Разбираемся в АА-деревьях (Python)

Для понимания этой статьи рекомендую ознакомиться с тем, что такое красно-черные деревья (КЧД) и тем, как они работают

При написании пар по алгоритмам и структурам данных, я столкнулся с тем, что существует достаточно мало материалов по AA-деревьям, а конкретных примеров и еще меньше. Так что это статья для таких же «ищущих» как и я 🙂

Что такое AA-дерево?

АА-дерево — это модификация красно-черного дерева с целью упрощения реализации

Для реализации будем использовать узел (ноду), что используется для реализации КЧД

from __future__ import annotations from dataclasses import dataclass, field from typing import Any, Literal   @dataclass class Node:     key: Any     parent: Node | None = field(default=None)     right: Node | None = field(default=None)     left: Node | None = field(default=None)     height: int = field(default=1)     color: Literal["red", "black"] = field(default="black")

key — полезная информация в ноде (строка, число, etc.)
parent — ссылка на родительскую ноду
right — ссылка на правого ребенка
left — ссылка на левого ребенка
height — высота
color — цвет

Правила АА-дерева:

Цвет вершины может быть черным или красным
Корень всегда черный
Листья всегда черные
Каждая красная вершина должна иметь двух черных сыновей
Пути от вершины к ее листьям должны содержать одинаковое количество черных вершин (черная высота)
В дереве не может быть левого красного сына

Также в АА-дереве меняется понятие высоты

Высота здесь — это не количество нод от корня до узла, а отдельная величина для узла и увеличивается посредством операций при перебалансировке

Как определяется высота:

У None листьев высота = 0
У листьев высота = 1
У красных нод высота та же, что и у его родителя
У черных нод высота на 1 меньше, чем у их родителей

Корень — 46
Высота 1: 8, 9, 24, 35, …
Высота 2: 18, 29, 57, 72
Высота 3: 46, 68

Связи м-ду нодами на одной высоте (46 и 68 например) называются горизонтальными
Горизонтальная связь всегда ведет к красной ноде

Вставка элемента в AA-дерево

Делается по аналогии с красно-черным деревом

Ищем куда добавить ноду
Добавляем красную ноду
Производим балансировку

Благодаря новому условию (левый ребенок не может быть красным), проблемы при балансировке вызывают всего 3 (вместо прошлых 7) кейса, давайте их рассмотрим

Случай 1. Корень красный

По аналогии с КЧД, просто красим ноду в красный

Случай 2. Левая горизонтальная связь

Для начала рассмотрим случай если родитель черный

Обобщим такой случай

X, Y, Z — некоторые поддеревья

Что делать в таком случае?

Правый поворот м-ду левым сыном (A) и отцом (B)
Перекрашиваем сына в черное
Перекрашиваем отца в красное

Высота в этом случае ни у кого не изменяется

Убираем левую горизонтальную связь, операция skew

Назовем это преобразование skew

Благодаря тому, что последнее правило АА-дерево несиметрично (левого красного сына быть не может), симметричный кейс проблем у нас не вызывает

Применим skew к нашему примеру

Применили skew, убрали левую горизонтальную связь

Реализуем skew

def skew(node: Node) -> Node:   child = node.left   subtree = child.right    node.left = subtree   subtree.parent = node    child.right = node   child.parent = node.parent   node.parent = child    child.color = "black"   node.color = "red"    return child

Теперь рассмотрим случай, если родитель красный

Добавляем в это дерево ноду 46 (слева от 55)

Нода 46 добавляется на одной высоте с 55

Получаем левую горизонтальную связь с красным родителем 55

Что делать?

Правый поворот м-ду сыном и отцом

Перекраска в этом случае не делается

Доработаем функцию skew

def skew(node: Node) -> Node:   child = node.left   subtree = child.right    node.left = subtree   subtree.parent = node    child.right = node   child.parent = node.parent   node.parent = child    if node.color == "black":     child.color = "black"     node.color = "red"    return child

Случай 3. Двойная горизонтальная связь

Речь пойдет о двойной правой горизонтальной связи
Двойная левая горизонтальная связь невозможна, фиксится как 2 случая левой горизонтальной связи

Обобщим этот случай

Обобщенный случай двойной горизонтальной связи

X, Y, Z, W — некоторые поддеревья

Что делаем?

