Почему гипотеза Коллатца верна

Данная статья является, если не попыткой строгого доказательства, то, как минимум, строгого объяснения почему гипотеза Коллатца верна. Делается это путем рассмотрения изменения последовательности Коллатца внутри кольца классов вычетов Z/6Z. Так как стремление к математической строгости может повлечь за собой определенную сухость языка, статья не является удобной для понимания, за что ее автор заранее просит прощения.

Вводная часть

Перечислим операции сложения и умножения [внутри кольца Z/6Z], которые будут нам необходимы для дальнейших рассуждений:
b ∈ [1]₆ + c ∈ [3]₆ = d ∈ [4]₆     (1.1),
b ∈ [0]₆ * c ∈ [2]₆ = d ∈ [0]₆      (1.2),
b ∈ [1]₆ * c ∈ [2]₆ = d ∈ [2]₆      (1.3),
b ∈ [1]₆ * c ∈ [3]₆ = d ∈ [3]₆      (1.4),
b ∈ [2]₆ * c ∈ [2]₆ = d ∈ [4]₆      (1.5),
b ∈ [2]₆ * c ∈ [3]₆ = d ∈ [0]₆      (1.6),
b ∈ [2]₆ * c ∈ [4]₆ = d ∈ [2]₆      (1.7),
b ∈ [2]₆ * c ∈ [5]₆ = d ∈ [4]₆      (1.8),
b ∈ [3]₆ * c ∈ [3]₆ = d ∈ [3]₆      (1.9),
b ∈ [3]₆ * c ∈ [5]₆ = d ∈ [3]₆      (1.10).
Также отметим, что A = [0]₆ ∪ [2]₆ ∪ [4]₆, где A – это множество всех четных чисел.

Часть I. Последовательность Коллатца внутри кольца Z/6Z

Число d ∈ [0]₆ путем умножения на 2 можно получить только из числа b ∈ [0]₆ (1.2), либо из числа c ∈ [3]₆ (1.6). Следовательно, в результате деления числа d ∈ [0]₆ на 2 получится число b ∈ A, где A = [0]₆ ∪ [3]₆. Асимптотическая плотность d([0]₆) = d([3]₆) = 1/6, поэтому вероятности b∈ [0]₆ и b∈ [3]₆ равны по 1/2.
Если число b ∈ [1]₆ умножить на 3, получится число c ∈ [3]₆ (1.4). Если затем к числу c прибавить 1, получится число d ∈ [4]₆ (1.1).
Число d ∈ [2]₆ путем умножения на 2 можно получить только из числа b ∈ [1]₆ (1.3), либо из числа c ∈ [4]₆ (1.7). Следовательно, в результате деления числа d ∈ [2]₆ на 2 получится число b ∈ A, где A = [1]₆ ∪ [4]₆. Асимптотическая плотность d([1]₆) = d([4]₆) = 1/6, поэтому вероятности b∈ [1]₆ и b∈ [4]₆ равны по 1/2.
Если число b ∈ [3]₆ умножить на 3, получится число c ∈ [3]₆ (1.9). Если затем к числу c прибавить 1, получится число d ∈ [4]₆ (1.1).
Число d ∈ [4]₆ путем умножения на 2 можно получить только из числа b ∈ [2]₆ (1.5), либо из числа c ∈ [5]₆ (1.8). Следовательно, в результате деления числа d ∈ [4]₆ на 2 получится число b ∈ A, где A = [2]₆ ∪ [5]₆. Асимптотическая плотность d([2]₆) = d([5]₆) = 1/6, поэтому вероятности b∈ [2]₆ и b∈ [5]₆ равны по 1/2.
Если число b ∈ [5]₆ умножить на 3, получится число c ∈ [3]₆ (1.10). Если затем к числу c прибавить 1, получится число d ∈ [4]₆ (1.1).

Исходя из всего вышеизложенного, построим следующий ориентированный мультиграф:

Часть II. Циклы внутри последовательности Коллатца

С помощью ориентированного мультиграфа выделим следующие циклы внутри последовательности Коллатца:
1. [0]₆ -> [0]₆ (петля)
2. [4]₆ -> [5]₆ -> [4]₆
3. [4]₆ -> [2]₆ -> [4]₆
4. [4]₆ -> [2]₆ -> [1]₆ -> [4]₆.
Циклы 2, 3, 4 в совокупности представляют цикл [4]₆ -> … -> [4]₆.
Согласно закону больших чисел , где H – {переход цикла [0]₆ -> [0]₆, где n – число итераций цикла, в цикл [4]₆ -> … -> [4]₆ через маршрут [0]₆ -> [3]₆ -> [4]₆}.
Таким образом, , , где H₁ – {вход в цикл [4]₆ -> … -> [4]₆, где (x_n) – последовательность Коллатца}, H₂ – {выход из цикла [4]₆ -> … -> [4]₆}.

Часть III. Изменение последовательности Коллатца внутри цикла [4]₆ -> … -> [4]₆

Рассмотрим случай однократной итерации цикла [4]₆ -> … -> [4]₆: P(H₁) = 1/2, P(H₂) = 1/4, P(H₃) = 1/4, где H₁ – {итерация цикла [4]₆ -> [5]₆ -> [4]₆}, H₂ – {итерация цикла [4]₆ -> [2]₆ -> [4]₆}, H₃ – {итерация цикла [4]₆ -> [2]₆ -> [1]₆ -> [4]₆}.
Далее примем за x число в начале каждого цикла и рассмотрим его изменение в результате итерации данного цикла:
[4]₆ -> [5]₆ -> [4]₆:

[4]₆ -> [2]₆ -> [4]₆:

[4]₆ -> [2]₆ -> [1]₆ -> [4]₆: .

Исходя из вышеизложенного, число x изменяется за одну итерацию цикла [4]₆ -> … -> [4]₆ следующим образом: , где n – количество итераций цикла [4]₆ -> … -> [4]₆.

Следовательно, по закону больших чисел последовательность Коллатца при стремлении к бесконечности непременно убывает и, следовательно, достигает наименьшего значения, замыкаясь в цикле 1 -> 4 -> 2 -> 1.