Традиционное определение для операции возведения в натуральную степень (или целую положительную) вводится примерно следующим образом:
Возведе́ние в сте́пень — арифметическая операция, первоначально определяемая как результат многократного умножения числа на себя.
На первый взгляд, это определение затруднительно обобщить для целых показателей степени меньших единицы
... x^3 = x*x*x x^2 = x*x x^1 = x x^0 = ????? x^-1 = ????? ...Но если вспомнить, что у операции умножения есть обратная — деление, то напрашивается расширение и для отрицательных показателей степени
... x^3 = x*x*x x^-3 = 1/(x*x*x) = 1/x/x/x ...следовательно
... x^3 = x*x*x x^2 = x*x x^1 = x x^0 = ? x^-1 = 1/x x^-2 = 1/x/x x^-3 = 1/x/x/x ...Но всё ещё открытым остаётся вопрос для 0: с одной стороны, на место ? напрашивается 1, но с другой, такое определение остаётся не вполне симметричным для положительных и отрицательных значений…
Поэтому при внимательном рассмотрении возникает вполне естественно желание слегка видоизменить и усовершенствовать исходное
... x^3 = 1*x*x*x x^2 = 1*x*x x^1 = 1*x x^0 = 1 x^-1 = 1/x x^-2 = 1/x/x x^-3 = 1/x/x/x ...В таком представлении определение словно обретает стройность вкупе с полнотой:
Возведение числа X в целочисленную степень N — арифметическая операция, определяемая как результат многократного [N по модулю раз] умножения либо деления единицы на число X.
Чуть более общий случай* на языке программирования C#
static double Pow(double x, int pow, double seed = 1d) { var value = seed; if (pow < 0) for (var i = 0; i > pow; i--) value /= x; else for (var i = 0; i < pow; i++) value *= x; return value; }* в общем случае зерно [seed] может быть отличным от 1
В таком виде определение легко и естественно расширяется на случай 0^0, о котором издавна ведутся жаркие споры в математическом сообществе.
Из него закономерно следует, что 0^0 = 1.
Действительно, если мы ни разу не будем умножать единицу на ноль, то в результате останется исходная 1, но если хоть раз умножим, то уже получим 0.
Если хорошенько вдуматься, то строго доказать тождество X^0 = 1 невозможно, а причина в том, что мы ведь сами даём определения функциям таким образом, чтобы они обладали удобными в прикладных расчётах свойствами.
То есть при попытке доказать тождество X^0 = 1 различными методами, на самом деле мы лишь демонстрируем, что функция возведения в степень нами же определена именно таким способом, чтобы обладать теми заданными полезными свойствами, через которые и проводится само «доказательство». То есть возникает неявный замкнутый круг.
На вопрос:
-
Почему
X^0 = 1?
Честный ответ таков:
-
X^0 = 1по определению!
Тут уместно спросить:
-
Но почему же выбрано именно такое определение?
На что приемлем ответ:
-
Потому что оно во многом стройное (смотреть иллюстрации выше) и обладает рядом замечательных свойств, очень уместных в практических вычислениях.
Если, скажем, определить X^0 иначе, то частично сломается свойство умножения степеней с одинаковыми основаниями X^M * X^N = X^(M+N) (а именноX^0 * X^N = X^N), что будет лишь усложнять вычисления без какой-либо смысловой ценности.
Аналогичным образом легко рассмотреть функцию целочисленного умножения через сложение и вычитание с нулевым зерном
... x*3 = 0 + x + x + x x*2 = 0 + x + x x*1 = 0 + x x*0 = 0 x*-1 = 0 - x x*-2 = 0 - x - x x*-3 = 0 - x - x - x ...static double Mul(double x, int scale, double seed = 0d) { var value = seed; if (pow < 0) for (var i = 0; i > scale; i--) value -= x; else for (var i = 0; i < scale; i++) value += x; return value; }Умножение произвольного числа X на целое число N — арифметическая операция, определяемая как результат многократного [N по модулю раз] сложения либо вычитания нуля с числом X.
Из определения органично вытекает тождество X*0 = 0.
В самом деле, если к нулю ничего не прибавлять и ничего из нуля не вычитать, то 0 в итоге и останется!
Похожим способом можно взглянуть на функции сложения и вычитания через функции инкремента и декремента, но в качестве зерна будет выступать уже само число.
Сложение
... x + 3 = x + 1 + 1 + 1 x + 2 = x + 1 + 1 x + 1 = x + 1 x + 0 = x x +(-1) = x - 1 x +(-2) = x - 1 - 1 x +(-3) = x - 1 - 1 - 1 ...static double Add(double x, int shift) { var value = x; if (pow < 0) for (var i = 0; i > shift; i--) value -= 1; else for (var i = 0; i < shift; i++) value += 1; return value; }Вычитание
... x - 3 = x - 1 - 1 - 1 x - 2 = x - 1 - 1 x - 1 = x - 1 x - 0 = x x -(-1) = x + 1 x -(-2) = x + 1 + 1 x -(-3) = x + 1 + 1 + 1 ...static double Sub(double x, int shift) { var value = x; if (pow < 0) for (var i = 0; i > shift; i--) value += 1; else for (var i = 0; i < shift; i++) value -= 1; return value; }И для полноты следует вспомнить функцию факториала и доопределить её для 0. С отрицательными аргументами становится сложнее, поскольку из общей формулы возникают бесконечные произведения, для которых традиционные методы вычислений уже во многом не определены.
n! = 1 * [(n - 0)*(n - 1)*(n - 2)*...*3*2*1] ... 3! = 1 * (3*2*1) 2! = 1 * (2*1) 1! = 1 * (1) 0! = 1 ...Благодарю за прочтение!
Надеюсь, что рассмотренные примеры помогут читателю подружиться с тождеством X^0 = 1.
Зеркала статьи:
ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/articles/778198/
Добавить комментарий