Авторы делятся своими воспоминаниями о поступлении и учебе на механико — математическом факультете МГУ. На всякий случай: Ильичев Виталий — окончил кафедру «Математической логики и теории алгоритмов», доктор технических наук, Южный Научный Центр РАН; Маринин Андрей — окончил кафедру «Дифференциальных уравнений», преподаватель Нижегородского госуниверситета.
Эти реальные события произошли много лет тому назад, кажется, в 1967 году. В этот раз на первом экзамене — по письменной математике — предлагались четыре задачи. С точки зрения психологии не совсем ясно какой стратегии на данном экзамене лучше придерживаться. Так, первая «параллельная» стратегия заключается в беглом просмотре всех задач, чтобы примерно оценить их трудность, а затем уже приступить к аккуратному изложению решений. Хорошо, если быстро удается убедиться, что все задачи «вполне решаемы». Это вдохновляет, и позволяет быстро оформить работу. Разумеется, это рискованная стратегия, поскольку можно потратить много времени на поиске решения одной из трудных задач. И тогда не хватит времени на аккуратное оформление остальных. Вторая стратегия — последовательное решении предлагаемых задач. Если решить какую‑то задачу сразу не получается, то переходим к следующей. Это осторожный, но и тревожный путь, который сопровождается чувством неуверенности «в завтрашнем дне».
Какая из этих стратегий «более правильная»? Разумеется, это зависит от индивидуальных качеств абитуриента, связанных с особенностями его нервной системы.
Теперь обсудим задачи первого экзамена. Оказалось, что первые две достаточно стандартные и легко решаемые. В третьей задаче была дана система уравнений с параметром, и требовалось найти его значения, при которых данная система имела единственное решение. Для абитуриентов, имеющих опыт решения олимпиадных задач, она была вполне преодолима и многие с ней справились. А вот в четвертой задаче нужно было найти объем некоего трехмерного тела. С этой справились единицы. Так, что любители рискованных стратегий решения оказалось в сложном положении: мало того, что они не смогли решить задачу 4, но и толком не успели оформить решение задачи 3.
Отметим, что один наш знакомый старшекурсник (Ф. Сурков) заметил, что последняя геометрическая задача легко решается, если знать формулу площади сферического треугольника[1].
Оформим его информацию в форме следующей задачи.
Задача 1. Пусть имеется сфера радиуса 
, на ее поверхности нарисованы (см. рис. 1) три окружности большого круга. Они образуют криволинейный треугольник (см. рис.1) с углами 
. Покажите, что его площадь
равняется
«Отчаянные» читатели могут самостоятельно попробовать ее решить. А остальные — проверить на следующем «вкусном» примере. Так, разрежем горизонтально арбуз по экватору, а затем каждую половинку разрежем вертикально на 4 равные части. Теперь вся поверхность арбуза (площади 
) разбивается на 8 равных сферических треугольников. Отсюда находим площадь каждого треугольника, она равна 
.
А с другой стороны, здесь всякий треугольник имеет углы 
, и тогда согласно (1) получаем 
. Очевидно, этот результат совпадает с предыдущим. Здорово!
Разумеется, предлагать такого сорта задачи на вступительных экзаменах недопустимо. Члены приемной комиссии видимо «осознали» свою вину, и пытались ее компенсировать на другом экзамене — по русскому языку и литературе. Там была предложена следующая загадочная тема сочинения — «Солнце». Здесь допускалась полная вольница (но не менее 3 страниц): Человек — Солнце; Солнце, как астрономический объект, и т. д..
Любопытно, а если бы на страницах сочинения абитуриент изложил решение задачи 4 для сферической поверхности планеты Солнце, то это тоже считалось бы вполне допустимым?
Устный экзамен принимал совсем молодой профессор (будущий академик) Владимир Игоревич Арнольд[2]. Сам экзаменатор был в прошлом успешный олимпиадник, и рассматривал задачи приемных экзаменов, как некоторую не очень серьезную забаву. По‑сути он превратил экзамен в «сеанс одновременной игры». Так, сразу несколько абитуриентов решали его задачи, а он перемещался от одного к другому. При этом порядок предлагаемых задач был строго дозирован: сначала предлагалась достаточно простая задача, а потом сложность новых задач последовательно увеличивалась. Атмосфера на экзамене была вполне доброжелательной.
Но вот один из абитуриентов захотел показать свои «незаурядные» математические способности, и сообщил профессору (по секрету) не только решение своей задачи, но и решения некоторых задач своих соседей. Эта «демонстрация силы» не очень понравилась В. Арнольду, и тогда он предложил «выскочке» следующую ниже задачу.
Задача 2. Внутри круга радиуса 
задана некоторая точка 
. Если через нее провести две взаимно перпендикулярные хорды (см. рис. 2b), то образуются четыре фрагмента — 
. Требуется найти расположение хорд, при котором сумма квадратов 
будет максимальной.
