От n! до n^n всего n слагаемых, но это — не самое замечательное

Дек 31, 2022

—

от автора

admin

Рассмотрим формулу:

$n!=n^n-C_n^1(n-1)^n+C_n^2(n-2)^n-C_n^3(n-3)^n+...+(-1)^{(n-1)}C{_n}^{(n-1)} (*)$

Если рассмотреть формулу Стирлинга в виде ряда:

$n! = \sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^n(1+\frac{1}{12 n}+\frac{1}{288n^2}-\frac{139}{51840 n^3}+...)$

Введем следующие обозначения:

$-\delta(n)=n!-n^n$

Получаем формулу:

$n! \approx \delta(n)[\frac{\sqrt{2\pi n}(1+\frac{1}{12 n}+\frac{1}{288n^2}-\frac{139}{51840 n^3}+...)}{e^n-\sqrt{2\pi n}(1+\frac{1}{12 n}+\frac{1}{288n^2}-\frac{139}{51840 n^3}+...)}] (**)$

Посчитаем формулу (**), допустим для n=20.

$20!-20^{20}=-104857597567097991823360000$ $20! \approx 2.4329028230918*10^{18}$

При этом точное значение: 20!=2432902008176640000

Формула вида (**) показывает отношение между рядом Стирлинга и рядом из n слагаемых из правой части формулы (*).

Если же учесть, что

$n!=(\frac{n}{e})^n \sqrt{2 \pi n}\sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_k}{n^k}$ $a_k=\sum_{j=1}^{2k}(-1)^j\frac{d_3(2k+2j,j)}{2^{j+k}(j+k)!},k \in N, (***)$

где — количество перестановок из n элементов с m циклами, каждый из которых имеет длину не менее 3.

Comtet L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions. — D. Reidel Publishing Company, 1974. — 267 p.

Получается замечательное соотношение между конечного числа слагаемых, содержащих биномиальные коэффициенты и рядом (***).

ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/post/708742/

От n! до n^n всего n слагаемых, но это — не самое замечательное

Комментарии

Добавить комментарий Отменить ответ