаем заново. Хороший пример с картиночками есть вот тут.

Плюсы относительно фильтра Блума: если хочется повысить точность, нужно изменить количество битов в ячейке, а не количество хеш-функций; проверка наличия в фильтрах Блума обычно дольше (вычисляем много хеш-функций, потенциальный кеш-мисс на каждую из них, когда в xor-фильтре их всегда до трёх); занимаем меньше памяти (чаще всего).

Сообщество накодило репозиторий с реализациями для разных языков.

Sparse set

Sparse set это некоторый аналог std::vector<bool>/std::bitset за тем исключением, что в нём можно делать очистку всего множества за O(1). Вся структура – это два массива и одна переменная:

template <int R> struct SparseSet { int n = 0; int dense[R]; int sparse[R]; };

dense это массив значений. sparse же хранит индекс значения в dense, т.е. если dense[i] = v, то sparse[v] = i (вместо индекса можно хранить указатель). Тогда добавление выглядит так:

void Add(int val) { dense[n] = val; sparse[val] = n; n++; }

и проверка на наличие:

bool Has(int val) { return sparse[val] < n && dense[sparse[val]] == val; }

И тут мы умеем в “зануление” всей структуры: просто n = 0.

Выглядит довольно просто. Только что памяти она кушает гораздо больше, чем структуры, в которых можно использовать битовое сжатие. Приятным бонусом имеем, что при создании/обнулении структуры не нужно инициализировать используемые массивы: пусть там лежит мусор, который почистится при добавлении новых значений.

Из самого популярного есть вот этот репозиторий. В folly есть реализация, но она почему-то insert-only. Тут можно почитать чуть подробнее.

Пополняемый массив

Пополняемый массив не столько структура,, сколько классический метод обработки данных на простом примере.

Давайте будем решать следующую задачу (да, баян; да, не стыдно): в сортированном массиве требуется отвечать на запрос “сколько значений существует в массиве между l и r”. Примерно вот так:

class ReplArr {     vector<int> a;     ReplArr(vector<int> data) : a(data) {         sort(a);     }     int get(int l, r) {         return upper_bound(a, r) - lower_bound(a, l);     } }

А теперь давайте захотим добавлять элементы время от времени. Понятно, что вставка в середину массива работает не очень быстро. Включаем хак: будем хранить второй массив неупорядоченных элементов, в который будем докидывать приходящие значения и обрабатывать отдельно:

class ReplArr {     vector<int> a, b;     ReplArr(vector<int> data) : a(data) { sort(a); }     int get(int l, r) {         int rr = upper_bound(a, r);         int ll = lower_bound(a, l);         int res = rr - ll;         for (auto x: b) {             if (l <= i <= r) { res++; }         }         return res;     }     void add(int x) {         b.push_back(x);     } }

Работает! Только если у нас очень много добавлений, мы станем долго отвечать на запрос get. Давайте тогда время от времени докидывать все элементы b в a и сортировать заново. Время от времени это когда размер b примерно равен корню a (хотим, чтобы get и модифицированный add работали примерно одинаково, а раз их время работы это в интересующих нас случаях и $O\left(\frac{size(a)}{size(b)}\right)$ , можно взять $\sqrt{size(a)}$ ). Модифицированный add:

void add(int x) {   b.push_back(x);   if (sqr(size(b)) >= size(a)) {        a += b;        sort(a);        b = vector<int>();   } }

В целом паттерн обрабатывать часть информации втупую и время от времени с ней разбираться довольно популярен (один из кейсов для кронтасок).

LSM

LSM — Log Structured Merge. Здесь используется примерно та же идея, что и в предыдущей структуре. Суть в том, чтобы хранить данные на нескольких уровнях фиксированного размера (и, например, размеры растут в геометрической прогрессии). Как только первый уровень будет полностью заполнен, смержить его в следующий. Т.е. структуру следующего вида в целом можно назвать LSMом:

struct lsm { vector<pair<K, V>> unsorted; // max 256 vector<pair<K, V>> sorted_c0; // ровно 256 vector<pair<K, V>> sorted_c1; // ровно 512 … vector<pair<K, V>> sorted_ck; // ровно 65536 on_disk_storage* storage; };

Изначально вставляем в unsorted и производим по нему поиск втупую. Как только unsorted заполняется, скидываем все данные в sorted_c0 (очевидно, предварительно отсортировав). В следующий, раз при необходимости такой же операции, применяем условный mergesort и пихаем данные в sorted_c1. И т.д. При необходимости найти элемент, делаем линейный поиск по unsorted (небольшой размер и локальность данных помогут не очень сильно замедлиться) и бинпоиск по всем остальным векторам. Чтобы не делать поиск на больших медленных уровнях, можно рядом держать какой-нибудь фильтр Блума.

Чаще все структуры начиная с sorted_c0 являются каким-то хранилищем на диске, в то время как unsorted это какой-то in-memory контейнер (может даже скиплист). Также роль промежуточных структур вместо векторов может выполнять что угодно (например в LSM-tree, неожиданно, используются деревья).

Реализации можно найти у facebook и google.

Вместо заключения

Пока черновик статьи хранился на задворках гуглодоков, я обнаружил доклад Андрея Аксёнова про необычные структуры данных, которые ещё и используются на практике. Где-то мы пересеклись, где-то нет. В любом случае доклад посмотрите. Он хорош.

Можно подписаться на мой канал про C++ и программирование в тг: t.me/thisnotes.

ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/post/673776/