Производная как смысл жизни или что такое дифференциал(d)

Пролог:

Эта одна из статей серии «Производная как смысл жизни», сначала я хотел сделать одну огромную статью про почти все темы по дифференцированию, но я передумал и сделаю несколько статей, возможно так даже будет легче для людей которые пытаются найти конкретную для себя тему.

Начало

Для начала лучше ознакомиться со статьей о самой прозводной(скоро будет). Ну если вы ознакомились, или уже были ознакомлены то идем дальше.

Как мы уже знаем формула записи производной выглядит так:

-напоминаю, что Δx — приращение аргумента, Δy — приращение функции.

Мы должны понимать, что если мы уберем предел, то к f'(x) прибавиться коофициент, я ее называю «неточность».

Так же вполне логично, что при Δx->0, β->0, так как чем меньше мы делаем разницу между x и x₀, тем меньше значение «неточности»(в статье о производной об этом подробнее рассказано).

Теперь выразим из этого равенства приращение функции(Δy):

И на этом следует пока остановиться и рассмотреть график.

Смотрим дифференциалу в лицо

Расмотрим такой график:

Как мы знаем производная в точке равняется значению тангенса угла в этой точке, то есть f'(x)=tg(α). Так что давайте обозначим производную, ну и приращения которыми она ограничена.

Как мы видим приращение функции(Δy) как бы разделено на две части: BC и CD.
И ведь по-сути нам ведь интересна именно та часть, которая показывает на сколько изменился у относительно касательной — то есть BC, а CD — это лишь та «погрешность» которая нам не особо интересна, поэтому введем понятие дифференциала:

Дифференциал(d) — это линейная часть приращения функции.
Дифференциал функции(dy) — это главная линейная часть приращения функции.

Зная это введем обозначение на графике:

Вернемся к равенству

BD = Δy и мы знаем, что BD = BC + CD, а значит Δy = BC + CD, где BC мы назвали главной линейной частью приращения функции(dy), следовательно Δy = dy + βΔx.

Из формулы мы понимаем, что dy=f'(x)Δx.

Хорошо, мы определили чему равен дифференциал функции, а что же тогда является дифференциалом независимой пременной функции(аргумента).

Графически мы видим, что Δx никак не разделена касательной, то есть Δx это полное приращение функции, а значит dx = Δx.

Так же мы можем найти по формуле: dx = (x)’Δx = 1*Δx = Δx

И зная, что dy = f'(x)dx, мы можем выразить производную: f'(x)=dy/dx.

Немного пределов

Добавим с левой части и с правой предел

Тогда:

В самом начале мы сказали, что если β->0, то Δx->0 и наборот, а значит:

Зная, что f'(x)Δx = dy, мы делаем вывод, что:

Тогда так же мы можем сказать, что дифференциал функции — это приращения функции у которой приращение аргумента стремиться к нулю, ну и это следуется из того же графика.

В свою очередь dx по прежнему Δx