Левый поворот м-ду A и B
Увеличиваем высоту у B
Перекрашиваем C в черный

В этом случае высота увеличивается только у B

Назовем это преобразование split

По итогу преобразования можем получить 3 случая:

B становится корнем дерева
- Обрабатываем как первый случай
B образовывает левую горизонтальную связь
- Обрабатываем как второй случай
B образовывает правую горизонтальную связь
- Тут проблем нет

Вернемся к примеру и разрешим двойную горизонтальную связь

Разрешение двойной горизонтальной связи из примера

Реализуем split

def split(node: Node) -> Node:   child = node.right   subtree = child.left    child.parent = node.parent    node.parent = child   child.left = node    node.right = subtree    child.height += 1    child.right.color = "black"    return child

С полным процессом построения AA-дерева руками можно ознакомиться в видео ниже

Здесь строится дерево для массива [57, 55, 72, 18, 46, 68, 24, 9, 59, 97, 29, 35, 89, 8]

Соберем весь код вставки

Сначала сделаем функцию которая будет исправлять все проблемы при перебалансировке

def insert_fix(tree: Node, node: Node):   while node.parent is not None:     if node.left is not None and node.left.color == "red":       node = skew(node)     elif node.right is not None and node.right.color == "red" and node.right.right is not None and node.right.right.color == "red":       node = split(node)     else:       node = node.parent     tree.color = "black"

А теперь сделаем непосредственно функцию вставки

def insert(tree: Node, key: Any):   parent = None   curr = tree    while curr is not None:     parent = curr     if key < curr.key:       curr = curr.left     else:       curr = curr.right    node = Node(key=key, color="red")    if parent is None:     tree = node   else:     node.parent = parent     node.height = parent.height     if key < parent.key:       parent.left = node     else:       parent.right = node      insert_fix(tree, node)

Удаление элемента из AA-дерева

Рассмотрим 4 возможных случая

Будем рассматривать случаи на следующем дереве

Случай 1. Удаляем красный лист

Просто удаляем лист, ничего больше не нужно т.к. черная высота не изменяется

В нашем примере — нода 9

Реализуем функцию удаления красного листа

def delete_red_leaf(node: Node):   parent = node.parent   parent.right = None    node.parent = None

Случай 2. Удаляем черный лист с красной нодой

Удаляем ребенка
Заменяем значение ноды на значение ребенка
Перекрашиваем ноду в черный

В нашем примере — нода 8

Реализуем функцию под этот случай

def remove_black_leaf_red_right(node: Node):   node.key = node.right.key   delete_red_leaf(node.right)

Случай 3. Удаляем узел с двумя детьми

Для замены значения в удаляемой ноде нам необходимо найти некоторый узел
Назовем этот узел наследником

В зависимости от реализации наследниками могут быть:

Минимальное значение, большее чем текущее («потомок»)
Максимальное значение, меньшее чем текущее («предшественник»)

Для реализации будем трактовать наследника как потомка

Заменяем удаляемую ноду наследником и обрабатываем наследника:

Если наследник — черный лист с красной нодой, обрабатываем как второй случай
Иначе — см. случай 4 (см. ниже)

Реализуем функцию получения наследника

def find_successor(node: Node):   successor = node.right    while successor.left is not None:     successor = successor.left      return successor

Удалим ноду 18, наследник для нее — 24

Заменим значения и обработаем наследника по случаю 2

Реализуем функцию

def delete_with_red_node_successor(node: Node)   successor = find_successor(node)    node.key = successor.key   remove_black_leaf_red_right(successor)

