Что такое мат.анализ и с чем его едят?

Давайте знакомиться: я Меликян Маргарита, кандидат физико-математических наук, уже 4й год работаю на мехмате МГУ и кафедре высшей математики МФТИ, а также несколько лет как преподаю в ШАД Helper. Преподаю я как разнообразные курсы из блока анализа, так и вероятностного блока, и сегодня я хочу немного поговорить о том, каково это – осваивать математический анализ и каких ошибок следует избегать, какие лайфхаки применить.

Первая препона, с которой сталкивается человек в самом начале освоения новой дисциплины, даже если он это делает “под присмотром” преподавателя – это литература. На что нужно обращать внимание и ориентироваться при выборе?

1. В первую очередь на то, какую литературу предлагает сам преподаватель. Если он ее предлагает, то скорее всего его подход в изложении материала будет близок тому, что вы увидите в соответствующих книжках, однако на самом деле списки литературы часто бывают шире и разнообразнее, и отсюда произрастает необходимость второго пункта =⇒

2. Я очень не советую новичкам пользоваться большим количеством литературы одновременно! Во-первых, от обилия информации и осознания количества того, что надо освоить, ваш запал может иссякнуть гораздо раньше, чем вы хоть сколько-нибудь продвинетесь в изучении. Во-вторых, что страшнее, вы можете попасть в неприятные “циклы”:

   В книге А: доказали теорему 1, из нее следует теорема 2.
   В книге Б: доказали теорему 2, а из нее теорему 1.

   А теперь задумайтесь, что получается, если вы решили взять, скажем, доказательство теоремы 1 из книжки Б, а доказательство теоремы 2 из книжки А… Впрочем, если вы решили, что вам не сильно-то интересны и нужны доказательства и строгое пирамидное развитие теории, то это может быть не так уж страшно, кроме того, что породит у вас искаженное представление о “действительности”. Тут же замечу, что полностью игнорировать изучение доказательств так себе идея ввиду того, что некоторые из них используют приёмы и идеи, полезные для решения задач. А нас же в конечном итоге интересует совершенствование в этом плане, да?)

3. Конечно же, учитывая всё вышесказанное, выбирать стоит из предложенного того автора, чье изложение материала показалось вам ближе всего (т.е. понятнее и доступнее). Для определения фаворита можно почитать одну и ту же тему в разных учебниках и прислушаться к себе 😉

4. И специально для студентов ВУЗов: С БОЛЬШОЙ ОСТОРОЖНОСТЬЮ ПОЛЬЗУЙТЕСЬ “МЕТОДИЧКАМИ” от старшекурсников. Обязательно сверяйтесь с учебниками касательно написанного. Потому как это тот тип литературы, который просто кишит неточностями, ошибками и совсем уж невероятными фактами. Их можно читать только уже разобравшись в предмете, как научпоп или фантастику.

   Впрочем, всё изложенное выше можно отнести не только к математическому анализу, но и к любой другой математической дисциплине (а может, и не только математической, вот за это не ручаюсь).

Второй момент, который оказывается на первом курсе затруднительным, это гениальный аппарат – “эпсилон-дельта определения” и иже с ними. Определения, заключающие в себе набор символов, среди которых понакиданы кванторы (порой до 3х разных типов в одной математической “фразе”!) вперемежку с множествами/пространствами, их элементами и еще бог знает чем вызывают нереальные трудности при запоминании! Что очень часто демонстрируют студенты на коллоквиумах, зачётах, экзаменах… Кто виноват? И что делать?

Ответ прост и сложен одновременно – не механически “заучивать” (я искренне считаю, что просто запомнить такой объём информации нереально, да и излишне), а попробовать ПОНЯТЬ, “что хотел сказать автор”. Понять, почему темы изучаются именно в таком порядке, обычно это обусловлено некоторой логикой усложнения понятий. Собственно, за что обожаю математику: объём информации, требуемой к запоминанию, выгодно отличается от гуманитарных направлений 🙂 Если вы понимаете, “чувствуете”, что там происходит, можете сами написать на математическом языке нужное определение или вывести нужное утверждение, вам становится гораздо, нет, не так, ГОРАЗДО легче!

Хорошо, тезис, думаю, ясен, а как понять-то? Приведу парочку лайфхаков:

1. Раз уж мы начали с “эпсилон-дельта определений” и аналогичного, то давайте про них и поговорим. Первое, что вам может помочь – попробуйте попереставлять кванторы всевозможными способами или заменить их на другие, “забыть” вовсе (одним словом, смоделировать реальный ответ недоучившего на экзамене), и посмотреть, что из этого получится. Возможно ли подобрать такой объект? а если возможно, то будет ли это то, чего нам хотелось изначально?

   Например, вы пытаетесь разобраться с критерием Коши сходимости последовательности. Один из вариантов написания условия Коши фундаментальности последовательности {x_k} _{k ∈ N} выглядит так:

   или .

2. Про точку: нет, не может (теорема о нулях функции).
   
   Непрерывность в точке: при рассмотрении графика исследуемой функции получается, что сколь малый эпсилон мы бы ни взяли (это будет половиной высоты прямоугольника без границы, который мы строим, отступив вверх и вниз от уровня, равного значению функции в рассматриваемой точке), для него всегда найдётся дельта (половина ширины прямоугольника), такое что, взяв произвольный аргумент со стороны прямоугольника, параллельной оси абсцисс, я обнаружу, что значение функции в этом аргументе попадает во внутрь построенного прямоугольника. В равномерной непрерывности мы построение чуть видоизменяем: выбрать дельта можно так, что прямоугольник со сторонами дельта и эпсилон можно двигать по всему множеству, на котором функция претендует на равномерную непрерывность, и при этом функция не будет пересекать стороны прямоугольника, параллельные оси абсцисс.

3. Не всегда, рассмотрите функцию

   

   Существуют: на отрезке [−1; 1].