Сразу ясно, что устно ее не решить и, вероятно, нужно прибегнуть к тяжелой артиллерии — тригонометрии: составить уравнения длин указанных отрезков в зависимости от угла
расположения хорд к окружности. Затем определить максимум функции
путем ее дифференцирования. Это прямолинейный, долгий и скучный подход.
С эстетической точки зрения желательно минимизировать использование тригонометрии[3].
Великие античные математики (Евклид, Архимед, Пифагор и др.) не знали синусов! Разумеется, здесь надо чувствовать меру. Так теорему о том, что сумма двух сторон ( 
и 
) в невырожденном треугольнике всегда больше третьей (
) доказать элементарными методами не так‑то просто. Зато привлечение тригонометрии сразу дает решение: пусть 
— угол между сторонами 
и 
, тогда
. Отсюда легко получаем 
. Например, если
совпадает с центром круга, тогда естественно для любых взаимно перпендикулярных хорд устанавливаем
Чуть менее тривиальным является вариант, когда точканаходится на окружности. В этой ситуации два фрагмента хорд исчезают, а оставшиеся, скажем
и
, вместе с диаметром
образуют прямоугольный треугольник. Отсюда с помощью Пифагора получаем 
.
Удивительное совпадение! После этого уже будучи зрелым “выскочка” обратился к своему приятелю, который ранее преподавал в математическом лицее. И тот быстро во всем разобрался.
Приводим его короткое решение с совсем малой тригонометрической начинкой (рис. 2)
Сначала напомним, что из любой точки окружности фиксированная хорда выглядит под одним и том же углом. Пусть заданы диаметр окружности (
) и угол
(
), тогда согласно рис. 2a хорда является катетом в прямоугольном треугольнике
и ее длина вычисляется по формуле 
.
Далее, на рис. 2b в треугольнике 
обозначим углы 
и 
Очевидно, 
Согласно напоминанию имеют место соотношения: 
и 
Поэтому получаем
Аналогично устанавливаем
Из (2) и (3) следует: сумма квадратов всех сторон окамляющего четырехугольника на рис. 2b равна 
Осталось заметить, что 
Поэтому окончательно находим
Действительно, ответ коварный, поскольку не зависит от расположения хорд!
На втором курсе В. Арнольд читал лекции по курсу «Дифференцальные уравнения» целому потоку (=6 групп). Обычно этот предмет рассматривают как разновидность математического анализа с большим количеством формул. Однако в этот раз изложение данной теории было построено на совсем других принципах. Теперь ключевое значение имели следующие понятия: потоки, каскады, векторные поля, фазовые портреты и др. [ 2]. По‑сути, предмет превратился в раздел наглядной геометрии[4].
В первом ряду, как правило, располагаются довольно тщеславные студенты, которые хотят показать, что они хорошие ученики — все понимают слету (и поэтому постоянно кивают головами). Это не ускользнуло от внимания ироничного Арнольда, и он решил проучить новоявленных «выскочек». Сделал это он следующим коварным образом. Так, на очередной лекции в первой половине он доказал некую теорему, и перед перерывом спросил аудиторию: «Всем все понятно?» Разумеется, «выскочки» дружно ответили: «Да, конечно», и послушно закивали головами. Тогда В. Арнольд сказал: «А теперь, в перерыве найдите ошибку в моем рассуждении». Повисло тягостное молчание, ну, как в финальной сцене «Ревизора» (Н.В. Гоголь).
Приведем еще один «международный» пример этической аккуратности Арнольда, который он описал в своем учебнике [3]: «Р. Том, которого я обучил этой теории (Андронов. Теории бифуркаций) в 1965 году, стал широко пропагандировать ее под названием бифуркация Э. Хопфа».
Интересной, но и несколько спорной является оценка В. Арнольда недавнего математического прошлого. Так, он пишет [4]: «…двухсотлетие от Ньютона до Римана и Пуанкаре представляется мне математической пустыней, заполненной одними лишь вычислениями.»
Литература
-
Тихомиров В.М. К восьмидесятилетию Владимира Игоревича Арнольда//Квант, 2017, N 7, C. 2-3.
-
Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984. 271 с.
-
Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978. 304 с.
-
Арнольд В.И. Второй закон Кеплера и топология абелевых интегралов// Квант, 1987, N 12, C. 17-24.
[1] Ранее после одной из всероссийских олимпиад академик А.Н. Колмогоров рассказал как можно получить эту формулу.
[2] Еще будучи студентом 3 курса он решил (совместно сА.Н. Колмогоровым) 13 проблему Гильберта о возможности представдения непрерывной функции, как суперпозиции непрерывных функции от двух переменных. Лауреат Ленинской и Государственных премий, а также ряда международных премий [1].
[3] Один известный политик сказал по этому поводу: “Наложить вето на табу”.
[4] Эмоциональный студент из Одессы признавался, что на лекциях В. Арнольда ему иногда хочется петь. Ну, типа: “Я вам советую беречь свои портреты. (Фазовые портреты) ”.
Авторы статьи: В. Ильичев, А. Маринин
Статья подготовлена при поддержке ШАД Хелпер
ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/articles/773020/
Добавить комментарий