Случай 4. Удаляем черный лист

Самый сложный случай

Удаляем ноду
Идем от удаленной ноды до корня
Для каждой ноды (?) на пути с двумя детьми делаем следующее:
- Если есть ребенок с высотой с разницей в 2 по сравнению с текущим:
  - Уменьшаем высоту ?
  - Если правый ребенок — красный, уменьшаем и его высоту
- При необходимости делаем
  - skew(?)
  - skew(?.???ℎ?)
  - skew(?.???ℎ?.???ℎ?)
  - split(?)
  - split(?.???ℎ?)
- Если ? — красный и у родителя высота больше, красим ? в черный

При уменьшении высоты, красим детей той же высоты в красный цвет

Для примера возьмем построенное выше дерево и попробуем удалить корень — 46

Наследник корня — 55
Заменим значение и удалим наследника

У ноды 57 есть левый ребенок, который отличается по высоте от родителя на 2
(у None высота = 0, у ноды 57 высота = 2)

Уменьшаем высоту у ноды 57
Тк у 57 есть правый ребенок той же высоты (высоты 1), красим его в красный

Заметим, что у ноды 68 есть ребенок, отличающийся по высоте на 2 (нода 57)
Понизим высоту у ноды 68

Покрасим ноды на одной высоте в красный

Нода 68 красная, у ноды 55 высота на 1 выше => красим 68 в черное

Теперь попробуем удалить ноду 35, чтобы увидеть как работает skew при перебалансировке

У 29 есть ребенок с высотой 0 => понижаем высоту 29 и красим 24 в красное

Делаем skew(29), напомню что в этом случае перекраска не происохдит

Нода 24 красная, родитель — черный с высотой на 1 больше => красим 24 в черное

Также есть визуализация алгоритма удаления, где используются и skew, и split, рекомендую ознакомиться

Реализуем функцию для этого случая

Для начала сделаем вспомогательные функции

def get_height(node: Node | None):   if node is None:     return 0   return node.height  def check_skew(node: Node):   return node.left.height == node.height and node.left.color == "left"  def check_split(node: Node):   child = node.right   grandson = child.right    return node.height == child.height and child.height == grandson.height and child.color == "red" and grandson.color == "red"  def decrease_height(node: Node):   node.height -= 1   if get_height(node.right) == node.height:     node.right = "red"   elif get_height(node.left) == node.height:     node.left = "red"   return node

А теперь непосредственно функция для рассмотренного случая

def delete_black_leaf(node: Node):   successor = find_successor(node)    node.key = successor.key      p = successor.parent    if p.left = successor:     p.left = None   else:     p.right = None      while p.parent is not None:     height = get_height(p)     if height - get_height(p.right) > 1 or height - get_height(p.left) > 1:       p = decrease_height(p)       if get_height(p.right) > node.height or p.right.color == "red":         decrease_height(node.right)     if p.left is not None and check_skew(p):       p = skew(p)     if p.right is not None and p.right.left is not None and check_skew(p.right):       p.right = skew(p.right)     if p.right is not None and p.right.right is not None and p.right.right.left is not None and check_skew(p.right.right):       p.right.right = skew(p.right.right)     if p.right is not None and p.right.right is not None check_split(p):       p = split(p)     if p.right is not None and p.right.right is not None and p.right.right.right is not None check_split(p.right):       p.right = split(p.right)     if p.color == "red" and p.parent.height > p.height:       p.color = "black"          p = p.parent

Соберем весь код удаления

def delete(tree: Node, key: Any):   node = tree    if key < node.key:     node = node.left   elif key > node.key:     node = node.right   else:     if node.color == "red" and node.height == 1:       delete_red_leaf(node)     elif node.color == "black" and node.height == 1 and node.right is not None:       remove_black_leaf_red_right(node)     elif node.right is not None and node.left is not None:       successor = find_successor(node)        if successor.height == 1 and successor.right is not None:         delete_with_red_node_successor(node)       else:         delete_black_leaf(node)     else:       delete_black_leaf(node)

Полезные ссылки

ссылка на оригинал статьи https://habr.com/ru/articles/799137/